Оценить ошибку получаемую при замене суммы ряда суммой первых 10 слагаемых

Поскольку точное значение суммы ряда
удается вычислить далеко не всегда
(такие задачи были нами рассмотрены),
возникает проблема приближенного
вычисления суммы ряда с заданной
точностью.

Напомним, что
-ый
остаток рядаполучается из исходного рядаотбрасыванием первыхслагаемых:

.

Тогда, поскольку для сходящегося ряда

,

остаток сходящегося ряда равен разности
между суммой ряда и
-ой
частичной суммой:

,

и для достаточно больших
имеем
приближенное равенство

.

Из определения остатка ряда следует,
что абсолютная погрешность при замене
точного неизвестного значения суммы
его частичной суммойравна модулю остатка ряда:

.

Таким образом, если требуется вычислить
сумму ряда с заданной точностью
,
то нужно оставить сумму такого числаслагаемых, чтобы для отброшенного
остатка ряда выполнялось неравенство:

.

Метод приближенного вычисления суммы
выбирается в зависимости от вида ряда:

если ряд положительный и может быть
исследован на сходимость по интегральному
признаку (удовлетворяет условиям
соответствующей теоремы), то для оценки
суммы используем формулу

;

если это ряд Лейбница, то применяем
оценку:

.

В других задачах можно использовать
формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.

Задача №1. Сколько нужно взять
слагаемых ряда,
чтобы получить его сумму с точностью
0,01.

Решение.Прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Рассмотрим-ый
остаток ряда, который и является
погрешностью вычислений суммы ряда:

.

Оценим этот ряд с помощью бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Для этого заменим в каждом слагаемом
множитель
на,
при этом каждое слагаемое увеличится:

После вынесения общего множителя за
скобку, в скобке остался ряд, составленный
из членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумму
которого мы и вычислили по формуле

.

Заданная точность будет достигнута,
если
будет удовлетворять условию

.

Решим неравенство, учитывая, что
—
целое.

При
имеем

.

При
имеем

.

В силу монотонности функции
,
неравенствобудет выполняться для всех.

Следовательно, если вместо точного
значения суммы мы возьмем первые пять
(или более) слагаемых, то погрешность
вычислений не превысит 0,01.

Ответ:
.

Задача №2. Оценить ошибку, получаемую
при замене суммы рядасуммой
первых 100 слагаемых.

Решение.Заметим, что данный ряд
является сходящимся и знакопеременным.
Оценивать будем ряд,
состоящий из модулей исходного ряда,
что сразу увеличивает погрешность
вычислений. Кроме того, нам придется
перейти (используя признак сравнения)
к большему, более простому сходящемуся
ряду:

.

Рассмотрим ряд
.
Поскольку этот ряд удовлетворяет
условиям теоремы – интегрального
признака сходимости, то для оценки
погрешности вычисления суммы используем
соответствующую формулу:

.

Вычислим несобственный интеграл:

,

погрешность вычислений можно оценить
по формуле

,

по условию
,
тогда.

Ответ:
.

Задача №3. Оценить ошибку,
получаемую при замене суммы рядасуммой
первых 10 слагаемых.

Решение.Подчеркнем еще раз, что
задача о приближенном вычислении суммы
имеет смысл только для сходящегося
ряда, поэтому, прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Поскольку исследуемый
ряд является знакопеременным со сложным
правилом изменения знака, то оценивать
придется, как и в предыдущем примере,
ряд из модулей данного ряда:

.

Используя тот факт, что
при любом значении аргумента, имеем:

.

Оценим остаток ряда:

.

Мы получили ряд, составленный из членов
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, в которой

,

его сумма равна:

,

.

Ответ:
.

Задача №4. Вычислить сумму рядас
точностью 0,01.

Решение.Данный ряд является рядом
Лейбница. Для оценки погрешности верна
формула:

,

другими словами, погрешность вычислений
меньше модуля первого отброшенного
слагаемого. Подберем номер
так, чтобы

.

При
имеем

.

При
имеем

.

Погрешность
,
если в качестве значения суммы возьмем
сумму первых четырех слагаемых:

.

Ответ:.

Соседние файлы в папке Ряды

• #
• #
• #

1) Нужно найти такое $%N$%, что остаток ряда, то есть $%sumlimits_{n=N+1}^{infty}a_n$%, будет меньше $%varepsilon=0,01$%. Тогда в качестве приближения берутся первые $%N$% членов.

Подбор подходящего значения $%N$% осуществляется при помощи оценок. Сразу видно, что числа в знаменателях растут очень быстро, и количество членов не должно быть большим. При $%n=3$% знаменатель уже равен $%3^5=243$%, поэтому имеет смысл взять $%N=2$% и получить оценку сверху для остатка ряда, то есть для $%a_3+cdots+a_n+cdots=frac1{3^3}(frac1{3^2cdot1}+frac1{4^2cdot3}+frac1{5^2cdot3^2}+cdots)$%. Оценки достаточно совсем грубой: например, выражение в скобках меньше суммы бесконечной геометрической прогрессии $%frac1{3^2}+frac1{3^3}+cdots=frac16$%, и остаток ряда меньше $%frac1{162} < 0,01$%.

То есть берём два слагаемых, и получаем приближённое значение суммы ряда, равное $%a_1+a_2=frac13+frac1{36}=frac{13}{36}=0,36111…$%. (Точное значение суммы равно $%0,36621323…$%).

2) Здесь также нужно оценить (по модулю) остаток ряда. Заменяя косинусы на единицу, получаем, что точность не хуже, чем $%sumlimits_{n=11}^{infty}frac1{n^3}$%. Здесь можно воспользоваться тем, что $%n^3 > n^3-1=(n-1)n(n+1)$%, а значение суммы ряда $%frac1{10cdot11cdot12}+frac1{11cdot12cdot13}+cdots$%, выступающего в качестве верхней оценки, можно найти точно. Действительно, $%frac1{(n-1)n(n+1)}=frac12(frac1{(n-1)n}-frac1{n(n+1)})$%, поэтому сумма равна $%frac1{2cdot10cdot11} < frac1{200}$%.

Исследовать на сходимость ряд ∑ 3 .n =1 nРешение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого запишем ряд∞∑n =1(− 1)nn3∞1.3n =1 n=∑Получили положительный ряд, который сходится, так как является обобщеннымгармоническим при p = 3 > 1 . Делаем вывод, что исходный знакопеременный рядсходится абсолютно.Ответ: ряд сходится абсолютно.∞cos nЗадача №2. Исследовать на сходимость ряд ∑.n =1 n !Решение. Данный ряд является знакопеременным, поскольку знак выражения cos nменяется. Рассмотрим ряд, состоящий из модулей исходного ряда:∞∞ cos ncos n.=∑∑n!n!n =1n =1Получившийся положительный ряд можно исследовать на сходимость с помощьюпризнака сравнения.

Для любого натурального n справедливо неравенство:cos n 1≤ .n!n!Ряд∞1∑ n ! сходится, что можно показать по признаку Даламбера,n =117следовательно, по признаку сравнения положительный ряд∞cos nn =1n!∑сходится, а∞cos nсходится абсолютно.n =1 n !∑исходный знакопеременный рядОтвет: ряд сходится абсолютно.Заметим, что положительные ряды сходятся (имеют конечную сумму) за счет“быстрого” стремления к нулю общего члена ряда, для знакопеременных рядовсуществует еще одна возможность сходимости: сумма уменьшается за счет вычитанияслагаемых. Поэтому для знакопеременных рядов может возникнуть ситуация, когда ряд,составленный из модулей, расходится, а сам знакопеременный ряд сходится.

В этомслучае говорят об условной сходимости.Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится,но не сходиться абсолютно.Введем понятие знакочередующегося ряда:Определение. Рядu1 − u 2 + u 3 − u 4 + … ,где u n > 0 для всех nназывается знакочередующимся.Отметим, что в отличие от знакочередующихся рядов, в знакопеременных рядахзнаки меняются произвольным образом.

Следовательно, знакочередующиеся рядыявляются частным случаем знакопеременных.Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости,принадлежащий Лейбницу.Теорема (признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов).Если для знакопеременного ряда∞∑ (−1)n =1n +1u n = u1 − u 2 + u 3 − … + (−1) n +1 u n + …выполняются три условия:1. Ряд является знакочередующимся.2. Модули членов ряда монотонно убывают:u1 ≥ u 2 ≥ … ≥ u n ≥3. Модуль общего члена ряда стремиться к нулю, т.е.lim u n = 0 ,n →∞то данный ряд сходится.Подчеркнем, что все три условия признака Лейбница являются существенными иподлежат проверке.Договоримся далее по тексту ряд, удовлетворяющий трем условиям признакаЛейбница называть рядом Лейбница.Сформулируем важное следствие теоремы Лейбница, используемое дляприближенного вычисления суммы сходящегося ряда.Можно показать, что для сходящегося ряда Лейбница верна оценка:S < u1 ,тогда для остатка ряда имеемrn < u n +1 .(−1) n.∑nn =1Решение.

Покажем, что данный ряд является рядом Лейбница.1. Действительно присутствует чередование знаков, т.к.Задача №3. Исследовать на сходимость ряд∞18⎧ + 1, если n = 2k1n> 0, а (− 1) = ⎨n⎩− 1, если n = 2k + 12. Имеем монотонное убывание модулей членов ряда, поскольку для всех n вернонеравенство:11.>n n +113. Третье условие также выполняется: lim = 0 .n→∞ nПо признаку Лейбница делаем вывод о том, что ряд сходится.Ответ: ряд сходится.∞(−1) n.Задача №4. Исследовать на сходимость ряд ∑n = 2 ln nРешение. Проверим выполнение трех условий признака Лейбница.1. За чередование знака отвечает множитель (−1) n , знаменатель при этом остается большенуля:ln n > 0 , для всех натуральных n ≥ 2 .2.

Из монотонного возрастания функции y = ln x следует, что для всех n ≥ 2выполняется неравенство:ln(n + 1) > ln n , отсюда11>, т. е. u n > u n +1 .ln ln(n + 1)13. Справедливо и третье условие: lim= 0.n →∞ ln nРяд сходится условно по признаку Лейбница.Ответ: ряд сходится.n∞(− 1).Задача №5. Исследовать на сходимость ряд ∑n =1 2n − 1Решение. а). Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд∞(− 1)n∑ 2n − 1n =1∞1.n =1 2n − 1=∑∞Полученный положительный ряд сравним с гармоническим рядом1∑n:n =1an =тогда11, bn = ,2n − 1n1annn1lim= lim 2n − 1 = lim= lim= ≠ 0.n→∞ bn →∞n →∞ 2n − 1n→∞112nn( 2 − )nn19∞Тогда по признаку сравнения рядрасходящийся гармонический рядисходный ряд∞(− 1)1∑ 2n −1 в смысле сходимости ведет себя также какn =1∞1.

Ряд∑n =1 n∞1∑ 2n − 1 расходится, следовательно,n =1n∑ 2n − 1 не является абсолютно сходящимся.n =1б). Исследуем ряд на условную сходимость. Воспользуемся признаком Лейбница.n∞(−1)— знакочередующийся, т.к. 2n − 1 > 0 для всех натуральных n , а1. Ряд ∑n =1 2n − 1+ 1, если n = 2k(− 1)n = ⎧⎨.⎩− 1, если n = 2k + 1111un ==2., тогда, u n +1 =2(n + 1) − 1 2n + 12n − 111>,2n − 1 2n + 1что и означает монотонное убывание модулей членов ряда.13.

Верно, что lim=0.n → ∞ 2n − 1Ряд сходится по признаку Лейбница.Ответ: ряд сходится.§4. Приближенное вычисление суммы числового ряда.Поскольку точное значение суммы ряда удается вычислить далеко не всегда (такие задачибыли нами рассмотрены), возникает проблема приближенного вычисления суммы ряда сзаданной точностью.Напомним, что n -ый остаток ряда rn получается из исходного ряда∞∑an =1nотбрасываниемпервых n слагаемых:rn = a n +1 + a n + 2 + a n +3 + … .∞Тогда, поскольку для сходящегося ряда∑an =1n=S,остаток сходящегося ряда равен разности между суммой ряда и n -ой частичной суммой:rn = S − S n ,и для достаточно больших n имеем приближенное равенствоS ≈ Sn .Из определения остатка ряда следует, что абсолютная погрешность при замене точногонеизвестного значения суммы S его частичной суммой S n равна модулю остатка ряда:δ = S − S n = rn .Таким образом, если требуется вычислить сумму ряда с заданной точностью δ , то нужнооставить сумму такого числа n слагаемых, чтобы для отброшенного остатка рядавыполнялось неравенство:rn < δ .Метод приближенного вычисления суммы выбирается в зависимости от вида ряда:20если ряд положительный и может быть исследован на сходимость по интегральномупризнаку (удовлетворяет условиям соответствующей теоремы), то для оценки суммыиспользуем формулу∞rn ≤∫ f ( x)dx ;n +1если это ряд Лейбница, то применяем оценку:rn < u n +1 .В других задачах можно использовать формулу суммы бесконечно убывающейгеометрической прогрессии.∞1Задача №1.

Сколько нужно взять слагаемых ряда ∑, чтобы получить его суммуnn =1 ( n + 1) 2с точностью 0,01.Решение. Прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Рассмотрим n -ый остатокряда, который и является погрешностью вычислений суммы ряда:111rn =+++… .n +1n+ 2(n + 2)2(n + 3)2(n + 4)2 n+3Оценим этот ряд с помощью бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Для11этого заменим в каждом слагаемом множитель, при этом каждое слагаемоенаn+kn+2увеличится:111111rn =+++… <+++… =n +1n+ 2n +3n +1n+ 2(n + 2)2(n + 3)2(n + 4)2(n + 2)2(n + 2)2(n + 2)2 n+31n +11 ⎛ 1111121⎞=⋅ ⎜ n+1 + n+ 2 + n+3 + …⎟ =⋅2 =⋅ n+1 =1n+2 ⎝2n+2 2(n + 2)2 n22⎠ n + 2 1−2После вынесения общего множителя за скобку, в скобке остался ряд, составленный изчленов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумму которого мы ивычислили по формуле∞aa1 q n −1 = 1 .∑1− qn =1Заданная точность будет достигнута, если n будет удовлетворять условию1rn << 0,01 .(n + 2)2 nРешим неравенство, учитывая, что n — целое.При n = 4 имеем1> 0,01 .(4 + 2)2 4При n = 5 имеем11=< 0,01 .5(5 + 2)2 2241В силу монотонности функции, неравенство rn < 0,01 будет выполняться для(n + 2)2 nвсех n ≥ 5 .21Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (илиболее) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.Ответ: n ≥ 5 .∞cos n 2Задача №2.

Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда ∑ 3 суммойnn =1первых 100 слагаемых.Решение. Заметим, что данный ряд является сходящимся и знакопеременным.2∞ cos nОценивать будем ряд ∑, состоящий из модулей исходного ряда, что сразуn3n =1увеличивает погрешность вычислений. Кроме того, нам придется перейти (используяпризнак сравнения) к большему, более простому сходящемуся ряду:cos n 21≤ 3.3nn∞1Рассмотрим ряд ∑ 3 . Поскольку этот ряд удовлетворяет условиям теоремы –n =1 nинтегрального признака сходимости, то для оценки погрешности вычисления суммыиспользуем соответствующую формулу:∞∞1δ = rn ≤ ∫ f ( x)dx = ∫ 3 dx .n +1n +1 xВычислим несобственный интеграл:A∞⎛ 1 A ⎞1111⎟ = lim (− 1 +)=,dx = lim ⎜ − 23222∫n+1 x 3 dx = lim∫⎟ A→ ∞ 2 AA→ ∞A→ ∞ ⎜2x()()2n+12n+1n+1n +1 x⎝⎠погрешность вычислений можно оценить по формуле1δ≤,22(n + 1)11по условию n = 100 , тогда δ ≤== 4,9 ⋅ 10 −5 ≤ 10 −6 .222 ⋅ 1012(100 + 1)Ответ: δ ≤ 10 −6 .Задача №3.

Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда∞sin nсуммойnn =1 3∑первых 10 слагаемых.Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеетсмысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный рядсходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правиломизменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулейданного ряда:∞ sin n.∑nn =1 3Используя тот факт, что sin x ≤ 1 при любом значении аргумента, имеем:sin n3n≤1.3nОценим остаток ряда:r10 ≤111+ 12 + 13 + … .1133322Мы получили ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии, в которой11a1 = 11 , q = ,33его сумма равна:111a11⋅ 31S== 3 = 11 == 0,0000042 < 10 −5 ,1011− q3 ⋅4 4⋅31−3δ ≤ r10 = S < 10 −5 .Ответ: δ ≤ 10 −5 .Задача №4.

Вычислить сумму ряда∞∑(− 1)n+1 с точностью 0,01.n3Решение. Данный ряд является рядом Лейбница. Для оценки погрешности вернаформула:1rn < u n +1 =,(n + 1)3другими словами, погрешность вычислений меньше модуля первого отброшенногослагаемого. Подберем номер n так, чтобы1δ = rn << 0,01 .(n + 1)3n =1При n = 3 имеем1> 0,01 .(3 + 1)3При n = 4 имеем1< 0,01 .(4 + 1)3Погрешность δ ≤ 0,01 , если в качестве значения суммы возьмем сумму первых четырехслагаемых:111S ≈ 1 − 3 + 3 − 3 = 1 − 0,125 + 0,037 − 0,016 = 0,896 .234Ответ: S ≈ 0,896 .§5. Функциональные ряды. Степенные ряды.Обобщим понятие числового ряда следующим образом: рассмотрим ряд, в которомэлементами являются не числа, а функции. Такой ряд называется функциональным.Определение.

Ответ
: ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Почему я пишу именно $frac{2}{3cdot 5}$, а не $frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_{ntoinfty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}right),
$$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}=frac{Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$
2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1).
$$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем — будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$
2=2An+3A+2Bn+B;\
2=(2A+2B)n+3A+B.
$$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$
left{begin{aligned}
& A+B=0;\
& 3A+B=2.
end{aligned}right.
$$

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=frac{2}{15}$, но даст ли выражение $frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ значение $frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

$$
frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}=frac{1}{3}-frac{1}{2cdot 1+3}=frac{1}{3}-frac{1}{5}=frac{5-3}{15}=frac{2}{15}.
$$

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=frac{1}{3}-frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:

$$
S_{k+1}=S_k+u_{k+1}.
$$

Так как $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=frac{1}{2(k+1)+1}-frac{1}{2(k+1)+3}=frac{1}{2k+3}-frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=frac{1}{3}-frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:

$$
S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=frac{1}{3}-frac{1}{2k+3}+frac{1}{2k+3}-frac{1}{2(k+1)+3}=frac{1}{3}-frac{1}{2(k+1)+3}.
$$

Вывод: формула $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ верна при любом $nin N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются «вычёркиванием» сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $lim_{ntoinfty}S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
$$

Мы получили ранее, что $u_k=frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right).
$$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$
S_n
=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}=\
=frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+1}-left(frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+3}right).
$$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}.
$$

Теперь преобразуем выражения $frac{1}{2k+1}$ и $frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $frac{1}{2k+1}>frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$.

Выражение в знаменателе дроби $frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$
frac{1}{2k+3}=frac{1}{2k+2+1}=frac{1}{2(k+1)+1}.
$$

И сумму $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Если равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

У нас был ряд $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, — например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $sumlimits_{t=2}^{n+1}frac{1}{2t+1}$.

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{t=2}^{n+1}frac{1}{2t+1}.
$$

У нас есть сумма $sumlimits_{t=2}^{n+1}frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? 🙂 Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

$$
sumlimits_{t=2}^{n+1}frac{1}{2t+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Вот так и получается равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Заметьте, что суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ и $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. «Забирая» первый элемент из суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ будем иметь:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}=frac{1}{2cdot 1+1}+sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}+sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}.
$$

«Забирая» последний элемент из суммы $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$, получим:

$$sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2(n+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}.$$

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}+sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}-left(sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}right)=\
=frac{1}{3}+sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}.
$$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=\
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=frac{1}{3}+sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}-left(sumlimits_{k=2}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}.
$$

Напомню, что мы приводили дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac{1}{2k+1}$ в виде $frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

$$
S_n
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=sumlimits_{k=0}^{n-1}frac{1}{2k+3}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=\
=frac{1}{3}+sumlimits_{k=1}^{n-1}frac{1}{2k+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n-1}frac{1}{2k+3}+frac{1}{2n+3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}.
$$

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Находим предел $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Ответ
: $S=frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Поскольку точное значение суммы ряда
удается вычислить далеко не всегда
(такие задачи были нами рассмотрены),
возникает проблема приближенного
вычисления суммы ряда с заданной
точностью.

Напомним, что
-ый
остаток рядаполучается из исходного рядаотбрасыванием первыхслагаемых:

Тогда, поскольку для сходящегося ряда

,

остаток сходящегося ряда равен разности
между суммой ряда и
-ой
частичной суммой:

,

и для достаточно больших
имеем
приближенное равенство

.

Из определения остатка ряда следует,
что абсолютная погрешность при замене
точного неизвестного значения суммы
его частичной суммойравна модулю остатка ряда:

.

Таким образом, если требуется вычислить
сумму ряда с заданной точностью
,
то нужно оставить сумму такого числаслагаемых, чтобы для отброшенного
остатка ряда выполнялось неравенство:

.

Метод приближенного вычисления суммы
выбирается в зависимости от вида ряда:

если ряд положительный и может быть
исследован на сходимость по интегральному
признаку (удовлетворяет условиям
соответствующей теоремы), то для оценки
суммы используем формулу

;

если это ряд Лейбница, то применяем
оценку:

.

В других задачах можно использовать
формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.

Задача №1.
Сколько нужно взять
слагаемых ряда
,
чтобы получить его сумму с точностью
0,01.

Решение.
Прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Рассмотрим-ый
остаток ряда, который и является
погрешностью вычислений суммы ряда:

Оценим этот ряд с помощью бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Для этого заменим в каждом слагаемом
множитель
на,
при этом каждое слагаемое увеличится:

После вынесения общего множителя за
скобку, в скобке остался ряд, составленный
из членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумму
которого мы и вычислили по формуле

.

Заданная точность будет достигнута,
если
будет удовлетворять условию

.

Решим неравенство, учитывая, что
—
целое.

При

имеем

.

При

имеем

.

В силу монотонности функции

,
неравенство
будет выполняться для всех
.

Следовательно, если вместо точного
значения суммы мы возьмем первые пять
(или более) слагаемых, то погрешность
вычислений не превысит 0,01.

Ответ:

.

Задача №2.
Оценить ошибку, получаемую
при замене суммы ряда
суммой
первых 100 слагаемых.

Решение.
Заметим, что данный ряд
является сходящимся и знакопеременным.
Оценивать будем ряд
,
состоящий из модулей исходного ряда,
что сразу увеличивает погрешность
вычислений. Кроме того, нам придется
перейти (используя признак сравнения)
к большему, более простому сходящемуся
ряду:

.

Рассмотрим ряд
.
Поскольку этот ряд удовлетворяет
условиям теоремы – интегрального
признака сходимости, то для оценки
погрешности вычисления суммы используем
соответствующую формулу:

.

Вычислим несобственный интеграл:

погрешность вычислений можно оценить
по формуле

,

по условию

,
тогда.

Ответ:

.

Задача №3.
Оценить ошибку,
получаемую при замене суммы ряда
суммой
первых 10 слагаемых.

Решение.
Подчеркнем еще раз, что
задача о приближенном вычислении суммы
имеет смысл только для сходящегося
ряда, поэтому, прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Поскольку исследуемый
ряд является знакопеременным со сложным
правилом изменения знака, то оценивать
придется, как и в предыдущем примере,
ряд из модулей данного ряда:

.

Используя тот факт, что

при любом значении аргумента, имеем:

.

Оценим остаток ряда:

.

Мы получили ряд, составленный из членов
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, в которой

,

его сумма равна:

,

.

Ответ:

.

Задача №4.
Вычислить сумму ряда
с
точностью 0,01.

Решение.
Данный ряд является рядом
Лейбница. Для оценки погрешности верна
формула:

,

другими словами, погрешность вычислений
меньше модуля первого отброшенного
слагаемого. Подберем номер
так, чтобы

.

При

имеем

.

При

имеем

.

Погрешность

,
если в качестве значения суммы возьмем
сумму первых четырех слагаемых:

Ответ:
.

С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд — это последовательность чисел (либо функций — для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов — принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле:

Найти сумму ряда онлайн

На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн
. Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема.

И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах
. Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников
(буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!

Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.

В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:

Пример 1

Найти сумму ряда

Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов:

Почему в данном
случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:

1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.

2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать

Ответ
: сумма ряда

Пример 2

Найти сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: .

А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:

Что такое сумма ряда?

Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда :

И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:

Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному
числу: , то такой ряд называют сходящимся
, а само число – суммой ряда
. Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся
.

Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы:

Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях
. Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).

Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи
: необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:

Пример 3

Вычислить сумму ряда

Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
:

В результате:

Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:

Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО
«эн» подставляем :

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

Ответ
:

Аналогичный ряд для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить сумму ряда

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения
, Даламбера, Коши
и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:

Пример 5

Найти сумму ряда или установить его расходимость

По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения
легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.

Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
:

Таким образом:

Множители лучше расположить в порядке возрастания: .

Таким образом, общий член ряда:

Таким образом:

Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:

Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:

Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)

В результате всех сокращений получаем:

И, наконец, сумма ряда:

Ответ
:

Пример 8

Вычислить сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.

Сумма ряда

сайт
позволяет найти сумму ряда онлайн
числовой последовательности. Помимо нахождения суммы ряда онлайн числовой последовательности, сервер в режиме онлайн
найдет частичную сумму ряда
. Это полезно для аналитических выкладок, когда сумму ряда онлайн
необходимо представить и найти как решение предела последовательности частичных сумм ряда
. По сравнению с другими сайтами, сайт
обладает неоспоримым преимуществом, так как позволяет найти сумму ряда онлайн
не только числового, но и функционального ряда
, что позволит определить область сходимости исходного ряда
, применяя наиболее известные методы. Согласно теории рядов
, необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела от общего члена числового ряда
при стремлении переменной к бесконечности. Однако, это условие не является достаточным для определения сходимости числового ряда онлайн .. Для определения сходимости рядов онлайн
найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда
. Наиболее известные и часто применяемые из них — это признаки Д»Аламбера, Коши, Раабе, сравнения числовых рядов
, а также интегральный признак сходимости числового ряда
. Особое место среди числовых рядов
занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины числовых рядов
монотонно убывают. Оказывается, для таких числовых рядов
необходимый признак сходимости ряда онлайн является одновременно и достаточным, то есть равенство нулю предела от общего члена числового ряда
при стремлении переменной к бесконечности. Существует множество различных сайтов, на которых представлены серверы
для вычисления суммы ряда онлайн
, а также разложения функций вряд
в режиме онлайн в некоторой точке из области определения этой функции. Если разложить функцию в ряд онлайн
не представляет на этих серверах особого труда, то вычислить сумму функционального ряда онлайн
, каждым членом которого, в отличие от числового ряда
, является не число, а функция, представляется практически невозможным в силу отсутствия необходимых технических ресурсов. Для www.сайт
такой проблемы не существует.

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Интегральный признак сходимости Коши.
3. Примеры исследования рядов на сходимость

Начнем с изучения рядов, все члены которых неотрицательны. Пусть дан ряд вида где все Так как и Это значит, что последовательность частичных сумм данного ряда неубывающая:

В курсе «Введение в анализ» доказывается, что для сходимости неубывающей последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т. е. необходимо и достаточно, чтобы существовало такое что для всех Значит, в этом и только в этом случае ряд где сходится.

Мы доказали следующее утверждение:

Теорема 6.1. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если последовательность неубывающая, то ее предел не меньше любого из ее членов, т. е. для всех п выполняется неравенство где Доказанное утверждение позволяет установить следующий признак сходимости рядов с неотрицательными членами: Теорема 6.2. Пусть даны два ряда и члены которых неотрицательны, причем для всех выполняется неравенство Тогда если сходится ряд то сходится и ряд причем (из сходимости ряда соответственно с большими членами вытекает сходимость ряда с соответственно меньшими членами).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда через snt а ряда — через По предположению для всех имеем Далее, так как ряд сходится, а члены этого ряда неотрицательны, то для всех имеем где — сумма этого ряда. Но тогда для всех имеем

Это значит, что частичные суммы sn ряда ограничены сверху числом поскольку члены этого ряда неотрицательны, он по теореме 6.1. сходится. Обозначим через Из неравенства вытекает, что (это вполне естественно — если для всех имеем

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Следствие. Если члены рядов и неотрицательны и для всех п выполняется неравенство то из расходимости ряда вытекает, что и ряд расходится. В самом деле, если бы ряд сходился, то по доказанной выше теореме сходился бы и ряд вопреки предположению.

Примеры с решением

Пример 6.1.

Выше (см. пример 1.5) было доказано, что ряд сходится. Но при любом имеет место неравенство т. е. 3нaчит, ряд тоже сходится.

Пример 6.2.

Так как ряд расходится, а при любом имеем то ряд тоже расходится.

Замечание.

Так как сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка, то члены рядов можно сравнивать и лишь начиная с некоторого места (однако если лишь при то, вообще говоря, неравенство может не иметь места).

Иногда удобнее применять другую теорему сравнения рядов с неотрицательными членами. Теорема 6.3 (вторая теорема сравнения рядов с неотрицательными членами). Пусть все члены рядов и неотрицательны и пусть существует предел Тогда при оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда а из расходимости ряда — расходимость ряда Доказательство. Пусть Выберем такую окрестность что (рис. 1). Так как то, начиная с некоторого значения все окажутся в этой окрестности, а тогда для всех будут выполняться неравенства где Но тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда а тем самым и ряда . Из сходимости же ряда следует сходимость ряда а тогда сходится и ряд Значит, сходимость одного из рядов влечет за собой сходимость другого ряда.

Рис. 1

Если же то аналогичные рассуждения показывают существование такого что при выполняется неравенство Но тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда Теорема доказана.

Пример 6.3.

Мы знаем, что ряд сходится.

Так как то и ряд сходится. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Чаще всего сравнивают ряды с суммами бесконечных убывающих прогрессий. Имеет место следующая теорема: Теорема 6.4 (признак Даламбера). Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: Тогда: если то ряд сходится, если то ряд расходится, если то возможны как сходимость, так и расходимость ряда. Доказательство. Пусть Выберем такое что Так как то, начиная с некоторого номера будет выполняться неравенство Но тогда при имеем и потому

Таким образом, все члены заданного ряда, начиная с не превосходят членов геометрической прогрессии которая сходится, поскольку Значит, по признаку сравнения сходится и заданный ряд. Рассмотрим теперь случай, когда

В этом случае, начиная с некоторого значения будет выполняться неравенство Это значит, что т. е. члены ряда не убывают, а потому не могут стремиться к нулю (напомним, что все ). Поэтому ряд расходится.

Покажем, наконец, что при ряд может как сходиться, так и расходиться. Для этого заметим, что при любом значении имеем:

Поэтому для любого ряда вида выполнено равенство Но при этот ряд расходится, а при сходится. Пример 6.4. Докажем сходимость ряда Для этого ряда имеем

Значит, Так как то ряд сходится.

Другим признаком сходимости рядов с положительными членами, основанным на сравнении с суммой геометрической прогрессии, является так называемый радикальный признак сходимости Коши. Теорема 6.5. Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел Тогда: а) если то ряд сходится; б) если то ряд расходится; в) если то возможны как сходимость, так и расходимость ряда.

Доказательство. Пусть Выберем число такое, что Так как lim то, начиная с некоторого значения будет выполняться неравенство т. е. Значит, начиная с некоторого номера члены ряда меньше, чем члены прогрессии со знаменателем причем Так как сумма такой прогрессии—сходящийся ряд, то и заданный ряд сходится. Если то, начиная с некоторого, номера выполняется неравенство Из него следует, что т. е. что члены ряда не стремятся к нулю.

Поэтому ряд расходится. Легко убедиться, что при любом имеем По этому для рядов вида всегда Но такие ряды могут как сходиться, так и расходиться. Теорема доказана.

Интегральный признак сходимости Коши.

Во многих случаях члены рассматриваемых рядов не только положительны, но и монотонно стремятся к нулю.

Для таких рядов вопрос о сходимости часто решается путем сравнения ряда с несобственным интегралом. Напомним, что по определению несобственный интеграл сходится, если существует предел и равен в этом случае значению этого предела.

Если функция всюду имеет первообразную то где Таким образом, в случае существования первообразной для функции исследование сходимости эквивалентно исследованию предела при этом если предел существует и конечен, то интеграл сходится, а если предел равен или не существует, то интеграл расходится. Если несобственный интеграл сходится, то для любой последовательности стремящейся к оо, имеем: В случае, когда для сходимости интеграла достаточно существования хотя бы одной последовательности у такой, что и

Это вытекает из того, что при функция монотонно возрастает. В частности, при сходимость интеграла равносильна сходимости ряда: (6.1)

В самом деле, частичные суммы этого ряда имеют вид: а для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы существовал предел

Сформулируем признак сходимости рядов с монотонно убывающими положительными членами.

Теорема 6.6 (интегральный признак Коши). Пусть функция задана на луче непрерывна, положительна, монотонно убывает и стремится к нулю, когда Обозначим через Тогда ряд сходится в том и только том случае, когда сходится несобственный интеграл

Доказательство.

Так как функция монотонно убывает на отрезке то на этом отрезке выполняется неравенство т. е. Отсюда следует, что Если сходится интеграл то сходится и ряд (6.1), а тогда в силу признака сравнения рядов сходится ряд получаемый из данного ряда отбрасыванием слагаемого Значит, данный ряд сходится.

При этом имеет место неравенство где сумма данного ряда. Обратно, пусть сходится ряд По признаку сравнения сходится и ряд (6.1), т. е. интеграл При этом Мы доказали теорему, получив при этом следующее неравенство: В случае сходимости ряда эту формулу можно использовать и для его остатка Получаем: (6.2) где, напомним,

Пример 6.5.

Докажем, что ряд расходится при и сходится при

Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы 6.6, причем Значит, ряд сходится или расходится одновременно с интегралом Таким образом, для исследования сходимости ряда достаточно рассмотреть предел первообразной для функции при При Если то и потому В этом случае интеграл, а тем самым и ряд расходятся. Если же то и тогда В этом случае интеграл, а следовательно, и ряд сходятся. Наконец, при а так как то интеграл, а следовательно, и ряд расходятся.

Примеры исследования рядов на сходимость

Рассмотрим дальнейшие примеры на все признаки сходимости.

Пример 6.6.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Общий член ряда Заметим, что Но ряд с общим членом сходится (это геометрическая прогрессия со знаменателем По первой теореме сравнения заданный ряд сходится.

Пример 6.7.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Общий член ряда Необходимое условие сходимости ряда выполняется, но ряд расходится. Действительно,

Ряд с общим членом расходится (это гармонический ряд). Поэтому на основании первой теоремы сравнения и заданный ряд расходится. Замечание. Мы использовали неравенство

Для его доказательства рассмотрим функцию Ее производная —больше нуля при положительных значениях

Следовательно, на функция монотонно возрастает, а так как то она положительна на Полагая теперь имеем:

Пример 6.8.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Необходимое условие сходимости выполняется. Возьмем гармонический ряд (его общий член и рассмотрим предел Предел существует и отличен от нуля. Поскольку гармонический ряд расходится, то на основании второй теоремы сравнения заданный ряд также расходится.

Пример 6.9.

Оценим остаток ряда:

Решение:

Все члены ряда: начиная со второго, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии. Поэтому остаток меньше суммы этой геометрической прогрессии, которую обозначим т. е. Следовательно, Если, например, взять вместо суммы данного ряда частичную сумму то возникающая при этом погрешность и, таким образом, будет допущена ошибка, меньшая, чем

Пример 6.10.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда Поэтому и Ряд сходится. Заметим, что мы доказали также соотношение (общий член сходящегося ряда стремится к нулю).

Пример 6.11.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Как и в предыдущем примере, воспользуемся признаком Даламбера: При имеем и, следовательно, ряд сходится. При ряд расходится, так как При имеем Признак Даламбера формально не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, но поскольку в рассматриваемом случае стремится к пределу монотонно возрастая, то

Это означает, что и потому для каждого Таким образом, необходимый признак сходимости нарушается и ряд расходится. Итак, заданный ряд сходится при и расходится при

Пример 6.12.

Исследуем сходимость ряда:

Решение:

Так как в рассматриваемом случае легко найти то воспользуемся признаком Коши: Значит, ряд сходится. Отсюда следует, что, в частности,

Пример 6.13.

Докажем сходимость ряда и оценим погрешность при замене суммы ряда суммой первых десяти членов.

Решение:

Признаки Даламбера и Коши здесь не дают ответа на вопрос о сходимости ряда. Члены ряда положительны и монотонно убывают. Рассмотрим функцию При она положительна и монотонно убывает. При ее значения совпадают с соответствующими членами ряда. Согласно интегральному признаку Коши, данный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом Подстановка показывает, что Поскольку очевидно, что то интеграл, а следовательно, и ряд сходятся. Для оценки остатка воспользуемся формулой (6.2) Из нее следует, что Имеем:

Точно так же получаем: По таблице логарифмов находим, что

Пример 6.14.

Сколько членов ряда следует взять, чтобы вычислить сумму ряда с точностью до 0,002?

Решение:

Оценим величину

Имеем:

Так как то Поэтому нам нужно выбрать такое значение чтобы выполнялось неравенство Так как то достаточно решить нера венство Подбором находим