Показатели качества сау
Количественные оценки
качества, так называемые прямые показатели
качества, определяются по кривой
переходного процесса (рис.16).
Рис.16. Переходная
функция и показатели качества
Используются следующие
прямые показатели качества:
-
величина
перерегулирования
,
;
характеризует
максимальное отклонение регулируемой
величины от ее установившегося значения,
которое может быть определено в
соответствии с теоремой о конечном
значении оригинала
;
-
время
переходного процесса или время
регулирования tp
– наименьшее значение времени, после
которого имеет место неравенство
,
где
— заданная величина, обычно лежащая в
пределах =0,02÷0,05;
3)
статическая ошибка сm
–
величина отклонения установившегося
значения регулируемой величины x()
от требуемого значения
N
или
,
гдеE(p)– изображение ошибки;
4)
время регулирования tр
– промежуток времени, по истечении
которого регулируемая величина первый
раз достигает установившегося значения.
Для определения
качества системы могут использоваться
и другие показатели, соответствующие
решаемой задаче, например, число колебаний
регулируемой величины за время
регулирования, частота и период колебаний
и т.д.
Во всех случаях
необходимо построить переходную функцию.
Коэффициенты ошибок
Точность САУ в
установившемся режиме, при относительно
медленно изменяющихся воздействиях,
может быть оценена с помощью коэффициентов
ошибок. Изображение ошибки определяется
выражением
,
где
—
передаточная функция по ошибке.
Разложим передаточную
функцию системы по ошибке в степенной
ряд в окрестности точки p=0.
Отметим, что приp0,tи именно
поэтому мы говорим о точности в
установившемся режиме.
Обозначим:
и получим
,
(8)
.
Учитывая, что оператор
p, умноженный на
изображение самой величины, является
символом дифференцирования, можно для
оригиналов записать
.
(9)
Выражение (9) определяет
зависимость ошибки регулирования от
различных составляющих входного
воздействия, коэффициенты Kiполучили название коэффициентов ошибок:
-
K0— коэффициент ошибки по положению;
-
K1—
коэффициент ошибки по скорости; -
K2– коэффициент ошибки по ускорению и
т.д.
Из (8) следует, что
.
Численные значения
коэффициентов ошибок определяются из
этого выражения при p0.
.
Очевидно, что К0=Ф(0).
Входное воздействие
можно представить в виде степенного
ряда
,
где g0– постоянная величина, характеризующая
начальное значение, g1=const – скорость
изменения входного воздействия, g2=const – ускорение и т.д.
Тогда
.
Пусть передаточная
функция разомкнутой системы имеет вид
,
где - порядок астатизма системы. Для
передаточной функции замкнутой системы
по ошибке получим
.
Изображение ошибки
запишется в виде
.
Отсюда следует, что
если порядок астатизма больше порядка
старшей производной воздействия, т.е.
>m, то ошибка в
установившемся режиме будет равна нулю.
Если=m, то установившаяся
ошибка будет равна постоянной величине,
называемой статической ошибкой. И если<m, то при tи. В отношении
коэффициентов ошибок последнее выражение
позволяет сделать следующие выводы.
1). Если система
статическая, т.е.=0,
то существуют все составляющие ошибки
и все коэффициенты ошибок не равны нулю,
т.к.К0 = Ф(0)
0.
2).Система с астатизмом
1-го порядка,
=1, не имеет ошибки по положению иК0=0.
3).Система с астатизмом
2-го порядка,
=2, не имеет ошибок по положению и по
скорости иК0 =0,К1=0.
Этот список можно
продолжить. Таким образом, повышение
порядка астатизма повышает точность
системы в установившемся режиме. Но
повышение порядка астатизма снижает
запасы устойчивости, т.к. введение
интегрирующих звеньев увеличивает
фазовое запаздывание (снижает частоту
). Поэтому на
практике порядок астатизма выше второго
не применяют, а чаще всего ограничиваются
астатизмом первого порядка, используя
для повышения точности другие способы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Как отмечалось, ошибка САУ в установившемся режиме является одним из показателей качества системы. В случае медленно изменят ющихся задающего или возмущающего воздействий ошибку системы в установившемся режиме удобно определять с помощью коэффициентов ошибок.
Ошибка следящей системы 
вызываемая изменением задающего воздействия а 
в соответствии с (2.61), может быть определена
с помощью передаточной функции системы по ошибке 
Предположим, что 
можно разложить в степенной ряд относительно 
сходящийся, по крайней мере, при малых значениях 
Тогда, согласно (4.22), можно записать
Этот ряд сходится в окрестности точки 
Поэтому будет сходиться и оригинал ряда (4.24) при 
т. е. ряд, в который можно разложить ошибку системы в установившемся режиме:
Отсюда видно, что в общем случае ошибка системы в установившемся режиме состоит из ряда слагаемых, пропорциональных как входному сигналу 
так и его производным. Слагаемые, входящие в ряд ошибок, обычно называют так: 
— ошибкой по положению (по сигналу); 
— ошибкой, вызываемой скоростью; 
— ошибкой, вызываемой ускорением задающего воздействия и т.д., а постоянные 
— коэффициентами ошибок. Ошибки в установившихся режимах, вызываемые изменяющимся задающим воздействием, называются динамическими. Зная коэффициенты ошибок и закон изменения задающего воздействия а 
с помощью формулы (4.25) можно определить ошибку системы в установившемся режиме.
Коэффициенты ошибок выразим через параметры системы. Передаточная функция системы по ошибке связана с передаточной функцией 
разомкнутой системы выражением
Учитывая, что передаточная функция системы с астатизмом 
порядка в разомкнутом состоянии имеет вид
где 
передаточная функция по ошибке в соответствии с выражением (4.26) будет равна:
где 
коэффициенты с равны сумме коэффициентов 
при одинаковых степенях 
При 
(статическая система):
При 
(астатическая система с астатизмом 
порядка):
На основании (4.23) и (4.27) можно записать
откуда
Раскрывая скобки в правой части полученного выражения и приравнивая коэффициенты правой и левой частей при одинаковых степенях 
можно получить систему уравнений, из которой затем можно определить коэффициенты ошибок через коэффициенты с и о уравнения САУ. Значения коэффициентов ошибок будут различными для систем с различными порядками астатизма. Найдем сначала коэффициенты ошибок для статической системы 
Приравнивая члены левой и правой частей выражения (4.31) при одинаковых степенях 
и учитывая, что 
получаем следующую систему уравнений:
из которой можно определить коэффициенты ошибок для статической системы. Из первого уравнения находим 
или, если принять во внимание, что 
а также, что для случая 
в соответствии с формулой 
то 
Из второго уравнения находим
Аналогично можно определить и другие коэффициенты ошибок.
Таблица 4.3. (см. скан) Коэффициенты ошибок статической и астатических систем
Коэффициенты ошибок астатической системы с астатизмом первого порядка могут быть найдены из системы уравнений, полученной из выражения (4.31) приравниванием коэффициентов его левой и правой частей при одинаковых степенях 
при учете, что 
Из первого уравнения 
из второго уравнения с учетом (4.29):
Аналогично определяются остальные коэффициенты ошибок.
В табл. 4.3 приводятся несколько первых коэффициентов ошибок Для статической и астатических систем первого и второго порядков астатизма. В качестве примера определим установившиеся ошибки САУ, обладающих различными порядками астатизма при разных задающих воздействиях.
Пример 3. Задающее воздействие изменяется по закону ступенчатой функции а 
(табл. 4.4). Определить установившиеся ошибки в следящих системах, имеющих порядок астатизма 
1. Определяем производные 
Таблица 4.4. Характер реакций систем на различные задающие воздействия
2. С учетом (4.34) выражение (4.25) для ошибки принимает вид
т. е. при ступенчатом воздействии появляется только ошибка по положению.
3. Для определения 
в статической системе 
подставляем из табл. 4.3 значение 
в формулу (4.35): 
т. е. при ступенчатом задающем воздействии в статической системе возникает постоянная ошибка по положению. Эта ошибка при данном 
будет тем меньше, чем больше 
системы.
4. Установившиеся ошибки в астатических системах с астатизмом 
порядка 
и с астатизмом 2-го порядка 
т. е. ошибка по положению, а следовательно, и вся установившаяся ошибка в астатических системах при ступенчатом задающем воздействии равна нулю.
Реакции следящих систем с порядками астатизма 
на ступенчатое задающее воздействие изображены в табл. 4.4.
Пример 4. Задающее воздействие изменяется по закону а 
(см. табл. 4.4). Определить 
в следящих системах с порядком астатизма 
1. Определяем производные от 
Учитывая, что вторая и более высокие производные от а 
равны нулю, формула (4.25) примет вид
т. е. при линейно возрастающем задающем воздействии возможно появление в системе динамических ошибок по положению и по скорости.
3. Для определения 
в статической системе 
подставляем из табл. 4.3 значения 
в формулу (4.36):
т. е. в статической системе имеются ошибки по положению и по скорости. Ошибка
по положению при изменении задающего воздействия с постоянной скоростью возрастает во времени и поэтому 
системы стремится к бесконечности.
4. Установившаяся ошибка астатической системы с астатизмом 
порядка 
т. е. в системе с астатизмом 
порядка ошибка по положению равна нулю (так как 
Скоростная ошибка постоянна. Она пропорциональна скорости 
изменения задающего воздействия и обратно пропорциональна коэффициенту усиления системы в разомкнутом состоянии 
Выражение (4.37) для скоростной ошибки, полученное с помощью коэффициентов ошибок, совпадает с ранее полученной формулой (2.75).
5. Установившаяся ошибка астатической системы с астатизмом 
порядка 
т. е. в системе с астатизмом 
порядка 
при изменении 
с постоянной скоростью равна нулю. Это объясняется тем, что коэффициенты ошибок 
, следовательно, ошибка по положению и по скорости в этой системе равны нулю.
Реакции следящих систем на задающее воздействие а 
изображены в табл. 4.4.
Пример 5. Задающее воздействие 
где 
— начальное значение 
— начальное значение скорости изменения а 
— ускорение а 
Определить 
в следящих системах с порядками астатизма 
1. Определяем производные от а 
2. С учетом (4.38) выражение (4.25) принимает вид
т. е. при равноускоренном изменении задающего воздействия возможно появление в системе динамических ошибок по положению, скоростной ошибки и ошибки по ускорению.
3. Установившиеся динамические ошибки:
в статической системе 
в астатической системе с астатизмом 
порядка 
т. е. при равноускоренном изменении задающего воздействия в системе с астатизмом 
порядка 
растет во времени до бесконечности;
в астатической системе с астатизмом 
порядка 
постоянна. Она пропорциональна ускорению 
и обратно пропорциональна 
системы.
Реакции систем на задающее воздействие 
изображены в табл. 4.4,
Точность САУ
План 1 Общие положения 2 Понятие о типовых режимах САУ 3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок 4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах 5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок) 6 Методы повышения точности САУ
1 Общие положения Точность является важнейшим критерием качества систем. В настоящее время практически все многочисленные элементы любых технических систем изготавливаются автоматически т. е. с помощью САУ. Таким образом точность САУ определяет качество продукции, товаров, их надежность, энергопотребление, долговечность и т. д. и т. п.
2 Понятие о типовых режимах САУ Точность САУ принято оценивать по величине ошибок в типовых режимах. Типовыми называются режимы просто описываемые математически и имеющие четкий физический смысл. К ним относятся: — режим покоя, когда х(t)=const; — режим линейно-нарастающих сигналов, когда х(t)=a*t, где а=const; — режим гармонических входных сигналов, когда х(t)=A*sinωt.
ε Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при типовых режимах и по ней можно будет судить о точности САУ.
3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок Сформулируем для этого теорему о предельном значении оригинала: lim. X(t)=lim. X(s), t→ ∞ s→ 0 т. е. предел оригинала при t→∞ равен пределу изображения по Лапласу при s→ 0.
Передаточная функция САУ по ошибке: Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞) ошибку САУ нужно: — Найти x(s) зная x(t) — Определить Fε(s) — Найти ε(s)= X(s) * Fε (s) — Определить εуст= lim ε(s) S→ 0
4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах Рассмотрим ошибки САУ в типовых режимах: 1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка) X(t)=X 0=const X(s)=X 0 Пусть — статическая САУ, поскольку в знаменателе нет множителя S, т. е. интегрирующего элемента в системе
По теореме о предельном значении аргумента (1) Подставляя Wp(s) в (1) получим:
Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины. y(t) X 0 εст t
Пусть теперь — астатическая САУ (есть интегратор, т. е. множитель S в знаменателе передаточной функции)
Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0 y(t) X 0 εст=0 t
2. Второй типовой режим — движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка) x(t)=at a=cost Пусть: — статическая САУ Тогда:
x(t)=at εα→∞ y(t) α t tgα=a Ошибка в статической САУ при линейнонарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞. Т. о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.
Пусть теперь — астатическая САУ Тогда
x(t) y(t) t Т. о. в астатических САУ при x(t)=at a=const устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т. е. они работоспособны в таких режимах.
3. Третий режим — гармонических входных сигналов. Пусть x(t)=xmsinωkt xm, ωk – амплитуда и частота “качки”. x(s) ε(s) Wp(S) y(s)
Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме. Для этого найдем: — ПФ САУ по ошибке Подставим S=jωk (1)
Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т. е. Откуда следует: (2) Ак 20 lg xm L(ω) Прологарифмируем (2): em ω ω=ωk Ак – контрольная точка (3)
Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если
Т. о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп необходимо: 1. Определить положение контрольной точки Ак с координатами: ω=ωк и 2. Обеспечить прохождение L(ω) выше контрольной точки Ак
5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок) Пусть на вход САУ действует сигнал x(t) произвольной формы. Чтобы определить ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее изображение. x(s) ε(s) Wp(S) y(s)
Поскольку: (1) То: (2) Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в виде: (3)
При нулевых начальных условиях и переходя в (3) к оригиналам можно записать (4) Величины С 0, С 1, С 2 … называются коэффициентами ошибок САУ.
Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо: 1. Определить передаточную функцию САУ по ошибке Fε(s); 2. Разложить в ряд Fε(s) путем деления ее числителя на знаменатель и найти коэффициенты С 0, С 1, С 2 …; 3. Подставить коэффициенты ошибок в (4) и найти установившуюся ошибку ε(t).
Пример Найти ошибку в САУ при: Если:
Решение: 1. Найдем
2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель — —
Ограничимся первыми тремя членами ряда, т. к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.
3. Итак: (5) Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок: С 0=0 (6)
4. Определим далее производные от X(t): (7)
5. Подставляя коэффициенты С 0, С 1, С 2… и производные (7) в (4) получим: Т. е. ошибка с течением времени будет нарастать до ∞ из-за члена “bt”.
6 Методы повышения точности САУ Анализируя выражения для коэффициентов ошибок отметим, что: 1. Все коэффициенты обратнопропорциональны коэффициенту К – усиления системы; 2. Чем выше порядок астатизма “v” тем большее количество первых коэффициентов ошибок равны 0
ВНИМАНИЕ Порядок астатизма “v” определяется числом интегрирующих звеньев в контуре системы. Формально “v” равно показателю степени множителя S в знаменателе передаточной функции wp.
1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К Т. о. самым универсальным способом повышения точности САУ являются увеличение коэффициента К усиления системы. При этом все коэффициенты ошибок уменьшаются, а это означает, что система во всех режимах работы будет иметь меньшие ошибки. Однако этот способ снижает запасы устойчивости системы и рано или поздно приводит к полной потере устойчивости. Это можно показать на примере критерия Найквиста.
Im K 2>K 1 К 2 -1; j 0 wp(jω) Re
2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v” Этот способ исключает первые коэффициенты в ряду ошибок. Действительно: v=0 (статическая САУ) Все коэффициенты не равны 0, т. е. с0≠ 0 с1≠ 0 с2≠ 0 …, т. е. статическая система в любых режимах работы, в т. ч. и в покое будет иметь ошибки
v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка) с0=0 с1≠ 0 с2≠ 0 …, т. е. такая система не будет иметь ошибки в режиме покоя. v=2 (астатическая САУ с астатизмом второго порядка) с0=0 с1=0 с2≠ 0 с3≠ 0 …, такая система не будет иметь ошибок не только в режиме покоя, но и при линейнонарастающем сигнале
К сожалению, этот способ также снижает запасы устойчивости САУ. Действительно: Im v=2 Re -1; j 0 v=1 По критерию Найквиста системы при v=0, v=1 могут быть как устойчивыми так и не устойчивыми, но при v=2 они становятся не устойчивыми при любых коэффициентах К.
3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления. Принцип комбинированного управления состоит в том, что в дополнение к принципу обратной связи реализуется принцип управления по возмущению. V(t) Измеритель x(t) y(t) Регулятор Объект
Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа: — Управление по возмущению (за счет измерения возмущения v(t) и выработки дополнительного управляющего сигнала компенсирующего действия возмущения); — Управление по отклонению или принцип обратной связи реализуется за счет главной отрицательной обратной связи и сигнала рассогласования и регулятора.
Рассмотрим следящую систему с комбинированным управлением и найдем передаточную функцию обычной системы эквивалентной по точности. W 3(S) x(s) W 1(s) W 2(S) y(s) ≡ Wэ(S)
Для этого приравняем их передаточные функции. (1)
Из (1) после некоторых преобразований можно получить: (2) Как видно из последнего выражения, при: (3) wэ(s)=∞ Условие (3) называется условием полной инвариантности.
Это означает, что ошибка рассматриваемой комбинированной следящей системы будет равна 0 в любых режимах работы поскольку:
Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не ухудшает) устойчивости и качества переходных процессов. Однако, реализовать точно условие полной инвариантности практически невозможно.
ПРИМЕР Пусть: Найдем:
Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид: III II I x(s) w 1(s) y(s)
Итак, чтобы точно реализовать условие полной инвариантности в нашем примере необходимо: • реализовать канал I (тахогенератор) • реализовать канал II (это 2 -ая производная от угла) • реализовать канал III (это 3 -ая производная от угла) Точно это сделать практически нельзя. Кроме того, в реальных САУ имеется множество нелинейностей, которые мы не учитывали при выводе условия полной инвариантности. Поэтому часто используют частично-инвариантные САУ, т. е. САУ не имеющие ошибок лишь в некоторых режимах.