Вероятность не допустить ошибку второго рода называется

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (напри­мер, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака мо­лочной железы одинаковая в двух группах, получаю­щих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

1. отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтер­нативную гипотезу
   
2. остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Фридман М.Н.

Лекция
на тему:

ПРОВЕРКА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.

Основой
применения на практике большинства
выводов и рекомендаций, полученных с
помощью математической статистики,
лежит так называемый принцип
практической уверенности.

Суть
его заключается в том, что при однократном
опыте редкое событие почти наверняка
не произойдет,
и можно на практике действовать так,
как будто оно вообще невозможно.

Более
строго мы можем сформулировать принцип
практической уверенности
следующим образом:

Если
вероятность

события
А в данном испытании очень мала, то при
однократном выполнении испытания можно
считать, что событие А практически
невозможно. Тогда противоположное
событие

практически достоверно, т.е обязательно
произойдет.

Вероятность

,
которой решено пренебрегать, называется
уровнем
значимости и
устанавливается в каждом отдельном
случае с учетом важности последствий,
вытекающих из наступления события А.

Так,
например, если событие А заключается
в том, что самолет не выпустит шасси при
посадке, то вряд ли мы полетим на таком
самолете, зная, что это может произойти
в 5% случаев, те если

=0.05.

Однако
для большинства экономических задач
уровень значимости

=0.05
является приемлемым.

Обратим
внимание, что в принципе практической
уверенности важно условие однократности
опыта, т.к. при многократном повторении
опыта (n
раз) вероятность появления события А
хотя бы один раз (m
1)
увеличивается в
n
раз: Р(
m

1)=1-
(1-
)ⁿ
n
.

2.Статистическая гипотеза и схема ее проверки.

Одним
из важнейших практических применений
математической статистики является
обоснование выбора того или иного
параметра или способа поведения,
например, выбор технологического
процесса или способа инвестиций,
эффективности управления или значимости
математической модели.

Как
правило, нас интересует некоторый
признак X
в генеральной совокупности, чей закон
распределения и (или) его параметры
неизвестны.

Любое
предположение о виде или параметрах
неизвестного закона распределения
называется статистической
гипотезой.

Статистическая
гипотеза бывает простой или сложной.

Простая
гипотеза, в отличие от сложной, полностью
определяет закон распределения случайной
величины. Например, гипотеза «случайная
величина распределена по закону Пуассона
с математическим ожиданием

=2»
является простой, а гипотеза «закон
распределения не является биномиальным»
-сложной.

Выдвинутая
гипотеза обычно обозначается

(нулевая гипотеза).

Утверждение,
которое является логическим отрицанием
гипотезы

,
называется альтернативной
, или конкурирующей.

Как
статистически проверить правильность
выдвинутой гипотезы, т.е. как разумно
сделать вывод — отвергнуть ее или нет?

Для
этого осуществляется случайная выборка
и используется некоторая случайная
величина

,
закон распределения которой известен.
Она, как правило, характеризует степень
расхождения фактически наблюдаемыми
и предполагаемыми характеристиками в
соответствии с предполагаемой гипотезой.

Значение
этой случайной величины,


,
полученное в результате выборки,
сравнивается с так называемым критическим
значением

,
которое установлено из условия: если
гипотеза

верна, то
вероятность Р (
)=

мала.

Поэтому
в соответствии с принципом практической
уверенности это событие можно считать
практически невозможным.

Таким
образом, если это событие (
)
все же произошло в данном конкретном
опыте, то гипотеза

отвергается.
Появление противоположного события(

)
считается совместимым с гипотезой

,
она не отвергается.

Правило,
по которому гипотеза

отвергается
или нет, называется
статистическим
критерием (
тестом). Статистические
критерии, служащие для проверки гипотез
о законе распределения, называемого
критериями согласия.

С
каждым критерием связана случайная
величина

,
называемая статистикой
данного критерия. Эта случайная величина
имеет известный закон распределения,
и она, как уже было сказано, отражает
расхождение выборочных результатов от
тех, которые соответствуют гипотезе

.

Поэтому
множество всех значений статистики
критерия разбивается на две области:
критическую (область отклонения гипотезы
) W
и область допустимых значений ( область
принятия гипотезы)

.

Если фактически наблюдаемое значение
статистики критерия попадает в критическую
область W,
то гипотезу

отвергают.

При
этом возможны следующие варианты:

Табл.1

Вероятность

допустить ошибку первого рода, те
отвергнуть гипотезу
,
когда она верна,
называется
уровнем
значимости,
или
размером
критерия.

Вероятность
допустить ошибку 2 рода, те принять
неверную гипотезу

,
обозначают

.

Вероятность
(1-
)
не допустить ошибку 2-го рода, т.е.
отвергнуть гипотезу

,
когда она неверна, называется
мощностью
критерия.

Вероятности
ошибок 1 и 2 рода однозначно определяются
выбором критической области. Конечно,
желательно сделать эти ошибки как можно
меньше, но, к сожалению, при фиксированном
объеме выборки уменьшение одной из них
ведет к увеличению другой.

Поэтому
при выборе критической области
руководствуются принципом: при заданном
уровне значимости

мощность критерия 1-

должна быть максимальной.

В
рамки нашего курса не входит рассмотрение
условий существования таких критериев.

Далее
мы рассмотрим конкретный пример
постановки и проверки гипотезы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Ошибки первого рода (англ. type I errors, α errors, false positives) и ошибки второго рода (англ. type II errors, β errors, false negatives) в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Определения

Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где  — нулевая гипотеза, а  — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .
2. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .
3. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .
4. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно. ^[1][2]

	Верная гипотеза
Результат  применения  критерия		верно принята	неверно принята  (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута  (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

О смысле ошибок первого и второго рода

Как видно из вышеприведённого определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы и , то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее, в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что обследуемый человек здоров, или что проходящий через рамку металлодетектора пассажир не имеет запрещённых металлических предметов. Соответственно, альтернативная гипотеза обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции.

С учётом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой, ложным срабатыванием или ложноположительным срабатыванием — например, анализ крови показал наличие заболевания, хотя на самом деле человек здоров, или металлодетектор выдал сигнал тревоги, сработав на металлическую пряжку ремня. Слово «положительный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают положительный результат (т.е. показывают наличие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент этим заболеванием не страдает. Такой результат называется ложноположительным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «ложное срабатывание», «ложная тревога» и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false positive без перевода.

Из-за возможности ложных срабатываний не удаётся полностью автоматизировать борьбу со многими видами угроз. Как правило, вероятность ложного срабатывания коррелирует с вероятностью пропуска события (ошибки второго рода). То есть: чем более чувствительна система, тем больше опасных событий она детектирует и, следовательно, предотвращает. Но при повышении чувствительности неизбежно вырастает и вероятность ложных срабатываний. Поэтому чересчур чувствительно (параноидально) настроенная система защиты может выродиться в свою противоположность и привести к тому, что побочный вред от неё будет превышать пользу.

Соответственно, ошибку второго рода иногда называют пропуском события или ложноотрицательным срабатыванием — человек болен, но анализ крови этого не показал, или у пассажира имеется холодное оружие, но рамка металлодетектора его не обнаружила (например, из-за того, что чувствительность рамки отрегулирована на обнаружение только очень массивных металлических предметов).

Слово «отрицательный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают отрицательный результат (т.е. показывают отсутствие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент страдает этим заболеванием. Такой результат называется ложноотрицательным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «пропуск события», и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false negative без перевода.

Степень чувствительности системы защиты должна представлять собой компромисс между вероятностью ошибок первого и второго рода. Где именно находится точка баланса, зависит от оценки рисков обоих видов ошибок.

Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)

Вероятность ошибки первого рода при проверке статистических гипотез называют уровнем значимости и обычно обозначают греческой буквой (отсюда название -errors).

Вероятность ошибки второго рода не имеет какого-то особого общепринятого названия, на письме обозначается греческой буквой (отсюда -errors). Однако с этой величиной тесно связана другая, имеющая большое статистическое значение — мощность критерия. Она вычисляется по формуле . Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

Обе эти характеристики обычно вычисляются с помощью так называемой функции мощности критерия. В частности, вероятность ошибки первого рода есть функция мощности, вычисленная при нулевой гипотезе. Для критериев, основанных на выборке фиксированного объема, вероятность ошибки второго рода есть единица минус функция мощности, вычисленная в предположении, что распределение наблюдений соответствует альтернативной гипотезе. Для последовательных критериев это также верно, если критерий останавливается с вероятностью единица (при данном распределении из альтернативы).

В статистических тестах обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким. Этим пороговым значением является уровень значимости, которым задаются при проверке статистических гипотез. Например, в случае металлодетектора повышение чувствительности прибора приведёт к увеличению риска ошибки первого рода (ложная тревога), а понижение чувствительности — к увеличению риска ошибки второго рода (пропуск запрещённого предмета).

Примеры использования

Радиолокация

В задаче радиолокационного обнаружения воздушных целей, прежде всего, в системе ПВО ошибки первого и второго рода, с формулировкой «ложная тревога» и «пропуск цели» являются одним из основных элементов как теории, так и практики построения радиолокационных станций. Вероятно, это первый пример последовательного применения статистических методов в целой технической области.

Компьютеры

Понятия ошибок первого и второго рода широко используются в области компьютеров и программного обеспечения.

Компьютерная безопасность

Наличие уязвимостей в вычислительных системах приводит к тому, что приходится, с одной стороны, решать задачу сохранения целостности компьютерных данных, а с другой стороны — обеспечивать нормальный доступ легальных пользователей к этим данным (см. компьютерная безопасность). Moulton (1983, с.125) отмечает, что в данном контексте возможны следующие нежелательные ситуации:

• когда нарушители классифицируются как авторизованные пользователи (ошибки первого рода)
• когда авторизованные пользователи классифицируются как нарушители (ошибки второго рода)

Фильтрация спама

Ошибка первого рода происходит, когда механизм блокировки/фильтрации спама ошибочно классифицирует легитимное email-сообщение как спам и препятствует его нормальной доставке. В то время как большинство «антиспам»-алгоритмов способны блокировать/фильтровать большой процент нежелательных email-сообщений, гораздо более важной задачей является минимизировать число «ложных тревог» (ошибочных блокировок нужных сообщений).

Ошибка второго рода происходит, когда антиспам-система ошибочно пропускает нежелательное сообщение, классифицируя его как «не спам». Низкий уровень таких ошибок является индикатором эффективности антиспам-алгоритма.

Пока не удалось создать антиспамовую систему без корреляции между вероятностью ошибок первого и второго рода. Вероятность пропустить спам у современных систем колеблется в пределах от 1% до 30%. Вероятность ошибочно отвергнуть валидное сообщение — от 0,001 % до 3 %. Выбор системы и её настроек зависит от условий конкретного получателя: для одних получателей риск потерять 1% хорошей почты оценивается как незначительный, для других же потеря даже 0,1% является недопустимой.

Вредоносное программное обеспечение

Понятие ошибки первого рода также используется, когда антивирусное программное обеспечение ошибочно классифицирует безвредный файл как вирус. Неверное обнаружение может быть вызвано особенностями эвристики, либо неправильной сигнатурой вируса в базе данных. Подобные проблемы могут происходить также и с антитроянскими и антишпионскими программами.

Поиск в компьютерных базах данных

При поиске в базе данных к ошибкам первого рода можно отнести документы, которые выдаются поиском, несмотря на их иррелевантность (несоответствие) поисковому запросу. Ошибочные срабатывания характерны для полнотекстового поиска, когда поисковый алгоритм анализирует полные тексты всех хранимых в базе данных документов и пытается найти соответствия одному или нескольким терминам, заданным пользователем в запросе.

Большинство ложных срабатываний обусловлены сложностью естественных языков, многозначностью слов: например, «home» может обозначать как «место проживания человека», так и «корневую страницу веб-сайта». Число подобных ошибок может быть снижено за счёт использования специального словаря. Однако это решение относительно дорогое, поскольку подобный словарь и разметка документов (индексирование) должны создаваться экспертом.

Оптическое распознавание текстов (OCR)

Разнообразные детектирующие алгоритмы нередко выдают ошибки первого рода. Программное обеспечение оптического распознавания текстов может распознать букву «a» в ситуации, когда на самом деле изображены несколько точек, которые используемый алгоритм расценил как «a».

Досмотр пассажиров и багажа

Ошибки первого рода регулярно встречаются каждый день в компьютерных системах предварительного досмотра пассажиров в аэропортах. Установленные в них детекторы предназначены для предотвращения проноса оружия на борт самолёта; тем не менее, уровень чувствительности в них зачастую настраивается настолько высоко, что много раз за день они срабатывают на незначительные предметы, такие как ключи, пряжки ремней, монеты, мобильные телефоны, гвозди в подошвах обуви и т.п. (см. обнаружение взрывчатых веществ, металлодетекторы).

Таким образом, соотношение числа ложных тревог (идентифицикация благопристойного пассажира как правонарушителя) к числу правильных срабатываний (обнаружение действительно запрещённых предметов) очень велико.

Биометрия

Ошибки первого и второго рода являются большой проблемой в системах биометрического сканирования, использующих распознавание радужной оболочки или сетчатки глаза, черт лица и т.д. Такие сканирующие системы могут ошибочно отождествить кого-то с другим, «известным» системе человеком, информация о котором хранится в базе данных (к примеру, это может быть лицо, имеющее право входа в систему, или подозреваемый преступник и т.п.). Противоположной ошибкой будет неспособность системы распознать легитимного зарегистрированного пользователя, или опознать подозреваемого в преступлении.^[3]

Массовая медицинская диагностика (скрининг)

В медицинской практике есть существенное различие между скринингом и тестированием:

• Скрининг включает в себя относительно дешёвые тесты, которые проводятся для большой группы людей при отсутствии каких-либо клинических признаков болезни (например, мазок Папаниколау).
• Тестирование подразумевает гораздо более дорогие, зачастую инвазивные, процедуры, которые проводятся только для тех, у кого проявляются клинические признаки заболевания, и которые, в основном, применяются для подтверждения предполагаемого диагноза.

К примеру, в большинстве штатов в США обязательно прохождение новорожденными процедуры скрининга на оксифенилкетонурию и гипотиреоз, помимо других врождённых аномалий. Несмотря на высокий уровень ошибок первого рода, эти процедуры скрининга считаются целесообразными, поскольку они существенно увеличивают вероятность обнаружения этих расстройств на самой ранней стадии.^[4]

Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных доноров на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода; однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из этих вирусов.

Возможно, наиболее широкие дискуссии вызывают ошибки первого рода в процедурах скрининга на рак груди (маммография). В США уровень ошибок первого рода в маммограммах достигает 15%, это самый высокий показатель в мире.^[5] Самый низкий уровень наблюдается в Нидерландах, 1%.^[6]

Медицинское тестирование

Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является доверие результатам кардиотестирования при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что кардиотестирование выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.

Ошибки второго рода вызывают серьёзные и трудные для понимания проблемы, особенно когда искомое условие является широкораспространённым. Если тест с 10%-ным уровнем ошибок второго рода используется для обследования группы, где вероятность «истинно-положительных» случаев составляет 70%, то многие отрицательные результаты теста окажутся ложными. (См. Теорему Байеса).

Ошибки первого рода также могут вызывать серьёзные и трудные для понимания проблемы. Это происходит, когда искомое условие является редким. Если уровень ошибок первого рода у теста составляет один случай на десять тысяч, но в тестируемой группе образцов (или людей) вероятность «истинно-положительных» случаев составляет в среднем один случай на миллион, то большинство положительных результатов этого теста будут ложными.^[7]

Исследования сверхъестественных явлений

Термин ошибка первого рода был взят на вооружение исследователями в области паранормальных явлений и привидений для описания фотографии или записи или какого-либо другого свидетельства, которое ошибочно трактуется как имеющее паранормальное происхождение — в данном контексте ошибка первого рода — это какое-либо несостоятельное «медиасвидетельство» (изображение, видеозапись, аудиозапись и т.д.), которое имеет обычное объяснение.^[8]

См. также

• Статистическая значимость
• Ложноположительный
• Атака второго рода
• Случаи ложного срабатывания систем предупреждения о ракетном нападении
• Receiver_operating_characteristic

Примечания

5.3. Ошибки первого и второго рода

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза  будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность

допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой  («альфа»).  

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза  будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность

совершить эту ошибку обозначают буквой  («бета»). Значение  называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной

гипотезы.

В практических задачах, как правило, задают уровень значимости, наиболее часто выбирают значения .

И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении

вероятности —

отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность  — принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях).

Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей  и , при этом учитывается тяжесть последствий, которые

повлекут за собой та и другая ошибки.

Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я приведу пару

нестатистических примеров.

Петя зарегистрировался в почтовике. По умолчанию,  – он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам

фильтр. И вот Петя отправляет письмо. В большинстве случаев всё произойдёт, как должно произойти – нормальное письмо дойдёт до

адресата (правильное принятие нулевой гипотезы), а спамное – попадёт в спам (правильное отвержение). Однако фильтр может

совершить ошибку двух типов:

1) с вероятностью  ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо

за спам и Петю за спаммера) или
2) с вероятностью  ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Петя редиска).

Какая ошибка более «тяжелая»? Петино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра

целесообразно уменьшить уровень значимости , «пожертвовав» вероятностью  (увеличив её). В результате в основной ящик будут попадать все

«подозрительные» письма, в том числе особо талантливых спаммеров. …Такое и почитать даже можно, ведь сделано с любовью 🙂

Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность  следует увеличить (в пользу уменьшения

вероятности ). Не хотел я

приводить подобные примеры, и даже отшутился на сайте, но по какой-то мистике через пару месяцев сам столкнулся с непростой

дилеммой. Видимо, таки, надо рассказать:

У человека появилась серьёзная болячка. В медицинской практике её принято лечить (основное «нулевое» решение). Лечение

достаточно эффективно, однако не гарантирует результата и более того опасно (иногда приводит к серьёзному пожизненному

увечью). С другой стороны, если не лечить, то возможны осложнения и долговременные функциональные нарушения.

Вопрос: что делать? И ответ не так-то прост – в разных ситуациях разные люди могут принять разные

решения (упаси вас).

Если болезнь не особо «мешает жить», то более тяжёлые последствия повлечёт ошибка 2-го рода – когда человек соглашается

на лечение, но получает фатальный результат (принимает, как оказалось, неверное «нулевое» решение). Если же…, нет, пожалуй,

достаточно, возвращаемся к теме:

5.4. Процесс проверки статистической гипотезы

5.2. Нулевая и альтернативная гипотезы

| Оглавление |



5.6. Вероятность ошибки р

Если следовать подразделению статистики на описательную и аналитическую, то задача аналитической статистики — предоставить методы, с помощью которых можно было бы объективно выяснить,
например, является ли наблюдаемая разница в средних значениях или взаимосвязь (корреляция) выборок случайной или нет.

Например, если сравниваются два средних значения выборок, то можно сформулировать две предварительных гипотезы:

• Гипотеза 0 (нулевая): Наблюдаемые различия между средними значениями выборок находятся в пределах случайных отклонений.

• Гипотеза 1 (альтернативная): Наблюдаемые различия между средними значениями нельзя объяснить случайными отклонениями.

В аналитической статистике разработаны методы вычисления так называемых тестовых (контрольных) величин, которые рассчитываются по определенным формулам на основе данных,
содержащихся в выборках или полученных из них характеристик. Эти тестовые величины соответствуют определенным теоретическим распределениям
(t-pacnpeлелению, F-распределению, распределению X2 и т.д.), которые позволяют вычислить так называемую вероятность ошибки. Это вероятность равна проценту ошибки,
которую можно допустить отвергнув нулевую гипотезу и приняв альтернативную.

Вероятность определяется в математике, как величина, находящаяся в диапазоне от 0 до 1. В практической статистике она также часто выражаются в процентах. Обычно вероятность обозначаются буквой р:

0 < р < 1

Вероятности ошибки, при которой допустимо отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу, зависит от каждого конкретного случая.
В значительной степени эта вероятность определяется характером исследуемой ситуации. Чем больше требуемая вероятность, с которой надо избежать ошибочного решения,
тем более узкими выбираются границы вероятности ошибки, при которой отвергается нулевая гипотеза, так называемый доверительный интервал вероятности.
Обычно в исследованиях используют 5% вероятность ошибки.

Существует общепринятая терминология, которая относится к доверительным интервалам вероятности:

• Высказывания, имеющие вероятность ошибки р <= 0,05 — называются значимыми.
• Высказывания с вероятностью ошибки р <= 0,01 — очень значимыми,
• А высказывания с вероятностью ошибки р <= 0,001 — максимально значимыми.

В литературе такие ситуации иногда обозначают одной, двумя или тремя звездочками.

В SPSS вероятность ошибки р имеет различные обозначения; звездочки для указания степени значимости применяются лишь в немногих случаях. Обычно в SPSS значение р обозначается Sig. (Significant).

Времена, когда не было компьютеров, пригодных для статистического анализа, давали практикам по крайней мере одно преимущество. Так как все вычисления надо было выполнять вручную,
статистик должен был сначала тщательно обдумать, какие вопросы можно решить с помощью того или иного теста. Кроме того, особое значение придавалось точной формулировке нулевой гипотезы.

Но с помощью компьютера и такой мощной программы, как SPSS, очень легко можно провести множество тестов за очень короткое время. К примеру, если в таблицу сопряженности свести 50 переменных
с другими 20 переменными и выполнить тест X², то получится 1000 результатов проверки значимости или 1000 значений р. Некритический подбор значимых величин может
дать бессмысленный результат, так как уже при граничном уровне значимости р = 0,05 в пяти процентах наблюдений, то есть в 50 возможных наблюдениях, можно ожидать значимые результаты.

Этим ошибкам первого рода (когда нулевая гипотеза отвергается, хотя она верна) следует уделять достаточно внимания. Ошибкой второго рода называется ситуация,
когда нулевая гипотеза принимается, хотя она ложна. Вероятность допустить ошибку первого рода равна вероятности ошибки р. Вероятность ошибки второго рода тем меньше, чем больше вероятность ошибки р.