Ошибка нейронной сети формула

Нейронные сети обучаются с помощью тех или иных модификаций градиентного спуска, а чтобы применять его, нужно уметь эффективно вычислять градиенты функции потерь по всем обучающим параметрам. Казалось бы, для какого-нибудь запутанного вычислительного графа это может быть очень сложной задачей, но на помощь спешит метод обратного распространения ошибки.

Открытие метода обратного распространения ошибки стало одним из наиболее значимых событий в области искусственного интеллекта. В актуальном виде он был предложен в 1986 году Дэвидом Э. Румельхартом, Джеффри Э. Хинтоном и Рональдом Дж. Вильямсом и независимо и одновременно красноярскими математиками С. И. Барцевым и В. А. Охониным. С тех пор для нахождения градиентов параметров нейронной сети используется метод вычисления производной сложной функции, и оценка градиентов параметров сети стала хоть сложной инженерной задачей, но уже не искусством. Несмотря на простоту используемого математического аппарата, появление этого метода привело к значительному скачку в развитии искусственных нейронных сетей.

Суть метода можно записать одной формулой, тривиально следующей из формулы производной сложной функции: если $f(x) = g_m(g_{m-1}(ldots (g_1(x)) ldots))$, то $frac{partial f}{partial x} = frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}frac{partial g_{m-1}}{partial g_{m-2}}ldots frac{partial g_2}{partial g_1}frac{partial g_1}{partial x}$. Уже сейчас мы видим, что градиенты можно вычислять последовательно, в ходе одного обратного прохода, начиная с $frac{partial g_m}{partial g_{m-1}}$ и умножая каждый раз на частные производные предыдущего слоя.

Backpropagation в одномерном случае

В одномерном случае всё выглядит особенно просто. Пусть $w_0$ — переменная, по которой мы хотим продифференцировать, причём сложная функция имеет вид

$$f(w_0) = g_m(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)),$$

где все $g_i$ скалярные. Тогда

$$f'(w_0) = g_m'(g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots))cdot g’_{m-1}(g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots))cdotldots cdot g’_1(w_0)$$

Суть этой формулы такова. Если мы уже совершили forward pass, то есть уже знаем

$$g_1(w_0), g_2(g_1(w_0)),ldots,g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots),$$

то мы действуем следующим образом:

• берём производную $g_m$ в точке $g_{m-1}(ldots g_1(w_0)ldots)$;

• умножаем на производную $g_{m-1}$ в точке $g_{m-2}(ldots g_1(w_0)ldots)$;

• и так далее, пока не дойдём до производной $g_1$ в точке $w_0$.

Проиллюстрируем это на картинке, расписав по шагам дифференцирование по весам $w_i$ функции потерь логистической регрессии на одном объекте (то есть для батча размера 1):

Собирая все множители вместе, получаем:

$$frac{partial f}{partial w_0} = (-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_1} = x_1cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

$$frac{partial f}{partial w_2} = x_2cdot(-y)cdot e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}cdotfrac{-1}{1 + e^{-y(w_0 + w_1x_1 + w_2x_2)}}$$

Таким образом, мы видим, что сперва совершается forward pass для вычисления всех промежуточных значений (и да, все промежуточные представления нужно будет хранить в памяти), а потом запускается backward pass, на котором в один проход вычисляются все градиенты.

Почему же нельзя просто пойти и начать везде вычислять производные?

В главе, посвящённой матричным дифференцированиям, мы поднимаем вопрос о том, что вычислять частные производные по отдельности — это зло, лучше пользоваться матричными вычислениями. Но есть и ещё одна причина: даже и с матричной производной в принципе не всегда хочется иметь дело. Рассмотрим простой пример. Допустим, что $X^r$ и $X^{r+1}$ — два последовательных промежуточных представления $Ntimes M$ и $Ntimes K$, связанных функцией $X^{r+1} = f^{r+1}(X^r)$. Предположим, что мы как-то посчитали производную $frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$ функции потерь $mathcal{L}$, тогда

$$frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r}_{st}} = sum_{i,j}frac{partial f^{r+1}_{ij}}{partial X^{r}_{st}}frac{partialmathcal{L}}{partial X^{r+1}_{ij}}$$

И мы видим, что, хотя оба градиента $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ и $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$ являются просто матрицами, в ходе вычислений возникает «четырёхмерный кубик» $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, даже хранить который весьма болезненно: уж больно много памяти он требует ($N^2MK$ по сравнению с безобидными $NM + NK$, требуемыми для хранения градиентов). Поэтому хочется промежуточные производные $frac{partial f^{r+1}}{partial X^{r}}$ рассматривать не как вычисляемые объекты $frac{partial f_{ij}^{r+1}}{partial X_{st}^{r}}$, а как преобразования, которые превращают $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{ij}^{r+1}}$ в $frac{partialmathcal{L}}{partial X_{st}^{r}}$. Целью следующих глав будет именно это: понять, как преобразуется градиент в ходе error backpropagation при переходе через тот или иной слой.

  Вы спросите себя: надо ли мне сейчас пойти и прочитать главу учебника про матричное дифференцирование?

Встречный вопрос. Найдите производную функции по вектору $x$:

$$f(x) = x^TAx, Ain Mat_{n}{mathbb{R}}text{ — матрица размера }ntimes n$$

А как всё поменяется, если $A$ тоже зависит от $x$? Чему равен градиент функции, если $A$ является скаляром? Если вы готовы прямо сейчас взять ручку и бумагу и посчитать всё, то вам, вероятно, не надо читать про матричные дифференцирования. Но мы советуем всё-таки заглянуть в эту главу, если обозначения, которые мы будем дальше использовать, покажутся вам непонятными: единой нотации для матричных дифференцирований человечество пока, увы, не изобрело, и переводить с одной на другую не всегда легко.

Мы же сразу перейдём к интересующей нас вещи: к вычислению градиентов сложных функций.

Градиент сложной функции

Напомним, что формула производной сложной функции выглядит следующим образом:

$$left[D_{x_0} (color{#5002A7}{u} circ color{#4CB9C0}{v}) right](h) = color{#5002A7}{left[D_{v(x_0)} u right]} left( color{#4CB9C0}{left[D_{x_0} vright]} (h)right)$$

Теперь разберёмся с градиентами. Пусть $f(x) = g(h(x))$ – скалярная функция. Тогда

$$left[D_{x_0} f right] (x-x_0) = langlenabla_{x_0} f, x-x_0rangle.$$

С другой стороны,

$$left[D_{h(x_0)} g right] left(left[D_{x_0}h right] (x-x_0)right) = langlenabla_{h_{x_0}} g, left[D_{x_0} hright] (x-x_0)rangle = langleleft[D_{x_0} hright]^* nabla_{h(x_0)} g, x-x_0rangle.$$

То есть $color{#FFC100}{nabla_{x_0} f} = color{#348FEA}{left[D_{x_0} h right]}^* color{#FFC100}{nabla_{h(x_0)}}g$ — применение сопряжённого к $D_{x_0} h$ линейного отображения к вектору $nabla_{h(x_0)} g$.

Эта формула — сердце механизма обратного распространения ошибки. Она говорит следующее: если мы каким-то образом получили градиент функции потерь по переменным из некоторого промежуточного представления $X^k$ нейронной сети и при этом знаем, как преобразуется градиент при проходе через слой $f^k$ между $X^{k-1}$ и $X^k$ (то есть как выглядит сопряжённое к дифференциалу слоя между ними отображение), то мы сразу же находим градиент и по переменным из $X^{k-1}$:

Таким образом слой за слоем мы посчитаем градиенты по всем $X^i$ вплоть до самых первых слоёв.

Далее мы разберёмся, как именно преобразуются градиенты при переходе через некоторые распространённые слои.

Градиенты для типичных слоёв

Рассмотрим несколько важных примеров.

Примеры

1. $f(x) = u(v(x))$, где $x$ — вектор, а $v(x)$ – поэлементное применение $v$:

   $$vbegin{pmatrix}
   x_1
   vdots
   x_N
   end{pmatrix}
   = begin{pmatrix}
   v(x_1)
   vdots
   v(x_N)
   end{pmatrix}$$

   Тогда, как мы знаем,

   $$left[D_{x_0} fright] (h) = langlenabla_{x_0} f, hrangle = left[nabla_{x_0} fright]^T h.$$

   Следовательно,

   $$begin{multline*}
   left[D_{v(x_0)} uright] left( left[ D_{x_0} vright] (h)right) = left[nabla_{v(x_0)} uright]^T left(v'(x_0) odot hright) =\[0.1cm]
   = sumlimits_i left[nabla_{v(x_0)} uright]_i v'(x_{0i})h_i
   = langleleft[nabla_{v(x_0)} uright] odot v'(x_0), hrangle.
   end{multline*},$$

   где $odot$ означает поэлементное перемножение. Окончательно получаем

   $$color{#348FEA}{nabla_{x_0} f = left[nabla_{v(x_0)}uright] odot v'(x_0) = v'(x_0) odot left[nabla_{v(x_0)} uright]}$$

   Отметим, что если $x$ и $h(x)$ — это просто векторы, то мы могли бы вычислять всё и по формуле $frac{partial f}{partial x_i} = sum_jbig(frac{partial z_j}{partial x_i}big)cdotbig(frac{partial h}{partial z_j}big)$. В этом случае матрица $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ была бы диагональной (так как $z_j$ зависит только от $x_j$: ведь $h$ берётся поэлементно), и матричное умножение приводило бы к тому же результату. Однако если $x$ и $h(x)$ — матрицы, то $big(frac{partial z_j}{partial x_i}big)$ представлялась бы уже «четырёхмерным кубиком», и работать с ним было бы ужасно неудобно.

2. $f(X) = g(XW)$, где $X$ и $W$ — матрицы. Как мы знаем,

   $$left[D_{X_0} f right] (X-X_0) = text{tr}, left(left[nabla_{X_0} fright]^T (X-X_0)right).$$

   Тогда

   $$begin{multline*}
   left[ D_{X_0W} g right] left(left[D_{X_0} left( ast Wright)right] (H)right) =
   left[ D_{X_0W} g right] left(HWright)=\
   = text{tr}, left( left[nabla_{X_0W} g right]^T cdot (H) W right) =\
   =
   text{tr} , left(W left[nabla_{X_0W} (g) right]^T cdot (H)right) = text{tr} , left( left[left[nabla_{X_0W} gright] W^Tright]^T (H)right)
   end{multline*}$$

   Здесь через $ast W$ мы обозначили отображение $Y hookrightarrow YW$, а в предпоследнем переходе использовалось следующее свойство следа:

   $$
   text{tr} , (A B C) = text{tr} , (C A B),
   $$

   где $A, B, C$ — произвольные матрицы подходящих размеров (то есть допускающие перемножение в обоих приведённых порядках). Следовательно, получаем

   $$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = left[nabla_{X_0W} (g) right] cdot W^T}$$

3. $f(W) = g(XW)$, где $W$ и $X$ — матрицы. Для приращения $H = W — W_0$ имеем

   $$
   left[D_{W_0} f right] (H) = text{tr} , left( left[nabla_{W_0} f right]^T (H)right)
   $$

   Тогда

   $$ begin{multline*}
   left[D_{XW_0} g right] left( left[D_{W_0} left(X astright) right] (H)right) = left[D_{XW_0} g right] left( XH right) =
   = text{tr} , left( left[nabla_{XW_0} g right]^T cdot X (H)right) =
   text{tr}, left(left[X^T left[nabla_{XW_0} g right] right]^T (H)right)
   end{multline*} $$

   Здесь через $X ast$ обозначено отображение $Y hookrightarrow XY$. Значит,

   $$color{#348FEA}{nabla_{X_0} f = X^T cdot left[nabla_{XW_0} (g)right]}$$

4. $f(X) = g(softmax(X))$, где $X$ — матрица $Ntimes K$, а $softmax$ — функция, которая вычисляется построчно, причём для каждой строки $x$

   $$softmax(x) = left(frac{e^{x_1}}{sum_te^{x_t}},ldots,frac{e^{x_K}}{sum_te^{x_t}}right)$$

   В этом примере нам будет удобно воспользоваться формализмом с частными производными. Сначала вычислим $frac{partial s_l}{partial x_j}$ для одной строки $x$, где через $s_l$ мы для краткости обозначим $softmax(x)_l = frac{e^{x_l}} {sum_te^{x_t}}$. Нетрудно проверить, что

   $$frac{partial s_l}{partial x_j} = begin{cases}
   s_j(1 — s_j), & j = l,
   -s_ls_j, & jne l
   end{cases}$$

   Так как softmax вычисляется независимо от каждой строчки, то

   $$frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = begin{cases}
   s_{ij}(1 — s_{ij}), & r=i, j = l,
   -s_{il}s_{ij}, & r = i, jne l,
   0, & rne i
   end{cases},$$

   где через $s_{rl}$ мы обозначили для краткости $softmax(X)_{rl}$.

   Теперь пусть $nabla_{rl} = nabla g = frac{partialmathcal{L}}{partial s_{rl}}$ (пришедший со следующего слоя, уже известный градиент). Тогда

   $$frac{partialmathcal{L}}{partial x_{ij}} = sum_{r,l}frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} nabla_{rl}$$

   Так как $frac{partial s_{rl}}{partial x_{ij}} = 0$ при $rne i$, мы можем убрать суммирование по $r$:

   $$ldots = sum_{l}frac{partial s_{il}}{partial x_{ij}} nabla_{il} = -s_{i1}s_{ij}nabla_{i1} — ldots + s_{ij}(1 — s_{ij})nabla_{ij}-ldots — s_{iK}s_{ij}nabla_{iK} =$$

   $$= -s_{ij}sum_t s_{it}nabla_{it} + s_{ij}nabla_{ij}$$

   Таким образом, если мы хотим продифференцировать $f$ в какой-то конкретной точке $X_0$, то, смешивая математические обозначения с нотацией Python, мы можем записать:

   $$begin{multline*}
   color{#348FEA}{nabla_{X_0}f =}\
   color{#348FEA}{= -softmax(X_0) odot text{sum}left(
   softmax(X_0)odotnabla_{softmax(X_0)}g, text{ axis = 1}
   right) +}\
   color{#348FEA}{softmax(X_0)odot nabla_{softmax(X_0)}g}
   end{multline*}
   $$

Backpropagation в общем виде

Подытожим предыдущее обсуждение, описав алгоритм error backpropagation (алгоритм обратного распространения ошибки). Допустим, у нас есть текущие значения весов $W^i_0$ и мы хотим совершить шаг SGD по мини-батчу $X$. Мы должны сделать следующее:

1. Совершить forward pass, вычислив и запомнив все промежуточные представления $X = X^0, X^1, ldots, X^m = widehat{y}$.
2. Вычислить все градиенты с помощью backward pass.
3. С помощью полученных градиентов совершить шаг SGD.

Проиллюстрируем алгоритм на примере двуслойной нейронной сети со скалярным output’ом. Для простоты опустим свободные члены в линейных слоях.

Обучаемые параметры – матрицы $U$ и $W$. Как найти градиенты по ним в точке $U_0, W_0$?

$$nabla_{W_0}mathcal{L} = nabla_{W_0}{left({vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcircleft[Wmapsto g(XU_0)Wright]}right)}=$$

$$=g(XU_0)^Tnabla_{g(XU_0)W_0}(mathcal{L}circ h) = underbrace{g(XU_0)^T}_{ktimes N}cdot
left[vphantom{frac12}underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes 1}odot
underbrace{nabla_{hleft(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}right]$$

Итого матрица $ktimes 1$, как и $W_0$

$$nabla_{U_0}mathcal{L} = nabla_{U_0}left(vphantom{frac12}
mathcal{L}circ hcircleft[Ymapsto YW_0right]circ gcircleft[ Umapsto XUright]
right)=$$

$$=X^Tcdotnabla_{XU^0}left(vphantom{frac12}mathcal{L}circ hcirc [Ymapsto YW_0]circ gright) =$$

$$=X^Tcdotleft(vphantom{frac12}g'(XU_0)odot
nabla_{g(XU_0)}left[vphantom{in_0^1}mathcal{L}circ hcirc[Ymapsto YW_0right]
right)$$

$$=ldots = underset{Dtimes N}{X^T}cdotleft(vphantom{frac12}
underbrace{g'(XU_0)}_{Ntimes K}odot
underbrace{left[vphantom{int_0^1}left(
underbrace{h’left(vphantom{int_0^1}g(XU_0)W_0right)}_{Ntimes1}odotunderbrace{nabla_{h(vphantom{int_0^1}gleft(XU_0right)W_0)}mathcal{L}}_{Ntimes 1}
right)cdot underbrace{W^T}_{1times K}right]}_{Ntimes K}
right)$$

Итого $Dtimes K$, как и $U_0$

Схематически это можно представить следующим образом:

Backpropagation для двуслойной нейронной сети

Если вы не уследили за вычислениями в предыдущем примере, давайте более подробно разберём его чуть более конкретную версию (для $g = h = sigma$)Рассмотрим двуслойную нейронную сеть для классификации. Мы уже встречали ее ранее при рассмотрении линейно неразделимой выборки. Предсказания получаются следующим образом:

$$
widehat{y} = sigma(X^1 W^2) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1 )big) W^2 Big).
$$

Пусть $W^1_0$ и $W^2_0$ — текущее приближение матриц весов. Мы хотим совершить шаг по градиенту функции потерь, и для этого мы должны вычислить её градиенты по $W^1$ и $W^2$ в точке $(W^1_0, W^2_0)$.

Прежде всего мы совершаем forward pass, в ходе которого мы должны запомнить все промежуточные представления: $X^1 = X^0 W^1_0$, $X^2 = sigma(X^0 W^1_0)$, $X^3 = sigma(X^0 W^1_0) W^2_0$, $X^4 = sigma(sigma(X^0 W^1_0) W^2_0) = widehat{y}$. Они понадобятся нам дальше.

Для полученных предсказаний вычисляется значение функции потерь:

$$
l = mathcal{L}(y, widehat{y}) = y log(widehat{y}) + (1-y) log(1-widehat{y}).
$$

Дальше мы шаг за шагом будем находить производные по переменным из всё более глубоких слоёв.

1. Градиент $mathcal{L}$ по предсказаниям имеет вид

   $$
   nabla_{widehat{y}}l = frac{y}{widehat{y}} — frac{1 — y}{1 — widehat{y}} = frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})},
   $$

   где, напомним, $ widehat{y} = sigma(X^3) = sigmaBig(big(sigma(X^0 W^1_0 )big) W^2_0 Big)$ (обратите внимание на то, что $W^1_0$ и $W^2_0$ тут именно те, из которых мы делаем градиентный шаг).

2. Следующий слой — поэлементное взятие $sigma$. Как мы помним, при переходе через него градиент поэлементно умножается на производную $sigma$, в которую подставлено предыдущее промежуточное представление:

   $$
   nabla_{X^3}l = sigma'(X^3)odotnabla_{widehat{y}}l = sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — widehat{y}}{widehat{y} (1 — widehat{y})} =
   $$

   $$
   = sigma(X^3)left( 1 — sigma(X^3) right) odot frac{y — sigma(X^3)}{sigma(X^3) (1 — sigma(X^3))} =
   y — sigma(X^3)
   $$

3. Следующий слой — умножение на $W^2_0$. В этот момент мы найдём градиент как по $W^2$, так и по $X^2$. При переходе через умножение на матрицу градиент, как мы помним, умножается с той же стороны на транспонированную матрицу, а значит:

   $$
   color{blue}{nabla_{W^2_0}l} = (X^2)^Tcdot nabla_{X^3}l = (X^2)^Tcdot(y — sigma(X^3)) =
   $$

   $$
   = color{blue}{left( sigma(X^0W^1_0) right)^T cdot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W^2_0))}
   $$

   Аналогичным образом

   $$
   nabla_{X^2}l = nabla_{X^3}lcdot (W^2_0)^T = (y — sigma(X^3))cdot (W^2_0)^T =
   $$

   $$
   = (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T
   $$

4. Следующий слой — снова взятие $sigma$.

   $$
   nabla_{X^1}l = sigma'(X^1)odotnabla_{X^2}l = sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odot left( (y — sigma(X^2W_0^2))cdot (W^2_0)^T right) =
   $$

   $$
   = sigma(X^1)left( 1 — sigma(X^1) right) odotleft( (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^T right)
   $$

5. Наконец, последний слой — это умножение $X^0$ на $W^1_0$. Тут мы дифференцируем только по $W^1$:

   $$
   color{blue}{nabla_{W^1_0}l} = (X^0)^Tcdot nabla_{X^1}l = (X^0)^Tcdot big( sigma(X^1) left( 1 — sigma(X^1) right) odot (y — sigma(sigma(X^1)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) =
   $$

   $$
   = color{blue}{(X^0)^Tcdotbig(sigma(X^0W^1_0)left( 1 — sigma(X^0W^1_0) right) odot (y — sigma(sigma(X^0W^1_0)W_0^2))cdot (W^2_0)^Tbig) }
   $$

Итоговые формулы для градиентов получились страшноватыми, но они были получены друг из друга итеративно с помощью очень простых операций: матричного и поэлементного умножения, в которые порой подставлялись значения заранее вычисленных промежуточных представлений.

Автоматизация и autograd

Итак, чтобы нейросеть обучалась, достаточно для любого слоя $f^k: X^{k-1}mapsto X^k$ с параметрами $W^k$ уметь:

• превращать $nabla_{X^k_0}mathcal{L}$ в $nabla_{X^{k-1}_0}mathcal{L}$ (градиент по выходу в градиент по входу);
• считать градиент по его параметрам $nabla_{W^k_0}mathcal{L}$.

При этом слою совершенно не надо знать, что происходит вокруг. То есть слой действительно может быть запрограммирован как отдельная сущность, умеющая внутри себя делать forward pass и backward pass, после чего слои механически, как кубики в конструкторе, собираются в большую сеть, которая сможет работать как одно целое.

Более того, во многих случаях авторы библиотек для глубинного обучения уже о вас позаботились и создали средства для автоматического дифференцирования выражений (autograd). Поэтому, программируя нейросеть, вы почти всегда можете думать только о forward-проходе, прямом преобразовании данных, предоставив библиотеке дифференцировать всё самостоятельно. Это делает код нейросетей весьма понятным и выразительным (да, в реальности он тоже бывает большим и страшным, но сравните на досуге код какой-нибудь разухабистой нейросети и код градиентного бустинга на решающих деревьях и почувствуйте разницу).

Но это лишь начало

Метод обратного распространения ошибки позволяет удобно посчитать градиенты, но дальше с ними что-то надо делать, и старый добрый SGD едва ли справится с обучением современной сетки. Так что же делать? О некоторых приёмах мы расскажем в следующей главе.

Рад снова всех приветствовать, и сегодня продолжим планомерно двигаться в выбранном направлении. Речь, конечно, о масштабном разборе искусственных нейронных сетей для решения широкого спектра задач. Продолжим ровно с того момента, на котором остановились в предыдущей части, и это означает, что героем данного поста будет ключевой процесс — обучение нейронных сетей.

Тема эта крайне важна, поскольку именно процесс обучения позволяет сети начать выполнять задачу, для которой она, собственно, и предназначена. То есть нейронная сеть функционирует не по какому-либо жестко заданному на этапе проектирования алгоритму, она совершенствуется в процессе анализа имеющихся данных. Этот процесс и называется обучением нейронной сети. Математически суть процесса обучения заключается в корректировке значений весов синапсов (связей между имеющимися нейронами). Изначально значения весов задаются случайно, затем производится обучение, результатом которого будут новые значения синаптических весов. Это все мы максимально подробно разберем как раз в этой статье.

На своем сайте я всегда придерживаюсь концепции, при которой теоретические выкладки по максимуму сопровождаются практическими примерами для максимальной наглядности. Так мы поступим и сейчас 👍

Итак, суть заключается в следующем. Пусть у нас есть простейшая нейронная сеть, которую мы хотим обучить (продолжаем рассматривать сети прямого распространения):

То есть на входы нейронов I1 и I2 мы подаем какие-либо числа, а на выходе сети получаем соответственно новое значение. При этом нам необходима некая выборка данных, включающая в себя значения входов и соответствующее им, правильное, значение на выходе:

Допустим, сеть выполняет суммирование значений на входе, тогда данный набор данных может быть таким:

Эти значения и используются для обучения сети. Как именно — рассмотрим чуть ниже, пока сконцентрируемся на идее процесса в целом. Для того, чтобы иметь возможность тестировать работу сети в процессе обучения, исходную выборку данных делят на две части — обучающую и тестовую. Пусть имеется 1000 образцов, тогда можно 900 использовать для обучения, а оставшиеся 100 — для тестирования. Эти величины взяты исключительно ради наглядности и демонстрации логики выполнения операций, на практике все зависит от задачи, размер обучающей выборки может спокойно достигать и сотен тысяч образцов.

Итак, итог имеем следующий — обучающая выборка прогоняется через сеть, в результате чего происходит настройка значений синаптических весов. Один полный проход по всей выборке называется эпохой. И опять же, обучение нейронной сети — это процесс, требующий многократных экспериментов, анализа результатов и творческого подхода. Все перечисленные параметры (размер выборки, количество эпох обучения) могут иметь абсолютно разные значения для разных задач и сетей. Четкого правила тут просто нет, в этом и кроется дополнительный шарм и изящность )

Возвращаемся к разбору, и в результате прохода обучающей выборки через сеть мы получаем сеть с новыми значениями весов синапсов.

Далее мы через эту, уже обученную в той или иной степени, сеть прогоняем тестовую выборку, которая не участвовала в обучении. При этом сеть выдает нам выходные значения для каждого образца, которые мы сравниваем с теми верными значениями, которые имеем.

Анализируем нашу гипотетическую выборку:

Таким образом, для тестирования подаем на вход сети значения x_{(M+1)1}, x_{(M+1)2} и проверяем, чему равен выход, ожидаем очевидно значение y_{(M+1)}. Аналогично поступаем и для оставшихся тестовых образцов. После чего мы можем сделать вывод, успешно или нет работает сеть. Например, сеть дает правильный ответ для 90% тестовых данных, дальше уже встает вопрос — устраивает ли нас данная точность или процесс обучения необходимо повторить, либо провести заново, изменив какие-либо параметры сети.

В этом и заключается суть обучения нейронных сетей, теперь перейдем к деталям и конкретным действиям, которые необходимо осуществить для выполнения данного процесса. Двигаться снова будем поэтапно, чтобы сформировать максимально четкую и полную картину. Поэтому начнем с понятия градиентного спуска, который используется при обучении по методу обратного распространения ошибки. Обо всем этом далее…

Обучение нейронных сетей. Градиентный спуск.

Рассмотрев идею процесса обучения в целом, на данном этапе мы можем однозначно сформулировать текущую цель — необходимо определить математический алгоритм, который позволит рассчитать значения весовых коэффициентов таким образом, чтобы ошибка сети была минимальна. То есть грубо говоря нам необходима конкретная формула для вычисления:

Здесь Delta w_{ij} — величина, на которую необходимо изменить вес синапса, связывающего нейроны i и j нашей сети. Соответственно, зная это, необходимо на каждом этапе обучения производить корректировку весов связей между всеми элементами нейронной сети. Задача ясна, переходим к делу.

Пусть функция ошибки от веса имеет следующий вид:

Для удобства рассмотрим зависимость функции ошибки от одного конкретного веса:

В начальный момент мы находимся в некоторой точке кривой, а для минимизации ошибки попасть мы хотим в точку глобального минимума функции:

Нанесем на график вектора градиентов в разных точках. Длина векторов численно равна скорости роста функции в данной точке, что в свою очередь соответствует значению производной функции по данной точке. Исходя из этого, делаем вывод, что длина вектора градиента определяется крутизной функции в данной точке:

Вывод прост — величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Это важный вывод, к которому мы еще вернемся. А тем временем разберемся с направлением вектора, для чего рассмотрим еще несколько возможных точек:

Находясь в точке 1, целью является перейти в точку 2, поскольку в ней значение ошибки меньше (E_2 < E_1), а глобальная задача по-прежнему заключается в ее минимизации. Для этого необходимо изменить величину w на некое значение Delta w (Delta w = w_2 — w_1 > 0). При всем при этом в точке 1 градиент отрицательный. Фиксируем данные факты и переходим к точке 3, предположим, что мы находимся именно в ней.

Тогда для уменьшения ошибки наш путь лежит в точку 4, а необходимое изменение значения: Delta w = w_4 — w_3 < 0. Градиент же в точке 3 положителен. Этот факт также фиксируем.

А теперь соберем воедино эту информацию в виде следующей иллюстрации:

Вывод напрашивается сам собой — величина, на которую необходимо изменить значение w, в любой точке противоположна по знаку градиенту. И, таким образом, представим эту самую величину в виде:

Delta w = -alpha cdot frac{dE}{dw}

Имеем в наличии:

• Delta w — величина, на которую необходимо изменить значение w.
• frac{dE}{dw} — градиент в этой точке.
• alpha — скорость обучения.

Собственно, логика метода градиентного спуска и заключается в данном математическом выражении, а именно в том, что для минимизации ошибки необходимо изменять w в направлении противоположном градиенту. В контексте нейронных сетей имеем искомый закон для корректировки весов синаптических связей (для синапса между нейронами i и j):

Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}}

Более того, вспомним о важном свойстве, которое мы отдельно пометили. И заключается оно в том, что величина градиента будет уменьшаться по мере приближения к минимуму функции. Что это нам дает? А то, что в том случае, если наша текущая дислокация далека от места назначения, то величина, корректирующая вес связи, будет больше. А это обеспечит скорейшее приближение к цели. При приближении к целевому пункту, величина frac{dE}{dw_{ij}} будет уменьшаться, что поможет нам точнее попасть в нужную точку, а кроме того, не позволит нам ее проскочить. Визуализируем вышеописанное:

Скорость же обучения несет в себе следующий смысл. Она определяет величину каждого шага при поиске минимума ошибки. Слишком большое значение приводит к тому, что точка может «перепрыгнуть» через нужное значение и оказаться по другую сторону от цели:

Если же величина будет мала, то это приведет к тому, что спуск будет осуществляться очень медленно, что также является нежелательным эффектом. Поэтому скорость обучения, как и многие другие параметры нейронной сети, является очень важной величиной, для которой нет единственно верного значения. Все снова зависит от конкретного случая и оптимальная величина определяется исключительно исходя из текущих условий.

И даже на этом еще не все, здесь присутствует один важный нюанс, который в большинстве статей опускается, либо вовсе не упоминается. Реальная зависимость может иметь совсем другой вид:

Из чего вытекает потенциальная возможность попадания в локальный минимум, вместо глобального, что является большой проблемой. Для предотвращения данного эффекта вводится понятие момента обучения и формула принимает следующий вид:

Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

То есть добавляется второе слагаемое, которое представляет из себя произведение момента на величину корректировки веса на предыдущем шаге.

Итого, резюмируем продвижение к цели:

• Нашей задачей было найти закон, по которому необходимо изменять величину весов связей между нейронами.
• Наш результат — Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1} — именно то, что и требовалось 👍

И опять же, полученный результат логичным образом перенаправляет нас на следующий этап, ставя вопросы — что из себя представляет функция ошибки, и как определить ее градиент.

Обучение нейронных сетей. Функция ошибки.

Начнем с того, что определимся с тем, что у нас в наличии, для этого вернемся к конкретной нейронной сети. Пусть вид ее таков:

Интересует нас, в первую очередь, часть, относящаяся к нейронам выходного слоя. Подав на вход определенные значения, получаем значения на выходе сети: O_{net, 1} и O_{net, 2}. Кроме того, поскольку мы ведем речь о процессе обучения нейронной сети, то нам известны целевые значения: O_{correct, 1} и O_{correct, 2}. И именно этот набор данных на этом этапе является для нас исходным:

• Известно: O_{net, 1}, O_{net, 2}, O_{correct, 1} и O_{correct, 2}.
• Необходимо определить величины Delta w_{ij} для корректировки весов, для этого нужно вычислить градиенты (frac{dE}{dw_{ij}}) для каждого из синапсов.

Полдела сделано — задача четко сформулирована, начинаем деятельность по поиску решения.

В плане того, как определять ошибку, первым и самым очевидным вариантом кажется простая алгебраическая разность. Для каждого из выходных нейронов:

E_k = O_{correct, k} - O_{net, k}

Дополним пример числовыми значениями:

Недостатком данного варианта является то, что в том случае, если мы попытаемся просуммировать ошибки нейронов, то получим:

E_{sum} = e_1 + e_2 = -0.4 + 0.4 = 0

Что не соответствует действительности (нулевая ошибка, говорит об идеальной работе нейронной сети, по факту оба нейрона дали неверный результат). Так что вариант с разностью откидываем за несостоятельностью.

Вторым, традиционно упоминаемым, методом вычисления ошибки является использование модуля разности:

E_k = | O_{correct, k} - O_{net, k} |

Тут в действие вступает уже проблема иного рода:

Функция, бесспорно, симпатична, но при приближении к минимуму ее градиент является постоянной величиной, скачкообразно меняясь при переходе через точку минимума. Это нас также не устраивает, поскольку, как мы обсуждали, концепция заключалась в том числе в том, чтобы по мере приближения к минимуму значение градиента уменьшалось.

В итоге хороший результат дает зависимость (для выходного нейрона под номером k):

E_k = (O_{correct, k} - O_{net, k})^2

Функция по многим своим свойствам идеально удовлетворяет нуждам обучения нейронной сети, так что выбор сделан, остановимся на ней. Хотя, как и во многих аспектах, качающихся нейронных сетей, данное решение не является единственно и неоспоримо верным. В каких-то случаях лучше себя могут проявить другие зависимости, возможно, что какой-то вариант даст большую точность, но неоправданно высокие затраты производительности при обучении. В общем, непаханное поле для экспериментов и исследований, это и привлекательно.

Краткий вывод промежуточного шага, на который мы вышли:

• Имеющееся: frac{dE}{dw_{jk}} = frac{d}{d w_{jk}}(O_{correct, k} — O_{net, k})^2.
• Искомое по-прежнему: Delta w_{jk}.

Несложные диффернциально-математические изыскания выводят на следующий результат:

frac{dE}{d w_{jk}} = -(O_{correct, k} - O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) cdot O_j

Здесь эти самые изыскания я все-таки решил не вставлять, дабы не перегружать статью, которая и так выходит объемной. Но в случае необходимости и интереса, отпишите в комментарии, я добавлю вычисления и закину их под спойлер, как вариант.

Освежим в памяти структуру сети:

Формулу можно упростить, сгруппировав отдельные ее части:

• (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) — ошибка нейрона k.
• O_j — тут все понятно, выходной сигнал нейрона j.

f{Large{prime}}(sum_{j}w_{jk}O_j) — значение производной функции активации. Причем, обратите внимание, что sum_{j}w_{jk}O_j — это не что иное, как сигнал на входе нейрона k (I_{k}). Тогда для расчета ошибки выходного нейрона: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k).

Итог: frac{dE}{d w_{jk}} = -delta_k cdot O_j.

Одной из причин популярности сигмоидальной функции активности является то, что ее производная очень просто выражается через саму функцию:

f{'}(x) = f(x)medspace (1medspace-medspace f(x))

Данные алгебраические вычисления справедливы для корректировки весов между скрытым и выходным слоем, поскольку для расчета ошибки мы используем просто разность между целевым и полученным результатом, умноженную на производную.

Для других слоев будут незначительные изменения, касающиеся исключительно первого множителя в формуле:

frac{dE}{d w_{ij}} = -delta_j cdot O_i

Который примет следующий вид:

delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)

То есть ошибка для элемента слоя j получается путем взвешенного суммирования ошибок, «приходящих» к нему от нейронов следующего слоя и умножения на производную функции активации. В результате:

frac{dE}{d w_{ij}} = -(sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j) cdot O_i

Снова подводим промежуточный итог, чтобы иметь максимально полную и структурированную картину происходящего. Вот результаты, полученные нами на двух этапах, которые мы успешно миновали:

• Ошибка:
  • выходной слой: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k)
  • скрытые слои: delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)
• Градиент: frac{dE}{d w_{ij}} = -delta_j cdot O_i
• Корректировка весовых коэффициентов: Delta w_{ij} = -alpha cdot frac{dE}{dw_{ij}} + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1}

Преобразуем последнюю формулу:

Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

Из этого мы делаем вывод, что на данный момент у нас есть все, что необходимо для того, чтобы произвести обучение нейронной сети. И героем следующего подраздела будет алгоритм обратного распространения ошибки.

Метод обратного распространения ошибки.

Данный метод является одним из наиболее распространенных и популярных, чем и продиктован его выбор для анализа и разбора. Алгоритм обратного распространения ошибки относится к методам обучение с учителем, что на деле означает необходимость наличия целевых значений в обучающих сетах.

Суть же метода подразумевает наличие двух этапов:

• Прямой проход — входные сигналы двигаются в прямом направлении, в результате чего мы получаем выходной сигнал, из которого в дальнейшем рассчитываем значение ошибки.
• Обратный проход — обратное распространение ошибки — величина ошибки двигается в обратном направлении, в результате происходит корректировка весовых коэффициентов связей сети.

Начальные значения весов (перед обучением) задаются случайными, есть ряд методик для выбора этих значений, я опишу в отдельном материале максимально подробно. Пока вот можно полистать — ссылка.

Вернемся к конкретному примеру для явной демонстрации этих принципов:

Итак, имеется нейронная сеть, также имеется набор данных обучающей выборки. Как уже обсудили в начале статьи — обучающая выборка представляет из себя набор образцов (сетов), каждый из которых состоит из значений входных сигналов и соответствующих им «правильных» значений выходных величин.

Процесс обучения нейронной сети для алгоритма обратного распространения ошибки будет таким:

1. Прямой проход. Подаем на вход значения I_1, I_2, I_3 из обучающей выборки. В результате работы сети получаем выходные значения O_{net, 1}, O_{net, 2}. Этому целиком и полностью был посвящен предыдущий манускрипт.
2. Рассчитываем величины ошибок для всех слоев:
   • для выходного: delta_k = (O_{correct, k} — O_{net, k}) cdot f{Large{prime}}(I_k)
   • для скрытых: delta_j = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_j)
3. Далее используем полученные значения для расчета Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t — 1}
4. И финишируем, рассчитывая новые значения весов: w_{ij medspace new} = w_{ij} + Delta w_{ij}
5. На этом один цикл обучения закончен, данные шаги 1 — 4 повторяются для других образцов из обучающей выборки.

Обратный проход завершен, а вместе с ним и одна итерация процесса обучения нейронной сети по данному методу. Собственно, обучение в целом заключается в многократном повторении этих шагов для разных образцов из обучающей выборки. Логику мы полностью разобрали, при повторном проведении операций она остается в точности такой же.

Таким образом, максимально подробно концентрируясь именно на сути и логике процессов, мы в деталях разобрали метод обратного распространения ошибки. Поэтому переходим к завершающей части статьи, в которой разберем практический пример, произведя полностью все вычисления для конкретных числовых величин. Все в рамках продвигаемой мной концепции, что любая теоретическая информация на порядок лучше может быть осознана при применении ее на практике.

Пример расчетов для метода обратного распространения ошибки.

Возьмем нейронную сеть и зададим начальные значения весов:

Здесь я задал значения не в соответствии с существующими на сегодняшний день методами, а просто случайным образом для наглядности примера.

В качестве функции активации используем сигмоиду:

f(x) = frac{1}{1 + e^{-x}}

И ее производная:

f{Large{prime}}(x) = f(x)medspace (1medspace-medspace f(x))

Берем один образец из обучающей выборки, пусть будут такие значения:

• Входные: I_1 = 0.6, I_1 = 0.7.
• Выходное: O_{correct} = 0.9.

Скорость обучения alpha пусть будет равна 0.3, момент — gamma = 0.1. Все готово, теперь проведем полный цикл для метода обратного распространения ошибки, то есть прямой проход и обратный.

Прямой проход.

Начинаем с выходных значений нейронов 1 и 2, поскольку они являются входными, то:

O_1 = I_1 = 0.6 \
O_2 = I_2 = 0.7

Значения на входе нейронов 3, 4 и 5:

I_3 = O_1 cdot w_{13} + O_2 cdot w_{23} = 0.6 cdot (-1medspace) + 0.7 cdot 1 = 0.1 \
I_4 = 0.6 cdot 2.5 + 0.7 cdot 0.4 = 1.78 \
I_5 = 0.6 cdot 1 + 0.7 cdot (-1.5medspace) = -0.45

На выходе этих же нейронов первого скрытого слоя:

O_3 = f(I3medspace) = 0.52 \
O_4 = 0.86\
O_5 = 0.39

Продолжаем аналогично для следующего скрытого слоя:

I_6 = O_3 cdot w_{36} + O_4 cdot w_{46} + O_5 cdot w_{56} = 0.52 cdot 2.2 + 0.86 cdot (-1.4medspace) + 0.39 cdot 0.56 = 0.158 \
I_7 = 0.52 cdot 0.34 + 0.86 cdot 1.05 + 0.39 cdot 3.1 = 2.288 \
O_6 = f(I_6) = 0.54 \
O_7 = 0.908

Добрались до выходного нейрона:

I_8 = O_6 cdot w_{68} + O_7 cdot w_{78} = 0.54 cdot 0.75 + 0.908 cdot (-0.22medspace) = 0.205 \
O_8 = O_{net} = f(I_8) = 0.551

Получили значение на выходе сети, кроме того, у нас есть целевое значение O_{correct} = 0.9. То есть все, что необходимо для обратного прохода, имеется.

Обратный проход.

Как мы и обсуждали, первым этапом будет вычисление ошибок всех нейронов, действуем:

delta_8 = (O_{correct} - O_{net}) cdot f{Large{prime}}(I_8) = (O_{correct} - O_{net}) cdot f(I_8) cdot (1-f(I_8)) = (0.9 - 0.551medspace) cdot 0.551 cdot (1-0.551medspace) = 0.0863 \
delta_7 = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = (delta_8 cdot w_{78}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = 0.0863 cdot (-0.22medspace) cdot 0.908 cdot (1 - 0.908medspace) = -0.0016 \
delta_6 = 0.086 cdot 0.75 cdot 0.54 cdot (1 - 0.54medspace) = 0.016 \
delta_5 = (sum_{k}{}{delta_kmedspace w_{jk}}) cdot f{Large{prime}}(I_5) = (delta_7 cdot w_{57} + delta_6 cdot w_{56}) cdot f{Large{prime}}(I_7) = (-0.0016 cdot 3.1 + 0.016 cdot 0.56) cdot 0.39 cdot (1 - 0.39medspace) = 0.001 \
delta_4 = (-0.0016 cdot 1.05 + 0.016 cdot (-1.4)) cdot 0.86 cdot (1 - 0.86medspace) = -0.003 \
delta_3 = (-0.0016 cdot 0.34 + 0.016 cdot 2.2) cdot 0.52 cdot (1 - 0.52medspace) = -0.0087

С расчетом ошибок закончили, следующий этап — расчет корректировочных величин для весов всех связей. Для этого мы вывели формулу:

Delta w_{ij} = alpha cdot delta_j cdot O_i + gamma cdot Delta w_{ij}^{t - 1}

Как вы помните, Delta w_{ij}^{t — 1} — это величина поправки для данного веса на предыдущей итерации. Но поскольку у нас это первый проход, то данное значение будет нулевым, соответственно, в данном случае второе слагаемое отпадает. Но забывать о нем нельзя. Продолжаем калькулировать:

Delta w_{78} = alpha cdot delta_8 cdot O_7 = 0.3 cdot 0.0863 cdot 0.908 = 0.0235 \
Delta w_{68} = 0.3 cdot 0.0863 cdot 0.54= 0.014 \
Delta w_{57} = alpha cdot delta_7 cdot O_5 = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.39= -0.00019 \
Delta w_{47} = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.86= -0.0004 \
Delta w_{37} = 0.3 cdot (−0.0016medspace) cdot 0.52= -0.00025 \
Delta w_{56} = alpha cdot delta_6 cdot O_5 = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.39= 0.0019 \
Delta w_{46} = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.86= 0.0041 \
Delta w_{36} = 0.3 cdot 0.016 cdot 0.52= 0.0025 \
Delta w_{25} = alpha cdot delta_5 cdot O_2 = 0.3 cdot 0.001 cdot 0.7= 0.00021 \
Delta w_{15} = 0.3 cdot 0.001 cdot 0.6= 0.00018 \
Delta w_{24} = alpha cdot delta_4 cdot O_2 = 0.3 cdot (-0.003medspace) cdot 0.7= -0.00063 \
Delta w_{14} = 0.3 cdot (-0.003medspace) cdot 0.6= -0.00054 \
Delta w_{23} = alpha cdot delta_3 cdot O_2 = 0.3 cdot (−0.0087medspace) cdot 0.7= -0.00183 \
Delta w_{13} = 0.3 cdot (−0.0087medspace) cdot 0.6= -0.00157

И самый что ни на есть заключительный этап — непосредственно изменение значений весовых коэффициентов:

w_{78 medspace new} = w_{78} + Delta w_{78} = -0.22 + 0.0235 = -0.1965 \
w_{68 medspace new} = 0.75+ 0.014 = 0.764 \
w_{57 medspace new} = 3.1 + (−0.00019medspace) = 3.0998\
w_{47 medspace new} = 1.05 + (−0.0004medspace) = 1.0496\
w_{37 medspace new} = 0.34 + (−0.00025medspace) = 0.3398\
w_{56 medspace new} = 0.56 + 0.0019 = 0.5619 \
w_{46 medspace new} = -1.4 + 0.0041 = -1.3959 \
w_{36 medspace new} = 2.2 + 0.0025 = 2.2025 \
w_{25 medspace new} = -1.5 + 0.00021 = -1.4998 \
w_{15 medspace new} = 1 + 0.00018 = 1.00018 \
w_{24 medspace new} = 0.4 + (−0.00063medspace) = 0.39937 \
w_{14 medspace new} = 2.5 + (−0.00054medspace) = 2.49946 \
w_{23 medspace new} = 1 + (−0.00183medspace) = 0.99817 \
w_{13 medspace new} = -1 + (−0.00157medspace) = -1.00157\

И на этом данную масштабную статью завершаем, конечно же, не завершая на этом деятельность по использованию нейронных сетей. Так что всем спасибо за прочтение, любые вопросы пишите в комментариях и на форуме, ну и обязательно следите за обновлениями и новыми материалами, до встречи!

Нейронные сети для начинающих. Часть 2 +38

Что такое нейрон смещения?

Перед тем как начать нашу основную тему, мы должны ввести понятие еще одного вида нейронов — нейрон смещения. Нейрон смещения или bias нейрон — это третий вид нейронов, используемый в большинстве нейросетей. Особенность этого типа нейронов заключается в том, что его вход и выход всегда равняются 1 и они никогда не имеют входных синапсов. Нейроны смещения могут, либо присутствовать в нейронной сети по одному на слое, либо полностью отсутствовать, 50/50 быть не может (красным на схеме обозначены веса и нейроны которые размещать нельзя). Соединения у нейронов смещения такие же, как у обычных нейронов — со всеми нейронами следующего уровня, за исключением того, что синапсов между двумя bias нейронами быть не может. Следовательно, их можно размещать на входном слое и всех скрытых слоях, но никак не на выходном слое, так как им попросту не с чем будет формировать связь.

Для чего нужен нейрон смещения?

Нейрон смещения нужен для того, чтобы иметь возможность получать выходной результат, путем сдвига графика функции активации вправо или влево. Если это звучит запутанно, давайте рассмотрим простой пример, где есть один входной нейрон и один выходной нейрон. Тогда можно установить, что выход O2 будет равен входу H1, умноженному на его вес, и пропущенному через функцию активации (формула на фото слева). В нашем конкретном случае, будем использовать сигмоид.

Из школьного курса математики, мы знаем, что если взять функцию y = ax+b и менять у нее значения “а”, то будет изменяться наклон функции (цвета линий на графике слева), а если менять “b”, то мы будем смещать функцию вправо или влево (цвета линий на графике справа). Так вот “а” — это вес H1, а “b” — это вес нейрона смещения B1. Это грубый пример, но примерно так все и работает (если вы посмотрите на функцию активации справа на изображении, то заметите очень сильное сходство между формулами). То есть, когда в ходе обучения, мы регулируем веса скрытых и выходных нейронов, мы меняем наклон функции активации. Однако, регулирование веса нейронов смещения может дать нам возможность сдвинуть функцию активации по оси X и захватить новые участки. Иными словами, если точка, отвечающая за ваше решение, будет находиться, как показано на графике слева, то ваша НС никогда не сможет решить задачу без использования нейронов смещения. Поэтому, вы редко встретите нейронные сети без нейронов смещения.

Также нейроны смещения помогают в том случае, когда все входные нейроны получают на вход 0 и независимо от того какие у них веса, они все передадут на следующий слой 0, но не в случае присутствия нейрона смещения. Наличие или отсутствие нейронов смещения — это гиперпараметр (об этом чуть позже). Одним словом, вы сами должны решить, нужно ли вам использовать нейроны смещения или нет, прогнав НС с нейронами смешения и без них и сравнив результаты.

ВАЖНО знать, что иногда на схемах не обозначают нейроны смещения, а просто учитывают их веса при вычислении входного значения например:

input = H1*w1+H2*w2+b3
b3 = bias*w3

Так как его выход всегда равен 1, то можно просто представить что у нас есть дополнительный синапс с весом и прибавить к сумме этот вес без упоминания самого нейрона.

Как сделать чтобы НС давала правильные ответы?

Ответ прост — нужно ее обучать. Однако, насколько бы прост не был ответ, его реализация в плане простоты, оставляет желать лучшего. Существует несколько методов обучения НС и я выделю 3, на мой взгляд, самых интересных:

• Метод обратного распространения (Backpropagation)
• Метод упругого распространения (Resilient propagation или Rprop)
• Генетический Алгоритм (Genetic Algorithm)

Об Rprop и ГА речь пойдет в других статьях, а сейчас мы с вами посмотрим на основу основ — метод обратного распространения, который использует алгоритм градиентного спуска.

Что такое градиентный спуск?

Это способ нахождения локального минимума или максимума функции с помощью движения вдоль градиента. Если вы поймете суть градиентного спуска, то у вас не должно возникнуть никаких вопросов во время использования метода обратного распространения. Для начала, давайте разберемся, что такое градиент и где он присутствует в нашей НС. Давайте построим график, где по оси х будут значения веса нейрона(w) а по оси у — ошибка соответствующая этому весу(e).

Посмотрев на этот график, мы поймем, что график функция f(w) является зависимостью ошибки от выбранного веса. На этом графике нас интересует глобальный минимум — точка (w2,e2) или, иными словами, то место где график подходит ближе всего к оси х. Эта точка будет означать, что выбрав вес w2 мы получим самую маленькую ошибку — e2 и как следствие, самый лучший результат из всех возможных. Найти же эту точку нам поможет метод градиентного спуска (желтым на графике обозначен градиент). Соответственно у каждого веса в нейросети будет свой график и градиент и у каждого надо найти глобальный минимум.

Так что же такое, этот градиент? Градиент — это вектор который определяет крутизну склона и указывает его направление относительно какой либо из точек на поверхности или графике. Чтобы найти градиент нужно взять производную от графика по данной точке (как это и показано на графике). Двигаясь по направлению этого градиента мы будем плавно скатываться в низину. Теперь представим что ошибка — это лыжник, а график функции — гора. Соответственно, если ошибка равна 100%, то лыжник находиться на самой вершине горы и если ошибка 0% то в низине. Как все лыжники, ошибка стремится как можно быстрее спуститься вниз и уменьшить свое значение. В конечном случае у нас должен получиться следующий результат:

Представьте что лыжника забрасывают, с помощью вертолета, на гору. На сколько высоко или низко зависит от случая (аналогично тому, как в нейронной сети при инициализации веса расставляются в случайном порядке). Допустим ошибка равна 90% и это наша точка отсчета. Теперь лыжнику нужно спуститься вниз, с помощью градиента. На пути вниз, в каждой точке мы будем вычислять градиент, что будет показывать нам направление спуска и при изменении наклона, корректировать его. Если склон будет прямым, то после n-ого количества таких действий мы доберемся до низины. Но в большинстве случаев склон (график функции) будет волнистый и наш лыжник столкнется с очень серьезной проблемой — локальный минимум. Я думаю все знают, что такое локальный и глобальный минимум функции, для освежения памяти вот пример. Попадание в локальный минимум чревато тем, что наш лыжник навсегда останется в этой низине и никогда не скатиться с горы, следовательно мы никогда не сможем получить правильный ответ. Но мы можем избежать этого, снарядив нашего лыжника реактивным ранцем под названием момент (momentum). Вот краткая иллюстрация момента:

Как вы уже наверное догадались, этот ранец придаст лыжнику необходимое ускорение чтобы преодолеть холм, удерживающий нас в локальном минимуме, однако здесь есть одно НО. Представим что мы установили определенное значение параметру момент и без труда смогли преодолеть все локальные минимумы, и добраться до глобального минимума. Так как мы не можем просто отключить реактивный ранец, то мы можем проскочить глобальный минимум, если рядом с ним есть еще низины. В конечном случае это не так важно, так как рано или поздно мы все равно вернемся обратно в глобальный минимум, но стоит помнить, что чем больше момент, тем больше будет размах с которым лыжник будет кататься по низинам. Вместе с моментом в методе обратного распространения также используется такой параметр как скорость обучения (learning rate). Как наверняка многие подумают, чем больше скорость обучения, тем быстрее мы обучим нейросеть. Нет. Скорость обучения, также как и момент, является гиперпараметром — величина которая подбирается путем проб и ошибок. Скорость обучения можно напрямую связать со скоростью лыжника и можно с уверенностью сказать — тише едешь дальше будешь. Однако здесь тоже есть определенные аспекты, так как если мы совсем не дадим лыжнику скорости то он вообще никуда не поедет, а если дадим маленькую скорость то время пути может растянуться на очень и очень большой период времени. Что же тогда произойдет если мы дадим слишком большую скорость?

Как видите, ничего хорошего. Лыжник начнет скатываться по неправильному пути и возможно даже в другом направлении, что как вы понимаете только отдалит нас от нахождения правильного ответа. Поэтому во всех этих параметрах нужно находить золотую середину чтобы избежать не сходимости НС (об этом чуть позже).

Что такое Метод Обратного Распространения (МОР)?

Вот мы и дошли до того момента, когда мы можем обсудить, как же все таки сделать так, чтобы ваша НС могла правильно обучаться и давать верные решения. Очень хорошо МОР визуализирован на этой гифке:

А теперь давайте подробно разберем каждый этап. Если вы помните то в предыдущей статье мы считали выход НС. По другому это называется передача вперед (Forward pass), то есть мы последовательно передаем информацию от входных нейронов к выходным. После чего мы вычисляем ошибку и основываясь на ней делаем обратную передачу, которая заключается в том, чтобы последовательно менять веса нейронной сети, начиная с весов выходного нейрона. Значение весов будут меняться в ту сторону, которая даст нам наилучший результат. В моих вычисления я буду пользоваться методом нахождения дельты, так как это наиболее простой и понятный способ. Также я буду использовать стохастический метод обновления весов (об этом чуть позже).

Теперь давайте продолжим с того места, где мы закончили вычисления в предыдущей статье.

Так как мы уже подсчитали результат НС и ее ошибку, то мы можем сразу приступить к МОРу. Как я уже упоминал ранее, алгоритм всегда начинается с выходного нейрона. В таком случае давайте посчитаем для него значение ? (дельта) по формуле 1.
Так как у выходного нейрона нет исходящих синапсов, то мы будем пользоваться первой формулой (? output), следственно для скрытых нейронов мы уже будем брать вторую формулу (? hidden). Тут все достаточно просто: считаем разницу между желаемым и полученным результатом и умножаем на производную функции активации от входного значения данного нейрона. Прежде чем приступить к вычислениям я хочу обратить ваше внимание на производную. Во первых как это уже наверное стало понятно, с МОР нужно использовать только те функции активации, которые могут быть дифференцированы. Во вторых чтобы не делать лишних вычислений, формулу производной можно заменить на более дружелюбную и простую формула вида:

Таким образом наши вычисления для точки O1 будут выглядеть следующим образом.

На этом вычисления для нейрона O1 закончены. Запомните, что после подсчета дельты нейрона мы обязаны сразу обновить веса всех исходящих синапсов этого нейрона. Так как в случае с O1 их нет, мы переходим к нейронам скрытого уровня и делаем тоже самое за исключение того, что формула подсчета дельты у нас теперь вторая и ее суть заключается в том, чтобы умножить производную функции активации от входного значения на сумму произведений всех исходящих весов и дельты нейрона с которой этот синапс связан. Но почему формулы разные? Дело в том что вся суть МОР заключается в том чтобы распространить ошибку выходных нейронов на все веса НС. Ошибку можно вычислить только на выходном уровне, как мы это уже сделали, также мы вычислили дельту в которой уже есть эта ошибка. Следственно теперь мы будем вместо ошибки использовать дельту которая будет передаваться от нейрона к нейрону. В таком случае давайте найдем дельту для H1:

Теперь нам нужно найти градиент для каждого исходящего синапса. Здесь обычно вставляют 3 этажную дробь с кучей производных и прочим математическим адом, но в этом и вся прелесть использования метода подсчета дельт, потому что в конечном счете ваша формула нахождения градиента будет выглядеть вот так:

Здесь точка A это точка в начале синапса, а точка B на конце синапса. Таким образом мы можем подсчитать градиент w5 следующим образом:

Сейчас у нас есть все необходимые данные чтобы обновить вес w5 и мы сделаем это благодаря функции МОР которая рассчитывает величину на которую нужно изменить тот или иной вес и выглядит она следующим образом:

Настоятельно рекомендую вам не игнорировать вторую часть выражения и использовать момент так как это вам позволит избежать проблем с локальным минимумом.

Здесь мы видим 2 константы о которых мы уже говорили, когда рассматривали алгоритм градиентного спуска: E (эпсилон) — скорость обучения, ? (альфа) — момент. Переводя формулу в слова получим: изменение веса синапса равно коэффициенту скорости обучения, умноженному на градиент этого веса, прибавить момент умноженный на предыдущее изменение этого веса (на 1-ой итерации равно 0). В таком случае давайте посчитаем изменение веса w5 и обновим его значение прибавив к нему ?w5.

Таким образом после применения алгоритма наш вес увеличился на 0.063. Теперь предлагаю сделать вам тоже самое для H2.

И конечно не забываем про I1 и I2, ведь у них тоже есть синапсы веса которых нам тоже нужно обновить. Однако помним, что нам не нужно находить дельты для входных нейронов так как у них нет входных синапсов.

Теперь давайте убедимся в том, что мы все сделали правильно и снова посчитаем выход НС только уже с обновленными весами.

Как мы видим после одной итерации МОР, нам удалось уменьшить ошибку на 0.04 (6%). Теперь нужно повторять это снова и снова, пока ваша ошибка не станет достаточно мала.

Что еще нужно знать о процессе обучения?

Нейросеть можно обучать с учителем и без (supervised, unsupervised learning).

Обучение с учителем — это тип тренировок присущий таким проблемам как регрессия и классификация (им мы и воспользовались в примере приведенном выше). Иными словами здесь вы выступаете в роли учителя а НС в роли ученика. Вы предоставляете входные данные и желаемый результат, то есть ученик посмотрев на входные данные поймет, что нужно стремиться к тому результату который вы ему предоставили.

Обучение без учителя — этот тип обучения встречается не так часто. Здесь нет учителя, поэтому сеть не получает желаемый результат или же их количество очень мало. В основном такой вид тренировок присущ НС у которых задача состоит в группировке данных по определенным параметрам. Допустим вы подаете на вход 10000 статей на хабре и после анализа всех этих статей НС сможет распределить их по категориям основываясь, например, на часто встречающихся словах. Статьи в которых упоминаются языки программирования, к программированию, а где такие слова как Photoshop, к дизайну.

Существует еще такой интересный метод, как обучение с подкреплением (reinforcement learning). Этот метод заслуживает отдельной статьи, но я попытаюсь вкратце описать его суть. Такой способ применим тогда, когда мы можем основываясь на результатах полученных от НС, дать ей оценку. Например мы хотим научить НС играть в PAC-MAN, тогда каждый раз когда НС будет набирать много очков мы будем ее поощрять. Иными словами мы предоставляем НС право найти любой способ достижения цели, до тех пор пока он будет давать хороший результат. Таким способом, сеть начнет понимать чего от нее хотят добиться и пытается найти наилучший способ достижения этой цели без постоянного предоставления данных “учителем”.

Также обучение можно производить тремя методами: стохастический метод (stochastic), пакетный метод (batch) и мини-пакетный метод (mini-batch). Существует очень много статей и исследований на тему того, какой из методов лучше и никто не может прийти к общему ответу. Я же сторонник стохастического метода, однако я не отрицаю тот факт, что каждый метод имеет свои плюсы и минусы.

Вкратце о каждом методе:

Стохастический (его еще иногда называют онлайн) метод работает по следующему принципу — нашел ?w, сразу обнови соответствующий вес.

Пакетный метод же работает по другому. Мы суммируем ?w всех весов на текущей итерации и только потом обновляем все веса используя эту сумму. Один из самых важных плюсов такого подхода — это значительная экономия времени на вычисление, точность же в таком случае может сильно пострадать.

Мини-пакетный метод является золотой серединой и пытается совместить в себе плюсы обоих методов. Здесь принцип таков: мы в свободном порядке распределяем веса по группам и меняем их веса на сумму ?w всех весов в той или иной группе.

Что такое гиперпараметры?

Гиперпараметры — это значения, которые нужно подбирать вручную и зачастую методом проб и ошибок. Среди таких значений можно выделить:

• Момент и скорость обучения
• Количество скрытых слоев
• Количество нейронов в каждом слое
• Наличие или отсутствие нейронов смещения

В других типах НС присутствуют дополнительные гиперпараметры, но о них мы говорить не будем. Подбор верных гиперпараметров очень важен и будет напрямую влиять на сходимость вашей НС. Понять стоит ли использовать нейроны смещения или нет достаточно просто. Количество скрытых слоев и нейронов в них можно вычислить перебором основываясь на одном простом правиле — чем больше нейронов, тем точнее результат и тем экспоненциально больше время, которое вы потратите на ее обучение. Однако стоит помнить, что не стоит делать НС с 1000 нейронов для решения простых задач. А вот с выбором момента и скорости обучения все чуточку сложнее. Эти гиперпараметры будут варьироваться, в зависимости от поставленной задачи и архитектуры НС. Например, для решения XOR скорость обучения может быть в пределах 0.3 — 0.7, но в НС которая анализирует и предсказывает цену акций, скорость обучения выше 0.00001 приводит к плохой сходимости НС. Не стоит сейчас заострять свое внимание на гиперпараметрах и пытаться досконально понять, как же их выбирать. Это придет с опытом, а пока что советую просто экспериментировать и искать примеры решения той или иной задачи в сети.

Что такое сходимость?

Сходимость говорит о том, правильная ли архитектура НС и правильно ли были подобраны гиперпараметры в соответствии с поставленной задачей. Допустим наша программа выводит ошибку НС на каждой итерации в лог. Если с каждой итерацией ошибка будет уменьшаться, то мы на верном пути и наша НС сходится. Если же ошибка будет прыгать вверх — вниз или застынет на определенном уровне, то НС не сходится. В 99% случаев это решается изменением гиперпараметров. Оставшийся 1% будет означать, что у вас ошибка в архитектуре НС. Также бывает, что на сходимость влияет переобучение НС.

Что такое переобучение?

Переобучение, как следует из названия, это состояние нейросети, когда она перенасыщена данными. Это проблема возникает, если слишком долго обучать сеть на одних и тех же данных. Иными словами, сеть начнет не учиться на данных, а запоминать и “зубрить” их. Соответственно, когда вы уже будете подавать на вход этой НС новые данные, то в полученных данных может появиться шум, который будет влиять на точность результата. Например, если мы будем показывать НС разные фотографии яблок (только красные) и говорить что это яблоко. Тогда, когда НС увидит желтое или зеленое яблоко, оно не сможет определить, что это яблоко, так как она запомнила, что все яблоки должны быть красными. И наоборот, когда НС увидит что-то красное и по форме совпадающее с яблоком, например персик, она скажет, что это яблоко. Это и есть шум. На графике шум будет выглядеть следующим образом.

Видно, что график функции сильно колеблется от точки к точке, которые являются выходными данными (результатом) нашей НС. В идеале, этот график должен быть менее волнистый и прямой. Чтобы избежать переобучения, не стоит долго тренировать НС на одних и тех же или очень похожих данных. Также, переобучение может быть вызвано большим количеством параметров, которые вы подаете на вход НС или слишком сложной архитектурой. Таким образом, когда вы замечаете ошибки (шум) в выходных данных после этапа обучения, то вам стоит использовать один из методов регуляризации, но в большинстве случаев это не понадобиться.

Заключение

Надеюсь эта статья смогла прояснить ключевые моменты такого нелегко предмета, как Нейронные сети. Однако я считаю, что сколько бы ты статей не прочел, без практики такую сложную тему освоить невозможно. Поэтому, если вы только в начале пути и хотите изучить эту перспективную и развивающуюся отрасль, то советую начать практиковаться с написания своей НС, а уже после прибегать к помощи различных фреймворков и библиотек. Также, если вам интересен мой метод изложения информации и вы хотите, чтобы я написал статьи на другие темы связанные с Машинным обучением, то проголосуйте в опросе ниже за ту тему которую вам интересна. До встречи в будущих статьях 🙂

В наши дни возрастает необходимость в системах, которые способны не только выполнять однажды запрограммированную последовательность действий над заранее определенными данными, но и способны сами анализировать вновь поступающую информацию, находить в ней закономерности, производить прогнозирование и т.д. В этой области приложений самым лучшим образом зарекомендовали себя так называемые нейронные сети – самообучающиеся системы, имитирующие деятельность человеческого мозга. Рассмотрим подробнее структуру искусственных нейронных сетей (НС) и их применение в конкретных задачах.

Искусственный нейрон

Несмотря на большое разнообразие вариантов нейронных сетей, все они имеют общие черты. Так, все они, так же, как и мозг человека, состоят из большого числа связанных между собой однотипных элементов – нейронов, которые имитируют нейроны головного мозга. На рис. 1 показана схема нейрона.

Из рисунка видно, что искусственный нейрон, так же, как и живой, состоит из синапсов, связывающих входы нейрона с ядром; ядра нейрона, которое осуществляет обработку входных сигналов и аксона, который связывает нейрон с нейронами следующего слоя. Каждый синапс имеет вес, который определяет, насколько соответствующий вход нейрона влияет на его состояние. Состояние нейрона определяется по формуле

$S =sum limits_{i=1}^{n} ,x_iw_i$, (1)

$sum limits_{k=1}^{N} k^2$, (1)

где

n – число входов нейрона
x_i – значение i-го входа нейрона
w_i – вес i-го синапса.

Затем определяется значение аксона нейрона по формуле

$Y = f,(S)$, (2)

Где f – некоторая функция, которая называется активационной. Наиболее часто в качестве активационной функции используется так называемый сигмоид, который имеет следующий вид:

$f,(x) = frac{1}{1,+,mbox e^{-ax}}$, (3)

Основное достоинство этой функции в том, что она дифференцируема на всей оси абсцисс и имеет очень простую производную:

$f’,(x) = alpha f(x),bigl(1,-,f,(x)bigr)$, (4)

При уменьшении параметра a сигмоид становится более пологим, вырождаясь в горизонтальную линию на уровне 0,5 при a=0. При увеличении a сигмоид все больше приближается к функции единичного скачка.

Нейронные сети обратного распространения

Нейронные сети обратного распространения – это мощнейший инструмент поиска закономерностей, прогнозирования, качественного анализа. Такое название – сети обратного распространения (back propagation) они получили из-за используемого алгоритма обучения, в котором ошибка распространяется от выходного слоя к входному, т. е. в направлении, противоположном направлению распространения сигнала при нормальном функционировании сети.

Нейронная сеть обратного распространения состоит из нескольких слоев нейронов, причем каждый нейрон слоя i связан с каждым нейроном слоя i+1, т. е. речь идет о полносвязной НС.

В общем случае задача обучения НС сводится к нахождению некой функциональной зависимости Y=F(X) где X – входной, а Y – выходной векторы. В общем случае такая задача, при ограниченном наборе входных данных, имеет бесконечное множество решений. Для ограничения пространства поиска при обучении ставится задача минимизации целевой функции ошибки НС, которая находится по методу наименьших квадратов:

$E,(w) = frac{1}{2}sum limits_{j=1}^{p} , {(y_i,-,d_i)}^2$, (5)

где

y_j – значение j-го выхода нейросети,

d_j – целевое значение j-го выхода,

p – число нейронов в выходном слое.

Обучение нейросети производится методом градиентного спуска, т. е. на каждой итерации изменение веса производится по формуле:

$Delta,w_{ij} = -,eta,cdot,frac{partial,E}{partial,w_{ij}}$, (6)

где h – параметр, определяющий скорость обучения.

$frac{partial,E}{partial,w_{ij}} = frac{partial,E}{partial,y_i},cdot,frac{dy_i}{dS_j},cdot,frac{partial,S_j}{partial,w_{ij}}$, (7)

где

y_j – значение выхода j-го нейрона,

S_j – взвешенная сумма входных сигналов, определяемая по формуле (1).

При этом множитель

$frac{partial,S_j}{partial,w_{ij}} = x_i$, (8)

где

x_i – значение i-го входа нейрона.

Далее рассмотрим определение первого множителя формулы (7).

$frac{partial,E}{partial,y_j} = sum limits_{k}^{} frac{partial,E}{partial,y_k},cdot,frac{dy_k}{dS_k},cdot,frac{partial,S_k}{partial,y_j} = sum limits_{k}^{} frac{partial,E}{partial,y_k},cdot,frac{dy_k}{dS_k},cdot,w_{jk}^{(n+1)}$, (9)

где

k – число нейронов в слое n+1.

Введем вспомогательную переменную

$delta_j^{(n)}= frac{partial,E}{partial,y_j},cdot,frac{dy_j}{dS_j}$, (10)

Тогда мы сможем определить рекурсивную формулу для определения n-ного слоя, если нам известно следующего (n+1)-го слоя.

$delta_j^{(n)}= biggl[ sum limits_{k}^{} delta_k^{(n+1)},cdot,w_{jk}^{(n+1)}biggr],cdot,frac{dy_j}{dS_j}$, (11)

Нахождение же для последнего слоя НС не представляет трудности, так как нам известен целевой вектор, т. е. вектор тех значений, которые должна выдавать НС при данном наборе входных значений.

$delta_j^{(N)}= bigl( y_i^{(N)}-,d_ibigr),cdot,frac{dy_j}{dS_j}$, (12)

И наконец запишем формулу (6) в раскрытом виде

$Delta w_{ij}^{(n)}= -,eta,cdot,delta_j^{(n)},cdot,x_i^n$, (13)

Рассмотрим теперь полный алгоритм обучения нейросети:

1. подать на вход НС один из требуемых образов и определить значения выходов нейронов нейросети
2. рассчитать для выходного слоя НС по формуле (12) и рассчитать изменения весов выходного слоя N по формуле (13)
3. Рассчитать по формулам (11) и (13) соответственно и $Delta w_{ij}^{(N)}$ для остальных слоев НС, n = N-1..1
4. Скорректировать все веса НС

   $w_{ij}^{(n)},(t) = w_{ij}^{(n)},(t,-,1) ,+,Delta w_{ij}^{(n)},(t)$, (14)

5. Если ошибка существенна, то перейти на шаг 1

На этапе 2 сети поочередно в случайном порядке предъявляются вектора из обучающей последовательности.

Повышение эффективности обучения НС обратного распространения

Простейший метод градиентного спуска, рассмотренный выше, очень неэффективен в случае, когда производные по различным весам сильно отличаются. Это соответствует ситуации, когда значение функции S для некоторых нейронов близка по модулю к 1 или когда модуль некоторых весов много больше 1. В этом случае для плавного уменьшения ошибки надо выбирать очень маленькую скорость обучения, но при этом обучение может занять непозволительно много времени.

Простейшим методом усовершенствования градиентного спуска является введение момента m, когда влияние градиента на изменение весов изменяется со временем. Тогда формула (13) примет вид

$Delta w_{ij}^{(n)},(t) = -,eta,cdot,delta_j^{(n)},cdot,x_i^n,+,mu,Delta w_{ij}^{(n)},(t,-,1)$ , (13.1)

Дополнительным преимуществом от введения момента является способность алгоритма преодолевать мелкие локальные минимумы.

Представление входных данных

Основное отличие НС в том, что в них все входные и выходные параметры представлены в виде чисел с плавающей точкой обычно в диапазоне [0..1]. В то же время данные предметной области часто имеют другое кодирование. Так, это могут быть числа в произвольном диапазоне, даты, символьные строки. Таким образом данные о проблеме могут быть как количественными, так и качественными. Рассмотрим сначала преобразование качественных данных в числовые, а затем рассмотрим способ преобразования входных данных в требуемый диапазон.

Качественные данные мы можем разделить на две группы: упорядоченные (ординальные) и неупорядоченные. Для рассмотрения способов кодирования этих данных мы рассмотрим задачу о прогнозировании успешности лечения какого-либо заболевания. Примером упорядоченных данных могут, например, являться данные, например, о дополнительных факторах риска при данном заболевании.

А также возможным примером может быть, например, возраст больного:

Опасность каждого фактора возрастает в таблицах при движении слева направо.

В первом случае мы видим, что у больного может быть несколько факторов риска одновременно. В таком случае нам необходимо использовать такое кодирование, при котором отсутствует ситуация, когда разным комбинациям факторов соответствует одно и то же значение. Наиболее распространен способ кодирования, когда каждому фактору ставится в соответствие разряд двоичного числа. 1 в этом разряде говорит о наличии фактора, а 0 о его отсутствии. Параметру нет можно поставить в соответствии число 0. Таким образом для представления всех факторов достаточно 4-х разрядного двоичного числа. Таким образом число 1010₂ = 10₁₀ означает наличие у больного гипертонии и употребления алкоголя, а числу 0000₂ соответствует отсутствие у больного факторов риска. Таким образом факторы риска будут представлены числами в диапазоне [0..15].

Во втором случае мы также можем кодировать все значения двоичными весами, но это будет нецелесообразно, т.к. набор возможных значений будет слишком неравномерным. В этом случае более правильным будет установка в соответствие каждому значению своего веса, отличающегося на 1 от веса соседнего значения. Так, число 3 будет соответствовать возрасту 50-59 лет. Таким образом возраст будет закодирован числами в диапазоне [0..4].

В принципе аналогично можно поступать и для неупорядоченных данных, поставив в соответствие каждому значению какое-либо число. Однако это вводит нежелательную упорядоченность, которая может исказить данные, и сильно затруднить процесс обучения. В качестве одного из способов решения этой проблемы можно предложить поставить в соответствие каждому значению одного из входов НС. В этом случае при наличии этого значения соответствующий ему вход устанавливается в 1 или в 0 при противном случае. К сожалению, данный способ не является панацеей, ибо при большом количестве вариантов входного значения число входов НС разрастается до огромного количества. Это резко увеличит затраты времени на обучение. В качестве варианта обхода этой проблемы можно использовать несколько другое решение. В соответствие каждому значению входного параметра ставится бинарный вектор, каждый разряд которого соответствует отдельному входу НС.

Метод обратного распространения ошибок (англ. backpropagation) — метод вычисления градиента, который используется при обновлении весов в нейронной сети.

Обучение как задача оптимизации

Рассмотрим простую нейронную сеть без скрытых слоев, с двумя входными вершинами и одной выходной, в которых каждый нейрон использует линейную функцию активации, (обычно, многослойные нейронные сети используют нелинейные функции активации, линейные функции используются для упрощения понимания) которая является взвешенной суммой входных данных.

Изначально веса задаются случайно. Затем, нейрон обучается с помощью тренировочного множества, которое в этом случае состоит из множества троек где и — это входные данные сети и — правильный ответ. Начальная сеть, приняв на вход и , вычислит ответ , который вероятно отличается от . Общепринятый метод вычисления несоответствия между ожидаемым и получившимся ответом — квадратичная функция потерь:

где ошибка.

В качестве примера, обучим сеть на объекте , таким образом, значения и равны 1, а равно 0. Построим график зависимости ошибки от действительного ответа , его результатом будет парабола. Минимум параболы соответствует ответу , минимизирующему . Если тренировочный объект один, минимум касается горизонтальной оси, следовательно ошибка будет нулевая и сеть может выдать ответ равный ожидаемому ответу . Следовательно, задача преобразования входных значений в выходные может быть сведена к задаче оптимизации, заключающейся в поиске функции, которая даст минимальную ошибку.

В таком случае, выходное значение нейрона — взвешенная сумма всех его входных значений:

где и — веса на ребрах, соединяющих входные вершины с выходной. Следовательно, ошибка зависит от весов ребер, входящих в нейрон. И именно это нужно менять в процессе обучения. Распространенный алгоритм для поиска набора весов, минимизирующего ошибку — градиентный спуск. Метод обратного распространения ошибки используется для вычисления самого «крутого» направления для спуска.

Дифференцирование для однослойной сети

Метод градиентного спуска включает в себя вычисление дифференциала квадратичной функции ошибки относительно весов сети. Обычно это делается с помощью метода обратного распространения ошибки. Предположим, что выходной нейрон один, (их может быть несколько, тогда ошибка — это квадратичная норма вектора разницы) тогда квадратичная функция ошибки:

где — квадратичная ошибка, — требуемый ответ для обучающего образца, — действительный ответ сети.

Множитель добавлен чтобы предотвратить возникновение экспоненты во время дифференцирования. На результат это не повлияет, потому что позже выражение будет умножено на произвольную величину скорости обучения (англ. learning rate).

Для каждого нейрона , его выходное значение определено как

Входные значения нейрона — это взвешенная сумма выходных значений предыдущих нейронов. Если нейрон в первом слое после входного, то входного слоя — это просто входные значения сети. Количество входных значений нейрона . Переменная обозначает вес на ребре между нейроном предыдущего слоя и нейроном текущего слоя.

Функция активации нелинейна и дифференцируема. Одна из распространенных функций активации — сигмоида:

у нее удобная производная:

Находим производную ошибки

Вычисление частной производной ошибки по весам выполняется с помощью цепного правила:

Только одно слагаемое в зависит от , так что

Если нейрон в первом слое после входного, то — это просто .

Производная выходного значения нейрона по его входному значению — это просто частная производная функции активации (предполагается что в качестве функции активации используется сигмоида):

По этой причине данный метод требует дифференцируемой функции активации. (Тем не менее, функция ReLU стала достаточно популярной в последнее время, хоть и не дифференцируема в 0)

Первый множитель легко вычислим, если нейрон находится в выходном слое, ведь в таком случае и

Тем не менее, если произвольный внутренний слой сети, нахождение производной по менее очевидно.

Если рассмотреть как функцию, берущую на вход все нейроны получающие на вход значение нейрона ,

и взять полную производную по , то получим рекурсивное выражение для производной:

Следовательно, производная по может быть вычислена если все производные по выходным значениям следующего слоя известны.

Если собрать все месте:

и

Чтобы обновить вес используя градиентный спуск, нужно выбрать скорость обучения, . Изменение в весах должно отражать влияние на увеличение или уменьшение в . Если , увеличение увеличивает ; наоборот, если , увеличение уменьшает . Новый добавлен к старым весам, и произведение скорости обучения на градиент, умноженный на , гарантирует, что изменения будут всегда уменьшать . Другими словами, в следующем уравнении, всегда изменяет в такую сторону, что уменьшается:

Алгоритм

• — скорость обучения
• — коэффициент инерциальности для сглаживания резких скачков при перемещении по поверхности целевой функции
• — обучающее множество
• — количество повторений
• — функция, подающая x на вход сети и возвращающая выходные значения всех ее узлов
• — количество слоев в сети
• — множество нейронов в слое i
• — множество нейронов в выходном слое

fun BackPropagation:
   init 
   repeat :
       for  =  to :
            =  
           for :
                = 
           for  =  to :
               for :
                    = 
           for :
                = 
                = 
   return 

Недостатки алгоритма

Несмотря на многочисленные успешные применения обратного распространения, оно не является универсальным решением. Больше всего неприятностей приносит неопределённо долгий процесс обучения. В сложных задачах для обучения сети могут потребоваться дни или даже недели, она может и вообще не обучиться. Причиной может быть одна из описанных ниже.

Паралич сети

В процессе обучения сети значения весов могут в результате коррекции стать очень большими величинами. Это может привести к тому, что все или большинство нейронов будут функционировать при очень больших выходных значениях, а производная активирующей функции будет очень мала. Так как посылаемая обратно в процессе обучения ошибка пропорциональна этой производной, то процесс обучения может практически замереть.

Локальные минимумы

Градиентный спуск с обратным распространением ошибок гарантирует нахождение только локального минимума функции; также, возникают проблемы с пересечением плато на поверхности функции ошибки.

Примечания

• Алгоритм обучения многослойной нейронной сети методом обратного распространения ошибки
• Neural Nets
• Understanding backpropagation

См. также

• Нейронные сети, перцептрон
• Стохастический градиентный спуск
• Настройка глубокой сети
• Практики реализации нейронных сетей

Источники информации

• https://en.wikipedia.org/wiki/Backpropagation
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_обратного_распространения_ошибки