Округлить число 18 315 тремя способами найти ошибки округления

Практическая работа №1

Тема: Вычисление абсолютной и относительной погрешности.

Цель работы: Уметь применять методы математического анализа при решении задач прикладного характера, в том числе профессиональной направленности.

Формируемые компетенции ОК 2, ОК 4

Краткие теоретические сведения

Основные понятия.

1. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях

2. Под абсолютной погрешностью Δ приближенного числа а понимается разность , отсюда следует, что А заключено в пределах или

3. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю соответствующего точного числа . Так как А обычно неизвестно, то на практике применяют оценку .

4. Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда

5. n —первых значащих цифр приближенного числа а являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными

6. Если положительное приближенное число а имеет относительную погрешность δ, то количество верных знаков n данного числа можно определить по формуле , где аm – старший десятичный разряд, и в качестве n взять ближайшее целое к N число.

7. Погрешности арифметических действий

4. Задания

ВАРИАНТ – 1

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

0, 428            16,452

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285           60,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

1835            10428

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,777 является приближенным значением для 7/9.

2. Округлить число 18,315  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 15,283+4,04527+8,253741+17,52;

б) найти с точностью до 0,01

564,375+7489,296+114,206+748,601.

ВАРИАНТ – 2

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

8,993

81,341

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

34,931

2,501

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

64975

6872,73

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,444 является приближенным значением для  4/9.

2. Округлить число 31,317  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 12030+645,29+478,5+1652,375;

б) найти с точностью до 100

     563+14879+74596+23702.

ВАРИАНТ – 3

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

10,328

15,1613

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

785,501

0,499

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

16765

1335,42

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,273 является приближенным значением для 3/11.

2. Округлить число 24,815  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 26,35+1400+729,3+745,68;

б) найти с точностью до 0,01

172,350+113,215+712,305+546,554.

ВАРИАНТ – 4

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

62,8428       22,1488

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

58,261        506,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

5381      37812,756

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,222 является приближенным значением для  2/9.

2. Округлить число 32,602  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 318,7864+211,124+76,16+106,1;

б) найти с точностью до 0,01

428,726+713,514+695,207+844,398.

5. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

1. Название работы.

2. Цель работы.

3. Задание.

4. Результаты выполнения задания.

5. Вывод по работе.

 6. Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютной погрешностью?

2. Что называется границей абсолютной погрешности?

3. Что значат верные (в широком и строгом смысле) и значащие цифры?

4. Что называется относительной погрешностью?

5. Что называется границей относительной погрешности?

6. Назовите действия над приближенными значениями чисел.

7. Литература:

Основная:

1. Практические занятия по математике Часть I: учебное пособие для СПО/ Н.В.Богомолов — 11-изд.-М.: Юрайт, 2018 -326с.

2. Практические занятия по математике Часть II: учебное пособие для СПО/ Н.В.Богомолов — 11-изд.-М.: Юрайт, 2018 -335с.

Дополнительные источники:

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности/ М. И. Башмаков -М.: Издательский центр «Академия», 2017-207 с.

2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия для профессий и специальностей социально-экономического профиля:учебникдля студ. учреждений сред. Проф. образования/ Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. – 1-е изд. -М.: Издательский центр «Академия»,2017– 416с.

3. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. /Ершова А.П., Голобородько В.В. — 4-е изд., испр. -М.: ИЛЕКСА, -2018-208 с.

4. Дидактические материалы. 11класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Базовый и углубленный уровень /Б. Г.Зив-14-е изд.-М. «Просвещение», -2016-128 с.

Интернет-ресурсы:

1. www.bymath.net— интернет-школа «Вся элементарная математика»

2. http://easymath.com.ua — обучающий сайт «Математика – этопросто»

3. http://mathtest.ru — сайт «Математика в помощь школьникустуденту»

4. http://fcior.edu.ru/— Федеральныйцентр информационно- образовательных ресурсов.

5. http://www.i—exam.ru/ — Единый портал интернет — тестирован

ПрактическАЯ РАБОТА

Тема: Сложение и вычитание приближенных значений чисел

Цели:

— закрепление навыков работы с приближенными числами, умения вычислять абсолютной и относительной погрешностей

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Записать таблицу в тетрадь

 Задание 2. Решить задания из указанного преподавателем варианта.

ВАРИАНТ – 1

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

2,645              25,689

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

17,349             0,785

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

4382           72356

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,143 является приближенным значением для  .

2. Округлить число 21,345  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 428, 263+107,316+264,2+748,35;

б) найти с точностью до 100

     283,425+15627,321+17216,35.

ВАРИАНТ – 2

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

0, 428            16,452

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285           60,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

1835            10428

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,777 является приближенным значением для 7/9.

2. Округлить число 18,315  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 15,283+4,04527+8,253741+17,52;

б) найти с точностью до 0,01

564,375+7489,296+114,206+748,601.

ВАРИАНТ – 3

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

8,993; 81,341

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

34,931; 2,501

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

64975; 6872,73

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,444 является приближенным значением для  4/9.

2. Округлить число 31,317  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 12030+645,29+478,5+1652,375;

б) найти с точностью до 100

     563+14879+74596+23702.

ВАРИАНТ – 4

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

10,328; 15,1613

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

785,501; 0,499

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

16765; 1335,42

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,273 является приближенным значением для 3/11.

2. Округлить число 24,815  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 26,35+1400+729,3+745,68;

б) найти с точностью до 0,01

172,350+113,215+712,305+546,554.

ВАРИАНТ – 5

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

76,645        17,8975

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

31,499        12,081

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

4172,035       57846

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,154 является приближенным значением для числа  .

2. Округлить число 42,052  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 263,428+316,107+2,246+52,17;

б) найти с точностью до 100

     7123+42596+7835516+2961023.

ВАРИАНТ – 6

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

62,8428       22,1488

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

58,261        506,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

5381      37812,756

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,222 является приближенным значением для  2/9.

2. Округлить число 32,602  тремя способами, найти ошибки округления.

3. Выполнить действия:

а) 318,7864+211,124+76,16+106,1;

б) найти с точностью до 0,01

428,726+713,514+695,207+844,398.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  № 1

ОД.10 Математика

Тема:  Действия с приближенными числами.

Вид занятия: Практическое занятие

Обеспечение   урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

http://e-science.ru/?q=node/4517

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №1

Литература:_____ http://e-science.ru/?q=node/4517

Цель работы:

        Выполнить округление чисел с заданной точностью, определить абсолютную и относительную погрешности, произвести действия с приближенными числами.

Задания для практической работы

ВАРИАНТ – 1

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

2,645              25,689

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

17,349             0,785

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

4382           72356

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,143 является приближенным значением для  .
2. Округлить число 21,345  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 428, 263+107,316+264,2+748,35;

б) найти с точностью до 100

     283,425+15627,321+17216,35.

ВАРИАНТ – 2

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

0, 428            16,452

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285           60,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

1835            10428

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,777 является приближенным значением для 7/9.
2. Округлить число 18,315  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 15,283+4,04527+8,253741+17,52;

б) найти с точностью до 0,01

564,375+7489,296+114,206+748,601.

ВАРИАНТ – 3

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

8,993

81,341

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

34,931

2,501

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

64975

6872,73

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,444 является приближенным значением для  4/9.
2. Округлить число 31,317  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 12030+645,29+478,5+1652,375;

б) найти с точностью до 100

     563+14879+74596+23702.

ВАРИАНТ – 4

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

10,328

15,1613

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

785,501

0,499

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

16765

1335,42

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что 0,273 является приближенным значением для 3/11.
2. Округлить число 24,815  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 26,35+1400+729,3+745,68;

б) найти с точностью до 0,01

172,350+113,215+712,305+546,554.

ВАРИАНТ – 5

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

76,645        17,8975

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

31,499        12,081

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

4172,035       57846

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,154 является приближенным значением для  .
2. Округлить число 42,052  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 263,428+316,107+2,246+52,17;

б) найти с точностью до 100

     7123+42596+7835516+2961023.

ВАРИАНТ – 6

1. Округлить с точностью до  0,01 следующие числа:  

62,8428       22,1488

1. Округлить с точность до 1 следующие числа:

58,261        506,605

1. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа:

5381      37812,756

1. Найти абсолютную и относительную погрешности если известно, что — 0,222 является приближенным значением для  2/9.
2. Округлить число 32,602  тремя способами, найти ошибки округления.
3. Выполнить действия:

а) 318,7864+211,124+76,16+106,1;

б) найти с точностью до 0,01

428,726+713,514+695,207+844,398.

Калькулятор округления числа с решением

Калькулятор округления чисел, округлит числа, до целого (до единиц), десятых, сотых, тысячных, десятитысячных представленные: обыкновенной либо десятичной дробью и экспоненциальной записью и отобразит подробное решение. Вы можете выбрать тип округления, а так же указать количество чисел после запятой. Примеры записи числа, которое необходимо округлить: 5765, -1652, 1/3, -3/6, -5/-7, 34.012, 56,23, 2.3e+5, 5.8e-123 и т.д.

Правила округления целых чисел

Правила округления десятичных чисел

Округленные числа

Практическое
занятие № 8

Тема: Логические
операции. Решение задач табличным методом.

Цель:

1)
Формирование общих  компетенций:

2)
Знать определение множества, действия над множествами

3)
Уметь решать прикладные задачи на применение теории множеств.

Краткая теория

Любая
совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы, называемых
элементами, называется множеством. Или, множеством называется совокупность
некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами
множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п Множества
обозначаются прописными буквами, а элементы – строчными. Запись аϵА обозначает,
что а элемент множестваA.  Если b не принадлежит
множеству А, то записывается: b∉А

Если каждый
элемент множества А является и элементов множества В, то говорят, что множество
А является подмножеством В  (А ⊆ В )

Если при этом в
множестве В есть элементы, не принадлежащие множеству А, то пишут А ⊂В. Сумма
двух множеств А∪ В является
множеством, каждый элемент которого принадлежит либо к А либо к В. Пересечением
двух множеств А ∩В является множество, каждый элемент которого принадлежит как
множеству А, так и множеству В.

Множество,
состоящее из некоторого натурального числа элементов, называется конечным
множеством. Если не существует такого числа, определяющего количество элементов
в множестве, то такое множество называется бесконечным.

N –множество
натуральных чисел; Zмножество
целых чисел; R—
множество действительных чисел; Q— множество рациональных чисел. 
важные операции, которые можно производить с двумя множествами А и В – объединение
двух множеств и построение их пересечения.

Объединение двух
множеств – новое множество, состоящее из элементов как множества А, так и
множества В. Это множество обозначается А∪ В

Пересечением двух
множеств называется  множество, в которое входят только те элементы, которые
одновременно принадлежат обоим  множествам А и В. Обозначается это множество
через А ∩ В

Операции объединения
и пересечения можно производить с любым конечным числом  множеств, а также  — и
с бесконечным числом.

.

Множества обозначаются
прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств
заключаются в фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит
множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).

Если множество А является
частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано
одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

Два множества А и В равны
(А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4},
B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой)
множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из
этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением
(произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого
принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В
называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не
принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью
множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей
множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪(ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

Свойства:

Свойства перестановочности:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство:

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Круги Эйлера (Эйлера-Вена)
— геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между
подмножествами, для наглядного представления.

Пример: Среди школьников шестого класса проводилось
анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три
мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и
теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21
ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб
Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок»
назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько
человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи
видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди
ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два
мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только
«Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят
только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны»
выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали
мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Контрольные
вопросы

1.Дайте
определение понятия множества.

2.Что такое
подмножество?

3.Дайте
определение суммы множеств.

4.Что называют
пересечением множеств?

5.Какое множество
называется конечным? Бесконечным?

Задания

1) Найти множества
А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={е, о, р, х}
В={х, у}

б) А={х:
-3<х<4} В={х: 0≤х≤6}

в) А={2n+1},
B={n+1} nєN

2) Найти множества
А∩В, АUВ, А/В, В/А, если:

а) А={12, 13, 14,
15} В={12, 14, 16}

б) А={х:
0<х<2} В={х: 1≤х≤4}

в) А={3-(n+1)},
B={n+5} nєN

3) На 1 курсе
учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 –
французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и
французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают
только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) только один
язык?

б) испанский язык?

в) только немецкий
язык?

г) знают
английский и немецкий, но не знают французский?

4) На 1 курсе
учатся 200 студентов, 106 из них знают английский язык, 60 – немецкий, 92 –
французский. 24 студента знают английский и немецкий языки, 36 – английский и
французский, 30 – немецкий и французский, 14 – все три языка. Остальные знают
только один испанский язык. Сколько студентов знают:

а) ровно два
языка?

б) только
французский язык?

в) знают немецкий
и французский, но не знают английский?

г) не знают
испанский язык?

5)На
очередном конкурсе «Евровидение» зрители поспорили, участник какой страны будет
победителем. Были высказаны следующие предположения:

¾                                 
первым
будет исполнитель из России, а вторым участник их Белоруссии:

¾                                 
исполнитель
из России будет вторым, а из Норвегии – третьим;

¾                                 
вторым
будет участник из Франции, а норвежский исполнитель будет четвертым.

Оказалось, в
каждом из высказанных предположений одно – истинно, другое – ложно. Определите
победителей.