Величина ошибки переходного процесса

92

АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Введение

Работа системы
автоматического управления помимо
устойчивости оценивается рядом
качественных показателей, основными
из которых являются точность отработки
входных воздействий и характер переходных
процессов.

В общем случае
задача анализа
формулируется следующим образом: при
известной структуре системы, заданной
передаточной функцией W(р)
или матрицами {A,B,C},
и известном входном воздействии v
необходимо оценить
переходные процессы на выходе, то есть
определить y(t).

Рис. 5.1. К постановке
задачи анализа

Вообще говоря, при
известной математической модели и
начальных условиях

(5.1)

можно рассчитать
переходные процессы, пользуясь
соотношением:

.
(5.2)

Здесь первое
слагаемое есть реакция на начальные
условия, второе — на входное воздействие.

Однако, напрямую
для системы высокого порядка трудно
вычислять y(t)
по выражению (5.2); еще сложнее оценивать
влияние отдельных параметров на качество
переходных процессов.

Поскольку в реальных
системах закон изменения действующих
на объект возмущений и помех измерения
заранее не известен, рассматривают
реакцию САУ на некоторые типовые
воздействия, близкие к реальным.
Относительно тяжелым для отработки
является единичное ступенчатое
воздействие, и если удается обеспечить
определенное качество при подобном
входном сигнале, то система будет
удовлетворительно работать и при других
воздействиях.

О качестве работы
САУ можно судить по косвенным признакам,
которые называются показателями качества
переходного процесса и определяются
без непосредственного расчета переходного
процесса.

5.2. Показатели качества переходного процесса

Рассмотрим
одноканальную автоматическую систему
стабилизации, для которой входное
воздействие является постоянной
величиной (v
= const), а цель
регулирования состоит в организации
свойства:

lim y(t)
= v при
.
(5.3)

Основными
показателями качества таких систем
являются характеристики переходного
процесса.

5.2.1. Ошибка регулирования

Для оценки точности
используется величина ошибки

,
(5.4)

которая с течением
времени стремится к некоторому постоянному
значению, называемому статической
ошибкой:

.
(5.5)

При известной
структурной схеме системы ошибку можно
определить в операторной форме с помощью
структурных преобразований,

(5.6)

Рис. 5.2. Изменение
ошибки во времени

В этом случае
статический режим характеризуется тем,
что p=0,
а статическая ошибка находится по
выражению

(5.7)

Динамической
ошибкой
будем называть величину

,
(5.8)

причем .

Ошибка (статическая
ошибка) является одной из основных
количественных характеристик динамики
системы.

5.2.2. Быстродействие

В качестве оценок
быстродействия можно использовать
различные величины, причем все они
определяют время от начала процесса до
какого-либо характерного значения. С
этой целью рассмотрим переходную
характеристику системы h(t).

Оценками
быстродействия могут служить:

• —
  время от начала процесса до первого
  момента достижения установившегося
  значения
  (справедливо только для колебательных
  процессов);

  Рис. 5.3. Иллюстрация
  оценок быстродействия

• —
  время достижения первого максимума
  (также возможно только для колебательных
  процессов);

• —
  время от начала процесса до момента
  достижения установившегося значения
  
  со статической ошибкой
  не более заданной.

На практике в
качестве оценки быстродействия чаще
всего используют величину ,
которую обычно обозначают как
и называют временем
переходного процесса.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Переходный процесс — в теории систем представляет изменения во времени координат динамической системы, до некоторого установившегося состояния; возникает под влиянием возмущающих воздействий, изменяющих её состояние, структуру или параметры, а также вследствие ненулевых начальных условий.

Характеристики

Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Широкое применение нашло экспериментальное и аналитическое определение и построение переходных процессов для наиболее неблагоприятных условий работы динамической системы при внешних возмущениях типа дельта-функции, ступенчатом или синусоидальных воздействиях.

Оценка качества САУ по виду кривой переходного процесса производится при помощи так называемых прямых показателей качества — перерегулирования, допустимого числа колебаний и времени переходного процесса. Обычно рассматривают переходный процесс, возникающий в системе при воздействии единичной ступенчатой функции, т. е. переходная функция замкнутой системы.

Время переходного процесса

Длительность переходного процесса в системе характеризует её быстродействие, а его характер определяет качество системы. За количественную характеристику длительности переходного процесса принимают время, необходимое выходному сигналу системы для того, чтобы приблизиться к своему установившемуся значению, т. е. время, по истечению которого выполняется равенство:

| h ( t ) − h s t | ⩽ ϵ , {displaystyle |h(t)-h_{st}|leqslant epsilon ,} где h s t {displaystyle h_{st}} — установившееся значение; ϵ {displaystyle epsilon } — наперёд заданное положительное число.

В линейных непрерывных динамических системах принято рассматривать переходной процесс, вызванный единичным ступенчатым возмущением, но в этом случае установившееся значение достигается за бесконечно большое время. Если же ограничить точность достижения установившегося значения некоторой малой величиной ϵ {displaystyle epsilon } , то тогда длительность переходного процесса t {displaystyle t} будет конечной величиной.

В приложениях теории управления обычно в САУ принимают ϵ {displaystyle epsilon } равной 0,01—0,05 от h s t {displaystyle h_{st}} , т. е. переходный процесс считают закончившимся, когда переходная функция отличается не более, чем на 1–5 % от своего установившегося (стационарного) значения.

Перерегулирование

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и её установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

Степень затухания переходного процесса

Степень затухания переходного процесса определяется относительным уменьшением соседних амплитуд переходной характеристики.

Числителем является амплитуда первого колебания. Степень затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда второго колебания по сравнению с первым.

Степень затухания системы зависит от показателя колебательности M {displaystyle M} (см. ниже).

Логарифмический декремент колебания

Логарифмический декремент колебания — натуральный логарифм отношения амплитуд двух соседних перерегулирований. Обратная ему величина показывает, за какое число колебаний их амплитуда уменьшается в e {displaystyle e} раз ( e {displaystyle e} — основание натуральных логарифмов). Уместен лишь для характеристики линейных систем.

Колебательность

Характеризует склонность системы к колебаниям и определяется как модуль отношения амплитуд второго колебания к амплитудам первого колебания. Колебательность системы характеризуют при помощи показателя колебательности M {displaystyle M} , который представляет собой отношение резонансного пика при резонансной частоте к значению АЧХ при нулевой частоте.

Показатель колебательности связан со степенью колебательности формулой:

M = 1 + m 2 2 m . {displaystyle M={frac {1+m^{2}}{2m}}.}

При увеличении M {displaystyle M} , уменьшается показатель колебательности m {displaystyle m} и соответственно происходит уменьшение степени колебательности.

Установившаяся ошибка

Установившаяся ошибка системы — разница между предполагаемым и реальным значением выходного сигнала при времени, стремящемся к бесконечности. В идеальных астатических системах установившаяся ошибка равна нулю.

Примеры

Электрические цепи

В электрической цепи переходный процесс характеризуется плавным инерционным изменением тока и напряжения в цепи в ответ на приложенное внешнее воздействие.

Формула, описывающие протекание простейших переходных процессов (разряд конденсатора через резистор):

U ( t ) = U 0 e ( − t / τ ) ,   {displaystyle U(t)=U_{0}e^{(-t/ au )}, } τ = R C , {displaystyle au =RC,} где U 0 {displaystyle U_{0}} — значение напряжения на конденсаторе в момент перед началом переходного процесса, τ {displaystyle au } — постоянная времени переходного процесса, С — ёмкость, R — сопротивление элементов цепей.

Для цепей, содержащих индуктивность, ecли можно пренебречь активным сопротивлением, постоянная времени равна:

τ = L / R . {displaystyle au =L/R.}

К системам автоматического регулирования (САР) предъявляются требования не только
устойчивости процессов регулирования. Для работоспособности системы не менее необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества процесса управления.

Если исследуемая САР является устойчивой, возникает вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям обьекта управления.На практике качество регулирования определяется визуально по графику переходной характеристики. Однако, имеются точные но более сложные математические методы, дающие конкретные числовые значения (которые не рассматриваются в данной методике).

Классификация показателей качества состоит из нескольких групп:

• прямые — определяемые непосредственно по переходной характеристике процесса,
• корневые — определяемые по корням характеристического полинома,
• частотные — по частотным характеристикам,
• интегральные — получаемые путем интегрирования функций.

Прямыми показателями качества процесса управления, определяемые непосредственно по
переходной характеристике являются:

1. Установившееся значение выходной величины Yуст,
2. Степень затухания ?,
3. Время достижения первого максимума tmax,
4. Время регулирования tp,
5. Ошибка регулирования Ест (статистическая или среднеквадратическая составляющие),
6. Перерегулирование у,
7. Динамический коэффициент регулирования Rd,
8. Показатель колебательности М.

Например, переходная характеристика, снятая на объекте управления при отработке ступенчатого воздействия, имеет колебательный вид и представлена на рис.1.

Рисунок 1 — Определение показателей качества по переходной характеристике

Установившееся значение выходной величины Yуст

Установившееся значение выходной величины Yуст определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Степень затухания ?

Степень затухания ? определяется по формуле:

где А1 и А3 — соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной характеристики рис.1.

Время достижения первого максимума tmax

Время достижения первого максимума tmax определяется по переходной характеристике,представленной на рис.1.

Время регулирования tp

Время регулирования tp определяется согласно рис.1 следующим образом:Находится допустимое отклонение Д, например, задано Д = 5%Yуст и строится «зона» толщиной 2 Д(см. рис.1). Время tp соответствует последней точке пересечения Y(t) с данной границей. То есть время,когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.
Настройки регулятора необходимо выбирать так, чтобы обеспечить минимально возможное значение общего времени регулирования, либо минимальное значение первой полуволны переходного процесса.

В непрерывных системах с типовыми регуляторами это время бывает минимальным при так называемых оптимальных апериодических переходных процессах. Дальнейшего уменьшения времени регулирования до абсолютного минимума можно достичь при использовании специальных оптимальных по быстродействию систем регулирования.

Ошибка регулирования Ест

Статическая ошибка регулирования Ест = Ув — Ууст, где Ув — входная величина (см. рис.1).В некоторых САР наблюдается ошибка, которая не исчезает даже по истечении длительногоинтервала времени — это статическая ошибка регулирования Ест. Данная ошибка не должна превышатьнекоторой наперед заданной величины. У регуляторов с интегральной составляющей ошибки в установившемся состоянии теоретическиравны нулю, но практически незначительные ошибки могут существовать из-за наличия зоннечувствительности в элементах системы.

Перерегулирование у

Величина перерегулирования у зависит от вида отрабатываемого сигнала.При отработке ступенчатого воздействия (по сигналу задания) – см. рис.1 величина перерегулирования у определяется по формуле:

где значения величин Ymax и Yуст определяются согласно рис.1.

При отработке возмущающего воздействия, величина перерегулирования у определяется изсоотношения:

где значения величин Xm и X1 определяются согласно рис. 2.

Рисунок 2 — График переходного процесса при отработке возмущения

Динамический коэффициент регулирования Rd

Динамический коэффициент регулирования Rd определяется из формулы:

где значения величин Y1 и Y0 определяются согласно рис. 3.

Рисунок 3 — К понятию динамического коэффициента регулирования

Величина динамического коэффициента Rd характеризует степень воздействия регулятора напроцесс, т.е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него.

Показатель колебательности М

Показатель колебательности M характеризует величину максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы (на частоте резонанса) и, тем самым, характеризует колебательные свойства системы. Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.

Рисунок 4 — График модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. вэтом случае у обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность всистеме возрастает.

В некоторых случаях нормируется полоса пропускания системы щп, которая соответствует уровню усиления в замкнутой системе 0,05. Чем больше полоса пропускания, тем больше быстродействие замкнутой системы. Однако при этом повышается чувствительность системы к шумам в канале измерения и возрастает дисперсия ошибки регулирования.