Размер ошибки выборки прямо пропорционален дисперсии

Ошибка выборки

2.1. Понятие и виды ошибок выборки

Поскольку изучаемая статистическая
совокупность состоит из единиц с
варьирующими признаками, то состав
выборочной совокупности может в той
или иной мере отличаться от состава
генеральной совокупности.

Расхождение
между характеристиками выборки и
генеральной совокупности составляет
ошибку
выборки.

Виды ошибок выборки

Ошибки

выборки

Систематические

Случайные

Ошибки

регистрации

Обусловлены
причинами, действующими в одном
направлении (например, округление
цифр).

Проявляются
в различных направлениях и уравновешивают
друг друга (невнимательность).

Ошибки

репрезентативности

Неправильный,
тенденциозный отбор единиц, без
соблюдения принципа случайности
(выбираются преднамеренно худшие или
лучшие единицы).

Несмотря
на принцип случайности отбора единиц,
все же имеются расхождения между
характеристиками выборки и генеральной
совокупности (но эти ошибки объективны
и не связаны с волей наблюдателя).

Основная
задача выборочного метода – изучение
случайных ошибок репрезентативности.

2.2. Средняя ошибка выборки

Случайная ошибка
репрезентативности зависит от следующих
фактов (при этом считается, что ошибок
регистрации нет):

Чем
больше численность выборки при прочих
равных условиях, тем меньше величина
ошибки выборки, т.е. ошибка выборки
обратно пропорциональна ее численности.
Чем
меньше варьирование признака, тем
меньше ошибка выборки. Если признак
совсем не варьирует, а, следовательно,
величина дисперсии равна нулю, то ошибки
выборки не будет, т.к. любая единица
совокупности будет совершенно точно
характеризовать всю совокупность по
этому признаку. Таким образом, ошибка
выборки прямо пропорциональна величине
дисперсии.

В
математической статистике доказывается,
что величина средней ошибки случайной
повторной выборки может быть определена
по формуле

(6.1)

Однако
следует иметь в виду, что величина
дисперсии в генеральной совокупности

²
нам не известна, т.к. наблюдение выборочное.
Мы можем рассчитать лишь дисперсию в
выборочной совокупности S².
Соотношение между дисперсиями генеральной
и выборочной совокупности выражается
формулой:

(6.2)

Если
n
велико, следовательно

Таким
образом, можно приблизительно считать,
что выборочная дисперсия равна генеральной
дисперсии.


²=
S²

И формула средней ошибки повторной
выборки (6.1.) примет вид:

(6.3)

Но
здесь мы рассмотрели только ошибку
выборки для средней величины интересующего
признака. Существует также показатель
доли единиц с интересующим признаком.
Расчет ошибки этого показателя имеет
свои особенности.

Дисперсия
для показателя доли признака определяется
по формуле:

S²=(1-)
(6.4)

Тогда средняя ошибка повтора выборки
для показателя доли признака будет
равна:

(6.5)

Доказательство
формул (6.3) и (6.5) исходит из схемы повторной
выборки. Обычно же выборку организуют
бесповторным способом. Т.к. при бесповторном
отборе численность генеральной
совокупности N
в коде выборки сокращается, то в формулы
ошибки выборки включают дополнительный
множитель
,
и формулы
принимают вид:

(6.6)

(6.7)

Пример
1. Определим, на сколько отличаются
выборочные и генеральные показатели
по данным 10%-ной бесповторной выборки
успеваемости студентов.

Оценка, х_i	Число студентов в выборке, f_i
2	9
3	27
4	54
5	10
Итого	100

Расчет ошибки бесповторной выборки для
средней величины:

n
= 100 N
= 1000

Найдем выборочную
дисперсию по формуле:

Здесь
не известна величина
,
которую можно найти как обычную среднюю
взвешенную величину:

Таким
образом,

Т.е.
можно сказать, что средний балл всех
студентов ()
равен 3,650,07

Теперь
рассчитаем долю студентов в генеральной
совокупности, обучающихся на «4» и «5».

Найдем по выборке
долю студентов, получивших оценки «4»
и «5».

(или
64%)

Расчет
ошибки бесповторной выборки для доли
производится по формуле:

(или
4,5%)

Таким образом, доля студентов, обучающихся
на «4» и «5» по генеральной совокупности
(P) составляет
0,640,045 (или 64%4,5%).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Справочник /
Лекторий Справочник /
Лекционные и методические материалы по статистике /
Статистика: выборочное наблюдение

pptx

Конспект лекции по дисциплине «Статистика: выборочное наблюдение»,
pptx

Файл загружается

Благодарим за ожидание, осталось немного.

pptx

Конспект лекции по дисциплине «Статистика: выборочное наблюдение».
pptx

txt

Конспект лекции по дисциплине «Статистика: выборочное наблюдение», текстовый формат

СТАТИСТИКА
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
ТЕСТЫ
1. Несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию
подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом,
называется:
А) монографическим;
Б) основного массива;
В) выборочным.
2. Выборочная совокупность – это часть генеральной совокупности:
А) случайно попавшая в поле зрения исследователя;
Б) состоящая из единиц, отобранных в случайном порядке;
В) состоящая из единиц, номера которых отобраны в случайном порядке.
3. Укажите, при соблюдении каких условий выборка будет репрезентативной,
представительной:
А) отбор единиц совокупности, при котором каждая из единиц получает
определенную, обычно равную вероятность попасть в выборку;
Б) достаточное количество отобранных единиц совокупности;
В) отбор единиц произвольный.
4. Отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность,
из которой осуществляется дальнейший отбор, является:
А) повторным;
Б) бесповторным.
5. Укажите основные способы отбора единиц в выборочную совокупность из
генеральной:
А) собственно-случайный;
Б) механический;
В) монографический;
Г) анкетный;
Д) типический;
Е) серийный.
6. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик
генеральной совокупности, возникающее вследствие нарушения принципа
случайности отбора, называется:
А) случайной ошибкой;
Б) систематической ошибкой репрезентативности.
7. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик
генеральной совокупности, возникающее вследствие несплошного характера
наблюдения, называется:
А) случайной ошибкой репрезентативности;
Б) систематической ошибкой репрезентативности.
8. Преимущество выборочного наблюдения перед сплошным состоит в более точном
определении обобщающих характеристик:
А) да;
Б) нет.
9. Выборочное наблюдение в сравнении со сплошным позволяет расширить
программу исследования:
А) да;
Б) нет.
10. Вычисленные параметры по выборочной совокупности:
А) характеризует саму выборку;
Б) точно характеризуют генеральную совокупность;
В) не точно характеризуют генеральную совокупность.
11. Ошибка выборки представляет собой
характеристик
выборочной
совокупности
совокупности:
А) да;
Б) нет.
12. Величина ошибки выборки зависит от:
А) величины самого вычисляемого параметра;
Б) единиц измерения параметра;
В) объема численности выборки.
возможные пределы отклонений
от
характеристик
генеральной
13. Размер ошибки выборки прямо пропорционален:
А) дисперсии признака;
Б) среднему квадратическому отклонению.
14. Величина ошибки выборки обратно пропорциональна:
А) численности единиц выборочной совокупности;
Б) квадратному корню из этой численности.
15. Увеличение доверительной вероятности:
А) увеличивает ошибку выборки;
Б) уменьшает ошибку выборки.
16. Механический отбор всегда бывает:
А) повторным;
Б) бесповторным.
17. Типический отбор применяется в тех случаях, когда генеральная совокупность:
А) неоднородна по показателям, подлежащим изучению;
Б) однородна по показателям, подлежащим изучению.
18. Укажите, связана ли величина t с объемом выборки:
А) связана;
Б) не связана.
19. Укажите, от чего зависит величина t:
А) от вероятности, с какой необходимо гарантировать пределы ошибки выборки;
Б) от объема генеральной совокупности.
20. Укажите, что произойдет с предельной ошибкой выборки, если дисперсию
увеличить в 4 раза:
А) уменьшится в 2 раза;
Б) увеличится в 2 раза;
Г) не изменится.
21. Укажите, что произойдет с предельной ошибкой выборки, если дисперсию
уменьшить в 4 раза, численность выборки увеличить в 9 раз, а вероятность исчисления
изменится с 0,683 до 0,997 (t = 1 и t = 3):
А) уменьшится в 18 раз;
Б) увеличится в 18 раз;
В) уменьшится в 2 раза;
Г) не изменится.
22. Механический отбор точнее собственно-случайного, поскольку он:
А) более сложно организован;
Б) всегда бесповторен.
23. Расположите по возрастанию точности следующие способы отбора:
А) собственно-случайный;
Б) механический;
В) типический;
Г) серийный (гнездовой).
24. Типический отбор точнее, поскольку он:
А) наиболее сложно организован;
Б) обеспечивает попадание в выборку представителей из выделенных групп в
генеральной совокупности.
25. Величина ошибки выборки при типическом отборе меньше, поскольку в ее расчете
используется:
А) общая дисперсия признака;
Б межгрупповая дисперсия;
В) средняя из внутригрупповых дисперсий.
26. Увеличение численности выборки в 4 раза:
А) уменьшает ошибку выборки в 2 раза;
Б) увеличивает ошибку выборки в 2 раза;
В) уменьшает ошибку выборки в 4 раза;
Г) увеличивает ошибку выборки в 4 раза;
Д) не изменяет ошибку выборки.
27. Величина ошибки выборки:
А) прямо пропорциональна ;
Б) обратно пропорциональна ;
В) обратно пропорциональна n.
28. Ошибка выборки при механическом отборе уменьшится в следующем случае:
А) если уменьшить численность выборочной совокупности;
Б) если увеличить численность выборочной совокупности.
29. Укажите, при
репрезентативность:
А) серийной;
Б) типической;
В) случайной;
Г) механической.
каком
виде
выборки
обеспечивается
наибольшая
30. По данным выборочного наблюдения оценивается среднее значение некоторой
величины. Укажите, в каком направлении изменится предельная ошибка оценки, если
доверительная вероятность увеличится:
А) уменьшится;
Б) увеличится;
В) не изменится.
31. В выборах мэра примут участие около 1 млн избирателей: кандидат Р. Будет
выбран, если за него проголосуют более 50 % избирателей. Накануне выборов
проведен опрос случайно отобранных 1000 избирателей: 540 из них сказали, что будут
голосовать за Р. Укажите, можно ли при уровне доверительной вероятности 0,954
утверждать, что Р. Победит на выборах:
А) можно;
Б) нельзя.
32. Исследуемая партия состоит из 5 тыс. деталей. Предполагается, что партия деталей
содержит 8 % бракованных. Определите необходимый объем выборки, чтобы с
вероятностью 0,997 установить долю брака с погрешностью не более 2 %:
А) 1650;
Б) 1244;
В) 1300.
33. Укажите, по какой формуле определяется предельная ошибка выборки средней при
типическом отборе для бесповторной выборки:
А) ;
Б)
В)
Г)
34. Укажите, по какой формуле определяется предельная ошибка выборки для доли
при механическом отборе:
А) ;
Б)
В)
Г)
35. Из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора отобрано
250 изделий, из которых пять оказались бракованными. Определите с вероятностью
0,954 возможные пределы процента брака во всей партии. Объем выборки составляет
10 % всего объема готовой продукции:
А) 2% ± 1,68%;
Б) 10% ± 2%.
36. Малой выборкой называется выборочное наблюдение, объем которого:
А) не превышает 30 единиц;
Б) не превышает 50 единиц.
37. По данным 5%-ного выборочного обследования, дисперсия среднего срока
пользования краткосрочным кредитом 1-го банка 144, а 2-го 81. Число счетов 1-го
банка в 4 раза больше, чем 2-го. Ошибка выборки больше:
А) в 1-м банке;
Б) во 2-м банке;
В) ошибки одинаковы;
Г) предсказать невозможно.
38. По выборочным данным (10%-ный отбор) удельный вес счетов со сроком
пользования кредитом, превышающим 50 дней, в 1-м банке составил 5%, во 2-м банке
10%. При одинаковой численности счетов в выборочной совокупности ошибка
выборки больше:
А) в 1-м банке;
Б) во 2-м банке;
В) ошибки равны;
Г) данные не позволяют сделать вывод.
39. Укажите, по какой формуле можно определить необходимый объем выборки при
собственно случайном повторном отборе при определении доли признака:
А) ;
Б) .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.
Для определения средней цены товара А в порядке случайной выборки было
обследовано 100 торговых предприятий, в результате установлено, что средняя цена в
выборке товара А составила 57 руб. при среднеквадратическом отклонении 4 руб.
Установлено, что в выборочной совокупности 20 торговых предприятий торгуют
импортным товаром.
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средняя
цена товара А во всех торговых предприятиях, и долю предприятий, торгующих
импортным товаром.
Решение.
Поскольку общая численность генеральной совокупности торговых предприятий
не указана, расчет ошибки средней можно произвести только по формуле:
Тогда пределы, в которых находится средняя цена во всей совокупности торговых
предприятий, будут:
Таким образом, с вероятностью, равной 0,954 можно утверждать, что цена товара
А, продаваемого во всех торговых предприятиях, будет не менее 56 руб. 20 коп. и не
превысит величину 57 руб. 80 коп.
Доля торговых предприятий, торгующих импортным товаром, находится в
пределах:
Выборочная доля составит:
Ошибку выборки для доли определим по формуле:
.
.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля магазинов, торгующих
импортным товаром, во всей их совокупности будет находится в пределах
р = 20% ± 8%, или 12% ≤ р ≤ 28%.
Пример 2.
Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке
была проведена 10%-ная механическая выборка, в которую попало 200 счетов. В
результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным
кредитом 40 дней при среднеквадратическом отклонении 8 дней. В десяти счетах срок
пользования кредитом превышал 50 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы,
в которых будет находиться срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной
совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 50
дней.
Решение.
Средний срок пользования кредитом в банке находится в пределах:
.
Т.к. выборка механическая, то ошибка выборки определяется по формуле:
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что срок пользования краткосрочным
кредитом в банке находится в пределах:
.
Доля кредитов со сроком пользования более 50 дней находится в пределах:
Выборочная доля составит:
05
Ошибку выборки для доли определим по формуле:
.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля кредитов в банке со сроком
пользования более 50 дней будет находится в пределах р = 5% ± 2,9%, или
2,1% ≤ р ≤ 7,9%.
Пример 3.
В результате 10%-ного выборочного обследования, проведенного по методу
пропорционального типического отбора, получены исходные данные (табл.).
Показатели
Работники государственных
предприятий и учреждений
Средняя
заработ ная
плат а, руб.
Число
обследованн
ых
работников,
чел.
Среднее
квадратичес
кое
отклонение,
руб.
Удельны й
вес ж енщин
в общей
численности
работников,
%
3900
400
800
40
С вероятностью
0,954 определите
пределы,600
в которых будет
средняя
Работники
частных
5600
1200 находится 50
заработная
предприятийплата работников, и долю женщин в общей численности работников.
Решение.
1. Определим среднюю заработную плату работников:
2. Вычислим среднюю из групповых дисперсий:
.
3. Определим предельную ошибку выборки по формуле:
— средняя дисперсия выборочной совокупности.
4. Средняя заработная плата работников находится в пределах:
Т.о., с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя заработная плата
работников в генеральной совокупности будет не менее 4856 руб. 50 коп., но не более
4983 руб. 50 коп.
5. Долю женщин в общей численности работников определим по формуле:
6. Выборочную дисперсию альтернативного признака вычислим по формуле:
.
Ошибку для доли определим по формуле:
7. Доля женщин в общей численности работников находится в пределах:
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля женщин в
генеральной совокупности находится в пределах от 43 до 49 %.
Пример 4.
В одном из учебных заведений насчитывается 50 студенческих групп. С целью
изучения успеваемости студентов произведена 10%-ная серийная выборка, в которую
попали 5 групп студентов. В результате обследования установлено, что средняя
успеваемость в группах составила: 3,2; 3,4; 3,8; 4,0; 4,1 балла. С вероятностью 0,997
определите пределы, в которых будет находиться средний балл студентов учебного
заведения.
Решение.
Средний балл всех студентов находится в пределах:
.
Определим выборочную среднюю серийной выборки:
Дисперсию серийной выборки определим по формуле:
где — выборочная средняя каждой серии;
— выборочная средняя серийной выборки.
Значение дисперсии составляет:
Рассчитаем предельную ошибку выборки для средней по формуле:
где — межсерийная дисперсия; – число отобранных серий; – число серий в
генеральной совокупности.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний балл всех студентов
учебного заведения находится в пределах , или балла.
Пример 5.
Предприятие выпустило 100 партий готовой продукции А по 50 шт. в каждой из
них. Для проверки качества готовой продукции была проведена 10%-ная серийная
выборка, в результате которой установлено, что доля бракованной продукции
составила 12%. Дисперсия серийной выборки равна 0,0036.
С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля бракованной
продукции А.
Решение.
Доля бракованной продукции А будет находится в пределах:
Определим предельную ошибку выборки для серийного отбора:
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованной продукции А
находится в пределах 6,6% ≤ р ≤ 17,4%.
Пример 6.
Определите численность рабочих, которую необходимо отобрать в выборочную
совокупность с тем, чтобы при изучении их средней заработной платы предельная
ошибка выборки не превышала 30 руб. с вероятностью 0,997, если по данным
предыдущего обследования среднее квадратическое отклонение составило 70 руб.
Решение.
Поскольку способ отбора не указан, расчет следует проводить по формуле для
повторного отбора:
Пример 7.
В городе Н проживает 100 тыс. чел. С помощью механической выборки
определите долю населения со среднедушевыми денежными доходами до 1500 руб. в
месяц. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка
выборки не превышала 2%, если на основе предыдущих обследований известно, что
дисперсия равна 0,24?
Решение.
Определим необходимую численность выборки по формуле:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
В результате выборочного обследования незанятого населения, ищущего работу,
осуществленного на основе собственно-случайной повторной выборки, получен
следующий ряд распределения (табл.).
Возраст, лет
до 25
25 — 35
35 — 45
45 — 55
55 и
более
Численность
15
37
71
45
22
лиц данного
С вероятностью 0,954 определите границы:
возраста
а) среднего возраста незанятого населения;
б) доли (удельного веса) лиц, моложе 25 лет, в общей численности незанятого
населения.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.
Определите, сколько учащихся первых классов школ района необходимо отобрать в
порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,997
определить границы среднего роста первоклассников с предельной ошибкой 2 см.
Известно, что всего в первых классах школ района обучается 1100 учеников, а
дисперсия роста по результатам аналогичного обследования в другом районе
составила 24.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.
В целях изучения доходов населения по трем районам области сформирована 2%ная выборка, пропорциональная численности населения этих районов. Полученные
результаты представлены в табл.
Район
I
Численность
населения,
чел.
Обследова
но, чел.
120 000
2400
Доход в расчете на 1
человека
средняя,
тыс. руб.
дисперсия
2,9
1,3
II
170 000
3400
2,5
1,1
Определите границы среднедушевых доходов населения по области в целом при
III
90 000
1800
2,7
1,6
уровне вероятности 0,997.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.
В целях контроля качества комплектующих из партии изделий, упакованных в 50
ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По
попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы
соответственно составило 9; 11; 12; 8 и 14 мм. С вероятностью 0,954 определите
среднее отклонение параметров по всей партии в целом.
Задача 5.
Планируется обследование населения с целью определения средних расходов на
медицинские услуги и лекарственные средства. Определите необходимый объем
собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы получить результаты с
точностью 10 руб. при уровне вероятности 0,954. Известно, что в районе проживает 73
тыс. человек, а пробное обследование показало, что среднее квадратическое
отклонение расходов населения на эти цели составляет 38 руб.

Статистика

Статистика. Статистические данные

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образов…

Автор лекции

Смирнова С. О.

Авторы

Статистика

Курс : Статистика
Статистика В.М. Гусаров Москва, Юнити , 2003г
Статистика В.С. Мхиторян , Москва, Экономист, 2005г.
Статистика И.И. Елисеева
Статисти…

Смотреть все

Поделись лекцией и получи скидку!

Заполни поля, отправь лекцию и мы вышлем тебе скидку-промокод на Автор24

Предмет

Название лекции

Авторы

Описание

Другие Экономические предметы

Экономика
Менеджмент
Бухгалтерский учет и аудит
Управление персоналом
Статистика
Маркетинг
Экономика предприятия
Государственное и муниципальное управление
Финансовый менеджмент
Эконометрика
Финансы
Менеджмент организации
Бизнес-планирование
Управление проектами
Экономический анализ
Экономическая теория
Микро-, макроэкономика
Инновационный менеджмент
Логистика
Анализ хозяйственной деятельности

Источник

Тема 8. Выборочный метод

8.1. Сущность выборочного наблюдения, причины и практика его применения

Выборочное обследование – наиболее распространенный вид несплошного наблюдения в практике отечественной и зарубежной статистики. Сущность этого вида наблюдения состоит в том, что характеристика всей совокупности единиц дается по некоторой их части, отобранной научно обоснованным методом. В основе отбора единиц в выборку лежит принцип случайности, который обеспечивает равную возможность попадания в отобранную часть любой из единиц всей генеральной совокупности. Именно принцип случайности, заложенный в основу выборочного метода, и обеспечивает объективность результатов наблюдения, позволяет установить границы возможных ошибок и получить достоверные данные для характеристики всей совокупности.

Если отбор единиц произведен строго случайно, выборочная совокупность будет представительной или репрезентативной.

Выборочное наблюдение является наиболее совершенным и научно обоснованным методом несплошного наблюдения. При выборочном методе численность и доля единиц, которая будет обследоваться, известна до начала наблюдения, этим оно отличается от анкетного. В отличие от способа основного массива и монографического описания при проведении выборки неизвестно какие единицы совокупности будут подвергнуты обследованию. Выборочный метод, таким образом, в отличие от названных, исключает тенденциозность отбора и в большей степени обеспечивает представительство всех видов, групп, составляющих изучаемую совокупность.

Выборочный метод широко применяется в социально-экономических исследованиях, т.к. обладает рядом достоинств. Во-первых, он дает большую экономию средств и требует меньше времени для проведения наблюдения. То есть, выборочное наблюдение более экономичное, а результаты его носят более оперативный характер, чем при сплошном наблюдении. Во-вторых, при выборочном наблюдении при значительном сокращении объема работы обследование можно провести по более широкой программе, т.е. изучить явление более глубоко и детально. В-третьих, поскольку объем работы сокращается, то при выборке допускается меньше ошибок регистрации, и часто получают более точные результаты, чем при сплошном наблюдении.

Выборочный метод иногда является единственно возможным методом изучения явления, т.к. применение сплошного обследования может привести к физическому уничтожению всех единиц наблюдения. Например, при контроле качества некоторых видов продукции в промышленности, проверке семян на всхожесть в сельском хозяйстве и т.д.

Применение выборочного метода вызывается необходимостью контроля данных сплошного наблюдения. Например, контрольные проверки размеров посевных площадей и численности скота в личных хозяйствах населения.

Использование этого метода является целесообразным при изучении расходов населения, времени работы оборудования, рабочего времени и т.д.

Часто выборочный метод применяется в сочетании со сплошным наблюдением, например, при переписях населения.

8.2. Ошибки репрезентативности и теоретические основы их определения

В статистике принято называть совокупность отобранных единиц выборочной совокупностью (n), а совокупность единиц, из которых производится отбор – генеральной совокупностью (N). Генеральная и выборочная совокупности характеризуются такими показателями как средний размер признака, дисперсия, доля.

8.3. Способы отбора и виды выборочного наблюдения

Репрезентативность выборки зависит не только от объема выборочной совокупности, но и от того как она образована, от характера отбора.

В генеральной совокупности могут отбираться отдельные единицы совокупности или же их группы.

В зависимости от того что является единицей отбора, последний делится на два вида: индивидуальный и групповой.

При индивидуальном отборе единицей отбора является непосредственно единица наблюдения. Например, проверка качества продукции непосредственно на рабочем месте. Контролер проверяет не каждую изготовленную деталь, а отбирает часть деталей из всей партии, которые подвергает проверке.

Групповой отбор заключается в том, что для наблюдения отбираются не только единицы совокупности, а их группы или серии. Примером могут служить контрольные проверки веса продукции, если она реализуется в упаковке (чай, макаронные изделия, сахар-рафинад и т.д.). Для контроля отбираются ящики, в отобранных ящиках взвешивается каждая пачка.

В некоторых случаях групповой отбор производится в сочетании с индивидуальным. Такой отбор называется комбинированным и связан со ступенчатостью. Здесь выборочная совокупность формируется не сразу, а проходит несколько стадий, ступеней, поэтому он еще называется многоступенчатым. Наиболее простым его случаем является двухступенчатый отбор, когда на первой ступени отбираются группы, на второй – отдельные единицы из отобранных групп.

Например, для контроля за соблюдением весовых стандартов пачек чая, сахара сначала отбираются ящики, в которых упакованы пачки, а из этих ящиков отбираются отдельные пачки.

Средняя ошибка выборки при двухступенчатом отборе исчисляется по формуле:

где – число отобранных групп

– среднегрупповая дисперсия из отобранных единиц

– межгрупповая дисперсия.

Иногда сплошное наблюдение проводится в комбинации с выборочным. Например, переписи населения. Все население обследуется по основной программе, а 25% его обследуется по расширенной программе. Сплошное наблюдение может комбинироваться и с несколькими выборочными обследованиями, различающимися детализацией программ и числом обследуемых единиц.

Точность результатов и размеры ошибок выборочного наблюдения во многом зависят и от способа отбора единиц выборочной совокупности.

В зависимости от цели изучения и характера исходных данных, для обеспечения наибольшей репрезентативности выборки применяются следующие виды и способы отбора единиц совокупности для наблюдения:

а) собственно-случайная выборка,

б) механическая,

в) типическая (районированная),

г) серийно-гнездовая.

Собственно-случайная выборка.

При собственно-случайной выборке из генеральной совокупности отбираются для наблюдения отдельные единицы в случайном порядке. Для этого используются таблицы случайных чисел или жеребьевка.

Собственно-случайная выборка может проводиться по способу повторного и бесповторного отбора.

При повторном отборе отобранная единица после регистрации ее данных возвращается в генеральную совокупность и таким образом может попасть в выборку вторично и даже несколько раз. При бесповторном отборе каждая единица участвует в выборке только один раз.

Случайный отбор дает хорошие результаты в условиях, когда между единицами исследуемой совокупности нет резких различий.

При проведении собственно-случайной выборки нужно иметь исчерпывающий перечень всех единиц генеральной совокупности. Может оказаться, что пока организуется жеребьевка, единицы совокупности снова возникнут или ликвидируются. А при изучении качества продукции в течение дня вообще не имеется исчерпывающего перечня единиц. Неудобство этого способа отбора еще состоит и в том, что для жеребьевки на каждую единицу генеральной совокупности изготавливаются карточки (фишки) для жеребьевки.

Среднюю ошибку выборки для средней определяют в зависимости от способа отбора по разным формулам.

При повторном отборе:

При бесповторном отборе:

Аналогично вычисляют среднюю ошибку выборки для доли признака.

При повторном отборе:

При бесповторном отборе:

Бесповторный отбор обеспечивает большую репрезентативность выборки, чем повторный.

Собственно-случайная выборка применяется при контроле качества продукции, качества уборочных работ в сельском хозяйстве, при изучении оплаты пассажирами проезда в общественном транспорте и т.д.

Механическая выборка.

Механическая выборка представляет собой последовательный отбор единиц через равные интервалы в порядке определенного расположения их в генеральной совокупности или каком-нибудь перечне. Интервалы отбора определяются в соответствие с долей выборочной совокупности. Если, например, десятипроцентная выборка, то отбирается каждая десятая единица, если пятипроцентная – каждая двадцатая единица и т.д.

Расположение единиц генеральной совокупности в списке может быть двояким – упорядоченным или неупорядоченным относительно изучаемого признака. Так, списки рабочих могут быть составлены в алфавитном порядке по первым буквам фамилий; поскольку первые буквы фамилий рабочих не связаны с выполнением норм выработки, такое расположение является неупорядоченным относительно изучаемого признака. Если рабочих в списки записать по возрастанию или убыванию процента выполнения норм, расположение будет упорядоченным. Способ расположения единиц генеральной совокупности влияет на порядок их отбора в выборочную совокупность. В случае неупорядоченного расположения единиц из первых десяти рабочих можно взять любого (первого, второго, десятого) и затем последовательно брать одного через 10 человек. Если расположение упорядоченное, в выборочную совокупность следует отбирать рабочих, стоящих посредине каждого десятка; в противном случае может образоваться систематическая ошибка выборки. В самом деле, если рабочие в списках расположены по нисходящему проценту выполнения норм, то первые номера в каждом десятке будут всегда лучше по изучаемому признаку, а последние номера – худшими. Следовательно, отобрав в выборку первые номера, статистик завысит выборочный показатель выполнения норм, отобрав последние номера – занизит. Поэтому следует брать из каждого десятка пятые или шестые номера.

Механический отбор из упорядоченной (ранжированной) совокупности иногда называют систематическим отбором.

Механический отбор можно применять и не прибегая к спискам, а используя тот естественный порядок, в котором фактически расположены единицы генеральной совокупности, если только этот порядок не приведет к тенденциозным ошибкам.

Механическая выборка всегда бывает бесповторной и ошибки определяются по формулам собственно-случайной выборки.

Применяется механическая выборка при контроле за результатами сплошного наблюдения, при изучении потерь рабочего времени и т.д.

Например, из общего числа пенсионных вкладов банка была проведена 5%-ная механическая выборка. Результаты выборки следующие:

Таблица 8.1

Размер пенсионного вклада, тыс р.	Число вкладов
до 20	25
20-40	37
40-60	70
60-80	50
80 и выше	18
Итого	200

Определить: 1) с вероятностью 0,683 пределы среднего размера пенсионного вклада во всей генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0,954 пределы доли вкладов, размер которых превышает 80 тыс. р.

Решение:

1. Предельная ошибка выборки на средний размер пенсионного вклада при механической выборке определяется по формуле:

Вероятности 0,683 соответствует коэффициент доверия (t), равный 1.

Вычислим среднюю и дисперсию по выборочной совокупности.

; .

Вывод: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что средний размер пенсионного вклада у всех вкладчиков банка будет находиться в пределах:

;

2. Предельная ошибка доли:

При вероятности 0,954 t=2.

W – доля вкладов, размер которых превышает 80 тыс. р.

Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля вкладов, размер которых составляет 80 тыс. р. и выше во всей генеральной совокупности будет находиться в следующих доверительных пределах:

;

Типическая выборка.

Типический (районированный) отбор применяют в том случае, если изучаемая совокупность неоднородна.

При этом отборе генеральная совокупность предварительно расчленяется на типы (районы) из которых отбираются единицы либо посредством жеребьевки, либо механическим способом.

Типы (районы) могут быть образованы искусственно или использованы те, которые сложились естественно.

Количество единиц, отбираемых из каждого типа (района), как правило, берется пропорционально численности типов в генеральной совокупности. Однако в принципе наиболее точный результат дает типический отбор, учитывающий вариацию признака в отдельных частях (типах, районах) генеральной совокупности. Для достижения этого численность частей выборочной совокупности, имеющих большую вариацию, несколько увеличивается.

Случайная ошибка при типическом отборе меньше, чем при собственно-случайном и механическом отборах, так как типический отбор дает более репрезентативную выборку, лучше обеспечивает возможность сохранить в выборке то соотношение между типами (районами), которое имеется в генеральной совокупности.

Предельная ошибка при пропорциональной типической выборке исчисляется по нижеследующим формулам.

При повторном отборе:

При бесповторном отборе:

Пропорциональная типическая выборка широко применяется в социологических, бюджетных обследованиях, при изучении урожайности по типам хозяйств.

Например, для исчисления среднего размера депозита в банке была проведена 2% – типическая выборка. Распределение депозитов по срокам хранения и их статистические характеристики в выборке представлены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Срок хранения депозита	Число депозитов	Средний размер депозита, тыс. р.	Дисперсия
3 месяца	500	40	340
6 месяцев	300	65	580
1 год	200	100	260

Вычислим средний размер депозита:

С вероятностью 0,954 установить предельную ошибку выборки на средний размер депозита.

Вычислим среднюю групповую дисперсию:

Средняя ошибка выборки составит:

Предельная ошибка выборки при вероятности 0,954 составит:

Таким образом, средний размер депозита в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 58,26 до 60,74 тыс. р.

Серийная (гнездовая) выборка.

Весьма часто в практике выборочного наблюдения применяется гнездовой или серийный отбор. При гнездовой или серийной выборке отбор производится не единицами, а целыми гнездами, сериями единиц совокупности, в пределах которых обследуются все единицы полностью. Например, 200 рабочих из 2000 можно отобрать целыми бригадами; отбор бригад может быть осуществлен посредством жеребьевки или механически. В отобранных бригадах общей численностью 200 человек должны быть обследованы все рабочие сплошь.

Серии (гнезда) состоят из единиц, связанных между собой или территориально, или организационно, или, наконец, во времени. Отбор серий может производится в порядке повторного и бесповторного отбора. Серии могут быть равновеликими и неравновеликими. На практике чаще применяется серийный отбор с равными сериями.

Серийный отбор значительно проще в организационном отношении и дешевле других способов. Однако получающаяся в процессе этого отбора ошибки выборки в подавляющем большинстве случаев больше, чем при любом другом способе отбора.

Средняя ошибка выборки при отборе равновеликими сериями будет выражаться формулами:

при повторном отборе: ;

при бесповторном отборе: ,

где – число отобранных серий;

– общее число серий в генеральной совокупности.

Приведем пример. Выборочное наблюдение урожайности зерновых культур по области проводилось при помощи отбора районов. По каждому отобранному району находилась средняя урожайность, которая оказалась следующей: I район – 14 ц с 1 га, II район – 15 ц с 1 га, III район – 14,5 ц с 1 га, IV район – 15,5 ц с 1 га, V район – 16 ц с 1 га. С вероятностью 0,997 оценить урожайность зерновых во всей области. В области 25 районов.

Найдем сначала общую среднюю:

затем межгрупповую дисперсию:

Средняя ошибка серийного бесповторного отбора:

Найдем предельную ошибку выборки:

Следовательно, с вероятностью 0,997 можно ожидать, что средняя урожайность зерновых в этой области заключается в пределах:

8.5. Определение необходимой численности выборки

Ошибки выборочного наблюдения и доверительные пределы генеральной средней (генеральной доли) определяются после того, как получены данные, характеризующие каждую единицу выборочной совокупности. А поэтому при проведении выборки первоначально необходимо определить сколько единиц или какая часть генеральной совокупности должна быть подвергнута наблюдению. Это важный момент в проведении выборочного наблюдения. Важность его в том, что излишняя численность выборочной совокупности вызывает необоснованное завышение затрат времени, труда, материальных и денежных средств, а недостаточная – дает результаты с большей погрешностью. Объем выборки должен быть оптимальным.

Факторами, определяющими численность выборки, являются:

1. Показатели вариации данного признака. Здесь обнаруживается прямая зависимость, т.е. чем больше показатель вариации, тем больше объем выборки.

2. Размер вероятности. Зависимость также прямая. Чем выше вероятность, тем выше коэффициент доверия, а, следовательно, и численность выборки. Величина вероятности зависит от того какое явление изучается. Естественно, что при контроле качества продовольственной продукции величина вероятности выше, чем непродовольственной продукции.

3. Размер возможной допустимой ошибки (). Зависимость обратная. Чем меньше размер допустимой ошибки, тем больше должна быть необходимая численность выборки.

4. Способ отбора единиц для обследования. При прочих равных условиях для бесповторной выборки требуется меньшая численность выборки, чем при повторном отборе.

Основной трудностью, возникающей при установлении необходимой численности выборки, является определение среднеквадратического отклонения, которое характеризует вариацию признака. Значение этого показателя отсутствует как для генеральной, так и выборочной совокупности, поскольку задача определения необходимой численности выборки возникает тогда, когда еще выборка не проведена. Поэтому на практике используют несколько методов приближенного расчета среднеквадратического отклонения. Рассмотрим некоторые из них.

1. Вместо среднеквадратического отклонения данного отчетного периода берут значение данного показателя в базисном периоде. Этот прием применяется в тех случаях, когда мы в отчетном периоде, по сравнению с базисным, не ожидаем резкого изменения в исследуемых признаках.

2. Расчет среднеквадратического отклонения может быть основан на той связи, которая существует между показателями средней арифметической и коэффициентом вариации. Практика показывает, что во всех более или менее однородных совокупностях коэффициент вариации колеблется в пределах от 25-35%. Иначе говоря, коэффициент вариации обычно приблизительно равен среднеарифметической величины. А, следовательно, и показатель вариации при расчете необходимой численности выборки будет равен среднеарифметической величины соответствующего признака.

3. Следующий прием опирается на величину размаха вариации. Разность между максимальным и минимальным значениями признака равна приблизительно шести средним квадратическим отклонениям. Разделив размах колебаний на шесть, мы получим приближенное значение среднего квадратического отклонения. Этот прием можно использовать, т.к. максимальное и минимальное значение изучаемого признака известны до проведения наблюдения.

При установлении колеблемости доли, как и средней, в первую очередь надо попытаться найти ориентировочные данные о величине W. Если таких данных нет, то берется максимальная величина произведения W на (1-W). Эта величина равна 0,25.

Необходимую численность выборочной совокупности определяют на основе алгебраического преобразования формулы предельной ошибки выборки для разных видов и способов отбора.

Для собственно-случайной повторной выборки:

Чтобы найти численность выборки, нужно освободиться от радикала. Это достигается возведением левой и правой частей уравнения в квадрат.

отсюда численность выборки: .

Объем выборочной совокупности прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия и дисперсии и обратно пропорционален квадрату предельной ошибки выборки.

При бесповторном собственно-случайном и механическом отборе численность выборки будет равна:

Для доли признака численность выборки будет определяться по формулам:

– при повторном отборе,

– при бесповторном отборе.

Аналогичным преобразованием предельной ошибки определяется численность выборочной совокупности при типической и серийной выборке.

Допустим, что для установления средней дневной выработки рабочих предприятия проводится собственно-случайная бесповторная выборка. Сколько рабочих должно быть обследовано, чтобы получить результат с точностью 0,3 р. с вероятностью 0,954. Общая численность рабочих завода 5000 человек. По данным прошлогоднего обследования среднее квадратическое отклонение выработки составляет 1,6 р.

Следовательно, должно быть обследовано 112 рабочих, чтобы выполнить поставленные перед наблюдением требования.

8.6. Способы распространения данных выборочного наблюдения

Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности на основе данных, полученных по выборочной совокупности. Существуют два способа распространения данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность – способ прямого пересчета и способ поправочных коэффициентов.

Способ прямого перерасчета заключается в том, что выборочная средняя или доля умножаются на численность генеральной совокупности и получается соответствующий объемный показатель. Так, в статистике сельского хозяйства выход шерсти от овец, находящихся в личном пользовании, определяется путем умножения полученных по выборке данных о среднем настриге шерсти с одной овцы на всю численность овец, находящихся в личной собственности. Например, согласно выборке, в области годовой настриг шерсти с одной овцы составляет 3 кг (с ошибкой выборки г), среднегодовая численность овец в хозяйствах – 30 тыс голов. Исходя из этого годовой выход шерсти в хозяйствах определяется как произведение настрига с одной овцы на все поголовье овец: кг, или 900 ц; с учетом ошибки выборки – от 885 до 915 ц.

Второй пример. в 3%-ной выборке численностью 150 светильников 6 светильников оказались бракованными (ошибка выборки 1 светильник). По количеству брака, имеющемуся в выборочной совокупности (4%), можно подсчитать, сколько брака будет во всей партии светильников, составляющей 5 000 шт. Брак составит:

светильников.

Вместе с этой лекцией читают «22 Сатурн».

Данный способ применяется тогда, когда известна численность единиц в генеральной совокупности.

Способ поправочных коэффициентом используется при проведении контрольных выборочных наблюдений для проверки и уточнения данных сплошного наблюдения. Он заключается в том, что по одним и тем же объектам сопоставляют данные сплошного и контрольного выборочного наблюдения. В результате такого сопоставления исчисляют поправочные коэффициенты, которые применяют для внесения поправок в данные сплошных наблюдений. Поправочные коэффициенты исчисляют, например, на основе данных контрольных выборочных обследований скота, находящегося в личной собственности населения сельской местности, при контроле за качеством деталей непосредственно на рабочем месте и т.д.

Например, по данным сплошного наблюдения численность крупного рогатого скота в личном подсобном хозяйстве граждан составляет 1 0000 голов.

Для контрольной проверки отобрано 1 000 семей, в хозяйствах которых сплошным наблюдением определена численность поголовья скота 1000 голов. В результате контрольного обхода в этих хозяйствах установлена численность крупного рогатого скота 1 050 голов.

Отсюда поправочный коэффициент составляет 1 050:1 000=1,05.

Общее поголовье скота в личном подсобном хозяйстве граждан равно голов.

Источник

2. Виды отбора.

3. Ошибки выборки, определение объема выборочной совокупности.

4. Способы распространения выборочных характеристик.

1. Понятие выборочного наблюдения, репрезентативность выборочного наблюдения.

1. Выборочное наблюдение  несложное наблюдение, при котором обследуется не вся совокупность, а лишь часть, отобранная по определенным правилам выборки и обеспечивающая получение данных, характеризующих всю совокупность в целом.

При проведении выборочного наблюдения нельзя получить абсолютно точные данные, как при сплошном, т. к. обследованию подвергается не вся совокупность, а ее часть. Поэтому при проведении выборочного наблюдения неизбежна некоторая свойственная ему погрешность, ошибка.

Ошибки, свойственные выборочному наблюдению, называются ошибками репрезентативности, т. е. представительства. Они характеризуют размер расхождения между данными выборочного наблюдения и всей совокупности.

Ошибки репрезентативности делятся на случайные и систематические.

Случайные ошибки возникают вследствие того, что выборочная совокупность недостаточно точно воспроизводит совокупность, вследствие несплошного характера наблюдения. Случайные ошибки м. б. доведены до незначительных размеров, а главное размеры и пределы их можно определить с достаточной точностью на основании закона больших чисел и теории вероятности.

Систематические ошибки возникают в результате нарушения принципа случайности отбора единиц совокупности для наблюдения.

Вся совокупность единиц, из которой производится отбор, называется генеральной совокупностью и обозначается буквой N. Часть генеральной совокупности, попавшая в выборку, называется выборочной совокупностью и обозначается n.

Обобщающие показатели генеральной совокупности  средняя, дисперсия, доля  называются генеральными и соответственно обозначаются  доля отнесения М единиц, обладающих определенным признаком, ко всей численности генеральной совокупности, т. е. М/N.

Обобщающие характеристики в выборочной совокупности называются выборочными и обозначаются соответственно x*,  частость  отношение числа единиц, обладающих данным признаком, в выборочной совокупности n, т. е.

Теория выборочного метода дает возможность определить случайные ошибки обобщающих характеристик в выборочной совокупности.

Ошибка репрезентативности  разность между выборочной средней и генеральной средней при достаточно большом числе наблюдений будет сколько угодно малой, т. е.

где абсолютная величина расхождения между генеральной средней и выборочной средней, составляющая ошибку репрезентативности.

— среднее квадратическое отклонение вариантов выборочной средней от генеральной средней (средняя ошибка выборки). Она зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности и числа отобранных единиц n: . Величина m зависит также от способа образования выборочной совокупности, т. к. между средней ошибкой выборки и n числом отбираемых единиц существует обратно пропорциональная связь. Отсюда вытекает следующее правило: если надо уменьшить ошибку выборки, например, в 3 раза, необходимо увеличить объем выборки в девять раз.

Увеличение колеблемости признака в генеральной совокупности влечет за собой увеличение среднего квадратического отклонения, и следовательно и ошибки выборки.

Доказано, что соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражаются формулой:

, т. к. при больших n приближается к 1, то

Средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью, на величину которой указывает коэффициент доверия t.

Величина обозначается называется предельной ошибкой выборки. Следовательно предельная ошибка выборки определяется формулой = . С увеличением t увеличивается вероятность нашего утверждения, но вместе с тем увеличивается и величина ошибки.

2. Виды и схемы отбора.

Формирование выборочной совокупности из генеральной может осуществляться по-разному: в зависимости от вида и схемы отбора, и т. д. От их особенностей зависит размер ошибки и методы определения. Различаются 4 вида отбора:

1. собственно-случайный

2. механический

3. типический

4. серийный (гнездовой)

Собственно-случайный отбор  включение единиц совокупности осуществляется наудачу. Наиболее распространенным способом отбора в случайной выборке является жеребьевка, при которой на каждую единицу заготавливают билет с порядковым номером. Затем в случайном порядке отбирают необходимое количество единиц совокупности. При этих условиях каждая из них имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Механический отбор  вся совокупность разбивается на равные по объему группы по случайному признаку. Затем из каждой группы случайно отбирается одна единица.

Типичный отбор  совокупность расчленяется по существенному, типическому признаку на качественно однородные, однотипные группы. Затем из каждой группы случайным или механическим способом отбирается количество единиц, пропорциональное удельному весу группы во всей совокупности.

Типический отбор дает более точные результаты чем случайный или механический, потому что при нем в выборку в такой же пропорции как и в генеральной совокупности, попадают представители всех типических групп.

Серийный отбор (гнездовой)  отбору подлежат не отдельные единицы совокупности, а целые группы, серии, гнезда, отобранные случайным или механическим способом. В каждой такой группе, серии проводится сплошное наблюдение, а результаты переносятся на всю совокупность.

Точность выборки зависит и от схемы отбора. Выборка м. б. проведена по схеме повторного или бесповторного отбора.

Повторный отбор  каждая отобранная единица или серия возвращается во всю совокупность и может вновь попасть в выборку.

Бесповторный отбор  каждая обследованная единица не возвращается в совокупность и не м. б. подвергнута повторному обследованию. Бесповторный отбор дает более точные результаты, т. к. при одном и том же объеме выборки наблюдение охватывает большее количество единиц изучаемой совокупности.

Обе схемы отбора могут применяться в сочетании с разными видами отбора, за исключением механического, который всегда бывает бесповторным.

3. Ошибки выборки, определение объема выборочной совокупности

Для суждения о праве распространения данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность определяют величину ошибок между сводимыми показателями выборочной и генеральной совокупностей.

Обычно сопоставляют такие показатели:

1. Среднюю выборочной совокупности со средней генеральной совокупности, в результате чего получаем ошибку средней.

2. Частость выборочной совокупности с долей генеральной совокупности, что дает возможность определить ошибку частостей:

Разность между показателями выборочной и генеральной совокупностей называется ошибкой репрезентативности. Если эти показатели достаточно близки, то выборка считается репрезентативной.

Выборочная средняя и частость являются переменными величинами, т. е. могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются переменными величинами и также могут принимать различные значения в зависимости от единиц совокупности, попавшие в выборку. Вот почему определяется средняя из возможных ошибок, которая обозначается буквой . Величина зависит от степени колеблемости значений признака в генеральной совокупности и от численности выборки n. Степень колеблемости в генеральной совокупности определяется средним квадратом отклонений или дисперсией . Из математических теорем и закона больших чисел следует, что при случайном отборе, проведенном по системе повторной выборки, между и п существует следующая зависимость:

Ошибка выборочного наблюдения  это разность между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения

Чебышев доказал, что при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколь угодно малым.

, величину  называют средней ошибкой выборки.

Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупности выражается формулой

Если выборочное наблюдение применяется для определения доли признака, то средняя ошибка доли исчисляется по формуле

, т. к. дисперсия альтернативного признака , где p  доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, а q  не обладающим данным признаком.

В этих формулах и pq  характеристики генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными характеристиками выборочной совокупности, что вполне правомерно, т. к. основано на законе больших чисел, по которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

При бесповторном отборе средняя ошибка выборки равна

, а ошибка доли , где N  численность единиц генеральной совокупности.

Множитель  всегда меньше единицы, т. к. n < N. Поэтому величина средней ошибки выборки при бесповторном отборе меньше чем при повторном.

Для решения практических задач выборочного обследования средней ошибки выборки недостаточно, потому что при исчислении ошибки конкретной выборки фактическая ошибка м. б. больше или меньше средней ошибки выборки . Поэтому пользуются не средней, а предельной ошибкой выборки, т. е. пределами, за которые не выйдет фактическая ошибка выборки.

Предельная ошибка выборки зависит от того, с какой вероятностью должна гарантироваться ошибка выборки. Уровень вероятности определяется на основе теорем Чебышева и Ляпунова при помощи специального коэффициента t.

Если предельную ошибку выборки обозначить буквой , то , где t  коэффициент, зависящий от вероятности, с которой гарантируется ошибка выборки. Он называется еще коэффициентом доверия. Чтобы определить величину вероятности для различных значений t на практике пользуются готовой таблицей.

Систематизируем формулы для определения предельной ошибки средней и доли

Схема отбора

Предельная ошибка выборки

Для средней

Для доли

Повторный отбор

Бесповторный отбор

Из формул видно, что предельная ошибка выборки прямо пропорциональна коэффициенту t, дисперсии и обратно пропорциональна корню квадратному из численности выборки.

Дисперсия  величина конкретная, свойственная данной совокупности. Обычно она неизвестна, а известна *, которой и заменяют величину , потому что в силу действия закона больших чисел при достаточно большом объеме выборки n распределение признака x в выборочной совокупности близко воспроизводит распределение этого признака в генеральной совокупности.

Ошибка выборки зависит и от ее объема n. Чем больше объем выборки, тем меньше предельная ошибка (при данных и t)

Рассмотренные формулы средней и предельной ошибки и доли применяются при случайном и механическом видах отбора.

При типическом отборе предельная ошибка выборки и доли определяется по формулам:

Схема отбора

Предельная ошибка выборки

Для средней

Для доли

Повторный отбор

Бесповторный отбор

т. е. при типичном отборе надо брать средние из внутригрупповых дисперсий и доли, полученные по каждой типической группе.

Из этих формул видно, что при типическом отборе в отличие от случайного исключается влияние межгрупповой вариации на точность выборки, т. к. в выборку обязательно попадают представители всех групп в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности. Ошибка выборки при типичном отборе зависит только от средней из внутригрупповых дисперсий, а не от общей дисперсии, как при случайном отборе т. к.

, откуда

Следовательно ошибка выборки при типическом отборе всегда меньше ошибки выборки, проведенной случайным отбором.

При серийном отборе каждая серия рассматривается как единица совокупности, и мерой колеблемости будет межсерийная выборочная дисперсия, т. е. средний квадрат отклонений серийных средних от общей выборочной средней:

, где  средняя по каждой серии, x*  общая выборочная средняя, s  число отобранных серий.

Предельная ошибка выборки и доли при серийном отборе с равновеликими сериями определяется по формулам, где S  общее число серий в генеральной совокупности.

Схема отбора

Предельная ошибка выборки

Для средней

Для доли

Повторный отбор

Бесповторный отбор

Выборочное наблюдение, объем которого превышает 20 единиц, называется малой выборкой. Для определения средней и предельной ошибок при малой выборке пользуются теми же формулами, что и при большой, но только с некоторыми особенностями, так , а .

Кроме того, в случае малой выборки действует особый закон распределения величин t, и при определении вероятности учитывается не только коэффициент t, но и объем выборки n.

Необходимая численность выборки (n) определяется на основе формул предельной ошибки выборки.

Если выборка повторная, то при случайном и механическом отборах определяется по формуле

, при бесповторном отборе

4. Способы распространения выборочных характеристик.

Есть два способа распространения выборочных характеристик на всю совокупность  прямой пересчет и способ коэффициентов

Способ прямого пересчета заключается в том, что средние или частости выборочной совокупности умножаются на числа единиц генеральной совокупности.

Когда выборочное обследование проводится в целях уточнения данных сплошного наблюдения, применяется способ коэффициентов. В этом случае данные сплошного наблюдения сопоставляют с данными выборочного наблюдения и устанавливают процент расхождения между ними, т. е. процент надоучета или переучета. Коэффициенты, полученные в результате такого сопоставления, используются для внесения поправок в данные сплошного учета.

Пример.

1) способ прямого пересчета

Для определения качества продукции проверено 500 изделий из 10000. В результате чего установлено, что средний % изделий 3-го сорта всей партии будет находиться в пределах 6,1-13,9%. Способом прямого пересчета определяем, что обще кол-во изделий 3-го сорта всей партии составит от 610 до 1390

10000*0,061= 610

10000*0,139 = 1390

2) способ коэффициентов

Пример

Необходимо определить численность выборки, которая позволила бы оценить долю брака в партии продукции с точностью до 2%, с вероятностью Р =0,954. Партия состоит из 10000 изделий