Теория ошибок измерений презентация

результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за единицу

Виды измерений и погрешностей

исследуемая величина измеряется как функция по результатам измерения других величин

Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности – по массе и объему

Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой величины к величине играющей роль единицы или к величине, принимаемой за исходную

При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске
(по принципу «да/нет»)

приборами и с одинаковой степенью тщательности.
При этом в ряду измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям

Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям

большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают избыточную информацию

Надежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений
Под точностью измерений понимают степень соответствия результата измерения действительному значению измеряемой величины

оценить ошибки (погрешности) измерений

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины

на измеряемую величину.
Например, если тензосопротивление плохо наклеено на упругий элемент, то деформация его решетки не будет соответствовать деформации упругого элемента

Второй источник – измерительное устройство, в котором возможны погрешности из-за неправильного функционирования его механических или электрических элементов

считывает показания прибора

Ошибки могут возникнуть из-за влияния измерительного устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе контроля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методических погрешностей, допущенных экспериментатором

случайные, заранее конкретно неизвестные значения.
Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду как объективных, так и субъективных факторов, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено.

Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок: случайных, систематических и грубых

и теми же измерительными приборами. Исключить случайные погрешности нельзя. Можно только оценить их значение

Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей

многократном повторении одних и тех же измерений с помощью одних и тех же измерительных приборов

В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, P=(1000±0,1) г

или резко изменившимися внешними условиями

Грубые погрешности приводят к явному искажению результата, поэтому их надо исключить из общего числа измерений

значением:

где x – результат измерения; a – истинное значение

По форме числового представления погрешности делятся на абсолютные и относительные

Относительная погрешность – это погрешность, приходящаяся на единицу измеренной величины; обычно выражается в процентах

раз

Случайные погрешности и их распределение

Если каждое измерение дает заметные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль

ее среднее значение

Разброс измеряемой величины относительно ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения

рассматривают как случайные величины

Пусть в эксперименте в результате независимых и равноточных измерений постоянной величины получены значения х1, х2, …, хn

Независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин , а равноточность – как подчинение величин одному и тому же закону распределения (кроме того измерения сделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности)

измерений обычно берут среднее арифметическое результатов измерений

Дисперсия отдельных измерений

обычно неизвестна, и для ее оценки используется величина

оценки вычисляется величина  

называется коэффициентом вариации

Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин

но разных знаков встречаются одинаково часто;

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин погрешностей

величин X и Y, результаты измерений которых независимы.

Закон сложения случайных ошибок

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

Для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Выводы:

В первую очередь стоит уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину

Относительная погрешность суммы

результата, деленная на корень квадратный из числа измерений:

– средняя квадратичная погрешность отдельного измерения

и Y, результаты измерений которых независимы.

Тогда ее относительная погрешность

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:

Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле

Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования

Закон сложения случайных ошибок

число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:

Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле

Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования

введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов. Чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде

находят величину

погрешности

Ортогональный план

Ортогональный план 2-ого порядка

Тогда уравнение регрессии

В итоге уравнение регрессии преобразуется к виду

следующим формулам

где i ≠ k

регрессии используют следующие выражения

Коэффициент bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера

где i ≠ k

описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α.

Метод ротатабельного центрального композиционного планирования

Это план, у которого точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах)

Точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая, что позволяет наилучшим образом извлечь максимальное количество (несмещенной) информации из плана

оценок дисперсий находят следующие константы

где n – число факторов; N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана

На основании результатов эксперимента вычисляют след. суммы

(где i=1,2,…,n),

(где i ≠ k),

(где i=1,…, n)

bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии

(где i=1,2,…,n)

(где i≠k)

свободы

Проверку адекватности уравнения регрессии осуществляют с помощью критерия Фишера

эксперимента приведены в таблице

опытов вычислим вспомогательные суммы

Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам

центре плана

Эта величина найдена при числе степеней свободы

Оценки дисперсий в определении коэфф. регрессии

и

Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим соотнош.

Все коэффициенты регрессии значимы. Вычисляем оценку дисперсии адекватности

Фишера

Из таблицы значений критерия Фишера соответствующее значение критерия . Условие выполнено, следовательно, уравнение регрессии

адекватно представленным результатам эксперимента

Перейдем в уравнение регрессии от кодированных переменных к физическим

Пусть в нашем примере кодированные переменные X1 и X2 представляют собой температуру и концентрацию, причем координаты центра плана
x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования Δx1= 5°С и Δх2= 1% . Тогда

к виду

Пользуясь таким уравнением, исследователь избавляется от необходимости переводить всякий раз условия опыта в кодированные переменные

2-ого порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности

Планы 1-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения

Планы 2-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов

(переменные)
Обеспечивается возможность независимого изменения каждого из факторов и поддержание его на определенном уровне
Для каждого фактора указывается интервал (+/-), в пределах которого ставится исследование

представление

Уравнением регрессии

каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену)

2. Свойство нормирования – сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов

3. Свойство ортогональности – скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю

i = номер фактора, j – номер опыта

оценки b коэффициентов

Получаем

(например, процесс носит нелинейный характер)
Каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях – полный эксперимент содержит 3^k (k – количество факторов) опытов.

План 2-ого порядка при k=2 n=1

Опыты проводятся
В «крайних точках» — как в планировании 1-ого порядка
В «звездных точках» — xi=(+/-)a, xj=0, 1,…,n; 1,…,n; i!=j
В «центре» — xi=0, j=1,2,3,…,n

Уравнение регрессии для эксперимента с 2-мя факторами

результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за единицу

Виды измерений и погрешностей

исследуемая величина измеряется как функция по результатам измерения других величин

Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности – по массе и объему

Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой величины к величине играющей роль единицы или к величине, принимаемой за исходную

При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске
(по принципу «да/нет»)

приборами и с одинаковой степенью тщательности.
При этом в ряду измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям

Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям

большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают избыточную информацию

Надежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений
Под точностью измерений понимают степень соответствия результата измерения действительному значению измеряемой величины

оценить ошибки (погрешности) измерений

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины

на измеряемую величину.
Например, если тензосопротивление плохо наклеено на упругий элемент, то деформация его решетки не будет соответствовать деформации упругого элемента

Второй источник – измерительное устройство, в котором возможны погрешности из-за неправильного функционирования его механических или электрических элементов

считывает показания прибора

Ошибки могут возникнуть из-за влияния измерительного устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе контроля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методических погрешностей, допущенных экспериментатором

случайные, заранее конкретно неизвестные значения.
Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду как объективных, так и субъективных факторов, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено.

Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок: случайных, систематических и грубых

и теми же измерительными приборами. Исключить случайные погрешности нельзя. Можно только оценить их значение

Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основанной на теории вероятностей

многократном повторении одних и тех же измерений с помощью одних и тех же измерительных приборов

В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или заниженным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, P=(1000±0,1) г

или резко изменившимися внешними условиями

Грубые погрешности приводят к явному искажению результата, поэтому их надо исключить из общего числа измерений

значением:

где x – результат измерения; a – истинное значение

По форме числового представления погрешности делятся на абсолютные и относительные

Относительная погрешность – это погрешность, приходящаяся на единицу измеренной величины; обычно выражается в процентах

раз

Случайные погрешности и их распределение

Если каждое измерение дает заметные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль

ее среднее значение

Разброс измеряемой величины относительно ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения

рассматривают как случайные величины

Пусть в эксперименте в результате независимых и равноточных измерений постоянной величины получены значения х1, х2, …, хn

Независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин , а равноточность – как подчинение величин одному и тому же закону распределения (кроме того измерения сделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности)

измерений обычно берут среднее арифметическое результатов измерений

Дисперсия отдельных измерений

обычно неизвестна, и для ее оценки используется величина

оценки вычисляется величина  

называется коэффициентом вариации

Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин

но разных знаков встречаются одинаково часто;

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин погрешностей

величин X и Y, результаты измерений которых независимы.

Закон сложения случайных ошибок

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

Для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Выводы:

В первую очередь стоит уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину

Относительная погрешность суммы

квадратичными ошибками и , причем, известно, что В два раза меньше, чем . Тогда ошибка суммы будет

результата, деленная на корень квадратный из числа измерений:

– средняя квадратичная погрешность отдельного измерения

и Y, результаты измерений которых независимы.

Тогда ее относительная погрешность

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Тогда можно доказать, что
если , , – дисперсии величин, или

Средняя квадратичная ошибка суммы или разности двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному из суммы дисперсий отдельных слагаемых

число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:

Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле

Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования

Закон сложения случайных ошибок

число так называемых «звездных» точек в факторном пространстве, имеющих координаты (±α, 0, 0, …, 0);
(0, ±α, 0, …, 0), …, (0, 0, …, ±α). Здесь величина α называется «звездным» плечом; 1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, …, 0)

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с различным числом факторов n следующие:

Количество опытов при ортогональном ЦКП определяется по формуле

Эти значения α выбраны из условия ортогональности матрицы планирования

введены для того, чтобы матрица планирования была ортогональна и коэффициенты регрессии определялись независимо друг от друга по результатам опытов. Чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП ищут в следующем виде

находят величину

погрешности

Ортогональный план

Ортогональный план 2-ого порядка

Тогда уравнение регрессии

В итоге уравнение регрессии преобразуется к виду

следующим формулам

где i ≠ k

регрессии используют следующие выражения

Коэффициент bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии. Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется с помощью критерия Фишера

где i ≠ k

описание поверхности отклика по сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного» плеча α.

Метод ротатабельного центрального композиционного планирования

Это план, у которого точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах)

Точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая, что позволяет наилучшим образом извлечь максимальное количество (несмещенной) информации из плана

оценок дисперсий находят следующие константы

где n – число факторов; N – общее число опытов ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана

На основании результатов эксперимента вычисляют след. суммы

(где i=1,2,…,n),

(где i ≠ k),

(где i=1,…, n)

bi, считается значимым, если . Аналогично проверяется значимость остальных коэфф-тов регрессии

(где i=1,2,…,n)

(где i≠k)

свободы

Проверку адекватности уравнения регрессии осуществляют с помощью критерия Фишера

эксперимента приведены в таблице

опытов вычислим вспомогательные суммы

Коэффициенты регрессии рассчитываем по формулам

центре плана

Эта величина найдена при числе степеней свободы

Оценки дисперсий в определении коэфф. регрессии

и

Для проверки значимости коэффициентов регрессии рассмотрим соотнош.

Все коэффициенты регрессии значимы. Вычисляем оценку дисперсии адекватности

Фишера

Из таблицы значений критерия Фишера соответствующее значение критерия . Условие выполнено, следовательно, уравнение регрессии

адекватно представленным результатам эксперимента

Перейдем в уравнение регрессии от кодированных переменных к физическим

Пусть в нашем примере кодированные переменные X1 и X2 представляют собой температуру и концентрацию, причем координаты центра плана
x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования Δx1= 5°С и Δх2= 1% . Тогда

к виду

Пользуясь таким уравнением, исследователь избавляется от необходимости переводить всякий раз условия опыта в кодированные переменные

2-ого порядков. Планы более высоких порядков применяются редко из-за их большой вычислительной сложности

Планы 1-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащее только первые степени факторов и их произведения

Планы 2-ого порядка – это планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащие вторые степени факторов

(переменные)
Обеспечивается возможность независимого изменения каждого из факторов и поддержание его на определенном уровне
Для каждого фактора указывается интервал (+/-), в пределах которого ставится исследование

представление

Уравнением регрессии

каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену)

2. Свойство нормирования – сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов

3. Свойство ортогональности – скалярное произведение всех вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых вектор столбцов) равно нулю

i = номер фактора, j – номер опыта

оценки b коэффициентов

Получаем

(например, процесс носит нелинейный характер)
Каждый фактор варьируется не менее чем на трех уровнях – полный эксперимент содержит 3^k (k – количество факторов) опытов.

План 2-ого порядка при k=2 n=1

Опыты проводятся
В «крайних точках» — как в планировании 1-ого порядка
В «звездных точках» — xi=(+/-)a, xj=0, 1,…,n; 1,…,n; i!=j
В «центре» — xi=0, j=1,2,3,…,n

Уравнение регрессии для эксперимента с 2-мя факторами

Слайд 1

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением какой-либо физической
величины называется операция, в результате

Слайд 2

Виды измерений классифицируются:
– по способу получения результата (прямые и
косвенные);
– по методу

Слайд 3

При прямых измерениях измеряется
непосредственно исследуемая величина
При косвенных измерениях

Слайд 4

Абсолютные измерения – это прямые
измерения в единицах измеряемой величины
Относительные измерения

Слайд 5

Равноточные измерения проводятся в
одинаковых условиях одними и теми же
измерительными приборами

Слайд 6

Избыточные измерения имеют по
сравнению с необходимыми большее число
измерений либо

Слайд 7

Снять показания с прибора – не значит только
измерить. Необходимо еще оценить

Слайд 8

Под истинным значением измеряемой
величины принято считать
– среднюю арифметическую величину ряда

Слайд 9

Основные источники ошибок
Первый источник заключен в датчике,
который неправильно реагирует

Слайд 10

Третий источник – сам наблюдатель,
который из-за неопытности или усталости
неправильно считывает

Слайд 11

Случайная погрешность – это погрешность,
которая в отдельных измерениях может
принимать случайные,

Слайд 12

Случайные погрешности различаются в
отдельных измерениях, сделанных в одинаковых
условиях одними и

Слайд 13

Систематическая погрешность – это
погрешность, вызванная факторами,
действующими одинаковым образом при
многократном

Слайд 14

Грубая погрешность или промах
вызывается просчетом экспериментатора или
неисправностью средств измерения,

Слайд 15

Абсолютная погрешность – это
разность между результатом измерения и
его истинным значением:
где

Слайд 16

Чтобы выявить случайную погрешность
измерений, необходимо повторить измерение
несколько раз Случайные

Слайд 17

Наиболее вероятным значением измеряемой
величины из серии измерений является ее
среднее значение

Слайд 18

Абсолютные погрешности

Слайд 19

В качестве оценки неизвестной величины
по данным измерений обычно берут

Слайд 20

Среднюю квадратическую (стандартную)
погрешность (СКО) находятся по формуле
Величина для ее оценки

Слайд 21

При этом предполагается:
2) при большом числе наблюдений погрешности
равных значений, но

Слайд 22

Эти предположения приводят к закону
распределения погрешностей, описываемому
формулой Гаусса: .
2
1 2
2
2
) (

 
x
e y



Форма кривых

Слайд 23

Известно, что под кривой распределения в
пределах по оси абсцисс от

Слайд 24

2% 2% 14% 34%

Слайд 25

Замечание . В ряде случаев экспериментальные
данные лучше описываются другими законами
распределения

Слайд 26

Пусть измеряемая величина Z является суммой
(или разностью) двух величин X и

Слайд 27

Если Z является суммой не двух, а большего
числа слагаемых, то

Слайд 28

Средняя квадратичная ошибка суммы или
разности двух (или нескольких) независимых
величин равна

Слайд 29

1. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок
в общей ошибке результата .

Слайд 30

Пример: пусть X и Y – два слагаемых,
определенных со средними

Слайд 31

2. Средняя квадратическая погрешность
среднего арифметического равна средней
квадратической погрешности отдельного
результата,

Слайд 32

Пусть измеряемая величина Z является
разностью двух величин X и Y ,

Слайд 33

Невозможно добиться хорошей точности
измерений какой-либо величины, строя
измерения так, что она

Слайд 36

1. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок
в общей ошибке результата .

Слайд 37

1. Необходимо учитывать роль каждой из ошибок в общей
ошибке результата .

Слайд 38

где 2 n
– количество опытов, образующих полный факторный
эксперимент; 2 n

Слайд 41

Если поверхность отклика не может быть описана многочленом
вида

Слайд 42

где 2 n
– количество опытов, образующих полный факторный
эксперимент; 2 n

Слайд 43

Переменные величины
здесь j – номер опыта; i – номер фактора,

Слайд 44

Это план 2-ого порядка после преобразований (*)
Эти преобразования позволяют усреднить случайные
погрешности

Слайд 45

где i ≠ 0 Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП считают по
следующим

Слайд 46

где i ≠ 0 Для расчета оценок дисперсий в определении коэфф —

Слайд 47

Метод ротатабельного планирования эксперимента позволяет
получать более точное математическое описание поверхности

Слайд 48

Ротабельный план 2-ого порядка5 k при 2 и 5 k при 2 (**)
4 1
4     kk  

Слайд 49

При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов
регрессии и соответствующих оценок дисперсий находят

Слайд 50

Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют
следующий вид
где i ≠ k

Слайд 51

Оценки дисперсий в определении коэфф — тов регрессии
вычисляют по следующим формулам

Слайд 52

Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по формуле
С ней связано число степеней свободы
Проверку

Слайд 53

Пример. Рассмотреть ротатабельное ЦКП для двух факторов.
Матрица планирования и результаты эксперимента

Слайд 54

Для нахождения коэффициентов регрессии вычислим
следующие вспомогательные коэффициенты
На основании результатов опытов

Слайд 55

; 7, 66 )] 6, 567 6, 535( 63,1
) 2 2( 81, 0 1, 885[
13
81, 0 5, 0 2
)] ( ) 2 ( [
2
22 11 0 0
  
  
 
     S S C n B S
N
AB
b
89,1
13
) 2, 15 ( 63,1 1
1  

 
N
CS
b
41, 2
13
2, 19 63,1 2
2 

 
N
CS
b 61,1
13 81, 0
) 4, 6 ( ) 63,1(
2
12
2
12  

 
 
BN
S C
b
; 6, 0 }1, 885 81, 0 2
) 6, 567 6, 535 )( 81, 0 1( 63,1 ] 2 ) 2 2( 81, 0[ 63,1 6, 535{
13
63,1 5, 0
} 2 ) )( 1( ] ) 2 ( [ { 0 22 11 11 11
    
      


        BS S S B C n n B C S
N
AC
b
. 4, 3 }1, 885 81, 0 2
) 6, 567 6, 535 )( 81, 0 1( 63,1 ] 2 ) 2 2( 81, 0[ 63,1 6, 567{
13
63,1 5, 0
} 2 ) )( 1( ] ) 2 ( [ { 0 22 11 22 22
  
      


        BS S S B C n n B C S
N
AC
b

Слайд 56

Оценку дисперсии воспроизводимости можно найти на
основании результатов опытов, проведенных в центре

Слайд 57

Пользуясь таблицей значений критерия Стьюдента, находим
для

Слайд 58

Число степеней свободы, связанных с этой оценкой дисперсии
Расчетное значение критерия Фишера

Слайд 59

Подставляя их в полученное в этом примере уравнение регрессии,
преобразуем его

Слайд 60

Планирование активного
эксперимента…
…
1 , 1
2
1
0
1 , 1 , 1
0
    
    
  
  

  
 


 
k
u i
ui
u i iu
k
i
i ii
k
i
i i
k
u j i
ji
u j i iju
k
i i
ui
u i iu
k
i
i i
x x b x b x b b y
x x x b x x b x b b y


При планировании экспериментов чаще всего применяются планы
1-ого и 2-ого

Слайд 61

Планирование первого
порядка
•
В качестве факторов выбираются только
контролируемые и управляемые факторы
(переменные)
•
Обеспечивается

Слайд 62

Представления плана
эксперимента
(на примере эксперимента с 3-мя независимыми
факторами)3 2 1 123
3
1 ,
3
1
0 x x x b x x b x b b y
u i
ui
u i ui
i
i i      

 

Номер
опыта План
Результат
y
x
0

Слайд 63

Свойства матрицы
представления эксперимента





 


n
j
uj ij
n
j
ij
n
j
ij
u i X X
n X
X
1
1
2
1
,0

;
,0
1. Свойство симметричности – алгебраическая сумма элементов

Слайд 64

Определение коэффициентов b
уравнения регрессии   
n
X X X y
b
n
X X y
b
b b b
n
j jjn
j jj jjj
 
  
 
 
  
1 321
1231 21
12 n
1

Слайд 65

Планирование второго
порядка
•
Применяется если
описание функции отклика
первым порядком
получается недостаточным
(например,

Чтобы скачать презентацию — поделитесь ей с друзьями с помощью
социальных кнопок.

Скачать материал

Скачать материал

• Настоящий материал опубликован пользователем Ефремова Марина Викторовна. Инфоурок является
  информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
  методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
  сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

  Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
  сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

  Удалить материал

• 

  • На сайте: 2 года и 1 месяц
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 43725
  • Всего материалов:

    233

измерений
Оценка точности функций измеренных величин
Понятие об уравнивании результатов геодезических измерений

различают:
грубые;
систематические;
случайные.

и приводят к резкому искажению результатов измерений.

Систематическими или регулярными называют ошибки, накапливающиеся по определенному закону с одним знаком. Причины их возникновения должны быть заранее изучены.
Например, заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления и т.д.

Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями, которые неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел, поэтому их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.

называют абсолютной (истинной) погрешностью:
Δ = l – Х.
Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к самой этой величине l называют относительной погрешностью:

величины (l1, l2, …, lп)

(1)

Сложив правые и левые части уравнений (2), получим:

[Δ] = пХ–[ l],

большом числе измерений средняя

арифметическая величина

будет равна истинному значению Х.

определяющее близость их результатов к точному (истинному) значению измеряемой физической величины.
Для оценки точности ряда измерений существует несколько критериев.
1. Средняя ошибка (V).
Среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок называется средней ошибкой, т.е.
V = [|∆i|] ⁄ n ,
где [|∆i|] = |∆1| + |∆2| + … + |∆n|

меньше которого по абсолютной величине ошибки равновозможны.
Если все ошибки расположить в ряд по убывающим или возрастающим значениям абсолютных величин, то вероятная ошибка будет в середине этого ряда. Поэтому вероятную ошибку часто называют срединной.
3. Относительная ошибка равна отношению ошибки измерения к значению измеряемой величины.

из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей:
Формула Гаусса:
т.е. [ ∆i²]= ∆1² + ∆2² + ∆3 ² +…+ ∆n²
Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность т вычисляют по уклонениям υi отдельных результатов измерений li от арифметического среднего :
υi = li —
Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

характеризует точность измерений, если извест­но max допустимое значение этих ошибок при данных условиях измерений. Все измерения с ошибками > ∆пред отбрасывают как грубые и измерения повторяются заново.
Для теоретических расчетов ∆пред = 3т, на практике, учитывая ограниченное число измерений, принимают ∆пред = 2т.
Случайные ошибки, превышающие предельную, считают грубыми, а результаты измерений, содержащие такие ошибки, бракуют.

получают в результате вычислений как функции измеренных величин. В этом случае результаты будут содержать ошибки, значения которых зависят от вида функции и от ошибок аргумента.
Для функций нескольких независимых величин z =f( x, y,…, t) определяют по формуле:

, то средняя квадратическая ошибка определения площади будет вычисляться по формуле:

угловую невязку теодолитного хода по формулам:
fβ = Σβпр. — Σβтеор.,
где Σβпр. – сумма практическая (сумма измеренных углов в ходе);
Σβтеор. = 180◦ (n-2) – для замкнутого хода;
Σβтеор.. = αнач. – αкон. + 180◦n – для разомкнутого хода;
n – количество горизонтальных углов.

2. Определяют допустимость вычисленной угловой невязки.
fβ ≤ fβдоп.
fβдоп. = 1′ √n

вычисляют по формуле
δ β = fβ / n
и вводят с обратным знаком в значения измеренных углов, получая уравненные углы.
4. Сумма уравненных углов должна быть равна теоретической.
Σβуравн. = Σβтеор.

Пример: Σβпр = 540°01,5ʹ, чему будут равны поправки, если количество углов в ходе равно 5? Находится ли величина невязки в допуске?

1

Первый слайд презентации

Изображение слайда

Изображение слайда

3

Слайд 3: 1. Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

Изображение слайда

5

Слайд 5: Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

6

Слайд 6: Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

7

Слайд 7: Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

8

Слайд 8: Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

9

Слайд 9: Общие сведения об измерениях

Изображение слайда

10

Слайд 10: 2. Погрешности измерений и их классификация

Изображение слайда

11

Слайд 11: Погрешности измерений и их классификация

Изображение слайда

12

Слайд 12: Погрешности измерений и их классификация

Изображение слайда

13

Слайд 13: Погрешности измерений и их классификация

Изображение слайда

14

Слайд 14: 3. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

15

Слайд 15: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

16

Слайд 16: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

17

Слайд 17: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

18

Слайд 18: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

19

Слайд 19: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

20

Слайд 20: Свойства случайных погрешностей равноточных измерений и критерии их оценки

Изображение слайда

21

Слайд 21: 4. Основные правила выполнения вычислений

Изображение слайда

22

Слайд 22: Основные правила выполнения вычислений

Изображение слайда

23

Последний слайд презентации: 4. Элементы теории ошибок геодезических измерений: Продолжение следует…

Изображение слайда