Случайная
погрешность
– это составляющая
погрешности измерения, проявляющаяся
в виде непредсказуемых отклонений от
истинного значения физической величины,
меняющихся от одного наблюдения к
другому. Данная погрешность обусловлена
влиянием на результаты измерения
множества факторов, воздействие которых
на каждое отдельное измерение невозможно
учесть или заранее предсказать. Такими
причинами могут быть перепады напряжения
в сети, вибрация установки, изменения
атмосферного давления, температуры,
электрических, магнитных и радиационных
полей, а также ошибки, связанные с
действиями самого экспериментатора
(неправильное считывание показаний
приборов, различная скорость реакции
и т. п.).
Случайную погрешность нельзя исключить
из результатов измерений, однако,
пользуясь статистическими методами,
можно учесть её влияние на оценку
истинного значения измеряемой величины.
В процессе измерения
оба вида погрешностей проявляются
одновременно, и погрешность измерения
можно представить в виде суммы:
изм
=
+
где
— случайная, а
— систематическая погрешности.
Полная погрешность
измерения, являющаяся суммой указанных
составляющих, может быть представлена
в абсолютном, относительном или
нормированном виде.
Абсолютная
погрешность
– это погрешность измерения, выраженная
в единицах измеряемой величины. Наряду
с абсолютной погрешностью часто
используется термин абсолютное
значение погрешности,
под которым понимают значение погрешности
без учета ее знака. Эти два понятия
различны.
Абсолютная
погрешность
определяется как разность
или
Относительная
погрешность
– это погрешность измерения, выраженная
отношением абсолютной погрешности к
результату измерения:
Приведенная
погрешность
– это погрешность, выраженная отношением
абсолютной погрешности средства
измерения (приборной погрешности) к
некоторой постоянной величине, называемой
нормирующим
значением
и имеющей размерность измеряемой
величины.
γ = ± (Δ/xN
)100%,
где
xN
– нормированное значение величины. В
качестве нормирующего множителя может
выступать, например, максимальное
значение шкалы прибора (верхний предел
показаний прибора). Понятие
приведенной погрешности относится
только к средствам измерений.
3.4 Грубые погрешности и промахи. Статические и динамические погрешности
Погрешности,
которые нельзя отнести ни к случайным,
ни к систематическим из-за совершенно
иного механизма образования и принципиально
отличного значения, называют грубыми
погрешностями измерений
или промахами.
Грубая
погрешность
– погрешность измерения, значительно
превышающая погрешности большинства
результатов наблюдений. Такие погрешности
могут возникать вследствие резкого
изменения внешних условий эксперимента:
внезапного изменения температуры,
напряжения в сети и т. п. Грубые
погрешности обнаруживают статистическими
методами и соответствующие результаты
измерений, как не отражающие
закономерностей поведения измеряемой
величины, исключают из рассмотрения.
Промах
– это вид грубой погрешности, зависящий
от наблюдателя и связанный с
неправильным обращением со средствами
измерений: неверными отсчетами показаний
приборов, описками при записи результатов,
невнимательностью экспериментатора,
путаницей номеров образцов и т. п. Промахи
обнаруживают нестатистическими методами
и результаты наблюдений, содержащие
промахи, как заведомо неправильные,
исключают из рассмотрения. Указанные
составляющие, как правило, не зависят
друг от друга, что допускает их
раздельное рассмотрение.
Очевидно, что
причинами возникновения грубой
погрешности могут быть промах оператора
при снятии отсчета или его записи, ошибка
в реализации методики измерений, сбой
в измерительной цепи прибора или
незамеченное импульсное изменение
влияющей физической величины. Причины
появления результатов с грубыми
погрешностями резко выпадают из ряда
механизмов, формирующих систематические
или случайные составляющие погрешности
измерений.
В зависимости от
режима измерения погрешности
принято делить на
статические и динамические. Статическая
погрешность измерений
(статическая погрешность) – погрешность
результата измерений, свойственная
условиям статического измерения.
Динамическая
погрешность измерений
(динамическая погрешность) –
погрешность
результата измерений, свойственная
условиям динамического измерения.
Динамической
погрешностью средства измерений
называется составляющая
погрешности, дополнительная к статической,
и возникающая при измерении в динамическом
режиме. В
соответствии с определением
,
где
– динамическая погрешность средства
измерения;
– погрешность
средства измерения при использовании
его в динамическом режиме;
– статическая
погрешность средства измерения
(погрешность при использовании средства
измерений в статическом режиме).
Логически
обоснованной представляется следующая
укрупненная классификация
погрешностей измерений по степени
полноты информации об
их характере и значениях:
-
определенные
погрешности, -
неопределенные
погрешности.
К определенным
можно отнести любые известные по
числовому значению и знаку погрешности.
Известными могут стать, например те
составляющие погрешности измерений,
которые имеют достаточно жесткую
функциональную связь с вызывающими их
аргументами. Такие погрешности по сути
совпадают с систематическими и
принципиально могут быть выявлены и
исключены из результатов измерений, их
значения можно прогнозировать.
Определенной можно считать также любую
(в том числе и уже зафиксированную
случайную или даже грубую) погрешность,
числовое значение и знак которой получены
экспериментальными методами.
Определенные
погрешности в при достаточной полноте
информации могут быть исключены из
результатов измерений. Теоретическая
определенность систематических
погрешностей делает возможным исключение
этих погрешностей до измерений, в
процессе измерений, а также при
математической обработке результатов
измерительного эксперимента после
выполнения измерений.
К неопределенным
погрешностям следует отнести невыявленные
систематические, а также погрешности
случайные (собственно случайные) и
грубые погрешности, значения которых
не были определены экспериментально.
При исключении определенных погрешностей
абсолютная точность невозможна, поэтому
приходится относить к неопределенным
неисключенные остатки погрешностей.
Неисключенная
систематическая погрешность
– составляющая
погрешности результата измерений,
обусловленная погрешностями вычисления
и введения поправок на влияние
систематических погрешностей или
систематической погрешностью, поправка
на действие которой не введена вследствие
ее малости .
Систематическими
составляющими, значения которых
существенно меньше случайных погрешностей
(
),
пренебрегают. Такие погрешности относят
к пренебрежимо малым неисключенным
систематическим составляющим погрешности
измерения.
7
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
1
Метрология – это наука:
1)
Учета материальных ценностей
2)
Об измерениях линейных величин
3) Об измерениях всех физических величин
4)
Об измерениях случайных событий
2
Случайные погрешности – это ошибки:
1)
Из-за неправильных действий оператора
2)
Вследствие наличия плохого измерительного прибора
3)
Из-за измерения питающих напряжений
4) Вызванные множеством внешних факторов
3
Систематическая погрешность прибора возникает
вследствие:
1) Множества неучтенных факторов
2)
Из-за ухода питающего напряжения
3)
Из-за изменения температуры окружающей среды
4)
Неверной градуировки прибора
4
Суммирование нескольких случайных погрешностей
производится в виде:
1)
Арифметического сложения
2)
Нахождения среднего значения
3) Нахождения среднеквадратичного значения
4)
Путем векторного сложения
5
Класс точности измерительного прибора:
1) Величина случайной погрешности в процентах по отношению к
абсолютному нулевому уровню
2) Величина абсолютной ошибки измерений
3)
Величина систематической ошибки измерений
4) Величина случайной погрешности в процентах по
отношению к
максимальному значению шкалы
6
Имеется два измерительных прибора класса 0,5 и 1,0.
Из них
первый:
1)
Имеет большую ошибку чем второй
2) Имеет меньшую ошибку чем второй
3)
Приборы отличаются диапазоном измеряемых величин
4)
Приборы имеют различные цены
7
Обеспечение единства измерений это:
1)
Проведение измерений несколькими одинаковыми по классу
приборами
2)
Проведение измерений при одинаковых условиях
3)
Проведение различных измерений одним и тем же прибором
4) Проведение измерений различными приборами, которые сверены
с образцовым прибором
8
Государственный эталон:
1)
Устройство, воспроизводящее физическую величину с высокой
точностью
2) Устройство, воспроизводящее физическую величину с
наивысшей точностью
3)
Устройство для государственной поверки рабочих приборов
4)
Устройство, воспроизводящее несколько физических величин
9
Прямые измерения это:
1)
Измерения любым точным прибором
2)
Измерения путем сравнения с образцовым прибором
3) Когда показания зависят только от одной физической величины
4)
Измерения с помощью преобразования одной физической
величины в другую
10
Косвенные измерения это:
1)
Измерения любым точным прибором
2)
Измерения путем сравнения с образцовым прибором
3)
Когда показания зависят только от одной физической величины
4) Измерения с помощью преобразования одной физической
величины в другую
11
Совместные измерения это:
1)
Измерения несколькими приборами
2)
Измерение нескольких величин одним прибором
3)
Проведение ряда измерений
4) Наличие прямых и косвенных измерений одним прибором
12
Наилучшая
точность обеспечивается
1) Прямыми измерениями
2)
Совместными измерениями
3)
Косвенными измерениями
4)
Совокупными измерениями
13
Дифференциальные измерения – это метод:
1)
Непосредственной оценки величины
2)
Сравнение с образцовой мерой
3)
Измерений с предварительным определением производной
4) Измерение разности показаний между измеряемой величиной и
образцовой
14
Безразмерные физические величины:
1)
Дециметры
2)
Децилитры
3) Децибелы
4)
ДециГерцы
15
Безразмерные физические величины позволяют:
1)
Уменьшить диапазон возможных измерений
2)
Увеличить диапазон измерений
3) Измерять величины в большом диапазоне и заменить
перемножение – суммированием, а деление — вычитанием
4)
Заменить умножение величин их суммированием, а деление –
вычитанием
16
Образцовый прибор отличается от рабочего:
1) Меньшей погрешностью измерений (10-20 раз)
2)
Большим диапазоном измерений
3)
Меньшей погрешностью в (10-1000) раз
4)
Большей стоимостью и хорошим качеством изготовления
17
Рабочий эталон предназначен для:
1)
Поверки рабочих приборов
2) Поверки образцовых приборов
3)
Поверки государственного эталона
4)
Применяется на рабочих местах
18
Абсолютная погрешность измерений:
1) Отклонение измеряемой величины от истинной в единицах
физических величин
2)
Отклонение измеряемой величины от истинной в процентах
3)
Отклонение измеряемой величины от абсолютного нулевого
уровня
4)
Отклонение измеряемой величины от минимального уровня
19
Относительная
погрешность измерения
1)
Отклонение измеряемой величины от истинной в единицах
физических величин
2) Отклонение измеряемой величины от истинной в процентах
3)
Отклонение измеряемой величины от абсолютного нулевого
уровня
4)
Отклонение измеряемой величины от минимального уровня
20
Грубые погрешности (промахи):
1) Отличаются от класса точности прибора более 3 раз
2)
Отличаются от класса точности в 3 раза в положительном
направлении
3)
Отличаются от класса точности в меньшую сторону
4)
Выходят за пределы класса точности на 10-20%
21
При обработке ряда измерений грубые ошибки
(промахи):
1) Исключаются из наблюдений
2)
Учитываются как систематическая ошибка
3)
Учитываются путем среднеквадратичного суммирования
4)
Учитываются в конечном результате
22
Суммарная случайная погрешность в многоблоковом
устройстве находится:
1)
Суммированием всех положительных значений
2)
Суммированием всех отрицательных значений
3)
Арифметической суммой
4) Нахождения среднеквадратического значения
23
Суммарная систематическая погрешность измерений в
многоблоковом устройстве находится путем:
1)
Суммированием всех положительных значений
2)
Суммированием всех отрицательных значений
3)
Арифметической суммой
4) Нахождения среднеквадратического значения
24
При косвенных измерениях погрешность находится:
1)
Как среднеквадратичное значение всех влияющих параметров
2)
Простым арифметическим суммированием
3)
Как среднеквадратичное значение с поправкой на коэффициент
Стьюдента
4) Как среднеквадратичное значение с поправкой в виде частных
производных
25
Случайная погрешность в аналоговых приборах при
небольшом числе измерений подчиняется:
1)
Равновероятному закону
2)
Нормальному (Гауссовому) закону
3) Распределению Стьюдента
4)
Распределению Пуассона
26
Случайные погрешность цифровых приборов распределены
по:
1) Равновероятному закону
2)
Нормальному (Гауссовому) закону
3)
Распределению Стьюдента
4)
Распределению Пуассона
27
Наличие систематической ошибки рабочих приборах:
1) Недопустимо и исключается поверкой
2)
Необходимо оценить и учитывать при работе
3)
Не обращать внимание
4)
Устранить в конце работы путем введения поправочных
коэффициентов
28
В технике связи преобладают:
1) Однократные измерения
2)
Многократные измерения
3)
Многократные измерения, заложенные в самом приборе
4)
Измерения несколькими приборами одновременно
29
Измерительный прибор от измерительной установки
отличается:
1)
Прибор не имеет входных преобразователей
2)
Стоимостью
3)
Имеет входные преобразователи и электронные блоки
4) Прибор точнее установки
Свойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором
количественных характеристик — физических величин.
Как правило, результат измерения представляет
собой число, задающее отношение измеряемой величины к некоторому эталону.
Сравнение с эталоном может быть как
прямым (проводится непосредственно
экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого
прибора, которому экспериментатор доверяет).
Полученные таким образом величины имеют размерность, определяемую выбором эталона.
Замечание. Результатом измерения может также служить количество отсчётов некоторого
события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка
(сильно/слабо/умеренно). Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем,
когда результат измерения может быть представлен в виде числа или набора чисел.
Взаимосвязь между различными физическими величинами может быть описана
физическими законами, представляющими собой идеализированную
модель действительности. Конечной целью любого физического
эксперимента (в том числе и учебного) является проверка адекватности или
уточнение параметров таких моделей.
1.1 Результат измерения
Рассмотрим простейший пример: измерение длины стержня
с помощью линейки. Линейка проградуирована производителем с помощью
некоторого эталона длины — таким образом, сравнивая длину
стержня с ценой деления линейки, мы выполняем косвенное сравнение с
общепринятым стандартным эталоном.
Допустим, мы приложили линейку к стержню и увидели на шкале некоторый результат
x=xизм. Можно ли утверждать, что xизм — это длина
стержня?
Во-первых, значение x не может быть задано точно, хотя бы
потому, что оно обязательно округлено до некоторой значащей
цифры: если линейка «обычная», то у неё
есть цена деления; а если линейка, к примеру, «лазерная»
— у неё высвечивается конечное число значащих цифр
на дисплее.
Во-вторых, мы никак не можем быть уверенны, что длина стержня на
самом деле такова хотя бы с точностью до ошибки округления. Действительно,
мы могли приложить линейку не вполне ровно; сама линейка могла быть
изготовлена не вполне точно; стержень может быть не идеально цилиндрическим
и т.п.
И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной
точности измерения, теряет смысл само понятие «длины стержня». Ведь
на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значит говорить о его
геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно!
Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение не может быть
произведено абсолютно точно, то есть
у любого измерения есть погрешность.
Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения
(от англ. error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от
общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка»,
— это не означает, что оно неправильно и его надо переделать.
Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет
погрешность.
Количественно погрешность можно было бы определить как разность между
измеренным и «истинным» значением длины стержня:
δx=xизм-xист. Однако на практике такое определение
использовать нельзя: во-первых, из-за неизбежного наличия
погрешностей «истинное» значение измерить невозможно, и во-вторых, само
«истинное» значение может отличаться в разных измерениях (например, стержень
неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.).
Поэтому говорят обычно об оценке погрешности.
Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчеркивая,
что эта величина не точна и зависит не только от физических свойств
исследуемого объекта, но и от процедуры измерения.
Замечание.
Термин оценка имеет и более формальное значение. Оценкой называют результат процедуры получения значения параметра или параметров физической модели, а также иногда саму процедуру. Теория оценок является подразделом математической статистики. Некоторые ее положения изложены в главе 3, но для более серьезного понимания следует обратиться к [5].
Для оценки значения физической величины корректно использовать
не просто некоторое фиксированное число xизм, а интервал (или
диапазон) значений, в пределах которого может лежать её
«истинное» значение. В простейшем случае этот интервал
может быть записан как
где δx — абсолютная величина погрешности.
Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале
x∈(xизм-δx;xизм+δx)
с некоторой достаточно большой долей вероятности (более подробно о
вероятностном содержании интервалов см. п. 2.2).
Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать
относительную величину погрешности:
Она показывает, насколько погрешность мала по сравнению с
самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах:
ε=δxx⋅100%).
Пример. Штангенциркуль —
прибор для измерения длин с ценой деления 0,1мм. Пусть
диаметр некоторой проволоки равен 0,37 мм. Считая, что абсолютная
ошибка составляет половину цены деления прибора, результат измерения
можно будет записать как d=0,40±0,05мм (или
d=(40±5)⋅10-5м).
Относительная погрешность составляет ε≈13%, то
есть точность измерения весьма посредственная — поскольку
размер объекта близок к пределу точности прибора.
О необходимости оценки погрешностей.
Измерим длины двух стержней x1 и x2 и сравним результаты.
Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?
Казалось бы,
достаточно проверить, справедливо ли x1=x2. Но никакие
два результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью! Таким
образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопрос дать
невозможно.
С другой стороны, если погрешность δx известна, то можно
утверждать, что если измеренные длины одинаковы
в пределах погрешности опыта, если |x2-x1|<δx
(и различны в противоположном случае).
Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие
два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких
значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей
между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории,
и т. п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей является крайне
важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности
(по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт к неправильным выводам.
В физическом эксперименте (в том числе лабораторном практикуме) оценка
погрешностей должна проводиться всегда
(даже когда составители задания забыли упомянуть об этом).
1.2 Многократные измерения
Проведём серию из n одинаковых (однотипных) измерений одной
и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим
ряд значений
Что можно сказать о данном наборе чисел и о длине стержня?
И можно ли увеличивая число измерений улучшить конечный результат?
Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться
на практике, величины {xi} почти наверняка окажутся
различными. Причиной тому могут быть
самые разные обстоятельства, например: у нас недостаточно остроты
зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково;
стенки стержня могут быть слегка неровными; у стержня может и не быть
определённой длины, например, если в нём возбуждены звуковые волны,
из-за чего его торцы колеблются, и т. д.
В такой ситуации результат измерения интерпретируется как
случайная величина, описываемая некоторым вероятностным законом
(распределением).
Подробнее о случайных величинах и методах работы с ними см. гл. 2.
По набору результатов 𝐱 можно вычислить их среднее арифметическое:
| ⟨x⟩=x1+x2+…+xnn≡1n∑i=1nxi. | (1.1) |
Это значение, вычисленное по результатам конечного числа n измерений,
принято называть выборочным средним. Здесь и далее для обозначения
выборочных средних будем использовать угловые скобки.
Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются
результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как
Разброс данных относительно среднего принято характеризовать
среднеквадратичным отклонением:
| s=Δx12+Δx22+…+Δxn2n=1n∑i=1nΔxi2 | (1.2) |
или кратко
Значение среднего квадрата отклонения s2 называют
выборочной дисперсией.
Будем увеличивать число измерений n (n→∞). Если объект измерения и методика
достаточно стабильны, то отклонения от среднего Δxi будут, во-первых,
относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательные отклонения будут
встречаться примерно одинаково часто. Тогда при вычислении (1.1)
почти все отклонения Δxi скомпенсируются и можно ожидать,
что выборочное среднее при n≫1 будет стремиться к некоторому пределу:
Тогда предельное значение x¯ можно отождествить с «истинным» средним
для исследуемой величины.
Предельную величину среднеквадратичного отклонения при n→∞
обозначим как
Замечание. В общем случае указанные пределы могут и не существовать. Например, если измеряемый параметр
меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие
случайные скачки и т. п. Такие ситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не
останавливаемся.
Замечание. Если n мало (n<10), для оценки среднеквадратичного отклонения
математическая статистика рекомендует вместо формулы (1.3) использовать
исправленную формулу (подробнее см. п. 5.2):
sn-12=1n-1∑i=1nΔxi2,
(1.4)
где произведена замена n→n-1. Величину sn-1
часто называют стандартным отклонением.
Итак, можно по крайней мере надеяться на то, что результаты небольшого числа
измерений имеют не слишком большой разброс, так что величина ⟨x⟩
может быть использована как приближенное значение (оценка) истинного значения
⟨x⟩≈x¯,
а увеличение числа измерений позволит уточнить результат.
Многие случайные величины подчиняются так называемому нормальному закону
распределения (подробнее см. Главу 2). Для таких величин
могут быть строго доказаны следующие свойства:
-
•
при многократном повторении эксперимента бо́льшая часть измерений
(∼68%) попадает в интервал x¯-σ<x<x¯+σ
(см. п. 2.2). -
•
выборочное среднее значение ⟨x⟩ оказывается с большей
вероятностью ближе к истинному значению x¯, чем каждое из измерений
{xi} в отдельности. При этом ошибка вычисления среднего
убывает пропорционально корню из числа опытов n
(см. п. 2.4).
Упражнение. Показать, что
s2=⟨x2⟩-⟨x⟩2.
(1.5)
то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата
⟨x2⟩=1n∑i=1nxi2
и квадрата среднего ⟨x⟩2=(1n∑i=1nxi)2.
1.3 Классификация погрешностей
Чтобы лучше разобраться в том, нужно ли многократно повторять измерения,
и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта,
проанализируем источники и виды погрешностей.
В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить
воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых
условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае
исследование будет существенно затруднено, если вообще возможно.
Таким образом, многократные измерения необходимы для того,
чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в существовании измеряемой
величины как таковой.
При любых измерениях возможны грубые ошибки — промахи
(англ. miss). Это «ошибки» в стандартном
понимании этого слова — возникающие по вине экспериментатора
или в силу других непредвиденных обстоятельств (например, из-за сбоя
аппаратуры). Промахов, конечно, нужно избегать, а результаты таких
измерений должны быть по возможности исключены из рассмотрения.
Как понять, является ли «аномальный» результат промахом? Вопрос этот весьма
непрост. В литературе существуют статистические
критерии отбора промахов, которыми мы, однако, настоятельно не рекомендуем
пользоваться (по крайней мере, без серьезного понимания последствий
такого отбора). Отбрасывание аномальных данных может, во-первых, привести
к тенденциозному искажению результата исследований, а во-вторых, так
можно упустить открытие неизвестного эффекта. Поэтому при научных
исследованиях необходимо максимально тщательно проанализировать причину
каждого промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Лишь
только если факт и причина промаха установлены вполне достоверно,
соответствующий результат можно отбросить.
Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе
обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту
утеряна. Единственным способ борьбы с этим — это максимально подробное описание всего
процесса измерений в лабораторном журнале. Подробнее об этом
см. п. 4.1.1.
При многократном повторении измерении одной и той же физической величины
погрешности могут иметь систематический либо случайный
характер. Назовём погрешность систематической, если она повторяется
от опыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно
меняется в процессе измерений. Случайные (или статистические)
погрешности меняются хаотично при повторении измерений как по величине,
так и по знаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.
Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно
выделить
-
•
инструментальные (или приборные) погрешности,
связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при
изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными
условиями эксплуатации измерительных приборов; -
•
методические погрешности, связанные с несовершенством
теоретической модели явления (использование приближенных формул и
моделей явления) или с несовершенством методики измерения (например,
влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения); -
•
естественные погрешности, связанные со случайным
характером
измеряемой физической величины — они являются не столько
«ошибками» измерения, сколько характеризуют
природу изучаемого объекта или явления.
Замечание. Разделение погрешностей на систематические и случайные
не является однозначным и зависит от постановки опыта. Например, производя
измерения не одним, а несколькими однотипными приборами, мы переводим
систематическую приборную ошибку, связанную с неточностью шкалы и
калибровки, в случайную. Разделение по происхождению также условно,
поскольку любой прибор подвержен воздействию «естественных»
случайных и систематических ошибок (шумы и наводки, тряска, атмосферные
условия и т. п.), а в основе работы прибора всегда лежит некоторое
физическое явление, описываемое не вполне совершенной теорией.
1.3.1 Случайные погрешности
Случайный характер присущ большому количеству различных физических
явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключения
приборов. Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном
повторении опыта — в виде хаотичных изменений (флуктуаций)
значений {xi}.
Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны
примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислении среднего
арифметического (1.1) эти отклонения скомпенсируются,
и погрешность результирующего значения ⟨x⟩ будем меньше,
чем погрешность отдельного измерения.
Случайные погрешности бывают связаны, например,
-
•
с особенностями используемых приборов: техническими
недостатками
(люфт в механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки
прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических
цепях, тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за
хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными
факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки); -
•
с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка
при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером); -
•
с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность,
неоднородность состава); -
•
со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный
распад, броуновское движение).
Остановимся несколько подробнее на двух последних случаях. Они отличаются
тем, что случайный разброс данных в них порождён непосредственно объектом
измерения. Если при этом приборные погрешности малы, то «ошибка»
эксперимента возникает лишь в тот момент, когда мы по своей
воле совершаем замену ряда измеренных значений на некоторое среднее
{xi}→⟨x⟩. Разброс данных при этом
характеризует не точность измерения, а сам исследуемый объект или
явление. Однако с математической точки зрения приборные и
«естественные»
погрешности неразличимы — глядя на одни только
экспериментальные данные невозможно выяснить, что именно явилось причиной
их флуктуаций: сам объект исследования или иные, внешние причины.
Таким образом, для исследования естественных случайных процессов необходимо
сперва отдельно исследовать и оценить случайные инструментальные погрешности
и убедиться, что они достаточно малы.
1.3.2 Систематические погрешности
Систематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить,
исключить или уменьшить просто многократным повторением измерений.
Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов
(инструментальная погрешность), например, сдвигом нуля отсчёта
по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями
из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-за износа
или деформации деталей прибора, изменением параметров прибора во времени
из-за нагрева и т.п. Во-вторых, их причиной может быть ошибка в интерпретации
результатов (методическая погрешность), например, из-за использования
слишком идеализированной физической модели явления, которая не учитывает
некоторые значимые факторы (так, при взвешивании тел малой плотности
в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда; при измерениях в электрических
цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров
и т. д.).
Систематические погрешности условно можно разделить на следующие категории.
-
1.
Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычислены
или измерены. При необходимости они могут быть учтены непосредственно:
внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений.
Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления. -
2.
Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна,
но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически
или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом
опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму,
совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимо
учесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует,
что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать
особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные
опыты. -
3.
Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либо
причинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении
электронных приборов). Такие погрешности должны быть обязательно исключены
посредством модификации методики измерения или замены приборов. -
4.
Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о
которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты
измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можно только
многократной независимой проверкой измерений, разными методами
и в разных условиях.
В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается,
как правило, паспортными погрешностями приборов и теоретическими поправками
к упрощенной модели исследуемого явления.
Точный учет систематической ошибки возможен только при учете специфики конкретного эксперимента. Особенное внимание надо обратить на зависимость (корреляцию) систематических смещений при повторных измерениях. Одна и та же погрешность в разных случаях может быть интерпретирована и как случайная, и как систематическая.
Пример.
Калибровка электромагнита производится при помощи внесения в него датчика Холла или другого измерителя магнитного потока. При последовательных измерениях с разными токами (и соотственно полями в зазоре) калибровку можно учитыать двумя различными способами:
•
Измерить значение поля для разных токов, построить линейную калибровочную кривую и потом использовать значения, восстановленные по этой кривой для вычисления поля по току, используемому в измерениях.
•
Для каждого измерения проводить допольнительное измерения поля и вообще не испльзовать значения тока.
В первом случае погрешность полученного значения будет меньше, поскльку при проведении прямой, отдельные отклонения усреднятся. При этом погрешность измерения поля будет носить систематический харрактер и при обработке данных ее надо будет учитывать в последний момент. Во втором случае погрешность будет носить статистический (случайный) харрактер и ее надо будет добавить к погрешности каждой измеряемой точки. При этом сама погрешность будет больше. Выбор той или иной методики зависит от конретной ситуации. При большом количестве измерений, второй способ более надежный, поскольку статистическая ошибка при усреднении уменьшается пропорционально корню из количества измерений. Кроме того, такой способ повзоляет избежать методической ошибки, связанной с тем, что зависимость поля от тока не является линейной.
Пример.
Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру. В показаниях прибора будет присутствовать три типа погрешности:
1.
Статистическая погрешность, связанная с дрожанием стрелки и ошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деления.
2.
Систематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля.
3.
Систематическая погрешность, связанная с неправильным коэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонением стрелки. Как правило приборы сконструированы таким образом, чтобы максимальное значение этой погрешности было так же равно половине цены деления (хотя это и не гарантируется).