Поскольку точное значение суммы ряда
удается вычислить далеко не всегда
(такие задачи были нами рассмотрены),
возникает проблема приближенного
вычисления суммы ряда с заданной
точностью.
Напомним, что
-ый
остаток ряда
получается из исходного ряда
отбрасыванием первых
слагаемых:
.
Тогда, поскольку для сходящегося ряда
,
остаток сходящегося ряда равен разности
между суммой ряда и
-ой
частичной суммой:
,
и для достаточно больших
имеем
приближенное равенство
.
Из определения остатка ряда следует,
что абсолютная погрешность при замене
точного неизвестного значения суммы
его частичной суммой
равна модулю остатка ряда:
.
Таким образом, если требуется вычислить
сумму ряда с заданной точностью
,
то нужно оставить сумму такого числа
слагаемых, чтобы для отброшенного
остатка ряда выполнялось неравенство:
.
Метод приближенного вычисления суммы
выбирается в зависимости от вида ряда:
если ряд положительный и может быть
исследован на сходимость по интегральному
признаку (удовлетворяет условиям
соответствующей теоремы), то для оценки
суммы используем формулу
;
если это ряд Лейбница, то применяем
оценку:
.
В других задачах можно использовать
формулу суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Задача №1. Сколько нужно взять
слагаемых ряда
,
чтобы получить его сумму с точностью
0,01.
Решение.Прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Рассмотрим
-ый
остаток ряда, который и является
погрешностью вычислений суммы ряда:
.
Оценим этот ряд с помощью бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Для этого заменим в каждом слагаемом
множитель
на
,
при этом каждое слагаемое увеличится:
После вынесения общего множителя за
скобку, в скобке остался ряд, составленный
из членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумму
которого мы и вычислили по формуле
.
Заданная точность будет достигнута,
если
будет удовлетворять условию
.
Решим неравенство, учитывая, что
—
целое.
При
имеем
.
При
имеем
.
В силу монотонности функции
,
неравенство
будет выполняться для всех
.
Следовательно, если вместо точного
значения суммы мы возьмем первые пять
(или более) слагаемых, то погрешность
вычислений не превысит 0,01.
Ответ:
.
Задача №2. Оценить ошибку, получаемую
при замене суммы ряда
суммой
первых 100 слагаемых.
Решение.Заметим, что данный ряд
является сходящимся и знакопеременным.
Оценивать будем ряд
,
состоящий из модулей исходного ряда,
что сразу увеличивает погрешность
вычислений. Кроме того, нам придется
перейти (используя признак сравнения)
к большему, более простому сходящемуся
ряду:
.
Рассмотрим ряд
.
Поскольку этот ряд удовлетворяет
условиям теоремы – интегрального
признака сходимости, то для оценки
погрешности вычисления суммы используем
соответствующую формулу:
.
Вычислим несобственный интеграл:
,
погрешность вычислений можно оценить
по формуле
,
по условию
,
тогда
.
Ответ:
.
Задача №3. Оценить ошибку,
получаемую при замене суммы ряда
суммой
первых 10 слагаемых.
Решение.Подчеркнем еще раз, что
задача о приближенном вычислении суммы
имеет смысл только для сходящегося
ряда, поэтому, прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Поскольку исследуемый
ряд является знакопеременным со сложным
правилом изменения знака, то оценивать
придется, как и в предыдущем примере,
ряд из модулей данного ряда:
.
Используя тот факт, что
при любом значении аргумента, имеем:
.
Оценим остаток ряда:
.
Мы получили ряд, составленный из членов
бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, в которой
,
его сумма равна:
,
.
Ответ:
.
Задача №4. Вычислить сумму ряда
с
точностью 0,01.
Решение.Данный ряд является рядом
Лейбница. Для оценки погрешности верна
формула:
,
другими словами, погрешность вычислений
меньше модуля первого отброшенного
слагаемого. Подберем номер
так, чтобы
.
При
имеем
.
При
имеем
.
Погрешность
,
если в качестве значения суммы возьмем
сумму первых четырех слагаемых:
.
Ответ:
.
Соседние файлы в папке Ряды
- #
- #
- #
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
|
Заголовок сообщения: Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
|
|||
|
ЗАДАНИЕ: Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой первых n членов.
|
||
| Вернуться к началу |
|
||
 |
Добавлено: 11 дек 2020, 03:38 
|
sergebsl |
Заголовок сообщения: Re: Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
|
|
Пусть ряд сходится к некоторому числу S: [math]S = sumlimits_{n=1}^{ infty } (-1)^{n} cdot frac{ 3n^{2} }{ (n+2)! }[/math] Частичная сумма будет равна сумме n первых членов ряда: [math]S_n = sumlimits_{k=1}^{n} (-1)^{k} cdot frac{ 3k^3 }{ (k+2)! }[/math] Абсолютная ошибка (отклонение) для n-й частичной суммы равна: [math]Delta _n =left| S — S_n right|[/math] Относительная: [math]delta _n = frac{ Delta _n }{ S }[/math] При [math]n to 0[/math] [math]Delta_n to 0[/math] и [math]delta_n to 0[/math]
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Oleg198gg |
Заголовок сообщения: Re: Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
|
|
michel писал(а): Формула для абсолютной ошибки знакопеременного ряда [math]a_{n}[/math], обрываемого после [math]n[/math] члена: [math]Delta _n<left| a_{n+1} right|[/math]. Не могли бы Вы объяснить подробнее, как её применить в моём случае?
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
|
Oleg198gg |
Заголовок сообщения: Re: Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
|
|
swan писал(а): michel писал(а): Формула для абсолютной ошибки знакопеременного ряда [math]a_{n}[/math], обрываемого после [math]n[/math] члена: [math]Delta _n<left| a_{n+1} right|[/math]. Я поправлю, это формула ошибки для монотонного знакопеременного ряда. То есть сперва надо выяснить, начиная с какого номера ряд становится таким. Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, начиная с n=2
|
|
| Вернуться к началу |
|
|
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
где а1, а2, а3, … , ап — положительные числа.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.
Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при п ® ¥.
Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, — это погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.
Пример 5.10. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:
и общий член при п ® ¥ стремится к нулю:
то в силу признака Лейбница ряд сходится.
Пример 5.11. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
суммой четырех первых его членов.
Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится (см. задачу 5.10). Ошибка DS4, получающаяся при замене суммы S этого ряда суммой четырех первых его членов, меньше абсолютного значения пятого члена: DS4 < 0,2.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Сумма ряда.
Пример 1:
Найти сумму ряда
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Вычислить сумму ряда с точностью до Δ:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид 
— знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница) и погрешность при отбрасывании остатка ряда не превышает по абсолютной величине первый отбрасываемый член.
Вычисляем члены ряда:
Вычисления прекращаем, получаем сумму ряда с заданной точностью:
Пример 3:
Вычислить при любом натуральном n:
Решение от преподавателя:
Выразим сумму n-ого и (n+2)-го члена суммы:
Таким образом, имеем тождества:
Просуммируем все левыые и правые части:
Таким образом, мы имеем формулу для нахождения суммы ряда для любого n.
Пример 4:
Найдите сумму ряда:
Решение от преподавателя:
Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑anxn
где an — формула числовых коэффициентов. Для данного ряда: 
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где: 
R — радиус сходимости. Вычислим его: 
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-1;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд: 
Это знакочередующийся числовой ряд который сходится согласно признаку Лейбница.
При x = -1
получаем ряд: 
Это знакочередующийся числовой ряд, который сходится согласно признаку Лейбница.
То есть функциональный рядсходится при x∈[−1;1]
Чтобы вычислить сумму ряда, преобразуйте его следующим образом:
Во-первых, докажем, что данный ряд сходится. В самом деле, ряд 
является знакочередующимся рядом, члены которого по модулю не возрастают
и 
.
По теореме Лейбница данный ряд сходится к некоторому числу S
Пример 5:
Найти сумму ряда
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Доказать, что при любом n > 1, сумма ряда больше 0,5 и меньше 0,75.
Решение от преподавателя:
Проверим для Sn
Таким образом, по методу математической индукции исходрное утверждение доказано.
Пример 7:
Вычислить при любом натуральном n:
Решение от преподавателя:
Выразим сумму n-ого и (n+2)-го члена суммы:
Таким образом, имеем тождества:
Просуммируем все левыые и правые части:
Таким образом, мы имеем формулу для нахождения суммы ряда для любого n.
Пример 8:
Решение от преподавателя:
Пример 9:
Оценить ошибку, получаемую при замене суммы ряда 
суммой первых 100 слагаемых.
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Найти сумму ряда:
Решение от преподавателя:
Предположим, что
Приведем правую сторону к общему знаменателю:
Приравниваем получившееся значение к первоночальному, получаем:
Знаменатели дробей равны, следовательно равны и числители:
Получаем систему уравнений:
Зная численные значения А и В, имеем:
Тогда сумма ряда равна:
Получаем верную формулу, следовательно:
Пример 11:
Сколько нужно взять слагаемых ряда 
, чтобы получить его сумму с точностью до 0,01?
Решение от преподавателя:
Погрешность суммы ряда не превышает по модулю первого отброшенного члена ряда. Поэтому находим искомое число членов ряда:
Поэтому начиная с k = 10-го члена ряда соответствующие члены ряда можно отбросить. Следовательно, необходимо взять m = 9 членов ряда, чтобы получить его сумму с точностью до 0,01.
Пример 12:
Найти сумму ряда:
Решение от преподавателя:
Используем формулу арифметической прогрессии:
Получим, что
Тогда имеем тождество:
Докажем верность для (n+1) равенства:
Значит, сумма такого ряда:
Пример 13:
Найти сумму ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 14:
Найти сумму ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 15:
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Решение от преподавателя:
Пример 17:
Вычислить сумму ряда с заданной точностью ε.
Решение от преподавателя:
Дифференцирование степенных рядов. Исследование сходимости ряда
Страницы работы
Фрагмент текста работы
Пример
1
∞ 1
n−1
Дан сходящийся ряд ∑
(−1) 2
.
Оценить ошибку,
n=1 n
допускаемую
при замене суммы этого ряда:
1)
суммой
первых трех его членов
2)
суммой
первых его четырех членов Решение.
1)
Из формулы S = Sn + rn находим
S = S3
+
r3
. Или
S
=
1−
+ 
+
r3.
Откуда S = 
+
r3.
По теореме Лейбница . Значит | r3 |<
a4
или | r3 |< 
=
.
Так
как r3 = −
+ 
−…..+,
то r3 < 0
|
(см. т. Лейбница) Для ряда вида − a1 |
||
|
Тогда |
S |
с избытком. |
или сумма 
2)
Аналогично S = S4
+
r4.
Или S 
.
Откуда
S = 
+
r4.
Далее| r4 |< a5
или | r
.
Так
как r4 = +
−…..+,
то r4 > 0. Значит, сумма ряда
с недостатком
Пример 2
∞ n−1
1
Проверить, что ряд ∑
(−1)
сходится.
n=1 n
Сколько нужно взять
членов ряда, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01 ?
Решение.
1)
Ряд
сходится, так как все условия т. Лейбница выполнены.
2) Так
как S = Sn + rn
и верна оценка , то
1
требуемое
n найдем из условия: an+1
=<
0,01.
n +1
1
Из
уравнения = 0,01 находим n =
9999
n +1
Итак,
| r9999 |< 0,01 причем 0 <
r9999 < 0,01. Значит
S
=
S9999
+
r9999
или S ≈ S9999
с недостатком.
Пример 3Сколько нужно
взять членов ряда
∞ n−1 n
∑ (−1) n
, чтобы вычислить его сумму с n=1 (2n
+1)5
точностью до 0,01 ?
1)
Ряд сходится по т. Лейбница 2) a
,
a
. Значит, надо взять два члена ряда
S = S2
+
r2,
или
,
(с недостатком, так r2 > 0)
Пример 4 Найти сумму
ряда
1+
2x
+3x2
+
4x3
+…+…(|
x |<1)
Применим дифференцирование степенных
рядов.
Рассмотрим
геометрическую прогрессию
1+
x
+
x2
+
x3
+…+…
= 
1
при (| x |<1)
1− x
Дифференцируем
этот ряд
(1+
x
+
x2
+
x3
+…+…)′
= (
1 ′
Применим интегрирование степенных рядов.
Рассмотрим
геометрическую прогрессию
1+
x
+
x2
+
x3
+…+…
= 1
при (| x |<1)
1− x
Интегрируем
этот ряд
x 2 3 x 1
∫(1+
x
+
x
+
x
+…+…)dx
=
∫ dx.
0 0
1−
x
Отсюда
x
),
Ряд
сходится при −1 ≤ x < 1 !
k
⎛
k
+1
⎞
Здесь an =
0
при n = 2k −1
и an = ⎜ 
⎟
при n = 2k ⎝2k
+1⎠
Находим
1 1 ⎛2k
+1⎞
R
= = =
lim ⎜ ⎟ = 2
nlim→∞
n
|
an | lim 2k
⎛⎜
k
+1
⎟⎞k k→∞ ⎝
k
+1
⎠
k→∞ ⎝2k
+1⎠
При
x − 2 = 2
имеем числовой ряд
k
⎛ ⎞
∞ ⎛
k
+1
⎞k ⎜
k
+1
⎟ ∞
⎛ 1 ⎞k
∞
∑
⎜ ⎟ 2k
= ∑ ⎜ ⎟ = ∑ ⎜1+
⎟ k=1
⎝2k
+1⎠
k=1
⎜⎜k
+ 1
⎟⎟
k=1 ⎝
2k
+1⎠
⎝ 2
⎠
Так как
k
k
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
lim⎜1+ ⎟ =
lim⎜1+ ⎟= e
≠
0
k→∞⎝ 2k
+1⎠ k→∞⎝ 2k
+1⎠
то
ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.
Аналогично, при x −
2
=
− 2
ряд расходится.
|
Итак, |
2− |
|
|
— |
2 <
2
Среди
различных аналитических аппаратов исследования функций первое место по своей
простоте и удобству употребления занимают степенные ряды. Идея проста: функция, которую мы хотим изучить,
представляется как предел частичных сумм простейших степенных функций.
Пусть
задана f (x) в окрестности точки x =
x0
.
Предположим,
что f (x) разлагается в ряд по степеням
(x
−
x0
):
т.е. ряд имеет вид f (x) = a0
+
a1(x
−
x0
)
+
a2
(x
−
x0
)2 +..+
an
(x − x0
)n +…(1) с
радиусом сходимости R, (| x − x0
|<
R)
Этот
ряд на интервале сходимости | x − x0
|<
R
можно дифференцировать бесконечно число раз:
f ′(x)
=
a1
+
2⋅a2
⋅(x
−
x0
)+3⋅a3
⋅(x
−
x0
)2..+
n⋅an
⋅(x −
x0
)n−1…
f
′′(x)
=
2⋅1⋅a2
+3⋅2⋅a3(x
−
x0
)
+..+
n⋅(n
−1)⋅an
⋅(x −
x0
)n−2…
………………………………………………………………
f
(n)(x)
=
n⋅(n
−1)⋅…⋅1⋅an
+ (n +1)⋅n⋅…⋅3⋅2an+1
⋅(x
−
x0)
+…
Положим
в каждом равенстве x = x0.
Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:
f
′(x0
),
a = f ′′(x0
),…a
=
f
(n)
(x0
)
a0 = f (x0
) a1 = 2
n ,.
1! 2! n!
Итак,
если функция f (x) разлагается в ряд по степеням
(x
−
x0
),
то этот ряд имеет вид
|
|
||
|
f
|
(2) |
f
(x −
+ 0|
Определение. |
Степенной ряд вида (2) f
рядом Маклорена. |
|
|
Тейлора f |
f ′(0)x
x (3)Разложение
в ряд Тейлора (Маклорена) было получено в предположении, что f (x)
разлагается в ряд.
Теперь откажемся от этого предположения.
Будем считать только, что f (x) имеет производные любого порядка
при x = x0(бесконечно
дифференцируема).
|
Составим |
|
(*) |
|
Ниоткуда не следует, вообще говоря, что этот ряд |
⎧ −
1
⎪e
x2 ,x ≠
0
(Ряд Маклорена ≡ 0!!!)
Упр.*
f (x) = ⎨
⎪⎩0,x
=
0
Вопросы:
1)
при
каких условиях этот формальный ряд (*) сходится?
2)
если
сходится, то будет ли его сумма S(x) совпадать с функцией f (x),
его породившей?
|
(дост. ,….)то ее ряд Тейлора сходится к самой f (x) |
||
|
Если ограничены одним (n = 0,1,2 для любого Если разложение |
Остаточный
член ряда Тейлора.
Обозначим
Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора
(n)
f (x0
) n
Tn
(x) = f
(x0
) +
f
′(x0
)(x − x0
)
+…+ (x
−
x0
)
n!
Остаточным членом ряда
Тейлора называют разность
Rn(x)
=
f
(x)−Tn(x)
Таким
образом, имеет место формула Тейлора
(n)
f (x
f (x)
=
f
(x0
)+ f ′(x0
)(x − x0
)+…+ 0
)(x −
x0
)n +
Rn
(x)
n!
Важно
знать, как устроен остаток Rn (x) !!!
|
Если функция f
|
||
|
(n+1)-го |
,При
n = 0 из формулы Тейлора
имеем
f (x)
= f (x0) + f ′(ξ)(x − x0) -формула Лагранжа При n =
1
имеем
f
′′(ξ)
f
(x)
=
f
(x0)
+
f
′(x0)(x
−
x0)
+ (x
−
x0)2
2!
Если отбросить остаточный член, то получимf
(x)
≈
f
(x0)
+
f
′(x0)(x
−
x0)2
— формула для вычисления приближенного значения через дифференциал
Само по себе выражение
для Rn(x) не дает
возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ
,
в которой вычисляется f (n+1)
(x).
Удобно
пользоваться следующей оценкой : если производную f (n+1)
(x)
удовлетворяет условию
для некоторого числа M n+1,
то
|
| x − x | Rn |
|
Этой
формулой можно пользоваться для оценки точности аппроксимации функции f
(x)
ее многочленом Тейлора Tn(x).
Разложение некоторых элементарных функций
в степенные ряды
Выпишем теперь разложение в степенные ряды Маклорена
(при x0 = 0) некоторых
элементарных функций:
1)
f (x) = ex
Имеем
f ′(x) =
ex
,….., f (n) (x) =
ex
,………
Следовательно,
при x0 = 0
ex
=1+
x
+
x2
+…+
xn
+… 2! n!
Найдем
радиус сходимости этого ряда
an |=
lim n! =
lim 1 =
0
или R = 1 =
∞
l
=
lim
|
n→∞
an+1 n→∞
(n
+1)! n→∞
n
+1 l
Значит,
ряд в правой части сходится на всей оси (−∞,+∞).
Если взять промежуток вида [−N,+N],
где N -произвольно, то для ∀x∈[−N,
N] имеем оценку | f (n) (x)
|≤
eN
= M,∀n
=
0,1,2,3….
Согласно теореме (достат. условие) функция f (x)
=
ex
разлагается в ряд Маклорена на всей оси (−∞,∞)
так как N -произвольно.
Интересно
заметить, что при x = 1 получаем
1 1 e =1+1+ 
+…+
+…
2! n!
2)
f (x) = sin x
Вычислим
f
′
),
f
′′′
),…,
f 
f
(0)
=
0,
f ′(0) =1,
f ′′(0) =
0,
f ′′′(0) =
−1,…,
Отсюда f (2n)
=
0,
f (2n−1)
=
(−1)n−1
Тогда
Можно
показать, что радиус сходимости ряда R = ∞
Так
как | f 
x,
то ряд сходится к
функции sin x на всей оси.
На
рис. 3 изображен жирной линией график функции
Y1 =
sin
x,тонкими
линиями его приближение одним членом ряда Маклорена Y2 =x,
приближение четырьмя отличными
4
2 4 6 n 2n x
x x (−1) x cos x
=1−
+ − +…+
+…
2! 4! 6! (2n)!
Данные
разложения верны для x∈(−∞;+∞).
Данное
разложение верно при x∈(−1;+1)и,
может быть
Похожие материалы
- Примеры задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
- Основные математические определения, факты и теоремы. Алгоритмы решения практических задач
- Описание, объяснение и предсказание явлений действительности на основе установленных законов
Информация о работе
1) Нужно найти такое $%N$%, что остаток ряда, то есть $%sumlimits_{n=N+1}^{infty}a_n$%, будет меньше $%varepsilon=0,01$%. Тогда в качестве приближения берутся первые $%N$% членов.
Подбор подходящего значения $%N$% осуществляется при помощи оценок. Сразу видно, что числа в знаменателях растут очень быстро, и количество членов не должно быть большим. При $%n=3$% знаменатель уже равен $%3^5=243$%, поэтому имеет смысл взять $%N=2$% и получить оценку сверху для остатка ряда, то есть для $%a_3+cdots+a_n+cdots=frac1{3^3}(frac1{3^2cdot1}+frac1{4^2cdot3}+frac1{5^2cdot3^2}+cdots)$%. Оценки достаточно совсем грубой: например, выражение в скобках меньше суммы бесконечной геометрической прогрессии $%frac1{3^2}+frac1{3^3}+cdots=frac16$%, и остаток ряда меньше $%frac1{162} < 0,01$%.
То есть берём два слагаемых, и получаем приближённое значение суммы ряда, равное $%a_1+a_2=frac13+frac1{36}=frac{13}{36}=0,36111…$%. (Точное значение суммы равно $%0,36621323…$%).
2) Здесь также нужно оценить (по модулю) остаток ряда. Заменяя косинусы на единицу, получаем, что точность не хуже, чем $%sumlimits_{n=11}^{infty}frac1{n^3}$%. Здесь можно воспользоваться тем, что $%n^3 > n^3-1=(n-1)n(n+1)$%, а значение суммы ряда $%frac1{10cdot11cdot12}+frac1{11cdot12cdot13}+cdots$%, выступающего в качестве верхней оценки, можно найти точно. Действительно, $%frac1{(n-1)n(n+1)}=frac12(frac1{(n-1)n}-frac1{n(n+1)})$%, поэтому сумма равна $%frac1{2cdot10cdot11} < frac1{200}$%.
~ л=1 2485. ~~’ 2″ л=1 л=1 в то время как с помощью признака Коши можно установить, что этот ряд сходится. 2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно: !гл.
тп! 296 гады 2489. ~~~, 2490. ~, ! р’л+! (л+0 и’ л »» »» 249$. хэп .. 2492. з ‘ с ! (л+(2л — 1) !]! ‘ » с-‘ 1л(3 — 20 — 3! ~ ! 1 2495. Между кривыми у= — „, и у= —,, справа от точки их пересечения, построены отрезки, параллельные оси О)’ и отстоящие один от другого иа одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин этих отрезков конечной? 2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла речь в предыдущей задаче, если кривую р= †, заменить 1 л’ 1 кривой у= — „? 2495.
Составить сумму рядов ~~), —, и ~~~ „. Схол=! и=! дится ли эта сумма? Ф »Э ч-» 1»;» 2496. СОСтаВИтЬ раЗИОСтЬ раСХОдящнХСя рядОВ ? — И ч ~л2л — 1 ~п 2п и=! п=! и исследовать ее сходимость. 2497. Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда — из ряда ~~~ — „? а=! и= ! 2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а разность расходилась. 2499.
Составить произведение рядов ? — и ~~’„ — „ 1 1 ! л $’ л Сходится ли это произведение? 2500. Составить ряд ~1+ — + — +… +-„— 2+… ?! . Схо- 1 1 1 1! дится ли этот ряд? 2501. Дан ряд — 1+ —,— —,+… + — „, +… Оценить 1 1 ( — 1)» ошибку, допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаках этих ошибок? 2502л, Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых а членов. 297 Функционллштые Ряды 2503.
Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1 ! 1 !+ — + — +- + — + 2! 31 Ш суммой его первых и членов. В частности, оценить точность такого приближения при п =- 10. 2504*»‘. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1, 1 1 +2е ‘ за+»’+из+»’ суммой его первых и членов. В частности, оценить точность такого приближения при и =.-1000. 2505**.
Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1+2(4) +3(4) +… +п(-‘)» *+… суммой его первых и членов. Чп ( !)и-1 2505. Сколько членов ряда у нужно взять, чтобы п п=! вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? и 2507. Сколько членов ряда,т —, нужно взять, чтобы (йп 1)б. «=! вычислить его сумлгу с точностью до 0,01? да 0,001? до 0,0001? 1, 1 1 1 250()*. Найти сумму ряда — + — + — + .. + — + ! .2 2.3 3.4 ‘ ‘ ‘ п(п -1-1) 2500. Найти сумму ряда ,’/’х а-(;/х — )Г’х) -.,’- (1, ‘х — )к/’х) +… +(‘»‘)~/’х —» ~!/ хх)+… 9 2.
Функциональные ряды Область сх одимостн. Множество значений аргумента х, для ко!орых функциональный ряд 1! (х)+)х (х)+ 1-1. (х)+ «. (1) сходится, называется облаопыо схадимосжи зтого ряда. Функция 5(х)= 1сш 5„(х), где 5п(х) =гг(х) г!е(х)+… +)п(х), а х принадлежит области скодимости, казы «ается суммой ряда,’ а ‘)гп (х)=5 (х) — 5„(х) — осгпагпхом ряда. В простейших случаях для определения области скодимостн ряда (1) ласта!очно применить к атому ряду изаестпые признаки сходнмости, считая х фп!,сироеаиныл!.
П р имер !. Определять область с>одимости ряда 1)е (» 1 !)э (х.( 1)и (2) 298 1гл. в!!! РЯДЫ Р Е Ш Е Н И Е. ОбОЗНЗЧВВ ЧЕРЕЗ ил Общнй ЧЛЕН ряда, будЕМ ИМЕтщ (и„+,! !. (х+1!л~ ‘2″л (х+! ! л л )вл ( л йл+г (л+1) (х+1 (‘ 2 На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (н !х+1! притом абсолютно), если < 1, т. е. прн — 3 < х < 1; ряд расходится, если !х+1( 2 > 1, т.
е. если — лл < х < — 3 нли 1 < х < лл (рис. 104). Прн -ю -У Ю 7 Рнс, 104. 1 1 х=! получаем гармоннческнй ряд 1+ — + — +…, который расходится, а 2 3 1 1 при х= — 3 — ряд — 1+ — — — +…, который (в соответствии с признакои 2 3 Лейбяица) сходится (неабсолютно). Итак, ряд сходится прн †3 < 1.
2′. Степенные р яды. Для всякого стеленного ряда с,+с, (х — а)+с, (х — а)’+… +сл(х — а)л+… (3) (сл и а — действительные числа) существует такой интервал (илааерапл сходимлсши) (х — а( < )1 о центром в точке х:=а, внутри которого ряд (3) сходится абсолютно; при (х — а) > !! — ряд расходится. Радиус скодилосюи !! может быть в частныв случаях равен также 0 и ю. В концевых точках интервала сходвмости х=аш А’ возможна кав сходимость, твк и расходнмость степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью прианаков Даламбера влн Коши, применяя их к ряду, членами которого явлвютсз абсолютные величины членов данного ряда (3). Применив к ряду абсолютных величин (са(+) с,((х — а(+… +(сл((х — а!л+.,„ признаки сходимости Коши и Даламбера, получим для радиуса сходнмоств степенного ряда (3) соответственно формулы )1= л н )1= Вш 1 ! сл Вщ ~Г(с,( л л Сл+ь Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как, пределы, стоящие в правых частях этик формул, часто не существуют.
Тзк, например, если бесконечное множество коэффициентов сл обращается в нуль (зто, в частности, имеет место, если ряд содержит члены тольно с четными нли только с нечетными степеннми (х — а)), то зольэоваться указанными формулзмн нельзя.
В связи с этим рекомендуется прн определении интервала сходнмости применять признаки Даламбера мзн Коши непосредственно, как это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходнмости. Если а=х+ (у — комплексное переменное, то для степенного ряда се+от (з — а,)+с, (а — гэ)~+… +сл(з — ге)л+… (4) 299 ФУНКНИОНАЛЬНЫП РЯДЫ членами которого являются модули членов данного ряда.
Так, и!пример, с помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда г+1 (г+1)о (г+ !)з (г+1)« определяется неравенством [а+11< 2 (достаточно повторить приведенные иа стр. 293 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда (2), заменив лишь х на г). Центр круга сходимости находится з тачке г = — 1, а радиус В этого круга (радиус сходимости) равен 2.
3′. Ран номер н а я с ходи масть. Функциональный ряд (1) сходится на некотором промежутке равномерно, если, каково бы нн было е > О, можно найти такое <У, не зависящее от х, что ири и > <У для всех х из данного промежутка имеет место неравенство [ Й«(х) [ < е, где )7«(х) — остаток данного ряда, Если 1/„(х)[о с (и=!, 2, …) при ао х«Ь и числовой рид ~~ с и=! сходится, то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, Ь[ абсолютно и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно н равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3)можно почлеано дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при [х — а [ < )г), т. е. если си+со(х — а)+со (х — а)о+… +с«(х — и)» +…
=Г(х), (5) то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем. со+ 2«о (х — и) + … + лсл (х — и)и -! + … = 1′ (х), « « « со<(х+ ~ с! (х — а) <(х+ ~ со(х — а)'<(х+… + ~ сл (х — и)» <(х+… «о «, оо Ю « сл +1 — — ) 7′(х) <(х + 3 (х — а)л+’ — (хо — а)» +’ !». и+1 «=О «4 (6) (7) (чнсло х, также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)).
При этом ряды (6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, чта и ряд (3). Найти область сходимости ряда 2510. ~, — „. 2511. и=! 2512. ~~~ [ — 1)»+т —,„, . 2513. л«! и!и» М ( 1)«+! и=! 5!п(2и — 1) х (2и — 1)о и=! (ел=а«+1Ьл го=хо+!уо) существует некоторый круг (круг схидилости) ! г — го [ < Й с центром в точке г = го, внутри которого ряд < ходится абсолютно; при [г — го! > <2 рнд расходится. и точках, лежащих на самой окружности круга схадимости, ряд (4) может кан сходиться, так н расходиться. Круг сходимостн обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к ряду [ со [+ [ с, [.
) г — го [+ [ с, 1. [ г — го Р+ .. + [ с„[ [ г — го [« -1-…, !гл. ч!и РЯДЫ 251бии 2517. 2519. 2521. 2523. 2525. ~), х», Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходнмость на концах интервала сходимости: 2527,. 2526. 2529. 2531, 2530! 2533. 2532, 2534. 2535. 2537. 2536. 2539.
2538. 2541. 2540. п=1 2514.,~„2« а4п а,, п«О 2516. ~Х» ( — 1) -е-«1″. «=О ~51~. ~» — „,’,„. и=! 2520. л=! И л=! 2524п.~~~,’ (Хи+ 2«хи ). к=! хи и О п=! л=! ( — 1)и(2л+])ихи, л=О ~~~, л!х». «=! ~( — «». Г ‘»» З~и~ л (Х)л «=О Ф «=1 Х 1 (2« — !)ки ‘ Е 2«-!- ! (л+ !)~хил «=ΠŠ— «„».. л=! л и=! и=! Е (Л + !)И Иии 2«+ ! Ф и=! Е%. л=! ~, 3″ хп. л=О л=! ~, хи’. 301 ФУНК!(ИОНЛЛЬНЫЕ РЯДЫ $2! 2542** 2544* 2548 2550 2552 2556 2560 2562 Определить круг сходимости: Ф Ф 2564.