|
|
Макеты страниц
или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «наибольшего уклонения». На рис. 118 изображены различные приближенные кривые (пунктирные) для данной функции 
(сплошная). Наибольшее уклонение кривой 
меньше, чем кривой (2), но в общем кривая 
гораздо больше отличается от истинной, чем кривая (2); сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке 
гораздо реже, чем уклонения кривой 
Рис. 118.
При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичная погрешность», которая определяется следующим образом: пусть при измерении величины z получены значения:
погрешность каждого измерения есть
средняя же квадратичная погрешность 
определяется по формуле
т. е. 
есть корень квадратный из среднего арифметического квадратов погрешностей.
Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы (32) к нашей функции 
Здесь только нужно помнить, что мы имеем дело не с конечным числом значений, а с бесчисленным множеством их, и притом распределенных непрерывно по всему промежутку 
. Таким образом каждая отдельная погрешность будет не что иное, как 
и средняя арифметическая их квадратов будет
а средняя квадратичная погрешность 
выражения (32) найдется из формулы
Нам остается теперь подобрать постоянные 
так, чтобы величина была наименьшей, т. е. решить обыкновенную задачу на минимум функции от 
переменных.
Прежде всего упростим выражение (33) для 
Произведя возвышение в квадрат, мы находим
где 
означает линейную комбинацию выражений вида:
В силу свойства ортогональности тригонометрических функций [154], интеграл от всех этих выражений по промежутку 
те) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от 
по этому промежутку. Интегралы от 
как известно, равны 
, и, подставляя выражение (34) в формулу (33), получим
Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции 
можем переписать выражение 
в следующем виде:
или, вычитая и прибавляя сумму
можем написать
наименьшее значение 
будет, очевидно, в том случае, когда два последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т. е. это будет иметь место, если положить 
и вообще 
Итак, средняя квадратичная погрешность приближенного выражения функции 
посредством тригонометрического полинома 
порядка будет наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициенты Фурье функции 
Отметим при этом одно важное обстоятельство. Из полученного результата следует, что значения 
которые обращают в минимум 
не зависят от значка п. Если мы увеличим 
то нам надо будет добавить новые коэффициенты 
и но уже вычисленные коэффициенты останутся прежними.
Величину 
наименьшей погрешности мы получим по формуле (35), заменив там 
соответственно на 
что дает
или
При возрастании 
т. е. порядка тригонометрического полинома, в правой части (37) будут добавляться новые отрицательные (или, во всяком случае, не положительные) слагаемые: 
и таким образом погрешность 
может только уменьшаться при увеличении 
, т. е. точность приближения увеличивается (не уменьшается) при возрастании 
.
Величина выражается формулой (33), если в ней заменить 
на 
т. е. выражается интегралом от квадрата некоторой
функции, а потому 
наверно положительна или, точнее говоря, не отрицательна. Принимая это во внимание, получим, в силу (37),
Пока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств 
Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобы существовали все те интегралы, которыми мы пользовались, т. е. чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам (9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для определенности будем считать, что 
непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралы наверно имеют смысл [I, 116]. Можно сделать относительно 
и гораздо более общие предположения, и во всяком случае во всех предыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле. Вернемся к неравенству (38). При увеличении 
сумма положительных слагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при этом будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюда непосредственно вытекает, что бесконечный ряд
будет рядом сходящимся [I, 120]. Устремляя 
к бесконечности и переходя в неравенстве (38) к пределу, получим:
Принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему:
Теорема. При сделанных предположениях относительно 
ее коэффициенты Фурье 
стремятся к нулю при 
При ншей новой точке зрения основным является следующий вопрос: будет ли погрешность 
стремиться к нулю при беспредельном возрастании 
. Если в правой части формулы (37) мы перейдем к пределу при беспредельном увеличении 
то вместо конечной суммы получим бесконечный ряд т. е.
откуда вытекает, что стремление к нулю 
равносильно тому, что в формуле (39) мы имеем знак равенства, т. е.
Уравнение это обычно называется уравнением замкнутости. В следующем параграфе настоящей главы мы докажем, что 
т. е. что уравнение (40) действительно имеет место для всех функций 
с указанными выше свойствами.
Оглавление
- ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
- ГЛАВА I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- § 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
- 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности.
- 3. Уравнения с отделяющимися переменными.
- 4. Примеры.
- 5. Однородное уравнение.
- 6. Линейные уравнения и уравнение Бернулли.
- 7. Способ Эйлера—Коши.
- 8. Применение степенных рядов.
- 9. Общий интеграл и особое решение.
- 10. Уравнения, не решенные относительно у’.
- 11. Уравнение Клеро.
- 12. Уравнение Лагранжа.
- 13. Огибающие семейства кривых и особые решения.
- 14. Изогональные траектории.
- § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
- 16. Графические способы интегрирования дифференциального уравнения второго порядка.
- 17. Уравнение у^(n)=f(x).
- 18. Понижение порядка дифференциального уравнения.
- 19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- 20. Примеры.
- 21. Системы уравнений и уравнения высших порядков.
- 22. Линейные уравнения с частными производными.
- 23. Геометрическая интерпретация.
- 24. Примеры.
- ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 25. Линейные однородные уравнения второго порядка.
- 26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка.
- 27. Линейные уравнения высших порядков.
- 28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- 29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- 30. Частные случаи.
- 31. Корни решений и колеблющиеся решения
- 32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- 33. Линейные уравнения и колебательные явления.
- 34. Собственные и вынужденные колебания.
- 35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс.
- 36. Предельные задачи.
- 37. Примеры.
- 38. Символический метод.
- 39. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
- 40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- 41. Пример.
- 42 Уравнение Эйлера.
- 43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
- 44. Примеры
- § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
- 45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда
- 46. Примеры.
- 47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд.
- 48. Уравнение Бесселя
- 49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя
- § 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
- 50. Метод последовательных приближений для линейных уравнений.
- 51. Случай нелинейного уравнения.
- 52. Дополнения к теореме существования и единственности.
- 53. Сходимость метода Эйлера — Коши.
- 54. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка.
- 55. Автономные системы.
- 56. Примеры.
- ГЛАВА III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
- § 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- 58. Двукратный интеграл.
- 59. Вычисление двукратного интеграла.
- 60. Криволинейные координаты.
- 61. Трехкратный интеграл
- 62. Цилиндрические и сферические координаты.
- 63. Криволинейные координаты в пространстве.
- 64. Основные свойства кратных интегралов.
- 65. Площадь поверхности.
- 66. Интегралы по поверхности и формула Остроградского.
- 67. Интегралы по определенной стороне поверхности.
- 68. Моменты.
- § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- 69. Определение криволинейного интеграла.
- 70. Работа силового поля. Примеры.
- 71. Площадь и криволинейный интеграл.
- 72. Формула Грина
- 73. Формула Стокса.
- 74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости.
- 75. Случай многосвязной области.
- 76. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.
- 77. Установившееся течение жидкости.
- 78. Интегрирующий множитель.
- 79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных.
- 80. Замена переменных в двойном интеграле.
- § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
- 81. Интегрирование под знаком интеграла.
- 82. Формула Дирихле.
- 83. Дифференцирование под знаком интеграла
- 84. Примеры.
- 85. Несобственные интегралы.
- 86. Неабсолютно сходящиеся интегралы.
- 87. Равномерно сходящиеся интегралы.
- 88. Примеры.
- 89. Несобственные кратные интегралы.
- 90. Примеры.
- § 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- 92. Основные теоремы.
- 93. Счетные множества. Действия над точечными множествами.
- 94. Мера Жордана.
- 95. Квадрируемые множества.
- 96. Независимость от выбора осей.
- 97. Случай любого числа измерений.
- 98. Интегрируемые функции.
- 99. Вычисление двойного интеграла.
- 100. n-кратные интегралы.
- 101. Примеры.
- 102. Внешняя мера Лебега.
- 103. Измеримые множества.
- 104. Измеримые функции.
- 105. Дополнительные сведения.
- 106. Интеграл Лебега.
- 107. Свойства интеграла Лебега.
- 108. Интегралы от неограниченных функций.
- 109. Предельный переход под знаком интеграла.
- 110. Теорема Фубини.
- 111. Интегралы по множеству бесконечной меры.
- ГЛАВА IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ
- 112. Сложение и вычитание векторов.
- 113. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов.
- 114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
- 115. Скалярное произведение.
- 116. Векторное произведение.
- 117. Соотношения между скалярным к векторным произведениями.
- 118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора.
- § 11 ТЕОРИЯ ПОЛЯ
- 119. Дифференцирование вектора
- 120. Скалярное поле и его градиент.
- 121. Векторное поле; расходимость и вихрь.
- 122. Потенциальное и соленоидальное поля.
- 123. Направленный элемент поверхности.
- 124. Некоторые формулы векторного анализа.
- 125. Движение твердого тела и малая деформация.
- 126. Уравнение непрерывности.
- 127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости.
- 128. Уравнения распространения звука.
- 129. Уравнение теплопроводности.
- 130. Уравнения Максвелла.
- 131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах.
- 132. Операция дифференцирования для случая переменного поля.
- ГЛАВА V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- 133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта.
- 134. Эвольвента.
- 135. Естественное уравнение кривой.
- 136. Основные элементы кривой в пространстве.
- 137. Формулы Френе.
- 138. Соприкасающаяся плоскость.
- 139. Винтовые линии.
- 140. Поле единичных векторов.
- § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- 141. Параметрические уравнения поверхности.
- 142. Первая дифференциальная форма Гаусса.
- 143. Вторая дифференциальная форма Гаусса.
- 144. О кривизне линий, начерченных на поверхности.
- 145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера.
- 146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.
- 147. Линии кривизны.
- 148. Теорема Дюпена.
- 149. Примеры.
- 150. Гауссова кривизна.
- 151. Вариация элемента площади и средняя кривизна.
- 152. Огибающая семейства поверхностей и кривых.
- 153. Развертывающиеся поверхности.
- ГЛАВА VI. РЯДЫ ФУРЬЕ
- 154. Ортогональность тригонометрических функций.
- 155. Теорема Дирихле.
- 156. Примеры.
- 157. Разложение в промежутке (0, п).
- 158. Периодические функции периода 2l.
- 159. Средняя квадратичная погрешность.
- 160. Общие ортогональные системы функций.
- 161. Класс L2
- 162. Сходимость в среднем.
- 163. Ортонормированные системы в L2.
- § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ
- 164. Разложение в ряд Фурье.
- 165. Вторая теорема о среднем.
- 166. Интеграл Дирихле.
- 167. Теорема Дирихле.
- 168. Приближение к непрерывной функции полиномами.
- 169. Формула замкнутости.
- 170. Характер сходимости рядов Фурье.
- 171. Улучшение сходимости рядов Фурье.
- 172. Пример.
- § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
- 173. Формула Фурье.
- 174. Ряды Фурье в комплексной форме.
- 176. Кратные ряды Фурье.
- ГЛАВА VII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- 176. Уравнение колебаний струны.
- 177. Решение Даламбера.
- 178. Частные случаи.
- 179. Ограниченная струна.
- 180. Способ Фурье.
- 181. Гармоники и стоячие волны.
- 182. Вынужденные колебания.
- 183. Сосредоточенная сила.
- 184. Формула Пуассона.
- 185. Цилиндрические волны.
- 186. Случай n-мерного пространства.
- 187. Неоднородное волновое уравнение.
- 188. Точечный источник.
- 189. Поперечные колебания мембран.
- 190. Прямоугольная мембрана.
- 191. Круглая мембрана.
- 192. Теорема единственности.
- 193. Применение интеграла Фурье.
- § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ
- 195. Установившиеся процессы.
- 196. Устанавливающиеся процессы.
- 197. Примеры.
- 198. Обобщенное уравнение колебаний струны.
- 199. Неограниченная цепь в общем случае.
- 200. Способ Фурье для ограниченной цепи.
- 201. Обобщенное волновое уравнение.
- § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
- 202. Гармонические функции.
- 203. Формула Грина.
- 204. Основные свойства гармонических функций.
- 205. Решение задачи Дирихле для круга.
- 206. Интеграл Пуассона.
- 207. Задача Дирихле для сферы.
- 208. Функция Грина.
- 209. Случай полупространства.
- 210. Потенциал объемных масс.
- 211. Уравнение Пуассона.
- 212. Формула Кирхгофа.
- § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
- 214. Неограниченный стержень.
- 215. Стержень, ограниченный с одного конца.
- 216. Стержень, ограниченный с обоих концов.
- 217. Дополнительные замечания.
- 218. Случай сферы.
- 219. Теорема единственности.
Цель
работы. Изучить возможности синтеза
сигналов с помощью ряда Фурье по
ортогональной системе тригонометрических
функций. Синтезировать периодические
сигналы различной формы и исследовать
влияние числа ортогональных составляющих
на погрешность аппроксимации.
4.1. Разложение сигналов в обобщенный ряд фурье
4.1.1. Спектры простейших периодических функций
Если
функция
четная (симметричная относительно оси
ординат), т.е.
,
то в этом случае
;
(4.1)
.
(4.2)
Разложение
функции будет следующим
. (4.3)
Аналогично
для нечетной функции можно найти, что
. (4.4)
На
рис. 4.1 показана последовательность
прямоугольных импульсов которую можно
рассматривать как четную функцию.
Рис.
4.1. Последовательность прямоугольных
импульсов
По
формуле (4.1) находим амплитуду
-й
гармоники:
. (4.5)
Постоянная
составляющая будет равна
;
. (4.6)
где
–
скважность импульсов. Разложение функции
запишется в виде:
. (4.7)
Графически
амплитудный и фазовый спектры прямоугольных
импульсов показаны на рис. 4.2.
Расстояния
между отдельными спектральными
составляющими обратно пропорциональны
периоду следования импульсов —
,
а положение нулей кратно
.
а) б)
Рис.
4.2. Амплитудный и фазовый спектры
прямоугольных импульсов
Можно
показать, что для импульсов, представленных
на рис. 4.3, разложения в ряд Фуре будут
иметь следующий вид:
а) б)
Рис.
4.3. Пилообразное колебание и треугольные
импульсы
для
периодического пилообразного колебания
(рис 4.3,а);
; (4.8)
для
периодической последовательности
треугольных импульсов (рис.4.3,б):
. (4.9)
4.1.2. Мощность и действующее значение периодического сигнала
Пусть
несинусоидальный периодический ток
течет через активное сопротивление
.
Средняя за период мощность будет равна
. (4.10)
здесь
мгновенная мощность. Представим функцию
в виде ряда Фурье (4.6), тогда
.
Возводя
в квадрат и интегрируя каждое из слагаемых
можно убедиться, что только интегралы
вида:
, 
имеют
значения, не равные 0. Все остальные
интегралы равны нулю Поэтому после
интегрирования получим
,
где
. (4.11)
;
;
. (4.12)
Величины
,
,
,
,
… называют действующими значениями
тока. Аналогично вычисляются и
действующие значения напряжения. Если
сопротивление
Ом, то мощность равна
. (4.13)
Последнее
выражение справедливо для любой
периодической функции, т.е.
. (4.14)
В
таком виде последнее соотношение носит
название равенства Парсеваля.
4.1.3. Среднеквадратическая погрешность аппроксимации
Представим
приближенно функцию
разложением в усеченный ряд по
ортонормированным базисным функциям
(см. п. 2.1)
(4.15)
и
определим коэффициенты
так, чтобы минимизировать среднеквадратическую
погрешность:
.
С
учетом (2.4) можно записать
. (4.16)
Погрешность
принимает минимальное значение, если
,
т.е. если коэффициенты разложения в
усеченном представлении (4.15) являются
коэффициентами обобщенного ряда Фурье.
Исходя из (4.16) можно записать
или
. (4.17)
Неравенство
(4.17) называют неравенством Бесселя.
С ростом
величина среднеквадратической погрешности
уменьшается. Если при
среднеквадратическая погрешность
стремится к нулю, то систему базисных
функций
называют полной. Эта система функций
является также замкнутой, т.к. для
любой функции
неравенство (4.17) переходит при
в равенство.
Точность
аппроксимации периодических сигналов
зависит от числа членов ряда при конечном
числе членов ряда. Относительную
среднеквадратическую погрешность
аппроксимации периодической функции
конечным числом членов ряда Фурье можно
определить по формуле :
. (4.18)
где
— средняя мощность сигнала;
— средняя мощность
-й
ортогональной составляющей сигнала.
Экспериментальное
значение погрешности аппроксимации
может быть найдено следующим образом.
Пусть имеется
экспериментально полученных точек
сигнала. Известен также теоретический
вид зависимости. Тогда погрешность
аппроксимации может быть вычислена
следующим образом
, (4.19)
где
— теоретическое значение отсчета сигнала
в момент времени
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Остаточный член ряда Фурье. Погрешности приближения функций. Численное дифференцирование
Страницы работы
Содержание работы
12.Остаточный член ряда Фурье.
Для функции f(x) Î L2[a,b]
обобщенный ряд Фурье сходится к ней в среднеквадратичном смысле и методическая
погрешность аппроксимации может быть определена выражением (1.48)
Представим
 |
Имея ввиду, что функции gr(x), rÎ[0,l] ортогональны, а коэфиценты Фурье вычисляются по
соотношению (1.51) получим
 |
oткуда
 |
(1.54)
а если gr(x), rÎ[0,l] ортонормированные, то
 |
(1.55)
Если на приближаемую функцию
наложить дополнительные ограничения, то обобщенный ряд Фурье может сходиться к ней
и в равномерном смысле. Например, необходимым и достаточным условием
равномерной сходимости обобщенного ряда Фурье по полиномам Лежандра или
Чебышева к f(x) на [a,b]. Независимо от типа сходимости, иногда оказывается
необходимо оценить погрешность аппроксимации на [a,b] в
виде максимального отклонения ряда Фурье от приближаемой f(x), что
можно осущесвить дав оценку остаточного члена ряда Фурье
 |
(1.56)
Однако в общнм случае
аппроксимации таких оценок не существует. В частности, же, например, для (l+1) раз
дифферинцируемых функций f(x), xÎ[a,b]
 |
(1.57)
где a(x) –
значение частичной суммы ряда Фурье на [a,b].Если
более конкретизировать
задачу аппроксимации, положив
в качестве базисных функций ряда Фурье полиномы Чебышева, то
 |
(1.58)
Оценка остаточного члена ряда
Фурье для непрерывной, преиодической, периода 2p функции f(x)
 |
(1.59)
где K – некоторая
константа, определение которой, вообще говоря, проблематично, l
— максимальное значение скорости изменения f(x) на
интервале аппроксимации. Оценки (1.57) ¸(1.59) являются
неконструктивными, поскольку содержат в себе параметры, определение которых
практически невозможны или вызывают существенные трудности. Представляется
целесообразным в случае неоходимости оценку остаточного члена (1.56) давать по
некоторой модели аппроксимируемой функции, которая принадлежит к тому же
классу, что и f(x), но в то же время является наиболее неблагоприятной в
отношении точности аппроксимации. Учитывая наиболее вероятную с практической
точки зрения априорную информацию об аппроксимируемой функции, за такую модель
может быть принята функция вида
 |
(1.60)
где fmin и
fmax – минимальное и максимальное значение f(x) на [a,b], WМ –
максимальное значение круговой частоты спектра аппроксимируемой функции, если
таковая информация может быть получена, или
WМ = VМ / AМ
где VМ – максимальная скорость изменения f(x) на [a,b]. При
аппроксимации модели (1.60) обобщенными рядами Фурье по полиномам Лежандра и
Чебышева первого рода были получены экспериментальные номограммы
 |
которые позволили дать оценки остаточных членов в
следующем аналитическом виде
(1.61)
где K≈0,212(5,3125 + l) для полиномов
Лежандра и Kl =4
для полиномов Чебышевва. Следует отметить, что модельная оценка (1.61)
совпадает с оценкой (1.58), если модели положить AМ = 1,
 |
a
 |
имея в виду, что
13.Погрншности приближения функций.
Результирующая погрешноси
приближения функции f(x), xÎ[a,b] в виде некоторой F(x), xÎ[a,b]
вобщем случае складывается составляющих .
1. Методическая погрешность
используемого способа приближения, возникающая из-за отбрасывания остаточного
члена при опрнделении F(x). Данная погрешность уменьшается с увеличением числа
слагаемых в F(x), и в ряде случаев её удаётся оценить.
2. Погрешность приближенных
вычислений ЭВМ, которые, в свою очередь, можно подразделить на две группы:
Методическая погрешность,
возникающая в результате использования численных методовпри реализации
алгоритмов вычислений требуемых параметров. Данная погрешность имеет место,
например, при исппользовании квадратурных формул численного интегрирования для
определения коэфициентов Фурье. Эта погрешность может быть уменьшена за счет
использования более точного вычислительного алгоритма и оценена в виде
методической погрешности данного алгоритма.
Вычислительная погрешность,
порождаемая конечностью разрядной сетки памяти ЭВМ и зависящая (при выбранном
алгоритме) от возможностей используемой вычислительной техники.
3. Погрешность от неточного
задания исходных данных, которая носит случайный характер и может быть оценена
вероятностными характеристиками. На пример, при аппроксимации некоторой
функции f*(x)=f(x)+ sf(x), где
sf(x) –
погрешности, искажающие истинную f(x) и
характеризуемые математическим ожиданием М{sf(x)}=0
и дисперсией D{sf(x)}=s2, увеличение числа учитываемых членов ряда Фурье
приводит к тому, что математическое ожидание случайной погрешности определения
коэффициентов Фурье остаётся нулевым, а вот дисперсия возрастает.
Анализируя поведение
приведённых погрешностей в зависимости от числа слагаемых в приближающей F(x),
можно сделать вывод, что увеличение количества учитываемых членов в F(x)
приводит к тому, чтометодическая погрешность приближения уменьшается, в то
время как все остальные, связанные, как правило, свычислением коэфициентов
приближающей функции, возрастает. Таким образом, существует некое оптимальное
значение числа учитываемых членов функции F(x),
превышение которого приведёт к увеличению результирующей погрешности, поскольку
скорость нарастания вычислительной погрешности становится больше, чем скорость
уменьшения методической.
Похожие материалы
- Аппроксимация кубическим сплайном (моделирование сплайн-интерполяции)
- Вычисление корней многочлена p(x) = x6 + 5×5 – 7×4 + 3×3 – 6×2 + x +12 различными методами. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Использование методов вычислительной математики для решения задач с использованием доступных средств компьютерной поддержки
Информация о работе
Тип:
Ответы на экзаменационные билеты
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание — внизу страницы.