Величина стандартной ошибки коэффициента регрессии эконометрической модели рассчитывается

№

Текст вопроса/ответа

Рейтинг вопроса

Вопрос обязателен/ответ
правилен

Вопрос 1

Меньшее значение
коэффициента случайной изменчивости
свидетельствует:

3

—

Ответ 1

о лучшей адаптации
модели к эмпирическим данным

+

Ответ 2

о лучшей адаптации
модели к теоретическим данным

—

Ответ 3

об отсутствии
адаптации модели к эмпирическим
данным

—

Ответ 4

об абсолютной
адаптации модели к эмпирическим
данным
 

—

Вопрос 2

Как проверить
правильность расчетов коэффициента
сходимости и коэффициента детерминации?

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

—

Ответ 3

+

Ответ 4

 

—

Вопрос 3

Коэффициент  …
информирует какая доля полной
вариабельности объясняемой переменной
не отражается моделью.

3

—

Ответ 1

детерминации

—

Ответ 2

сходимости

+

Ответ 3

инфляции

—

Ответ 4

средних цен
 

—

Вопрос 4

В каких случаях
применяется обобщенный МНК?

3

—

Ответ 1

при большой выборке

—

Ответ 2

в любом случае

—

Ответ 3

при выполнении
принципов стабильности дисперсии
случайных отклонений.

—

Ответ 4

при невыполнении
принципов стабильности дисперсии
случайных отклонений.
 

+

Вопрос 5

Для чего проводится
исследование существенности структурных
параметров линейной эконометрической
модели?

3

—

Ответ 1

для того чтобы
обнаружит эффект катализа

—

Ответ 2

это одна из предпосылок
МНК

—

Ответ 3

для проверки
значительности воздействия объясняемой
переменной на объясняющие

—

Ответ 4

для проверки
значительно или нет объясняющие
переменные воздействуют на объясняемую
переменную
 

+

Вопрос 6

Нуль-гипотеза для
коэффициента множественной корреляции
R имеет вид:

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 7

Укажите вектор
наблюдаемых значений результативного
признака.

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 8

В уравнении ,
знак “^” означает:

3

—

Ответ 1

эффект катализа

—

Ответ 2

автокорреляция
переменных

—

Ответ 3

переменные независимы

—

Ответ 4

между переменными
нет строгой функциональной зависимости
 

+

Вопрос 9

Чему равно среднее
значение остатков?

3

—

Ответ 1

единице

—

Ответ 2

нулю

+

Ответ 3

зависит от величины
каждого остатка

—

Ответ 4

значению первого в
ряду остатка
 

—

Вопрос 10

При исследовании
существенности структурных параметров
линейной эконометрической модели
для каждого i=1,2…n проверяется:

3

—

Ответ 1

стандартная
погрешность

—

Ответ 2

нуль-статистика

—

Ответ 3

гипотеза о
существенности

—

Ответ 4

нуль-гипотеза
 

+

Вопрос 11

В каком интервале
лежат значения коэффициента сходимости?

3

—

Ответ 1

(-1;1)

—

Ответ 2

(-2;2)

—

Ответ 3

+

Ответ 4

8-10%
 

—

Вопрос 12

Матрица R симметрична.
Это означает:

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

элементы главной
диагонали равны элементам побочной

—

Ответ 3

—

Ответ 4

 

+

Вопрос 13

Как называется
переменная вызывающая эффект катализа
в линейной эконометрической модели?

3

—

Ответ 1

переменная

—

Ответ 2

детерминанта

—

Ответ 3

катализатор

+

Ответ 4

регрессия
 

—

Вопрос 14

Формула  необходима
для расчета элементов …матрицы.

3

—

Ответ 1

нейтральной 

+

Ответ 2

квадратной

—

Ответ 3

обратной

—

Ответ 4

единичной
 

—

Вопрос 15

Предпосылками МНК
являются:

3

—

Ответ 1

случайный характер
остатков

—

Ответ 2

нулевая средняя
величина остатков не зависящая от Х

—

Ответ 3

гомоскедастичность

—

Ответ 4

все перечисленное
верно
 

+

Вопрос 16

Исследование остатков
в линейной регрессионной модели
предполагает:

3

—

Ответ 1

построение нейтральной
матрицы

—

Ответ 2

проверку наличия
предпосылок МНК

+

Ответ 3

проверку точности
математических расчетов

—

Ответ 4

проверку соответствия
остатков эмпирическим данным
 

—

Вопрос 17

Каким требованиям
должны отвечать факторы при множественном
корреляционном анализе (два правильных
ответа):

3

—

Ответ 1

данные экономического
характера

—

Ответ 2

доступность

—

Ответ 3

количественно
измеримы

+

Ответ 4

не должны быть в
точной функциональной зависимости
 

+

Вопрос 18

В каких случаях в
эконометрической модели может быть
использована парабола второй степени?

3

—

Ответ 1

когда для определенного
интервала значений не меняется
характер связи рассматриваемых
признаков

—

Ответ 2

когда для определенного
интервала значений меняется характер
связи рассматриваемых признаков

+

Ответ 3

когда между переменными
наблюдается прямая связь

—

Ответ 4

когда между переменными
наблюдается обратная связь
 

—

Вопрос 19

МНК — это

3

—

Ответ 1

метод наименьших
квадратов

+

Ответ 2

метод наибольших
констант

—

Ответ 3

мера независимости
коэффициентов

—

Ответ 4

метод нормальной
корреляции
 

—

Вопрос 20

Как называется
регрессия между двумя переменными?

3

—

Ответ 1

абсолютная

—

Ответ 2

эконометрическая

—

Ответ 3

множественная

—

Ответ 4

парная
 

+

Вопрос 21

Дисперсия случайных
отклонений оценивается по формуле:

3

—

Ответ 1

+

Ответ 2

—

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 22

Выражение для вектора
а структурных параметров множественной
регрессионной модели имеет вид:

3

—

Ответ 1

+

Ответ 2

—

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 23

По какой формуле
рассчитывается индивидуальный
показатель информационной емкости ?

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

—

Ответ 3

+

Ответ 4

 

—

Вопрос 24

По какой формуле
рассчитывается интегральный показатель
информационной емкости?

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 25

Если для любого
i=1,2…n , коэффициенты корреляции в
векторе  положительны
и упорядочены по возрастанию, то как
называется пара :

3

—

Ответ 1

вектором корреляции

—

Ответ 2

корреляционными
остатками

—

Ответ 3

нерегулярной
корреляционной парой

—

Ответ 4

регулярной
корреляционной парой
 

+

Вопрос 26

Что является
предварительным условием присвоения
различным величинам статуса объясняющих
переменных в эконометрической модели?

3

—

Ответ 1

достаточно высокая
вариабельность.

+

Ответ 2

эти величины должны
мало отличатся друг от друга.

—

Ответ 3

среднее арифметическая
величина этих величин должна равняться
нулю.

—

Ответ 4

величины должны
быть подобраны статистическими
методами.
 

—

Вопрос 27

Укажите формулу
коэффициента вариации.

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

 

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 28

Как находится
стандартное отклонение переменной
Х?

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 29

Сумма произведений
значений случайной величины на
соответствующие вероятности называется:

3

—

Ответ 1

матрица

—

Ответ 2

множественная
регрессия

—

Ответ 3

математическое
ожидание

+

Ответ 4

парная регрессия 
 

—

Вопрос 30

В парной регрессии
выбор вида математической функции
может быть осуществлен следующими
методами (несколько правильных
ответов):

3

—

Ответ 1

графический

+

Ответ 2

аналитический

+

Ответ 3

метод наименьших
квадратов

—

Ответ 4

экспериментальный
 

+

Вопрос 31

В данном уравнении ,
величина—
характеризует: 

3

—

Ответ 1

независимая переменная

—

Ответ 2

теоретическое
значение результативного признака

—

Ответ 3

случайная величина
отклонения реального значения от
теоретического

+

Ответ 4

фактическое значение
результативного признака
 

—

Вопрос 32

Коэффициент сходимости
рассчитывается по формуле:  

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

+

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 33

Коэффициент, который
показывает какая доля полной вариации
объясняемой переменной, предопределена
её теоретическими характеристиками? 

3

—

Ответ 1

коэффициент
детерминации

+

Ответ 2

коэффициент сходимости

—

Ответ 3

коэффициент случайной
изменчивости

—

Ответ 4

коэффициент
эластичности
 

—

Вопрос 34

Коэффициент случайной
изменчивости определяется по формуле:

3

—

Ответ 1

+

Ответ 2

—

Ответ 3

—

Ответ 4

 

—

Вопрос 35

В чем заключается
эффект катализа в линейной
эконометрической модели?

3

—

Ответ 1

данный эффект в
линейной модели не наблюдается.

—

Ответ 2

сильная корреляция
объясняемой переменной с объясняющими
переменными.

+

Ответ 3

сильная корреляция
между структурными параметрами модели

—

Ответ 4

отсутствие корреляции
между переменными
 

—

Вопрос 36

Линейный коэффициент
корреляции находится по формуле:

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

—

Ответ 3

—

Ответ 4

 

+

Вопрос 37

Линейный коэффициент
корреляции находится в пределах от
-1 до 1. Выберите правильное утверждение:

3

—

Ответ 1

чем ближе абсолютное
значение к единице, тем сильнее
обратная связь между факторами

—

Ответ 2

чем ближе абсолютное
значение к единице, тем сильнее
линейная связь между факторами.

+

Ответ 3

чем ближе абсолютное
значение к нулю, тем сильнее линейная
связь между факторами

—

Ответ 4

чем ближе абсолютное
значение к единице, тем слабее связь
между факторами
 

—

Вопрос 38

Средний коэффициент
эластичности находится по формуле:
 

3

—

Ответ 1

—

Ответ 2

—

Ответ 3

+

Ответ 4

 

—

Вопрос 39

Среднее отклонение
расчетных значений от теоретических
— это: 

3

—

Ответ 1

средняя ошибка
аппроксимации.

+

Ответ 2

средний коэффициент
эластичности.

—

Ответ 3

теоретическое
стандартное отклонение. 

—

Ответ 4

средний коэффициент
корреляции.
 

—

Вопрос 40

Примером нелинейной
зависимости экономических показателей
является …

3

—

Ответ 1

классическая
гиперболическая зависимость спроса
от цены.

+

Ответ 2

зависимость объема
продаж от недели реализации, выраженная
линейным трендом.

—

Ответ 3

линейная зависимость
выручки от величины оборотных средств.

—

Ответ 4

линейная зависимость
затрат на производство от объема
выпуска продукции.
 
 

—

Вопрос 41

Отбор факторов
множественной линейной регрессионной
модели можно проводить по t-критерию
Стъюдента для коэффициентов регрессии.
Из уравнения исключаются факторы с
величиной t-критерия

3

—

Ответ 1

равные нулю.

—

Ответ 2

больше табличного
значения.

+

Ответ 3

меньше единицы.

—

Ответ 4

меньше табличного
значения.
 

—

Вопрос 42

Параметр является
существенным, если

3

—

Ответ 1

расчетное значение
критерия Стъюдента меньше табличного
значения.

+

Ответ 2

доверительный
интервал проходит через ноль.

—

Ответ 3

стандартная ошибка
превышает половину значения самого
параметра.

—

Ответ 4

доверительный
интервал не проходит через ноль.
 

—

Вопрос 43

Статистической
гипотезой называется

3

—

Ответ 1

всякое высказывание
о генеральной совокупности, проверяемое
по выборке.

+

Ответ 2

всякое высказывание
о генеральной совокупности, проверяемое
по генеральной совокупности.

—

Ответ 3

всякое высказывание
о выборочной совокупности, проверяемое
по выборке.

—

Ответ 4

всякое высказывание
о выборочной совокупности, проверяемое
по генеральной совокупности.
 

—

Вопрос 44

Укажите требования
к факторам, включаемым в модель
множественной линейной регрессии:

3

—

Ответ 1

факторы должны иметь
одинаковую размерность.

—

Ответ 2

факторы должны быть
количественно измеримы.

+

Ответ 3

между факторами не
должна существовать высокая корреляция.

—

Ответ 4

факторы должны
представлять временные ряды.
 

—

Вопрос 45

Результаты расходов
на питание от
доходов населения R и цены на питание
P (в %) имеют вид = 150 + 0,15R – 0,05P
(в млрд. руб.). На сколько руб. увеличатся
расходы на питание, если доходы
населения увеличатся на 1 млрд. руб.?

3

—

Ответ 1

150 млрд.руб.

—

Ответ 2

15 млн.руб.

—

Ответ 3

150 млн.руб.

+

Ответ 4

150,15 млрд.руб.
 

—

Вопрос 46

Результаты расходов
на питание от
доходов населения R и цены на питание
P (в %) имеют вид = 120 + 0,13R – 0,06P
(в млрд. руб.). На сколько руб. увеличатся
расходы на питание, если цены уменьшатся
на 10%?

3

—

Ответ 1

120 млрд.руб.

—

Ответ 2

60 млн.руб.

—

Ответ 3

600 млн.руб.

+

Ответ 4

60 млрд.руб.
 

—

Вопрос 47

Пусть исследуется
линейная зависимость вида .
Величина, показывающая, на сколько
процентов изменится y при изменении
xi на 1% называется …

3

—

Ответ 1

коэффициентом
регрессии.

—

Ответ 2

коэффициентом
эластичности.

+

Ответ 3

коэффициентом
корреляции.

—

Ответ 4

коэффициентом
детерминации.

—

Вопрос 48

В линейном уравнении
множественной регрессии  переменными 
регрессии являются (два правильных
ответа):

3

—

Ответ 1

b1.

—

Ответ 2

b2.

—

Ответ 3

x1.

+

Ответ 4

x2.
 

+

Вопрос 49

В линейном уравнении
множественной регрессии
ŷ = a + b1nx1 + b2nx2
коэффициентами  регрессии являются
(два правильных ответа):

3

—

Ответ 1

b1n.

+

Ответ 2

b2n.

+

Ответ 3

x1.

—

Ответ 4

x2.

—

Вопрос 50

Как записывается
множественное регрессионное линейное
уравнение?

3

—

Ответ 1

.

+

Ответ 2

.            

—

Ответ 3

.

—

Ответ 4

.
 

—

Вопрос 51

Коэффициент
множественной корреляции изменяется
в пределах 

3

—

Ответ 1

[0, 1).

—

Ответ 2

(0, 1].

—

Ответ 3

(0, 1).

—

Ответ 4

[0, 1].
 

+

Вопрос 52

Автокорреляция
остатков — это

3

—

Ответ 1

независимость
дисперсии остатков от номера наблюдения.

—

Ответ 2

зависимость дисперсии
остатков от номера наблюдения.

—

Ответ 3

сильная коррелированность
остатков для разных наблюдений.

+

Ответ 4

сильная коррелированность
фактором друг от друга.
 

—

Вопрос 53

Обобщенный МНК
подразумевает:

3

—

Ответ 1

линеаризацию
уравнения регрессии.

—

Ответ 2

двухэтапное применение
МНК.

+

Ответ 3

преобразование
переменных.

—

Ответ 4

переход от множественной
регрессии к парной.
 

—

Вопрос 54

Метод оценки
параметров модели с гетероскедастичными
остатками называется … МНК.

3

—

Ответ 1

косвенным.

—

Ответ 2

обобщенным.

+

Ответ 3

минимальным.

—

Ответ 4

обычным.
 

—

Вопрос 55

Проверку выполнения
предпосылки МНК о гомоскедастичности
(гетероскедастичности) остатков можно
проверить …

3

—

Ответ 1

на основании
параметрических тестов.

—

Ответ 2

методом линеаризации
уравнения.

—

Ответ 3

дифференцированием
переменных.

—

Ответ 4

визуально по
графику.
 

+

Вопрос 56

Если предпосылки
МНК не выполняются, то оценки параметров
уравнения регрессии могут не обладать
свойствами (три правильных ответа):

3

—

Ответ 1

состоятельности.

+

Ответ 2

несмещенности.

+

Ответ 3

правильности.

—

Ответ 4

эффективности.
 

+

Вопрос 57

Гетероскедастичность
остатков — это

3

—

Ответ 1

независимость
дисперсии остатков от номера наблюдения.

—

Ответ 2

зависимость дисперсии
остатков от номера наблюдения.

+

Ответ 3

сильная коррелированность
остатков для разных наблюдений.

—

Ответ 4

сильная коррелированность
фактором друг от друга.
 

—

Вопрос 58

Неизменность
отклонений регрессионных остатков
от номера наблюдения называют

3

—

Ответ 1

гомоскедастичностью
остатков.

+

Ответ 2

гетероскедастичностью
остатков.

—

Ответ 3

автокоррелированностью
остатков.

—

Ответ 4

автокоррелированностью
факторов модели.
 

—

Вопрос 59

Гомоскедастичность
остатков — это

3

—

Ответ 1

независимость
дисперсии остатков от номера наблюдения.

+

Ответ 2

зависимость дисперсии
остатков от номера наблюдения.

—

Ответ 3

сильная коррелированность
остатков для разных наблюдений.

—

Ответ 4

сильная коррелированность
фактором друг от друга.
 

—

Вопрос 60

О хорошем качестве
регрессионной модели свидетельствует
величина средней ошибки аппроксимации

3

—

Ответ 1

около 100%.

—

Ответ 2

более 10%.

—

Ответ 3

менее 59%.

—

Ответ 4

менее 10%.
 

+

Вопрос 61

Средняя ошибка
аппроксимации на основе относительных
отклонений по каждому наблюдению
подсчитывается по формуле

3

—

Ответ 1

.

—

Ответ 2

.

+

Ответ 3

.
 

—

Ответ 4

.
 

—

Вопрос 62

Величина стандартной
ошибки коэффициента регрессии
эконометрической модели рассчитывается
для определения значимости
(существенности) …

3

—

Ответ 1

коэффициента
детерминации.

—

Ответ 2

коэффициента
регрессии.

+

Ответ 3

случайной составляющей
модели.

—

Ответ 4

зависимой переменной.
 

—

Вопрос 63

Найти дисперсию
остатков ,
если известны коэффициент
детерминации   = 0,88,
дисперсия показателя D(y) = 4 и
n = 10.

3

—

Ответ 1

0,15.

—

Ответ 2

0,06.

—

Ответ 3

0,6.

+

Ответ 4

0,2.
 

—

Вопрос 64

Найти коэффициент
детерминации ,
если известны дисперсии остатков  = 0,6
и показателя D(y) = 4 и n = 10.

3

—

Ответ 1

0,15.

—

Ответ 2

0,6.

—

Ответ 3

0,24.

—

Ответ 4

0,88.
 

+

Вопрос 65

Случайными
воздействиями обусловлено 12% дисперсии
результирующего признака, следовательно,
значение коэффициента детерминации
составило

3

—

Ответ 1

88.

—

Ответ 2

12.

—

Ответ 3

0,12.

—

Ответ 4

0,88.
 

+

Вопрос 66

Значение коэффициента
детерминации рассчитывается как
отношение дисперсии результативного
признака объясненной регрессии к …
дисперсии результативного признака.

3

—

Ответ 1

общей.

+

Ответ 2

средней.

—

Ответ 3

остаточной.

—

Ответ 4

факторной.
 

—

Вопрос 67

Остаточная сумма
квадратов отклонений может
интерпретироваться как мера

3

—

Ответ 1

разброса величины
y, объясненной с помощью регрессии,
относительно .

+

Ответ 2

общего разброса
величины y относительно .

—

Ответ 3

разброса остаточной
величины, не объясненной уравнением
регрессии.

—

Ответ 4

влияние величины
остаточной суммы квадратов отклонений
на число степеней свободы.
 

—

Вопрос 68

Для подсчета суммы
квадратов остатков, используется
формула

3

—

Ответ 1

.

—

Ответ 2

.

—

Ответ 3

.

+

Ответ 4

.
 

—

Вопрос 69

При расчете значений
коэффициента детерминации используется
отношение

3

—

Ответ 1

дисперсий.

+

Ответ 2

остаточных величин.

—

Ответ 3

параметров уравнения
регрессии.

—

Ответ 4

математических
ожиданий.
 

—

Вопрос 70

Величина коэффициента
детерминации …

3

—

Ответ 1

оценивает значимость
каждого из факторов, включенных в
уравнение регрессии.

—

Ответ 2

характеризует долю
дисперсии зависимой переменной y,
объясненную уравнением, в ее общей
дисперсии.

+

Ответ 3

рассчитывается для
оценки качества подбора уравнения
регрессии.

—

Ответ 4

характеризует долю
дисперсии остаточной величины в общей
дисперсии зависимой переменной.
 

—

Вопрос 71

Общая дисперсия
служит для оценки влияния

3

—

Ответ 1

учтенных явно в
модели факторов.

—

Ответ 2

величины постоянной
составляющей в уравнении.

—

Ответ 3

случайных воздействий.

—

Ответ 4

как учтенных факторов,
так и случайных воздействий.
 

+

Вопрос 72

Найти средний
коэффициент эластичности
регрессии = 2 – 0,2x,
если = 4, =
2. 

3

—

Ответ 1

– 0,2.

—

Ответ 2

2.

—

Ответ 3

– 0,4.

+

Ответ 4

4.
 

—

Вопрос 73

Результаты расходов
на питание от
доходов населения R имеют
вид = 10,5 + 0,45R
(в млрд. руб.). На сколько руб. увеличатся
расходы на питание, если доходы
населения увеличатся на 1 млрд. руб.?

3

—

Ответ 1

10,5 млрд.руб.

—

Ответ 2

45 млрд.руб.

—

Ответ 3

45 млн.руб.

—

Ответ 4

450 млн.руб.
 

+

Вопрос 74

Величина коэффициента
эластичности показывает …

3

—

Ответ 1

на сколько % в среднем
изменится результат при изменении
фактора на 1%.

+

Ответ 2

во сколько раз в
среднем изменится результат при
изменении фактора в два раза.

—

Ответ 3

предельно допустимое
изменение варьируемого признака.

—

Ответ 4

предельно возможное
значение результата.
 

—

Вопрос 75

В линейном уравнении
парной регрессии y = a + bx + e
параметр b показывает

3

—

Ответ 1

насколько % в среднем
изменится y, если x изменится на 1
единицу.

—

Ответ 2

на какую величину
в среднем изменится x, если y изменится
на 1 единицу.

—

Ответ 3

на какую величину
в среднем изменится y, если x изменится
на 1 единицу.

+

Ответ 4

насколько % в среднем
изменится y, если x изменится на 1%.
 

—

Вопрос 76

Величина коэффициента
регрессии характеризует

3

—

Ответ 1

значение свободного
члена в уравнении.

—

Ответ 2

среднее изменение
результата при изменении фактора на
одну единицу.

+

Ответ 3

фактическое значение
независимой переменной.

—

Ответ 4

значение параметра
при независимой переменной.
 

—

Вопрос 77

Найти оценку для
регрессионного параметра в
модели y = a + bx,
если = 2, = 0,5, =
4. 

3

—

Ответ 1

3.

+

Ответ 2

2.

—

Ответ 3

0,25.

—

Ответ 4

0,5.
 

—

Вопрос 78

Найти оценку для
коэффициента регрессии в
модели y = a + bx, если
cov(x, y) = 4, D(x) = 16. 

3

—

Ответ 1

16.

—

Ответ 2

4.

—

Ответ 3

0,25.

+

Ответ 4

0,5.

—

Вопрос 79

Сопоставление
реальных и модельных данных, проверка
адекватности модели, оценка точности
модельных данных проводится на этапе

3

—

Ответ 1

параметризации.

—

Ответ 2

верификации.

+

Ответ 3

идентификации.

—

Ответ 4

линеаризации.

—

Вопрос 80

Коэффициент
регрессии является
состоятельной оценкой параметра b
модели y = a + bx при условии,
что 

3

—

Ответ 1

математическое
ожидание оценки  равно
оцениваемому параметру b.

—

Ответ 2

дисперсия
оценки является
наименьшей среди всех возможных
дисперсий несмещенных оценок параметра
b.

—

Ответ 3

дисперсия оценки  равна
нулю.

—

Ответ 4

оценка  стремится
к оцениваемому параметру b при больших
выборках.
 

+

Вопрос 81

Коэффициент
регрессии является
эффективной оценкой параметра b модели
y = a + bx при условии, что 

3

—

Ответ 1

математическое
ожидание оценки  равно
оцениваемому параметру b.

—

Ответ 2

дисперсия
оценки является
наименьшей среди всех возможных
дисперсий несмещенных оценок параметра
b.

+

Ответ 3

дисперсия оценки  равна
нулю.

—

Ответ 4

оценка  стремится
к оцениваемому параметру b при больших
выборках.
 

—

Вопрос 82

Коэффициент
регрессии является
несмещенной оценкой параметра b модели
y = a + bx при условии, что 

3

—

Ответ 1

математическое
ожидание оценки  равно
оцениваемому параметру b.

—

Ответ 2

дисперсия
оценки является
наименьшей среди всех возможных
дисперсий несмещенных оценок параметра
b.

—

Ответ 3

дисперсия оценки  равна
нулю.

+

Ответ 4

оценка  стремится
к оцениваемому параметру b при больших
выборках.
 

—

Вопрос 83

При увеличении
объема выборки становятся маловероятным
значительные ошибки при оценивании
параметров регрессии. Это означает,
что используются … оценки.

3

—

Ответ 1

состоятельные.

+

Ответ 2

несмещенные.

—

Ответ 3

эффективные.

—

Ответ 4

асимптотически
эффективные.

—

Вопрос 84

Оценки неизвестных
параметров регрессии по МНК определяется
из условия минимума суммы случайных
ошибок ei

3

—

Ответ 1

.

—

Ответ 2

.

—

Ответ 3

.

+

Ответ 4

. 
 

—

Вопрос 85

Предпосылкой
применения МНК является

3

—

Ответ 1

равенство нулю
дисперсии случайных отклонений et.

—

Ответ 2

положительный знак
дисперсии случайных отклонений et.

—

Ответ 3

постоянство дисперсии
случайных отклонений et.

+

Ответ 4

отрицательный знак
дисперсии случайных отклонений et.
 

—

Вопрос 86

Для успешного
применения МНК необходимо, чтобы
математическое ожидание случайного
отклонения ei равнялось нулю. Это
означает, что

3

—

Ответ 1

случайное отклонение
в среднем не оказывает существенного
влияния на зависимую переменную.

+

Ответ 2

случайное отклонение
оказывает на зависимую переменную
сильное влияние.

—

Ответ 3

равны математические
ожидания случайного отклонения для
каждого наблюдения.

—

Ответ 4

случайное отклонение
в среднем равно 1.
 

—

Вопрос 87

МНК для оценки
параметров уравнений регрессии дает
хорошие результаты

3

—

Ответ 1

всегда.

—

Ответ 2

при большом количестве
наблюдений.

+

Ответ 3

при выполнении
определенных предпосылок.

—

Ответ 4

при небольшом
количестве наблюдений.
 

—

Вопрос 88

При увеличении
объема выборки дисперсия эффективной
оценки параметра становится бесконечно
малой величиной. Такая оценка параметра
называется

3

—

Ответ 1

состоятельной.

—

Ответ 2

несмещенной.

—

Ответ 3

эффективной.

+

Ответ 4

асимптотически
эффективной.
 

—

Вопрос 89

МНК используется
для оценивания …

3

—

Ответ 1

коэффициента
детерминации.

—

Ответ 2

средней ошибки
аппроксимации.

—

Ответ 3

параметров линейной
регрессии.

+

Ответ 4

коэффициента
корреляции.
 

—

Вопрос 90

Самым распространенным
методом оценки параметров регрессии
является

3

—

Ответ 1

метод моментов.

—

Ответ 2

метод наименьших
модулей.

—

Ответ 3

метод максимального
правдоподобия.

—

Ответ 4

МНК.
 

+

Вопрос 91

При использовании
МНК минимизируется … отклонений
наблюдаемых значений зависимой
переменной и ее расчетных значений.

3

—

Ответ 1

разность сумм
квадратов.

—

Ответ 2

квадрат суммы.

—

Ответ 3

сумма модулей.

—

Ответ 4

сумма квадратов.
 

+

Вопрос 92

Основное отличие
эконометрических моделей от других
видов экономико-математических
моделей состоит в

3

—

Ответ 1

учете случайных
возмущений для зависимой переменной.

+

Ответ 2

учете всех факторов,
влияющих на результат.

—

Ответ 3

использовании
линейной формы зависимости.

—

Ответ 4

анализе данных,
меняющихся во времени.
 

—

Вопрос 93

В классической
модели парной линейной регрессии
y = a + bx + e 

3

—

Ответ 1

y, e — детерминированные
величины, x — случайная величина.

—

Ответ 2

x — детерминированная
величина, y, e — случайные величины.

—

Ответ 3

y — детерминированная
величина, x, e — случайные величины.

+

Ответ 4

e — детерминированная
величины, x, y — случайные величины.
 

—

Вопрос 94

Как записывается
однофакторное регрессионное линейное
уравнение?

3

—

Ответ 1

.

—

Ответ 2

.

—

Ответ 3

.

—

Ответ 4

.
 

+

Вопрос 95

В линейном уравнении
парной регрессии y = a + bx + e
параметрами являются

3

—

Ответ 1

x.

—

Ответ 2

y.

—

Ответ 3

a.

+

Ответ 4

b.
 

—

Вопрос 96

В линейном уравнении
парной регрессии y = a + bx + e
переменными являются

3

—

Ответ 1

x.

+

Ответ 2

y.

—

Ответ 3

a.

—

Ответ 4

b.
 

—

Вопрос 97

Эконометрическая
модель объекта представляет собой

3

—

Ответ 1

экономико-математическую
модель с учетом случайных возмущений
зависимой переменной.

—

Ответ 2

любую
экономико-математическую модель.

—

Ответ 3

экономико-математическую
модель с учетом случайных возмущений
независимой переменной.

—

Ответ 4

эмпирическую
зависимость результирующего признака
от фактора.
 

+

Вопрос 98

Формализация
закономерностей общей эконометрической
теории является одним из принципов
… эконометрической модели.

3

—

Ответ 1

спецификации.

+

Ответ 2

верификации.

—

Ответ 3

идентификации.

—

Ответ 4

параметризация.
 

—

Вопрос 99

Эконометрика – это
…

3

—

Ответ 1

специальный раздел
математики, посвященный анализу
экономической информации.  

—

Ответ 2

наука, которая дает
количественное выражение взаимосвязей
экономических явлений и процессов.

+

Ответ 3

наука, которая
осуществляет качественный анализ
взаимосвязей экономических явлений
и процессов.

—

Ответ 4

раздел экономической
теории, связанный с анализом
статистической информацией.     
 

—

Вопрос 100

Какое из этих значений
может принимать линейный коэффициент
корреляции при обратной связи?

3

—

Ответ 1

– 0,8.

+

Ответ 2

0,7.

—

Ответ 3

1,2.

—

Ответ 4

– 1,2.
 

—

Вопрос 101

Какое из этих значений
может принимать линейный коэффициент
корреляции при прямой связи?

3

—

Ответ 1

– 0,6.

—

Ответ 2

0,6.

+

Ответ 3

1,2.

—

Ответ 4

– 1,2.
 

—

Вопрос 102

Линейный коэффициент
корреляции изменяется в пределах

3

—

Ответ 1

[0, 1).

—

Ответ 2

[–1, 1].

+

Ответ 3

(0, 1).

—

Ответ 4

[0, 1].
 

—

Вопрос 103

Коэффициент парной
линейной корреляции равен нулю. Это
значит, что 

3

—

Ответ 1

отсутствует
автокорреляция факторного признака.

—

Ответ 2

отсутствует
автокорреляция результативного
признака.

—

Ответ 3

между признаками
нет линейной корреляционной связи.

—

Ответ 4

между признаками
отсутствует какая-либо зависимость.
 

+

Вопрос 104

Расчет формулы для
коэффициента парной линейной корреляции
случайных величин x и y имеет вид 

3

—

Ответ 1

.

—

Ответ 2

.

+

Ответ 3

.

—

Ответ 4

.
 

—

Вопрос 105

Линейный коэффициент
корреляции

3

—

Ответ 1

выражается квадратичной
размерностью показателя. 

—

Ответ 2

показывает в среднем,
на сколько отклоняются значения
показателя от среднего значения.

—

Ответ 3

является мерой
однородности совокупности.

—

Ответ 4

показывает меру
тесноты связи между двумя показателями.
 

+

Вопрос 106

Линейный коэффициент
корреляции – это отношение …  

3

—

Ответ 1

суммы значений
показателя к объему совокупности.

—

Ответ 2

суммы квадратов
отклонений значений показателя от
среднего значения к объему совокупности.

—

Ответ 3

среднего квадратичного
отклонения к средней арифметической
величине.

—

Ответ 4

ковариации к
произведению средних квадратичных
отклонений двух показателей.
 

+

Вопрос 107

Корреляция
подразумевает наличие связи между …

3

—

Ответ 1

случайными факторами.

+

Ответ 2

параметрами.

—

Ответ 3

результатом и
случайными факторами.

—

Ответ 4

переменными.
 

—

Вопрос 108

Найти дисперсию,
если среднее квадратичное отклонение
равно 4,5.

3

—

Ответ 1

4,5.

—

Ответ 2

9.

—

Ответ 3

12,25.

—

Ответ 4

20,25.
 

+

Вопрос 109

Найти среднее
квадратичное отклонение, если дисперсия
совокупности равна. 12,25.

3

—

Ответ 1

12,25.

—

Ответ 2

24,5.

—

Ответ 3

4,5.

—

Ответ 4

3,5.
 

+

Вопрос 110

Найти среднюю
урожайность пшеницы с 1 га за три года:
60ц, 49ц, 41ц.

3

—

Ответ 1

41.

—

Ответ 2

49.

—

Ответ 3

50.

+

Ответ 4

55.
 

—

Вопрос 111

Формулой  определяется
… показателей x и y.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

—

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

—

Ответ 4

ковариация.
 

+

Вопрос 112

Формулой  определяется
… показателя x.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

—

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

+

Ответ 4

ковариация.

—

Вопрос 113

Формулой  определяется
… показателя x.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

+

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

—

Ответ 4

ковариация.

—

Вопрос 114

Формулой  определяется
… показателей x и y.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

—

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

—

Ответ 4

ковариация.

+

Вопрос 115

Формулой  определяется
… показателя x.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

—

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

+

Ответ 4

ковариация.

—

Вопрос 116

Формулой  определяется
… показателя x.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

—

Ответ 2

дисперсия.

+

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

—

Ответ 4

ковариация.

—

Вопрос 117

Формулой  определяется
… показателя x.

3

—

Ответ 1

средняя арифметическая
величина.

+

Ответ 2

дисперсия.

—

Ответ 3

среднее квадратичное
отклонение.

—

Ответ 4

ковариация.

—

Вопрос 118

Среднее квадратичное
отклонение:

3

—

Ответ 1

выражается квадратичной
размерностью показателя. 

—

Ответ 2

показывает в среднем,
на сколько отклоняются значения
показателя от среднего значения.

—

Ответ 3

является мерой
однородности совокупности.

+

Ответ 4

показывает меру
тесноты связи между двумя показателями.

—

Вопрос 119

Дисперсия – это
отношение: 

3

—

Ответ 1

суммы значений
показателя к объему совокупности.

—

Ответ 2

суммы квадратов
отклонений значений показателя от
среднего значения к объему совокупности.

+

Ответ 3

среднего квадратичного
отклонения к средней арифметической
величине.

—

Ответ 4

ковариации к
произведению средних квадратичных
отклонений двух показателей.
 

—

Вопрос 120

Средняя арифметическая
величина – это отношение:

3

—

Ответ 1

суммы значений
показателя к объему совокупности.

+

Ответ 2

суммы квадратов
отклонений значений показателя от
среднего значения к объему совокупности.

—

Ответ 3

среднего квадратичного
отклонения к средней арифметической
величине.

—

Ответ 4

ковариации к
произведению средних квадратичных
отклонений двух показателей.
 

—

Расчет доверительных интервалов и прогнозов для линейного уравнения регрессии

Как правило, в линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров.Показатели корреляционной связи, вычисленные по ограничен­ной совокупности (по выборке), являются лишь оценками той или иной статистической закономерности, поскольку в любом парамет­ре сохраняется элемент не полностью погасившейся случайности, присущей индивидуальным значениям признаков. Поэтому необхо­дима статистическая оценка степени точности и надежности пара­метров корреляции. Под надежностью здесь понимается вероятность того, что значение проверяемого параметра не равно нулю, не вклю­чает в себя величины противоположных знаков.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцени­ваемой величины со средней случайной ошибкой оценки. Для ко­эффициента парной регрессии b средняя ошибка оценки вычисля­ется как:

где D_ост – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Для нашего примера величина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила:

.

Для оценки того, насколько точные значения показателей могут отличаться от рассчитанных, осуществляется построение доверительных интервалов. Они определяют пределы, в которых лежат точные значения определяемых показателей с заданной степенью точности, соответствующей заданному уровню значимости α (α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна, обычно принимается равной 0,05 или 0,01).

Для оценки статистической значимости коэффициента линейной регрессии и линейного коэффициента парной корреляции, а также для расчета доверительных интервалов b, применяется t – критерий Стьюдента.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости а и числе степеней свободы (n — 2).

В рассматриваемом примере фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии составило:

.

Этот же результат получим, извлекая квадратный корень из найденного F-критерия, т.е.

.

Действительно, справедливо равенство .

При (для двустороннего критерия) и числе степеней свободы 13 табличное значение t_b=2,16. Так как фактическое значение t‑критерия превышает табличное, то, следовательно, гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Для расчета доверительных интервалов для параметров a и b уравнения линейной регрессии определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют вид:

Если границы интервала имеют разные знаки, т.е. в эти границы попадает ноль, то оцениваемый параметр принимается нулевым.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Для коэффициента регрессии b в примере 95%-ные границы составят:

0,022 ± 2,16·0,0026 = 0,022 ± 0,0057, т.е.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, -10 ≤ b ≤ 40. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Стандартная ошибка параметра а определяется по формуле:

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии; вычисляется t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при df = n — 2 степенях свободы. В нашем примере m_a составила 0,032.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции m_r:

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии , ибо, как уже указывалось, Кроме того, Следовательно,

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

В рассматриваемом примере t_r совпало с t_b. Величина t_r =8,37 значительно превышает табличное значение 2,16 при а=0,05. Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

Прогноз, полученный подстановкой в уравнение регрессии ожи­даемого значения фактора, называют точечным прогнозом. Вероят­ность точной реализации такого прогноза крайне мала. Необходимо сопроводить его значением средней ошибки прогноза или довери­тельным интервалом прогноза с достаточно большой вероятностью.

Точечный прогноз заключается в получении прогнозного значения y_p, которое определяется путем подстановки в уравнение регрессии

соответствующего прогнозного значения x_p:

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала прогноза, т.е. верхней и нижней границы y_pmin, y_pmax интервала, содержащего точную величину для прогнозного значения
(y_pmin 2 – индекс детерминации;

n – число наблюдений;

m – число параметров при переменных х.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n – m — 1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Для степенной функции и формула F – критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости:

Для параболы второй степени y=a + b·x + c·x 2 + ε m=2 и .

Для оценки качества построенной модели используется также средняя ошибка аппроксимации. Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т.е. у и . Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака (у— ) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Для сравнения берутся величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям. Так, если для первого наблюдения у=20, а для второго у=50, ошибка аппроксимации составит 25% для первого наблюдения и 20% — для второго.

Поскольку (у— ) может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую:

.

Для нашего примера представим расчет средней ошибки аппроксимации в таблице 4.

Пример нахождения доверительных интервалов коэффициентов регрессии

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Постройте уравнение зависимости экспорта нефти от цены на нефть.

3. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент детерминации. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и уравнения в целом.

4. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Таблица 5

Цена нефти марки Urals (Россия), долл/барр.

Экспорт нефти и нефтепродуктов, млн.т.

Решение:

Уравнение имеет вид y = ax + b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (10;0.05) = 1.812
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически — значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

S _a = 0.4906
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-587.75;179.86)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика

Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (7.32>1.812)

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (1.46 Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид (см. таблицу).

Получаем a₀ = -11.37, a₁ = 88.47, a₂ = 2151.09
Уравнение тренда: y = -11.37t 2 +88.47t+2151.09
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения

т.е. в 87.35 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами — точность подбора уравнения тренда — высокая

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

S _a = 4.8518
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 6
2151.09 + 88.47*6 + -11.37*6₂ — 1.895*39.911 ; 2151.09 + 88.47*6 + -11.37*6₂ — 1.895*39.911
(-55.3814;95.8814)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

где L — период упреждения; у_n+L — точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n — количество наблюдений во временном ряду; Sy — стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл — табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = -11.37*10 2 + 88.47* + 2151.09 = 1898.79
K₁ = 247.4924
1898.79 — 247.4924 = 1651.2976 ; 1898.79 + 247.4924 = 2146.2824
t = 10: (1651.2976;2146.2824)
Точечный прогноз, t = 11: y(11) = -11.37*11 2 + 88.47* + 2151.09 = 1748.49
K₂ = 261.9213
1748.49 — 261.9213 = 1486.5687 ; 1748.49 + 261.9213 = 2010.4113
t = 11: (1486.5687;2010.4113)
Точечный прогноз, t = 12: y(12) = -11.37*12 2 + 88.47* + 2151.09 = 1575.45
K₃ = 278.0099
1575.45 — 278.0099 = 1297.4401 ; 1575.45 + 278.0099 = 1853.4599
t = 12: (1297.4401;1853.4599)
Точечный прогноз, t = 13: y(13) = -11.37*13 2 + 88.47* + 2151.09 = 1379.67
K₄ = 295.4871
1379.67 — 295.4871 = 1084.1829 ; 1379.67 + 295.4871 = 1675.1571
t = 13: (1084.1829;1675.1571)
Точечный прогноз, t = 14: y(14) = -11.37*14 2 + 88.47* + 2151.09 = 1161.15
K₅ = 314.1213
1161.15 — 314.1213 = 847.0287 ; 1161.15 + 314.1213 = 1475.2713
t = 14: (847.0287;1475.2713)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=1.895):
(a — t_табл·S_a; a + t_табл·S_a)
(-20.5642;-2.1758)
(b — t _табл·S_b; b + t_таблS·_b)
(36.7313;140.2087)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

Fkp = 5.32
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5

Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Остаточная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Содержание:

Регрессионный анализ:

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Это означает, что математическое ожидание Y линейно зависит от значений случайной величины X. График этой зависимости (линия регрессии Y на X) имеет уравнение

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие интервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции Над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений Y от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция

Такие значения , согласно необходимым условиям экстремума, находятся из системы уравнений:

Решения этой системы уравнений дают оценки называемые оценками по методу наименьших квадратов.

и

Известно, что оценки по методу наименьших квадратов являются несмещенными и, более того, среди всех несмещенных оценок обладают наименьшей дисперсией. Для оценки коэффициента корреляции можно воспользоваться тем, что где средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно. Обозначим через оценки этих средних квадратических отклонений на основе опытных данных. Оценки можно найти, например, по формуле (3.1.3). Тогда для коэффициента корреляции имеем оценку

По методу наименьших квадратов можно находить оценки параметров линии регрессии и при нелинейной корреляции. Например, для линии регрессии вида  оценки параметров находятся из условия минимума функции

Пример:

По данным наблюдений двух случайных величин найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Y на X 

Решение. Вычислим величины, необходимые для использования формул (3.7.1)–(3.7.3):

 

По формулам (3.7.1) и (3.7.2) получим

Итак, оценка линии регрессии имеет вид Так как то по формуле (3.1.3)

Аналогично, Поэтому в качестве оценки коэффициента корреляции имеем по формуле (3.7.3) величину 

Ответ.  

Пример:

Получена выборка значений величин X и Y

Для представления зависимости между величинами предполагается использовать модель Найти оценки параметров

Решение. Рассмотрим сначала задачу оценки параметров этой модели в общем виде. Линия играет роль линии регрессии и поэтому параметры ее можно найти из условия минимума функции (сумма квадратов отклонений значений Y от линии должна быть минимальной по свойству линии регрессии)

Необходимые условия экстремума приводят к системе из двух уравнений:

Откуда

Решения системы уравнений (3.7.4) и (3.7.5) и будут оценками по методу наименьших квадратов для параметров

На основе опытных данных вычисляем:

В итоге получаем систему уравнений (?????) и (?????) в виде

Эта система имеет решения

Ответ. 

Если наблюдений много, то результаты их обычно группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.

В этой таблице равно числу наблюдений, для которых X находится в интервале а Y – в интервале Через обозначено число наблюдений, при которых а Y произвольно. Число наблюдений, при которых а X произвольно, обозначено через

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что и   наблюдались раз.

При больших значениях X и Y можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

Пример:

Проделано 80 наблюдений случайных величин X и Y. Результаты наблюдений представлены в виде таблицы. Найти линию регрессии Y на X. Оценить коэффициент корреляции.

Решение. Представителем каждого интервала будем считать его середину. Перенесем начало координат и изменим масштаб по каждой оси так, чтобы значения X и Y были удобны для вычислений. Для этого перейдем к новым переменным Значения этих новых переменных указаны соответственно в самой верхней строке и самом левом столбце таблицы.

Чтобы иметь представление о виде линии регрессии, вычислим средние значения при фиксированных значениях :

Нанесем эти значения на координатную плоскость, соединив для наглядности их отрезками прямой (рис. 3.7.1).

По виду полученной ломанной линии можно предположить, что линия регрессии Y на X является прямой. Оценим ее параметры. Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (3.31–3.33): 

Тогда

В новом масштабе оценка линии регрессии имеет вид График этой прямой линии изображен на рис. 3.7.1.

Для оценки по корреляционной таблице можно воспользоваться формулой (3.1.3):

Подобным же образом можно оценить величиной Тогда оценкой коэффициента корреляции может служить величина

Вернемся к старому масштабу:

 

Коэффициент корреляции пересчитывать не нужно, так как это величина безразмерная и от масштаба не зависит.

Ответ. 

Пусть некоторые физические величины X и Y связаны неизвестной нам функциональной зависимостью Для изучения этой зависимости производят измерения Y при разных значениях X. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к . В частности, обычно находят по методу наименьших квадратов.

Регрессионный анализ

Основные положения регрессионного анализа:

Основная задача регрессионного анализа — изучение зависимости между результативным признаком Y и наблюдавшимся признаком X, оценка функции регрессий.

Предпосылки регрессионного анализа:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде 

Выражение (2.1), как уже упоминалось в п. 1.2, называется функцией регрессии (или модельным уравнением регрессии) Y на X. Оценке в этом выражении подлежат параметры называемые коэффициентами регрессии, а также — остаточная дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака; Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии), полноты набора признаков, включенных в анализ. Оценки параметров функции регрессии находят, используя метод наименьших квадратов.

В данном вопросе рассмотрен линейный регрессионный анализ. Линейным он называется потому, что изучаем лишь те виды зависимостей которые линейны по оцениваемым параметрам, хотя могут быть нелинейны по переменным X. Например, зависимости

линейны относительно параметров хотя вторая и третья зависимости нелинейны относительно переменных х. Вид зависимости выбирают, исходя из визуальной оценки характера расположения точек на поле корреляции; опыта предыдущих исследований; соображений профессионального характера, основанных и знании физической сущности процесса.

Важное место в линейном регрессионном анализе занимает так называемая «нормальная регрессия». Она имеет место, если сделать предположения относительно закона распределения случайной величины Y. Предпосылки «нормальной регрессии»:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию и распределенные по нормальному закону;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде (2.1).

В этом случае оценки коэффициентов регрессии — несмещённые с минимальной дисперсией и нормальным законом распределения. Из этого положения следует что при «нормальной регрессии» имеется возможность оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, а также построить доверительный интервал для коэффициентов регрессии и условного математического ожидания M(YX=x).

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость линейна и по оцениваемым параметрам, и

по переменным. Оценки параметров модели (2.1) обозначил Оценку остаточной дисперсии обозначим Подставив в формулу (2.1) вместо параметров их оценки, получим уравнение регрессии коэффициенты которого находят из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений результативного признака от вычисленных по уравнению регрессии

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

откуда  

второе уравнение

откуда

Итак,

Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительно найдём оценки параметров

Остаётся получить оценку параметра . Имеем

где т — количество наблюдений.

Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммызаменяют на

где — частоты повторений соответствующих значений переменных. В дальнейшем часто используется этот наглядный приём вычислений.
 

Нелинейная регрессия

Рассмотрим случай, когда зависимость нелинейна по переменным х, например модель вида
   

На рис. 2.1 изображено поле корреляции. Очевидно, что зависимость между Y и X нелинейная и её графическим изображением является не прямая, а кривая. Оценкой выражения (2.6) является уравнение регрессии

где —оценки коэффициентов регрессии

Принцип нахождения коэффициентов тот же — метод наименьших квадратов, т.е.

или

Дифференцируя последнее равенство по и приравнивая правые части нулю, получаем так называемую систему нормальных уравнений:

В общем случае нелинейной зависимости между переменными Y и X связь может выражаться многочленом k-й степени от x:

Коэффициенты регрессии определяют по принципу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид

Вычислив коэффициенты системы, её можно решить любым известным способом.
 

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии — значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии, соблюдая предпосылки «нормальной регрессии». В этом случае вычисляемая для проверки нулевой гипотезы статистика

имеет распределение Стьюдента с к= n-2 степенями свободы (b — оценка коэффициента регрессии, — оценка среднеквадратического отклонения

коэффициента регрессии, иначе стандартная ошибка оценки). По уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (см. табл. 1 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, коэффициент считают значимым. Принет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Оценки среднеквадратического отклонения коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:

где   — оценка остаточной дисперсии, вычисляемая по
формуле (2.5).

Доверительный интервал для значимых параметров строят по обычной схеме. Из условия

где а — уровень значимости, находим

 

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Линия регрессии характеризует изменение условного математического ожидания результативного признака от вариации остальных признаков.

Точечной оценкой условного математического ожидания является условное среднее    Кроме точечной оценки для можно
построить доверительный интервал в точке

Известно, что имеет распределение
Стьюдента с k=n—2 степенями свободы. Найдя оценку среднеквадратического отклонения для условного среднего, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

Оценку дисперсии условного среднего вычисляют по формуле

или для интервального ряда

Доверительный интервал находят из условия

где а — уровень значимости. Отсюда

Доверительный интервал для условного математического ожидания можно изобразить графически (рис, 2.2).

Из рис. 2.2 видно, что в точке границы интервала наиболее близки друг другу. Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогнозы по уравнению регрессии, хороши только в случае, если значение х не выходит за пределы выборки, по которой вычислено уравнение регрессии; иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и X, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением — Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

разлагается на (сумму, характеризующую влияние признака

X) и (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация У в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику  которая имеет распределение Фишера-Снедекора с А степенями свободы (в п — число наблюдений). По уровню значимости а и числу степеней свободы находят по таблицам F-распределение для уровня значимости а=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию . Если нулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Для многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: У -независимые случайные величины со средним и постоянной дисперсией — линейно независимые векторы . Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида 

Оценке подлежат параметры и остаточная дисперсия.

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:
   

Как и в двумерном случае, составляют систему нормальных уравнений

которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение через остальные параметры:

Подставим в остальные уравнения системы вместо полученное выражение:

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах — матрица, обратная матрице С; — элемент, стоящий на пересечении i-Й строки и i-го столбца матрицы    — выражение
. Тогда, используя формулы линейной алгебры,

запишем окончательные выражения для параметров:

Оценкой остаточной дисперсии является

где — измеренное значение результативного признака; значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистику вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии

где —элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-
го столбца; —диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости а и числе степеней свободы к=n— m—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю:  — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики , где — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков X; — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; Для уровня значимости а и числа степеней свободы по табл. 3 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.

Факторный анализ

Основные положения. В последнее время всё более широкое распространение находит один из новых разделов многомерного статистического анализа — факторный анализ. Первоначально этот метод

разрабатывался для объяснения многообразия корреляций между исходными параметрами. Действительно, результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляций. При малом числе параметров можно произвести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа параметра (10 и более) визуальный анализ не даёт положительных результатов. Оказалось, что всё многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщённых факторов, являющихся функциями исследуемых параметров, причём сами обобщённые факторы при этом могут быть и неизвестны, однако их можно выразить через исследуемые параметры.

Один из основоположников факторного анализа Л. Терстоун приводит такой пример: несколько сотен мальчиков выполняют 20 разнообразных гимнастических упражнений. Каждое упражнение оценивают баллами. Можно рассчитать матрицу корреляций между 20 упражнениями. Это большая матрица размером 20><20. Изучая такую матрицу, трудно уловить закономерность связей между упражнениями. Нельзя ли объяснить скрытую в таблице закономерность действием каких-либо обобщённых факторов, которые в результате эксперимента непосредственно, не оценивались? Оказалось, что обо всех коэффициентах корреляции можно судить по трём обобщённым факторам, которые и определяют успех выполнения всех 20 гимнастических упражнений: чувство равновесия, усилие правого плеча, быстрота движения тела.

Дальнейшие разработки факторного анализа доказали, что этот метод может быть с успехом применён в задачах группировки и классификации объектов. Факторный анализ позволяет группировать объекты со сходными сочетаниями признаков и группировать признаки с общим характером изменения от объекта к объекту. Действительно, выделенные обобщённые факторы можно использовать как критерии при классификации мальчиков по способностям к отдельным группам гимнастических упражнений.

Методы факторного анализа находят применение в психологии и экономике, социологии и экономической географии. Факторы, выраженные через исходные параметры, как правило, легко интерпретировать как некоторые существенные внутренние характеристики объектов.

Факторный анализ может быть использован и как самостоятельный метод исследования, и вместе с другими методами многомерного анализа, например в сочетании с регрессионным анализом. В этом случае для набора зависимых переменных наводят обобщённые факторы, которые потом входят в регрессионный анализ в качестве переменных. Такой подход позволяет сократить число переменных в регрессионном анализе, устранить коррелированность переменных, уменьшить влияние ошибок и в случае ортогональности выделенных факторов значительно упростить оценку значимости переменных.

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью аналогичной приведенной в п. 2.7 (матрица исходных данных). Строки этой матрицы должны соответствовать объектам наблюдений столбцы — признакамтаким образом, каждый признак является как бы статистическим рядом, в котором наблюдения варьируют от объекта к объекту. Признаки, характеризующие объект наблюдения, как правило, имеют различную размерность. Чтобы устранить влияние размерности и обеспечить сопоставимость признаков, матрицу исходных данных    обычно нормируют, вводя единый    масштаб. Самым распространенным видом нормировки является стандартизация. От переменных переходят к переменным В дальнейшем, говоря о матрице исходных переменных, всегда будем иметь в виду стандартизованную матрицу.

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

где -j-й признак (величина случайная); — общие факторы (величины случайные, имеющие нормальный закон распределения); — характерный фактор; — факторные нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению); — нагрузка характерного фактора.

Модель предполагает, что каждый из j признаков, входящих в исследуемый набор и заданных в стандартной форме, может быть представлен в виде линейной комбинации небольшого числа общих факторов и характерного фактора

Термин «общий фактор» подчёркивает, что каждый такой фактор имеет существенное значение для анализа всех признаков, т.е.

Термин «характерный фактор» показывает, что он относится только к данному j-му признаку. Это специфика признака, которая не может быть, выражена через факторы

Факторные нагрузки . характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа — определение факторных нагрузок. Факторная модель относится к классу аппроксимационных. Параметры модели должны быть выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать корреляции между наблюдаемыми признаками.

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

где значение k-го фактора для i-го объекта.

Дисперсию признака можно разложить на составляющие: часть, обусловленную действием общих факторов, — общность и часть, обусловленную действием j-го характера фактора, характерность Все переменные представлены в стандартизированном виде, поэтому дисперсий у-го признака Дисперсия признака может быть выражена через факторы и в конечном счёте через факторные нагрузки.

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

где —доля дисперсии признака приходящаяся на k-й фактор.

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию
 

Факторное отображение

Используя модель (2.19), запишем выражения для каждого из параметров:

Коэффициенты системы (2,21) — факторные нагрузки — можно представить в виде матрицы, каждая строка которой соответствует параметру, а столбец — фактору.

Факторный анализ позволяет получить не только матрицу отображений, но и коэффициенты корреляции между параметрами и

факторами, что является важной характеристикой качества факторной модели. Таблица таких коэффициентов корреляции называется факторной структурой или просто структурой.

Коэффициенты отображения можно выразить через выборочные парные коэффициенты корреляции. На этом основаны методы вычисления факторного отображения.

Рассмотрим связь между элементами структуры и коэффициентами отображения. Для этого, учитывая выражение (2.19) и определение выборочного коэффициента корреляции, умножим уравнения системы (2.21) на соответствующие факторы, произведём суммирование по всем n наблюдениям и, разделив на n, получим следующую систему уравнений:

где — выборочный коэффициент корреляции между j-м параметром и к-
м фактором; — коэффициент корреляции между к-м и р-м факторами.

Если предположить, что общие факторы между собой, не коррелированы, то уравнения    (2.22) можно записать в виде

, т.е. коэффициенты отображения равны
элементам структуры.

Введём понятие, остаточного коэффициента корреляции и остаточной корреляционной матрицы. Исходной информацией для построения факторной модели (2.19) служит матрица выборочных парных коэффициентов корреляции. Используя построенную факторную модель, можно снова вычислить коэффициенты корреляции между признаками и сравнись их с исходными Коэффициентами корреляции. Разница между ними и есть остаточный коэффициент корреляции.

В случае независимости факторов имеют место совсем простые выражения для вычисляемых коэффициентов корреляции между параметрами: для их вычисления достаточно взять сумму произведений коэффициентов отображения, соответствующих наблюдавшимся признакам:
где —вычисленный по отображению коэффициент корреляции между j-м
и к-м признаком. Остаточный коэффициент корреляции

Матрица остаточных коэффициентов корреляции называется остаточной матрицей или матрицей остатков

где — матрица остатков; R — матрица выборочных парных коэффициентов корреляции, или полная матрица; R’— матрица вычисленных по отображению коэффициентов корреляции.

Результаты факторного анализа удобно представить в виде табл. 2.10.

Здесь суммы квадратов нагрузок по строкам — общности параметров, а суммы квадратов нагрузок по столбцам — вклады факторов в суммарную дисперсию параметров. Имеет место соотношение

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляции у которой на главной диагонали стоят значения общностей :

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы. Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента. Затем рассчитывают матрицу факторных нагрузок. Такая матрица, рассчитанная методом главных факторов, обладает одним интересным свойством: сумма произведений каждой пары её столбцов равна нулю, т.е. факторы попарно ортогональны.

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:

Максимум должен быть найден при условии

где —общностьпараметра

Затем рассчитывают матрицу коэффициентов корреляции с учётом только первого фактора Имея эту матрицу, получают первую матрицу остатков:

На втором шаге определяют коэффициенты нагрузок при втором факторе так, чтобы сумма вкладов второго фактора в остаточную общность (т.е. полную общность без учёта той части, которая приходится на долю первого фактора) была максимальной. Сумма квадратов нагрузок при втором факторе

Максимум находят из условия

где — коэффициент корреляции из первой матрицы остатков; — факторные нагрузки с учётом второго фактора. Затем рассчитыва коэффициентов корреляций с учётом второго фактора и вычисляют вторую матрицу остатков:

Факторный анализ учитывает суммарную общность. Исходная суммарная общность Итерационный процесс выделения факторов заканчивают, когда учтённая выделенными факторами суммарная общность отличается от исходной суммарной общности меньше чем на — наперёд заданное малое число).

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) По сравнению с моделью факторного анализа (2.19) в модели (2.28) отсутствует характерный фактор, т.е. считается, что вся вариация параметра может быть объяснена только действием общих или главных факторов. В случае компонентного анализа исходной является матрица коэффициентов корреляции, где на главной диагонали стоят единицы. Результатом компонентного анализа, так же как и факторного, является матрица факторных нагрузок. Поиск факторного решения — это ортогональное преобразование матрицы исходных переменных, в результате которого каждый параметр может быть представлен линейной комбинацией найденных m факторов, которые называют главными компонентами. Главные компоненты легко выражаются через наблюдённые параметры.

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами. Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма учтённых всеми компонентами дисперсий равна сумме дисперсий исходных параметров. Математический аппарат компонентного анализа полностью совпадает с аппаратом метода главных факторов. Отличие только в исходной матрице корреляций.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

где — элементы факторного решения:— исходные переменные; .— k-е собственное значение; р — количество оставленных главных
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто:    из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов. Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Приложения

Значение t — распределения Стьюдента

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Основные задачи регрессионного анализа:

•  Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
•  Проверка значимости коэффициентов регрессии
•  Проверка адекватности модели
•  Выбор лучшей регрессии
•  Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины  связаны линейной корреляционной зависимостью  для отыскания которой проведено  независимых измерений 

Диаграмма рассеяния (разброса, рассеивания)

 — координаты экспериментальных точек.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии  имеет вид

Задача: подобрать  таким образом, чтобы экспериментальные точки как можно ближе лежали к прямой 

Для того, что бы провести прямую  воспользуемся МНК. Потребуем,

чтобы 

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

1. подчинены нормальному закону распределения.
2. Дисперсия  постоянна и не зависит от номера измерения.
3. Результаты наблюдений  в разных точках независимы.
4. Входные переменные  независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок  и найдём её минимальное значение

Решив систему, получим искомые значения 

 является несмещенными оценками истинных значений коэффициентов 

 где 

 несмещенная оценка корреляционного момента (ковариации),
 несмещенная оценка дисперсии 

 выборочная ковариация,

   выборочная дисперсия 

 — выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

 — наблюдаемое экспериментальное значение  при 

 — предсказанное значение  удовлетворяющее уравнению регрессии

 — средневыборочное значение 

 — коэффициент детерминации, доля изменчивости  объясняемая  рассматриваемой регрессионной моделью. Для парной линейной регрессии

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7). Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

 регрессия незначима

 регрессия значима

 — уровень значимости 

 — статистический критерий

Критическая область — правосторонняя; 

Если  то нулевая гипотеза отвергается на заданном уровне значимости, следовательно, коэффициент детерминации значим, следовательно, регрессия адекватна.

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Определение. Мощностью критерия  называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода 

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием  и дисперсией  проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

3) Уровень значимости 

4) Статистический критерий

5) Критическая область — левосторонняя

  следовательно  отвергается на уровне значимости 

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с  рассматривается конкурирующая гипотеза  а критическая область задана неравенством  Найти вероятность ошибок I рода и II рода.

 автомобилей имеют меньший расход топлива)

  автомобилей, имеющих расход топлива 9л на 100 км, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 литров).

Определение. Пусть проверяется  — критическая область критерия с заданным уровнем значимости  Функцией мощности критерия  называется вероятность отклонения  как функция параметра  т.е.

 — ошибка 1-ого рода

 — мощность критерия

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для 

 попадает в критическую область.

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить 

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы  против простой альтернативной гипотезы  наилучшая критическая область (НКО) критерия заданного уровня значимости  состоит из точек выборочного пространства (выборок объема  для которых справедливо неравенство:

 — константа, зависящая от

 — элементы выборки;

 — функция правдоподобия при условии, что соответствующая гипотеза верна.

Пример:

Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  известно. Найти НКО для проверки  против причем 

Решение:

Ошибка первого рода: 

НКО: 

Пример:

Для зависимости заданной корреляционной табл. 13, найти оценки параметров  уравнения линейной регрессии  остаточную дисперсию; выяснить значимость уравнения регрессии при 

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид  тогда 

Для выяснения значимости уравнения регрессии вычислим суммы Составим расчетную таблицу:

Из (27) и (28) по данным таблицы получим 

 по табл. П7 находим  

Вычислим статистику

Так как  то уравнение регрессии значимо. Остаточная дисперсия равна