Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30

8.49. Срок службы батареек для слуховых аппаратов приблизительно подчиняется экспоненциальному закону с λ =112 . Какова доля батареек со сроком

службы больше чем 9 дней?

Ответ: P(T >9)= 0,47237 .

8.50. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ = 0,25 дня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней.

Ответ: P(T > 7)= 0,17399 .

8.51. Компьютерный программист использует экспоненциальное распределение для оценки надежности своих программ. После того, как он нашел 10 ошибок, он убедился, что время (в днях) до нахождения следующей ошибки подчиняется экспоненциальному распределению с λ = 0,25 . Найти среднее время, потраченное для нахождения первой ошибки; определить вероятность того, что для нахождения первой ошибки понадобится более 5 дней; найти вероятность того, что на нахождение одиннадцатой ошибки потребуется от 3 до 10 дней.

Ответ: М (Х) = 4; P(T >5)= 0,8825; P(3 <T <10)= 0,148955 .

8.52.Случайная величина Х распределена по показательному закону: р(х) =

=0 при х < 0, p(x)= 6e−6x при x ≥ 0 . Найти математическое ожидание, диспер-

сию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величины Х в ин-

тервал (0,2; 1,1).

Ответ: М (Х) = 1/6; D(X )=1/ 36 ; σ(X )=1/ 6 ; F(x)=1 − e−6x ;

P(0,2 <T <1,1)= 0,512 .

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ2 , если ее плотность вероятности имеет вид

p(x)=		1	e−	(x−a)2
	2у2 .
σ	2π

109

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или га-

уссовой кривой.

На рис. 8.14 приведены нормальная кривая р(х) с параметрами а и σ2 , т.е. N (a;σ2 ), и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон

	р(х)				F(х)
	1				1
σ	2π

1
σ	2πe				0,5
	0	а-σ	а	а+σ	0	а	х
	х

Рис. 8.14

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет мак-

симум в точке х = а, равный σ 12π , и две точки перегиба x = a ± σ с ординатой

1 .

σ2π e

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

M (X )= a , D(X )= σ2 .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле

F(x)=

x − a

Ц(x)=

где

∫e 2 dt .

2π 0

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в ин-

тервал [α,β]определяется формулой

P(α ≤ X ≤ β)=

β −a

α −a

−Ц

110

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит величину ε > 0 (по абсолютной величине), равна

P((X −a )≤ε)=Ц ε .

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и у2, т.е. N (a;σ2 ), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a −3σ; a + 3σ)

P((X − a )≤3σ )=Ц(3)= 0,9973 .

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

p(x)= 6 12π e−(x72−1)2 .

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Решение. Сравнивая данную функцию р(х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 1 и σ = 6.

Тогда M (X )=1, σ(X )= 6 , D(X )=36 .

Функция распределения случайной величины Х имеет вид

F(x)= 12 + 12Ц x 6−1 .

Пример 8.24. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение. Так как а = 15 и у = 0,2 , то

111

P(X ≤15,3)= F(15,3)= 1 +	1		15,3 −15		= 1	+	1 Ц(1,5)	=	1	+ 1	0,8664 = 0,9332,
Ц
				2		2		0,2				2	2			2	2
		P(X ≥15,4)=1 − F(15,4)=1 −		1			1			15,4 −15		1		1	Ц(2)=
			+				−
			2	2	Ц	0,2			=	2	2

		= 1	− 1 0,9545 = 0,0228,
		2	2
P(14,9 ≤ X ≤15,3)=	1		15,3 −15			14,9 −15	=	1	[Ц(1,5)+Ц(0,5)]=
2	Ц	0,2	−	Ц			0,2		2

=	1	(0,8664 + 0,3829)=	0,6246.
2

По «правилу трех сигм» P(X −15 ≤0,6)=0,9973 и, следовательно, 15 − 0,6 ≤

≤ X ≤15 + 0,6 . Окончательно 14,4 ≤ X ≤15,6 .

Пример 8.25. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с σ = 0,4 мм?

Решение. Найдем вероятность отклонения при σ = 0,4 и ε = 0,8:

P(X − a ≤ 0,8)=Ц 0,8 =Ц(2)= 0,9545.0,4

Считая приближенно р = 0,95 и q = 0,05, в соответствии с формулой

np − q ≤ m0 ≤ np + p,

где m0 — наивероятнейшее число, находим при n =150 150 0,95 − 0,05 ≤ m0 ≤150 0,95 + 0,95,

откуда m0 =143.

Пример 8.26. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием а = 2,5 см и средним квадратическим отклонением σ = 0,01см. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

112

Решение. По «правилу трех сигм» P(X − 2,5 ≤3 0,01)= 0,9973 . Отсюда

2,5 − 0,03 ≤ m0 ≤ 2,5 + 0,03 , т.е. 2,47 ≤ X ≤ 2,53 .

Пример 8.27. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от

170 до 180 см.

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу (170;180):

P(170 < X <180)=	1			180 −175	170 −175	1	[Ц(0,83)+Ц(0,83)]=
	Ц			−Ц	=
2	6	6	2

=Ц(0,83)= 0,5935 ≈ 0,6.

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интер-

валу (170; 180) q = 1 — 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна

P =1 − q5 =1 − 0,45 = 0,9898 .

Пример 8.28. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром d1 , но про-

ходит через отверстие диаметром d2 > d1, то его размер считается приемлемым.

Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика d есть случайная величина с характеристиками

M (X )= d1 +2 d2 и σ(X )= d2 4− d1 . Определить вероятность того, что шарик бу-

дет забракован.

Решение.

P =1 − P(d1 < d < d2 )=1 −

− M (X )

−Ц

− d

=1 −

−Ц

2σ

Так как Ц(− x)= −Ц(x), то P =1 −

− d

=1 −Ц(2)=1 − 0,9545 = 0,0455.

2σ

113

Задачи для самостоятельного решения

8.53. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее

плотность распределения вероятностей задана функцией p(x)= 181 π e−(x18+2)2 .

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Ответ: M (X )= −2;	D(X )=9;	F(x)=	1	1	x + 2
	+		Ц	.
2	2	3

8.54. Независимые случайные величины Х и Y распределены нормально, причем M (X )= 2 , D(X )= 4 , M (Y )= −3, D(Y )=5 . Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ: p(x)=	1		−(x+1)2		F(x)=	1	1	x +1

			e 18	;		+	Ц		.
3	2π	2	2	3

8.55. Случайная		величина	Х распределена	по	нормальному закону с

M (X )=10, D(X )= 4 . Найти: а) P(12 < X <14); б) P(8 < X <12). Ответ: а) 0,1359; б) 0,6827.

8.56. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

Ответ: а) P(X ≤ 470)= 0,002; б) P(500 ≤ X ≤550)= 0,613; в) P(X >550)= 0,341; г) P(X −540 ≤30)= 0,781.

8.57. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10;15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания Х в интервал: а) (35; 40); б) (30; 35)?

Ответ: а) P(35 < X < 40)= 0,09; б) P(30 < X <35)= 0,15 (у ≈10).

8.58. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г; σ = 25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от

300до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.

114

8.59. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с а = 0, σ =1. Что больше

P(− 0,5 ≤ X ≤ −0,1) или P(1 ≤ X ≤ 2)?

Ответ: P(− 0,5 ≤ X ≤ −0,1)= 0,1616; P(1 ≤ X ≤ 2)= 0,1359.

8.60. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Ответ: P(X <10)= 0,383.

8.61. Случайная величина Х — ошибки измерений — распределена нормально. Найти вероятность того, что Х примет значение между –3σ и 3σ (предполагается, что систематические погрешности отсутствуют).

Ответ: P(X <3σ)= 0,9973.

8.62.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Ответ: у = 0,0365 кг.

8.63.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Ответ: а) P(X <15)P(Y < 4)= 0,6741; б) P =1 − (1 − 0,6741)2 = 0,8938.

8.64. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием a =950 кг и средним квадратическим отклонением σ =150 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобран-

115

ной туши: а) окажется больше 1250 кг; б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

Ответ: а) 0,02275; б) 0,25143; в) 0,83144; г) 0,2586.

8.65. При условии задачи 8.47 с вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши.

Ответ: 704; 1196.

8.66. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и средним квадратическим отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не менее x1 %, но не более x2 %. Найдите x1 и x2 .

Ответ: x1 = 9,655 %; x2 =12,775 % .

8.67. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % — имеют вес меньше 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

Ответ: а = 5,8293; σ = 2,4138 .

8.68. В магазине 10 000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое макимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999, если предположить, что число проданных книг есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Ответ: 8124.

8.69. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с а = 0 и σ =1. Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Ответ: 0,0164.

116

8.70.Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с

а= 32 и σ = 7 найдите два значения х1 и х2, симметричные относительно а с

P(x1 < X < x2 )= 0,99.

Ответ: x1 =13,975 ; x2 =50,025.

8.71. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а = 134786 единиц продукции в неделю и σ =13000ед. Найти вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 единиц; б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 единиц. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецендентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня (± 3σ ). Доверяете ли Вы профсоюзам?

Ответ: а) 0,121; б) 0,00368; в) нет.

8.72. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ =560 и неизвестным математическим ожиданием а. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Ответ: а = 13158,6.

8.73. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром σ = 0,4 мм?

Ответ: m0 =95 .

8.74. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Ответ: 130 каналов.

117

9. Закон больших чисел

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закон больших чисел.

Лемма 1 (неравенство Маркова). Пусть Х — неотрицательная случайная величина, т.е. X ≥ 0 . Тогда для любого е > 0

P(X ≥ е)≤ Mе(X ),

где М(Х) — математическое ожидание Х.

Следствие 1. Так как события X ≥ е и X < е противоположные, то неравенство Маркова можно записать в виде

P(X < е)≥1 − Mе(X ).

Пример 9.1. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150 000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50 000 л.

Решение. Используя неравенство Маркова в виде P(X ≥ е)≤ M е(X ), полу-

чим P(X ≥150 000)≤15050 000000 = 13 .

Ответ: P(X ≥150 000)≤ 13 .

Пример 9.2. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

	Решение. Согласно неравенству	P(X ≤ е)≥1	−	M (X )	, имеем P(X ≤ 240)≥
	е
		90
≥1 −		=1 − 0,375 = 0,625 .
240

	Ответ: P(X ≤ 240)≥ 0,625.

Лемма 2 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию и любого е > 0

118

P(X − M (X ) ≥ е)≤ Dе(2X ).

Следствие 2. Для любой случайной величины Х с конечной дисперсией и любого е > 0

P(X − M (X )< е)≥1 − Dе(2X ).

Пример 9.3. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратичное отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Решение. Для оценки вероятности используем неравенство Чебышева

P(X − M (X )< е)≥1 − Dе(2X ),

P(X −50 < 0,4)≥1 − 00,,2422 =1 − 0,25 = 0,75 .

Ответ: P(X −50 < 0,4)≥ 0,75 .

Пример 9.4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20 000 кВт/ч, а среднеквадратичное отклонение — 200 кВт/ч. Какого потребления электроэнергии в этом населенном пункте можно ожидать в

ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?		P(		X − M (X )		< е)≥
	Решение. Воспользуемся неравенством	Чебышева

≥1 −	D(X ). Подставим в правую часть неравенства вместо		D(X ) величину
	е2
2002 = 40 000 , сделаем ее большей или равной 0,96:
	1 − 40 000 ≥ 0,96	40 000 ≤ 0,04	е2 ≥	40 000	,	е≥1000 .
	е2	е2		0,04

Следовательно, в этом населенном пункте можно ожидать с вероятностью не меньшей 0,96 потребление электроэнергии 20 000 ±1000 , т.е. X [19 000; 21000].

Ответ: от 19 000 до 21 000.

119

Теорема Чебышева. Если X1, X 2 , …, X n последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M (X1 ), M (X 2 ), …, M (X n ) и дисперсиями D(X1 ), D(X 2 ), …, D(X n ), ограниченными одной и той же постоянной D(Xi )≤C (i =1,n), то какова бы ни была постоянная е > 0

		1	n		n	=1.

lim P	∑Xi − 1	∑M (Xi )		< е
n→∞		n i =1	n i =1

При доказательстве предельного равенства используется неравенство

		n		n				C

P	1	∑Xi − 1	∑M (Xi )		< е	≥1 −	,
	nе2
	n i =1	n i =1

которое вытекает из неравенства Чебышева.

Пример 9.5. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Решение. Воспользуемся неравенством

		n		n				C

P	1	∑Xi − 1	∑M (Xi )		< е	≥1 −	.

	n i =1	n i =1				nе2

По условию n =1000 , е = 0,5, C =52 = 25. Итак, искомая вероятность

		1	1000	1	1000			25

P		∑ Xi −	∑M (Xi )		< 0,5	≥1 −	= 0,9.
		1000 0,25
	1000 i =1	1000 i =1

Ответ: P ≥ 0,9.

Частными случаями теоремы Чебышева являются теоремы Бернулли и Пуассона.

Теорема Бернулли. При неограниченном увеличении числа независимых опытов частость появления mn некоторого события А сходится по вероятности к его вероятности р = Р(А):

120

	m − p	=1,

lim P	< е
n→∞	n

где е— сколь угодно малое положительное число.

					m − p	≥

	ПридоказательстветеоремыБернуллиполучаемтакуюоценку P			<е
					n
≥1 −		pq	, которая применяется на практике.
	nе2

Теорема Пуассона. Если производится n независимых опытов и вероятность появления события А в k -м опыте равна pk , то при увеличинении n час-

тость mn события А сходится по вероятности к среднеарифметическому вероят-

ностей pk :


		m − 1	n	=1,

lim P	∑pk		< е
n→∞		n	n k =1

где е — сколь угодно малое положительное число. При доказательстве этой теоремы используется неравенство

	m − 1	∞				1

P	∑pk		< е	≥1 −	,
	4nе2
	n n k =1

имеющее практическое применение.

Пример 9.6. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

m − p

< е ≥1

−

nе2

По условию n = 400, е = 0,05. В качестве р возьмем величину, полученную

при проверке для доли брака p =

= 0,15 .

100

m − p

0,15 0,85

Итак, P

< е

≥1 −

= 0,8725.

400

0,05

Ответ: P ≥ 0,8725 .

121

Пример 9.7. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Воспользуемся неравенством

					m − p				pq

			P			< е	≥1 −	.
					nе2
					n
По условию	p = 0,9,	q =1 − 0,9 = 0,1,		е = 0,01. Подставим в правую часть
вышеприведенного неравенства эти значения
1 −	0,9 0,1		≥ 0,95	900	≤ 0,05	n ≥18 000 .
n 0,0001		n

Ответ: n ≥18 000 .

Задачи для самостоятельного решения

9.1. Случайная величина Х распределена по следующему закону:

	Х	2,1	2,3	2,5	2,8	3,1	3,3	3,6	3,9	4,0
	Р	0,05	0,09	0,10	0,12	0,14	0,20	0,16	0,10	0,04
	Определить вероятность того, что она примет значение, не превышающее
3,6, пользуясь законом распределения и неравенством Маркова.
	Ответ: P(X ≤3,6)= 0,86;	M (X )=3,118.

9.2.Средний вес клубня картофеля равен 150 г. Какова вероятность того, что наудачу взятый клубень картофеля весит не более 500 г?

Ответ: P ≥ 0,7.

9.3.Среднее значение скорости ветра у земли в данном пункте равно 16 км/ч. Определить вероятность того, что в этом пункте скорость ветра (при одном наблюдении) не превысит 80 км/ч.

Ответ: P(X ≤80)≥ 54 .

122

9.4.Среднее потребление электроэнергии за май населением одного из микрорайонов Минска равно 360 000 кВт/ч. Оценить вероятность того, что по-

требление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1 000 000 кВт/ч.

Ответ: P(X >1 000 000)≤ 0,36 .

9.5.Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета

у= 2°. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса самолета

будет более 5°.

Ответ: P(X >5)≤ 0,16.

9.6.Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30′(математическое ожидание равно нулю). Оценить вероятность того, что ошиб-

ка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1°.

Ответ: P(X ≤ 60)≥ 0,917 .

9.7.Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

Ответ: P ≥ 0,75.

9.8.За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Ответ: P ≥ 0,9 .

9.9.Среднее квадратическое отклонение каждой из 450 000 независимых случайных величин не превосходит 10. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,02.

Ответ: P ≥ 94 .

9.10.мкость изготовляемого заводом конденсатора по техническим условиям должна быть равной 2 мкф с разрешенным допуском ± 0,1 мкф. Завод до-

бился средней емкости, равной 2 мкф, с дисперсией, равной 0,002 мкф2 . Какой

123

процент составляет вероятный брак при изготовлении конденсаторов? Расчет произвести по неравенству Чебышева и формуле Лапласа.

Ответ: P ≤ 0,2, P ≈ 0,03.

9.11Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. Какое количество мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить, чтобы с вероятностью, превышающей 0,98, можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем на 1 см. Известно, что среднеквадратичное отклонение роста для каждого мужчины из отобранной группы не превышает 5 см.

Ответ: n ≥1250 .

9.12Технический контролер проверяет партию однотипных приборов.

Свероятностью 0,01 прибор имеет дефект А и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 — дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 шт., если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?

Ответ: 0 < m <128 .

9.13Оценить вероятность того, что в партии из 5000 изделий отклонение частости бракованных деталей от вероятности 0,02 быть бракованной деталью превысит 0,01.

Ответ: P ≤ 0,039.

9.14Вероятность изготовления нестандартной радиолампы равна 0,04. Какое наименьшее число радиоламп следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных радиоламп будет отличаться от вероятности изготовления нестандартной радиолампы по абсолютной величине не более чем на 0,02?

Ответ: n =800 .

9.15В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75 % изделий имеет допуск ± 5 %. Какое число изделий из партии в 200 000 шт. с вероятностью 0,99 можно планировать с допуском ± 5 %?

Ответ: 50 000 ±1936 .

9.16Произведено 500 независимых испытаний; в 200 из них вероятность появления события А была равна 0,4, в 180 — 0,5 и в 120 — 0,6. Оценить снизу

124

вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,05.

Ответ: P ≥ 0,807 .

9.17Стрельба ведется поочередно из трех орудий. Вероятности попадания

вцель при одном выстреле из каждого орудия равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частости от средней вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,05.

Ответ: P ≥ 193225 .

9.18 Из 5000 произведенных испытаний в 2000 вероятность появления события А равна 0,2, в 1400 — 0,5 и в 1600 — 0,6. Найти границы, в которых должна находиться частость появления события А, если это необходимо гарантировать с вероятностью 0,95.

Ответ: 0,383 ≤ mn ≤ 0,441.

9.19Геодезические измерения показали, что расстояние между двумя пунктами равно в среднем 1000 м при среднем квадратическом отклонении, равном 2 м. Какова вероятность того, что это расстояние не более 1005 м? В каких границах будет заключено это расстояние с вероятностью 0,995?

Ответ: Р = 0,99379; (997,2;1002,8).

10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов

Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функцией случайного аргумента Х и записывается Y = ϕ(X ).

Если Х — дискретная случайная величина и функция Y = ϕ(X ) монотонна, то различным значениям Х соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений Х и Y одинаковы:

yi = ϕ(xi ) и P(Y = yi )= P(X = xi ).

Если же Y = ϕ(X ) немотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y. В этом случае для отыскания вероят-

125

ностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения.

Пример 10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	2	3	5	7
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х. Решение. Находим возможные значения Y:

Y1 = 2x1 = 2 2 = 4 ; Y2 = 2x2 = 2 3 = 6 ;Y3 = 2x3 = 2 5 =10 ; Y4 = 2x4 =14 .

Так как функция ϕ(x) монотонна, то вероятности P(yi )= P(xi ), т.е.

P(Y = 4)= P(X = 2)= 0,3; P(Y = 6)= P(X =3)= 0,2 ;

P(Y =10)= P(X =5)= 0,1; P(Y =14)= P(X = 7)= 0,4.

Запишем искомый закон распределения Y

Y	4	6	10	14
Р	0,3	0,2	0,1	0,4

Пример 10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	–3	–2	–1	0	1	2
Р	0,1	0,2	0,2	0,1	0,3	0,1

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 .
Решение. Находим возможные значения случайной величины Y = X 2 :
Y = (−3)2 =9 ; Y = (− 2)2 = 4; Y = (−1)2 =1; Y = 02 = 0 ; Y =12 =1;
1	2	3	4	5
Y = 22	= 4. Значения Y =9 и Y = 0 встречаются только по одному разу, а зна-
6	1	4
чения Y2 =Y6 = 4 совпадают,	поэтому вероятность того, что Y = 4 , будет равна
сумме	вероятностей 0,2 +	0,1 = 0,3.	Аналогично, Y3 =Y5 =1,	поэтому
P(Y =1)= 0,2 + 0,3 = 0,5 .

Напишем искомый закон распределения Y, расположив значения Y в порядке возрастания

126

Y	0	1	4	9
Р	0,1	0,5	0,3	0,1

Если Х — непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (x), и если y = ϕ(x) — дифференцируемая строго монотонная функ-

ция, обратная функция которой x = ш(y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

g(y)= f (ψ(y)) ψ′(y) .

Если функция y = ϕ(x) в интервале возможных значений Х не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция ϕ(x) монотонна, и найти плотности распределения gi (y) для каждого интервала монотонности, а затем представить g(y) в виде суммы

g(y)= ∑gi (y).

Пример 10.3. Задана плотность распределения f (x) случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале (a, b). Найти плотность распределения случайной величины Y =3X .

Решение. Так как функция y =3x дифференцируемая и строго возрастает, то применима формула g(y)= f (ψ(y)) ψ′(y) , где ψ(y) — функция, обратная функции y =3x .

	y		y			1

Находим ψ(y): ψ(y)= x =		. Тогда	f (ψ(y))= f		,	′	=	. Искомая

	3			3			3

плотность распределения g(y)= 13 f 3y . Так как х изменяется в интервале (a, b)

и у = 3х, то 3a < y <3b .

y
Ответ: g(y)= 1 f		,	y (3a, 3b).

3 3
Пример 10.4. Случайная величина Х распределена по закону Коши
			f (x)=	1
			π(1 + x2 ).
Найти плотность распределения случайной величины Y = X 3 + 2 .
Решение. Функция	y = x3 + 2	монотонно возрастающая при всех

x (− ∞; + ∞). Находим обратную функцию ψ(y): ψ(y)= x = 3 y − 2 . Тогда

127

f (ψ(y))=							1						, ψ′(y)=		1						,	ψ′(y)	=	1	.

π		+3		(y	−	2	33		(y − 2)2			33 (y − 2)2

			1				2)

Следовательно,
g(y)= f (ψ(y))		ψ′(y)			=					1					1				=					1		.

						3		2		3				2						2	4

								π 1+			(y −2)		3 (y −	2)					3π 3 (y −2) +3	(y −2)


Ответ: g(y)=									1							.
3π 3	(y − 2)2 + 3 (y − 2)4

														f (x)=	1		e−	x2
Пример 10.5. Задана плотность		2		нормально распределенной
		2π

случайной величины Х. Найти плотность распределения g(y)случайной вели-
чины Y = X 2 .
Решение. Так как в интервале (− ∞; + ∞) функция y = x2	не монотонна, то

разобъем этот интервал на интервалы (− ∞; 0)и (0; + ∞), в которых она моно-

тонна. В интервале (− ∞; 0)обратная функция ψ1(y)= −

y , в интервале (0; + ∞)

ψ2 (y)= y ,

ψ1′(y)

ψ2′(y)

, f (ψ1(y))=

e−

, f (ψ2

(y))=

e−

2 y

2π

Искомую плотность распределения находим из равенства

g(y)= f (ψ (y))

ψ ′(y)

+ f (ψ

(y))

ψ ′(y)

g(y)=

e−

2π

2 y

2π

2π y

Так как y = x2 , причем − ∞ < x < +∞, то 0 < y < ∞. Таким образом, в интер-

вале (0; + ∞) искомая плотность распределения g(y)=

e−

2 , вне этого ин-

2πy

тервала g(y)= 0.

e−

Ответ: g(y)=

при y (0; + ∞),

g(y)= 0 при y (− ∞; 0).

2πy

Задачи для самостоятельного решения

10.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

128

Найти закон распределения случайной величины Y =3X .

Ответ:

10.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти закон распределения случайной величины Y = 2X +1.

Ответ:

10.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	–1	–2	–1	2
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

Найти закон распределения случайной величины Y = X 2 .

Ответ:

10.4. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Х	π	π	3π
	4	2	4
Р	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины Y =sin X .

Ответ:

129

	Y	1	1
		2
	Р	0,3	0,7
10.5. Задана плотность распределения	f (x) случайной величины Х, воз-

можные значения которой заключены в интервале (0; ∞). Найти плотность рас-

пределения

g(y) случайной

величины

Y ,

если а) Y = e−X ; б) Y = ln X;

в) Y = X 3; г) Y =

; д)

Y = X .

X 2

g(y)= ey f (ey ), y (− ∞; ∞);

Ответ:

а)

g(y)=

f ln

y (0;1);

б)


	1	f (3 y), y (0; + ∞); г) g(y)=
в) g(y)=	1	f	1	,	y (0; + ∞);

	33 y2		2y y
		y
д) g(y)= 2yf (y2), y (0; + ∞).
10.6. Задана плотность распределения	f (x) случайной величины Х, воз-

можные значения которой заключены в интервале (− ∞; ∞). Найти плотность

распределения g(y)

случайной

величины

если

а)

Y = X 2; б) Y = e−X 2 ;

в) Y =

; г) Y = arctgX ; д) Y =

1 + X 2

Ответ: а) g(y)=

(f (

y)+ f (−

y)),

y (0; + ∞) ;

б) g(y)=

y (0;1);

y + f (− ln y )

в) g(y)= f (y)+ f (− y), y (0; + ∞);

г) g(y)=

f (tgy),

−

;

cos2 y

д) g(y)=

−

−1

y (0;1).

f −

2y2

−1

130

10.7. Задана плотность распределения f (x)=	1	e−	x2
2 нормально распре-
2π

деленной случайной величины Х. Найти плотность распределения случайной
величины Y = 1 X 2 .
2	1
Ответ: g(y)=	e−y в интервале (0; ∞) ; вне этого интервала g(y)= 0.
	πy

10.8. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y =3X + 2.

Ответ: G(y)= F y − 2 .3

10.9. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y = −23 X + 2.

	3(2 − y)
Ответ: G(y)=1 − F	.
	2

10.10. Задана функция распределения F(x) случайной величины Х. Найти

функцию распределения G(y) случайной	величины Y, если а) Y = 4X + 6;
б) Y = −5X +1; в) Y = aX + b.
y − 6			1 − y
Ответ: а) G(y)= F		; б) G(y)=1	− F	;
4
			5

y −b	y −b
в) G(y)= F		при a > 0, G(y)=1 − F	при a < 0 .

	a	a

Функция двух случайных аргументов

Если каждой паре возможных случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов Х и Y и пишут

Z = ϕ(X , Y ).

Если Х и Y −дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции Z = ϕ(X , Y ), надо найти все возможные значе-

ния Z , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного xi , и каждого возможного значения Y, равного yj , вычислить значение Z, равное

131

zij = ϕ(xi , y j ). Вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей P(X = xi ) и P(Y = x j ).

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и Y заданы распределениями:

						Х				–2		–1			3			4
						Р			0,3	0,1			0,5			0,1

						Y			1				2					3
						Р			0,4				0,1				0,5
	Найти распределения случайных величин:	а)		Z = X +Y;	б) Z = 2X −Y;
в) Z = XY; г) Z = XY 2.
	Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины
Z, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Все вычисления
поместим в таблицу
															P(Z)= P(X)P(Y)
Х		Y	Z = X +Y	Z = 2X −Y	Z = XY		Z = XY 2
–2		1		–1				–5			–2					–2		0,3 · 0,4 = 0,12
–2		2		0					–6			–4					–8		0,3 · 0,1 = 0,03
–2		3		1					–7			–6				–18		0,3 · 0,5 = 0,15
–1		1		0					–3			–1					–1		0,1 · 0,4 = 0,04
–1		2		1					–4			–2					–4		0,1 · 0,1 = 0,01
–1		3		2					–5			–3					–9		0,1 · 0,5 = 0,05
3		1		4					5				3						3	0,5 · 0,4 = 0,20
3		2		5					4				6						12	0,5 · 0,1 = 0,05
3		3		6					3				9						27	0,5 · 0,5 = 0,25
4		1		5					7				4						4	0,1 · 0,4 = 0,04
4		2		6					6				8						16	0,1 · 0,1 = 0,01
4		3		7					5		12						36		0,1 · 0,5 = 0,05
																					1,00
	Объединив одинаковые значения Z и расположив их в порядке возраста-
ния, получим следующие распределения:
	а)

				Z = X +Y		–1	0	1		2			4			5	6		7
				P		0,12	0,07	0,16	0,05		0,20		0,09	0,26	0,05
																					132

б)

		Z = 2X −Y		–7		–6		–5		–4		–3	3		4			5				6				7
		P				0,15		0,03		0,17		0,01		0,04	0,25	0,05	0,25		0,01	0,04
		в)

	Z = XY		–6		–4		–3		–2		–1		3		4			6		8					9		12
		P		0,15		0,03		0,05		0,13		0,04		0,20	0,04		0,05		0,01	0,25	0,05
		г)

Z = XY 2		–18			–9			–8			–4			–2		–1		3		4	12			16		27		36
		P		0,15		0,05		0,03		0,01		0,12		0,04	0,2		0,04		0,05	0,01	0,25		0,05

Если Х и Y непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X +Y (при условии, что плотность распределе-

ния хотя бы одного из аргументов задана в интервале (− ∞; + ∞) одной формулой) может быть найдена по формуле

g(z)= +∫∞f1(x)f2(z − x)dx,

−∞

либо по равносильной формуле

g(z)= +∫∞f1(z − y)f2(y)dy,

−∞

где f1 и f2 — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X +Y находят по формуле

g(z)= ∫z f1(x)f2(z − x)dx,

либо по равносильной формуле

g(z)= ∫z f1(z − y)f2(y)dy.

В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2 (y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X +Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по Z

g(z)=G′(z).

133

Если Х и Y — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2 (y), то вероятность попадания

случайной точки (X , Y ) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

P((X , Y ) D)= ∫∫ f1(x)f2(y)dx dy.

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины

(x)=

e−

x 2

(y)=

e−

y 2

Х и

Y заданы плотностями распределений f

2 ,

2 .

2π

Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X +Y.

Решение. Используем формулу g(z)= +∫∞f1(x)f2(z − x)dx. Тогда

−∞

+∞

(z −x)2

+∞

g(z)=

∫

e−

2 dx =

∫

e−

ezxe−

dx =

2π

−∞

+∞

−

− x

−xz +

∫

e−(x2 −xz)dx =

2 ∫

4 dx =

2π

−∞

2π

−∞

−

z2 +∞

−

(z −x)2

−

+∞

−t

2π

2 e

2 ∫

d x

−

2π

∫ e

dt =

−∞

e−

π =

e−

2π

Ответ: g(x)=

e−

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно

распределенных случайных величин Х и Y :

f1(x)=

в интервале (0; 2), вне

f2 (y)= 1

этого интервала

f1(x)= 0 ,

в интервале (0;

3),

вне этого интервала

f2 (y)= 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X +Y. Построить график распределения g(z).

134

ODE = 16 12 z2 =121 z2.

Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством 0 < x < 2, Y — неравенством 0 < y <3. Отсюда следует, что возможные случай-

ные точки (X ; Y ) расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

У
3	А	М	В
F
			N
D			К

			С
0		z	Е 2	Х
			Рис. 10.1

Неравенствуx + y <z удовлетворяют те точки (x; y) плоскости XOY, которые лежат ниже прямой Z = X +Y; если же брать только возможные значения х

иу, то неравенство x + y < z выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой x + y = z. С другой стороны, так как величины Х

иY независимы, то

G(z)=	∫∫	f (x)f	2	(y)dx dy = 1	∫∫	dx dy = 1 S,
	1	6	6
	(S)			(S )

где S — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой x + y = z. Величина этой площади зависит от значения z.

Если z ≤ 0, то S = 0, т.е. G(z)= 0. Если z (0; 2], то G(z)= 16 S

			Если z (2; 3], то G(z)=	1			1 OF + KC			1 z + z −2
				Sтр.OFKС =				OC	=				2	=
			6		2			2
	1							6			6
=		(z −1).
	3				1 SOAMNC	= 1	(6 − SMNB )= 1	6 − 1		− z)2
			Если z (3; 5], то G(z)=	(5	=
				1	(5 − z)2.	6		6		6		2
=1	−
12

Если z >5, то G(z)= 16 6 =1.

Итак, искомая функция распределения имеет вид

135

0 при z ≤ 0,
	1 (z −	1) при z (0; 2],

	2
G(z)= 1 (z −1) при z (2; 3],
3
1 −	1	(5 − z)2 при z (3; 5],

	12
	z >5.
1 при

Найдем плотность распределения
	0 при z ≤ 0,

		z		при z (0; 2],

	6
g(z)=	1		при z (2; 3],

	3

16 (5 − z) при z (3; 5],

0 при z >5.

Построим график этой функции (рис. 10.2)

g(z)

Рис. 10.2

136

Задачи для самостоятельного решения

10.11. Дискретные независимые случайные величины Х и Y заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X +Y.

Ответ:

10.12. Дискретные случайные величины Х и Y заданы распределениями:

Найти распределение случайной величины Z = X +Y .

Ответ: а)

		Z	11	12		13		14	17	18
		Р	0,08	0,32			0,02		0,08	0,10	0,40
	б)
		Z	5	11		17
		Р	0,56	0,38			0,06
10.13. Независимые случайные величины Х и Y заданы плотностями рас-
пределений:	f (x)= e−x	(0 ≤ x < ∞),	f	2	(y)=	1	e−y / 2	(0 ≤ y < ∞). Найти компо-

	1						2

зицию этих	законов,	т.е. плотность	распределения случайной величины
Z = X +Y .
Ответ: g(z)= e−z / 2 (1 − e−z / 2 )при z ≥ 0 , 0 при z < 0.
												137

10.14. Независимые случайные величины Х и Y заданы плотностями рас-

пределений: f (x)= 1 e−x / 3

(0 ≤ x < ∞),

(y)= 1 e− y / 5

(0 ≤ y < ∞). Найти плот-

ность случайной величины Z = X +Y.

Ответ: g(z)= 0 при z < 0,

g(z)= 1 e−z / 5 (1 − e−2z /15 )при z ≥ 0.

10.15. Заданы плотности равномерно распределенных независимых слу-

чайных величин

Х и Y :

(x)=1 в

интервале (0;1), вне этого интервала

f1(x)= 0 , f2 (y)=1

интервале (0;1),

вне

этого интервала

f2(y)= 0. Найти

функцию распределения и плотность случайной величины Z = X +Y.

при z ≤ 0,

при z (0;1],

при z ≤ 0,

при 0 < z ≤1,

Ответ: G(z)

(2 − z)2

g(z)=

− z при

1< z ≤ 2,

−

при z (1; 2],

при z > 2.

10.16. Заданы плотности распределения равномерно распределенных неза-

висимых случайных величин Х и Y : f1(x)= 12 в интервале (1; 3), вне этого ин-

тервала	f (x)= 0,	f	2	(y)= 1	в интервале (2; 6), вне этого интервала	f	2	(y)= 0.
	1		4

Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величи-

ны Z = X +Y. Построить график плотности распределения g(z).

при z ≤3,

при z ≤ 0,

−3

(z −3)

при 3 < z ≤5,

при 3

< z ≤5,

g(z)=

Ответ: G(z)=

−1при 5 < z ≤ 7,

при 5 < z ≤ 7,

(9 − z)2

9 − z

при 7

< z ≤9,

−

при 7 < z ≤9,

при z >9.

138

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16224
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		225 руб.

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того

Напишите мне в чат, пришлите ссылку на эту страницу в чат, оплатите и получите файл!

Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат!

Описание заказа и 38% решения ( + фото):

Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5°, а ее математическое ожидание – 0. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического 3 независимых измерений не превзойдет 1°.

Решение

Оценим, сперва, вероятность того, что ошибка среднего арифметического одного измерения не превзойдет 1°. Неравенство Чебышева: Тогда при получим: Найдем вероятность события 𝐴 − ошибка среднего арифметического 3 независимых измерений не превзойдет 1°. Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая Ответ:

Похожие готовые решения по алгебре:

Для определения средней урожайности на участке площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара
В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна
Устройство состоит из 60 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна
В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули (с возвращением) 50 шаров. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того
Монета бросается 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от 1/2 меньше
Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с 3 початками равной 0,75, оценить с помощью неравенства
Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, изготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить
Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность

Преподаватель на экзамене задает студенту дополнительные вопросы. Он прекращает задавать вопросы, как только студент
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений с вероятностями соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины
Для определения средней урожайности на участке площадью в 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара
задан закон распределения дискретной случайной величины Найти интегральную функцию распределения математическое

Источник

1.29. На диске телефонного аппарата имеется 10 цифр. Каждый телефон АТС имеет номер, записываемый с помощью пяти цифр, причем первая цифра у них одна и та же. Найти наибольшее возможное число таких абонентов этой станции, у которых 4 последние цифры номера телефона различны.

2.29. В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 исправных радиоприемника?

3.29. Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся:
а) только в одном справочнике;
б) только в двух справочниках;
в) во всех трех справочниках.

4.29. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обрабатывает 40%, второй – 30%, третий – 20% и четвертый – 10% всех деталей, поступивших на сборку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,25%, четвертый – 0,5%. Найти вероятность того, что:
а) на сборку поступит стандартная деталь;
б) поступившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом.

5.29. Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем 4% бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых на контроль пяти деталей:
а) две бракованные;
б) хотя бы одна бракованная;
в) не более одной бракованной.

6.29. Средняя плотность болезнетворных бактерий в 1 м кб. воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм кб. воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружена хотя бы одна бактерия.

7.29. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F (x). Вычислить математическое ожидание M (X), дисперсию D (Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х). Построить график функции распределения F (x). Из 39 приборов, испытываемых на надежность, 5 высшей категории. Наугад взяли 4 прибора; СВ Х – число приборов высшей категории среди отобранных.

8.29. Дана функция распределения F (x) СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f (x), математическое ожидание M (X), дисперсию D (X) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a;b]. Построить графики функций F (x) и f (x).

$begin{displaymath}F(x) = left{ begin{array}{ll}0, & x< 1\ frac{1}{4}(x-1), & 1 le x le 5, quad a=2, b=4\1, & x>5.end{array} right.end{displaymath}$

9.29. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ Х, распределенной равномерно в интервале (8; 14).

10.29. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно 0,5 градуса, а ее математическое ожидание – нулю. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1 градуса.

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

MathLox

Заголовок сообщения: Задача по теме СВ

Добавлено: 07 дек 2020, 16:22

Начинающий

Зарегистрирован:
07 дек 2020, 16:20
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1
Начинающий
Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

9. Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения азимута равно
0,5°, а ее математическое ожидание — нулю. Оценить вероятность того, что
Ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1°.

Вернуться к началу

Профиль

Cпасибо сказано

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Задача по теме Треугольник в форуме Геометрия	fedor26091972	7	1025	13 ноя 2015, 07:33
Задача по теме геометричиские тела в форуме Геометрия	kozak1997	6	412	11 окт 2014, 11:59
Задача по теме Игровые методы в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации	FiTo	0	312	01 дек 2013, 19:06
Задача по теме электромагнитная индукция в форуме Школьная физика	Vladislav0313	0	856	28 апр 2015, 20:50
Задача по теме логическое уравнение в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика	top234	0	98	08 ноя 2020, 17:54
Задача по теме логическое уравнение в форуме Информатика и Компьютерные науки	top234	0	121	02 ноя 2020, 22:11
Задача по теме: повторение независимых попыток в форуме Теория вероятностей	Den9876	0	207	05 окт 2014, 19:55
Задача по теме Функции случайных величин в форуме Теория вероятностей	EvaAvocado	62	825	24 июн 2020, 20:38
По какой теме задача и правильно ли я ее решил? в форуме Алгебра	Jazzman	17	957	14 июн 2014, 23:17
Задача по теме: вписанная и описанная окружность в форуме Геометрия	sashadahl	4	995	18 май 2015, 20:45

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group

Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru

Русская поддержка phpBB

Источник

Добро пожаловать!

Войдите или зарегистрируйтесь сейчас!

Войти

Страница 1 из 2

Регистрация:

5 мар 2016

Сообщения:

3

Симпатии:

1
Дорогие друзья, помогите пожалуйста разобраться со «среднеквадратической ошибкой/погрешностью». На сколько я понял это ошибка/погрешность, множества измеренных чисел, (угловые измерения). Не ясно мне, по какой формуле считать (вот тут посмотрел http://zem-kadastr.ru/blog/geodesy/203.html), так же имеется вопрос связанный с нормами на данную ошибку/погрешность. В одной умной книжке вычитал такие допуски (фотка во вложении). Вопрос вот в чем….в чем различие между суммарной среднеквадратической ошибкой и максимальной суммарной среднеквадратической ошибкой…О_о, Прошу Вашей помощи, голова кругом уже…
Вложения:
#1

89027155216 нравится это.
Форумчанин

Если вчитаться в текст документа, поставившего вас в тупик, то становится понятно, что под «суммарной СКП» понимается итоговое значение СКП суммы погрешностей нескольких (в данном случае двух) технологических подэтапов измерений, а под «максимальной СКП» понимается допуск на величину предельно допустимой СКП. Обычно это 2СКП при уровне доверительной вероятности 95%, или 3СКП при уровне 98%. Написано, конечно коряво, с претензией на наукообразие, но суть понять можно…Я, правда, опасаюсь, что мое пояснение вам понятно. Однако желаю успехов!

#2

ТАКИСКОБАРЬ нравится это.
Форумчанин

Регистрация:

20 янв 2013

Сообщения:

45

Симпатии:

9

В той книжке говорится о максимальной СКО определения отклонений от вертикали — ни кто ее не называет суммарной.

#3
Форумчанин

Регистрация:

6 мар 2016

Сообщения:

150

Симпатии:

62

Что понаписано полу- и червертьпрофессионалами, всерьез не все принимайте. Фраза «угол между осью симметрии и направлением сооружения» вообще перл. Зерна истины таковы:
1) можно работать инструментом-5-и-секундником или более точным
2) допуск на вертикальность 1мм/м или 0,7мм/м
3) допуск на погрешность измерений 5мм
Чтобы погрешность измерений выявить, нужно проделать ДВА независимых комплекса измерений. Скажем, получилось один раз +32мм (допустим, по направлению осьА – осьБ), второй раз –30мм (то есть +30мм по направлению ось Б — ось А). Это значит, погрешность измерений (32 — (-30))/2 = 31мм — очень грубо, недопустимо грубо.

Реально с четырех станций я измерял только раз. Убедился, что погрешность составила маленькие мм и больше не стал. Но с двух станций всегда измерял полным приемом и с замыканием горизонта (точней, проверял ориентировку после полуприема), а вычислял раздельно КЛ и КП. Поскольку систематические ошибки инструмента невелики и мне известны, разница между полуприемами в основном показывала погрешность измерений.

#4
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень

Здравствуйте, Уважаемые! Уверен, в этой ветке мне помогут, вопрос тоже про СКП/СКО, но более базовый.
Для начала, покажу как я понимаю СКО, т.к. возможно путаюсь уже с этого этапа.
Итак, имеем несколько линейных (для простоты примера) измерений между двумя точками, пусть это будет ряд:
5, 2, 4, 7, 6, 8
т.к. для расчета необходимо истинное расстояние, но на практике оно почти всегда неизвестно, то под истинным будет фигурировать среднее арифметическое, оно для данного ряда равно 32/6=5,3
Дальше, нам необходимо вычислить дисперсию, она равна среднему арифметическому от квадратов изначальных величин уменьшенных на среднее арифметическое этих величин (брр….((( если на пальцах то вот так:
1)
5-5,3=[0,3]
2-5,3=[3,3]
4-5,3=[1,3]
7-5,3=[1,7]
6-5,3=[0,7]
8-5,3=[2,7]

2)
(0,3²+3,3²+1,3²+1,7²+0,7²+2,7²)/6= 23,34

А теперь уже вычисляем СКО/СКП, которое равно корню из дисперсии, т.е.
СКО=√23,34=4,83

Если всё верно, то у меня вопрос: «Зачем такие сложности и как с этим работать?»
Ведь если разбираться по-существу то максимальное удаление от истины это 2,7, что такого мне сообщает число 4,83?
Почему во всей практически нормативке используется СКО/СКП притом что никто из прикладников (изыскателей, строителей) не понимает как этим пользоваться? Мне вот за 15 лет работы не попадалось ни одного инженера или маркшейдера который понимал бы как работать с этим термином. По сути все полагаются на точность современных приборов, а допуски определяют «на глазок», самые «продвинутые» используют СКО как абсолютную ошибку, что неверно, судя из расчета.
Нет ли тут боязни покуситься на святое? Когда со времен великого Гаусса эта величина кочует из издания в издание, и каждый новый интерпретатор боится вывести из обихода основу основ?
Что вы об этом думаете? И подскажите, наконец, как работать с СКО/СКП? Вот например на картинке предельная погрешность (которая равна двум СКО О_о…. ) должна быть не больше 50 мм. Т.е. если я делаю контрольное измерение между соседними реперами и оно на 49мм в абсолютном выражении отличается то это правильный анализ или же должен 49 возвести в квадрат, чтобы получить дисперсию а потом из полученного взять корень, получить СКО равное 49 О_о… и затем увеличить его в два раза чтобы получить предельную погрешность ? О_о….. ё…
зачем они это всё?

#5
Форумчанин

Олег Сергеевич!. На ваши вопросы весьма не просто ответить коротко и конкретно(лапидарно, как сейчас любят говорить в СМИ), поскольку они, как-бы, азбучные. Азбуку пояснять трудно — ее надобно знать.

Не могу согласиться с вашей мыслью о сложности, непонятности и архаичности понятия СКП/СКО применительно к геодезии.

СКП, оно же СКО, оно же «стандартное отклонение», оно же «стандарт» весьма важное и пока незаменимое понятие, которое используется для предрасчета точности измерений, для формирования допусков на комбинацию геодезических измерений, для назначения весов измерениям, для апостериорной оценки точности скалярных и векторных величин, а также геодезических параметров и функций измеренных величин.
Не стоит отказываться от этого понятия. Может быть, лучше освежить свои знания по теории обработки геодезических измерений применительно к той области, в которой вы заняты вот уже 15 лет?

#6
Команда форума
Форумчанин

Регистрация:

10 дек 2008

Сообщения:

16.735

Симпатии:

4.648

Именно так и есть. Ваша ошибка в том, что Вы смешали «мух с котлетами»:

Когда используют СКП, никак она не может быть одного порядка с величиной измерений. Та же СКП:

отличается от расстояния между пунктами, как минимум, в тысячи раз.
Попробуйте определить СКП ряда измерений: 100.005, 100.002, 100.004, 100.007, 100.006, 100.008. Не правда ли, совсем иное представление о точности измерений?

#7
Регистрация:

12 дек 2012

Сообщения:

2

Симпатии:

1

Олег Сергеевич, в Ваших расчетах есть ошибка, которая не позволяет «почувствовать» результат. При вычислении дисперсии Вы не поделили на 6 сумму квадратов отклонений, что дало бы в результате значение дисперсии 3.89, а СКО в таком случае составит 1.97, а вовсе не 4.83. Таким образом, все Ваши измерения попадают в интервал от 3.36 до 7.31 с вероятностью 68.2% (плюс минус 1 СКО) и в интервал от 1.39 до 9.28 с вероятностью 95.4% (плюс минус 2 СКО). Придирчивые спецы возразят, что в подобных случаях нужно использовать СТО вместо СКО, оговаривать нормальное распределение вместо Пуассона и т.п., но чтобы не уйти от сути вопроса, остановимся на СКО.

#8

Олег Сергеевич нравится это.
Команда форума
Форумчанин

Регистрация:

10 дек 2008

Сообщения:

16.735

Симпатии:

4.648

И действительно возражаю, что выражение:

не имеет места быть, в принципе. Если мы будем и далее обсуждать статистическую обработку каких-то действий, а не измерений, где, соответственно, нет точности измерений, тогда не стоит, вообще, употреблять термин СКО/СКП в таком контексте.

#9
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень

Спасибо за указание на ошибку и вообще за доброжелательность!
Однако по прежнему не «чувствую» наглядности СКО. Что такого мне сообщает число 1,97, если разброс значений равен 2,7?
Как это применить на практике, допустим при оценке точности ГРО?
Вот если есть два репера на площадке, при решении обратной задачи я получаю расстояние между ними в 100, 10 м, а при контрольном измерении тахеометром получаю ряд значений, например 100,11; 100,09; 100,12.
Дисперсия в данном случае равна (0,1²+0,1²+0,2²)/3=0,0002
СКО равно √0,02=0,014 м
И что?
Фактическое максимальное отклонение равно 0,02. Среднее отклонение равно 0,013.
Что мне сообщает значение 0,014, или 0,028, если брать двойное СКО?
Стоит ожидать с вероятностью в 95.4% что на самом деле рассматриваемое расстояние может быть не 100,10 а 100,128 или 100,072?

#10

Последнее редактирование: 23 мар 2017
Форумчанин

Дисперсия в данном случае равна (0,01²+0,01²+0,02²)/3=0,0002
СКО = 0,014 м

#11

Последнее редактирование: 23 мар 2017
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень

[QUOTE=»Yudge, post: 699426,Дисперсия в данном случае равна (0,01²+0,01²+0,02²)/3=0,0002
СКО = 0,014 м[/QUOTE]
Блин… Спасибо… Простите за не внимательность, считал в спешке.
Но по сути вопроса можно ответить?

#12
Форумчанин

Вернее среднее значение измерений не 100,10 а 100,106
Дисперсия равна (0,016²+0,004²+0,014²)/3=0,000156
СКО = 0,012 м. По результатам контрольных измерений расстояние находится в пределах 100,082-100,130 (100,106±2 СКО) с вероятностью 95,4%

#13
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень

Хм… Ок, вроде понял с вероятностью. Но что с контролем? Насколько плохо либо хорошо значение 100,10, полученное из огз? Если предельная допустимая погрешность равна 0,01, то в допуске ли проверяемое значение? Как определить?

#14
Форумчанин

Для контроля в приведенном примере не хватает точности измерений. Необходимо переделать контрольные измерения (как вариант поменять прибор на более точный, провести больше приемов, использовать на цели не веху, а штатив, чтобы избежать сантиметровых расхождений в длине стометровой линии) и добиться, чтобы полученная двойная СКО укладывалась в допуск (в примере 0,01, а двойная СКО при имеющихся измерениях 0,024). Если после этого значение из ОГЗ совпадет со средним значением из контрольных промеров с точностью до 2 СКО, то оно в допуске.

#15
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень

Ок. Имеем подрядчика-изыскателя, сдающего нам съёмочное обоснование. Желаем оценить качество этого обоснования. От подрядчика имеем лишь каталог координат. Решаем что будем делать контроль по расстояниям между смежными пунктами. Промеряем расстояние тахеометром десять раз. Получаем:

Исходное расстояние горизонтальное проложение (из ОГЗ по каталогу подрядчика) = 250,123 м
Среднее расстояние горизонтальное проложение по итогам наших 10 контрольных измерений = 250,172 м
СКО наших 10 контрольных измерений = 0,025 м
Допустимая предельная погрешность (двойная СКО) по табл.1 СП 11-104-97=50мм=0,05м

Уложился ли подрядчик в допуск?
Уложился ли контролер в допуск?
Если Вам будет несложно, не могли бы Вы разложить расчет по действиям со значениями из этого примера?

#16
Форумчанин

Вопрос интересный, заставил задуматься и переосмыслить мое утверждениеПочему-то я был свято уверен, что все обстоит именно так. Но ведь если мы провели наблюдения с очень высокой точностью и сходимостью результатов, получили СКО в 1 мм, то согласно моему утверждению при отклонениях контролируемого значения от измеренного нами больше, чем на 2 мм будет уже не в допуске. Но допуск в первом примере составлял 1 см, а не 0,2 см.
Теперь я считаю, что СКО контрольных измерений мы вычисляем, чтобы понять, уложились ли мы сами по точности в требуемый допуск. При положительном результате мы должны просто сравнить среднее значение из наших измерений со значением из каталога, и если величина расхождения не превышает допуска, то качество обоснования следует признать достаточным. В Вашем примере СКО 25 мм, двойная — 50 — все в допуске, правда на пределе. Расхождения контрольных замеров с каталогом тоже на пределе, но в допуске — 49 мм. Соответственно работа выполнена с достаточным качеством.
Правда, теперь я уже не на 100% уверен в своем мнении, если неправ, пусть кто-нибудь поправит.

#17
Форумчанин

Регистрация:

18 июн 2007

Сообщения:

242

Симпатии:

49

Адрес:

Тюмень
вот мы и подошли к корню проблемы. Ведь в нормативке нет такого термина как «расхождение контрольных и контролируемых замеров», а есть лишь СКО, СКП и т.д. см. скриншот вдогонку ранее приведенному мнойпо-сути сейчас мы использовали СКО, как абсолютную ошибку. Но ведь понятно, что здесь что-то неверно. Либо СНИП, либо методика контроля…
Вложения:
#18
Форумчанин

Регистрация:

15 июл 2015

Сообщения:

60

Симпатии:

2

Здравствуйте Уважаемые Форумчатсы!
Вопрос такого характера.
При проведение наблюдений по зданиям и сооружениям (разрядное нивелирование) расчетное СКО на станции превышает допустимого значения (для первого разряда 0.08мм, для второго 0.13мм). В приборе были установлены настройки что ошибка на станции между двумя измерениями не более 0.08 мм, количество штативов между узлами не превышает 14 шт. Уравнивание проводилось через Кредо Нивелир. В чем может быть ошибка? И Почему? Невязки в полигонах получились хорошие, примерно в три раза меньше допустимых. Прямо и обратно вышло в допуске (самая большая невязка между прямо и обратно 0.35 мм, при 8 штативах).

Заранее спасибо.

#19
Форумчанин

Регистрация:

10 окт 2014

Сообщения:

1.114

Симпатии:

1.625

Дрончик1987, выложи сюда весь файл. Может кто и разберётся, где косяк.
Обратись к ЮС, он спец по Кредо.

#20

В.Шуфотинский нравится это.