Вероятность ошибки первого рода т е отвергнуть верную основную гипотезу называется

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (напри­мер, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака мо­лочной железы одинаковая в двух группах, получаю­щих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

1. отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтер­нативную гипотезу
   
2. остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Фридман М.Н.

Лекция
на тему:

ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.

Основой
применения на практике большинства
выводов и рекомендаций, полученных с
помощью математической статистики,
лежит так называемый принцип
практической уверенности.

Суть
его заключается в том, что при однократном
опыте редкое событие почти наверняка
не произойдет,
и можно на практике действовать так,
как будто оно вообще невозможно.

Более
строго мы можем сформулировать принцип
практической уверенности
следующим образом:

Если
вероятность

события
А в данном испытании очень мала, то при
однократном выполнении испытания можно
считать, что событие А практически
невозможно. Тогда противоположное
событие

практически достоверно, т.е обязательно
произойдет.

Вероятность

,
которой решено пренебрегать, называется
уровнем
значимости и
устанавливается в каждом отдельном
случае с учетом важности последствий,
вытекающих из наступления события А.

Так,
например, если событие А заключается
в том, что самолет не выпустит шасси при
посадке, то вряд ли мы полетим на таком
самолете, зная, что это может произойти
в 5% случаев, те если

=0.05.

Однако
для большинства экономических задач
уровень значимости

=0.05
является приемлемым.

Обратим
внимание, что в принципе практической
уверенности важно условие однократности
опыта, т.к. при многократном повторении
опыта (n
раз) вероятность появления события А
хотя бы один раз (m
1)
увеличивается в
n
раз: Р(
m

1)=1-
(1-
)ⁿ
n
.

2.Статистическая гипотеза и схема ее проверки.

Одним
из важнейших практических применений
математической статистики является
обоснование выбора того или иного
параметра или способа поведения,
например, выбор технологического
процесса или способа инвестиций,
эффективности управления или значимости
математической модели.

Как
правило, нас интересует некоторый
признак X
в генеральной совокупности, чей закон
распределения и (или) его параметры
неизвестны.

Любое
предположение о виде или параметрах
неизвестного закона распределения
называется статистической
гипотезой.

Статистическая
гипотеза бывает простой или сложной.

Простая
гипотеза, в отличие от сложной, полностью
определяет закон распределения случайной
величины. Например, гипотеза «случайная
величина распределена по закону Пуассона
с математическим ожиданием

=2»
является простой, а гипотеза «закон
распределения не является биномиальным»
-сложной.

Выдвинутая
гипотеза обычно обозначается

(нулевая гипотеза).

Утверждение,
которое является логическим отрицанием
гипотезы

,
называется альтернативной
, или конкурирующей.

Как
статистически проверить правильность
выдвинутой гипотезы, т.е. как разумно
сделать вывод — отвергнуть ее или нет?

Для
этого осуществляется случайная выборка
и используется некоторая случайная
величина

,
закон распределения которой известен.
Она, как правило, характеризует степень
расхождения фактически наблюдаемыми
и предполагаемыми характеристиками в
соответствии с предполагаемой гипотезой.

Значение
этой случайной величины,


,
полученное в результате выборки,
сравнивается с так называемым критическим
значением

,
которое установлено из условия: если
гипотеза

верна, то
вероятность Р (
)=

мала.

Поэтому
в соответствии с принципом практической
уверенности это событие можно считать
практически невозможным.

Таким
образом, если это событие (
)
все же произошло в данном конкретном
опыте, то гипотеза

отвергается.
Появление противоположного события(

)
считается совместимым с гипотезой

,
она не отвергается.

Правило,
по которому гипотеза

отвергается
или нет, называется
статистическим
критерием (
тестом). Статистические
критерии, служащие для проверки гипотез
о законе распределения, называемого
критериями согласия.

С
каждым критерием связана случайная
величина

,
называемая статистикой
данного критерия. Эта случайная величина
имеет известный закон распределения,
и она, как уже было сказано, отражает
расхождение выборочных результатов от
тех, которые соответствуют гипотезе

.

Поэтому
множество всех значений статистики
критерия разбивается на две области:
критическую (область отклонения гипотезы
) W
и область допустимых значений ( область
принятия гипотезы)

.

Если фактически наблюдаемое значение
статистики критерия попадает в критическую
область W,
то гипотезу

отвергают.

При
этом возможны следующие варианты:

Табл.1

Вероятность

допустить ошибку первого рода, те
отвергнуть гипотезу
,
когда она верна,
называется
уровнем
значимости,
или
размером
критерия.

Вероятность
допустить ошибку 2 рода, те принять
неверную гипотезу

,
обозначают

.

Вероятность
(1-
)
не допустить ошибку 2-го рода, т.е.
отвергнуть гипотезу

,
когда она неверна, называется
мощностью
критерия.

Вероятности
ошибок 1 и 2 рода однозначно определяются
выбором критической области. Конечно,
желательно сделать эти ошибки как можно
меньше, но, к сожалению, при фиксированном
объеме выборки уменьшение одной из них
ведет к увеличению другой.

Поэтому
при выборе критической области
руководствуются принципом: при заданном
уровне значимости

мощность критерия 1-

должна быть максимальной.

В
рамки нашего курса не входит рассмотрение
условий существования таких критериев.

Далее
мы рассмотрим конкретный пример
постановки и проверки гипотезы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

План.

1. Понятие нулевой гипотезы.

2. Общие принципы проверки статистических гипотез.

3. Понятие гипотезы в педагогике.

4.1 Понятие нулевой и альтернативной гипотезы

Поскольку статистика как
метод исследования имеет дело с данными, в которых  интересующие 
исследователя  закономерности  искажены различными случайными
факторами, большинство статистических вычислений сопровождается проверкой
некоторых предположений или гипотез об источнике этих данных.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий,
которое мы хотим проверить по имеющимся данным. Примеры статистических
гипотез в педагогических исследованиях:

Гипотеза 1. Успеваемость
класса стохастически (вероятностно) зависит  от уровня обучаемости
учащихся.

Гипотеза 2. Усвоение
начального курса математики не имеет существенных различий у учащихся, начавших
обучение с 6 или 7 лет.

Гипотеза 3. 
Проблемное обучение в первом классе эффективнее по сравнению с традиционной
методикой обучения в отношении общего развития учащихся.

Нулевая гипотеза – это основное
проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие
различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю
значений выборочных характеристик и т.п. Примером нулевой гипотезы в педагогике
является утверждение о том, что различие в результатах выполнения двумя
группами учащихся одной и той же контрольной работы вызвано лишь случайными
причинами.

Другое проверяемое
предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому)
называется конкурирующей или альтернативной
гипотезой.  Так, для упомянутого выше примера гипотезы Н₀ в
педагогике одна из возможных альтернатив Н₁  будет
определена  как:  уровни выполнения работы в двух группах учащихся
различны и это различие определяется влиянием неслучайных факторов, например,
тех или других методов обучения.

Выдвинутая
гипотеза может быть правильной или неправильной, поэ­тому возникает
необходимость проверить ее. Так как проверку произво­дят статистическими методами,
то данная проверка называется статистической.

При проверке
статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов:

—   можно
отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода);

—   можно принять нулевую
гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода).

Ошибка, состоящая в принятии нулевой
гипотезы, когда она ложна, качественно отличается от ошибки, состоящей в
отвержении гипотезы, когда она истинна. Эта разница очень существенна
вследствие того, что различна значимость этих ошибок. Проиллюстрируем вышесказанное
на следующем примере.

Пример 1. Процесс производства некоторого
медицинского препарата весьма сложен. Несущественные на первый взгляд
отклонения от технологии вызывают появление высокотоксичной побочной примеси.
Токсичность этой примеси может оказаться столь высокой, что даже такое ее
количество, которое не может быть обнаружено при обычном химическом анализе,
может оказаться опасным для человека, принимающего это лекарство. В результате,
прежде чем выпускать в продажу вновь произведенную партию, ее подвергают
исследованию на токсичность биологическими методами. Малые дозы лекарства
вводятся некоторому количеству подопытных животных, например, мышей, и результат
регистрируют. Если лекарство токсично, то все или почти все животные гибнут. В
противном случае норма выживших велика.

Исследование лекарства может привести
к одному из возможных способов действия: выпустить партию в продажу (а₁),
вернуть партию поставщику для доработки или, может быть, для уничтожения (а₂).

Ошибки двух видов, связанные с
действиями а₁ и а₂ совершенно различны, различна и
важность избегания их. Сначала рассмотрим случай, когда применяется действие а₁,
в то время когда предпочтительнее а₂. Лекарство опасно для пациента,
в то время как оно признано безопасным. Ошибка этого вида может вызвать смерть
пациентов, употребляющих этот препарат. Это ошибка первого рода, так как нам
важнее ее избежать.

Рассмотрим случай когда
предпринимается действие а₂, в то время когда а₁ является
более предпочтительным. Это означает, что вследствие неточностей в проведении
эксперимента партия нетоксичного лекарства классифицировалась как опасная.
Последствия ошибки могут выражаться в финансовом убытке и в увеличении
стоимости лекарства. Однако случайное отвержение совершенно безопасного
лекарства, очевидно, менее нежелательно, чем, пусть даже изредка происходящие
гибели пациентов. Отвержение нетоксичной партии лекарства – ошибка второго
рода.

Допустимая вероятность
ошибки первого рода (Ркр) может быть равна 5% или 1% (0.05 или 0.01).

Уровень значимости – это вероятность ошибки
первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой
гипотезы).

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только
тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда
различия, скажем, в средних арифметических экспериментальной и контрольной
групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть
нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней
значимости статистического вывода:

первый уровень — 5% (р=5%); где допускается риск
ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же
экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого экспе­римента;

второй уровень — 1%, т. е. соответственно допускается
риск ошибиться только в одном случае из ста;

третий уровень — 0,1%, т. е. допускается риск ошибить­ся
только в одном случае из тысячи.

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие
требования к обоснованию достоверности результатов экспе­римента и потому редко
используется. В педагогических исследованиях, не нуждающихся в очень высоком
уровне достоверности, представляется разумным принять 5% уровень значимости.

Статистика критерия (Т) — некоторая функция
от исходных данных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза. Чаще
всего статистика критерия является числовой функцией, но она может быть и любой
другой функцией, например, многомерной функцией.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или
принимается нулевая гипотеза называется критерием для проверки данной
гипотезы. Статистический критерий (критерий) – это случайная величина,
которая служит для проверки статистических гипотез.

Критическая область – совокупность значений критерия,
при котором нулевую гипотезу отвергают. Область
принятия нулевой гипотезы (область
допустимых значений) – совокупность
значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают. При справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что статистика критерия попадает в область
принятия нулевой гипотезы должна быть равна 1-Ркр.

4.2 Общие принципы проверки статистических гипотез

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае
включает следующие этапы:

1.     
задается допустимая вероятность ошибки первого рода (Р_кр=0,05)

2.     
выбирается статистика критерия (Т)

3.     
ищется область допустимых значений

4.      по
исходным данным вычисляется значение статистики Т

5. если Т (статистика критерия) принадлежит
области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее
говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой
гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается
альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех
статистических гипотез.

Обычно первые три этапа выполняют
профессиональные математики, а последние два – пользователи для своих частных
данных.

В современных статистических пакетах на
ЭВМ используются не стандартные уровни значимости, а уровни, подсчитываемые
непосредственно в процессе работы с соответствующим статистическим методом. Эти
уровни, обозначенные буквой P, могут иметь различное
числовое выражение в интервале от 0 до 1, например, 0,7 0,23 0,012. Понятно,
что в первых двух случаях полученные уровни значимости слишком велики и
говорить о том, что результат значим нельзя. В последнем случае результаты
значимы на уровне 12 тысячных. Это достоверный результат.

При проверке
статистических гипотез с помощью статистических пакетов, программа выводит на
экран вычисленное значение уровня значимости Р и подсказку о возможности
принятия или неприятия нулевой гипотезы.

Если вычисленное значение
Р превосходит выбранный уровень Ркр,
то принимается нулевая гипотеза, а в противном случае — альтернативная
гипотеза. Чем меньше вычисленное значение Р, тем более исходные данные
противоречат нулевой гипотезе.

Число степеней свободы у какого-либо параметра определяют
как число опы­тов, по которым рассчитан данный параметр, минус количество
одинаковых значений, найденных по этим опытам независимо друг от друга.

Величина Ф называется мощностью критерия и
представляет собой вероятность отклонения неверной нулевой гипотезы, то есть
вероятность правильного решения. Мощность критерия – вероятность
попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива
альтернативная гипотеза. Чем больше Ф, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше.

4.3 Понятие гипотезы в педагогике

Гипотеза исследования – методологическая характеристика
исследования, научное предположение, выдвигаемой для объяснения какого-либо
явления и требующее проверки на опыте для того, чтобы стать достоверным научным
знанием. От простого предположения гипотеза отличается рядом признаков. К ним
относят:

— соответствие фактам, на основе которых и для
обоснования которых она создана

— проверяемость

— приложимость к возможно более широкому кругу явлений

— относительная простота.

В гипотезе органически сливаются два момента:
выдвижение некоторого положения и последующее логическое и практическое
доказательство.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о
преимуществе того или иного метода) в процессе статистического анализа
переводится на язык статисти­ческой науки и заново формулируется, по меньшей
мере, в виде двух статистических гипотез.

Возможны два типа гипотез:
первый тип — описа­тельные гипотезы, в которых описываются
причины и возможные следствия. Второй тип — объяснительные: в
них дается объяснение возможным следствиям из опре­деленных причин, а также
характеризуются условия, при которых эти следствия обязательно последуют, т. е.
объяс­няется, в силу каких факторов и условий будет данное следствие.
Описательные гипотезы не обладают предвидением, а объяснительные обладают таким
свойством. Объясни­тельные гипотезы выводят исследователей на предпо­ложения о
существовании определенных закономерных связей между явлениями,
факторами и условиями.

Гипотезы в педагогических
иссле­дованиях могут предполагать, что одно из средств (или группа их) будет более
эффективным, чем другие средства. Здесь  гипотетически 
высказывается  предположение о сравнительной эффективности средств,
способов, методов, форм обучения.

Более высокий уровень гипотетического предсказания
состоит в том, что автор исследования высказывает гипотезу о том, что какая-то
система мер будет не только лучше другой,  но  и  из 
ряда  возможных систем она кажется оптимальной с точки зрения определенных
критериев. Такая гипотеза нуждается  в  еще  более 
строгом  и  оттого более развернутом доказательстве.

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Статистическая гипотеза (statistical hypothesys) — это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных.

Проверка статистической гипотезы (testing statistical hypotheses) — это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.

Статистический тест или статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается статистическая гипотеза.

Методика проверки статистических гипотез

Пусть задана случайная выборка — последовательность объектов из множества .
Предполагается, что на множестве существует некоторая неизвестная вероятностная мера .

Методика состоит в следующем.

1. Формулируется нулевая гипотеза  о распределении вероятностей на множестве . Гипотеза формулируется исходя из требований прикладной задачи. Чаще всего рассматриваются две гипотезы — основная или нулевая и альтернативная . Иногда альтернатива не формулируется в явном виде; тогда предполагается, что  означает «не ». Иногда рассматривается сразу несколько альтернатив. В математической статистике хорошо изучено несколько десятков «наиболее часто встречающихся» типов гипотез, и известны ещё сотни специальных вариантов и разновидностей. Примеры приводятся ниже.
2. Задаётся некоторая статистика (функция выборки) , для которой в условиях справедливости гипотезы выводится функция распределения и/или плотность распределения . Вопрос о том, какую статистику надо взять для проверки той или иной гипотезы, часто не имеет однозначного ответа. Есть целый ряд требований, которым должна удовлетворять «хорошая» статистика . Вывод функции распределения при заданных  и  является строгой математической задачей, которая решается методами теории вероятностей; в справочниках приводятся готовые формулы для ; в статистических пакетах имеются готовые вычислительные процедуры.
3. Фиксируется уровень значимости — допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода, то есть того, что гипотеза на самом деле верна, но будет отвергнута процедурой проверки. Это должно быть достаточно малое число . На практике часто полагают .
4. На множестве допустимых значений статистики  выделяется критическое множество  наименее вероятных значений статистики , такое, что . Вычисление границ критического множества как функции от уровня значимости является строгой математической задачей, которая в большинстве практических случаев имеет готовое простое решение.
5. Собственно статистический тест (статистический критерий) заключается в проверке условия:

Итак, статистический критерий определяется статистикой 
и критическим множеством , которое зависит от уровня значимости .

Замечание.
Если данные не противоречат нулевой гипотезе, это ещё не значит, что гипотеза верна.
Тому есть две причины.

Альтернативная методика на основе достигаемого уровня значимости

Широкое распространение методики фиксированного уровня значимости было вызвано сложностью вычисления многих статистических критериев в докомпьютерную эпоху. Чаще всего использовались таблицы, в которых для некоторых априорных уровней значимости были выписаны критические значения. В настоящее время результаты проверки гипотез чаще представляют с помощью достигаемого уровня значимости.

Достигаемый уровень значимости (пи-величина, англ. p-value) — это наименьшая величина уровня значимости,
при которой нулевая гипотеза отвергается для данного значения статистики критерия 

где
— критическая область критерия.

Другая интерпретация:
достигаемый уровень значимости — это вероятность при справедливости нулевой гипотезы получить значение статистики, такое же или ещё более экстремальное, чем 

Если достигаемый уровень значимости достаточно мал (близок к нулю), то нулевая гипотеза отвергается.
В частности, его можно сравнивать с фиксированным уровнем значимости;
тогда альтернативная методика будет эквивалентна классической.

Типы критической области

Обозначим через значение, которое находится из уравнения , где  — функция распределения статистики .
Если функция распределения непрерывная строго монотонная,
то есть обратная к ней функция:

.

Значение называется также —квантилем распределения .

На практике, как правило, используются статистики  с унимодальной (имеющей форму пика) плотностью распределения.
Критические области (наименее вероятные значения статистики) соответствуют «хвостам» этого распределения.
Поэтому чаще всего возникают критические области одного из трёх типов:

• Левосторонняя критическая область:

определяется интервалом .

пи-величина:

• Правосторонняя критическая область:

определяется интервалом .

пи-величина:

• Двусторонняя критическая область:

определяется двумя интервалами

пи-величина:

Ошибки первого и второго рода

• Ошибка первого рода или «ложная тревога» (англ. type I error,  error, false positive) — когда нулевая гипотеза отвергается, хотя на самом деле она верна. Вероятность ошибки первого рода:

• Ошибка второго рода или «пропуск цели» (англ. type II error,  error, false negative) — когда нулевая гипотеза принимается, хотя на самом деле она не верна. Вероятность ошибки второго рода:

	Верная гипотеза
Результат  применения  критерия		верно принята	неверно принята  (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута  (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

Свойства статистических критериев

Мощность критерия:
— вероятность отклонить гипотезу , если на самом деле верна альтернативная гипотеза .
Мощность критерия является числовой функцией от альтернативной гипотезы .

Несмещённый критерий:

для всех альтернатив 
или, что то же самое,

для всех альтернатив .

Состоятельный критерий:
при для всех альтернатив .

Равномерно более мощный критерий.
Говорят, что критерий с мощностью является равномерно более мощным, чем критерий с мощностью , если выполняются два условия:

1. ;
2. для всех рассматриваемых альтернатив , причём хотя бы для одной альтернативы неравенство строгое.

Типы статистических гипотез

• Простая гипотеза однозначно определяет функцию распределения на множестве . Простые гипотезы имеют узкую область применения, ограниченную критериями согласия (см. ниже). Для простых гипотез известен общий вид равномерно более мощного критерия (Теорема Неймана-Пирсона).

• Сложная гипотеза утверждает принадлежность распределения к некоторому множеству распределений на . Для сложных гипотез вывести равномерно более мощный критерий удаётся лишь в некоторых специальных случаях.

Типы статистических критериев

В зависимости от проверяемой нулевой гипотезы статистические критерии делятся на группы, перечисленные ниже по разделам.

Наряду с нулевой гипотезой, которая принимается или отвергается по результату анализа выборки, статистические критерии могут опираться на дополнительные предположения, которые априори предпологаются выполненными.

• Параметрические критерии предполагают, что выборка порождена распределением из заданного параметрического семейства. В частности, существует много критериев, предназначенных для анализа выборок из нормального распределения. Преимущество этих критериев в том, что они более мощные. Если выборка действительно удовлетворяет дополнительным предположениям, то параметрические критерии дают более точные результаты. Однако если выборка им не удовлетворяет, то вероятность ошибок (как I, так и II рода) может резко возрасти. Прежде чем применять такие критерии, необходимо убедиться, что выборка удовлетворяет дополнительным предположениям. Гипотезы о виде распределения проверяются с помощью критериев согласия.

• Непараметрические критерии не опираются на дополнительные предположения о распределении. В частности, к этому типу критериев относится большинство ранговых критериев.

Критерии согласия

Критерии согласия проверяют, согласуется ли заданная выборка с заданным фиксированным распределением, с заданным параметрическим семейством распределений, или с другой выборкой.

• Критерий Колмогорова-Смирнова
• Критерий хи-квадрат (Пирсона)
• Критерий омега-квадрат (фон Мизеса)

Критерии сдвига

Специальный случай двухвыборочных критериев согласия.
Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.

• Критерий Стьюдента
• Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни

Критерии нормальности

Критерии нормальности — это выделенный частный случай критериев согласия.
Нормально распределённые величины часто встречаются в прикладных задачах, что обусловлено действием закона больших чисел.
Если про выборки заранее известно, что они подчиняются нормальному распределению, то к ним становится возможно применять более мощные параметрические критерии.
Проверка нормальность часто выполняется на первом шаге анализа выборки, чтобы решить, использовать далее параметрические методы или непараметрические.
В справочнике А. И. Кобзаря приведена сравнительная таблица мощности для 21 критерия нормальности.

• Критерий Шапиро-Уилка
• Критерий асимметрии и эксцесса

Критерии однородности

Критерии однородности предназначены для проверки нулевой гипотезы о том, что
две выборки (или несколько) взяты из одного распределения,
либо их распределения имеют одинаковые значения математического ожидания, дисперсии, или других параметров.

Критерии симметричности

Критерии симметричности позволяют проверить симметричность распределения.

• Одновыборочный критерий Уилкоксона и его модификации: критерий Антилла-Кёрстинга-Цуккини, критерий Бхаттачария-Гаствирса-Райта
• Критерий знаков
• Коэффициент асимметрии

Критерии тренда, стационарности и случайности

Критерии тренда и случайности предназначены для проверки нулевой гипотезы об
отсутствии зависимости между выборочными данными и номером наблюдения в выборке.
Они часто применяются в анализе временных рядов, в частности, при анализе регрессионных остатков.

Критерии выбросов

Критерии дисперсионного анализа

Критерии корреляционного анализа

Критерии регрессионного анализа

Литература

1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Справочник для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Ссылки

• Statistical hypothesis testing — статья в англоязычной Википедии.