Среднеквадратичная ошибка представления функции рядом фурье

Макеты страниц

или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «наибольшего уклонения». На рис. 118 изображены различные приближенные кривые (пунктирные) для данной функции (сплошная). Наибольшее уклонение кривой меньше, чем кривой (2), но в общем кривая гораздо больше отличается от истинной, чем кривая (2); сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке гораздо реже, чем уклонения кривой

Рис. 118.

При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичная погрешность», которая определяется следующим образом: пусть при измерении величины z получены значения:

погрешность каждого измерения есть

средняя же квадратичная погрешность определяется по формуле

т. е. есть корень квадратный из среднего арифметического квадратов погрешностей.

Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы (32) к нашей функции Здесь только нужно помнить, что мы имеем дело не с конечным числом значений, а с бесчисленным множеством их, и притом распределенных непрерывно по всему промежутку . Таким образом каждая отдельная погрешность будет не что иное, как и средняя арифметическая их квадратов будет

а средняя квадратичная погрешность выражения (32) найдется из формулы

Нам остается теперь подобрать постоянные так, чтобы величина была наименьшей, т. е. решить обыкновенную задачу на минимум функции от переменных.

Прежде всего упростим выражение (33) для Произведя возвышение в квадрат, мы находим

где означает линейную комбинацию выражений вида:

В силу свойства ортогональности тригонометрических функций [154], интеграл от всех этих выражений по промежутку те) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от по этому промежутку. Интегралы от как известно, равны , и, подставляя выражение (34) в формулу (33), получим

Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции можем переписать выражение в следующем виде:

или, вычитая и прибавляя сумму

можем написать

наименьшее значение будет, очевидно, в том случае, когда два последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т. е. это будет иметь место, если положить и вообще Итак, средняя квадратичная погрешность приближенного выражения функции посредством тригонометрического полинома порядка будет наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициенты Фурье функции

Отметим при этом одно важное обстоятельство. Из полученного результата следует, что значения которые обращают в минимум не зависят от значка п. Если мы увеличим то нам надо будет добавить новые коэффициенты и но уже вычисленные коэффициенты останутся прежними.

Величину наименьшей погрешности мы получим по формуле (35), заменив там соответственно на что дает

или

При возрастании т. е. порядка тригонометрического полинома, в правой части (37) будут добавляться новые отрицательные (или, во всяком случае, не положительные) слагаемые: и таким образом погрешность может только уменьшаться при увеличении , т. е. точность приближения увеличивается (не уменьшается) при возрастании .

Величина выражается формулой (33), если в ней заменить на т. е. выражается интегралом от квадрата некоторой

функции, а потому наверно положительна или, точнее говоря, не отрицательна. Принимая это во внимание, получим, в силу (37),

Пока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобы существовали все те интегралы, которыми мы пользовались, т. е. чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам (9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для определенности будем считать, что непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралы наверно имеют смысл [I, 116]. Можно сделать относительно и гораздо более общие предположения, и во всяком случае во всех предыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле. Вернемся к неравенству (38). При увеличении сумма положительных слагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при этом будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюда непосредственно вытекает, что бесконечный ряд

будет рядом сходящимся [I, 120]. Устремляя к бесконечности и переходя в неравенстве (38) к пределу, получим:

Принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему:

Теорема. При сделанных предположениях относительно ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю при

При ншей новой точке зрения основным является следующий вопрос: будет ли погрешность стремиться к нулю при беспредельном возрастании . Если в правой части формулы (37) мы перейдем к пределу при беспредельном увеличении то вместо конечной суммы получим бесконечный ряд т. е.

откуда вытекает, что стремление к нулю равносильно тому, что в формуле (39) мы имеем знак равенства, т. е.

Уравнение это обычно называется уравнением замкнутости. В следующем параграфе настоящей главы мы докажем, что т. е. что уравнение (40) действительно имеет место для всех функций с указанными выше свойствами.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности.
3. Уравнения с отделяющимися переменными.
4. Примеры.
5. Однородное уравнение.
6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
7. Способ Эйлера—Коши.
8. Применение степенных рядов.
9. Общий интеграл и особое решение.
10. Уравнения, не решенные относительно у’.
11. Уравнение Клеро.
12. Уравнение Лагранжа.
13. Огибающие семейства кривых и особые решения.
14. Изогональные траектории.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
16. Графические способы интегрирования дифференциального уравнения второго порядка.
17. Уравнение у^(n)=f(x).
18. Понижение порядка дифференциального уравнения.
19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
20. Примеры.
21. Системы уравнений и уравнения высших порядков.
22. Линейные уравнения с частными производными.
23. Геометрическая интерпретация.
24. Примеры.
ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
25. Линейные однородные уравнения второго порядка.
26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.
27. Линейные уравнения высших порядков.
28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
30. Частные случаи.
31. Корни решений и колеблющиеся решения
32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
33. Линейные уравнения и колебательные явления.
34. Собственные и вынужденные колебания.
35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс.
36. Предельные задачи.
37. Примеры.
38. Символический метод.
39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
41. Пример.
42 Уравнение Эйлера.
43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
44. Примеры
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда
46. Примеры.
47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
48. Уравнение Бесселя
49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений.
51. Случай нелинейного уравнения.
52. Дополнения к теореме существования и единственности.
53. Сходимость метода Эйлера — Коши.
54. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.
55. Автономные системы.
56. Примеры.
ГЛАВА III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
58. Двукратный интеграл.
59. Вычисление двукратного интеграла.
60. Криволинейные координаты.
61. Трехкратный интеграл
62. Цилиндрические и сферические координаты.
63. Криволинейные координаты в пространстве.
64. Основные свойства кратных интегралов.
65. Площадь поверхности.
66. Интегралы по поверхности и формула Остроградского.
67. Интегралы по определенной стороне поверхности.
68. Моменты.
§ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
69. Определение криволинейного интеграла.
70. Работа силового поля. Примеры.
71. Площадь и криволинейный интеграл.
72. Формула Грина
73. Формула Стокса.
74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости.
75. Случай многосвязной области.
76. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.
77. Установившееся течение жидкости.
78. Интегрирующий множитель.
79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных.
80. Замена переменных в двойном интеграле.
§ 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
81. Интегрирование под знаком интеграла.
82. Формула Дирихле.
83. Дифференцирование под знаком интеграла
84. Примеры.
85. Несобственные интегралы.
86. Неабсолютно сходящиеся интегралы.
87. Равномерно сходящиеся интегралы.
88. Примеры.
89. Несобственные кратные интегралы.
90. Примеры.
§ 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
92. Основные теоремы.
93. Счетные множества. Действия над точечными множествами.
94. Мера Жордана.
95. Квадрируемые множества.
96. Независимость от выбора осей.
97. Случай любого числа измерений.
98. Интегрируемые функции.
99. Вычисление двойного интеграла.
100. n-кратные интегралы.
101. Примеры.
102. Внешняя мера Лебега.
103. Измеримые множества.
104. Измеримые функции.
105. Дополнительные сведения.
106. Интеграл Лебега.
107. Свойства интеграла Лебега.
108. Интегралы от неограниченных функций.
109. Предельный переход под знаком интеграла.
110. Теорема Фубини.
111. Интегралы по множеству бесконечной меры.
ГЛАВА IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ
112. Сложение и вычитание векторов.
113. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов.
114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
115. Скалярное произведение.
116. Векторное произведение.
117. Соотношения между скалярным к векторным произведениями.
118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора.
§ 11 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
119. Дифференцирование вектора
120. Скалярное поле и его градиент.
121. Векторное поле; расходимость и вихрь.
122. Потенциальное и соленоидальное поля.
123. Направленный элемент поверхности.
124. Некоторые формулы векторного анализа.
125. Движение твердого тела и малая деформация.
126. Уравнение непрерывности.
127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
128. Уравнения распространения звука.
129. Уравнение теплопроводности.
130. Уравнения Максвелла.
131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах.
132. Операция дифференцирования для случая переменного поля.
ГЛАВА V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта.
134. Эвольвента.
135. Естественное уравнение кривой.
136. Основные элементы кривой в пространстве.
137. Формулы Френе.
138. Соприкасающаяся плоскость.
139. Винтовые линии.
140. Поле единичных векторов.
§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
141. Параметрические уравнения поверхности.
142. Первая дифференциальная форма Гаусса.
143. Вторая дифференциальная форма Гаусса.
144. О кривизне линий, начерченных на поверхности.
145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера.
146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.
147. Линии кривизны.
148. Теорема Дюпена.
149. Примеры.
150. Гауссова кривизна.
151. Вариация элемента площади и средняя кривизна.
152. Огибающая семейства поверхностей и кривых.
153. Развертывающиеся поверхности.
ГЛАВА VI. РЯДЫ ФУРЬЕ
154. Ортогональность тригонометрических функций.
155. Теорема Дирихле.
156. Примеры.
157. Разложение в промежутке (0, п).
158. Периодические функции периода 2l.
159. Средняя квадратичная погрешность.
160. Общие ортогональные системы функций.
161. Класс L2
162. Сходимость в среднем.
163. Ортонормированные системы в L2.
§ 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ
164. Разложение в ряд Фурье.
165. Вторая теорема о среднем.
166. Интеграл Дирихле.
167. Теорема Дирихле.
168. Приближение к непрерывной функции полиномами.
169. Формула замкнутости.
170. Характер сходимости рядов Фурье.
171. Улучшение сходимости рядов Фурье.
172. Пример.
§ 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
173. Формула Фурье.
174. Ряды Фурье в комплексной форме.
176. Кратные ряды Фурье.
ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
176. Уравнение колебаний струны.
177. Решение Даламбера.
178. Частные случаи.
179. Ограниченная струна.
180. Способ Фурье.
181. Гармоники и стоячие волны.
182. Вынужденные колебания.
183. Сосредоточенная сила.
184. Формула Пуассона.
185. Цилиндрические волны.
186. Случай n-мерного пространства.
187. Неоднородное волновое уравнение.
188. Точечный источник.
189. Поперечные колебания мембран.
190. Прямоугольная мембрана.
191. Круглая мембрана.
192. Теорема единственности.
193. Применение интеграла Фурье.
§ 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
195. Установившиеся процессы.
196. Устанавливающиеся процессы.
197. Примеры.
198. Обобщенное уравнение колебаний струны.
199. Неограниченная цепь в общем случае.
200. Способ Фурье для ограниченной цепи.
201. Обобщенное волновое уравнение.
§ 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
202. Гармонические функции.
203. Формула Грина.
204. Основные свойства гармонических функций.
205. Решение задачи Дирихле для круга.
206. Интеграл Пуассона.
207. Задача Дирихле для сферы.
208. Функция Грина.
209. Случай полупространства.
210. Потенциал объемных масс.
211. Уравнение Пуассона.
212. Формула Кирхгофа.
§ 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
214. Неограниченный стержень.
215. Стержень, ограниченный с одного конца.
216. Стержень, ограниченный с обоих концов.
217. Дополнительные замечания.
218. Случай сферы.
219. Теорема единственности.

Источник

Добавил:

Upload

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

214.53 Кб

Скачать

Задача
№2

Дана
Т – периодическая функция f(t)

Обосновать
возможность разложения f(t)
в ряд Фурье, установить вид сходимости
ряда Фурье к f(t).

Данная
функция f(t)
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема
Дирихле: Если Т — периодическая функция
f(t)
удовлетворяет условиям Дирихле на каком
либо замкнутом интервале длиной Т:

Непрерывна
или имеет конечное число точек разрыва
первого рода
Монотонна
либо имеет конечное число максимумов
и минимумов

Ряд
Фурье сходиться на всей оси t
и сумма ряда Фурье равно f(t)
во всех точках непрерывности этой
функции в точке t₀
разрыва первого рода функции f(t)
сумма ряда Фурье равна
данная функция f(t)
удовлетворяет условиям сходимости в
среднем.

Признак
Ляпунова: Если Т – периодическая функция
f(t)
удовлетворяет условиям для
кусочно-непрерывна и интегрируема с
квадратом, то ряд Фурье сходиться
среднеквадратично к f(t).

Построить
график суммы ряда Фурье.

Представить
заданную функцию тригонометрическим
рядом Фурье, предварительно:

б)
вычислить коэффициенты ряда Фурье.

Коэффициенты
ряда Фурье

Тригонометрическое
разложение ф-ии в ряд Фурье

Построить
амплитудный и фазовый спектры функции.

Определить
число гармоник разложения функции в
ряд Фурье, содержащих в сумме не менее
90% энергии.

Чтобы
определить число гармоник, содержащих
в сумме не менее 90% энергии, сначала
рассчитаем энергию вносимую каждой
гармоникой в отдельности по следующей
формуле:

Вклад
гармоник в энергию

Вычислить
среднеквадратичную ошибку между
исходной функцией f(t)
и частичной суммой Фурье для t,
принадлежащих промежутку задания.

Среднеквадратичную
ошибку можно вычислить по следующей
формуле:

Построить
графики заданной функции и частичной
суммы ряда Фурье для значений t,
принадлежащих промежутку задания
f(t),
взяв число гармоник, определённых в
пункте №5.

Построить
график квадрата отклонений функции и
частичной суммы ряда для t
из промежутка задания f(t).

Задача
№3

Для функции, заданной на
конечном интервале, построить
периодическое продолжение заданным
образом. [0,2] (чётное)

Обосновать
возможность разложения f(t)
в ряд Фурье, установить вид сходимости
ряда Фурье к f(t).

Данная
функция f(t)
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:

Теорема
Дирихле: Если Т — периодическая функция
f(t)
удовлетворяет условиям Дирихле на
каком либо замкнутом интервале длиной
Т:

Непрерывна
или имеет конечное число точек разрыва
первого рода
Монотонна
либо имеет конечное число максимумов
и минимумов

Теорема
Вейерштрасса: если Т – периодическая
функция f(x)
на каком-либо замкнутом интервале.
Например [-T/2,T/2]
удовлетворяет условиям: непрерывности
и f(-T/2)=f(T/2),
то тригонометрический ряд Фурье
сходиться к f(x)
равномерно.

Построить
график суммы ряда Фурье.

Представить
заданную функцию тригонометрическим
рядом Фурье, предварительно:

б)
вычислить коэффициенты ряда Фурье

Коэффициенты
ряда Фурье

Тригонометрическое
разложение ф-ии в ряд Фурье

Построить
амплитудный и фазовый спектры функции.

Определить
число гармоник разложения функции в
ряд Фурье, содержащих в сумме не менее
90% энергии.

Вклад
гармоник в энергию

Вычислить
среднеквадратичную ошибку между
исходной функцией f(t)
и частичной суммой Фурье для t,
принадлежащих промежутку задания.

Среднеквадратичная
ошибка

Построить
графики заданной функции и частичной
суммы ряда Фурье для значений t,
принадлежащих промежутку задания
f(t),
взяв число гармоник, определённых в
пункте №5.

Построить
график квадрата отклонений функции и
частичной суммы ряда для t
из промежутка задания f(t).

Соседние файлы в папке Ргз фурье

#
27.03.2015125.17 Кб263R_F_6V.xmcd
#
27.03.2015121.41 Кб243R_F_7V.xmcd
#
27.03.2015121 Кб243R_F_8V.xmcd
#
27.03.2015118.29 Кб253R_F_9V.xmcd
#
27.03.2015219.65 Кб284.doc
#
27.03.2015214.53 Кб305.doc
#
27.03.2015220.16 Кб286.doc
#
27.03.2015216.06 Кб317.doc
#
27.03.2015216.58 Кб298.doc
#
27.03.2015212.99 Кб289.doc
#

Источник

Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного

8 разделов

от теории до практики

1 пример

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Унитарное пространство.

Начать изучение
Нормированные пространства.

Начать изучение
Сходимость. Полные пространства. Гильбертовы пространства.

Начать изучение
Пополнение унитарного пространства.

Начать изучение
Ряды Фурье по ортогональным системам.

Начать изучение
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

Начать изучение
Полнота системы элементов {e_i} в унитарном пространстве. Полнота тригонометрической системы в L₂(-π, π).

Начать изучение
Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональной системы в гильбертовом пространстве.

Начать изучение

Унитарное пространство.

При дальнейшем изложении удобно будет пользоваться геометрическим языком. Из курса линейной алгебры известны определения комплексного линейного и унитарного пространства. Напомним, что в линейном пространстве определены операции сложения элементов (векторов) и умножения элементов на комплексные числа, причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

Аксиомы линейного пространства (E):

(x+y=y+x) для любых (x, y in E);
(x+(y+x)=(x+y)+z) для любых (x, y, z in E);
существует элемент (0 in E) такой, что для любого (x in E) справедливо равенство (x+0=x);
для любого (x in E) существует элемент (-x in E) такой, что (x+(-x)=0);
для любого (x in E) и для любых (lambda, mu in mathbb{C}) справедливо равенство (lambda(mu x)=(lambdamu)x);
((lambda+mu)x=lambda x+mu x) для любых (x in E), (lambda, mu in mathbb{C});
(lambda(x+y)=lambda x+lambda y) для любых (x, y in E), (lambda in mathbb{C});
(1 cdot x=x) для любого (x in E).

Греческими буквами обозначались комплексные числа, латинскими — элементы линейного пространства (E).

Определение.

Унитарным называется комплексное линейное пространство (E), для каждой пары элементов которого определено комплексное число ((x, y)) — их скалярное произведение.

Аксиомы скалярного произведения:

((x, y)=overline{(y, x)}) для любых (x, y in E);
((x+y, z)=(x, z)+(y, z)) для любых (x, y, z in E);
((lambda x, y)=lambda(x, y)) для любых (x, y in E), (lambda in mathbb{C});
((x, x) geq 0) для любого (x in E), причем ((x, x)=0) тогда и только тогда, когда (x=0).

Здесь через (overline{gamma}) обозначается число, комплексно сопряженное комплексному числу (gamma).

Неотрицательное число (left|xright|=sqrt{(x, x)}) называется нормой элемента (x). Из аксиом унитарного пространства выводятся следующие свойства.

Свойство 1.

(left|xright|=0) эквивалентно (x=0).

Свойство 2.

((x, lambda y)=overline{lambda}(x, y)).

Доказательство.

(circ) ((x, lambda y)=overline{(lambda y, x)}=overline{lambda(y, x)}=overline{lambda}overline{(y, x)}=overline{lambda}(x, y)). (bullet)

Свойство 3.

Для любых (x, y in E) справедливо неравенство Коши—Буняковского
$$
|(x, y)| leq left|xright| cdot left|yright|.label{ref1}
$$

Доказательство.

(circ) Так как для любых (x, y in E) и (lambda in mathbb{C}) справедливо неравенство ((x+lambda y, x+lambda y) geq 0), то, пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем
$$
0 leq (x, x)+lambda(y, x)+overline{lambda}(x, y)+lambdaoverline{lambda}(y, y).label{ref2}
$$
Если (left|yright|=0), то (y=0) и неравенство Коши-Буняковского становится тривиальным. Пусть (left|yright| neq 0). Положим в eqref{ref2} (lambda=-dfrac{(x, y)}{left|yright|^{2}}). Получаем
$$
0 leq left|xright|^{2}-dfrac{(x, y)}{left|yright|^{2}}(y, x)-dfrac{overline{(x, y)}}{left|yright|^{2}}(x, y)+dfrac{(x, y)overline{(x, y)}}{left|yright|^{4}}left|yright|^{2},nonumber
$$
откуда сразу следует неравенство Коши-Буняковского. (bullet)

Свойство 4.

Доказательство.

(circ) Неравенство для нормы следует из неравенства Коши-Буняковского. В самом деле,
$$
left|x+yright|^{2}=(x+y, x+y)=(x, x)+(y, x)+(x, y)+(y, y) leq
$$
$$
leq left|xright|^{2}+2left|xright| left|yright|+left|yright|^{2}=(left|xright|+left|yright|)^{2}. bulletnonumber
$$

Свойство 5.

Доказательство.

(circ) (left|lambda xright|^{2}=(lambda x, lambda x)=lambdaoverline{lambda}(x, x)=|lambda|^{2}left|xright|^{2}). (bullet)

Из курса линейной алгебры известно унитарное пространство (E^{n}), элементами которого являются упорядоченные наборы (n) комплексных чисел
$$
gamma=(gamma_{1}, ldots, gamma_{n}), gamma_{i} in mathbb{C}, i=overline{1, n}nonumber
$$

Естественным образом определяется в (E^{n}) сложение элементов (векторов) и умножение их на комплексные числа. Скалярное произведение двух векторов (gamma=(gamma_{1}, ldots, gamma_{n})) и (delta=(delta_{1}, ldots, delta_{n})) есть комплексное число, определенное формулой
$$
(gamma, delta)=gamma_{1}overline{delta}_{1}+ldots+gamma_{n}overline{delta}_{n}.
$$

По аналогии с вещественным пространством (L_{2}^{C}(a, b)), введем комплексное пространство (L_{2}^{C}(a, b)), элементами которого являются комплекснозначные функции, для каждой из которых найдется такое разбиение отрезка ([a, b]) точками ({x_{i}}), (i=overline{0, n}), что на любом из интервалов ((x_{i-1}, x_{i})) функция непрерывна, а интеграл от квадрата ее модуля по отрезку ([a, b]) сходится как несобственный.

Лемма 1.

Множество (L_{2}^{C}(a, b)) является линейным пространством с естественными операциями сложения и умножения на комплексные числа.

Доказательство.

(circ) Пусть функции (f, varphi in L_{2}^{C}(a, b)). Из неравенства
$$
|f+varphi|^{2}=(f+varphi)(overline{f}+overline{varphi})=foverline{f}+foverline{varphi}+overline{f}varphi+varphioverline{varphi} leq\ leq |f|^{2}+|varphi|^{2}+2|f| cdot |varphi| leq 2|f|^{2}+2|varphi|^{2}nonumber
$$
и признака сравнения для несобственных интегралов следует, что несобственный интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b}|f+varphi|^{2}dx) сходится и, следовательно, (f+varphi in L_{2}^{C}(a, b)).

Если (f in L_{2}^{C}(a, b)), то и (alpha f in L_{2}^{C}(a, b)) для любого (alpha in mathbb{C}). Проверка всех аксиом линейного пространства тривиальна. (bullet)

Договоримся не различать две функции (f) и (varphi) из пространства (L_{2}^{C}(a, b)), если их значения не совпадают лишь в конечном числе точек.

Лемма 2.

Линейное пространство (L_{2}^{C}(a, b)) будет унитарным, если определить скалярное произведение функций (f, varphi in L_{2}^{C}(a, b)) при помощи следующей формулы:
$$
(f, varphi)=intlimits_{a}^{b} f(x)overline{varphi(x)} dx.label{ref3}
$$

Доказательство.

(circ) Так как (|foverline{varphi}| leq displaystylefrac{1}{2}|f|^{2}+frac{1}{2}|varphi|^{2}), то по признаку сравнения несобственный интеграл eqref{ref3} сходится. Первые три аксиомы скалярного произведения проверяются без труда. Проверим выполнение аксиомы 4).

Пусть ((f, f)=displaystyleintlimits_{a}^{b}|f|^{2}dx). Так как (f in L_{2}^{C}(a, b)), то найдется такое разбиение отрезка ([a, b]) точками ({x_{i}}), (i=overline{0, n}), что на каждом из интервалов ((x_{i-1}, x_{i})) функция (f(x)) непрерывна. Так как ((x_{i-1}, x_{i}) subset [a, b]), то
$$
intlimits_{x_{i-1}}^{x_{i}} |f(x)|^{2} dx=0, i=overline{1, n}.nonumber
$$

Из этого равенства следует, что (f(x)=0) на любом интервале ((x_{i-1}, x_{i})), (i=overline{1, n}). Следовательно, функция (f(x)) отлична от нуля лишь в конечном числе точек. Согласно договоренности такая функция отождествляется с функцией, тождественно равной нулю на ([a, b]). (bullet)

Нормированные пространства.

В нормированных пространствах определены длины векторов, но нет скалярного произведения. Более точно, комплексное или вещественное линейное пространство (E) называется нормированным, если каждому элементу (x) поставлено в соответствие неотрицательное число (left|xright|) (норма элемента (x)), причем удовлетворяются следующие аксиомы нормы:

(left|lambda xright|=|lambda| cdot left|xright|) для любого , (x in E) и любого (lambda in mathbb{C});
(left|x+yright| leq left|xright|+left|yright|) для любых (x, y in E);
(left|xright|=0) в том и только том случае, когда (x=0).

Если (E) есть унитарное пространство, то число (left|xright|=sqrt{(x, x)}) удовлетворяет всем аксиомам нормы, и поэтому каждое унитарное пространство будет и нормированным пространством.

Множество непрерывных функций на отрезке ([a, b]) станет нормированным пространством (C[a, b]), если определить норму функции следующим образом:
$$
left| f right|=max_{a leq x leq b} |f(x)|.label{ref4}
$$
Все аксиомы нормы проверяются без труда.

Заметим еще, что любое нормированное пространство есть частный случай метрического пространства, если ввести метрику следующим образом:
$$
rho(x, y)=left|x-yright|.label{ref5}
$$

Из аксиом нормы тогда следует, что для расстояния eqref{ref5} выполняются все аксиомы метрики:

(rho(x, y)=rho(y, x));
(rho(x, y)+rho(y, z) geq rho(x, z));
(rho(x, y)=0 Leftrightarrow x=y).

Поскольку нормированные и унитарные пространства есть частные случаи метрических пространств, то на них переносятся все метрические понятия, например понятие предела последовательности.

Сходимость. Полные пространства. Гильбертовы пространства.

Определение.

Последовательность точек ({x_{n}}) унитарного пространства (E) сходится к точке (x in E), если
$$
lim_{n rightarrow infty} left|x_{n}-xright|=0.label{ref6}
$$
Запись (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x) означает, что выполнено равенство eqref{ref6}.

Запишем основные свойства пределов (часть из них представлена без доказательств).

Свойство 1.

Если (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x) и (displaystylelim_{n rightarrow infty} y_{n}=y), то
$$
lim_{n rightarrow infty} (x_{n}+y_{n})=lim_{n rightarrow infty} x_{n}+lim_{n rightarrow infty} y_{n}=x+y.nonumber
$$

Свойство 2.

Если (alpha_{n} in boldsymbol{R}), (x_{n} in E) и (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x), (displaystylelim_{n rightarrow infty} alpha_{n}=alpha), то
$$
lim_{n rightarrow infty} alpha_{n}x_{n}=alpha x.nonumber
$$

Свойство 3.

Сходящаяся последовательность ограничена, то есть если существует (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x), то найдется число (C > 0) такое, что для всех (n in mathbb{N}) выполнено неравенство (left|x_{n}right| leq C).

Свойство 4.

Скалярное произведение непрерывно, то есть если (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x) и (displaystylelim_{n rightarrow infty} y_{n}=y), то
$$
lim_{n rightarrow infty} (x_{n}, y_{n})=(x, y).nonumber
$$

Доказательство.

(circ) Пусть (displaystylelim_{n rightarrow infty} x_{n}=x) и (displaystylelim_{n rightarrow infty} y_{n}=y). Так как сходящаяся последовательность ограничена, то существует такое число (C), что (left|y_{n}right| leq C) для всех (n in N). Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, получаем, что
$$
|(x_{n}, y_{n})-(x, y)|=|(x_{n}-x, y_{n})+(x, y_{n}-y)| leq \ leq left|y_{n}right| cdot left|x_{n}-xright|+left|xright| cdot left|y_{n}-yright| leq Cleft|x_{n}-xright|+left|xright| cdot left|y_{n}-yright| rightarrow 0
$$
при (n rightarrow infty). Следовательно, (displaystylelim_{n rightarrow infty} (x_{n}, y_{n})=(x, y)). (bullet)

Замечание.

Сходимость в пространстве (L_{2}^{C}) называют сходимостью в смысле среднего квадратичного.

Будем говорить, что последовательность точек (x_{n}) унитарного (или нормированного) пространства (E) фундаментальна, если для любого (varepsilon > 0) найдется номер (N) такой, что для всех (n, m geq N) выполнено неравенство (left|x_{n}-x_{m}right| < varepsilon).

Введенное понятие фундаментальной последовательности точек унитарного пространства находится в полном соответствии с введенным ранее понятием фундаментальной последовательности точек метрического пространства. Достаточно вспомнить формулу (rho(x, y)=left|x-yright|), задающую метрику в унитарном пространстве. Если последовательность сходится, то она фундаментальна. В произвольном унитарном пространстве фундаментальная последовательность может не сходиться.

Говорят, что унитарное (нормированное, метрическое) пространство полное, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке этого пространства.

Полное нормированное пространство называется банаховым, полное унитарное бесконечномерное пространство называется гильбертовым.

Нетрудно видеть, что каждое конечномерное унитарное пространство будет полным (критерий Коши сходимости в пространстве (boldsymbol{R}^{n})).

Покажем, что существуют неполные бесконечномерные унитарные пространства.

Пример.

Пространство (L_{2}^{C}(0, 1)) неполное.

Решение.

(circ) Для доказательства рассмотрим счетное множество точек
$$
1, frac{1}{2}, frac{1}{2^{2}}, ldots, frac{1}{2^{n}}, ldotsnonumber
$$
Построим следующую функцию (рис. 70.1):
$$
f(x)=left{
begin{array}{ll}
1, & displaystylefrac{1}{2^{2n+1}} leq x leq frac{1}{2^{2n}}, n=0, 1, ldots,\
\
0, & displaystylefrac{1}{2^{2n}} leq x leq frac{1}{2^{2n-1}}, n=1, 2, ldots
end{array} right.nonumber
$$

Рис. 70.1

Очевидно, что (f notin L_{2}^{C}(0, 1)), так как множество ее точек разрыва счетно. Построим последовательность
$$
f_{n}(x)=left{
begin{array}{ll}
f(x), & displaystylefrac{1}{2^{n}} leq x < 1,\
\
0, & displaystyle 0 < x leq frac{1}{2^{n}}.
end{array} right.nonumber
$$

Покажем, что последовательность (f_{n}) фундаментальна в пространстве (L_{2}^{C}(0, 1)). Так как на отрезке ([1/2^{n}, 1]) функции (f_{n+p}) и (f_{n}) совпадают, то
$$
left|f_{n+p}-f_{n}right|^{2}=intlimits_{0}^{1} |f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|^{2} dx=intlimits_{0}^{1/2^{n}} |f_{n+p}(x)-f_{n}(x)|^{2} dx leq\leq frac{1}{2^{n}} max|f_{n+p}(x)-f_{n}(x)| leq frac{1}{2^{n}} < varepsilon mbox{при} n > N(varepsilon).nonumber
$$

Последовательность ({f_{n}}) фундаментальна. Покажем, что она не может быть сходящейся. Если (varphi in L_{2}^{C}(0, 1)) и (left|f_{n}-varphiright|^{2} rightarrow 0) то для всех (m in N) выполнено условие
$$
intlimits_{1/2^{m+1}}^{1/2^{m}} |f_{n}-varphi|^{2} dx rightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty.nonumber
$$
Если (n > m), то (f_{n}=f) при (x in displaystyleleft(frac{1}{2^{m+1}}, frac{1}{2^{m}}right)). Поэтому
$$
intlimits_{1/2^{m+1}}^{1/2^{m}} |f_{n}-varphi|^{2} dx=0, m=0, 1, ldotslabel{ref7}
$$

Так как функция (varphi(x)) имеет конечное число точек разрыва, то при достаточно большом (m) на интервале (displaystyleleft(frac{1}{2^{m+1}}, frac{1}{2^{m}}right)) у функции (varphi(x)) точек разрыва не будет, функция (f(x)) непрерывна на этом же интервале. Поэтому из eqref{ref7} следует, что
$$
f(x)=varphi(x) mbox{при} x in left(frac{1}{2^{m+1}}, frac{1}{2^{m}}right), m=M+1, ldotsnonumber
$$

Но тогда функция (varphi), как и функция (f), должна иметь счетное множество точек разрыва и, следовательно, не может принадлежать пространству (L_{2}^{C}(a, b)). Итак, пространство (L_{2}^{C}(a, b)) неполное. (bullet)

Пополнение унитарного пространства.

Определение.

Два унитарных пространства называются изоморфными, если можно установить такое взаимно однозначное отображение (F) пространства (E_{1}) на пространство (E_{2}), что для любых (x, y in E) и любого (alpha in mathbb{C}) выполнены равенства
$$
F(x+y)=F(x)+F(y),quad F(alpha x)=alpha F(x),quad (Fx, Fy)=(x, y).nonumber
$$

Подмножество (L) унитарного пространства (E), само являющееся унитарным пространством с тем же скалярным произведением, называется подпространством пространства (E).

Пусть (A) и (B) — подмножества унитарного (или нормированного) пространства (E). Говорят, что (B) плотно в (A), если для любого (varepsilon > 0) и любого (x in A) найдется (y in B) такой, что (left|x-yright| < varepsilon).

Лемма 3.

Если (A, B, C subset E) и (C) плотно в (B), а (B) плотно в (A), то (C) плотно в (A).

Доказательство.

(circ) Пусть (varepsilon > 0) и (x in A). Так как (B) плотно в (A), то найдется (y in B) такой, что (left|x-yright| < varepsilon/2). Так как (C) плотно в (B), то найдется (z in mathbb{C}) такой, что (left|y-zright| < varepsilon/2). Тогда
$$
left|x-zright| leq left|x-yright|+left|y-zright| < frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}=varepsilon.nonumber
$$
Следовательно, (C) плотно в (A). (bullet)

Лемма 4.

Подпространство функций, непрерывных на отрезке ([a, b]) и принимающих на концах этого отрезка равные значения, плотно в (L_{2}^{C}(a, b)).

Доказательство.

(circ) Обозначим для краткости через (B) подпространство кусочно непрерывных на ([a, b]) функций, а через (C) — подпространство непрерывных функций, принимающих на концах отрезка ([a, b]) одинаковые значения. Договоримся, что будем доопределять нулем функции вне отрезка ([a, b]).

Покажем, что (B) плотно в (L_{2}^{C}(a, b)). Возьмем произвольную функцию (f in L_{2}^{C}(a, b)) и любое (varepsilon > 0). Тогда существует такое разбиение (x_{0}=a < x_{1} < ldots < x_{n}=b), что на каждом из интервалов ((x_{i-1}, x_{i})) функция (f(x)) непрерывна, а интеграл (intlimits_{a}^{b}|f|^{2}dx) сходится как несобственный. Найдется такое (delta > 0), что
$$
sum_{i=0}^{n} intlimits_{x_{i}-delta}^{x_{i}+delta}|f|^{2}dx < varepsilon,quad (x_{i}-delta, x_{i}+delta) cap (x_{j}-delta, x_{j}+delta)=varnothing, i neq j.nonumber
$$

Возьмем функцию
$$
varphi_{n}(x)=left{
begin{array}{ll}
0, & x in displaystylebigcup_{i=0}^{n}(x_{i}-delta, x_{i}+delta),\
f(x) & mbox{в остальных точках}.
end{array} right.nonumber
$$
Очевидно, что (varphi(x)) кусочно непрерывна и
$$
left|f-varphiright|^{2}=sum_{i=0}^{n} intlimits_{x_{i}-delta}^{x_{i}+delta}|f|^{2}dx < varepsilon.
$$

Итак, (B) плотно в (L_{2}^{C}(a, b)). Покажем, что (C) плотно в (B). Пусть (varphi in B) и (tilde{x}_{0}=a < tilde{x}_{1} < ldots < tilde{x}_{n}=b) — ее точки разрыва первого рода. Построим непрерывную функцию (psi(x)), обращающуюся в нуль во всех точках (tilde{x}_{i}), (рис. 70.2):
$$
psi_{n}(x)=left{
begin{array}{ll}
displaystylefrac{tilde{x}_{i}-x}{varepsilon} varphi(tilde{x}_{i}-varepsilon), & tilde{x}_{i}-varepsilon leq x leq tilde{x}_{i},\
displaystylefrac{x-tilde{x}_{i}}{varepsilon} varphi(tilde{x}_{i}+varepsilon), & tilde{x}_{i} displaystyleleq x leq tilde{x}_{i}+varepsilon, i=overline{0, m},\
varphi(x), & mbox{в остальных точках}
end{array} right.nonumber
$$
где (varepsilon < displaystylefrac{1}{4} max_{i=overline{0, m}} bigtriangleup tilde{x}_{i}), (bigtriangleup tilde{x}_{i}=tilde{x}_{i}-tilde{x}_{i-1}).

Рис. 70.2

Функция (psi(x)) непрерывна на отрезке ([a, b]) и
$$
|psi(x)| leq M=max_{a leq x leq b} |varphi(x)|.nonumber
$$
В самом деле, так как функция (psi(x)) линейна на отрезках ([tilde{x}_{i}-varepsilon, tilde{x}_{i}]) и ([tilde{x}_{i}, tilde{x}_{i}+varepsilon]) и (psi(tilde{x}_{i})=0), то
$$
max_{tilde{x}_{i}-varepsilon leq x leq tilde{x}_{i}} |psi(x)|=|psi(tilde{x}_{i}-varepsilon)|=|varphi(tilde{x}_{i}-varepsilon)| leq M,nonumber
$$
$$
max_{tilde{x}_{i} leq x leq tilde{x}_{i}+varepsilon} |psi(x)|=|psi(tilde{x}_{i}+varepsilon)|=|varphi(tilde{x}_{i}+varepsilon)| leq M,nonumber
$$
Вне отрезков ([tilde{x}_{i}-varepsilon, tilde{x}_{i}]) и ([tilde{x}_{i}, tilde{x}_{i}+varepsilon]) функция совпадает с (varphi(x)) и ее значения по модулю не превосходят (M).

Оценивая среднеквадратичное отклонение функции (varphi(x)) от функции (psi(x)), получаем
$$
left|varphi(x)-psi(x)right|^{2}=sum_{i=1}^{n} intlimits_{tilde{x}_{i}-varepsilon}^{tilde{x}_{i}+varepsilon}|varphi(x)-psi(x)|^{2}dx leq 8Mnvarepsilon.nonumber
$$
Отсюда следует, что (C) плотно в (B). Итак, (C) плотно в (B), а (B) плотно в (L_{2}^{C}(a, b)). В силу леммы 3 (C) плотно в (L_{2}^{C}(a, b)). (bullet)

Пополнением унитарного пространства (E) называется полное унитарное пространство (tilde{E}), содержащее плотное в (tilde{E}) подпространство (L), изоморфное (E).

Теорема 1.

Для любого унитарного пространства существует пополнение, единственное с точностью до изоморфизма.

Доказательство.

Данная теорема приводится без доказательства.

Пополнение пространства (L_{2}^{C}(a, b)) называется пространством (L_{2}(a, b)). Можно показать, что (L_{2}^{C}(a, b)) изоморфно гильбертову пространству функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу.

Ряды Фурье по ортогональным системам.

Пусть (H) бесконечномерное унитарное пространство. Систему элементов ({e_{i}}_{i=1, ldots} in H) будем называть линейно независимой, если при любом (n) элементы (e_{1}, e_{2}, ldots, e_{n}) линейно независимы. Если любой элемент (x in H) можно представить в виде суммы сходящегося ряда
$$
x=lim_{m rightarrow infty} sum_{n=1}^{m} x_{n}e_{n}=sum_{n=1}^{infty}x_{n}e_{n},label{ref8}
$$
то линейно независимая система ({e_{i}}) называется базисом в (H). Система ({e_{i}}) называется ортогональной, если ((e_{i}, e_{j})=0) при (i neq j), и ортонормированной, если ((e_{i}, e_{j})=delta_{ij}), где (delta_{ij}) — символ Кронекера, то есть (delta_{ij}=0) при (i neq j) и (delta_{ii}=1). Если, кроме того, ({e_{i}}) есть базис, то будем говорить об ортогональных и ортонормированных базисах.

Если ({e_{i}}) — ортогональный базис, то все коэффициенты (x_{n}) ряда eqref{ref8} могут быть выражены через (x). Так как элементы (e_{i}) ортогональны, то при (k leq n) имеем
$$
left(sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}, e_{k}right)=x_{k}(e_{k}, e_{k}).label{ref9}
$$
Так как (x=displaystylelim_{n rightarrow infty} sum_{i=1}^{n} x_{i}e_{i}), а скалярное произведение непрерывно, то, переходя в eqref{ref9} к пределу при (n rightarrow infty), получаем
$$
x_{k}=dfrac{(x, e_{k})}{left|e_{k}right|^{2}}, k in N.label{ref10}
$$
Если базис ортонормированный, то (left|e_{k}right|=1) и (x_{k}=(x, e_{k})). Числа (x_{k}) называются коэффициентами Фурье элемента (x) по ортогональной системе ({e_{i}}).

Если теперь отказаться от требования, чтобы ортогональная система ({e_{i}}) была базисом в (H), то коэффициенты Фурье элемента (x) все равно можно вычислять по формуле eqref{ref10}. Выражение (displaystylesum_{k=1}^{infty}x_{k}e_{k}) где (x_{k}) — коэффициенты Фурье элемента (x), будем называть рядом Фурье элемента (x) по ортогональной системе ({e_{i}}). Так как, вообще говоря, ряд может и не сходиться, то будем писать
$$
x sim sum_{k=1}^{infty}x_{k}e_{k},quad x_{k}=dfrac{(x, e_{k})}{left|e_{k}right|^{2}}.nonumber
$$

Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

Теорема 2.

Пусть ({e_{i}}) — ортонормированная система элементов унитарного пространства (E), (x) — произвольный элемент пространства (E), (n in N). Тогда из всех линейных комбинаций (displaystylesum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}), где (alpha_{i} in mathbb{C}), (i=overline{1, n}), наилучшим образом приближает элемент (x) но норме пространства (E) (n)-я частичная сумма ряда Фурье элемента (x) по ортонормированной системе ({e_{i}}), то есть
$$
min_{alpha_{1}, ldots, alpha_{n} in mathbb{C}} left|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right|=left|x-sum_{i=1}^{n}(x, e_{i})e_{i}right|.nonumber
$$

Доказательство.

(circ) Обозначим (sigma_{n}=displaystyleleft|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right|^{2}). Так как (left|xright|^{2}=(x, x)), то
$$
0 leq sigma_{n}=left(x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}, x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right)=(x, x)-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}(e_{i}, x) -\- sum_{i=1}^{n}overline{alpha}_{i}(e_{i}, x)+sum_{i=1}^{n}alpha_{i}overline{alpha}_{i}=(x, x)-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}overline{x}_{i}-sum_{i=1}^{n}overline{alpha}_{i}x_{i}+sum_{i=1}^{n}alpha_{i}overline{alpha}_{i} =\= left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+sum_{i=1}^{n}(alpha_{i}-x_{i})(overline{alpha}_{i}-overline{x}_{i}).nonumber
$$
Следовательно, $$ 0 leq sigma_{n}=left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}+sum_{i=1}^{n}|alpha_{i}-x_{i}|^{2}.label{ref11}
$$

Из равенства eqref{ref11} следует, что минимум (sigma_{n}) достигается при (alpha_{i}=x_{i}), причем
$$
0 leq min_{alpha_{1} in mathbb{C}, i=overline{1, n}} sigma_{n}=left||x-sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}right||^{2}=left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}, x_{i}=(x, e_{i}). bulletlabel{ref12}
$$

Следствие.

Для коэффициентов Фурье элемента (x) по ортонормированной системе ({e_{i}}) справедливо неравенство Бесселя
$$
sum_{i=1}^{infty}|x_{i}|^{2} leq left|xright|^{2}.label{ref13}
$$

(circ) Из eqref{ref12} следует, что (sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} leq left|xright|^{2}). Переходя к пределу при (n rightarrow infty), получаем неравенство Бесселя. (bullet)

Полнота системы элементов {e_i} в унитарном пространстве. Полнота тригонометрической системы в L₂(-π, π).

Система элементов ({e_{i}}) называется полной в унитарном (нормированном) пространстве (E), если любой элемент (x in E) может с любой степенью точности быть приближен по норме конечной линейной комбинацией (displaystylesum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}) то есть для любого (varepsilon > 0) найдется линейная комбинация (displaystylesum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}) такая, что
$$
left|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right| < varepsilon.label{ref14}
$$

Теорема 3.

Если ({e_{i}}) — ортонормированная система в унитарном пространстве (H), то следующие условия эквивалентны:

система ({e_{i}}) полна в (H);
для любого (x in H) справедливо равенство Парсеваля
$$
left|xright|^{2}=sum_{i=1}^{infty}|x_{i}|^{2}, x_{i}=(x, e_{i});label{ref15}
$$
для любого (x in H) выполнено равенство
$$
x=sum_{i=1}^{infty}x_{i}e_{i}.label{ref16}
$$

Доказательство.

(circ) Докажем, что 1)(Rightarrow)2). Пусть ортонормированная система ({e_{i}}) полна в (H). Тогда для любого (varepsilon > 0) найдется линейная комбинация (displaystylesum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}) такая, что справедливо неравенство eqref{ref14}.

В силу минимального свойства коэффициентов Фурье
$$
0 leq left|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right|^{2}=left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} leq left|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right|^{2} < varepsilon^{2}.
$$
Используя это неравенство и неравенство eqref{ref13}, получаем
$$
0 leq left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{infty}|x_{i}|^{2} leq left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} < varepsilon^{2}.nonumber
$$
В силу произвольности (varepsilon) должно быть справедливо равенство Парсеваля eqref{ref15}.

Докажем, что 2)(Rightarrow)3). Пусть справедливо равенство Парсеваля eqref{ref15}. Тогда
$$
left|x-sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}right|^{2}=left|xright|^{2}-sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2} rightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty,
$$
то есть справедливо равенство eqref{ref16}.

Утверждение 3)(Rightarrow)1) очевидно. (bullet)

Лемма 5.

Пусть подпространство (L) плотно в унитарном пространстве (H), а система ({e_{i}}) полна в (L). Тогда система элементов ({e_{i}}) полна в (H).

Доказательство.

(circ) Пусть (x) — произвольный элемент пространства (H). Так как (L) плотно в (H), то для любого (varepsilon > 0) найдется элемент (y in L) такой, что (displaystyleleft|x-yright| < frac{varepsilon}{2}) Так как система ({e_{i}}) полна в (L), то найдется линейная комбинация (displaystylesum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}) такая, что
$$
left|y-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right| < frac{varepsilon}{2}.nonumber
$$
Тогда
$$
left|x-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right| leq left|x-yright|+left|y-sum_{i=1}^{n}alpha_{i}e_{i}right| < frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2}=varepsilon.nonumber
$$
Поэтому ({e_{i}}) — полная система в пространстве (H). (bullet)

Теорема 4.

Тригонометрическая система полна в (L_{2}(-pi, pi)).

Доказательство.

(circ) Пространство (L_{2}(-pi, pi)) есть пополнение (L_{2}^{C}(-pi, pi)). Поэтому (L_{2}^{C}(-pi, pi)) плотно в (L_{2}(-pi, pi)). Пространство непрерывных функций, принимающих одинаковые значения в точках (pi) и (-pi), в силу леммы 4 плотно в (L_{2}^{C}(-pi, pi)), а следовательно, и в (L_{2}(-pi, pi)).

Осталось, в силу леммы 5, показать, что тригонометрическая система полна в подпространстве (L) непрерывных на ([-pi, pi]) функций, принимающих одинаковые значения в точках (pi) и (-pi). Каждую такую функцию можно в силу теоремы Вейерштрасса равномерно приблизить тригонометрическим многочленом (T(x)), то есть
$$
max_{-pi leq x leq pi} |f(x)-T(x)| < varepsilon,nonumber
$$
где (T(x)=displaystylefrac{A_{0}}{2}+sum_{n=1}^{n} A_{n} cos nx+B_{n} sin nx).

Но тогда (f(x)) можно приблизить с любой степенью точности тригонометрическим многочленом и по норме пространства (L_{2}(-pi, pi)) (в смысле среднего квадратичного), так как
$$
left|f-Tright|=left(intlimits_{-pi}^{pi}|f-T|^{2}dxright)^{1/2} leq varepsilon sqrt{2pi}.nonumber
$$

Итак, тригонометрическая система полна в (L_{2}(-pi, pi)). (bullet)

Следствие.

Из теорем 3 и 4 следует, что для любой функции (f in L_{2}^{C}[-pi, pi]), в частности, для любой непрерывной или кусочно непрерывной функции, выполнено равенство Парсеваля
$$
frac{|a_{0}|^{2}}{2}+sum_{n=1}^{infty} |a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}=frac{1}{pi}intlimits_{-pi}^{pi}|f(x)|^{2} dxnonumber
$$
и ряд Фурье такой функции сходится в смысле среднего квадратичного к функции (f(x)), то есть
$$
lim_{n rightarrow infty} intlimits_{-pi}^{pi} left|f(x)-frac{a_{0}}{2}-sum_{k=1}^{n} (a_{k} cos kx+b_{k} sin kx)right|^{2}dx=0.nonumber
$$

Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональной системы в гильбертовом пространстве.

Теорема 5.

Пусть (H) — гильбертово пространство и ({e_{i}}) — ортонормированная система элементов. Для того чтобы ряд
$$
sum_{i=1}^{infty}alpha_{i}e_{i}nonumber
$$
сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд
$$
sum_{i=1}^{infty}|alpha_{i}|^{2}.nonumber
$$

Доказательство.

(circ) Необходимость следует из неравенства Бесселя. Если (x=displaystylesum_{i=1}^{infty}alpha_{i}e_{i}), то (alpha_{i}=displaystylelim_{n rightarrow infty} left(sum_{k=1}^{n}alpha_{k}e_{k}, e_{i}right)=(x, e_{i})) и (displaystylesum_{i=1}^{infty}|alpha_{i}|^{2} leq left|xright|^{2}).

Достаточность. Пусть числовой ряд (displaystylesum_{i=1}^{infty}|alpha_{i}|^{2}) сходится. Тогда для любого (varepsilon > 0) найдется такой номер (N), что для всех (n, m > N) выполнено неравенство
$$
sum_{k=n}^{m}|alpha_{i}|^{2} < varepsilon.nonumber
$$

Последовательность частичных сумм ряда (displaystylesum_{i=1}^{infty}alpha_{i}e_{i}) будет фундаментальной, так как при любых (n, m > N) выполнено условие
$$
left|s_{n}-s_{m}right|^{2}=left|sum_{i=n}^{m}alpha_{i}e_{i}right|^{2}=sum_{i=n}^{m}|alpha_{i}|^{2} < varepsilon,nonumber
$$
где (s_{n}=alpha_{1}e_{1}+ldots+alpha_{n}e_{n}).

Но в полном пространстве любая фундаментальная последовательность сходится. Следовательно, последовательность частичных сумм (s_{n}) сходится, то есть ряд (displaystylesum_{i=1}^{infty}alpha_{i}e_{i}) сходится. (bullet)

Следствие.

Если ({e_{i}}) — ортонормированная система в гильбертовом пространстве (H), то для любого (x in H) ряд Фурье по ортонормированной системе ({e_{i}}) сходится и элемент (x) представим в виде
$$
x=sum_{i=1}^{infty}x_{i}e_{i}+y, mbox{где} x_{i}=(x, e_{i}), (y, e_{i})=0, i in N.label{ref17}
$$

(circ) Пусть (displaystylesum_{i=1}^{infty}x_{i}e_{i}) есть ряд Фурье элемента (x). В силу неравенства Бесселя числовой ряд (displaystylesum_{i=1}^{infty}|x_{i}|^{2}) сходится. Из теоремы 5 тогда следует, что ряд (displaystylesum_{i=1}^{infty}x_{i}e_{i}) будет сходящимся.

Пусть
$$
y=x-sum_{i=1}^{infty}x_{i}e_{i}=lim_{n rightarrow infty} left(x-sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}right).nonumber
$$

В силу ортогональности системы ({e_{i}}) и непрерывности скалярного произведения справедливо равенство
$$
(y, e_{i})=lim_{n rightarrow infty} left(x-sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}, e_{i}right)=(x, e_{i})-x_{i}=0, i in N. bulletnonumber
$$

Ортогональная система ({e_{i}}) называется замкнутой в унитарном пространстве (H), если для любого (x in H) из ((x, e_{i})=0), (i=1, 2, ldots), следует (x=0).

Теорема 6.

Для того чтобы ортонормированная система была полной в унитарном пространстве, необходимо, а в случае полного пространства и достаточно, чтобы она была замкнутой.

Доказательство.

(circ) Необходимость. Пусть ({e_{i}}) — полная система в унитарном пространстве (H). Если для элемента (x in H) справедливы равенства ((x, e_{i})=0), (i in N), то, применяя равенство Парсеваля, получаем
$$
left|xright|^{2}=sum_{i=1}^{infty}|x_{i}e_{i}|^{2}=0,nonumber
$$
то есть (x=0).

Достаточность. Пусть (H) — полное пространство. Тогда каждый элемент (x in H) можно представить в виде eqref{ref17}. Так как система ({e_{i}}) замкнута, то из равенств ((y, e_{i})=0), (i in N), следует, что (y=0). Таким образом, любой элемент (x) есть сумма своего ряда Фурье по ортонормированной системе ({e_{i}}). Следовательно, система ({e_{i}}) полна в (H). (bullet)

Источник

Среднеквадратичная ошибка представления функции рядом фурье

Сходимость ряда Фурье в смысле среднего квадратичного

Унитарное пространство.

Нормированные пространства.

Сходимость. Полные пространства. Гильбертовы пространства.

Пополнение унитарного пространства.

Ряды Фурье по ортогональным системам.

Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.

Полнота системы элементов {ei} в унитарном пространстве. Полнота тригонометрической системы в L2(-π, π).

Эквивалентность полноты и замкнутости ортогональной системы в гильбертовом пространстве.

А вот еще интересные материалы:

Полнота системы элементов {e_i} в унитарном пространстве. Полнота тригонометрической системы в L₂(-π, π).