Основать теорему подобия треугольников лексическая ошибка

Отредактируйте предложение: исправьте лексическую ошибку, исключив лишнее слово. Выпишите это слово.

Без ответов: z6.pdf
С ответами: z6-o.pdf

Автор: Наталья Осипович | vk.com/id2542971

1. На очной ставке достаточно было Ерофею Федотычу уставиться пронизывающим взглядом в несчастного торговца, чтобы он смешался, спасовал и начал бормотать что-то несвязное, прося прощения за ложный оговор.

2. Я заранее предчувствовал, что могу увлечься ложным, обманчивым, пойти по пути, который заведёт меня в дебри.

3. В этот период времени Чарлз Дарвин работал с величайшим напряжением, страстно желая добавить несколько новых фактов к тому великому множеству, которым уже владело естествознание.

4. Для учёного наука и истина больше и важнее, чем ценное богатство, спокойная жизнь, почёт и удовольствие.

5. Мы должны оберегать язык от засорения, помня, что слова, которыми
мы пользуемся сейчас, будут служить целые столетия после нас для выражения ещё неизвестных нам идей и мыслей.

6. Учёный Бройль сравнил статью Эйнштейна с запальным шнуром фейерверка, который в темноте ночи внезапно ненадолго, но ослепительно ярко освещает пейзаж местности.

7. Старик не спеша налил в большую эмалированную кружку горячего кипятка и стал сердито макать туда пригорелый сухарь.

8. В художественной литературе можно с помощью устаревших архаизмов придать стилю торжественность или, наоборот, создать комический эффект вследствие несоответствия темы и слога.

9. Неточное и неуместное употребление фразеологизмов может привести к забавным курьёзам.

10. С первых же дней, как он поселился жить в сторожке, вблизи стали твориться странные вещи.

11. Через два часа самолет специального назначения был вынужден совершить посадку: радио сообщило, что впереди разыгралась снежная метель.

12. На деревянных стенах висели роскошные гобелены, на которых были изображены сцены из жизни рыцарей, совершающих героические подвиги.

13. Момент откола ледяного айсберга – грандиозное и страшное зрелище, сопровождающееся жутким грохотом, напоминающим канонаду.

14. Мимика лица человека, с точки зрения невербальной психологии, ценный источник информации.

15. По-моему, ведущий лидер в группе – это человек, имеющий влияние на других при выполнении ими совместных действий.

16. Молодая женщина шла тихо, в ней было столько спокойствия, сколько, на мой личный взгляд, может быть только в истинной и живой красоте.

17. Один из странных парадоксов исторической науки заключается в том, что объективность понимания истории обусловливается субъективными взглядами учёных.

18. В отпуск он уходил в январе месяце и всегда удивлялся, что его сотрудники предпочитают отдыхать летом.

19. В новой опере композитор впадает в пошлость и заурядную банальность и посредством грубых эффектов старается угодить публике.

20. Мы приехали в столицу России и уже знали, что это огромный мегаполис со своим ритмом жизни, в корне отличающимся от привычного.

21. Когда жители города увидели в небе что-то, похожее на НЛО, они не могли понять, как у них оказался этот необъяснимый феномен.

22. Когда пираты нападали на судно, они грабили его и забирали все ценные сокровища, а команду убивали сразу или бросали за борт.

23. Когда эта огромная махина с оглушительным ревом неслась по аэродрому, а потом, исчезнув в облаках поднятой пыли, вдруг возникала над лесом, невольно вспоминались фантастические романы Жюля Верна.

24. Я кивнул головой старику в знак того, что хорошо его понял, и старик хлестнул лошадь, и она пошла быстрым шагом, время от времени пытаясь перейти на рысь.

25. В это краткое мгновение он вспомнил мудрость про свиней, перед которыми не стоит метать бисер.

26. Истинную историю жизни американского классика и его великолепной супруги можно узнать из этой книги или всё здесь лишь ложный вымысел?

27. Много хлопот доставил также неприятный инцидент с Володей: проезжая на извозчике по улице, он встретил знакомого, который от него отвернулся, по-видимому, умышленно.

28. К сожалению, на стоимость транспортной перевозки при этом повлиять не удастся, поскольку управление движением поездов всё равно остаётся в ведении диспетчеров железной дороги.

29. В романе Горелов охарактеризован как прекрасный воспитатель молодёжи, подлинный патриот Родины, кристально честный и принципиальный учёный.

30. Юристы предупредили, что все представленные на всенародный референдум вопросы не соответствуют требованиям федерального законодательства.

31. При этом политик получает дополнительный бонус: он будет считаться единым кандидатом демократических сил на выборах президента.

32. Немчинов тогда имел репутацию начинающего и непризнанного гения, ходил на необязательный факультатив по литературе и писал стихи в школьную стенгазету.

33. Ответную контратаку предприняла пехота первой линии левого фланга, но стремительный натиск имперцев позволил неприятельским стрелкам сделать всего лишь один залп и немедленно отступить.

34. В групповом турнире на Олимпиаде в Сиднее никем не принятая всерьёз корейская сборная преподнесла россиянкам неожиданный сюрприз.

35. Биографический метод изучения литературы обречён на полное фиаско и в самом себе носит причину своей роковой бесплодности.

36. Когда осенью 1984 года в Большом театре был организован вечер памяти великого певца, снова был полный аншлаг.

37. Для ликвидации селевых процессов по всем притокам Малой и Большой Алмаатинки осуществлена устойчивая стабилизация русел уникальной системой глухих запруд и сквозных сооружений из железобетона.

38. Говорить с детьми о великих литературных явлениях нужно образным, живым языком, а мутный и тусклый жаргон должен стать строгим табу для всех педагогов-словесников.

39. Я снова прибавил газу и гнал в темноте, ничего не боясь и думая только о том, что этот долгий проливной ливень сорвёт с земли всю красоту и позолоту и уже завтра леса будут стоять чёрные и пустые.

40. Он купил – и даже в центре города – старенький домишко на слом всего за тысячу рублей денег, главное ведь было – не дом, а участок, место.

41. Здесь Клаус впервые познакомился с методами, необходимыми химику, — с перегонкой, растворением, взвешиванием веществ.

42. «Конечно, лучше ехать, когда не так жарко»,- тотчас же согласилась Клавдия, хотя по голосу заметно было, что эта временная отсрочка ей неприятна.

43. Пока имеет место быть подобное убеждение, не может быть ни духовно единого и устойчивого общества, ни истинно гуманных достижений, ни целостного мировоззрения.

44. Златоустовский булат получил мировую известность, но, хотя П.П.Аносов оставил подробные записи своих опытов, повторить их снова после его смерти никому не удалось.

45. Смешивать вместе жизнь и творчество нельзя, но необходимо их различать, проводить границу между ними.

46. Чайкин сообщил, что находился более месяца в Закаспии, стараясь выяснить все фактические обстоятельства расправы над бакинскими комиссарами.

47. Сколько раз она беседовала с ним, стыдила его, убеждала взяться за свой ум, и ей казалось, что мальчик всё осознал и раскаялся.

48. Он был не из покладистых и не из робкого десятка, хотя не выглядел богатырём.

49. Голова устало кружилась, и всё окружавшее как будто погружалось вместе с ним в глубокую бездну молчаливой ночи.

50. В ответ спортивный рефери попытался ударить обидчика ногой, после чего показал ему вторую жёлтую карточку и удалил с поля.

Ошибки, связанные с лексической сочетаемостью слов

При выборе слова следует учитывать не только его значение, но и лексическую сочетаемость. Далеко не все слова могут сочетаться друг с другом. Границы лексической сочетаемости определяются значением слов, их стилистической принадлежностью, эмоциональной окраской, грамматическими свойствами и др.

Например, неудачной следует признать такую фразу: Личная неприязнь постепенно переросла в сильную вражду. Существительное вражда может сочетаться с прилагательным открытая, но не с прилагательным – сильная.

Очень распространёнными стали в речи такие ошибочные сочетания:

• не смыкать взгляда (правильно: не смыкать глаз);
• уютное впечатление (правильно: приятноевпечатление; впечатление уюта);
• встреча созвана (правильно: встреча состоялась);
• повысить кругозор (правильно: расширитькругозор).

Речевые ошибки, связанные с сочетаемостью слов, часто возникают потому, что в одной и той же ситуации могут использоваться несколько устойчивых словосочетаний. И употребление компонента одного сочетания в составе другого приводит к смысловой неточности.

Например, такую ошибку содержит фраза: Разрешите поднять тост за нашего юбиляра. В ситуации застолья у нас традиционно используются два словосочетания: поднять бокал и произнести тост. В данном случае мы имеем дело с неправомерной заменой одного члена сочетаний другим.

Смешение внешне похожих словосочетаний – одна из самых распространённых в речи ошибок.

Так, уже традиционной стала ошибка типа: Улучшился уровень обслуживания пассажиров в нашем аэропорту. Уровень может возрасти, повыситься, а улучшиться может качество. Поэтому корректной будет фраза: Улучшилось качество (повысился уровень) обслуживания пассажиров в нашем аэропорту.

Обратите внимание на следующие пары словосочетаний (в речи частотно смешение их компонентов):

• удовлетворять требования – отвечать потребностям;
• возместить ущерб – взыскать деньги, штраф;
• принять меры – предпринять шаги;
• приобрести известность – заслужить уважение;
• постоянная помощь – неослабное внимание;
• играть роль – иметь значение.

При употреблении слов, которые имеют ограниченные возможности лексических связей, нарушение сочетаемости часто становится причиной комического звучания речи.

Например, расширение возможностей сочетаемости отглагольного прилагательного удручённый (в языке возможно: удручённый горем) делает следующую фразу нелепой и комичной: К нам пришли люди, удручённые опытом.

Отличать от речевой ошибки следует умышленное объединение, казалось бы, не сочетаемых между собой слов: живой труп, обыкновенное чудо. В этом случае перед нами один из видов тропов – оксюморон.

Русский язык очень часто накладывает ограничения на сочетаемость даже близких по значению слов, даже синонимов. Поэтому в сложных случаях следует обратиться к помощи толковых словарей и специальных словарей сочетаемости.

Упражнения

1.Сравните предложения в левой и правой колонках. Объясните, чем вызвана необходимость стилистической правки предложений из левой колонки.

2.Объедините в словосочетания слова из левой и правой колонок, учитывая особенности их сочетаемости. Укажите возможные варианты.

3.Найдите в предложениях ошибки, вызванные неправильным сочетанием слов.

1. Особое внимание губернатор обратил на достигнутые недостатки. 2. Серьёзные проблемы обрушились на молодых предпринимателей врасплох. 3. Этой проблеме мы придаём особое внимание. 4. В Токио примут старт спортсмены из многих стран. 5. Большое внимание было оказано благоустройству города. 6. Премьеру балета почтили вниманием президент и премьер-министр. 7. Ведущее значение в деятельности комиссии по экологии играет просветительская работа. 8. В последние годы наблюдается буйный рост нашей кинематографии. 9. Наша теплица уже несколько десятилетий обеспечивает город молодыми овощами. 10. Уже в глубокой юности А.С. Пушкин начал писать стихи. 11. Крупную роль в подготовке к чемпионату имели товарищеские матчи сборной с командами Украины и Словении.

4. В приведённых ниже предложениях найдите речевые ошибки, связанные с нарушением лексической сочетаемости. Отредактируйте предложения.

1. О победах наших хоккеистов теперь помнят только отъявленные любители этого вида спорта. 2. Учащиеся старших классов добились ухудшения успеваемости в этом году. 3. В парке запрещён выпас собак. 4. Склад закрыт на неопределённое время ввиду прихода тараканов. 5. Ведущее значение в работе комитета придаётся нравственному воспитанию молодёжи. 6. Рекорды продолжаются. 7. Дети читают стих, стоя врассыпную. 8. От усталости моё тело подкашивалось на ногах. 9. Надрывно рыдала гитара, стонал барабан. 10. Много нервов приходится тратить, читая письма ветеранов. 11. Ударил заморозок, и сильно прихватило кукурузу. 12. К моменту обмена квартиры в ней были прописаны жена, её мать и некоторые вещи. 13. Глава администрации района приехал не с пустыми руками, он вручил школе библиотеку. 14. Ещё есть люди, которые исповедуют мнение коммунистических лидеров. 15. Опытная мошенница сразу заподозрила неладное и скоропостижно покинула квартиру. 16. Знатоки не припомнят столь урожайного счёта в матчах подобного уровня. 17. Передовая технология способствует улучшению многих недостатков. 18. Бабушка ласково кивает морщинистым лицом. 19. Уровень несчастных случаев на шахте увеличился. 20. Ниловна предстаёт забитой от страха женщиной.

Ответы к упражнениям

Упражнение 2

• Античная мифология; классические языки.
• Врождённый талант, прирождённый ум.
• Гостеприимный человек, радушный приём, хлебосольный хозяин.
• Губительное действие, пагубное влияние.
• Единый миг, один момент.
• Длинный путь, длительное воздействие, долгие сборы, продолжительный период, долговременный кредит.
• Выдвинуть гипотезу, высказать догадку, исправить ошибки, устранить недостатки.
• Найти опору, обрести поддержку.
• Обнаружить закономерность, открыть закон.
• Доказать теорему, обосновать теорию.
• Предвещать поражение, предсказать успех.
• Расширить возможности, увеличить потенциал, повысить уровень.

Упражнение 3

1. . имеющиеся недостатки. 2. Неожиданно у молодых предпринимателей возникли серьёзные проблемы. 3. . уделяем особое внимание. 4. . стартуют спортсмены. 5. Большое внимание было уделено. 6. . почтили присутствием. 7. Ведущую роль. играет. 8. . бурное развитие кинематографии. 9. . обеспечивает город ранними овощами. 10. Уже в раннем детстве. 11. Большую роль. сыграли.

Упражнение 4

1. только заядлые болельщики. 2. Успеваемость в старших классах снизилась. 3. . выгул собак. 4. . в связи с необходимостью санобработки помещения. 5. Особое внимание в работе комитета уделяется. 6. Наши спортсмены продолжают устанавливать рекорды. 7. Дети читают стихи, стоя полукругом. 8. Мои ноги подкашивались от усталости. 9. . грохотал барабан. 10. С большим волнением читаешь письма ветеранов. 11. Неожиданные заморозки губительно сказались на посевах кукурузы. 12. К моменту обмена квартиры в ней были прописаны жена, её мать. 13. . он подарил книги школьной библиотеке. 14. . которые разделяют точку зрениякоммунистических лидеров. 15. . и быстро покинула квартиру. 16. столь большого счёта. 17. Передовая технология позволяет устранить многие недостатки. 18. . кивает. 19. Увеличилось число несчастных случаев. 20. Ниловна предстаёт перед нами забитой, запуганной женщиной.

6.5. Ошибки, связанные с лексической сочетаемостью слов

Упражнение 115. Сравните предложения в левой и правой колонках. Объясните, чем вызвана необходимость стилистической правки предложений из левой колонки.

Упражнение 116. Объедините в словосочетания слова из левой и правой колонок, учитывая особенности их сочетаемости. Укажите возможные варианты.

Упражнение 117. Постарайтесь объяснить, почему выделенные сочетания являются ошибочными.

1. Особое внимание губернатор обратил на достигнутые недостатки. 2. Серьёзные проблемы обрушились на молодых предпринимателей врасплох. 3. Этой проблеме мы придаём особое внимание. 4. В Токио примут старт спортсмены из многих стран. 5. Большое внимание было оказано благоустройству города. 6. Премьеру балета почтили вниманием президент и премьер-министр. 7. Ведущее значение в деятельности комиссии по экологии играет просветительская работа. 8. В последние годы наблюдается буйный рост нашей кинематографии. 9. Наша теплица уже несколько десятилетий обеспечивает город молодыми овощами. 10. Уже в глубокой юности А.С. Пушкин начал писать стихи. 11. Крупную роль в подготовке к чемпионату имели товарищеские матчи сборной с командами Украины и Словении.

Упражнение 118. В приведённых ниже предложениях найдите речевые ошибки, связанные с нарушением лексической сочетаемости. Отредактируйте предложения.

1. О победах наших хоккеистов теперь помнят только отъявленные любители этого вида спорта. 2. Учащиеся старших классов добились ухудшения успеваемости в этом году. 3. В парке запрещён выпас собак. 4. Склад закрыт на неопределённое время ввиду прихода тараканов. 5. Ведущее значение в работе комитета придаётся нравственному воспитанию молодёжи. 6. Рекорды продолжаются. 7. Дети читают стих, стоя врассыпную. 8. От усталости моё тело подкашивалось на ногах. 9. Надрывно рыдала гитара, стонал барабан. 10. Много нервов приходится тратить, читая письма ветеранов. 11. Ударил заморозок, и сильно прихватило кукурузу. 12. К моменту обмена квартиры в ней были прописаны жена, её мать и некоторые вещи. 13. Глава администрации района приехал не с пустыми руками, он вручил школе библиотеку. 14. Ещё есть люди, которые исповедуют мнение коммунистических лидеров. 15. Опытная мошенница сразу заподозрила неладное и скоропостижно покинула квартиру. 16. Знатоки не припомнят столь урожайного счёта в матчах подобного уровня. 17. Передовая технология способствует улучшению многих недостатков. 18. Бабушка ласково кивает морщинистым лицом. 19. Уровень несчастных случаев на шахте увеличился. 20. Ниловна предстаёт забитой от страха женщиной.

Лексические ошибки и способы их предотвращения

Аннотация: в статье даны методические рекомендации по предотвращению у учащихся лексических ошибок. Продемонстрированы формы работы с разными типами лексических ошибок: как изучаемых, так и не изучаемых в школьной программе. Приведены примеры лексической работы с художественными текстами.

• Автор записи

Автор: Алена Чернолихова
Дата записи

Ответственный за размещение информации:
Виктория Разводовская

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

О сайте

«Слово учителю» – электронное издание Городского методического центра департамента образования Москвы. Оно было создано в 2014 году для обмена педагогическим опытом и развития образовательного пространства столицы.

Здесь публикуются авторские статьи с результатами педагогических и управленческих образовательных инноваций, сценарии уроков для педагогов-практиков, методистов, молодых ученых и учителей.

Авторы могут получить Электронное свидетельство о публикации на почту.

Найдите нас

Адрес
109004, Москва, Товарищеский переулок, 22.

CЛОВО

УЧИТЕЛЮ

Cвидетельство о регистрации СМИ Эл № ФС77-57282 от 12 марта 2014 г. ISSN 2313-1136
Все права защищены. При цитировании материалов ссылка на сайт «Слово учителю» обязательна.

Подобные треугольники

3 октября 2022

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.

План такой:

1. Основное определение
2. Лемма о подобных треугольниках
3. Свойства подобных треугольников
4. Разбор задач

1. Основное определение

Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:

У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]

Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.

Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».

Дальше идёт очень важное замечание.

1.1. Обозначение подобных треугольников

В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.

Но в подобных треугольниках есть негласное правило:

При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.

Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.

Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.

Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.

Приравниваем полученные три дроби:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.

В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.

2. Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]

Это равенство — второе в искомом:

[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:

Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

[Delta ABCsim Delta MNC]

Что и требовалось доказать.

Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.

Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

[Delta ABCsim Delta MNC]

3. Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]

Периметр треугольника $MNK$:

[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]

Периметр треугольника $ABC$:

[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]

Итого получаем равенство

[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

В частности, из этого равенства следует, что

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]

Площадь треугольника $MNK$:

[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]

Площадь треугольника $ABC$:

[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]

Получаем равенство

[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]

Перепишем в виде отношения:

[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]

Что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]

Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как

[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

4. Задачи на подобие

Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)

Задача 1. Готовые треугольники

Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.

Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:

Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Опустим последнюю дробь и получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]

Найдём сторону $NK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]

Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Найдём сторону $MK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]

Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.

Задача 2. Прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.

б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.

Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.

Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:

Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:

[Delta ABCsim Delta DBE]

Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство

[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]

Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):

[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]

Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:

[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]

Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]

Осталось найти $AD$:

[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]

Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.

Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.

Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!

Взгляните:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]

Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.

Задача 3. Доказательство подобия

Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.

Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:

Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.

Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.

Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:

[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]

Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство

[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]

Но тогда выполняется следующее равенство:

[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]

А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:

[Delta MDKsim Delta BCD]

Доказательство завершено.

Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.

Задача 4. Вписанный ромб

В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.

Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:

Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:

[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]

Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:

[Delta ABCsim Delta AKE]

В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]

Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]

Применяем основное свойство пропорции и уравнение:

[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]

Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.

Ответ: $BD=6$.

Задача 5. Свойства биссектрисы

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.

Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:

Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:

[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.

Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:

Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что

[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда

[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]

Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:

[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]

Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то

[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]

С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.

Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому

[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]

Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:

[BD=BM=color{red}{4,8}]

Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.

Ответ: $BD=4,8$.

Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)

Смотрите также:

1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
2. Теорема менелая
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Введение системы координат
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Примеры подобий:

1. Предмет и его фотография. Если предмет в   5 раз больше фотографии, то каждая сторона предмета будет ровно в 5 раз длиннее такой же стороны на фотографии. При этом углы останутся неизменныими — это самое важное при подобиях;

2. Zoom фотоаппарата или бинокль передает смысл коэффициента подобия;

3. Копирование:    Увеличить или уменьшить, сделать копии чего либо — получатся подобные фигуры.

_____________________________________________________________________________________

Теорема О трех признаках подобия двух треугольников. Два треугольника подобны, если:

Признак I.   Равенство двух углов.

• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
• $angle A=angle A_1$ , $angle B=angle B_1$ $Rightarrow $ $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак II.   Пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними».

• Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны:
• $angle A=angle A_1$ ,   $frac{AC}{A_1C_1}=frac{AB}{A_1B_1}$   $Rightarrow $ $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup A_1B_1C_1$

Признак III.   Пропорциональность трёх сторон.

• Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трем сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны:
• $frac{AC}{A_1C_1}=frac{AB}{A_1B_1}=frac{BC}{B_1C_1}$    $Rightarrow $ $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup A_1B_1C_1$

_____________________________________________________________________________________

Коэффициентом      подобия треугольников называется отношение соответственных сторон       $k=frac{AC}{A_1C_1}$

• Отношение всех соответствующих отрезков     $k=frac{a}{a_1}=frac{b}{b_1}=frac{c}{c_1}=frac{h_c}{h_{c1}}=frac{m_b}{m_{b1}}=frac{b_a}{b_{a1}}$ .
• Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон первого и второго треугольников.
• Квадрат   коэффициента подобия говорит об отношении площадей      $k^2=frac{S}{S_1}$.

Соответственные (сходственные) стороны — те, которые являются копиями друг друга в подобных фигурах. У подобных фигур одинаковый состав углов. Увидеть подобие означает найти — для каждого угла из первой фигуры найдется равный ему угол из второй фигуры. Напротив таких равных углов находятся сходственные стороны.

• Как меняются длины (отрезки, дуги) при подобии?   Увеличиваются в   $k$ — раз. Одномерные —   $D^1$ — размерность ;
• Как соотносятся площади при подобии?    Увеличиваются в    $k^2$ — раз. Двумерные — $D^2$ ;
• Каково отношение объемов при подобии?    Увеличиваются в    $k^3$ — раз. Трехмерные — $D^3$ — размерность ;
• Что не меняется при подобии?     Угол.    $k^0$ — раз.    0 — мерные — $D^0$ .   Угол = дуга/радиус.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    О трех признаках подобия двух прямоугольных треугольников.

• Признак I:     если хотя бы один острый угол первого треугольника равен какому — либо острому углу другого;
• Признак II:    если катеты одного пропорциональны катетам другого;
• признак III:   если гипотенуза и катет одного пропорциональны гипотенузе и катету другого.

_____________________________________________________________________________________

Пример 1:     Дано:        $bigtriangleup ABC$ ; $bigtriangleup A_1B_1C_1$    $angle A=angle A_1$ ; $B=angle B_1$ ; $A_1B_1=4$ $B_1C_1=3$ $C_1A_1=2$ $AB=12$        Найти:       $BC$ и $CA$

• Решение: Два угла в одном равны двум углам в другом…. По 1-му признаку подобия: $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup A_1B_1C_1$
• Определим коэффициент подобия данных:    $k=frac{AB}{A_1B_1}=frac{AC}{A_1C_1}=frac{BC}{B_1C_1}$               Следовательно,
• $frac{CA}{2}=3$          $CA=2cdot 3=6$           $frac{BC}{3}=3$         $BC=3cdot 3=9$ .            Ответ: $CA=6$ $BC=9$

Очевидно Подобные:      Треугольник со сторонами 6, 9, 12 подобен треугольнику со сторонами 2, 3, 4 — каждая сторона первого треугольника ровно в три раза больше «своей сходственной» стороне другого треугольника. Коэффициент подобия = 3.

Задача 2:   Дано:     $bigtriangleup ABC$ и $bigtriangleup NAM$   прямоугольные $AM=3$   $AC=2$    $angle A=angle B$      Найти:    $x=BC$

• Решение:   в каждом треугольнике есть прямой угол и $angle A=angle B$ (1-ый признак подобия треугольников): $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup NAM$.
• Так как треугольники подобные, то отношения сходственных сторон у них равны. Какие схожие?
• Для определения сходственных сторон необходимо помнить, что они лежат напротив равных углов: $AC$ и $NM$,     $AB$ и $NA$,     $BC$ и $AM$.
• $frac{AC}{NM}=frac{AB}{NA}=frac{BC}{AM}$             отдельно выпишем равенство:        $frac{AC}{NM}=frac{BC}{AM}$
• Подставим известные значения:    $frac{2}{1}=frac{x}{3}$        $1cdot x=2cdot 3$       $x=6$        Ответ:   $x=6$

Задача 3:    Стороны треугольника 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны подобного треугольника с периметром 26 см.

• Решение: Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Периметр    $bigtriangleup A_1B_1C_1$   нам задан,   периметр    $bigtriangleup ABC$ мы сможем найти, т.к. заданы длины его сторон.
• Таким образом мы найдем коэффициент подобия и определим искомые длины сторон:
• $P_{bigtriangleup ABC}=15см+20см+30см=65см$   .   Коэффициент:       $k=frac{P_{bigtriangleup A_1B_1C_1}}{P_{bigtriangleup ABC}}=frac{26}{65}$   
• $Rightarrow$       $a_1=ka=frac{26cdot 15}{65}=6$см    ,    $b1=kb=frac{26cdot 20}{65}=8$см      ,     $c1=kc=frac{26cdot 30}{65}=12см$ .

Задача 4:      На одной стороне угла $angle A$   отложены отрезки $AB=6$ и $AC=20$. На другой стороне $AD=8$ $AE=15$ . Подобны ли треугольники   $ACD$ и $AEB$ ?

• Решение:      У обоих треугольников    $bigtriangleup ACD$   и $bigtriangleup AEB$   есть равный угол     $angle A$, общий угол для обоих.
• Две стороны ( $AD$ и $AC$ ) треугольника   $bigtriangleup ACD$     пропорциональны двум сторонам   ($AB$ и   $AE$)   треугольника $bigtriangleup AEB$ !
• почему?   Проверим «на числах», выполняется ли    пропорция, равны ли отношения сторон:       $frac{AD}{AC}$       ?=?      $frac{AB}{AE}$
• Отношение     $frac{AD}{AC}=frac{8}{20}=frac{2}{5}$ .       Отношение   $frac{AB}{AE}=frac{6}{15}=frac{2}{5}$.         Видно, что эти отношения равны.
• Итак: 2 стороны одного пропорциональны двум другого!           Кроме того,    $angle A$   является общим для двух треугольников.
• По второму признаку подобия       $Rightarrow$          $bigtriangleup ACDsim bigtriangleup AEB$

Задача 5:   В равнобедренном треугольнике $bigtriangleup ABC$ с углом $angle A=36^o$ из вершины $B$ основания проведена биссектриса $BL$. Доказать подобие треугольников $bigtriangleup ABC$ и $bigtriangleup BLC$.

• Дано:                $bigtriangleup ABC$ равнобедренный;   $AB=AC$    $angle A=36^o$ $angle LBA=angle LBC$ ( $BL$ — биссектриса).
• Доказать:      $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup BLC$.
• Доказательство: Так как в равнобедренном треугольнике задан угол при вершине, то можно найти углы при основании:
• $angle B+angle C=2cdot angle B=180^0-angle A=180^0-36^0=144^0$
• $BL$ — биссектриса       $Rightarrow $ $angle LBA=angle LBC=frac{angle B}{2}=frac{72^o}{2}=36^o$.
• B     $bigtriangleup BLC$ :   $angle BLC=180^o-angle C-angle LBC=180^o-72^o-36^o-72^o$.        Таким образом, ….
• $bigtriangleup ABC$ и $bigtriangleup BLC$    — это   равнобедренные с равными углами при вершине     $angle A=angle LBC=36^o$.
• Равнобедренные треугольники с равными углами при вершине подобны, (состав углов одинаковый?):         $bigtriangleup ABCsim bigtriangleup BLC$.     Что и требовалось доказать.

_____________________________________________________________________________________

Теорема о медианах.

• Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в пропорции 2 : 1.

_____________________________________________________________________________________

Теорема о высоте в прямоугольном и проекциях катетов на гипотенузу.

• Высота делит треугольник на два подобных между собой и исходному треугольнику.
• Квадрат высоты равен произведению отрезков: $BD^2=ADcdot CD$.       Или, иначе …
• Высота прямоугольного треугольника равна средне-геометрическому частей гипотенузы, на которые делит гипотенузу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема бисектрис.     

• Биссектриса угла делит сторону треугольника на два отрезка, пропорциональных другим двум сторонам треугольника,
• ….    прилежащим к этому углу $frac{BK}{KC}=frac{AB}{AC}$ — направление от верхних к нижним.

_____________________________________________________________________________________

Факты:

1. Все прямоугольные треугольники с углом 57 градусов подобны друг другу;

2. Диагонали трапеции при пересечении образуют два подобных друг другу треугольника, прилежащих к основаниям;

3. При продолжении боковых сторон трапеции до пересечения образуются два подобных треугольника;

4. Если коэффициент подобия к = 3, то каждая сторона первого треугольника в 3 раза больше соответствующей стороне второго треугольника, каждая высота в первом треугольнике в 3 раза больше соответствующей (подобной) высоте во втором, аналогично медианы, биссектрисы в 3 раза больше своих визави. Площадь первого треугольника в 9 раз больше площади другого треугольника. Но углы у обоих треугольников соответственно равны;

5. Угол — 0 мерная величина. Длина отрезка — одномерная величина. Площадь — двухмерная величина. Объем — трехмерная величина.    

Замечание, о главном в подобиях:

• О самом важном при подобии треугольников: какие составы углов? равные? какие стороны соответственные, схожие?
• Соответственные стороны (иногда говорят сходственные ) — это стороны, которые в пропорциях делятся друг на друга.
• Пропорция: сторона a одного треугольника, деленная на соотвественную (сходственную) a сторону второго треугольника.

Если треугольники подобны и коэффициент подобия = 1, то эти треугольники равны. У равных треугольников все части равны.

_____________________________________________________________________________________

Теорема о трех признаках равенства двух треугольников    два треугольника равны (совпадают), если:

Признак I:    если две стороны и угол между ними первого треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго;

Признак II:   если сторона и два прилежащих к ней угла первого равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам второго.

Признак III: если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам второго треугольника.

_____________________________________________________________________________________

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 21: Стороны треугольника, образованного средними линиями треугольника ABC, равны 12, 13, 14. Найдите периметр треугольника АВС.

ХХХ Задача 22: Отрезки AB и CD пересекаются в точке E так, что ∠CAE = ∠DBE, AE = 16, BE = 4, ED = 15. Найдите CE.

ХХХ Задача 23: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна 24 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых равен 36 см. Найдите гипотенузу.

ХХХ Задача 24: Основания трапеции ABCD раны 24 см и 36 см. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите AO, если OC =8 см.

Задача 25: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AB = 18, MB = 12

Задача 26: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AB = 14, AM = 8

Задача 27: Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB и BC соответственно в точках M и N. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MBN, если AM = 4, MB = 5.

Задача 28: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла равна 15 см, один из катетов равен 17 см. Найдите гипотенузу.

ХХХ Задача 29: В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна 7,2 см. Найдите гипотенузу, если больший из отрезков, на которые высота делит её, равен 9,6 см

Задача 30: Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке M. Известно, что BC = 4, AD = 10. Найдите отношение площадей треугольников BMC и AMD.

XXX Задача 31: В треугольнике ABC параллельно стороне AC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Найдите BC, если BD = 10, AB = 25, BE = 8.

ХХХ Задача 32: В треугольниках АВС и NКP ∠В = ∠К, BС = 20 см, AB = 10 см, NK = 8 см, KP = 16 см, NP = 12 см. Найдите AС.

XXX Задача 33: На одной стороне угла O отложены отрезки OA = 9, OB = 18. На другой стороне угла отложены отрезки OD = 6, OC = 12. Найдите DC, если AB = 7.

ХХХ Задача 34: В параллелограмме АВСD проведена прямая из вершины В. Она пересекает прямую АD в точке K, сторону DС в точке E так, что CD = 24 см, DK = 8 см, СE = 14 см. Найдите ВС.

XXX Задача 35: Стороны угла O пересечены параллельными прямыми AВ и СD так, что точки A и С лежат на одной стороне угла, а точки В и D лежат на другой стороне угла. Найдите ВD, если АВ = 7 см, OB = 12 см, CD = 21 см.

ХХХ Задача 36: В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD диагонали пересекаются в точке О так, что CО = 8 см, ВС = 15 см, АD = 25 см. Найти АО