Метод коэффициентов ошибок применяется для оценки качества регулирования

Макеты страниц

где коэффициенты принято называть коэффициентами ошибок. Формула (4.3) получена следующим образом.

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки (рис. 4.1)

Из (4.4) можно найти выражение для изображения ошибки:

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки что соответствует большим значениям времени т. е. значению установившейся ошибки при заданном управляющем воздействии.

В соответствии с (4.5) можно записать

Если передаточная функция является дробно-рациональной функцией

то разложение в ряд можно осуществить делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней. Переходя в (4.6) от изображений к оригиналам, можно получить для выражение (4.3).

Коэффициенты ошибок определяют по формулам разложения функции в ряд Тейлора:

Если то все производные тогда

В данном случае — значение установившейся ошибки в замкнутой системе.

Если ; коэффициенты и т. д.

Коэффициент называют коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент С — коэффициентом скоростной ошибки, — коэффициентом ошибки от ускорения.

В статических системах коэффициент отличен от нуля. В системах с астатизмом первого порядка . В системах с астатизмом второго порядка . Увеличение числа интегрирующих звеньев приводит к повышению порядка астатизма системы, т. е. к нулевым значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом усложняется обеспечение устойчивости системы. Если на систему помимо задающего воздействия действует и возмущение (рис. 4.2), то астатизм системы относительно зависит от места включения интегрирующего звена.

Пусть воздействия на САУ являются постоянными величинами и равны Рассмотрим несколько случаев.

1. В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элементы 1 и 2 системы (рис. 4.2) являются инерционными звеньями и соответственно равны

Рис. 4.2

Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся ошибка САУ

где — ошибка отработки системой задающего воздействия:

а — ошибка, вызванная действием помехи:

В данном случае САУ является статической относительно обоих воздействий, так как .

2. Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы (рис. 4.2) включено интегрирующее звено, а элемент является инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточная функция элемента 2

Тогда составляющие ошибки системы (4.9)

Следовательно, САУ является астатической относительно задающего воздействия и статической относительно возмущения

3. Пусть интегрирующее звено включено в элемент передаточная функция его при этом равна

Второе звено является инерционным звеном, а передаточная функция его та же, что и в случае 1.

Рассчитаем составляющие ошибки

Поскольку и система является астатической и относительно воздействия и относительно возмущения

Нужно отметить, что метод коэффициентов ошибок применяется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.

Пример 4.1. Для системы (рис. 4.1) определить значение устано вившейся ошибки системы. Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

где

Выходной сигнал меняется по закону Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно ошибки:

Коэффициенты ошибок так как система астатическая) определяют по (4.7) или разложением в ряд по возрастающим степеням s функции делением числителя на знаменатель:

Коэффициенты вычислять не имеет смысла, так как функция имеет только две производные, не равные нулю.

Определим первую и вторую производные входного воздействия

Тогда

Источник

Показатели качества сау

Количественные оценки
качества, так называемые прямые показатели
качества, определяются по кривой
переходного процесса (рис.16).

Рис.16. Переходная
функция и показатели качества

Используются следующие
прямые показатели качества:

величина
перерегулирования
,

;

характеризует
максимальное отклонение регулируемой
величины от ее установившегося значения,
которое может быть определено в
соответствии с теоремой о конечном
значении оригинала

;

время
переходного процесса или время
регулирования t_p
– наименьшее значение времени, после
которого имеет место неравенство

где

— заданная величина, обычно лежащая в
пределах =0,02÷0,05;

3)
статическая ошибка _с_m–
величина отклонения установившегося
значения регулируемой величины x()
от требуемого значения
N

или
,
гдеE(p)– изображение ошибки;

4)
время регулирования t_р
– промежуток времени, по истечении
которого регулируемая величина первый
раз достигает установившегося значения.

Для определения
качества системы могут использоваться
и другие показатели, соответствующие
решаемой задаче, например, число колебаний
регулируемой величины за время
регулирования, частота и период колебаний
и т.д.

Во всех случаях
необходимо построить переходную функцию.

Коэффициенты ошибок

Точность САУ в
установившемся режиме, при относительно
медленно изменяющихся воздействиях,
может быть оценена с помощью коэффициентов
ошибок. Изображение ошибки определяется
выражением

где
—
передаточная функция по ошибке.

Разложим передаточную
функцию системы по ошибке в степенной
ряд в окрестности точки p=0.
Отметим, что приp0,tи именно
поэтому мы говорим о точности в
установившемся режиме.

Обозначим:
и получим

,
(8)

Учитывая, что оператор
p, умноженный на
изображение самой величины, является
символом дифференцирования, можно для
оригиналов записать

.
(9)

Выражение (9) определяет
зависимость ошибки регулирования от
различных составляющих входного
воздействия, коэффициенты K_iполучили название коэффициентов ошибок:

K₀— коэффициент ошибки по положению;
K₁—
коэффициент ошибки по скорости;
K₂– коэффициент ошибки по ускорению и
т.д.

Из (8) следует, что

Численные значения
коэффициентов ошибок определяются из
этого выражения при p0.

Очевидно, что К₀=Ф_(0).

Входное воздействие
можно представить в виде степенного
ряда

где g₀– постоянная величина, характеризующая
начальное значение, g₁=const – скорость
изменения входного воздействия, g₂=const – ускорение и т.д.

Тогда

Пусть передаточная
функция разомкнутой системы имеет вид

где - порядок астатизма системы. Для
передаточной функции замкнутой системы
по ошибке получим

Изображение ошибки
запишется в виде

Отсюда следует, что
если порядок астатизма больше порядка
старшей производной воздействия, т.е.
>m, то ошибка в
установившемся режиме будет равна нулю.
Если=m, то установившаяся
ошибка будет равна постоянной величине,
называемой статической ошибкой. И если<m, то при tи. В отношении
коэффициентов ошибок последнее выражение
позволяет сделать следующие выводы.

1). Если система
статическая, т.е.=0,
то существуют все составляющие ошибки
и все коэффициенты ошибок не равны нулю,
т.к.К₀ = Ф_(0)
0.

2).Система с астатизмом
1-го порядка, 
=1, не имеет ошибки по положению иК₀=0.

3).Система с астатизмом
2-го порядка, 
=2, не имеет ошибок по положению и по
скорости иК₀ =0,К₁=0.

Этот список можно
продолжить. Таким образом, повышение
порядка астатизма повышает точность
системы в установившемся режиме. Но
повышение порядка астатизма снижает
запасы устойчивости, т.к. введение
интегрирующих звеньев увеличивает
фазовое запаздывание (снижает частоту
). Поэтому на
практике порядок астатизма выше второго
не применяют, а чаще всего ограничиваются
астатизмом первого порядка, используя
для повышения точности другие способы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Оценка качества регулирования в установившемся режиме (коэффициенты ошибок)

Это изображение имеет пустой атрибут alt; его имя файла - image-10-1.png

Оценка качества регулирования в установившемся режиме (коэффициенты ошибок)

Регулярная оценка качества регулирования (коэффициент ошибок) Рассмотрим показатель качества, который характеризует обязательный компонент системы ошибок ev (/). Постоянная ошибка управления при поступлении сигнала на вход системы (рисунок 4.1) Система ev (f) = xB (t) -g (t), где xv (f) — вынужденная составляющая (4.1) управляющей переменной. Если g (t) дифференцируемо на всем интервале 0 °, Как выразить систему e „(/) как серию 4 (0 = Сов (0 + CtdgU) / дт 4 — Ctd2g (т) fdt2 + ••• + + cmd * g (t) ldtm, (4,8) ми Где коэффициенты C0, Clf C2, … обычно называют коэффициентами ошибки. Уравнение (4.8) получается следующим образом.

Закрытая система передачи функции для ошибок (рисунок 4.1) (S) -1 / | 1 + W (секунды) | = Ea (s) / G (s). (4.9) Из (4.9) вы можете найти уравнение для изображения ошибки Eh (s). Eb (s) = G (s) / | 1+ W (s) |. (4.10) Увеличивая силу s вблизи точки s = 0, передаточная функция неправильно расширяется с помощью номера gt (s). Большое время (t oo), то есть значение ошибки установившегося состояния для данного действия управления. Согласно (4.10), вы можете написать K (s) = [Cv + C, s + i- C2 $ 2 + + •• + ± Cms-] G (s). (4.11) Когда передаточная функция tt + … + vy.15 + vy

Затем вы можете расширить ряд WR (5), разделив числитель на знаменатель и расположив полиномиальные члены в порядке возрастания.

Людмила Фирмаль

Если вы передадите изображение оригиналу в (4.11), вы можете получить выражение (4.8) для ev (/). Коэффициенты ошибок C0, Clt C, … решено! Формула разложения для функции ряда Тейлора IVgt (s) C0 = [WGI (s) Uo, C, — _ rwjjjii Д.С. см = s «o dsm (4.12) с = 0 Если g (t) = 1 (/), все производные dg (t)! Dt-d2g (> t) ‘dt2 = dmg (t)! Dtm = 0 C-W (0) и C __— C dmg (0-0 Кроме того, C0-U ^ Kt (0) — это значение стационарной ошибки замкнутой системы. Если g (t) = ty, dg (t) / dt = l, d2g (t)! Dt2 = •. • = dmg (t) ldtm = 0; -r ^ w = Коэффициент C0 = (0), C, = £ —j- с = 0 = Cmdmg (t) idtm = 0 и т. Д. Коэффициент C называется коэффициентом статической ошибки или ошибки положения. Коэффициент погрешности Ct-Speed; C2 — Коэффициент погрешности от ускорения.

В статических системах коэффициент C0 не равен нулю. С0 = О, С, Ф0 для систем со статистикой первого порядка, С0 = С, = 0, С2 = 0 для систем со статистикой второго порядка. По мере увеличения количества интегрированных ссылок в системе некоторые значения коэффициента ошибок становятся равными нулю, но в то же время обеспечение стабильности системы становится более сложным. Если количество ненулевых производных мастер-действия ограничено, количество членов в ряду (4.8) ограничено. Метод коэффициента ошибок используется для эффектов, которые изменяются относительно медленно. Этот метод был описан выше. Для управляющего воздействия g (t) его также можно применять для оценки точности системы при наличии возмущения / (/).

Например, система 4.1 (рисунок 4.1), определить устойчивое значение системной ошибки. Передаточная функция открытой системы P (s) — * / | s (! -F-s7 ) (1 -f s72) J, Где k = 10 секунд «1. G, = 0,2 секунды, Tg-0,02 секунды. Выходной сигнал изменяется по закону g (l) = • 5 -f 20 / -f 20/2. Найти функцию передачи закрытой системы, связанную с ошибкой w wimgm 1 Ml + srt) (l + s T%) Wgt (s) = E (s) / G (s) = s (I + sr |) (I + sri) + fc & TXT% + s2 (7 4-T2) + s «Она (SJ- EW eT ^ + sP ^ i + r ^ + e + ft

Коэффициенты ошибок Ci и Cg (Co = 0, поскольку система является статической) определяются степенью s функции Wgf (s) (4.12) или расширением n путем деления числителя на знаменатель. (0 = Cxs 4-C + ••• = s / k + s2 (T, + Tg-I / k) / k + Поскольку функция g (t) имеет только две производные, коэффициенты C3, … не имеют смысла. Определите первую и вторую производные входного действия g (t). 2 (0 = 20 4-40 /; £ (0 = 40. затем «в (0 = ev (0 = 2,48 + 4 /.

Смотрите также:

Решение задач по теории автоматического управления