Шанс возникновения ошибки второго рода обозначается а величина 1 называется

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (например, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака молочной железы одинаковая в двух группах, получающих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

	Верная гипотеза
H₀	H₁
Результат применения критерия	H₀	H₀ верно принята	H₀ неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H₀ неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H₀ верно отвергнута

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Источник

Содержание

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность
Общий обзор
Принятие неправильного решения
Мощность и связанные факторы
Проверка множественных гипотез
Виды ошибок при проверке гипотез
Введение в проверку гипотез
Два типа статистических гипотез
Проверка гипотез
Два типа ошибок принятия решений
Односторонний и двусторонний тесты
Раздел 2 лекция 5

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

	Верная гипотеза
H	H₁
Результат применения критерия	H	H верно принята	H неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H верно отвергнута

Мощность и связанные факторы

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Проверка множественных гипотез

Источник

Виды ошибок при проверке гипотез

1) Ошибка первого рода.

Нулевая гипотеза H отвергается, хотя является верной. Вероятность совершения такой ошибки равна .

2) Ошибка второго рода.

Нулевая гипотеза H принимается, хотя является неверной. Вероятность совершения этой ошибки равна 1 — . Здесь — вероятность того, что ошибка второго рода не будет допущена (так называемая мощность критерия).

Пусть, например, нулевая гипотеза H означает, что определенная партия товаров соответствует условиям поставки. Если эта партия отклоняется, хотя гипотеза соответствуетдействительности, то совершается ошибка первого рода. В таком случае говорят о риске производителя товаров. Если же партия принимается, хотя она и не соответствует условиям поставки, то имеет место ошибка второго рода (так называемый риск потребителя).

Глава 1 Макроэкономичекое планирование и прогнозированиев системе регулирования социальногорыночного хозяйства

Источник

Введение в проверку гипотез

Статистическая гипотеза – это предположение о параметре совокупности .

Например, мы можем предположить, что средний рост мужчины в США составляет 70 дюймов.

Предположение о росте является статистической гипотезой , а истинный средний рост мужчины в США является популяционным параметром .

Проверка гипотезы — это формальный статистический тест, который мы используем, чтобы отвергнуть или не опровергнуть статистическую гипотезу.

Два типа статистических гипотез

Чтобы проверить, верна ли статистическая гипотеза о параметре совокупности, мы получаем случайную выборку из совокупности и выполняем проверку гипотезы на выборочных данных.

Существует два типа статистических гипотез:

Нулевая гипотеза , обозначаемая как H 0 , представляет собой гипотезу о том, что выборка данных происходит чисто случайно.

Альтернативная гипотеза , обозначаемая как H 1 или H a , представляет собой гипотезу о том, что на выборочные данные влияет какая-то неслучайная причина.

Проверка гипотез

Проверка гипотезы состоит из пяти шагов:

1. Сформулируйте гипотезы.

Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Эти две гипотезы должны быть взаимоисключающими, поэтому, если одна верна, другая должна быть ложной.

2. Определите уровень значимости для гипотезы.

Определите уровень значимости. Распространенные варианты: .01, .05 и .1.

3. Найдите тестовую статистику.

Найдите тестовую статистику и соответствующее значение p. Часто мы анализируем среднее значение или долю населения, и общая формула для нахождения тестовой статистики выглядит следующим образом: (выборочная статистика — параметр совокупности) / (стандартное отклонение статистики)

4. Отклонить или не отклонить нулевую гипотезу.

Используя тестовую статистику или p-значение, определите, можете ли вы отклонить или не отклонить нулевую гипотезу на основе уровня значимости.

Значение p говорит нам о силе доказательств в поддержку нулевой гипотезы. Если p-значение меньше уровня значимости, мы отклоняем нулевую гипотезу.

5. Интерпретируйте результаты.

Интерпретируйте результаты проверки гипотезы в контексте заданного вопроса.

Два типа ошибок принятия решений

Есть два типа ошибок принятия решений, которые можно сделать при проверке гипотезы:

Ошибка I типа: вы отвергаете нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна. Вероятность совершения ошибки первого рода равна уровню значимости, часто называемому альфа и обозначаемому как α.

Ошибка типа II: вы не можете отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле ложна. Вероятность совершения ошибки типа II называется мощностью теста или бета и обозначается как β.

Односторонний и двусторонний тесты

Статистическая гипотеза может быть односторонней или двусторонней.

Односторонняя гипотеза предполагает утверждение «больше» или «меньше».

Например, предположим, что средний рост мужчины в США больше или равен 70 дюймам. Нулевой гипотезой будет H0: µ ≥ 70 дюймов, а альтернативной гипотезой будет Ha: µ

Источник

Раздел 2 лекция 5

Раздел 2 Статистические гипотезы и их проверка

Тема: общие принципы проверки статистических гипотез.

План: 1.Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

2.Критерий оценки статистических гипотез. Уровень значимости.

Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

Статистической гипотезой называется предположение о том, что распределение случайной величины (результата эксперимента) подчиняется определённому закону распределения.

Статистический критерий (или критерий оценки статистической гипотезы) -это проверка, позволяющая оценить, насколько статистическая гипотеза согласуется с экспериментальными данными.

Пусть в нашем распоряжении имеется величина х – одно из возможных значений случайной величины (результата эксперимента).

Выдвинем гипотезу о том, что случайная величина х распределена по закону, задаваемому функцией плотности вероятности φ(х). Гипотезу обозначим как Н и назовем нуль гипотезой.

Введём также некоторую альтернативную гипотезу Н₁, содержание которой состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х подчиняется закону распределения, описываемого функцией плотности вероятности φ₁(х). Будем считать, что гипотеза Н₁ является истинной, если нуль-гипотеза Н не верна. Требуется на основании распределения величины х решить, какой из гипотез Н или Н₁ следует отдать предпочтение. Решение поставленной задачи может быть как верным, так и ложным.

Неправильное решение может быть двух родов:

Ошибка первого рода – не принять нуль-гипотезу, когда она в действительности верна, (т.е принять Н₁ вместо Н). α – это вероятность совершить ошибку I рода (или риск) – показывает какова вероятность отбросить верные (истинные) результаты.

Ошибка второго рода – принять нуль-гипотезу, когда она не верна (т.е. принять Н вместо Н₁ ). β – это вероятность совершить ошибку второго рода. Показывает какова вероятность принять неверные (ложные) результаты.

Тогда, α уменьшается, β увеличивается, а (1–β) уменьшается. Т.е. α уменьшается (вероятность не принять Н, когда она верна) следовательно (1- β) уменьшается (вероятность не принять, когда Нне верна).

Поэтому, для принятия проверяемой гипотезы вероятность совершить ошибку I рода α должна быть не самой низкой, а оптимальной.

Для выбора величины α существуют определённые правила (критерии), которые позволяют оценить насколько верно проверяемая гипотеза описывает экспериментальные данные.

Критерии оценки статистических гипотез при обработке результатов эксперимента

Рассмотрим критерии оценки гипотезы Н (т.е. верна она или нет) для случайной величины х (т.е. для результата эксперимента). Пусть гипотеза Н верна и состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х действительно распределена по закону, задаваемому функцией φ(х). Однако, если х попало в область, расположенную вблизи правого или левого «хвоста» функции φ(х), то вероятность попадания случайной величины в эту область, вычисляется при помощи функции φ(х) мала и приближается к нулю. Поэтому проще и целесообразнее признать ошибочность гипотезы и не принять её в этой область. Тогда эта область будет характеризоваться α — вероятностью не принять гипотезу Н , когда она в действительности верна.

критическая область доверительный интервал критическая область

Назовём интервал значений случайной величины х, т.е отрезок оси абсцисс, расположенный вблизи «хвоста» функции φ(х) критической областью данной функции распределения.

Значения случайной величины х₁ и х₂, отделяющих критические области, называются критическими значениями данной функции распределения.

Размеры критической области определяются вероятностью попадания в неё случайных величин. Вероятность попадания значений х случайной величины в критическую область получила название уровень значимости критерия оценки статистической гипотезы или просто уровень значимости р. Видно, что

Уровень значимости (риск) – это вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу Н, когда она в действительности верна. Проще говоря р – это вероятность отбросить верные результаты.

Критерием оценки статистической гипотезы является попадание х_i в критическую область. Если случайная величина х не попадает в критическую область, то анализируемая гипотеза считается приемлемой. Если случайная величина х попадает в критическую область, то это свидетельствует о неприемлемости анализируемой гипотезы.

Если критическая область, попадание в которую значений х случайной величины, целиком расположена в правой (или левой) части графика φ(х), то критерий оценки статистической гипотезы называется односторонним. В случае одностороннего критерия уровень значимости равен α=р=(1 –Р).

φ(х) φ(х)

В противном случае критическую область необходимо рассматривать из двух частей, а соответственный критерий называется двухсторонним. В случае двухстороннего критерия α=р=(1 –Р)/2.

Односторонний критерий используют только в том случае, если экспериментатор заранее знает, что результаты опытов не попадают в противоположную часть (область) функции, или для него это будет иметь практическое значение.

Пример 1:

φ(х)

+W_влаги

Пример 2: Д окрашивание раствора

-0,16 не имеет практического значения, т.к. раствор мутный и луч не проходит через раствор – результат не верен.

α=р=(1-Р)/2

Принять проверяемую гипотезу можно только при определённых значениях р. Критерии принятия статистической гипотезы:

Если значения уровня значимости р равно 5% и более, то проверяемую гипотезу следует признать согласующейся с полученными экспериментальными данными. В этом случае различия между гипотетическими экспериментальными данными являются статистически незначимым.

Если уровень значимости менее 5%, но более 1%, то можно пойти на риск принятия проверяемой гипотезы, либо взять гипотезу под сомнение. Различие между гипотетическими и экспериментальными данными является спорным. Для уточнения выводов следует признать целесообразным повторение эксперимента

Если значение критерия значимости составляет 1% и менее, то проверяемая гипотеза отбрасывается. Различия между гипотетическими и экспериментальными данными являются статистически значимыми.

Источник

Источник

Основы теории проверки статистических гипотез

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина $X$ , распределение которой $mathbb{P}$ полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение, относительно $mathbb{P},$ называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу $H_0$ . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза $H_1$ , называемая конкурирующей илиальтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

Пример

Ошибки 1-го и 2-го рода

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

	Верная гипотеза
H₀	H₁
Результат применения критерия	H₀	H₀ верно принята	H₀ неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H₀ неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H₀ верно отвергнута

Мощность и связанные факторы

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Источник

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Темы рефератов.docx, Скерлик ПТ-107 1.docx, ЭЛПИТ 92.docx, ЛР 2 Чугуны.pdf, ИГ (я все сдам).docx, Матвед экз (я все сдала).docx, РГР.docx, ОТЧЕТ ТОЭ.docx, ВОпросы.docx, физика титул.docx, ЛТ815З Данилова Вера Игоревна Вариант выбран по списку группы 15, Практическое задание № 1.docx, ПГБ-102 Малютин И.А. 8 1.docx.docx, OKSP_Vilkhovetskiy_E_D_SZhU-901.docx, opus_Polovchenya.docx, OPUS_otvety_k_ekzamenu.docx, Гигиенические основы физической культуры.docx, МПЗ Заигрина АИТ АС-908.docx, Матвеев А. В._МТ-809_РГР№1.pdf, Kuzhieva_KP.docx, Юнусова КП СМ.docx, эссе, нужно ли высшее образование.docx, Doc1.docx, техпроц 160521.pdf, ИЗА.docx, sopr.docx, Попов курсач.docx, LOGISTIKA1.docx, LOGISTIKA1.docx и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы

Подборка по базе: Дифференцированного зачет.docx, вопросы к зачету.pdf, КИМ зачет 5 класс.docx, Религии мира. Вопросы на зачёт copy.docx, Требования к зачету (ПК на ИЯ).pdf, ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к зачету Иванова -1.docx, Макаров Зачёт.docx, Доклад_ _ Информационное пространство учителя_.docx, Вопросы к зачету по ППС первый семестр.docx, Вопросы для зачета 2022.docx

Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость в ее проверке. Поскольку проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух типов:

Отвергается правильная гипотеза. Эта ошибка называется ошибкой первого рода.

Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α. Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Принимается неправильная гипотеза. Эта ошибка называется ошибкой второго рода.

Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия. Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна. В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

Критерий согласия Пирсона (хи — квадрат)

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:

			…
			…

Допустим, что в предположении о нормальном распределении генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена нормально. В качестве критерия проверки этой гипотезы возьмем случайную величину

Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (4). Возведение в квадрат разностей частот устраняет возможность взаимного погашения положительных и отрицательных слагаемых в (4). Делением на достигают уменьшения каждого из слагаемых. Без этого сумма (4) была бы настолько велика, что приводила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива.

Можно доказать, что при закон распределения критерия (4) независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону распределения с k степенями свободы. Поэтому критерий (4) называют критерием согласия хи-квадрат (критерием Пирсона). Число степеней свободы определяется равенством , где r – число групп выборки; m – число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. Так, если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра ( ) и тогда число степеней свободы: .

Построим правостороннюю критическую область, исходя из заданного значения уровня значимости :

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через . Тогда правило проверки нулевой гипотезы формулируется следующим образом:

1) вычисляются теоретические частоты и по ним находится (формула 4);

2) по таблице критических точек распределения хи-квадрат, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находится критическая точка ;

3) сравниваются и :

а) если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (гипотеза принимается);

б) если , то гипотеза отвергается.

Замечание. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае, не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5-8 вариант. Малочисленные группы нужно объединить в одну, суммируя частоты.

Источник

Что такое значимость уравнения регрессии что такое ошибка первого или второго рода нулевая гипотеза

77-1. Как проверить гипотезу о нулевом значении теоретического коэффициента регрессии?

Для проверки нулевой гипотезы H0 о равенстве нулю некоторого коэффициента регрессионного уравнения (H0:β₂=0, H₀: β₂≠0) необходимо сравнить фактическое значение статистики, найденное по формуле с критическим значением t-статистики Стьюдента для выбранного уровня значимости, то есть со значением двусторонней (1-α) квантили t-статистики Стьюдента с n-k степенями свободы. Величина α характеризует допустимый уровень вероятности ошибиться, отвергнув нулевую гипотезу, когда она верна.

Если фактическое значение t-статистики Стьюдента больше критического значения статистики, то нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости α, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости α. В случае отвержения нулевой гипотезы для уровня значимости говорят, что коэффициент β регрессионного уравнения значим на уровне значимости α (или, говорят, что оценка коэффициента β значимо отличается от нуля), и соответствующий ему регрессор объясняет вариацию зависимой переменной. В противном случае говорят, что коэффициент незначим на уровне значимости α.

Второй способ проверки гипотезы – сравнить p-значение (фактическую вероятность принятия нулевой гипотезы данного коэффициента регрессии) с выбранным уровнем значимости. Если выполняется условие p |t критич|, то гипотеза H0 отвергается, если меньше, то подтверждается

79. Что такое p-значение (p-value, обозначаемое в программе EViews как Prob.) для

статистического критерия?

Метод p-value («метод значения вероятность») p-value = Prob – вероятность того, что случайно будет получен результат лучше, чем у нас (тот, что рассчитан). Если p-value маленький, то это хорошо, а если большой, то плохо.

80. В чем заключается техника работы с p-значением при проверке гипотез?

Смотрим значение prob. в таблице с результатами регрессии и сравниваем с 0,01 и 0,05.

Иначе коэффициент (уравнение) не значим.

81. Как рассчитать p-значение в случае, если невозможно получить доступ к эконометрической программе, или в ней не предусмотрен его расчет?

Открываем таблицу t-распределения, смотрим ряд для нашего числа степеней свободы. Если в нем есть значение t-статистики для рассматриваемого параметра, то уровень значимости (верх таблицы) будет как раз искомым значением p. Если значение t-статистики располагается между двумя табличными, то на основе значений для двух табличных можно приближенно рассчитать искомое по формуле , где t – значение t-статистики, t1 – первое из табличных значений, t2 – второе (большее, правее первого в ряду), а p1 и p2 – значения p соответственно для первого и второго табличных значений t-статистики.

82. Что такое ошибки первого и второго рода в проверке гипотез о коэффициентах регрессии?

Ошибка I рода состоит в том, что мы отвергаем Н0, когда на самом деле она истина.

Ошибка II рода имеет место в случае, если мы принимаем Н0, когда она ложна.

83. Какова связь ошибок первого и второго рода при проверке гипотез о коэффициентах регрессии?

При уменьшении вероятности ошибки 1ого рода увеличивается вероятность ошибки 2ого рода.

84. Что такое мощность критерия?

Мощность критерия (теста)- это вероятность допустить ошибку II рода (β), то есть принять ложную гипотезу. Вычисляется по формуле (1 − β). Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Используя односторонний критерий вместо двустороннего, можно получить большую мощность при любом уровне значимости. Нужно, однако, помнить, что выигрыш в мощности будет получен только в условиях, когда использование одностороннего критерия оправдано.

Пример нахождения статистической значимости коэффициентов регрессии

Числитель в этой формуле может быть рассчитан через коэффициент детерминации и общую дисперсию признака-результата: .
Для параметра a критерий проверки гипотезы о незначимом отличии его от нуля имеет вид:
,
где — оценка параметра регрессии, полученная по наблюдаемым данным;
μ_a – стандартная ошибка параметра a.
Для линейного парного уравнения регрессии:
.
Для проверки гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициента линейной парной корреляции в генеральной совокупности используют следующий критерий:
, где r_yx — оценка коэффициента корреляции, полученная по наблюдаемым данным; m_r – стандартная ошибка коэффициента корреляции r_yx.
Для линейного парного уравнения регрессии:
.
В парной линейной регрессии между наблюдаемыми значениями критериев существует взаимосвязь: t ₍ _b ₌₀₎ = t ₍_r₌₀₎.

Пример №1 . Уравнение имеет вид y=ax+b
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.73 2 = 0.54, т.е. в 54% случаев изменения х приводят к изменению y . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — средняя.

x	y	x 2	y 2	x ∙ y	y(x)	(y-y cp ) 2	(y-y(x)) 2	(x-x p ) 2
69	124	4761	15376	8556	128.48	491.36	20.11	367.36
83	133	6889	17689	11039	141.4	173.36	70.56	26.69
92	146	8464	21316	13432	149.7	0.03	13.71	14.69
97	153	9409	23409	14841	154.32	46.69	1.73	78.03
88	138	7744	19044	12144	146.01	66.69	64.21	0.03
93	159	8649	25281	14787	150.63	164.69	70.13	23.36
74	145	5476	21025	10730	133.1	1.36	141.68	200.69
79	152	6241	23104	12008	137.71	34.03	204.21	84.03
105	168	11025	28224	17640	161.7	476.69	39.74	283.36
99	154	9801	23716	15246	156.16	61.36	4.67	117.36
85	127	7225	16129	10795	143.25	367.36	263.91	10.03
94	155	8836	24025	14570	151.55	78.03	11.91	34.03
1058	1754	94520	258338	155788	1754	1961.67	906.57	1239.67

2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (10;0.05) = 1.812
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически — значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

S _a = 0.2704
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 88,16
(128.06;163.97)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика

Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (3.41>1.812).

Статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (2.7>1.812).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=1.812):
(a — t_табл·S _a; a + t_табл·S_a)
(0.4325;1.4126)
(b — t_табл·S _b; b + t_табл·S_b)
(21.3389;108.3164)
2) F-статистики

Fkp = 4.96
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим.

Пример №2 . По территориям региона приводятся данные за 199Х г.;

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:
1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х , составляющем 107% от среднего уровня.
5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение находим с помощью калькулятора.
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс — индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
Для наших данных система уравнений имеет вид
12a+1027b=1869
1027a+89907b=161808
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение. Получаем b = 0.92, a = 76.98
Уравнение регрессии: y = 0.92 x + 76.98

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.
Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении среднедушевого прожиточного минимума в день на 1%, среднедневная заработная плата изменится менее чем на 1%. Другими словами — влияние среднедушевого прожиточного минимума Х на среднедневную заработную плату Y не существенно.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению средней среднедневной заработной платы Y на 0.721 среднеквадратичного отклонения этого показателя.
1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.72 2 = 0.5199, т.е. в 51.99 % случаев изменения среднедушевого прожиточного минимума х приводят к изменению среднедневной заработной платы y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — средняя. Остальные 48.01% изменения среднедневной заработной платы Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

x	y	x 2	y 2	x·y	y(x)	(y i — y ) 2	(y-y(x)) 2	(x i — x ) 2	\|y-y x \|:y
78	133	6084	17689	10374	148,77	517,56	248,7	57,51	0,1186
82	148	6724	21904	12136	152,45	60,06	19,82	12,84	0,0301
87	134	7569	17956	11658	157,05	473,06	531,48	2,01	0,172
79	154	6241	23716	12166	149,69	3,06	18,57	43,34	0,028
89	162	7921	26244	14418	158,89	39,06	9,64	11,67	0,0192
106	195	11236	38025	20670	174,54	1540,56	418,52	416,84	0,1049
67	139	4489	19321	9313	138,65	280,56	0,1258	345,34	0,0026
88	158	7744	24964	13904	157,97	5,06	0,0007	5,84	0,0002
73	152	5329	23104	11096	144,17	14,06	61,34	158,34	0,0515
87	162	7569	26244	14094	157,05	39,06	24,46	2,01	0,0305
76	159	5776	25281	12084	146,93	10,56	145,7	91,84	0,0759
115	173	13225	29929	19895	182,83	297,56	96,55	865,34	0,0568
1027	1869	89907	294377	161808	1869	3280,25	1574,92	2012,92	0,6902

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим t_крит:
t_крит = (10;0.05) = 1.812
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 157.4922 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

12.5496 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.
(a + bx_p ± ε)
где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 94

(76.98 + 0.92*94 ± 7.8288)
(155.67;171.33)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.
2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (10;0.05) = 1.812

Поскольку 3.2906 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 3.1793 > 1.812, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(0.9204 — 1.812·0.2797; 0.9204 + 1.812·0.2797)
(0.4136;1.4273)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a-t_a)
(76.9765 — 1.812·24.2116; 76.9765 + 1.812·24.2116)
(33.1051;120.8478)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fkp = 4.96
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

	Верная гипотеза
H₀	H₁
Результат применения критерия	H₀	H₀ верно принята	H₀ неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H₀ неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H₀ верно отвергнута

Мощность и связанные факторы

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Проверка множественных гипотез

Проверка значимости регрессии с помощью дисперсионного анализа (F-тест)

history 26 января 2019 г.

Статистический анализ

Проведем проверку значимости простой линейной регрессии с помощью процедуры F -тест.

Disclaimer : Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей Регрессионного анализа. Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения Регрессии – плохая идея.

Проверку значимости взаимосвязи переменных в рамках модели простой линейной регрессии можно провести разными, но эквивалентными между собой, способами:

Процедуру F -теста рассмотрим на примере простой линейной регрессии , когда прогнозируемая переменная Y зависит только от одной переменной Х.

Чтобы определить может ли предложенная модель линейной регрессии быть использована для адекватного описания значений переменной Y, дисперсию наблюдаемых данных анализируют методом Дисперсионного анализа (ANOVA for Simple Regression) . Дисперсия данных разбивается на компоненты, которые затем используются в F -тесте для определения значимости регрессии.

F -тест для проверки значимости регрессии НЕ относится к простым и интуитивно понятным процедурам. Вероятно, это связано с тем, что для проведения F -теста требуется быть знакомым с определенным количеством статистических понятий и нужно неплохо разбираться в связанных с ними статистических методах. Нам потребуются понятия из следующих разделов статистики:

Можно, конечно, рассмотреть F -тест формально:

вычислить на основании выборки значение тестовойFстатистики;
сравнить полученное значение со значением, соответствующему заданному уровню значимости ;
в зависимости от соотношения этих величин принять решение о значимости вычисленной линейной регрессии

В этой статье ставится более амбициозная задача – разобраться в самом подходе, на котором основан F -тест . Сначала введем несколько определений, которые используются в процедуре F -теста , затем рассмотрим саму процедуру.

Примечание : Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к вычислительной части .

Определения, необходимые для F -теста

Согласно определению дисперсии , дисперсия выборки прогнозируемой переменной Y определяется формулой:

В формуле используется ряд сокращений:

SST (Total Sum of Squares) – это просто компактное обозначение Суммы Квадратов отклонений от среднего (такое сокращение часто используется в зарубежной литературе).
MST (Total Mean Square) – Среднее Суммы Квадратов отклонений (еще одно общеупотребительное сокращение).

Примечание : Необходимо иметь в виду, что с одной стороны величины MST и SST являются случайными величинами, вычисленными на основании выборки, т.е. статистиками . Однако с другой стороны, при проведении регрессионного анализа по данным имеющейся выборки вычисляются их конкретные значения. В этом случае величины MST и SST являются просто числами.

Значение n-1 в вышеуказанной формуле равно числу степеней свободы ( DF ) , которое относится к дисперсии выборки (одна степень свободы у n величин yi потеряна в результате наличия ограничения , связывающего все значения выборки). Число степеней свободы у величины SST также имеет специальное обозначение: DFT (DF Total).

Как видно из формулы, отношение величин SST и DFT обозначается как MST. Эти 3 величины обычно выдаются в таблице результатов дисперсионного анализа в различных прикладных статистических программах (в том числе и в надстройке Пакет анализа, инструмент Регрессия ).

Значение SST, характеризующую общую изменчивость переменной Y, можно разбить на 2 компоненты:

Изменчивость объясненную моделью (Explained variation), обозначается SSR

Необъясненную изменчивость (Unexplained variation), обозначается SSЕ

Известно , что справедливо равенство:

Величинам SSR и SSE также сопоставлены степени свободы . У SSR одна степень свободы , т.к. она однозначно определяется одним параметром – наклоном линии регрессии a (напомним, что мы рассматриваем простую линейную регрессию ). Это очевидно из формулы:

Примечание: Очевидность наличия только одной степени свободы проистекает из факта, что переменная Х – контролируемая (не является случайной величиной).

Число степеней свободы величины SSR имеет специальное обозначение: DFR (для простой регрессии DFR=1, т.к. число независимых переменных Х равно 1) . По аналогии с MST, отношение этих величин также часто обозначают MSR = SSR / DFR .

У SSE число степеней свободы равно n -2 , которое обозначается как DFE (или DFRES — residual degrees of freedom). Двойка вычитается, т.к. изменчивость переменной yi имеет 2 ограничения, связанные с оценкой 2-х параметров линейной модели ( а и b ): ŷi=a*xi+b

Отношение этих величин также часто обозначают MSE = SSE / DFE .

MSR и MSE имеют размерность дисперсий, хотя корректней их называть средними значениями квадратов отклонений. Тем не менее, ниже мы их будем «дисперсиями», т.к. они отображают меру разброса: MSE – меру разброса точек наблюдений относительно линии регрессии, MSR показывает насколько линия регрессии совпадает с горизонтальной линией среднего значения Y.

Примечание : Напомним, что MSE (Mean Square of Errors) является оценкой дисперсии s 2 ошибки, подробнее см. статью про линейную регрессию , раздел Стандартная ошибка регрессии .

Число степеней свободы обладает свойством аддитивности: DFT = DFR + DFE . В этом можно убедиться, составив соответствующее равенство n -1=1+( n -2)

Наконец, определившись с определениями, переходим к рассмотрению самой процедуры F -тест .

Процедура F -теста

Сущность F -теста при проверке значимости регрессии заключается в том, чтобы сравнить 2 дисперсии : объясненную моделью (MSR) и необъясненную (MSE). Если эти дисперсии «примерно равны», то регрессия незначима (построенная модель не позволяет объяснить поведение прогнозируемой Y в зависимости от значений переменной Х). Если дисперсия, объясненная моделью (MSR) «существенно больше», чем необъясненная, то регрессия значимая .

Примечание : Чтобы быстрее разобраться с процедурой F -теста рекомендуется вспомнить процедуру проверки статистических гипотез о равенстве дисперсий 2-х нормальных распределений (т.е. двухвыборочный F-тест для дисперсий ).

Чтобы пояснить вышесказанное изобразим на диаграммах рассеяния 2 случая:

регрессия значима (в этом случае имеем значительный наклон прямой) и
регрессия незначима (линия регрессии близка к горизонтальной прямой).

На первой диаграмме показан случай, когда регрессия значима:

Зеленым цветом выделены расстояния от среднего значения до линии регрессии , вычисленные для каждого хi. Сумма квадратов этих расстояний равна SSR;
Красным цветом выделены расстояния от линии регрессии до соответствующих точек наблюдений . Сумма квадратов этих расстояний равна SSЕ.

Из диаграммы видно, что в случае значимой регрессии, сумма квадратов «зеленых» расстояний, гораздо больше суммы квадратов «красных». Понятно, что их отношение будет гораздо больше 1. Следовательно, и отношение дисперсий MSR и MSE будет гораздо больше 1 (не забываем, что SSE нужно разделить еще на соответствующее количество степеней свободы n-2).

В случае значимой регрессии точки наблюдений будут находиться вдоль линии регрессии. Их разброс вокруг этой линии описываются ошибками регрессии, которые были минимизированы посредством процедуры МНК . Очевидно, что разброс точек относительно линии регрессии значительно меньше, чем относительно горизонтальной линии, соответствующей среднему значению Y.

Совершенно другую картину мы можем наблюдать в случае незначимой регрессии.

Очевидно, что в этом случае, сумма квадратов «зеленых» расстояний, примерно соответствует сумме квадратов «красных». Это означает, что объясненная дисперсия примерно соответствует величине необъясненной дисперсии (MSR/MSE будет близко к 1).

Если ответ о значимости регрессии практически очевиден для 2-х вышеуказанных крайних ситуаций, то как сделать правильное заключение для промежуточных углов наклона линии регрессии?

Понятно, что если вычисленное на основании выборки значение MSR/MSE будет существенно больше некоторого критического значения, то регрессия значима, если нет, то не значима. Очевидно, что это значение должно быть больше 1, но как определить это критическое значение статистически обоснованным методом ?

Вспомним, что для формулирования статистического вывода (т.е. значима регрессия или нет) используют проверку гипотез . Для этого формулируют 2 гипотезы: нулевую Н ₀ и альтернативную Н ₁ . Для проверки значимости регрессии в качестве нулевой гипотезы Н ₀ принимают, что связи нет, т.е. наклон прямой a=0. В качестве альтернативной гипотезы Н ₁ принимают, что a <>0.

Примечание : Даже если связи между переменными нет (a=0), то вычисленная на основании данных выборки оценка наклона — величина а , из-за случайности выборки будет близка, но все же отлична от 0.

По умолчанию принимается, что нулевая гипотеза верна – связи между переменными нет. Если это так, то:

MSR/MSE будет близко к 1;
Случайная величина F = MSR/MSE будет иметь F-распределениесо степенями свободы 1 (в числителе) и n-2 (знаменателе). F является тестовой статистикой для проверки значимости регрессии.

Примечание : MSR и MSE являются случайными величинами (т.к. они получены на основе случайной выборки). Соответственно, выражение F=MSR/MSE, также является случайной величиной, которая имеет свое распределение, среднее значение и дисперсию .

Ниже приведен график плотности вероятности F-распределения со степенями свободы 1 (в числителе) и 59 (знаменателе). 59=61-2, 61 наблюдение минус 2 степени свободы.

Если нулевая гипотеза верна, то значение F ₀ =MSR/MSE, вычисленное на основании выборки, должно быть около ее среднего значения (т.е. около 1,04). Если F ₀ будет существенно больше 1 (чем больше F0 отклоняется в сторону больших значений, тем это маловероятней), то это будет означать, что F не имеет F-распределение , а, следовательно, нулевую гипотезу нужно отклонить и принять альтернативную, утверждающую, что связь между переменными есть (значима).

Обычно предполагают, что если вероятность, того что F -статистика приняла значение F0 составляет менее 5%, то это событие маловероятно и нулевую гипотезу необходимо отклонить. 5% — это заданный исследователем уровень значимости , который может быть, например, 1% или 10%.

Значение статистики F0 может быть вычислено на основании выборки:

Вычисления в MS EXCEL

В MS EXCEL критическое значение для заданного уровня значимости F1-альфа, 1, n-2 можно вычислить по формуле = F.ОБР(1- альфа;1; n-2) или = F.ОБР.ПХ(альфа;1; n-2) . Другими словами требуется вычислить верхний альфа-квантиль F-распределения с соответствующими степенями свободы .

Таким образом, при значении статистики F0> F1-альфа, 1, n-2 мы имеем основание для отклонения нулевой гипотезы.

Значение F ₀ можно вычислить на основании значений выборки по вышеуказанной формуле или с помощью функции ЛИНЕЙН() :

В случае простой регрессии значение F0 также равно квадрату t-статистики, которую мы использовали при проверке двусторонней гипотезе о равенстве 0 коэффициента регрессии .

Проверку значимости регрессии можно также осуществить через вычисление p-значения. В этом случае вычисляют вероятность того, что случайная величина F примет значение F0 (это и есть p-значение), затем сравнивают p-значение с заданным уровнем значимости . Если p-значение больше уровня значимости, то нулевую гипотезу нет оснований отклонить, и регрессия незначима.

В MS EXCEL для проверки гипотезы используя p -значение используйте формулу = F.РАСП.ПХ(F0;1;n-2) файл примера , где показано эквивалентность всех подходов проверки значимости регрессии).

В программах статистики результаты процедуры F -теста выводят с помощью стандартной таблицы дисперсионного анализа . В файле примера такая таблица приведена на листе Таблица, которая построена на основе результатов, возвращаемых инструментом Регрессия надстройки Пакета анализа MS EXCEL .

источники:

http://math.semestr.ru/corel/prim3.php

http://statistica.ru/theory/oshibki-pri-proverke-gipotez-moshchnost/

http://excel2.ru/articles/proverka-znachimosti-regressii-s-pomoshchyu-dispersionnogo-analiza-f-test

Источник

Ошибки первого рода (англ. type I errors, α errors, false positives) и ошибки второго рода (англ. type II errors, β errors, false negatives) в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Содержание

1 Определения
2 О смысле ошибок первого и второго рода
3 Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)
4 Примеры использования
- 4.1 Радиолокация
- 4.2 Компьютеры
  - 4.2.1 Компьютерная безопасность
  - 4.2.2 Фильтрация спама
  - 4.2.3 Вредоносное программное обеспечение
  - 4.2.4 Поиск в компьютерных базах данных
  - 4.2.5 Оптическое распознавание текстов (OCR)
  - 4.2.6 Досмотр пассажиров и багажа
  - 4.2.7 Биометрия
- 4.3 Массовая медицинская диагностика (скрининг)
- 4.4 Медицинское тестирование
- 4.5 Исследования сверхъестественных явлений
5 См. также
6 Примечания

Определения

Пусть дана выборка $mathbf{X} = (X_1,ldots,X_n)^{top}$ из неизвестного совместного распределения $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

$begin{matrix} H_0 \ H_1, end{matrix}$

где H_0 — нулевая гипотеза, а H_1 — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

$f:mathbb{R}^n to {H_0,H_1}$ ,

сопоставляющий каждой реализации выборки mathbf{X} = mathbf{x} одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_0$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_1$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_1$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_0$ .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно. ^[1]^[2]

	Верная гипотеза

Результат применения критерия		верно принята	неверно принята (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

О смысле ошибок первого и второго рода

Как видно из вышеприведённого определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы H_0 и H_1 , то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее, в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза H_0 соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что обследуемый человек здоров, или что проходящий через рамку металлодетектора пассажир не имеет запрещённых металлических предметов. Соответственно, альтернативная гипотеза H_1 обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции.

С учётом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой, ложным срабатыванием или ложноположительным срабатыванием — например, анализ крови показал наличие заболевания, хотя на самом деле человек здоров, или металлодетектор выдал сигнал тревоги, сработав на металлическую пряжку ремня. Слово «положительный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают положительный результат (т.е. показывают наличие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент этим заболеванием не страдает. Такой результат называется ложноположительным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «ложное срабатывание», «ложная тревога» и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false positive без перевода.

Из-за возможности ложных срабатываний не удаётся полностью автоматизировать борьбу со многими видами угроз. Как правило, вероятность ложного срабатывания коррелирует с вероятностью пропуска события (ошибки второго рода). То есть: чем более чувствительна система, тем больше опасных событий она детектирует и, следовательно, предотвращает. Но при повышении чувствительности неизбежно вырастает и вероятность ложных срабатываний. Поэтому чересчур чувствительно (параноидально) настроенная система защиты может выродиться в свою противоположность и привести к тому, что побочный вред от неё будет превышать пользу.

Соответственно, ошибку второго рода иногда называют пропуском события или ложноотрицательным срабатыванием — человек болен, но анализ крови этого не показал, или у пассажира имеется холодное оружие, но рамка металлодетектора его не обнаружила (например, из-за того, что чувствительность рамки отрегулирована на обнаружение только очень массивных металлических предметов).

Слово «отрицательный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают отрицательный результат (т.е. показывают отсутствие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент страдает этим заболеванием. Такой результат называется ложноотрицательным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «пропуск события», и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false negative без перевода.

Степень чувствительности системы защиты должна представлять собой компромисс между вероятностью ошибок первого и второго рода. Где именно находится точка баланса, зависит от оценки рисков обоих видов ошибок.

Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)

Вероятность ошибки первого рода при проверке статистических гипотез называют уровнем значимости и обычно обозначают греческой буквой alpha (отсюда название alpha -errors).

Вероятность ошибки второго рода не имеет какого-то особого общепринятого названия, на письме обозначается греческой буквой beta (отсюда beta -errors). Однако с этой величиной тесно связана другая, имеющая большое статистическое значение — мощность критерия. Она вычисляется по формуле (1-beta) . Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

Обе эти характеристики обычно вычисляются с помощью так называемой функции мощности критерия. В частности, вероятность ошибки первого рода есть функция мощности, вычисленная при нулевой гипотезе. Для критериев, основанных на выборке фиксированного объема, вероятность ошибки второго рода есть единица минус функция мощности, вычисленная в предположении, что распределение наблюдений соответствует альтернативной гипотезе. Для последовательных критериев это также верно, если критерий останавливается с вероятностью единица (при данном распределении из альтернативы).

В статистических тестах обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким. Этим пороговым значением является уровень значимости, которым задаются при проверке статистических гипотез. Например, в случае металлодетектора повышение чувствительности прибора приведёт к увеличению риска ошибки первого рода (ложная тревога), а понижение чувствительности — к увеличению риска ошибки второго рода (пропуск запрещённого предмета).

Примеры использования

Радиолокация

В задаче радиолокационного обнаружения воздушных целей, прежде всего, в системе ПВО ошибки первого и второго рода, с формулировкой «ложная тревога» и «пропуск цели» являются одним из основных элементов как теории, так и практики построения радиолокационных станций. Вероятно, это первый пример последовательного применения статистических методов в целой технической области.

Компьютеры

Понятия ошибок первого и второго рода широко используются в области компьютеров и программного обеспечения.

Компьютерная безопасность

Наличие уязвимостей в вычислительных системах приводит к тому, что приходится, с одной стороны, решать задачу сохранения целостности компьютерных данных, а с другой стороны — обеспечивать нормальный доступ легальных пользователей к этим данным (см. компьютерная безопасность). Moulton (1983, с.125) отмечает, что в данном контексте возможны следующие нежелательные ситуации:

когда нарушители классифицируются как авторизованные пользователи (ошибки первого рода)
когда авторизованные пользователи классифицируются как нарушители (ошибки второго рода)

Фильтрация спама

Ошибка первого рода происходит, когда механизм блокировки/фильтрации спама ошибочно классифицирует легитимное email-сообщение как спам и препятствует его нормальной доставке. В то время как большинство «антиспам»-алгоритмов способны блокировать/фильтровать большой процент нежелательных email-сообщений, гораздо более важной задачей является минимизировать число «ложных тревог» (ошибочных блокировок нужных сообщений).

Ошибка второго рода происходит, когда антиспам-система ошибочно пропускает нежелательное сообщение, классифицируя его как «не спам». Низкий уровень таких ошибок является индикатором эффективности антиспам-алгоритма.

Пока не удалось создать антиспамовую систему без корреляции между вероятностью ошибок первого и второго рода. Вероятность пропустить спам у современных систем колеблется в пределах от 1% до 30%. Вероятность ошибочно отвергнуть валидное сообщение — от 0,001 % до 3 %. Выбор системы и её настроек зависит от условий конкретного получателя: для одних получателей риск потерять 1% хорошей почты оценивается как незначительный, для других же потеря даже 0,1% является недопустимой.

Вредоносное программное обеспечение

Понятие ошибки первого рода также используется, когда антивирусное программное обеспечение ошибочно классифицирует безвредный файл как вирус. Неверное обнаружение может быть вызвано особенностями эвристики, либо неправильной сигнатурой вируса в базе данных. Подобные проблемы могут происходить также и с антитроянскими и антишпионскими программами.

Поиск в компьютерных базах данных

При поиске в базе данных к ошибкам первого рода можно отнести документы, которые выдаются поиском, несмотря на их иррелевантность (несоответствие) поисковому запросу. Ошибочные срабатывания характерны для полнотекстового поиска, когда поисковый алгоритм анализирует полные тексты всех хранимых в базе данных документов и пытается найти соответствия одному или нескольким терминам, заданным пользователем в запросе.

Большинство ложных срабатываний обусловлены сложностью естественных языков, многозначностью слов: например, «home» может обозначать как «место проживания человека», так и «корневую страницу веб-сайта». Число подобных ошибок может быть снижено за счёт использования специального словаря. Однако это решение относительно дорогое, поскольку подобный словарь и разметка документов (индексирование) должны создаваться экспертом.

Оптическое распознавание текстов (OCR)

Разнообразные детектирующие алгоритмы нередко выдают ошибки первого рода. Программное обеспечение оптического распознавания текстов может распознать букву «a» в ситуации, когда на самом деле изображены несколько точек, которые используемый алгоритм расценил как «a».

Досмотр пассажиров и багажа

Ошибки первого рода регулярно встречаются каждый день в компьютерных системах предварительного досмотра пассажиров в аэропортах. Установленные в них детекторы предназначены для предотвращения проноса оружия на борт самолёта; тем не менее, уровень чувствительности в них зачастую настраивается настолько высоко, что много раз за день они срабатывают на незначительные предметы, такие как ключи, пряжки ремней, монеты, мобильные телефоны, гвозди в подошвах обуви и т.п. (см. обнаружение взрывчатых веществ, металлодетекторы).

Таким образом, соотношение числа ложных тревог (идентифицикация благопристойного пассажира как правонарушителя) к числу правильных срабатываний (обнаружение действительно запрещённых предметов) очень велико.

Биометрия

Ошибки первого и второго рода являются большой проблемой в системах биометрического сканирования, использующих распознавание радужной оболочки или сетчатки глаза, черт лица и т.д. Такие сканирующие системы могут ошибочно отождествить кого-то с другим, «известным» системе человеком, информация о котором хранится в базе данных (к примеру, это может быть лицо, имеющее право входа в систему, или подозреваемый преступник и т.п.). Противоположной ошибкой будет неспособность системы распознать легитимного зарегистрированного пользователя, или опознать подозреваемого в преступлении.^[3]

Массовая медицинская диагностика (скрининг)

В медицинской практике есть существенное различие между скринингом и тестированием:

Скрининг включает в себя относительно дешёвые тесты, которые проводятся для большой группы людей при отсутствии каких-либо клинических признаков болезни (например, мазок Папаниколау).
Тестирование подразумевает гораздо более дорогие, зачастую инвазивные, процедуры, которые проводятся только для тех, у кого проявляются клинические признаки заболевания, и которые, в основном, применяются для подтверждения предполагаемого диагноза.

К примеру, в большинстве штатов в США обязательно прохождение новорожденными процедуры скрининга на оксифенилкетонурию и гипотиреоз, помимо других врождённых аномалий. Несмотря на высокий уровень ошибок первого рода, эти процедуры скрининга считаются целесообразными, поскольку они существенно увеличивают вероятность обнаружения этих расстройств на самой ранней стадии.^[4]

Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных доноров на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода; однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из этих вирусов.

Возможно, наиболее широкие дискуссии вызывают ошибки первого рода в процедурах скрининга на рак груди (маммография). В США уровень ошибок первого рода в маммограммах достигает 15%, это самый высокий показатель в мире.^[5] Самый низкий уровень наблюдается в Нидерландах, 1%.^[6]

Медицинское тестирование

Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является доверие результатам кардиотестирования при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что кардиотестирование выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.

Ошибки второго рода вызывают серьёзные и трудные для понимания проблемы, особенно когда искомое условие является широкораспространённым. Если тест с 10%-ным уровнем ошибок второго рода используется для обследования группы, где вероятность «истинно-положительных» случаев составляет 70%, то многие отрицательные результаты теста окажутся ложными. (См. Теорему Байеса).

Ошибки первого рода также могут вызывать серьёзные и трудные для понимания проблемы. Это происходит, когда искомое условие является редким. Если уровень ошибок первого рода у теста составляет один случай на десять тысяч, но в тестируемой группе образцов (или людей) вероятность «истинно-положительных» случаев составляет в среднем один случай на миллион, то большинство положительных результатов этого теста будут ложными.^[7]

Исследования сверхъестественных явлений

Термин ошибка первого рода был взят на вооружение исследователями в области паранормальных явлений и привидений для описания фотографии или записи или какого-либо другого свидетельства, которое ошибочно трактуется как имеющее паранормальное происхождение — в данном контексте ошибка первого рода — это какое-либо несостоятельное «медиасвидетельство» (изображение, видеозапись, аудиозапись и т.д.), которое имеет обычное объяснение.^[8]

См. также

Статистическая значимость
Ложноположительный
Атака второго рода
Случаи ложного срабатывания систем предупреждения о ракетном нападении
Receiver_operating_characteristic

Примечания

↑ ГОСТ Р 50779.10-2000. «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.». Стр. 26
↑ Valerie J. Easton, John H. McColl. Statistics Glossary: Hypothesis Testing.
↑ Данный пример как раз характеризует случай, когда классификация ошибок будет зависеть от назначения системы: если биометрическое сканирование используется для допуска сотрудников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек действительно является сотрудником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой второго рода, а «неузнавание» — ошибкой первого рода; если же сканирование используется для опознания преступников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек не является преступником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой первого рода, а «неузнавание» — ошибкой второго рода.
↑ Относительно скрининга новорожденных, последние исследования показали, что количество ошибок первого рода в 12 раз больше, чем количество верных обнаружений (Gambrill, 2006. [1])
↑ Одним из последствий такого высокого уровня ошибок первого рода в США является то, что за произвольный 10-летний период половина обследуемых американских женщин получают как минимум одну ложноположительную маммограмму. Такие ошибочные маммограммы обходятся дорого, приводя к ежегодным расходам в 100 миллионов долларов на последующее (ненужное) лечение. Кроме того, они вызывают излишнюю тревогу у женщин. В результате высокого уровня подобных ошибок первого рода в США, примерно у 90-95% женщин, получивших хотя бы раз в жизни положительную маммограмму, на самом деле заболевание отсутствует.
↑ Наиболее низкие уровни этих ошибок наблюдаются в северной Европе, где маммографические плёнки считываются дважды, и для дополнительного тестирования устанавливается повышенное пороговое значение (высокий порог снижает статистическую эффективность теста).
↑ Вероятность того, что выдаваемый тестом результат окажется ошибкой первого рода, может быть вычислена при помощи Теоремы Байеса.
↑ На некоторых сайтах приведены примеры ошибок первого рода, например: Атлантическое Сообщество Паранормальных явлений (The Atlantic Paranormal Society, TAPS) и Морстаунская организация по Исследованию Привидений (Moorestown Ghost Research).

Источник

При
проверке гипотезы экспериментальные
данные могут противоречить
гипотезе
,
тогда эта гипотезаотклоняется.

В
противном случае, если экспериментальные
данные согласуются
с
гипотезой
,
то онане
отклоняется.

Значит,
статистическая проверка гипотез,
основанная на экспериментальных данных,
неизбежно связанно с риском
принять ложное решение.

Тогда
в терминах правильности или ошибочности
принятия H₀
и
можно
указать четыре потенциально возможных
результата применения критерия к
выборке. При
этом возможны ошибки двух родов.

Ошибкой первого
рода
называется
ошибка отклонения правильной гипотезы.
Вероятность
ошибки первого рода равна
уровню значимости,
т.е.

Эта
формула означает, что гипотеза
отклоняется с вероятностью,
хотя эта гипотеза верна. Название
«уровень значимости» в терминах «сходства
и различия» — это вероятность того, что
мы сочли различия существенными (приняли),
а они на самом деле случайны (верна
гипотеза).

Для того чтобы
проверяемая гипотеза была достаточно
обоснованно отвергнута, уровень
значимости выбирают достаточно малым,
в практике: 0,01; 0,001.

Ошибкой второго
рода
называется ошибка принятия неверной
гипотезы. Вероятность
ошибки второго рода обозначается
:

Эта
формула означает, что гипотеза
принимается с вероятностью,
хотя верна альтернативная гипотеза.

Чем
меньше уровень значимости, тем меньше
вероятность забраковать верную гипотезу,
т.е. совершить ошибку первого рода, но
при этом увеличивается вероятность
принятия неверной гипотезы, т.е. совершения
ошибки второго рода.

	Принята гипотеза
H₀	H₁
Верна гипотеза	H₀	— вероятность правильно принять H₀, когда верна H₀	— вероятность ошибочно принять H₁, когда верна H₀ (ошибка 1-го рода, уровень значимости)
H₁	— вероятность ошибочно принять H₀, когда верна H₁ (ошибка 2-го рода)	— вероятность правильно принять H₁, когда верна H₁(мощность критерия)

Возможны
два
статистических правильных решения
по выборочным данным:

1) Принять верную гипотезу . Вероятность этого решения называетсяуровнем доверия;

2)
принять
верную гипотезу
.
Вероятностьтакого решения называетсямощностью
критерия.
Мощность критерия в терминах
«сходство-различие» — это его способность
выявлять различия, если они есть.

4.
Односторонний и двусторонний критерии

По
виду альтернативной (конкурирующей)
гипотезы
определяется вид критической области,
в которой результаты выборочного
наблюдения выглядят менее правдоподобными
в отношении нулевой гипотезы.

Если
конкурирующая гипотеза имеет вид
:,
то критическая область— правосторонняя и соответствующийкритерий
называется правосторонним,
а в случае
:—критерий
называется левосторонним.

Область
допустимых
Правосторонняя

значений
критическая
область

(принятия
гипотезы
)
(отклоненияи принятия)

Если конкурирующая гипотеза имеет вид
:,
т.е.,
то критическая областьявляется объединением полубесконечных
промежутков: — двусторонняя.

Область

Критическая допустимых
Критическая

область значений область

Важное замечание.В психологии часто
эмпирическое значениесравнивается одновременно с двумя
критическими(0,05)
и(0,01),
которые соответствуют уровням значимости
в 5% и 1% и находятся по соответствующим
таблицам. Все три числа,(0,05),(0,01)
располагают на «оси значимости». Числоможет попасть в одну из трех областей:
незначимости различий, значимости
различий, неопределенности.