Установите соответствие ошибка сигмоида нейрон скрытый слой

Многослойные нейронные сети с сигмовидной функцией — глубокое обучение для новичков (2)

  Перевод

  Ссылка на автора

Глава 1: Представляем глубокое обучение и нейронные сети

Глава 2. Многослойные нейронные сети с сигмоидальной функцией.

Следуй за мной по щебет узнать больше о жизни в стартапе глубокого обучения.

Привет всем! Добро пожаловать в мой второй пост серииГлубокое обучение для новичков (DLFR)По-настоящему, новичок;) Не стесняйтесь обращаться к мой первый пост здесь или мой блог если вам трудно следовать. Или выделите на этой странице заметки или оставьте комментарий ниже! Ваши отзывы также будут высоко оценены.

На этот раз мы углубимся в нейронные сети, и пост будет несколько более техническим, чем в прошлый раз. Но не беспокойтесь, я сделаю так, чтобы вы могли легко и интуитивно выучить основы без знания CS / Math. Скоро вы сможете похвастаться своим пониманием;)

Обзор от DLFR 1

В прошлый раз мы представили область глубокого обучения и изучили простую нейронную сеть — персептрон … или динозавра … серьезно, однослойный персептрон. Мы также исследовали, как сеть персептрона обрабатывает входные данные, которые мы вводим, и возвращает выходные данные.

Основные понятия: входные данные, веса, суммирование и сложение смещения, функция активации (в частности, функция шага), а затем вывод. Скучно еще? Не беспокойся 🙂 Я обещаю, что будет … больше глаголов! Но ты скоро к ним привыкнешь. Обещаю.

Еще в 1950-х и 1960-х годах у людей не было эффективного алгоритма обучения однослойного персептрона для изучения и идентификации нелинейных паттернов (помните проблему с воротами XOR?). И публика потеряла интерес к персептрону. В конце концов, большинство проблем в реальном мире нелинейны, и, как отдельные люди, вы и я чертовски хороши в принятии решений по линейным или бинарным задачам, таким какя должен изучать глубокое обучение или нетбез необходимости персептрона. Хорошо, «хорошо» — это сложное слово, так как наш мозг на самом деле не такой рациональный. Но я оставлю это поведенческим экономистам и психологам.

Прорыв: многослойный персептрон

За два десятилетия до 1986 года Джеффри Хинтон, Дэвид Румелхарт и Рональд Уильямс опубликовали статью «Изучение представлений по ошибкам обратного распространения», Который ввел:

1. обратное распространениепроцедура длянеоднократно корректировать весачтобы минимизировать разницу между фактическим и желаемым выходом
2. Скрытые слои, которыенейронные узлы, расположенные между входами и выходами, позволяя нейронным сетям изучать более сложные функции (такие как логика XOR)

Если вы совершенно новичок в DL, вы должны помнить Джеффри Хинтона, который играет ключевую роль в развитии DL. Итак, это были некоторые важные новости: мы всего 20 лет думали, что у нейронных сетей нет будущего для решения реальных проблем. Теперь мы видим свет от маяка на берегу! Давайте посмотрим на эти 2 новых введения.

Хм, первый,обратное распространениеупоминается в последнем посте. Помните, что мы повторили важность разработки нейронной сети, чтобы сеть могла учиться на разнице междужелаемый вывод(что это за факт) ифактический объем производства(что возвращает сеть), а затем отправить сигнал обратно весам и попросить весы подстроиться? Это сделает выход сети ближе к желаемому результату при следующем запуске.

Как насчет второго, скрытых слоев? Что такое скрытый слой? Скрытый слой превращает однослойный персептрон в многослойный персептрон! Вот план, по техническим причинам,Я сосредоточусь на скрытых слоях в этом посте, а затем расскажу о распространении в следующем посте.,

Просто случайныйзабавный фактздесь: я подозреваю, что Джеффри Хинтон имеет рекорд за то, что был самым старым стажером в Google: D Проверьте эта статья из New York Times и поиск «Хинтон». В любом случае, если вы уже знакомы с машинным обучением, я уверен, что его курс по Coursera подойдет.

Нейронные сети со скрытыми слоями

Скрытые слои нейронной сети буквально просто добавляют больше нейронов между входным и выходным слоями.

Данные во входном слое помечены какИксс подписками1, 2, 3,…, м, Нейроны в скрытом слое помечены какчасс подписками1, 2, 3,…, n, Примечание для скрытого слояегоNи нетм, поскольку количество нейронов скрытого слоя может отличаться от количества во входных данных. И как вы видите на графике ниже, нейроны скрытого слоя также помечены верхним индексом1 Это так, что когда у вас есть несколько скрытых слоев, вы можете определить, какой это скрытый слой:первый скрытый слой имеет верхний индекс 1, второй скрытый слой имеет верхний индекс 2 и т. д., как вГрафик 3, Выход помечен какYсшапка,

Чтобы облегчить жизнь, мы будем использовать некоторые жаргоны, чтобы немного прояснить ситуацию. Я знаю, жаргон может раздражать, но вы привыкнете к нему 🙂 Во-первых, если у нас естьмвходные данные (х1, х2,…, хм), мы называем этом особенности, Особенность — это только одна переменная, которую мы считаем влияющей на конкретный результат. Как наш пример по итогамесли вы решили изучать DL или нет,у нас есть 3 функции: 1. Будете ли вы зарабатывать больше денег после изучения DL, 2. Трудно с математикой / программированием, 3. Нужен ли вам графический процессор для начала.

Во-вторых, когда мы умножаем каждый из m признаков на вес (w1, w2,…, wm) и суммировать их все вместе, этоскалярное произведение:

Итак, вот вынос на данный момент:

1. См особенностина входеИКС,тебе нужномвеса для выполнения точечного произведения
2. СNскрытые нейроны в скрытом слое, вам нужноNнаборы весов (W1, W2, … Wn) для выполнения точечных произведений
3. С 1 скрытым слоем вы выполняетеNточечные продукты, чтобы получить скрытый выводчас:(h1, h2,…, hn)
4. Тогда это как однослойный персептрон, мы используем скрытый выводчас:(h1, h2,…, hn) в качестве входных данных, которые имеютn функций,выполнятьТочечный продукт с 1 наборомNвес (w1, w2,…, wn) чтобы получить окончательный результатy_hat,

Процедура того, как входные значенияраспространяться впередв скрытый слой, а затем из скрытого слоя на выход такой же, как вГрафик 1, Ниже я приведу описание того, как это делается, используя следующую нейронную сеть вГрафик 4,

Теперь вычисляются выходные данные скрытого слоя, мы используем их в качестве входных данных для расчета конечного результата.

Ура! Теперь вы полностью понимаете, как работает персептрон с несколькими слоями 🙂 Это похоже на однослойный персептрон, за исключением того, что в этом процессе у вас намного больше весов. Когда вы тренируете нейронные сети на больших наборах данных со многими другими функциями (такими как word2vec в Natural Language Processing), этот процесс потребляет много памяти на вашем компьютере. Это была одна из причин, по которой Deep Learning не взлетела до последних нескольких лет, когда мы начали выпускать гораздо более качественное оборудование, которое могло бы обрабатывать потребляющие память глубокие нейронные сети.

Сигмовидные нейроны: введение

Так что теперь у нас есть более сложная нейронная сеть со скрытыми слоями. Но мы не решили проблему активации с помощью функции step.

В последнем посте мы говорили об ограничениях линейности ступенчатой ​​функции. Помните одно:Если функция активации является линейной, то вы можете сложить столько скрытых слоев в нейронной сети, сколько пожелаете, и конечный результат по-прежнему линейная комбинация исходных входных данных, пожалуйста убедитесь, что вы читаете эту ссылку дляобъяснение, если концепции трудно следовать. Эта линейность означает, что она не может действительно понять сложность нелинейных задач, таких как логика XOR или шаблоны, разделенные кривыми или кругами.

Между тем, функция шага также не имеет полезной производной (ее производная равна 0 везде или не определена в точке 0 на оси x). Это не работает дляобратное распространениеОб этом мы обязательно поговорим в следующем посте!

Ну, вот еще одна проблема: Персептрон с пошаговой функцией не очень «стабилен» как «кандидат на отношения» для нейронных сетей. Подумайте об этом: у этой девочки (или мальчика) есть серьезные биполярные проблемы! Один день (дляZ<0), (s) он все «тихий» и «подавленный», что дает вам нулевой ответ. Затем еще один день (дляZ≥ 0), (s) он внезапно становится «разговорчивым» и «живым», разговаривая с вами без остановки. Черт, радикальные перемены! Нет никакого изменения для ее / его настроения, и вы не знаете, когда оно понижается или повышается. Да … это пошаговая функция.

В общем, небольшое изменение любого веса во входном слое нашей сети персептронов может привести к тому, что один нейрон внезапно переключится с 0 на 1, что может снова повлиять на поведение скрытого слоя, а затем повлиять на конечный результат. Как мы уже говорили, нам нужен алгоритм обучения, который мог бы улучшить нашу нейронную сеть за счет постепенного изменения весов, а не путем плоского отсутствия ответа или внезапных скачков. Если мы не можем использовать пошаговую функцию для постепенного изменения веса, то это не должен быть выбор

Попрощайтесь с персептроном с помощью функции шага. Мы находим нового партнера для нашей нейронной сети,сигмовидный нейрон, который идет с сигмовидной функцией (дух). Но не беспокойтесь: единственное, что изменится, — это функция активации, а все остальное, что мы узнали о нейронных сетях, все еще работает для этого нового типа нейронов!

Если функция выглядит очень абстрактно или странно для вас, не стоит слишком беспокоиться о таких деталях, как число Эйлераеили как кто-то придумал эту сумасшедшую функцию. Для тех, кто не разбирается в математике, единственная важная вещь о сигмовидной функции вГрафик 9во-первых, его кривая, а во-вторых, его производная. Вот еще несколько деталей:

1. Сигмовидная функция дает результаты, аналогичные шаговой функции, в том случае, если выходной сигнал находится между 0 и 1. Кривая пересекает 0,5г = 0, который мы можем установить правила для функции активации, такие как: Если выходной сигнал сигмоидного нейрона больше или равен 0,5, он выводит 1; если выходное значение меньше 0,5, оно выдает 0.
2. Сигмовидная функция не имеет рывка на своей кривой. Он гладкий и имеет очень красивую и простую производную отσ (z) * (1-σ (z)),который дифференцируем повсюду на кривой. Исчисление производной производной можно найти в переполнении стека Вот если хочешь это увидеть. Но вам не нужно знать, как его получить. Здесь нет стресса.
3. ЕслиZочень отрицательный, тогда выходной сигнал равен приблизительно 0; еслиZочень положительный результат примерно 1; но вокругг = 0гдеZне является ни слишком большим, ни слишком маленьким (между двумя внешними вертикальными пунктирными линиями сетки вГрафик 9) у нас относительно больше отклонений, чемZменяется.

Теперь это похоже на материал для датировки нашей нейронной сети 🙂 Функция сигмоида, в отличие от функции шага, вносит нелинейность в нашу модель нейронной сети. Нелинейный просто означает, что выходной сигнал мы получаем от нейрона, который является точечным произведением некоторых входных данных.х (х1, х2,…, хм)и весw (w1, w2,…, wm)плюс смещение, а затем положить в сигмовидную функцию, не может быть представлен линейная комбинация вводах (х1, х2,…, хм),

Эта нелинейная функция активации, когда используется каждым нейроном в многослойной нейронной сети, производит новую « представление Исходных данных, и в конечном итоге учитывает нелинейную границу решения, такую ​​как XOR. Таким образом, в случае XOR, если мы добавим два сигмоидных нейрона в скрытом слое, мы могли бы в другом пространстве преобразовать исходный 2D-график в нечто похожее на 3D-изображение в левой частиГрафик 10ниже. Таким образом, этот гребень позволяет классифицировать затвор XOR и представляет светло-желтоватую область затвора 2D XOR с правой стороныГрафик 10, Таким образом, если наше выходное значение находится в верхней части гребня, то оно должно быть истинным или 1 (например, погода холодная, но не жаркая, или погода жаркая, но не холодная); если наше выходное значение находится в нижней плоской области по двум углам, тогда оно ложно или равно 0, поскольку неправильно говорить, что погода горячая и холодная, а также ни горячая, ни холодная (хорошо, я думаю, что погода может быть не горячей или холодно … вы понимаете, что я имею в виду, хотя … верно?).

Я знаю, что эти разговоры о нелинейности могут сбивать с толку, поэтому, пожалуйста, прочитайте больше о линейности и нелинейности Вот (интуитивно понятный пост с анимацией из отличного блога Кристофера Олаха), Вот (по Вивек Ядав с функцией активации ReLU), и Вот (Себастьян Рашка). Надеюсь, у вас есть понимание того, почему важна функция нелинейной активации, а если нет, то сделайте это легко и дайте некоторое время ее переварить.

Проблема решена … на данный момент;) Мы увидим несколько различных типов функции активации в ближайшем будущем, потому что у сигмоидальной функции тоже есть свои проблемы! Некоторые популярные из них включаютTANHа такжеРЕЛУ, Это, однако, для другого поста.

Многоуровневые нейронные сети: интуитивный подход

Хорошо. Итак, мы внедрили скрытые слои в нейронную сеть и заменили персептрон сигмовидными нейронами. Мы также ввели идею о том, что нелинейная функция активации позволяет классифицировать нелинейные границы решений или шаблоны в наших данных. Вы можете запомнить эти выводы, поскольку они являются фактами, но я призываю вас немного погуглить в Интернете и посмотреть, сможете ли вы лучше понять концепцию (естественно, что мы потратим некоторое время, чтобы понять эти концепции)

Теперь мы никогда не говорили об одном очень важном моменте: с какой стати мы вообще хотим, чтобы скрытые слои в нейронных сетях? Как скрытые слои волшебным образом помогают нам решать сложные проблемы, которые однослойные нейроны не могут решить?

Из приведенного выше примера XOR вы видели, что добавление двух скрытых нейронов в 1 скрытый слой может перевернуть нашу проблему в другое пространство, что волшебным образом позволило нам классифицировать XOR с гребнем. Таким образом, скрытые слои каким-то образом искажают проблему таким образом, чтобы нейронной сети было легко классифицировать проблему или шаблон. Теперь мы будем использовать классический пример из учебника: распознавание рукописных цифр, чтобы помочь вам интуитивно понять, что делают скрытые слои.

Цифры вГрафик 11принадлежат к набору данных под названием MNIST, Он содержит 70000 примеров цифр, написанных руками человека. Каждая из этих цифр представляет собой изображение размером 28×28 пикселей. Таким образом, в целом каждое изображение цифры имеет 28 * 28 = 784 пикселей. Каждый пиксель принимает значение от 0 до 255 (цветовой код RGB). 0 означает цвет белый, а 255 означает цвет черный.

Теперь компьютер не может «видеть» цифру, как мы, люди, но если мы разберем изображение на массив из 784 чисел, таких как [0, 0, 180, 16, 230,…, 4, 77, 0, 0, 0], тогда мы можем передать этот массив в нашу нейронную сеть. Компьютер не может понять изображение, «увидев» его, но он может понимать и анализировать числа пикселей, которые представляют изображение.

Итак, давайте настроим нейронную сеть, как указано выше вГрафик 13, Он имеет 784 входных нейронов для значений 28×28 пикселей. Предположим, у него есть 16 скрытых нейронов и 10 выходных нейронов. Каждый из 10 выходных нейронов, возвращенных нам в массиве, будет отвечать за классификацию цифр от 0 до 9. Поэтому, если нейронная сеть считает, что рукописная цифра равна нулю, то мы должны получить выходной массив [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], первый выход в этом массиве, который воспринимает цифру как ноль, «запускается», чтобы быть нашей 1 нейронной сетью, а остальные 0 Если нейронная сеть считает, что рукописная цифра — 5, то мы должны получить [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0]. Шестой элемент, отвечающий за классификацию пяти, срабатывает, а остальные нет. Так далее и тому подобное.

Помните, мы упоминали, что нейронные сети становятся лучше за счет повторного обучения самим данным, чтобы они могли корректировать весовые коэффициенты в каждом слое сети, чтобы приблизить конечные результаты / фактические результаты к желаемым результатам? Поэтому, когда мы на самом деле обучаем эту нейронную сеть всем обучающим примерам в наборе данных MNIST, мы не знаем, какие веса мы должны назначить каждому из слоев. Поэтому мы просто случайным образом просим компьютер назначить веса в каждом слое. (Мы не хотим, чтобы все веса были равны 0, что я объясню в следующем посте, если позволит место).

Эта концепция случайной инициализации весов важна, потому что каждый раз, когда вы тренируете нейронную сеть с глубоким обучением, вы инициализируете разные числа для весов. По сути, вы и я понятия не имеем, что происходит в нейронной сети до тех пор, пока сеть не обучена. Обученная нейронная сеть имеет веса, которые оптимизируются при определенных значениях, которые дают лучший прогноз или классификацию по нашей проблеме. Это черный ящик, буквально. И каждый раз обучаемая сеть будет иметь разные наборы весов.

Ради аргумента, давайте представим следующий случай вГрафик 14, который я позаимствовал у Майкла Нильсена онлайн книга:

После обучения нейронной сети с раундами и раундами помеченных данных в контролируемом обучении, предположим, что первые 4 скрытых нейрона научились распознавать паттерны выше в левой частиГрафик 14, Затем, если мы передадим нейронной сети массив рукописных цифр ноль, сеть должна правильно запустить 4 верхних скрытых нейрона в скрытом слое, в то время как другие скрытые нейроны молчат, а затем снова запустить первый выходной нейрон, в то время как остальные молчит.

Если вы тренируете нейронную сеть с новым набором рандомизированных весов, она может создать следующую сеть (сравнить график 15 с графиком 14), поскольку веса рандомизированы, и мы никогда не знаем, какой из них узнает какой или какой шаблон. Но сеть, если она должным образом обучена, должна по-прежнему вызывать правильные скрытые нейроны и затем правильный вывод

И последнее, что следует упомянуть: в многослойной нейронной сети первый скрытый слой сможет выучить несколько очень простых шаблонов. Каждый дополнительный скрытый слой каким-то образом сможет постепенно выучить более сложные паттерны. Проверять, выписыватьсяГрафик 16от Scientific American с примером распознавания лиц 🙂

Некоторые замечательные люди создали следующий сайт для вас, чтобы поиграть с нейронными сетями и посмотреть, как работают скрытые слои. Попробуйте это. Это действительно интересно!

Tensorflow — игровая площадка нейронной сети

Это методика построения компьютерной программы, которая учится на данных. Он очень слабо основан на том, как мы думаем …

playground.tensorflow.org

Офир Самсон писал хороший пост, также объясняющий, что такое нейронная сеть с довольно хорошей визуализацией, и она короткая и лаконичная!

Еженедельник глубокого обучения: что такое нейронная сеть?

Для этой недели я хотел бы сосредоточиться на разъяснении, что такое нейронная сеть, на простом примере, который я собрал…

medium.com

резюмировать

В этом посте мы рассмотрели ограничения персептрона, представили сигмовидные нейроны с новой функцией активации, называемой сигмовидной функцией. Мы также говорили о том, как работают многослойные нейронные сети, и об интуиции скрытых слоев в нейронной сети.

Мы почти заканчиваем полный курс понимания базовых нейронных сетей;) Хе-хе, это еще не конец! В следующем посте я расскажу о так называемой функции потерь, а также об этом загадочном распространении, о котором мы только упоминали, но никогда не посещали! Проверьте следующие ссылки, если вам не терпится ждать:

CS231n сверточные нейронные сети для визуального распознавания

Материалы курса и заметки для Стэнфордского класса CS231n: Сверточные нейронные сети для визуального распознавания.

cs231n.github.io

Шаг за шагом Пример обратного распространения

Фон Backpropagation является распространенным методом обучения нейронной сети. В Интернете нет недостатка в документах, которые …

mattmazur.com

Оставайтесь с нами и, самое главное, получайте удовольствие от обучения: D

Вам понравилось это чтение? Не забудьте подписаться на меня щебет !

Знакомимся с методом обратного распространения ошибки

Всем привет! Новогодние праздники подошли к концу, а это значит, что мы вновь готовы делиться с вами полезным материалом. Перевод данной статьи подготовлен в преддверии запуска нового потока по курсу «Алгоритмы для разработчиков».

Метод обратного распространения ошибки – вероятно самая фундаментальная составляющая нейронной сети. Впервые он был описан в 1960-е и почти 30 лет спустя его популяризировали Румельхарт, Хинтон и Уильямс в статье под названием «Learning representations by back-propagating errors».

Метод используется для эффективного обучения нейронной сети с помощью так называемого цепного правила (правила дифференцирования сложной функции). Проще говоря, после каждого прохода по сети обратное распространение выполняет проход в обратную сторону и регулирует параметры модели (веса и смещения).

В этой статья я хотел бы подробно рассмотреть с точки зрения математики процесс обучения и оптимизации простой 4-х слойной нейронной сети. Я считаю, что это поможет читателю понять, как работает обратное распространение, а также осознать его значимость.

Определяем модель нейронной сети

Четырехслойная нейронная сеть состоит из четырех нейронов входного слоя, четырех нейронов на скрытых слоях и 1 нейрона на выходном слое.

Простое изображение четырехслойной нейронной сети.

Входной слой

На рисунке нейроны фиолетового цвета представляют собой входные данные. Они могут быть простыми скалярными величинами или более сложными – векторами или многомерными матрицами.

Уравнение, описывающее входы xi.

Первый набор активаций (а) равен входным значениям. «Активация» — это значение нейрона после применения функции активации. Подробнее смотрите ниже.

Скрытые слои

Конечные значения в скрытых нейронах (на рисунке зеленого цвета) вычисляются с использованием z^l – взвешенных входов в слое I и a^I активаций в слое L. Для слоев 2 и 3 уравнения будут следующими:

Для l = 2:

Для l = 3:

W² и W³ – это веса на слоях 2 и 3, а b² и b³ – смещения на этих слоях.

Активации a² и a³ вычисляются с помощью функции активации f. Например, эта функция f является нелинейной (как сигмоид, ReLU и гиперболический тангенс) и позволяет сети изучать сложные паттерны в данных. Мы не будем подробно останавливаться на том, как работают функции активации, но, если вам интересно, я настоятельно рекомендую прочитать эту замечательную статью.

Присмотревшись внимательно, вы увидите, что все x, z², a², z³, a³, W¹, W², b¹ и b² не имеют нижних индексов, представленных на рисунке четырехслойной нейронной сети. Дело в том, что мы объединили все значения параметров в матрицы, сгруппированные по слоям. Это стандартный способ работы с нейронными сетями, и он довольно комфортный. Однако я пройдусь по уравнениям, чтобы не возникло путаницы.

Давайте возьмем слой 2 и его параметры в качестве примера. Те же самые операции можно применить к любому слою нейронной сети.
W¹ – это матрица весов размерности (n, m), где n – это количество выходных нейронов (нейронов на следующем слое), а m – число входных нейронов (нейронов в предыдущем слое). В нашем случае n = 2 и m = 4.

Здесь первое число в нижнем индексе любого из весов соответствует индексу нейрона в следующем слое (в нашем случае – это второй скрытый слой), а второе число соответствует индексу нейрона в предыдущем слое (в нашем случае – это входной слой).

x – входной вектор размерностью (m, 1), где m – число входных нейронов. В нашем случае m = 4.

b¹ – это вектор смещения размерности (n, 1), где n – число нейронов на текущем слое. В нашем случае n = 2.

Следуя уравнению для z² мы можем использовать приведенные выше определения W¹, x и b¹ для получения уравнения z²:

Теперь внимательно посмотрите на иллюстрацию нейронной сети выше:

Как видите, z² можно выразить через z₁² и z₂², где z₁² и z₂² – суммы произведений каждого входного значения xⁱ на соответствующий вес W_ij¹.

Это приводит к тому же самому уравнению для z² и доказывает, что матричные представления z², a², z³ и a³ – верны.

Выходной слой

Последняя часть нейронной сети – это выходной слой, который выдает прогнозируемое значение. В нашем простом примере он представлен в виде одного нейрона, окрашенного в синий цвет и рассчитываемого следующим образом:

И снова мы используем матричное представление для упрощения уравнения. Можно использовать вышеприведенные методы, чтобы понять лежащую в их основе логику.

Прямое распространение и оценка

Приведенные выше уравнения формируют прямое распространение по нейронной сети. Вот краткий обзор:

(1) – входной слой
(2) – значение нейрона на первом скрытом слое
(3) – значение активации на первом скрытом слое
(4) – значение нейрона на втором скрытом слое
(5) – значение активации на втором скрытом уровне
(6) – выходной слой

Заключительным шагом в прямом проходе является оценка прогнозируемого выходного значения s относительно ожидаемого выходного значения y.

Выходные данные y являются частью обучающего набора данных (x, y), где x – входные данные (как мы помним из предыдущего раздела).

Оценка между s и y происходит через функцию потерь. Она может быть простой как среднеквадратичная ошибка или более сложной как перекрестная энтропия.

Мы назовем эту функцию потерь С и обозначим ее следующим образом:

Где cost может равняться среднеквадратичной ошибке, перекрестной энтропии или любой другой функции потерь.

Основываясь на значении С, модель «знает», насколько нужно скорректировать ее параметры, чтобы приблизиться к ожидаемому выходному значению y. Это происходит с помощью метода обратного распространения ошибки.

Обратное распространение ошибки и вычисление градиентов

Опираясь на статью 1989 года, метод обратного распространения ошибки:

Постоянно настраивает веса соединений в сети, чтобы минимизировать меру разности между фактическим выходным вектором сети и желаемым выходным вектором.
и
…дает возможность создавать полезные новые функции, что отличает обратное распространение от более ранних и простых методов…

Другими словами, обратное распространение направлено на минимизацию функции потерь путем корректировки весов и смещений сети. Степень корректировки определяется градиентами функции потерь по отношению к этим параметрам.

Возникает один вопрос: Зачем вычислять градиенты?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам сначала нужно пересмотреть некоторые понятия вычислений:

Градиентом функции С(x¹, x², …, x^m) в точке x называется вектор частных производных С по x.

Производная функции С отражает чувствительность к изменению значения функции (выходного значения) относительно изменения ее аргумента х (входного значения). Другими словами, производная говорит нам в каком направлении движется С.

Градиент показывает, насколько необходимо изменить параметр x (в положительную или отрицательную сторону), чтобы минимизировать С.

Вычисление этих градиентов происходит с помощью метода, называемого цепным правилом.
Для одного веса (w^jk)_l градиент равен:

(1) Цепное правило
(2) По определению m – количество нейронов на l – 1 слое
(3) Вычисление производной
(4) Окончательное значение
Аналогичный набор уравнений можно применить к (b^j)_l:

(1) Цепное правило
(2) Вычисление производной
(3) Окончательное значение
Общая часть в обоих уравнениях часто называется «локальным градиентом» и выражается следующим образом:

«Локальный градиент» можно легко определить с помощью правила цепи. Этот процесс я не буду сейчас расписывать.

Градиенты позволяют оптимизировать параметры модели:

Пока не будет достигнут критерий остановки выполняется следующее:

Алгоритм оптимизации весов и смещений (также называемый градиентным спуском)

• Начальные значения w и b выбираются случайным образом.
• Эпсилон (e) – это скорость обучения. Он определяет влияние градиента.
• w и b – матричные представления весов и смещений.
• Производная C по w или b может быть вычислена с использованием частных производных С по отдельным весам или смещениям.
• Условие завершение выполняется, как только функция потерь минимизируется.

Заключительную часть этого раздела я хочу посвятить простому примеру, в котором мы рассчитаем градиент С относительно одного веса (w²²)₂.

Давайте увеличим масштаб нижней части вышеупомянутой нейронной сети:

Визуальное представление обратного распространения в нейронной сети
Вес (w²²)₂ соединяет (a²)₂ и (z²)₂, поэтому вычисление градиента требует применения цепного правила на (z²)₃ и (a²)₃:

Вычисление конечного значения производной С по (a²)₃ требует знания функции С. Поскольку С зависит от (a²)₃, вычисление производной должно быть простым.

Я надеюсь, что этот пример сумел пролить немного света на математику, стоящую за вычислением градиентов. Если захотите узнать больше, я настоятельно рекомендую вам посмотреть Стэндфордскую серию статей по NLP, где Ричард Сочер дает 4 замечательных объяснения обратного распространения.

Заключительное замечание

В этой статье я подробно объяснил, как обратное распространение ошибки работает под капотом с помощью математических методов, таких как вычисление градиентов, цепное правило и т.д. Знание механизмов этого алгоритма укрепит ваши знания о нейронных сетях и позволит вам чувствовать себя комфортно при работе с более сложными моделями. Удачи вам в путешествии по глубокому обучению!

На этом все. Приглашаем всех на бесплатный вебинар по теме «Дерево отрезков: просто и быстро».

F0:
11196971

F1:
Нейрокомпьютерные системы

F2:
Бозиев О.Л.

F3:
5 курс, 9 семестр, 4 курс,7сем.СП

VI:
1. Введение в искусственные нейронные
сети

I:
ТЗ № 1

S:
Дендрит – это …

-:
тело нейрона

+:
входное волокно нейрона

-:
выходное волокно нейрона

-:
место контакта нервных волокон

I:
ТЗ № 2

S:
Аксон – это …

-:
тело нейрона

-:
входное волокно нейрона

+:
выходное волокно нейрона

-:
место контакта нервных волокон

I:
ТЗ № 3

S:
Синапс – это …

-:
тело нейрона

-:
входное волокно нейрона

-:
выходное волокно нейрона

+:
место контакта нервных волокон

I:
ТЗ № 4

S:
Биологические нейроны …

+:
участвуют в обмене веществ

+:
взаимодействуют с помощью электрохимических
сигналов

-:
взаимодействуют с помощью оптических
сигналов

+:
рассеивают энергию

I:
ТЗ № 5

S:
Биологические нейроны не …

-:
участвуют в обмене веществ

-:
взаимодействуют с помощью электрохимических
сигналов

+:
взаимодействуют с помощью оптических
сигналов

-:
рассеивают энергию

I:
ТЗ № 6

S:
Искусственные нейронные сети обладают
способностью

-:
самоорганизации

+:
обучаемости

+:
обобщения

+:
абстрагирования

I:
ТЗ № 7

S:
Искусственные нейронные сети не обладают
способностью

+:
самоорганизации

-:
обучаемости

-:
обобщения

-:
абстрагирования

I:
ТЗ № 8

S:
Взаимодействуя между собой, нейроны
формируют

+:
нейронные сети

-:
функциональные сети

-:
локальные сети

-:
глобальные сети

I:
ТЗ № 9

S:
Взаимодействующие нейроны не способны
формировать

-:
нейронные сети

+:
функциональные сети

+:
локальные сети

+:
глобальные сети

I:
ТЗ № 10

S:
Искусственная нейронная сеть – это

+:
модель биологической нейронной сети

-:
искусственное объединение биологических
нейронов

-:
естественное объединение биологических
нейронов

-:
математическая формализация нейронной
сети

I:
ТЗ № 11

S:
Искусственная нейронная сеть не является

-:
моделью биологической нейронной сети

+:
искусственным объединением биологических
нейронов

+:
естественным объединением биологических
нейронов

+:
математической формализацией нейронной
сети

I:
ТЗ № 12

S:
Области применения искусственных
нейронных сетей:

+:
распознавание образов

+:
ассоциативный поиск информации

-:
автоматизированное проектирование

-:
управление производством

I:
ТЗ № 13

S:
Искусственные нейронные сети не
применяются для

-:
распознавания образов

-:
ассоциативного поиска информации

+:
автоматизированного проектирования

+:
управления производством

I:
ТЗ № 14

S:
Весовой коэффициент соответствует …

-:
весу нейрона

-:
длине аксона

+:
усилению сигнала синапсом

-:
выходу активационной функции

I:
ТЗ № 15

S:
Весовой коэффициент не соответствует
…

+:
весу нейрона

+:
длине аксона

-:
усилению сигнала синапсом

+:
выходу активационной функции

I:
ТЗ № 16

S:
Назначением активационной функции
является …

-:
преобразование входного вектора

+:
преобразование выходного сигнала
сумматора

-:
получение взвешенной суммы входных
сигналов

-:
преобразование выходного вектора

I:
ТЗ № 17

S:
Назначением активационной функции не
является …

-:
преобразование выходного сигнала
сумматора

+:
получение взвешенной суммы входных
сигналов

+:
преобразование выходного вектора

+:
преобразование входного вектора

I:
ТЗ № 18

S:
Активационная функция «жесткая ступенька»
имеет вид

-:

+:

-:

-:

I:
ТЗ № 19

S:
Активационная функция «пологая ступенька»
имеет вид

-:

-:

+:

-:

I:
ТЗ № 20

S:
Логистическая активационная функция
имеет вид

+:

-:

-:

-:

I:
ТЗ № 21

S:
Активационная функция «гиперболический
тангенс» имеет вид

-:

-:

-:

+:

I:
ТЗ № 22

Q:
Активационным функциям соответствуют
выражения

L1:
жесткая ступенька

L2:
сигмоида

L3:
гиперболический тангенс

L4:
пологая
ступенька

R1:

R2:

R3:

R4:

I:
ТЗ № 23

S:
Выбор активационной функции определяется

+:
алгоритмом обучения

+:
спецификой задачи

-:
количеством нейронов

+:
удобством реализации

I:
ТЗ № 24

S:
Выбор активационной функции не
определяется

—
алгоритмом обучения

-:
спецификой задачи

+:
количеством нейронов

-:
удобством реализации

VI: 3. Искусственная нейронная сеть

I:
ТЗ № 25

S:
При создании искусственных нейронных
сетей используется … подход

-:
электрохимический

+:
биологический

-:
компьютерный

+:
информационный

I:
ТЗ № 26

S:
При создании искусственных нейронных
сетей не используется … подход

+:
электрохимический

-:
биологический

+:
компьютерный

-:
информационный

I:
ТЗ № 27

S:
Сети прямого распространения

-:
содержат обратные связи

-:
связывают нейрон с самим собой

-:
соединяют слой сети с предшествующим

+:
не содержат обратных связей

I:
ТЗ № 28

S:
Сети прямого распространения

+:
не содержат обратных связей

+:
не связывают нейрон с самим собой

+:
не соединяют слой сети с предшествующим

-:
содержат обратные связи

I:
ТЗ № 29

S:
Сети с обратными связями

-:
связывают нейроны одного слоя

+:
связывают слой с самим собой

+:
соединяют слой сети с предшествующим

-:
не принимают входных сигналов

I:
ТЗ № 30

S:
Сети с обратными связями

+:
не связывают нейроны одного слоя

-:
не связывают слой с самим собой

-:
не соединяют слой сети с предшествующим

-:
не принимают входных сигналов

I:
ТЗ № 31

S:
Многослойная сеть состоит из

+:
чередующихся множеств нейронов и весов

-:
множества соединений между нейронами

-:
множества входных сигналов и весов

-:
чередующихся множеств весов и активационных
функций

I:
ТЗ № 32

S:
Многослойная сеть содержит

+:
чередующиеся множества нейронов и весов

+:
множества соединений между нейронами

-:
множества входных сигналов и весов

-:
чередующиеся множества весов и
активационных функций

I:
ТЗ № 33

S:
Отличительными признаками многослойных
сетей являются то, что

+:
каждый нейрон сети имеет нелинейную
функцию активации

+:
сеть обладает высокой степенью связанности

-:
каждый нейрон сети имеет линейную
функцию активации

-:
сеть обладает низкой степенью связанности

I:
ТЗ № 34

S:
Искусственные нейронные сети подразделяются
на типы:

+:
полносвязные

+:
многослойные

+:
слабосвязные

-:
циклические сети

I:
ТЗ № 35

S:
В полносвязных сетях

+:
каждый нейрон передает выходной сигнал
остальным нейронам

-:
нейроны имеют соединения от выходов к
входам

-:
каждый слой, кроме последнего, разбит
на возбуждающий и тормозящий блоки

-:
нейроны входного слоя передают сигналы
нейронам 1-го скрытого слоя

I:
ТЗ № 36

S:
В монотонных сетях

-:
каждый нейрон передает выходной сигнал
остальным нейронам

-:
последний слой разбит на возбуждающий
и тормозящий блоки

+:
каждый слой, кроме последнего, разбит
на возбуждающий и тормозящий блоки

-:
нейроны входного слоя передают сигналы
нейронам 1-го скрытого слоя

I:
ТЗ № 37

S:
В слабосвязных сетях

-:
каждый нейрон передает выходной сигнал
остальным нейронам

-:
нейроны имеют соединения от выходов к
входам

-:
каждый слой, кроме последнего, разбит
на возбуждающий и тормозящий блоки

+:
нейроны входного слоя передают сигналы
нейронам 1-го скрытого слоя

I:
ТЗ № 38

S:
Каждый нейрон полносвязной сети передает
выходной сигнал

+:
всем нейронам

-:
двум соседним нейронам

-:
нейрону справа

-:
в последующий слой

I:
ТЗ № 39

S:
Каждый нейрон монотонной сети передает
выходной сигнал

-:
всем нейронам своего слоя

+:
нейронам последующего слоя

-:
одному нейрону последующего слоя

-:
нейронам предыдущего слоя

I:
ТЗ № 40

S:
Каждый нейрон слабосвязной сети передает
выходной сигнал

-:
всем нейронам своего слоя

-:
нейронам последующего слоя

-:
одному нейрону последующего слоя

+:
нейронам первого скрытого слоя

I:
ТЗ № 41

S:
В … сетях каждый нейрон передает выходной
сигнал остальным нейронам

-:
локальных

-:
монотонных

-:
слабосвязных

+:
полносвязных

I:
ТЗ № 42

S:
В … сетях каждый нейрон передает выходной
сигнал нейронам первого скрытого слоя

-:
локальных

+:
монотонных

-:
слабосвязных

-:
полносвязных

I:
ТЗ № 43

S:
В … сетях каждый нейрон передает выходной
сигнал нейронам последующего слоя

-:
локальных

-:
монотонных

+:
слабосвязных

-:
полносвязных

Соседние файлы в папке Нс

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1. Что такое функция активации

2. Зачем использовать

3. Какие есть функции активации

4、sigmoid，Relu，softmax

1. Что такое функция активации

Как показано на рисунке ниже, в нейроне входные входы взвешиваются, и после суммирования также применяется функция, которая является функцией активации.

2. Зачем использовать

Если функция возбуждения не используется, выход каждого слоя является линейной функцией от входа верхнего уровня. Независимо от того, сколько слоев в нейронной сети, выход является линейной комбинацией входов.
Если используется, функция активации вводит нелинейные факторы в нейрон, так что нейронная сеть может произвольно приближать любую нелинейную функцию, так что нейронная сеть может применяться ко многим нелинейным моделям.

3. Каковы функции активации

(1) сигмовидная функция

Формула:

Кривая:

Производная:

Сигмовидная функция, также называемая логистической функцией, используется для вывода нейронов скрытого слоя, диапазон значений (0,1), она может отображать действительное число в (0,1) и может использоваться для двоичной классификации.
Эффект лучше, когда различие в функциях более сложное или разница не особенно велика.

Недостатки сигмовидной кишки:

• Функция активации требует больших вычислительных ресурсов, и когда обратное распространение ищет градиент ошибки, дифференциация включает в себя деление
• При обратном распространении градиент легко исчезает, что делает невозможным завершение обучения глубокой сети

• Функция сигмоидов насыщена и убивает градиент.
• Функция сигмоидов сходится медленно.

Ниже объясняется, почему исчезает градиент:

В алгоритме обратного распространения для получения функции активации, производное выражение сигмоиды:

Исходная сигмоидальная функция и производный граф следующие:

Из рисунка видно, что производная скоро приблизится к 0 из 0, что легко вызывает явление «исчезновение градиента»

(2) функция Тан

формула

кривая

Также называется функцией касательной к битам, диапазон значений равен [-1,1].
Эффект Таня будет очень хорошим, когда разница в функциях очевидна, и эффект функции будет продолжать расширяться в течение цикла.
Разница между и сигмоидальным состоянием состоит в том, что tanh имеет значение 0, поэтому в реальном приложении tanh будет лучше сигмовидного.

(3) ReLU

Выпрямленная линейная единица (ReLU) — для выхода нейронов скрытого слоя

формула

кривая

Особенности RELU:

Когда входной сигнал <0, на выходе все 0. Если> 0, выход равен входу

Преимущества ReLU:

Krizhevsky et al.Установлено, что скорость сходимости SGD, полученной с использованием ReLU, будет намного выше, чем сигмоид / танх

Недостатки ReLU:
Обучение очень «хрупкое», его легко «умереть»
Например, через нейрон ReLU протекает очень большой градиент. После обновления параметров этот нейрон больше не будет активировать какие-либо данные, затем градиент этого нейрона Это всегда будет 0.
Если скорость обучения велика, вероятно, что 40% нейронов в сети «мертвы».

(4) функция softmax

Softmax-для мультиклассовых выходов нейронной сети

формула

Возьмите пример, чтобы увидеть значение формулы:

То есть, если определенный zj больше других z, компоненты этого отображения близки к 1, а другие близки к 0. Основное применение — мультиклассификация.

Первая причина, по которой вы хотите получить показатель, состоит в том, чтобы моделировать поведение max, поэтому сделайте его больше.
Вторая причина — это необходимость в производной функции.

4. Сравнение сигмовидной, ReLU, softmax

Сигмоид и ReLU сравнение:

Проблема исчезновения градиента сигмоида, производной ReLU, не имеет такой проблемы, ее производная выражается следующим образом:

Кривая как показано

Основные изменения по сравнению с сигмовидными функциями:
1) Одностороннее подавление
2) Относительно широкая граница возбуждения
3) Разреженная активация.

Разница между сигмоидом и софтмаксом:

softmax is a generalization of logistic function that “squashes”(maps) a K-dimensional vector z of arbitrary real values to a K-dimensional vector σ(z) of real values in the range (0, 1) that add up to 1.

Сигмоид отображает действительное значение в интервал (0,1), который используется для двоичной классификации.

И softmax отображает k-мерный вектор действительного значения (a1, a2, a3, a4 …) в a (b1, b2, b3, b4 …), где bi — постоянная от 0 до 1, и сумма выходных нейронов Он равен 1,0, поэтому он эквивалентен значению вероятности, и тогда задача мультиклассификации может быть выполнена в соответствии с вероятностью bi.

Для двух задач классификации сигмоид и софтмакс одинаковы, и оба стремятся к потере перекрестной энтропии, а софтмакс можно использовать для задач мультиклассификации

Softmax является расширением сигмовидной кишки, потому что, когда число категорий k = 2, регрессия softmax вырождается в логистическую регрессию. В частности, когда k = 2, предполагаемая функция регрессии softmax равна:

Используя функцию избыточности параметра регрессии softmax, вычтите вектор θ1 из обоих векторов параметров, чтобы получить:

Наконец, θ ′ используется для представления θ2-θ1, и приведенная выше формула может быть выражена как вероятность того, что регрессия softmax предсказывает одну из категорий как

Вероятность другой категории

Это согласуется с логистической регрессией.

5. Как выбрать

При выборе он настраивается в соответствии с преимуществами и недостатками каждой функции, например:

Если вы используете ReLU, будьте осторожны, чтобы установить скорость обучения, и следите за тем, чтобы в сети не появлялось много «мертвых» нейронов. Если это не легко решить, вы можете попробовать Leaky ReLU, PReLU или Maxout.

2.3 ВЫБОР ФУНКЦИИ АКТИВАЦИИ И ОБУЧЕНИЕ НЕЙРОННОЙ СЕТИ

Синапсы осуществляют связь между нейронами и умножают входной сигнал на число, характеризующее силу связи — вес синапса. Сумматор выполняет сложение сигналов, поступающих по синаптическим связям от других ней­ронов и внешних входных сигналов. Преобразова­тель реализует функцию одного аргумента, выхода сумматора, в некоторую выходную величину нейрона. Эта функция называется функцией активации нейрона. Нейрон в целом реализует ска­лярную функцию векторного аргумента. В общем случае входной сигнал и весовые коэффициенты могут принимать действительные значения. Вы­ход определяется видом функции активации и может быть как действительным, так и целым. Синаптические связи с положительными весами называют воз­буждающими, с отрицательными весами — тормозящими.

Таким образом,  нейрон полностью описывается своими весами и функцией активации F. Получив набор чисел (вектор) в качестве входов, нейрон выдает некоторое число на выходе.

Активационная функция может быть различного вида [61]. Наиболее широко используемые варианты приведены в таблице (табл.2.1).

Одними из наиболее распространенных функций являются:

• 1. линейная,
• 2. нелинейная с насыщением — логистическая функция или сигмоид,
• 3. гиперболический тангенс.

Линейная функция наилучшим образом соответствует сущности данной задачи.        Ее областью определения является диапазон (-∞, ∞). Это позволяет, используя ценовые характеристики товара на входе, получать характеристические значения любой величины на выходе, равные их фактической сумме.

Следует отметить, что сигмоидная функция (2.12) дифференцируема на всей оси абсцисс, что широко используется во многих алгоритмах обучения.

Таблица 2.1

Перечень функций активации нейронов

                                                                     .                                          (2.12)

Рис.2.12 Вид сигмоидной функции

Кроме того, она обладает свойством усиливать слабые сигналы лучше, чем сильные, и предотвращает насыщение от сильных сигналов, так как они соответствуют областям аргументов, где сигмоид имеет пологий на­клон (рис.2.12). Эти особенности важны для задачи моделирования совершенной конкуренции. Рынок совершенной конкуренции характеризуется однородностью, которая заключается в том, что все производители выпускают одинаковый по числу, свойствам и неценовым характеристикам товар. Единственное отличие однотипных товаров разных производителей — это его ценовые параметры. В условиях рыночной экономики отличия ценовых параметров достаточно характерны для рынков товаров и услуг. Однако они, чаще всего, носят не значительный характер. Поэтому разница между однотипными ценовыми параметрами разных товаров, подаваемых на вход нейронной сети, будет невелика, что предъявляет к чувствительности функции дополнительные требования. Нейроны должны «распознавать» слабо различающиеся входные сигналы. Это делает (2.12) наиболее применимой.

В условиях конкуренции участники рынка, производящие или потребляющие товар по очень высоким или по слишком низким ценам, соответственно, не определяют положение дел на рынке. Основными участниками конкурентной борьбы являются предприятия, действующие в области наиболее конкурентоспособной цены. Это обстоятельство вполне соответствует виду функции (2.12).

Другой широко используемой активационной функцией является гиперболический тангенс. В отличие от логистической функции гипербо­лический тангенс принимает значения различных знаков, что для ряда сетей оказывается выгодным.

Важно отметить, что выбор вида активационной функции предлагается осуществлять симметрично в производственном и потребительском сегменте по уровням подсистем. Это обосновывается тем, что производство и потребление товара на рынке являются «зеркальными» процессами и должны протекать по одинаковым принципам. Сам же вид функций определяется исходя из требований точности.

При решении с помощью нейронных сетей задач необходимо собрать достаточный и представительный объем данных для того, чтобы обучить нейронную сеть решению таких задач. Обучающий набор данных — это набор наблюдений, содержащих признаки изучаемого объекта. Нейронные сети работают с числовыми данными, взятыми, как правило, из некоторо­го ограниченного диапазона. В данной задаче эта выборка может быть построена на основе статистической информации, собранной за время существования рынка. Кроме того, количество производителей и поставщиков на рынке совершенной конкуренции достаточно велико и при отсутствии других данных текущие показатели товара могут быть рассмотрены, как обучающая выборка.

Вопрос о том, сколько нужно иметь наблюдений для обучения сети, часто оказывает­ся непростым. Известен ряд эвристических правил, которые устанавливают связь между количеством необходимых наблюдений и размерами сети. Простейшее из них гласит, что количество наблюдений должно быть в 10 раз больше числа связей в сети. На самом деле это число зависит от сложности того отображения, которое должна воспроизводить ней­ронная сеть. С ростом числа используемых признаков количество наблюдений возрастает по нелинейному закону, так что уже при довольно небольшом числе признаков, скажем 50, может потребоваться огромное число наблюдений. Эта проблема носит название «проклятие размерности».

Таким образом, в условиях первого слоя нейронной системы примерное число обучающих примеров можно определить:

                                            μ = w x l x  m.                                                    (2.13)               

Процесс обучения нейронной сети заключается в определении значений весовых коэффициентов, обеспечивающих однозначное преобразование входных сигналов в выходные.

Путем анализа имеющихся в распоряже­нии аналитика входных и выходных данных веса сети автоматически на­страиваются так, чтобы минимизировать разность между желаемым сигналом и получен­ным на выходе в результате моделирования. Эта разность носит название ошибки обучения.

Ошибка обучения для конкретной конфигурации нейронной сети определяется путем прогона через сеть всех имеющихся наблюдений и сравнения выходных значений с желаемыми, целевыми значе­ниями. Эти разности позволяют сформировать так называемую функцию ошибок (крите­рий качества обучения). При моделировании нейронных сетей с линейными функциями активации ней­ронов можно построить алгоритм, гарантирующий достижение абсолютного минимума ошибки обучения. Для нейронных сетей с нелинейными функциями активации в общем случае нельзя гарантировать достижения глобального минимума функции ошибки.

При таком подходе к процедуре обучения может оказаться полезным геометрический анализ поверхности функции ошибок. Определим веса и смещения как свободные пара­метры модели и их общее число обозначим через N; каждому набору таких параметров поставим в соответствие одно измерение в виде ошибки сети. Тогда для всевозможных сочетаний весов соответствующую ошибку сети можно изобразить точкой в N-1-мерном пространстве, а все такие точки образуют некоторую поверхность, назы­ваемую поверхностью функции ошибок. При таком подходе цель обучения нейронной сети состоит в том, чтобы найти на этой многомерной поверхности глобальный минимум.

В случае линейной модели сети и функции ошибок в виде суммы квадратов такая по­верхность будет представлять собой параболоид, который имеет единственный минимум, и это позволяет отыскать такой минимум достаточно просто.

В случае нелинейной модели поверхность ошибок имеет гораздо более сложное строение и обладает рядом неблагоприятных свойств, в частности может иметь локальные минимумы, плоские участки, седловые точки и длинные узкие овраги.

Определить глобальный минимум многомерной функции аналитически невозможно, и поэтому обучение нейронной сети, по сути дела, является процедурой изучения поверхности функции ошибок. Отталкиваясь от случайно выбранной точки на поверхности функции ошибок, алгоритм обучения постепенно отыскивает глобальный минимум. Как правило, для этого вычисляется градиент (наклон) функции ошибок в данной точке, а за­тем эта информация используется для продвижения вниз по склону. В конце концов алго­ритм останавливается в некотором минимуме, который может оказаться лишь локальным минимумом, а если повезет, то и глобальным.

После многократного предъявления примеров веса сети стабилизируются, причем сеть дает правильные ответы на все (или почти все) примеры из базы данных. В таком случае говорят, что «сеть обучена». В программных реализациях можно видеть, что в процессе обучения функция ошибки (например, сумма квадратов ошибок по всем выходам) постепенно уменьшается. Когда функ­ция ошибки достигает нуля или приемлемого малого уровня, тре­нировку останавливают, а полученную сеть считают натрениро­ванной и готовой к применению на новых данных.

Важно отметить, что вся информация, которую сеть имеет о задаче, содержится в наборе примеров. Поэтому качество обуче­ния сети напрямую зависит от количества примеров в обучающей выборке, а также от того, насколько полно эти примеры описы­вают данную задачу.

Для решения задачи обучения могут быть использованы следующие (итерационные) алгоритмы:

• 1. алгоритмы локальной оптимизации с вычислением частных производных первого порядка;
• 1. алгоритмы локальной оптимизации с вычислением частных производных первого и второго порядка;
• 2. стохастические алгоритмы оптимизации;
• 3. алгоритмы глобальной оптимизации.

К первой группе относятся: градиентный алгоритм (метод ско­рейшего спуска); методы с одномерной и двумерной оптимизацией целевой функции в направлении антиградиента; метод сопряженных градиентов; методы, учитывающие направление антигради­ента на нескольких шагах алгоритма [119, 122].

Ко второй группе относятся: метод Ньютона, методы оптими­зации с разреженными матрицами Гессе, квазиньютоновские ме­тоды, метод Гаусса-Ньютона, метод Левенберга-Марквардта [128, 131] и другие.

Стохастическими методами являются: поиск в случайном на­правлении, имитация отжига, метод Монте-Карло (численный ме­тод статистических испытаний).

Задачи глобальной оптимизации решаются с помощью пере­бора значений переменных, от которых зависит целевая функция (функция ошибки).

При использовании алгоритма обратного распространения ошибки сеть рассчитывает возникающую в выходном слое ошибку и вычисляет вектор градиента как функцию весов. Этот вектор указывает направление кратчайшего спуска по поверхности для данной точки, поэтому если продвинуться в этом направлении, то ошибка уменьшится. Последовательность таких шагов в конце концов приведет к минимуму того или иного типа. Определенную трудность здесь вызывает выбор величины шага.

При большой длине шага сходимость будет более быстрой, но имеется опасность пе­репрыгнуть через решение или уйти в неправильном направлении. Напротив, при малом шаге, вероятно, будет выбрано верное на­правление, однако при этом потребуется очень много итераций. На практике величина шага выбирается пропорциональной крутизне склона (градиенту функции ошибок). Такой коэффициент пропорциональности называется параметром скорости настройки. Пра­вильный выбор параметра скорости настройки зависит от конкретной задачи и обычно осуществляется опытным путем. Этот параметр может также зависеть от времени, умень­шаясь по мере выполнения алгоритма.

Алгоритм действует итеративно, и его шаги принято называть эпохами или циклами. На каждом цикле на вход сети последовательно подаются все обучающие наблюдения, выходные значения сравниваются с целевыми значениями, и вычисляется функция ошиб­ки. Значения функции ошибки, а также ее градиента используются для корректировки весов и смещений, после чего все действия повторяются. Начальные значения весов и смещений сети выбираются случайным образом, и процесс обучения прекращается либо когда реализовано определенное количество циклов, либо когда ошибка достигнет неко­торого малого значения или перестанет уменьшаться.

Другой подход к процедуре обучения сети можно сформулировать, если рассматри­вать ее как процедуру, обратную моделированию. В этом случае требуется подобрать та­кие значения весов, которые обеспечивали бы нужное соответствие между входами и желаемыми значениями на выходе. Такая процедура обучения носит название процедуры адаптации и достаточно широко применяется для настройки параметров ней­ронных сетей.

Каждый слой производственного сегмента решает свою функциональную задачу в рамках нейронной системы всего рынка. По этой причине процедуру обучения можно выполнять независимо для каждого слоя.

Процесс обучения требует набора примеров ее желаемого поведения — входов H и целевых выходов Ψ^оpt. Во время этого процесса веса настраиваются так, чтобы минимизировать некоторый функционал ошибки. По умолчанию, в качестве такого функционала для сетей с прямой передачей сигналов принимается среднеквадратичная ошибка между векторами выхода Ψ^оpt и Ψ.

При обучении сети рассчитывается некоторый функционал, характеризующий качество обучения:

,                                           (2.14)

где J — функционал; Q — объем выборки; М — число слоев сети; q — номер выборки; S^м — число нейронов выходного слоя; Ψ^q — вектор сигнала на выходе сети; Ψ^{q opt} — вектор желаемых (целевых) значений сигнала на выходе сети для выборки с номером q.

В случае использования линейной активационной функции нейронные сети первого слоя однослойные. В этом случае М = 1 и выражение для функционала принимает вид:

,                       (2.15)

где  — функция активации;  — сигнал на входе функции активации для  j-го нейрона; — вектор входного сигнала; w — число элементов вектора входа;  m — число нейронов в слое;  — весовые коэффициенты сети.

Включим вектор смещения в состав матрицы весов , а век­тор входа дополним элементом, равным 1.

Применяя правило дифференцирования сложной функции, вычислим градиент функционала ошибки, зная при этом, что функция активации дифференцируема:

.                      (2.16)

Введем обозначение:

.                              (2.17)

и преобразуем выражение (2.16) следующим образом:

.                     (2.18)

Полученные выражения упрощаются, если сеть линейна. Поскольку для такой сети выполняется соотношение , то справедливо условие . В этом случае выражение (2.16) принимает вид:

                                               .                                          (2.19)

Выражение (2.19) положено в основу алгоритма WH, применяемого для обучения ли­нейных нейронных сетей [132].

Линейные сети могут быть обучены и без использования итерационных методов, а путем решения следующей системы линейных уравнений:

.                     (2.20)

Если число неизвестных системы (2.20) равно числу уравнений, то такая система мо­жет быть решена, например, методом исключения Гаусса с выбором главного элемента. Если же число уравнений превышает число неизвестных, то решение ищется с использо­ванием метода наименьших квадратов.

В случае нелинейной функции активации для обучения нейронных сетей предлагается применить метод обратного распространения ошибки.

Алгоритм обратного распространения ошибки является одним из эффек­тивных обучающих алгоритмов [130]. По существу он представляет собой минимизационный метод градиентного спуска. Рассмотрим алгоритм обратного рас­пространения ошибки для нейронной сети с одним скрытым слоем. Предположим, что имеется A исходных примеров:

          = ,             (2.21)

где  — вектор желаемых выходов сети, соответствующий входному вектору .

Инициализируем вектор весов Ω случайным образом.

Теперь нужно осуществ­ить настройку весов сети с помощью процесса обучения. Для a-го примера выходы скрытых нейронов будут определяться выражениями:

,                                (2.22)

а выходы всей нейросети — выражениями:

                                                                                           (2.23)

В выражениях (2.22) и (2.23), F() — функция активации, например, сигмоидная функция.

Функционал квадратичной ошибки сети для данного входного образа имеет вид:

                                           (2.24)

Данный функционал подлежит минимизации. Классический градиентный метод оптимизации состоит в итерационном уточнении аргумента согласно формуле:

            ,                       (2.25)

где h — коэффициент скорости обучения 0<η<1.

Параметр η имеет смысл темпа обучения и выбирается достаточно малым для сходимости метода.

Функция ошибки в явном виде не содержит зависимости от веса , поэтому воспользуемся формулами неявного дифференцирования сложной функции:

                    (2.26)

Производная сигмоидной функции выражается только через само значение функции. Таким образом, все необходимые величины для подстройки весов выходного слоя получены.

Выполняется подстройка весов скрытого слоя:

                          (2.27)

Вычисляются производные функции ошибки:

           (2.26)

При вычислении d здесь и был применен принцип обратного распространения ошибки: частные производные берутся только по переменным последующего слоя. По полученным формулам модифицируются веса нейронов скрытого слоя.

Вычисления (2.22)-(2.26) повторяются для всех обучающих векторов. Обучение завершается по достижении малой полной ошибки или максимально допустимого числа итераций.

Сходимость метода обратного распространения весьма медленная. Невысокий темп сходимости является особенностью всех градиентных методов, так как локальное направление градиента отнюдь не совпадает с направлением к минимуму. Подстройка весов выполняется независимо для каждой пары образов обучающей выборки. При этом улучшение функционирования на некоторой заданной паре может приводить к ухудшению работы на предыдущих образах.

Несмотря на то, что алгоритм обратного распространения ошибки доста­точно прост, он требует обычно тысячи итераций для обучения нейросети. Если требований к точности нет, то следует использовать первый способ (2.14)-(2.20).

Для определения весов входов нейронов второго слоя, а также третьего слоя производственного сегмента нейронной системы обучение не требуется. Значения весов, в силу равнозначности положения всех производителей на рынке, выбираются равными. Никто из них не занимает по условию совершенной конкуренции привилегированного положения. Эти же принципы применимы и к товарам.

По аналогии определяются веса нейронной подсистемы потребительского сегмента рынка.

Главным этапом применения предложенной нейронной системы является процесс ее непосредственной эксплуатации. Цель этого этапа заключается в решении основной задачи — определении характеристик товара, обеспечивающих его производителю конкурентные преимущества и удовлетворяющего запросы потребителей.

Введение в нейронные сети. Общая постановка задачи. Персептрон. Функции активации нейронов.

Общая постановка задачи

В общем случае задача программирования нейронной сети — это разработать такую нейронную сеть, которая по входу X, будет выдавать правильные ответы Y.

Входом в нейронную сеть могут быть:

• сырые данные, например, звук или фотография.
• либо уже заранее обработанные данные алгоритмом, которые по входу X выдаст признаки (feauture), которые будут передаваться нейронной сети. Данные признаки могут быть определены другой нейронной сетью.
• и т.п.

Выходом могут являться:

• Ответ да или нет.
• Номер категории, к которой принадлежат входные данные.
• Картинка, изображение, звук.
• и т.п.

Задача программиста:

1. определить что будет считаться входом в нейронную сеть, а что выходом.
2. в каком формате будет принимать нейронная сеть данные.
3. структурировать и привести в единую форму входные и выходные данные.
4. определить признаки данных, которые могут быть дополнительно поданы на вход в нейронную сеть.
5. определить количество слоев нейронной сети.
6. определить дополнительные алгоритмы в архитектуре нейронной сети, как отдельные слои.
7. создать и разметить DataSet, на котором будет проходить обучение нейронная сеть.
8. создать правильную архитектуру нейронной сети.
9. обучить нейронную сеть и проверить ее на контрольной выборке.
10. внедрить полученную нейронную сеть.

Размеченный DataSet ((D)) — это набор данных и известных ответов к ним. По этому датасету обучаются нейронные сети. При этом датасет делится на две части. Обучающий и контрольный. По обучающему датасету нейронная сеть учится, а по контрольному тестируется. Важно, чтобы данные контрольного датасета не попадали в обучающий, иначе нейронная сеть просто заучит правильные ответы.

Правильным результатом считается, когда нейронная сеть наименьше всего ошибается на обоих дата сетах. Берутся ответы нейронной сети и сравниваются с правильными. Чем меньше ошибка, тем лучше работает нейронная сеть.

Функцией ошибки ((Q)) называется разница между правильными ответами и ответами, которая выдает нейронная сеть на обучающем и контрольном датасете.

Обучение по размеченному датасету называется обучением с учителем. Есть также другие варианты обучения. Например, без учителя. В данном случае правильные ответы отсуствуют и нейронная сеть должна найти их сама. Эта задача хорошо подходит, например, для нахождения общих признаков на большом количестве данных.

Математикой обучения занимаются алгоритмы популярных библиотек TensorFlow, Keros.

Ахитектурой нейронной сети ((F)) — называется цепочка, последовательность слоев этой сети.

Архитектура нейронных сетей может быть разной формы и длины, состоять из нескольких последовательных или паралельных слоев или других цепочек.

Слой — это набор персептронов или определенный алгоритм, который преобразует, по некоторому принципу, входные сигналы p в выходные p’.

Создание архитектуры нейронной сети напоминает конструктор лего, где программист опытным путем подбирает правильный порядок слоев в архитектуре нейронной сети, чтобы она на выходе выдавала правильный результат и значение функии ошибки стремилось к нулю (Q(F, D) to 0)

Каждый слой выполняет определенную функцию. Слои могут отличаться друг от друга.

Примеры слоев:

• простой слой персептронов.
• сверточный слой.
• слой конвертации изображения из двухмерной картинки в одномерный вектор.
• нахождение максимума или минимума.
• фильтрация значения по критерию
• измененя яркости или контрастности.
• удаления или добавление шума.
• Max Pooling и Average Pooling.
• и т.п.

Архитектура нейронной сети может быть иерархической.

Математическое описание задачи обучения с учителем

Дано:

(X) — это входные тестовые данные. Вектор вида ((x_1, x_2, x_3, … , x_n))
(Y) — выходные тестовые данные. Вектор вида ((y_1, y_2, y_3, … , y_k))
(D) — это обучающая выборка, множество кортежей вида ((X_i,Y_i)), множество входных значений и ответов к ним (выходных значений), где для каждого (X_i) известно (Y_i).
(n) — длинна вектора (X)
(k) — длинна вектора (Y)
(m) — размер выборки, количество кортежей в множестве (D)

Требуется:

Найти функцию (F), которая (Y approx F(X))

Обозначим функцию потерь как:

(L(F,X_i)=|Y_i — F(X_i)|)

Эта функция означает, насколько ошибается функция (F) на конкретном примере ((X_i,Y_i)).

Функция (Q), будет называться функцией ошибки (F) на множестве (D) и определена как сумма всех значений функции (L)

(Q (F) = frac{ sum_{i=1}^{m} L(F,X_i) } {m})

Функция (F) и ее веса будут найдена при условии (Q(F) to 0) 

Есть разные варианты формул ошибки:

Абсолютная ошибка:

(Q (F) = frac{ sum_{i=1}^{m} |Y_i — F(X_i)| } {m})

В Tenzorflow loss=’mean_absolute_error’

Среднеквадратическая ошибка:

(Q (F) = frac{ sqrt {sum_{i=1}^{m} (Y_i — F(X_i))^2} } {m})

В Tenzorflow loss=’mean_squared_error’

Математическая модель нейрона

Нейрон — это атом нейронной сети. У каждого нейрона есть несколько входов и один выход.

Ниже представлена математическая модель одного нейрона.

Основная задача нейрона проводить сигнал или гасить его в зависимости от входных значений.

Выходной сигнал нейрона считается как сумма входных значений, умноженная на их веса плюс базис, обработанная функцией активации.

(y = a(sum_{i=1}^{n} omega_i * x_i + beta))

(a(v)) — функция активации нейрона. Функция активации нейрона нужна, чтобы определить при каких входных значениях должен активироваться (включаться) нейрон, т.е. проводить сигнал. А при каких нет. Нейрон включается, если достигается нужный уровень сигнала, после этого нейрон передает сигнал дальше. Поэтому функция и называется функцией активации.

(omega_i) — вес нейронной связи. Задает какой входящий сигнал и с какой силой должен учитываться, а какой нет.

(beta) — смещение bias. Это пороговое значение, которое смещает аргумент активационной функции, потому что активация (включение) нейрона может происходит не в точке 0, а в какой-то другой точке. А т.к. функция активации работает в точке ноль, то аргумент нужно сместить по оси x на смещение bias.

Ниже отображена функция активациции со смещением bias. На графике видно, что нейрон будет включаться после аргумента функции больше 2, а не больше 0. Смещение bias в данном случае равно +2.

Смещение bias также является входом в нейронную сеть, для которого подбирается свой вес. Этот вес и является смещением. Обычно вес смещения является нулевым весом (omega_0), при входном сигнале равным 1. Получается само смещение вычисляется по формуле (beta = omega_0 *1)

Тогда формула активации нейрона примет вид:

(y = a(omega_0 + sum_{i=1}^{n} omega_i * x_i))

Это удобно, потому что в данном случае формула принимает одинаковый вид, и для обучения нейрона требуется подобрать кортеж весов ((omega_0, omega_1, omega_2, omega_3, … , omega_n))

Функция ошибки и активации являются важными параметрами архитектуры нейронной сети.

Однослойный персептрон

Архитектура нейронной сети состоит из последовательности слоев, которые соединены между собой. 

Нейронная сеть состоящая только из входных и выходных слоев называется однослойным персептроном и обозначается упрощенно:

Данная нейронная сеть очень простая. Однослойный персептрон называют более простым термином полносвязный слой. В библиотеке Tensorflow полносвязный слой создается через класс Dense.

Многослойный персептрон

Данный вид нейронной сети имеет следующие названия:

• нейронная сеть с прямой связью
• Feed Forward neural network
• полносвязная сеть
• классификатор

Полносвязная сеть используется очень часто, и хорошо решают задачи на классификацию, например:

1. Распознать какая цифра по ее изображению.
2. Отличить кошку от собаки.
3. Определить какой цветок, по его параметрам (цвет, форма цветка, длинна и т.д.)
4. и т.п.

Во сверточных нейронных сетях, полносвязная сеть используется как классификатор на выходе. Сверточная сеть выделяет признаки по картинке и передает ее в полносвязную. А полносвязная уже квалифицирует и выдает ответ.

Многослойный персептрон (полносвязная сеть) — это последовательность полносвязных слоев однослойных персептронов. Основным отличием многослойного персептрона от одногослойного — в наличии одного или более скрытого слоя. Входные и выходные значения соединяются через скрытый слой, а не напрямую, как в однослойном персептроне.

Желтым обозначены входной слой X.

Красным — выходной слой нейронов Y.

Зеленый — это скрытый слой нейронов.

Каждый выход нейрона вычисляется по формуле:

(p’_j = a(omega_0 + sum_{i=1}^{n} omega_i * p_i)), где p — это входные значения, а p’ — это выходные значения нейрона.

В данной нейронной сети 3 слоя. Входной, скрытый и выходной слой. Данную нейронную сеть часто обозначают упрощенно:

Feed Forward neural network

Текстовая нотация Feed Forward:

ff = [
  "Input",
  "Dense",
  "Output"
];

Многослойный персептрон с более чем одним скрытым слоем называют Deep Feed Forward.

Текстовая нотация Deep Feed Forward:

dff = [
  "Input",
  "Dense",
  "Dense",
  "Output"
];

Функции активации нейрона

Пороговая функция активации

(sign(x) = begin{cases} -1 & ,x < 0 \ 0 & ,x = 0 \ 1 &, x > 0 end{cases})

Сигмоида sigm

(sigm(x) = frac{1}{1+e^{-x}})

relu

(relu(x) = max(0,x) = begin{cases} 0 , x leq 0 \ x , x > 0 end{cases})

leaky relu

(lerelu(x) = begin{cases} 0.01x & ,x leq 0 \ x &, x > 0 end{cases})

Материалы

1. Обучение многослойного персептрона операции XOR
2. Материалы для самостоятельного изучения нейронных сетей
3. Базы датасетов для обучения нейронных сетей
4. AIML-4-1 Персептроны
5. AIML-4-2 Метод обратного распространения ошибки
6. Формулы обратного распространения
7. Архитектуры нейронных сетей
8. Сервис чтобы строить графики
9. Ускорение обучения, начальные веса, стандартизация, подготовка выборки
10. Переобучение — что это и как этого избежать, критерии останова обучения
11. Функции активации, критерии качества работы НС
12. Функции активации. Краткий обзор применений CNN и RNN.
13. Playground Tensorflow