Выборочная оценка всегда ошибочна. Так, стандартная ошибка средней показывает разброс средней. Для бинарной переменной (с двумя возможными значениями) средней арифметической является доля «успехов». В этой статье показано, как рассчитать дисперсию и стандартную ошибку доли.
Долю используют в качестве выборочной оценки вероятности. Обозначим долю как p*, а истинную вероятность как p . При бесконечно большом количестве наблюдений доля p* стремится к теоретической вероятности p. Этот факт известен со времен Якоба Бернулли.
Дисперсия и стандартная ошибка доли
Обратимся вначале к дисперсии биномиальной переменной. Если истинная вероятность p не известна, то используют ее оценку p*.
где B – сумма «успехов» в выборке;
n – количество наблюдений;
p* – оценка вероятности, т.е. доля «успехов».
Нас интересует дисперсия величины B/n. Согласно одному из свойств дисперсии, постоянный множитель выносится за скобки и возводится в квадрат.
Получаем формулу дисперсию доли:
Почти полная аналогия со средней арифметической. В числителе дисперсия самой переменной (1 или 0), внизу – объем выборки.
Стандартная ошибка доли – корень из дисперсии:
Стандартная ошибка доли при увеличении выборки ведет себя так же, как и стандартная ошибка средней: чем больше выборка, тем меньше ошибка, но при этом уменьшение постоянно замедляется.
Как известно, максимально возможная дисперсия переменной в схеме Бернулли достигается при p*=0,5. Она равна 0,5*(1-0,5)=0,25. Отсюда легко рассчитать максимальную стандартную ошибку доли, полученную по некоторой выборке.
Изобразим эту зависимость на диаграмме.
График имеет знакомую конфигурацию: ошибка уменьшается с замедлением. Так, при объеме выборки равной 100 наблюдениям стандартная ошибка (максимально возможная!) равна 0,05 (или 5 процентных пункта). При n=1000 стандартная ошибка доли составляет всего 0,0158 (или 1,58 процентных пункта). Повторюсь, что это максимум. Именно поэтому опросы общественно мнения редко превышают 1500-2000 человек (чтобы еще была возможность разбить данные на группы достаточно размера).
На практике довольно часто приходится анализировать бинарные данные. Это может быть анкетирование покупателей, контроль качества продукции и много чего еще. Поэтому доля, как оценка вероятности наступления интересующего события, – довольно распространенный показатель. Дисперсия и стандартная ошибка доли используется в расчете приблизительных доверительных интервалов вероятности и в проверке статистических гипотез.
Поделиться в социальных сетях:
Точность оценки долей
Если бы в наших руках были данные по
всем членам совокупности, то не было бы
никаких проблем связанных с точностью
оценок. Однако нам всегда приходится
довольствоваться ограниченной выборкой.
Поэтому возникает вопрос, насколько
точно доли в выборке соответствуют
долям в совокупности.
Рис. 5.4. А. Из совокупности марсиан, среди
которых 150 зеленых и 50 розовых, извлекли
случайную выборку из 10 особей. В выборку
попало 5 зеленых и 5 розовых марсиан, на
рисунке они помечены черным. Б. В таком
виде данные предстанут перед исследователем,
который не может наблюдать всю совокупность
и вынужден судить о ней по выборке.
Оценка доли розовых марсиан p = 5/10 = 0,5.
Как любая выборочная оценка, оценка
доли (обозначим ее p^) отражает
долю р в совокупности, но отклоняется
от нее в силу случайности. Рассмотрим
теперь не совокупность марсиан, а
совокупность всех значений p^ ,
вычисленных по выборкам объемом 10
каждая. (Из совокупности в 200 членов
можно получить более 106 таких
выборок). По аналогии со стандартной
ошибкой среднего найдем стандартную
ошибку доли. Для этого нужно
охарактеризовать разброс выборочных
оценок доли, то есть рассчитать стандартное
отклонение совокупности p^.
где σ p^ — стандартная ошибка
доли, σ — стандартное отклонение, n —
объем выборки.
Заменив в приведенной формуле истинное
значение доли ее оценкой p^ ,
получим оценку стандартной ошибки доли:
Из центральной предельной теоремы
вытекает, что при достаточно большом
объеме выборки выборочная оценка p^
приближенно подчиняется
нормальному распределению, имеющему
среднее р и стандартное отклонение σˆp
. Однако при значениях р, близких к 0 или
1, и при малом объеме выборки это не так.
При какой численности выборки можно
пользоваться приведенным способом
оценки? Математическая статистика
утверждает, что нормальное распределение
служит хорошим приближением, если np^
и n(1-p^)
превосходят 5. Напомним, что примерно
95% всех членов нормально распределенной
совокупности находятся в пределах двух
стандартных отклонений от среднего.
Поэтому если перечисленные условия
соблюдены, то с вероятностью 95% можно
утверждать, что истинное значение р
лежит в пределах np^
и n(1-p^).
Вернемся на минуту к сравнению операционной
летальности при галотановой и морфиновой
анестезии. Напомним, что при использовании
галотана летальность составила 13,1%
(численность группы — 61 больной), а при
использовании морфина —
14,9% (численность группы — 67 больных).
Стандартная ошибка доли для группы
Если учесть, что различие в летальности
составило лишь 2%, то маловероятно, чтобы
оно было обусловлено чем-нибудь, кроме
случайного характера выборки.
Перечислим те предпосылки, на которых
основан излагаемый подход. Мы изучаем
то, что в статистике принято называть
независимыми испытаниями Бернулли.
Эти испытания обладают следующими
свойствами.
• Каждое отдельное испытание имеет
ровно два возможных взаимно исключающих
исхода.
• Вероятность данного исхода одна и та
же в любом испытании.
• Все испытания независимы друг от
друга.
21
Соседние файлы в папке Старый материал
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Стандартная ошибка пропорции: формула и пример
17 авг. 2022 г.
читать 1 мин
Часто в статистике нас интересует оценка доли людей в популяции с определенной характеристикой.
Например, нас может заинтересовать оценка доли жителей определенного города, поддерживающих новый закон.
Вместо того, чтобы ходить и спрашивать каждого жителя, поддерживают ли они закон, мы вместо этого собираем простую случайную выборку и выясняем, сколько жителей в выборке поддерживают закон.
Затем мы рассчитали бы долю выборки (p̂) как:
Пример формулы пропорции:
р̂ = х / п
куда:
- x: количество лиц в выборке с определенной характеристикой.
- n: общее количество лиц в выборке.
Затем мы использовали бы эту пропорцию выборки для оценки доли населения. Например, если 47 из 300 жителей выборки поддержали новый закон, то выборочная доля будет рассчитана как 47/300 = 0,157 .
Это означает, что наша наилучшая оценка доли жителей в населении, поддержавших закон, будет равна 0,157 .
Однако нет никакой гарантии, что эта оценка будет точно соответствовать истинной доле населения, поэтому мы обычно также рассчитываем стандартную ошибку доли .
Это рассчитывается как:
Стандартная ошибка формулы пропорции:
Стандартная ошибка = √ p̂(1-p̂) / n
Например, если p̂ = 0,157 и n = 300, то мы рассчитали бы стандартную ошибку пропорции как:
Стандартная ошибка пропорции = √ 0,157 (1-0,157) / 300 = 0,021
Затем мы обычно используем эту стандартную ошибку для расчета доверительного интервала для истинной доли жителей, поддерживающих закон.
Это рассчитывается как:
Доверительный интервал для формулы доли населения:
Доверительный интервал = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n
Глядя на эту формулу, легко увидеть, что чем больше стандартная ошибка пропорции, тем шире доверительный интервал .
Обратите внимание, что z в формуле — это z-значение, которое соответствует популярным вариантам выбора уровня достоверности:
| Уровень достоверности | z-значение | | — | — | | 0,90 | 1,645 | | 0,95 | 1,96 | | 0,99 | 2,58 |
Например, вот как рассчитать 95% доверительный интервал для истинной доли жителей города, поддерживающих новый закон:
- 95% ДИ = p̂ +/- z * √ p̂(1-p̂) / n
- 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96 * √ 0,157 (1-0,157) / 300
- 95% ДИ = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
- 95% ДИ = [0,10884, 0,19816]
Таким образом, с уверенностью 95% можно сказать, что истинная доля жителей города, поддерживающих новый закон, составляет от 10,884% до 19,816%.
Дополнительные ресурсы
Стандартная ошибка калькулятора пропорций
Доверительный интервал для калькулятора пропорций
Что такое доля населения?
Для значения, которое выбирается с несмещенной ошибкой с нормальным распределением , приведенное выше показывает долю выборок, которая будет находиться между 0, 1, 2 и 3 стандартными отклонениями выше и ниже фактического значения.
Стандартная ошибка ( SE ) [1] [2] из статистики (обычно подсчет параметра ) является стандартным отклонением ее выборочным распределения [3] или оценка этого стандартного отклонения. Если статистика является выборочным средним, это называется стандартной ошибкой среднего ( SEM ). [2]
Распределение выборки из среднего генерируется путем повторного отбора образцов из того же населения и записи средств , полученных образцов. Это формирует распределение различных средних, и это распределение имеет собственное среднее значение и дисперсию . Математически дисперсия полученного распределения выборки равна дисперсии генеральной совокупности, деленной на размер выборки. Это связано с тем, что по мере увеличения размера выборки средние значения выборки сгруппируются более близко к среднему значению генеральной совокупности.
Следовательно, соотношение между стандартной ошибкой среднего и стандартным отклонением таково, что для данного размера выборки стандартная ошибка среднего равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень из размера выборки. [2] Другими словами, стандартная ошибка среднего — это мера разброса средних значений выборки вокруг среднего значения генеральной совокупности.
В регрессионном анализе термин «стандартная ошибка» относится либо к квадратному корню из приведенной статистики хи-квадрат , либо к стандартной ошибке для конкретного коэффициента регрессии (который используется, например, в доверительных интервалах ).
Стандартная ошибка среднего
Точное значение
Если статистически независимая выборка наблюдения берутся из статистической совокупности с стандартным отклонением от, то среднее значение, рассчитанное по выборке будет связана стандартная ошибка среднего предоставлено: [2]
- .
На практике это говорит нам о том, что при попытке оценить значение среднего по совокупности из-за фактора для уменьшения ошибки оценки в два раза требуется получить в четыре раза больше наблюдений в выборке; уменьшение его в десять раз требует в сто раз больше наблюдений.
Оценить
Стандартное отклонение о выборке населения известно редко. Поэтому стандартная ошибка среднего обычно оценивается заменойсо стандартным отклонением выборки вместо:
- .
Поскольку это только оценка истинной «стандартной ошибки», здесь часто встречаются другие обозначения, такие как:
- или поочередно .
Обычный источник путаницы возникает, когда не удается четко различить стандартное отклонение совокупности (), стандартное отклонение выборки (), стандартное отклонение самого среднего (, которая является стандартной ошибкой), и оценка стандартного отклонения среднего (, которая является наиболее часто вычисляемой величиной, которую также часто называют стандартной ошибкой ).
Точность оценщика
Когда размер выборки невелик, использование стандартного отклонения выборки вместо истинного стандартного отклонения генеральной совокупности будет иметь тенденцию к систематическому занижению стандартного отклонения генеральной совокупности, а, следовательно, и стандартной ошибки. При n = 2 занижение составляет около 25%, но для n = 6 занижение составляет всего 5%. Гурланд и Трипати (1971) предлагают поправку и уравнение для этого эффекта. [4] Сокал и Рольф (1981) приводят уравнение поправочного коэффициента для малых выборок n <20. [5] См. Несмещенную оценку стандартного отклонения для дальнейшего обсуждения.
Вывод
Стандартная ошибка среднего может быть получена из дисперсии суммы независимых случайных величин [6] с учетом определения дисперсии и некоторых ее простых свойств . Если находятся независимые наблюдения от популяции со средним и стандартное отклонение , то мы можем определить общую
которые по формуле Биенайме будут иметь дисперсию
Среднее значение этих измерений просто дается
- .
Тогда дисперсия среднего составляет
Стандартная ошибка — это, по определению, стандартное отклонение который представляет собой просто квадратный корень из дисперсии:
- .
Для коррелированных случайных величин дисперсия выборки должна быть вычислена в соответствии с центральной предельной теоремой Маркова .
Независимые и одинаково распределенные случайные величины со случайным размером выборки
Бывают случаи, когда образец берут, не зная заранее, сколько наблюдений будет приемлемым по какому-либо критерию. В таких случаях размер выборки случайная величина, вариация которой добавляет к вариации такой, что,
- [7]
Если имеет распределение Пуассона , то с оценщиком . Следовательно, оценка становится , приводя к следующей формуле для стандартной ошибки:
(поскольку стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии)
Аппроксимация Стьюдента, когда значение σ неизвестно
Во многих практических приложениях истинное значение σ неизвестно. В результате нам нужно использовать распределение, которое учитывает этот разброс возможных σ ‘с. Когда известно, что истинное базовое распределение является гауссовым, хотя и с неизвестным σ, тогда полученное оцененное распределение следует t-распределению Стьюдента. Стандартная ошибка — это стандартное отклонение t-распределения Стьюдента. Т-распределения немного отличаются от гауссовых и меняются в зависимости от размера выборки. Небольшие выборки с большей вероятностью недооценивают стандартное отклонение совокупности и имеют среднее значение, которое отличается от истинного среднего значения совокупности, а t-распределение Стьюдента учитывает вероятность этих событий с несколько более тяжелыми хвостами по сравнению с гауссовым. Для оценки стандартной ошибки t-распределения Стьюдента достаточно использовать выборочное стандартное отклонение «s» вместо σ , и мы могли бы использовать это значение для вычисления доверительных интервалов.
Примечание. Распределение вероятностей Стьюдента хорошо аппроксимируется распределением Гаусса, когда размер выборки превышает 100. Для таких выборок можно использовать последнее распределение, которое намного проще.
Предположения и использование
Пример того, как используется, чтобы сделать доверительные интервалы неизвестного среднего значения в генеральной совокупности. Если распределение выборки имеет нормальное распределение , среднее значение выборки, стандартная ошибка и квантили нормального распределения могут использоваться для расчета доверительных интервалов для истинного среднего значения генеральной совокупности. Следующие выражения можно использовать для расчета верхнего и нижнего 95% доверительных интервалов, где равно выборочному среднему, равна стандартной погрешности для выборочного среднего и 1,96 приблизительное значение 97,5 процентиля точки нормального распределения :
- Верхний предел 95% а также
- Нижний предел 95%
В частности, стандартная ошибка выборочной статистики (например, выборочное среднее ) — это фактическое или расчетное стандартное отклонение выборочного среднего в процессе, в котором оно было создано. Другими словами, это фактическое или оценочное стандартное отклонение выборочного распределения статистической выборки. Обозначение для стандартной ошибки может быть любым из SE, SEM (для стандартной ошибки измерения или среднего ), или S E .
Стандартные ошибки обеспечивают простые меры неопределенности значения и часто используются, потому что:
- во многих случаях, если известна стандартная ошибка нескольких отдельных величин, то стандартную ошибку некоторой функции величин можно легко вычислить;
- когда распределение вероятностей значения известно, его можно использовать для вычисления точного доверительного интервала ;
- когда распределение вероятностей неизвестно, для расчета консервативного доверительного интервала можно использовать неравенства Чебышева или Высочанского – Петунина ; а также
- поскольку размер выборки стремится к бесконечности, центральная предельная теорема гарантирует, что выборочное распределение среднего является асимптотически нормальным .
Стандартная ошибка среднего значения по сравнению со стандартным отклонением
В научно-технической литературе экспериментальные данные часто обобщаются либо с использованием среднего значения и стандартного отклонения выборочных данных, либо среднего значения со стандартной ошибкой. Это часто приводит к путанице в отношении их взаимозаменяемости. Однако среднее значение и стандартное отклонение являются описательной статистикой , тогда как стандартная ошибка среднего описывает процесс случайной выборки. Стандартное отклонение данных выборки — это описание вариации в измерениях, в то время как стандартная ошибка среднего — это вероятностное утверждение о том, как размер выборки обеспечит лучшую границу оценок среднего для генеральной совокупности в свете центрального предела. теорема. [8]
Проще говоря, стандартная ошибка выборочного среднего — это оценка того, насколько далеко среднее значение выборки может быть от среднего значения по совокупности, тогда как стандартное отклонение выборки — это степень, в которой отдельные лица в выборке отличаются от выборочного среднего. [9] Если стандартное отклонение генеральной совокупности конечно, стандартная ошибка среднего значения выборки будет стремиться к нулю с увеличением размера выборки, потому что оценка генерального среднего будет улучшаться, в то время как стандартное отклонение выборки будет иметь тенденцию приближаться стандартное отклонение генеральной совокупности при увеличении размера выборки.
Расширения
Поправка на конечную популяцию (FPC)
Приведенная выше формула для стандартной ошибки предполагает, что размер выборки намного меньше, чем размер генеральной совокупности, так что совокупность может считаться фактически бесконечной по размеру. Обычно это имеет место даже в случае конечных популяций, потому что большую часть времени люди в первую очередь заинтересованы в управлении процессами, которые создали существующую конечную популяцию; это называется аналитическим исследованием вслед за У. Эдвардсом Демингом . Если люди заинтересованы в управлении существующей конечной совокупностью, которая не будет меняться с течением времени, то необходимо сделать поправку на размер популяции; это называется перечислительным исследованием .
Когда доля выборки (часто называемая f ) велика (примерно 5% или более) в переписном исследовании , оценка стандартной ошибки должна быть скорректирована путем умножения на «поправку на конечную совокупность» (также известную как fpc ): [10]
[11]
что для больших N :
чтобы учесть дополнительную точность, полученную за счет выборки, близкой к большему проценту населения. Эффект FPC является то , что ошибка становится равной нулю , когда размер выборки п равен размеру популяции N .
Это происходит в методологии обследования при выборке без замены . Если выборка с заменой, то FPC не играет роли.
Поправка на корреляцию в образце
Ожидаемая ошибка среднего значения A для выборки из n точек данных с коэффициентом смещения выборки ρ . Несмещенная стандартная ошибка строится как диагональная линия ρ = 0 с логарифмическим наклоном −½.
Если значения измеренной величины A не являются статистически независимыми, но были получены из известных мест в пространстве параметров x , несмещенная оценка истинной стандартной ошибки среднего (фактически поправка на часть стандартного отклонения) может быть получена путем умножения рассчитанная стандартная ошибка выборки по коэффициенту f :
где коэффициент смещения выборки ρ представляет собой широко используемую оценку Прайса – Винстена коэффициента автокорреляции (величина от -1 до +1) для всех пар точек выборки. Эта приблизительная формула предназначена для выборки среднего и большого размера; Справочник дает точные формулы для любого размера выборки и может применяться к сильно автокоррелированным временным рядам, таким как котировки акций Уолл-стрит. Более того, эта формула работает как для положительных, так и для отрицательных значений ρ. [12] См. Также объективную оценку стандартного отклонения для более подробного обсуждения.
См. Также
- Иллюстрация центральной предельной теоремы
- Допустимая погрешность
- Вероятная ошибка
- Стандартная ошибка средневзвешенного значения
- Среднее значение выборки и ковариация выборки
- Стандартная ошибка медианы
- Дисперсия
Ссылки
- ^ «Список вероятностных и статистических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-26 . Проверено 12 сентября 2020 .
- ^ a b c d Альтман, Дуглас Дж. Блэнд, Дж. Мартин (2005-10-15). «Стандартные отклонения и стандартные ошибки» . BMJ: Британский медицинский журнал . 331 (7521): 903. DOI : 10.1136 / bmj.331.7521.903 . ISSN 0959-8138 . PMC 1255808 . PMID 16223828 .
- ^ Everitt, BS (2003). Кембриджский статистический словарь . ЧАШКА. ISBN 978-0-521-81099-9.
- ^ Gurland, J; Трипати RC (1971). «Простое приближение для объективной оценки стандартного отклонения». Американский статистик . 25 (4): 30–32. DOI : 10.2307 / 2682923 . JSTOR 2682923 .
- ^ Сокаль; Рольф (1981). Биометрия: принципы и практика статистики в биологических исследованиях (2-е изд.). п. 53 . ISBN 978-0-7167-1254-1.
- Перейти ↑ Hutchinson, TP (1993). Основы статистических методов, на 41 странице . Аделаида: Рамсби. ISBN 978-0-646-12621-0.
- ^ Корнелл, младший, и Бенджамин, Калифорния, Вероятность, статистика и решения для инженеров-строителей, McGraw-Hill, NY, 1970, ISBN 0486796094 , стр. 178–9.
- ^ Бард, М. (2012). «Что использовать для выражения изменчивости данных: стандартное отклонение или стандартная ошибка среднего?» . Перспектива. Clin. Res. 3 (3): 113–116. DOI : 10.4103 / 2229-3485.100662 . PMC 3487226 . PMID 23125963 .
- ^ Wassertheil-Smoller, Sylvia (1995). Биостатистика и эпидемиология: учебник для медицинских работников (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 40–43. ISBN 0-387-94388-9.
- ^ Isserlis, Л. (1918). «О значении среднего, рассчитанного по выборке» . Журнал Королевского статистического общества . 81 (1): 75–81. DOI : 10.2307 / 2340569 . JSTOR 2340569 . (Уравнение 1)
- ^ Бонди, Уоррен; Злот, Уильям (1976). «Стандартная ошибка среднего и разница между средними для конечных совокупностей». Американский статистик . 30 (2): 96–97. DOI : 10.1080 / 00031305.1976.10479149 . JSTOR 2683803 . (Уравнение 2)
- ^ Бенс, Джеймс Р. (1995). «Анализ коротких временных рядов: поправка на автокорреляцию» . Экология . 76 (2): 628–639. DOI : 10.2307 / 1941218 . JSTOR 1941218 .
Стандартная ошибка
Стандартная ошибка — это стандартное отклонение выборочного распределения статистики. Этот термин также может использоваться для оценки (хорошего предположения) этого стандартного отклонения, взятого из выборки всей группы.
Среднее значение некоторой части группы (называемой выборкой) является обычным способом оценки среднего значения для всей группы. Часто бывает слишком сложно или стоит слишком много денег, чтобы измерить всю группу. Но если измерить другую выборку, то ее среднее значение будет немного отличаться от первой выборки. Стандартная ошибка среднего — это способ узнать, насколько близка средняя по выборке к средней по всей группе. Это способ узнать, насколько вы можете быть уверены в среднем значении по выборке.
В реальных измерениях истинное значение стандартного отклонения среднего для всей группы обычно неизвестно. Поэтому термин стандартная ошибка часто используется для обозначения близкого к истинному значению для всей группы. Чем больше измерений в выборке, тем ближе к истинному значению для всей группы.
Для значения, отобранного с несмещенной нормально распределенной ошибкой, выше показана доля выборок, которые будут находиться в пределах 0, 1, 2 и 3 стандартных отклонений выше и ниже фактического значения.
Как найти стандартную ошибку среднего значения
Один из способов найти стандартную ошибку среднего — это множество выборок. Сначала находят среднее значение для каждой выборки. Затем находят среднее и стандартное отклонение этих средних по выборкам. Стандартное отклонение для всех средних по выборке и есть стандартная ошибка среднего. Это может быть большой объем работы. Иногда иметь большое количество образцов слишком сложно или стоит слишком много денег.
Другой способ найти стандартную ошибку среднего — использовать уравнение, для которого нужна только одна выборка. Стандартная ошибка среднего обычно оценивается по стандартному отклонению для выборки из всей группы (стандартное отклонение выборки), деленному на квадратный корень из размера выборки.
S E x ¯ = s n {displaystyle SE_{bar {x}} ={frac {s}{sqrt {n}}}} 
где
s — стандартное отклонение выборки (т.е. выборочная оценка стандартного отклонения популяции), и
n — количество измерений в выборке.
Насколько большой должна быть выборка, чтобы оценка стандартной ошибки среднего была близка к фактической стандартной ошибке среднего для всей группы? В выборке должно быть не менее шести измерений. Тогда стандартная ошибка среднего для выборки будет находиться в пределах 5% от стандартной ошибки среднего, если бы измерялась вся группа.
Исправления для некоторых случаев
Существует еще одно уравнение, которое можно использовать, если количество измерений составляет 5% или более от всей группы:
Существуют специальные уравнения, которые необходимо использовать, если образец имеет менее 20 измерений.
Иногда выборка поступает из одного места, хотя вся группа может быть рассредоточена. Кроме того, иногда выборка может быть сделана за короткий промежуток времени, когда вся группа охватывает более длительный период. В этом случае числа в выборке не являются независимыми. Тогда используются специальные уравнения, чтобы попытаться исправить это.
Полезность
Практический результат: Можно быть более уверенным в среднем значении, если провести больше измерений в выборке. Тогда стандартная ошибка среднего значения будет меньше, поскольку стандартное отклонение делится на большее число. Однако, чтобы сделать неопределенность (стандартную ошибку среднего) среднего значения в два раза меньше, размер выборки (n) должен быть в четыре раза больше. Это происходит потому, что стандартное отклонение делится на квадратный корень из размера выборки. Чтобы сделать неопределенность на одну десятую больше, размер выборки (n) должен быть в сто раз больше!
Стандартные ошибки легко вычисляются и часто используются, потому что:
- Если известна стандартная ошибка нескольких отдельных величин, то во многих случаях можно легко рассчитать стандартную ошибку некоторой функции этих величин;
- Если вероятностное распределение значения известно, его можно использовать для расчета хорошего приближения к точному доверительному интервалу; и
- Если распределение вероятности неизвестно, для оценки доверительного интервала можно использовать другие уравнения
- Когда размер выборки становится очень большим, принцип центральной предельной теоремы показывает, что числа в выборке очень похожи на числа во всей группе (они имеют нормальное распределение).
Относительная стандартная ошибка
Относительная стандартная ошибка (RSE) — это стандартная ошибка, деленная на среднее значение. Это число меньше единицы. Умножение его на 100% дает его в процентах от среднего значения. Это помогает показать, является ли неопределенность важной или нет. Например, рассмотрим два исследования доходов домохозяйств, в результате которых среднее значение по выборке составляет $50 000. Если стандартная ошибка одного опроса составляет $10 000, а другого — $5 000, то относительные стандартные ошибки равны 20% и 10% соответственно. Опрос с меньшей относительной стандартной ошибкой лучше, потому что он имеет более точное измерение (неопределенность меньше).
На самом деле, люди, которым необходимо знать средние значения, часто решают, насколько мала должна быть неопределенность, прежде чем они решат использовать информацию. Например, Национальный центр статистики здравоохранения США не сообщает среднее значение, если относительная стандартная ошибка превышает 30%. NCHS также требует не менее 30 наблюдений для того, чтобы оценка была представлена в отчете. []
Пример
Например, в воде Мексиканского залива водится много красной рыбы. Чтобы узнать, сколько в среднем весит красноперка длиной 42 см, невозможно измерить всех красноперок длиной 42 см. Вместо этого можно измерить некоторых из них. Рыба, которую измеряют, называется образцом. В таблице показан вес двух образцов красноперки длиной 42 см. Средний (средний) вес первого образца составляет 0,741 кг. Средний (средний) вес второго образца — 0,735 кг, что немного отличается от первого образца. Каждое из этих средних значений немного отличается от среднего значения, которое было бы получено при измерении каждой красной рыбы длиной 42 см (что в любом случае невозможно).
Неопределенность среднего значения можно использовать для того, чтобы узнать, насколько близки средние значения выборок к среднему значению, которое было бы получено в результате измерения всей группы. Неопределенность среднего оценивается как стандартное отклонение для выборки, деленное на квадратный корень из числа выборок минус один. Из таблицы видно, что неопределенности в средних для двух выборок очень близки друг к другу. Кроме того, относительная неопределенность — это неопределенность среднего значения, деленная на среднее значение, умноженное на 100%. Относительная неопределенность в данном примере составляет 2,38% и 2,50% для двух образцов.
Зная неопределенность среднего, можно узнать, насколько близко выборочное среднее к среднему, которое было бы получено в результате измерения всей группы. Среднее по всей группе находится между а) средним по выборке плюс неопределенность в среднем и б) средним по выборке минус неопределенность в среднем. В данном примере средний вес всей красноперки длиной 42 см в Мексиканском заливе, как ожидается, составит 0,723-0,759 кг по первой выборке и 0,717-0,753 по второй выборке.
.jpg)
Пример красной рыбы (также известной как красный барабан, Sciaenops ocellatus), используемой в примере.