Какие основные виды ошибок изучает тмоги

Лекция 1.

1. Предмет ТМОГИ.
   

2. Ошибки измерений.

3. Оценки положения
   и рассеивания.

4. Статистические
   свойства оценок.

Предметом изучения
дисциплины ТМОГИ являются методы
получения наиболее точного значения
измеряемой величины и ее оценки точности
по результатам многократных измерений.
Важным моментом здесь является наличие
избыточных измерений. Например, для
определения длины линии необходимо
выполнить одно измерение. Остальные
измерения – избыточны. Они являются
основой для математической обработки
результатов геодезических измерений.

Вместе с необходимыми
они составляют многократные измерения
геодезической величины. Результаты
этих измерений различаются между собой.
Это вызывается наличием различных
факторов: внешней среды, квалификации
исполнителя, неточности прибора и др.

Настоящие факторы
находятся в непрерывном изменении.
Безошибочно учесть их влияние невозможно.
В совокупности они составляют условия
измерений. Изменения результатов
измерений одной и той же величины
отражают изменения условий измерений.
Можно заключить, что возникновение
ошибок и характер их распределения
определены условиями измерений.

Получить совершенно
безошибочные результаты измерений
невозможно. Поэтому на практике измерения
производят таким образом, чтобы получить
конечный результат с заданной точностью.
Математическую обработку измерений
проводят так, чтобы получить окончательный
результат с максимальной точность,
которая не должна быть ниже заданной.

Понятие заданной
точности определено числовым критерием,
который представляет собой характеристику
отклонения результата обработки
измерений от истинного значения
измеряемой величины.

В связи с этим,
исходя предмета дисциплины, следуют ее
задачи:

1. Установление
законов возникновения и распределения
ошибок (погрешностей) измерений.

2. Установление
критериев точности производства
измерений и результатов их обработки.
Если, например, линия измерена трижды
и получены результаты 106,13, 106,23, 106,11 , тот
критериями точности могут быть : размах
–разница между наибольшим и наименьшим
результатами (=106,23-106,11=0,12м),
среднее квадратическое отклонение от
среднего арифметического и др. Задача
заключается в выборе необходимого
критерия.

3. Выбор алгоритмов
обработки измерений, которые приводят
к наиболее точным значениям окончательных
результатов. Так, в приведенном примере
в качестве окончательного результата
может быть принято среднее арифметическое,
среднее из максимального и минимального
значений результатов измерений и др.
Из них нужно выбрать наиболее точное
значение.

4. Установление
критериев, характеризующих точность
получения окончательных результатов
математической обработки геодезических
измерений.

2. Ошибки измерений

Основой математической
обработки геодезических измерений
являются избыточные измерения. Вместе
с необходимыми они составляют многогранные
измерения геодезической величины.
Результаты этих измерений отличаются
между собой. Это вызывается наличием
различных факторов. Условно можно
выделить следующие: факторы внешней
среды, квалификация исполнителя, точность
прибора.

Получаемые в
результате многократных измерений
избыточные выполняют следующие функции:

контроль измерений;

повышение точности
результативного значения;

оценку точности
результатов измерений.

Результаты
многократных измерений отличаются
между собой наличием ошибок измерений.

Ошибка измерения
– это отклонение результата измерения
от истинного значения измеряемой
величины.

Причинами
возникновения ошибок определяются
перечисленными выше условиями измерений.
Каждый фактор определяющий условия
измерений, оказывает влияние на результаты
измерений. Влияние каждого фактора или
источника определено в свою очередь
влияние более мелких источников ошибок.

Например, такой
фактор влияния ошибок как неточность
прибора при измерении горизонтальных
углов подразделяется на более мелкие:
неточность выполнения юстировок прибора,
неточность центрирования, неточность
горизонтирования прибора и т.д.

Таким образом,
отклонение результата измерения от
точного значения является результатом
воздействия большого числа причин.
Каждая из причин оказывается пренебрегаемо
малой по сравнению с их общим влиянием.

Ошибки измерений
бывают случайные, грубые и систематические.

Случайные ошибки
– это такие, которые вызываются факторами,
которые невозможно или нецелесообразно
учитывать. Например, при топографических
работах нецелесообразно учитывать
температуру воздуха. Однако изменения
температуры влияют на результаты
измерений. При этом изменения результатов
измерений не превосходят определенного
допуска. Этим случайные ошибки отличаются
от грубых.

Грубые ошибки –
это ошибки, вызванные не учитываемыми
факторами, но которые превосходят
определенный допуск. Эти ошибки вызываются
сбоями измерительной техники, ошибками,
пропусками результатов измерений,
усталостью исполнителей, резкими
сильными изменениями внешней среды и
др.

До последнего
времени (70-80 гг.) измерения, отягощенные
грубыми ошибками отбраковывались. Такие
измерения называли грубыми. Однако
теперь существуют методы, которые
обрабатывают допускаемые измерения
совместно с грубыми. Поправки в грубые
измерения при этом соответствуют грубым
ошибкам с обратным знаком. Эти методы
называются устойчивыми или робастными
(англ. robust – устойчивый).

Систематические
ошибки – это ошибки, вызываемые
закономерно влияющими факторами. Эти
факторы должны быть изучены, а их влияние
учтено.

Теория математической
обработки геодезических измерений
оперирует со всеми тремя видами ошибок.
Однако систематические ошибки изучаются
с тем, чтобы их в процессе обработки
можно было учесть. В связи с этим основное
внимание в теории математической
обработки уделяется случайным и грубым
ошибкам измерений, которые нельзя
заранее учесть.

Измерения,
отягощенные случайными ошибками, можно
считать случайными величинами, которые
являются предметом изучения теории
вероятностей и математической статистики.
Поэтому теория математической обработки
результатов геодезических измерений
опирается на эти дисциплины. При
математической обработке измерений
используется также аппарат линейной
алгебры и функции математического
анализа.

Соседние файлы в папке тмоги

• #

  29.02.20161.13 Mб1251.doc

• #
• #
• #

СОДЕРЖАНИЕ Лекций
1. Задачи предмета
2. Ошибки измерений. Свойства случайных ошибок измерений
3. Средняя квадратическая ошибка результата измерения
4. Средняя, вероятная и предельная ошибки измерений. Их связь со средней квадратической ошибкой
5. Средняя квадратическая ошибка функции коррелированных и некоррелированных аргументов
6. Определение средних квадратических ошибок аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции
7. Неравноточные измерения
7.1. Вывод среднего весового
7.2. Вес результата измерения
7.3. Вес функции некоррелированных аргументов
8. Оценка точности неравноточных измерений
8.1. Вывод формулы Гаусса
8.2. Оценка точности угловых измерений по невязкам треугольников
8.3. Оценка точности угловых измерений по невязкам замкнутых
8.4. Свойство поправок
8.5. Вывод формулы Бесселя
9. Оценка точности по разностям двойных измерений
10. Математическая обработка измерений одной величины
И другие…

Решение задач:

1. Уравнивание нивелирной сети методом непосредственного решения системы уравнений поправок.
2. Уравнивание нивелирной сети методом красных чисел.
3. Оценка точности результатов уравнивания.
4. И другие…

Методичка ТМОГИ для Землеустроительных факультетов Скачать
Скан методички Скачать
Учебник Большаков Скачать
Лекции ТМОГИ Скачать1 Скачать2
Тесты по курсу Теория математической обработки геодезических измерений Скачать
Математическая обработка геопространственных данных (таблица) Скачать
Решённые лабораторные(Анализ погрешностей(ТЕЛО прямая задача, ТЕЛО обратная задача, СКП положения точки, Нивелирная сеть три опорных репера 11 привышений, параметрическая версия МНК-оптимизации, ряд равноточных измерений)) Скачать1 Скачать2 Скачать3.
Экзамиенационные вопросы Скачать1 Скачать2
Варианты задач Скачать
Шпаргалки Скачать

Купите мне чашечку кофе, если статья оказалась полезной.

Теория ошибок измерений изучает свойства ошибок и законы их распределения, методы обработки измерений с учетом их ошибок, а также способы вычисления числовых характеристик точности измерений. При многократных измерениях одной и той же величины результаты измерений получаются неодинаковыми. Этот очевидный факт говорит о том, что измерения сопровождаются разными по величине и по знаку ошибками. Задача теории ошибок – нахождение наиболее надежного значения измеренной величины, оценка точности результатов измерений и их функций и установление допусков, ограничивающих использование результатов обработки измерений.

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник какой-либо систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной ошибкой, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений (строгостью теории), точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий. Закономерности случайных ошибок проявляются в массе, то-есть, при большом количестве измерений; такие закономерности называют статистическими. Освободить результат единичного измерения от случайных ошибок невозможно; невозможно также предсказать случайную ошибку единичного измерения. Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения Δ – это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением X:
(1.25)

Свойства случайных ошибок. Случайные ошибки подчиняются некоторым закономерностям:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, она считается грубой,
2. положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны,
3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений. Третье свойство случайных ошибок записывается так:
(1.26)
4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Кроме того, во всей массе случайных ошибок не должно быть явных закономерностей ни по знаку, ни по величине. Если закономерность обнаруживается, значит здесь сказывается влияние какой-то систематической ошибки.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения. Для оценки точности измерений можно применять разные критерии; в геодезии таким критерием является средняя квадратическая ошибка. Это понятие было введено Гауссом; он же разработал основные положения теории ошибок. Средняя квадратическая ошибка одного измерения обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:
(1.27)

где: ;
n – количество измерений одной величины.

Средняя квадратическая ошибка очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, так как каждая ошибка возводится в квадрат. В то же время она является устойчивым критерием для оценки точности даже при небольшом количество измерений; начиная с некоторого n дальнейшее увеличение числа измерений почти не изменяет значения m; доказано, что уже при n = 8 значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается Δпред; она обычно принимается равной 3*m при теоретических исследованиях и 2*m или 2.5*m при практических измерениях. Считается, что из тысячи измерений только три ошибки могут достигать или немного превосходить значение Δпред = 3*m.

Отношение mx/X называется средней квадратической относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, mx/X = 1/10 000.

Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин. Выведем формулу средней квадратической ошибки функции нескольких аргументов произвольного вида:

F = f( X, Y, Z … ),                        (1.28)

здесь: X, Y, Z … – истинные значения аргументов,
F – истинное значение функции.

В результате измерений получены измеренные значения аргументов lX, lY, lZ, при этом:
(1.29)

где ΔX, ΔY, ΔZ – случайные истинные ошибки измерения аргументов.

Функцию F можно выразить через измеренные значения аргуметов и их истинные ошибки:

Разложим функцию F в ряд Тейлора, ограничившись первой степенью малых приращений ΔX, ΔY, ΔZ:
(1.30)

Разность является случайной истинной ошибкой функции с противоположным знаком, поэтому:
(1.31)

Если выполнить n измерений аргументов X, Y, Z, то можно записать n уравнений вида (1.31). Возведем все эти уравнения в квадрат и сложим их; суммарное уравнение разделим на n и получим

В силу третьего свойства случайных ошибок члены, содержащие произведения случайных ошибок, будут незначительными по величине, и их можно не учитывать; таким образом,
(1.32)

Как частные случаи формулы (1.32) можно написать выражения для средней квадратической ошибки некоторых функций:

Если функция имеет вид произведения нескольких аргументов,

F = x * y * z,

то для нее можно записать выражение относительной ошибки функции:
(1.33)

которое в некоторых случаях оказывается более удобным, чем формула (1.32).

Принцип равных влияний. В геодезии часто приходится определять средние квадратические ошибки аргументов по заданной средней квадратической ошибке функции. Если аргумент всего один, то решение задачи не представляет трудности. Если число аргументов t больше одного, то возникает задача нахождения t неизвестных из одного уравнения, которую можно решить, применяя принцип равных влияний. Согласно этому принципу все слагаемые правой части формулы (1.32) или (1.33) считаются равными между собой.

Арифметическая середина. Пусть имеется n измерений одной величины X, то-есть,
(1.34)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:
(1.35)

Величина   (1.36)

называется средним арифметическим или простой арифметической серединой. Запишем (1.35) в виде

по третьему свойству ошибок (1.26) можно написать:

что означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины. При ограниченном количестве измерений арифметическая середина является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

Запишем формулу (1.36) в виде

и подсчитаем среднюю квадратическую ошибку арифметической середины, которая обозначается буквой M. Согласно формуле (1.32) напишем:

или

Но ml1 = ml2 = … = mln= m по условию задачи, так как величина X измеряется при одних и тех же условиях. Тогда в квадратных скобках будет n * m2, одно n сократится и в итоге получим:

M2 = m2/n

или
(1.37)

то-есть, средняя квадратическая ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Вычисление средней квадратической ошибки по уклонениям от арифметической середины. Формулу Гаусса (1.27) применяют лишь в теоретических выкладках и при исследованиях приборов и методов измерений, когда известно истинное значение измеряемой величины. На практике оно, как правило, неизвестно, и оценку точности выполняют по уклонениям от арифметической середины.

Пусть имеется ряд равноточных измерений величины X:

l1, l2 , …, ln .

Вычислим арифметическую середину X0 = [1]/n и образуем разности:
(1.38)

Сложим все разности и получим [l] – n * X0 = [V]. По определению арифметической середины n * X0 = [l], поэтому:

[V] = 0.                   (1.39)

Величины V называют вероятнейшими ошибками измерений; именно по их значениям и вычисляют на практике среднюю квадратическую ошибку одного измерения, используя для этого формулу Бесселя:
(1.40)

Приведем вывод этой формулы. Образуем разности случайных истинных ошибок измерений Δ и вероятнейших ошибок V:
(1.41)

Разность (X0 – X) равна истинной ошибке арифметической середины; обозначим ее Δ0 и перепишем уравнения (1.41):
(1.42)
Возведем все уравнения (1.42) в квадрат, сложим их и получим:
.

Второе слагаемое в правой части этого выражения равно нулю по свойству (1.39), следовательно,
.

Разделим это уравнение на n и учтя, что [Δ2]/n =m2, получим:
(1.43)

Заменим истинную ошибку арифметической середины Δ0 ее средней квадратической ошибкой ; такая замена практически не изменит правой части формулы (1.43). Итак,

,
откуда ;

после перенесения (n-1) в правую часть и извлечения квадратного корня получается формула Бесселя (1.40).

Для вычисления средней квадратической ошибки арифметической середины на основании (1.37) получается формула:
(1.44)

Веса измерений. Измерения бывают равноточные и неравноточные. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом, и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол можно измерить разным количеством приемов; результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что средние квадратические ошибки неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия; вес обозначается буквой p. Значение веса измерения получают по формуле:

p = C/m2                  (1.45)

где C – в общем случае произвольное положительное число.

При неравноточных измерениях одной величины наиболее надежное ее значение получают по формуле средневесовой арифметической середины:
(1.46)
или              X0 = [l*p] / [p] .

Ошибку измерения, вес которого равен 1, называют средней квадратической ошибкой единицы веса; она обозначается буквой m. Из формулы (1.45) получаем

откуда  (1.47)

то-есть, за число C принимают квадрат ошибки единицы веса.

Подсчитаем вес P средневесовой арифметической середины. По определению веса имеем:
(1.48)

Согласно (1.46) и (1.32) напишем:

Подставим сюда вместо mli2 их выражения через вес m2 = C/p , тогда:

Подставим это выражение в формулу (1.48) и получим,

P = [p],                 (1.49)

то-есть, вес средневесовой арифметической середины равен сумме весов отдельных измерений.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице, формула (1.49) принимает вид:

P = n.                  (1.50)

При обработке больших групп измерений (при уравнивании геодезических построений по МНК) вычисляются значение ошибки единицы веса, веса измерений и других элементов после уравнивания, а ошибка любого уравненного элемента подсчитывается по формуле:
(1.51)

где pi – вес i-того элемента.