Для анализа результатов расчета прогноза, в продолжение ряда вы можете рассчитать следующие ошибки:
- MAPE – средняя абсолютная ошибка в % . Ошибка оценивает на сколько велики ошибки в сравнении со значением ряда и с ошибками в соседних рядах.
Подробнее читайте в статье на нашем сайте: http://4analytics.ru/metodi-analiza/mape-%E2%80%93-srednyaya-absolyutnaya-oshibka-praktika-primeneniya.html - MRPE – средняя относительная ошибка в %, оценивает на сколько велика дельта между фактом и прогнозом. Чем ближе к 100%, тем больше ошибка, чем ближе к нулю, тем ошибка меньше.
- MSE – средняя квадратическая ошибка, подчеркивает большие ошибки за счет возведения каждой ошибки в квадрат.
Подробнее читайте в статье на нашем сайте:
http://4analytics.ru/metodi-analiza/mse-%E2%80%93-srednekvadraticheskaya-oshibka-v-excel.html - MPE – средняя процентная ошибка – показывает завышен или занижен прогноз относительно факта. Если ошибка меньше нулю, то прогноз последовательно завышен, если ошибка больше нуля, то прогноз последовательно занижен.
Подробнее читайте в статье на нашем сайте:
http://4analytics.ru/metodi-analiza/mpe-%E2%80%93-srednyaya-procentnaya-oshibka-v-excel.html - MAD – среднее абсолютное отклонение. Используется, когда важно измерить ошибку в тех же единицах, что и исходный ряд.
Подробнее читайте в статье на нашем сайте:
http://4analytics.ru/planirovanie-i-prognozirovanie-praktika/dopolnitelnie-oborotnie-sredstva-za-schet-povisheniya-tochnosti-prognoza.html - A MAPE – ошибка, которая показывает отклонение средних значений ряда к средним значениям модели прогноза. Имеет значение при неравномерном перераспределении значений ряда по периодам.
- S MAPE – ошибка, которая показывает отклонение суммы значения ряда к сумме значений модели прогноза. Имеет значение при неравномерном перераспределении значений ряда по периодам.
А также 2 показателя «Точность прогноза»:
- Точность прогноза = 1 – МАРЕ
- Точность прогноза 2 = 1 – MRPE
Для расчета ошибок одновременно с прогнозом, нажимаем кнопку «Расчет ошибок» в меню «FORECAST»
В открывшемся окне выбираем нужные для расчета ошибки:
Теперь при расчете прогноза, в продолжение ряда, программа автоматически сделает расчет отмеченных Вами ошибок:
Ошибка прогнозирования: виды, формулы, примеры
Ошибка прогнозирования — это такая величина, которая показывает, как сильно прогнозное значение отклонилось от фактического. Она используется для расчета точности прогнозирования, что в свою очередь помогает нам оценивать как точно и корректно мы сформировали прогноз. В данной статье я расскажу про основные процентные «ошибки прогнозирования» с кратким описанием и формулой для расчета. А в конце статьи я приведу общий пример расчётов в Excel. Напомню, что в своих расчетах я в основном использую ошибку WAPE или MAD-Mean Ratio, о которой подробно я рассказал в статье про точность прогнозирования, здесь она также будет упомянута.
В каждой формуле буквой Ф обозначено фактическое значение, а буквой П — прогнозное. Каждая ошибка прогнозирования (кроме последней!), может использоваться для нахождения общей точности прогнозирования некоторого списка позиций, по типу того, что изображен ниже (либо для любого другого подобной детализации):
Алгоритм для нахождения любой из ошибок прогнозирования для такого списка примерно одинаковый: сначала находим ошибку прогнозирования по одной позиции, а затем рассчитываем общую. Итак, основные ошибки прогнозирования!
MPE — Mean Percent Error
MPE — средняя процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки заключается в том, что в нестабильном числовом ряду с большими выбросами любое незначительное колебание факта или прогноза может значительно поменять показатель ошибки и, как следствие, точности прогнозирования. Помимо этого, ошибка является несимметричной: одинаковые отклонения в плюс и в минус по-разному влияют на показатель ошибки.
- Для каждой позиции рассчитывается ошибка прогноза (из факта вычитается прогноз) — Error
- Для каждой позиции рассчитывается процентная ошибка прогноза (ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Percent Error
- Находится среднее арифметическое всех процентных ошибок прогноза (процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Percent Error
MAPE — Mean Absolute Percent Error
MAPE — средняя абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки такая же, как и у MPE — нестабильность.
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (прогноз вычитается из факта по модулю) — Absolute Error
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная процентная ошибка прогноза (абсолютная ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Absolute Percent Error
- Находится среднее арифметическое всех абсолютных процентных ошибок прогноза (абсолютные процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Absolute Percent Error
Вместо среднего арифметического всех абсолютных процентных ошибок прогноза можно использовать медиану числового ряда (MdAPE — Median Absolute Percent Error), она наиболее устойчива к выбросам.
WMAPE / MAD-Mean Ratio / WAPE — Weighted Absolute Percent Error
WAPE — взвешенная абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Одна из «лучших ошибок» для расчета точности прогнозирования. Часто называется как MAD-Mean Ratio, то есть отношение MAD (Mean Absolute Deviation — среднее абсолютное отклонение/ошибка) к Mean (среднее арифметическое). После упрощения дроби получается искомая формула WAPE, которая очень проста в понимании:
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (прогноз вычитается из факта, по модулю) — Absolute Error
- Находится сумма всех фактов по всем позициям (общий фактический объем)
- Сумма всех абсолютных ошибок делится на сумму всех фактов — WAPE
Данная ошибка прогнозирования является симметричной и наименее чувствительна к искажениям числового ряда.
Рекомендуется к использованию при расчете точности прогнозирования. Более подробно читать здесь.
RMSE (as %) / nRMSE — Root Mean Square Error
RMSE — среднеквадратичная ошибка прогнозирования. Примерно такая же проблема, как и в MPE и MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня. Но так как MSE дает расчетные единицы измерения в квадрате, то использовать данную ошибку будет немного неправильно.
- Для каждой позиции рассчитывается квадрат отклонений (разница между фактом и прогнозом, возведенная в квадрат) — Square Error
- Затем рассчитывается среднее арифметическое (сумма квадратов отклонений, деленное на количество) — MSE — Mean Square Error
- Извлекаем корень из полученного результат — RMSE
- Для перевода в процентную или в «нормализованную» среднеквадратичную ошибку необходимо:
- Разделить на разницу между максимальным и минимальным значением показателей
- Разделить на разницу между третьим и первым квартилем значений показателей
- Разделить на среднее арифметическое значений показателей (наиболее часто встречающийся вариант)
MASE — Mean Absolute Scaled Error
MASE — средняя абсолютная масштабированная ошибка прогнозирования. Согласно Википедии, является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.
Важно! Если предыдущие ошибки прогнозирования мы могли использовать для нахождения точности прогнозирования некого списка номенклатур, где каждой из которых соответствует фактическое и прогнозное значение (как было в примере в начале статьи), то данная ошибка для этого не предназначена: MASE используется для расчета точности прогнозирования одной единственной позиции, основываясь на предыдущих показателях факта и прогноза, и чем больше этих показателей, тем более точно мы сможем рассчитать показатель точности. Вероятно, из-за этого ошибка не получила широкого распространения.
Здесь данная формула представлена исключительно для ознакомления и не рекомендуется к использованию.
Суть формулы заключается в нахождении среднего арифметического всех масштабированных ошибок, что при упрощении даст нам следующую конечную формулу:
Также, хочу отметить, что существует ошибка RMMSE (Root Mean Square Scaled Error — Среднеквадратичная масштабированная ошибка), которая примерно похожа на MASE, с теми же преимуществами и недостатками.
Это основные ошибки прогнозирования, которые могут использоваться для расчета точности прогнозирования. Но не все! Их очень много и, возможно, чуть позже я добавлю еще немного информации о некоторых из них. А примеры расчетов уже описанных ошибок прогнозирования будут выложены через некоторое время, пока что я подготавливаю пример, ожидайте.
Об авторе
HeinzBr
Автор статей и создатель сайта SHTEM.RU
Расчет возможной ошибки прогноза.
Прогнозные
расчеты, выполняемые с использованием
элементов одиночного временного ряда,
завершаются его верификацией, то есть
оценкой его достоверности. Отклонения
обычно возникают из-за двух основных
причин:
-
На
зависимую переменную воздействует не
только аргумент t,
но и множества других факторов, не
включенных в явном виде в уравнение
прогноза. Иными словами речь идет о
случайных ошибках. -
Элементы
исходного динамического ряда в
большинстве случаев представляют собой
выборку (выборочную совокупность) из
некоторой более общей (генеральной)
совокупности.
Генеральная
совокупность
– полное множество всех единиц,
характеризующих исследуемое явление.
Для
определения статистической значимости
(достоверности) параметров уравнения
прогноза принято рассчитывать
доверительную зону выборочной линии
регрессии (прогноза). Считается, что в
рамках этой зоны наряду с линией прогноза
ўt=f(t),
построенной
по выборочным данным, располагается
линия регрессии, которую можно получить,
если использовать в процессе вычислений
элементы всей генеральной совокупности.
Чем
шире доверительная зона, тем существеннее
различия в параметрах выборочной и
генеральных линий регрессии.
Порядок построения доверительной зоны
Построим
доверительную зону на примере линейной
зависимости
yt
=
a
+ bt.
Сначала
определяются случайные ошибки для
параметров a
и b.
Расчеты ведутся по формулам:
; (2.16)
; (2.17)
здесь
ma
–
случайная ошибка параметра a;
mb
– случайная ошибка параметра b;
D
ост
– остаточное среднее квадратичное
отклонение:
Рис.
2.9. Зона доверительной вероятности
Чтобы
установить, насколько велики расхождения
между параметрами уравнений, характеризующих
выборочную и генеральную совокупность,
можно использовать t
– критерий Стьюдента.
Фактические
значения этого показателя рассчитываются
по формулам:
Для
a
(2.18)
Для
b 
(2.19)
Расчетные
значения tф
сопоставляются с соответствующими
табличными величинами tT
,
найденными для k
= n
– 2
степеней свободы и принятой доверительной
вероятности 0,95 или 0,99. Если tф
>
tT
,
то свободный член уравнения тренда a
и коэффициент регрессии b
считаются статистически значимыми и
могут применяться для отображения
тенденции изменения переменной yt,
сложившейся в генеральной совокупности.
Если же tф
<
tT
,
то возможность несовпадения закономерностей
в выборочной и генеральной совокупностях
весьма велика.
Выводы
Методы
непосредственной экстраполяции относятся
к числу наиболее простых методов
прогнозирования. Они основаны на изучении
динамики изменения экономического
явления в предпрогнозном периоде и
перенесении найденной закономерности
в будущее. Достоинствами метода является
широкая универсальность вычислительной
схемы, незначительная трудоемкость
расчетного алгоритма. Следует отметить
и недостатки – необходимость использования
базовых данных за большой промежуток
времени, снижение достоверности прогноза
при увеличении срока его упреждения.
Для
прогнозирования используется временной
ряд, представляющий собой дискретные
значения какого-либо показателя в
течении определённого времени, т.е.
состоящего из двух значений (yi)
— уровней
ряда и момента времени
(t).
Идея метода в том, чтобы найти тенденцию
в изменениях признака и продлить эту
тенденцию в будущее. Для
этого используются кривые, найденные
по методу наименьших квадратов и
подобранные по специальным статистическим
характеристикам. В конце рассчитывается
возможная ошибка прогноза.
Понятно,
что такой прогноз имеет смысл как
краткосрочный, на период, в отношении
которого можно принять, что характеристики
изучаемого явления существенно не
изменяются. Это требование часто
оказывается реалистичным вследствие
достаточной инерционности внешней
среды. Однако и большинство прогнозных
ошибок связано с тем, что в момент
формулирования прогноза в более или
менее явной форме подразумевалось, что
существующие тенденции сохранятся в
будущем, что редко оправдывается в
реальной экономической и общественной
жизни.
Временные
ряды помимо простой экстраполяции могут
использоваться также в целях более
глубокого прогнозного анализа, например,
объема продаж. Целью анализа в данном
случае является разложение временного
ряда продаж на главные компоненты,
измерение эволюции каждой составляющей
в прошлом и ее экстраполяция на будущее.
В основе метода лежит идея стабильности
причинно-следственных связей и
регулярность эволюции факторов внешней
среды, что делает возможным использование
экстраполяции. Метод состоит в разложении
временного ряда на несколько компонент
– формула (2.1).
Ошибка прогнозирования: виды, формулы, примеры
Ошибка прогнозирования — это такая величина, которая показывает, как сильно прогнозное значение отклонилось от фактического. Она используется для расчета точности прогнозирования, что в свою очередь помогает нам оценивать как точно и корректно мы сформировали прогноз. В данной статье я расскажу про основные процентные «ошибки прогнозирования» с кратким описанием и формулой для расчета. А в конце статьи я приведу общий пример расчётов в Excel. Напомню, что в своих расчетах я в основном использую ошибку WAPE или MAD-Mean Ratio, о которой подробно я рассказал в статье про точность прогнозирования, здесь она также будет упомянута.
В каждой формуле буквой Ф обозначено фактическое значение, а буквой П — прогнозное. Каждая ошибка прогнозирования (кроме последней!), может использоваться для нахождения общей точности прогнозирования некоторого списка позиций, по типу того, что изображен ниже (либо для любого другого подобной детализации):
Алгоритм для нахождения любой из ошибок прогнозирования для такого списка примерно одинаковый: сначала находим ошибку прогнозирования по одной позиции, а затем рассчитываем общую. Итак, основные ошибки прогнозирования!
MPE — Mean Percent Error
MPE — средняя процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки заключается в том, что в нестабильном числовом ряду с большими выбросами любое незначительное колебание факта или прогноза может значительно поменять показатель ошибки и, как следствие, точности прогнозирования. Помимо этого, ошибка является несимметричной: одинаковые отклонения в плюс и в минус по-разному влияют на показатель ошибки.
- Для каждой позиции рассчитывается ошибка прогноза (из факта вычитается прогноз) — Error
- Для каждой позиции рассчитывается процентная ошибка прогноза (ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Percent Error
- Находится среднее арифметическое всех процентных ошибок прогноза (процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Percent Error
MAPE — Mean Absolute Percent Error
MAPE — средняя абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Основная проблема данной ошибки такая же, как и у MPE — нестабильность.
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (прогноз вычитается из факта по модулю) — Absolute Error
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная процентная ошибка прогноза (абсолютная ошибка прогноза делится на фактический показатель) — Absolute Percent Error
- Находится среднее арифметическое всех абсолютных процентных ошибок прогноза (абсолютные процентные ошибки суммируются и делятся на количество) — Mean Absolute Percent Error
Вместо среднего арифметического всех абсолютных процентных ошибок прогноза можно использовать медиану числового ряда (MdAPE — Median Absolute Percent Error), она наиболее устойчива к выбросам.
WMAPE / MAD-Mean Ratio / WAPE — Weighted Absolute Percent Error
WAPE — взвешенная абсолютная процентная ошибка прогнозирования. Одна из «лучших ошибок» для расчета точности прогнозирования. Часто называется как MAD-Mean Ratio, то есть отношение MAD (Mean Absolute Deviation — среднее абсолютное отклонение/ошибка) к Mean (среднее арифметическое). После упрощения дроби получается искомая формула WAPE, которая очень проста в понимании:
- Для каждой позиции рассчитывается абсолютная ошибка прогноза (прогноз вычитается из факта, по модулю) — Absolute Error
- Находится сумма всех фактов по всем позициям (общий фактический объем)
- Сумма всех абсолютных ошибок делится на сумму всех фактов — WAPE
Данная ошибка прогнозирования является симметричной и наименее чувствительна к искажениям числового ряда.
Рекомендуется к использованию при расчете точности прогнозирования. Более подробно читать здесь.
RMSE (as %) / nRMSE — Root Mean Square Error
RMSE — среднеквадратичная ошибка прогнозирования. Примерно такая же проблема, как и в MPE и MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня. Но так как MSE дает расчетные единицы измерения в квадрате, то использовать данную ошибку будет немного неправильно.
- Для каждой позиции рассчитывается квадрат отклонений (разница между фактом и прогнозом, возведенная в квадрат) — Square Error
- Затем рассчитывается среднее арифметическое (сумма квадратов отклонений, деленное на количество) — MSE — Mean Square Error
- Извлекаем корень из полученного результат — RMSE
- Для перевода в процентную или в «нормализованную» среднеквадратичную ошибку необходимо:
- Разделить на разницу между максимальным и минимальным значением показателей
- Разделить на разницу между третьим и первым квартилем значений показателей
- Разделить на среднее арифметическое значений показателей (наиболее часто встречающийся вариант)
MASE — Mean Absolute Scaled Error
MASE — средняя абсолютная масштабированная ошибка прогнозирования. Согласно Википедии, является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.
Важно! Если предыдущие ошибки прогнозирования мы могли использовать для нахождения точности прогнозирования некого списка номенклатур, где каждой из которых соответствует фактическое и прогнозное значение (как было в примере в начале статьи), то данная ошибка для этого не предназначена: MASE используется для расчета точности прогнозирования одной единственной позиции, основываясь на предыдущих показателях факта и прогноза, и чем больше этих показателей, тем более точно мы сможем рассчитать показатель точности. Вероятно, из-за этого ошибка не получила широкого распространения.
Здесь данная формула представлена исключительно для ознакомления и не рекомендуется к использованию.
Суть формулы заключается в нахождении среднего арифметического всех масштабированных ошибок, что при упрощении даст нам следующую конечную формулу:
Также, хочу отметить, что существует ошибка RMMSE (Root Mean Square Scaled Error — Среднеквадратичная масштабированная ошибка), которая примерно похожа на MASE, с теми же преимуществами и недостатками.
Это основные ошибки прогнозирования, которые могут использоваться для расчета точности прогнозирования. Но не все! Их очень много и, возможно, чуть позже я добавлю еще немного информации о некоторых из них. А примеры расчетов уже описанных ошибок прогнозирования будут выложены через некоторое время, пока что я подготавливаю пример, ожидайте.
MPE – средняя процентная ошибка в Excel
Из данной статьи вы узнаете:
- Для чего нужна средняя процентная ошибка;
- Как она рассчитывается.
+ сможете скачать пример расчета в Excel.
MPE (mean percentage error) — средняя процентная ошибка прогноза.
MPE – средняя процентная ошибка прогноза используется в случаях, когда надо определить модель прогноза дает последовательно завышенные прогнозы или последовательно заниженные прогнозы.
Если значение больше нуля, то прогнозы последовательно занижены, т.е. в среднем меньше факта.
Если ошибка меньше нуля, то прогнозы последовательно завышены, т.е. модель делает прогноз в среднем выше факта.
Как рассчитать среднюю процентную ошибку?
- Рассчитываем ошибку для каждого значения модели;
- Делим на фактические данные ошибку в каждый момент времени.
Рассчитываем среднее по пункту 2, и получает среднюю процентную ошибку — MPE:
Рассчитаем на примере прогноза объема продаж:
1. Ошибка = фактические продаж минус значения прогнозной модели для каждого момента времени:
2. Делим ошибку на фактические продажи для каждого периода времени:
3. Рассчитываем среднее значение % ошибки — MPE:
Мы видим, что средняя процентная ошибка у нас получилась -0,65% — это говорит о том, что модель прогноза в среднем дает завышенные прогноза на 0,65%:
Из данной статьи вы узнали, для чего использовать среднюю процентную ошибку прогноза — MPE и как ее рассчитать в Excel.
Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте в комментариях, буду рад помочь!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
- Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel .
- 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
- Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.
Тестируйте возможности платных решений:
- Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
Эконометрика
Вариант 1
Задание 1. Модель парной линейной регрессии.
Имеются данные о размере среднемесячных доходов в разных группах семей
|
Номер группы |
Среднедушевой денежный доход в месяц, руб., X |
Доля оплаты труда в структуре доходов семьи, %, Y |
|
1 |
79,8 |
64,2 |
|
2 |
152,1 |
66,1 |
|
3 |
199,3 |
69,0 |
|
4 |
240,8 |
70,6 |
|
5 |
282,4 |
72,4 |
|
6 |
301,8 |
74,3 |
|
7 |
385,3 |
76,0 |
|
8 |
457,8 |
77,1 |
|
9 |
577,4 |
78,4 |
Задания:
1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости a =0,05. Сделать выводы
2. Построить линейное уравнение парной регрессии Y на X и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.
3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F-критерия Фишера.
4. Выполнить прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи Y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода X, составляющем 111% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.
Решение: Построим поле корреляции зависимости доли оплаты труда в структуре доходов семьи от среднедушевого денежного дохода в месяц.
Точки на построенном графике размещаются вблизи кривой, напоминающей по форме Прямую, поэтому можно предположить, что между указанными величинами существует Линейная зависимость вида 
.
Для расчета линейного коэффициента парной корреляции и параметров линейной регрессии составим вспомогательную таблицу.
|
№ п/п |
X |
Y |
X×Y |
X2 |
Y2 |
|
1 |
79,8 |
64,2 |
5123,16 |
6368,04 |
4121,64 |
|
2 |
152,1 |
66,1 |
10053,81 |
23134,41 |
4369,21 |
|
3 |
199,3 |
69,0 |
13751,70 |
39720,49 |
4761,00 |
|
4 |
240,8 |
70,6 |
17000,48 |
57984,64 |
4984,36 |
|
5 |
282,4 |
72,4 |
20445,76 |
79749,76 |
5241,76 |
|
6 |
301,8 |
74,3 |
22423,74 |
91083,24 |
5520,49 |
|
7 |
385,3 |
76,0 |
29282,80 |
148456,09 |
5776,00 |
|
8 |
457,8 |
77,1 |
35296,38 |
209580,84 |
5944,41 |
|
9 |
577,4 |
78,4 |
45268,16 |
333390,76 |
6146,56 |
|
S |
2676,7 |
648,1 |
198645,99 |
989468,27 |
46865,43 |
|
Среднее |
297,41 |
72,01 |
22071,78 |
109940,92 |
5207,27 |
Вычислим коэффициент корреляции. Используем следующую формулу:
= 0,9568.
Можно сказать, что между рассматриваемыми признаками существует Прямая тесная Корреляционная связь.
Среднюю ошибку коэффициента корреляции определим по формуле:
= 0,032.
Найдем табличное значение TТабл по таблице распределения Стьюдента для
a = 0,05 и числе степеней свободы K = N – M – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.
TТабл(0,05; 7) = 2,36.
Запишем доверительный интервал для коэффициента корреляции.
Доверительный интервал не включает число 0, поэтому при заданном уровне значимости коэффициент корреляции является статистически значимым.
Вычислим параметры уравнения регрессии.
= 0,03.
= 72,01 – 0,03×297,41 = 63,09.
Получим следующее уравнение: 
.
Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем T-критерий Стьюдента по формуле:
= 23,04.
Фактическое значение по абсолютной величине больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между рассматриваемыми признаками.
Проверим значимость оценок теоретических коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем соответствующие выводы о значимости этих оценок.
Для определения статистической значимости коэффициентов A и B найдем T-статистики Стьюдента:
Рассчитаем по полученному уравнению теоретические значения
. Составим вспомогательную таблицу.
|
№ п/п |
X |
Y |
|
|
|
|
1 |
79,8 |
64,2 |
65,48 |
1,6384 |
47354,1 |
|
2 |
152,1 |
66,1 |
67,65 |
2,4025 |
21115,0 |
|
3 |
199,3 |
69,0 |
69,07 |
0,0049 |
9625,6 |
|
4 |
240,8 |
70,6 |
70,31 |
0,0841 |
3204,7 |
|
5 |
282,4 |
72,4 |
71,56 |
0,7056 |
225,3 |
|
6 |
301,8 |
74,3 |
72,14 |
4,6656 |
19,3 |
|
7 |
385,3 |
76,0 |
74,65 |
1,8225 |
7724,7 |
|
8 |
457,8 |
77,1 |
76,82 |
0,0784 |
25725,0 |
|
9 |
577,4 |
78,4 |
80,41 |
4,0401 |
78394,4 |
|
S |
2676,7 |
648,1 |
648,09 |
15,4421 |
193388,1 |
Вычислим стандартные ошибки коэффициентов уравнения.
= 1,2.
= 0,003.
Вычислим T-статистики.
Сравнение расчетных и табличных величин критерия Стьюдента показывает, что 
и 
, т. е. оценки A и B теоретических коэффициентов регрессии статистически значимы.
Сделаем рисунок.
Рассчитаем коэффициент детерминации: 
= 0,95682= 0,915 = 91,5%.
Таким образом, вариация результата Y на 91,5% объясняется вариацией фактора X.
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
= 75,81.
Найдем табличное значение Fтабл по таблице критических точек Фишера для
a = 0,05; K1 = M = 1 (число факторов), K2 = N – M – 1 = 9 – 1 – 1 = 7.
Fтабл(0,05; 1; 7) = 5,59.
Поскольку F > FТабл, уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом Является статистически значимым.
Выполним прогноз доли оплаты труда структуре доходов семьи y при прогнозном значении среднедушевого денежного дохода x, составляющем 111% от среднего уровня.
XP = 297,41 × 1,11 = 330,1.
Вычислим прогнозное значение Yp с помощью уравнения регрессии.
» 73%.
Доверительный интервал прогноза имеет вид
(УP – Tкр×My, УP + Tкр×My),
Где 
, M = 2 – число параметров уравнения.
= 1,695 » 1,7.
Запишем доверительный интервал прогноза:
Þ 
Данный прогноз является надежным, поскольку доверительный интервал не включает число 0, точность прогноза составляет 4.
Задание 2. Модель парной нелинейной регрессии.
По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.
|
Район |
Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., X |
Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., Y |
|
Брянская обл. |
178 |
240 |
|
Владимирская обл. |
202 |
226 |
|
Ивановская обл. |
197 |
221 |
|
Калужская обл. |
201 |
226 |
|
Костромская обл. |
189 |
220 |
|
Орловская обл. |
166 |
232 |
|
Рязанская обл. |
199 |
215 |
|
Смоленская обл. |
180 |
220 |
|
Тверская обл. |
181 |
222 |
|
Тульская обл. |
186 |
231 |
|
Ярославская обл. |
250 |
229 |
Задания:
1. Построить поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитать параметры уравнений полулогарифмической (
) и степенной (
) парной регрессии. Сделать рисунки.
2. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Сделать выводы. Оценить качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации. Сделать выводы.
3. По значениям рассчитанных характеристик выбрать лучшее уравнение регрессии. Дать экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии
4. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости a =0,05. Сделать выводы.
Решение: Решение: Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим поле корреляции. Для этого построим в системе координат точки, у которых первая координата X, а вторая – Y.
Получим следующий рисунок.
По внешнему виду диаграммы рассеяния трудно предположить, какая зависимость существует между указанными показателями.
Построение полулогарифмической модели регрессии.
Уравнение логарифмической кривой: 
.
Обозначим: 
Получим линейное уравнение регрессии:
Y = A + B×X.
Произведем линеаризацию модели путем замены 
. В результате получим линейное уравнение .
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.
|
№ п/п |
X |
Y |
X = ln(X) |
Xy |
X2 |
Y2 |
|
|
|
Ai |
|
1 |
178 |
240 |
5,1818 |
1243,63 |
26,85 |
57600 |
226,40 |
206,314 |
184,904 |
6,006 |
|
2 |
202 |
226 |
5,3083 |
1199,67 |
28,18 |
51076 |
225,17 |
0,132 |
0,694 |
0,370 |
|
3 |
197 |
221 |
5,2832 |
1167,59 |
27,91 |
48841 |
225,41 |
21,496 |
19,464 |
1,957 |
|
4 |
201 |
226 |
5,3033 |
1198,55 |
28,13 |
51076 |
225,22 |
0,132 |
0,615 |
0,348 |
|
5 |
189 |
220 |
5,2417 |
1153,18 |
27,48 |
48400 |
225,82 |
31,769 |
33,833 |
2,576 |
|
6 |
166 |
232 |
5,1120 |
1185,98 |
26,13 |
53824 |
227,08 |
40,496 |
24,172 |
2,165 |
|
7 |
199 |
215 |
5,2933 |
1138,06 |
28,02 |
46225 |
225,31 |
113,132 |
106,362 |
4,577 |
|
8 |
180 |
220 |
5,1930 |
1142,45 |
26,97 |
48400 |
226,29 |
31,769 |
39,601 |
2,781 |
|
9 |
181 |
222 |
5,1985 |
1154,07 |
27,02 |
49284 |
226,24 |
13,223 |
17,968 |
1,874 |
|
10 |
186 |
231 |
5,2257 |
1207,15 |
27,31 |
53361 |
225,97 |
28,769 |
25,273 |
2,225 |
|
11 |
250 |
229 |
5,5215 |
1264,41 |
30,49 |
52441 |
223,09 |
11,314 |
34,980 |
2,651 |
|
Итого |
2129 |
2482 |
57,862 |
13054,74 |
304,48 |
560528 |
2482,00 |
498,545 |
487,867 |
27,530 |
|
Среднее |
193,5 |
225,6 |
5,260 |
1186,79 |
27,68 |
50957,091 |
225,636 |
45,322 |
44,352 |
2,503 |
= -9,76.
= 225,6 – (-9,76)×5,26 = 276,99.
Уравнение модели имеет вид: 
Определим индекс корреляции 
Используя данные таблицы, получим:
.
Рассчитаем коэффициент детерминации: 
= 0,14642= 0,021 = 2,1%.
Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.
Сделаем рисунок.
Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:
= -0,04%.
Коэффициент эластичности 
показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,04%.
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:
= 2,5%.
Построение степенной модели парной регрессии.
Уравнение степенной модели имеет вид: 
.
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
.
Произведем линеаризацию модели путем замены 
и 
. В результате получим линейное уравнение .
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.
|
№ п/п |
X |
Y |
X = ln(X) |
Y = ln(Y) |
XY |
X2 |
Y2 |
|
|
|
|
Ai |
|
1 |
178 |
240 |
5,1818 |
5,4806 |
28,3995 |
26,851 |
30,037 |
226,3 |
206,3 |
188,391 |
241,661 |
6,07 |
|
2 |
202 |
226 |
5,3083 |
5,4205 |
28,7737 |
28,178 |
29,382 |
225,1 |
0,132 |
0,835 |
71,479 |
0,406 |
|
3 |
197 |
221 |
5,2832 |
5,3982 |
28,5196 |
27,912 |
29,140 |
225,3 |
21,496 |
18,671 |
11,934 |
1,918 |
|
4 |
201 |
226 |
5,3033 |
5,4205 |
28,7467 |
28,125 |
29,382 |
225,1 |
0,132 |
0,753 |
55,570 |
0,385 |
|
5 |
189 |
220 |
5,2417 |
5,3936 |
28,2720 |
27,476 |
29,091 |
225,7 |
31,769 |
32,607 |
20,661 |
2,530 |
|
6 |
166 |
232 |
5,1120 |
5,4467 |
27,8437 |
26,132 |
29,667 |
226,9 |
40,496 |
25,675 |
758,752 |
2,233 |
|
7 |
199 |
215 |
5,2933 |
5,3706 |
28,4284 |
28,019 |
28,844 |
225,2 |
113,132 |
104,576 |
29,752 |
4,540 |
|
8 |
180 |
220 |
5,1930 |
5,3936 |
28,0089 |
26,967 |
29,091 |
226,2 |
31,769 |
38,059 |
183,479 |
2,728 |
|
9 |
181 |
222 |
5,1985 |
5,4027 |
28,0858 |
27,024 |
29,189 |
226,1 |
13,223 |
16,950 |
157,388 |
1,821 |
|
10 |
186 |
231 |
5,2257 |
5,4424 |
28,4407 |
27,308 |
29,620 |
225,9 |
28,769 |
26,413 |
56,934 |
2,275 |
|
11 |
250 |
229 |
5,5215 |
5,4337 |
30,0021 |
30,487 |
29,525 |
223,1 |
11,314 |
34,846 |
3187,116 |
2,646 |
|
Итого |
2129 |
2482 |
57,862 |
59,603 |
313,521 |
304,479 |
322,969 |
2480,927 |
498,545 |
487,777 |
4774,727 |
27,548 |
|
Среднее |
193,5 |
225,6 |
5,260 |
5,418 |
28,502 |
27,680 |
29,361 |
225,539 |
45,322 |
44,343 |
434,066 |
2,504 |
С учетом введенных обозначений уравнение примет вид: Y = A + BX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы.
= -0,042.
= 5,418 – 0,959×5,26 = 5,637.
Перейдем к исходным переменным X и Y, выполнив потенцирование данного уравнения.
A = eA = e5,637 = 280,76
Получим уравнение степенной модели регрессии: 
.
Определим индекс корреляции
Используя данные таблицы, получим:
.
Рассчитаем коэффициент детерминации: = 0,1472= 0,021 = 2,1%.
Вариация результата Y всего на 2,1% объясняется вариацией фактора X.
Сделаем рисунок.
Для степенной модели средний коэффициент эластичности равен коэффициенту B.
= -0,042%.
Коэффициент эластичности 
показывает, что при среднем росте признака X на 1% признак Y снижается на 0,042%.
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации. Используя данные расчетной таблицы, получаем:
= 2,5%.
Сводная таблица вычислений
|
Параметры |
Модель |
|
|
Полулогарифмическая |
Степенная |
|
|
Уравнение связи |
|
|
|
Индекс корреляции |
0,1464 |
0,147 |
|
Коэффициент детерминации |
0,021 |
0,021 |
|
Средняя ошибка аппроксимации, % |
2,5 |
2,5 |
Для выявления формы связи между указанными признаками были построены полулогарифмическая и степенная модели регрессии. Анализ показателей корреляции, а также оценка качества моделей с использованием средней ошибки аппроксимации позволил предположить, что из перечисленных моделей более адекватной является степенная модель, поскольку для нее индекс корреляции принимает наибольшее значение R = 0,147, свидетельствующий о том, что между рассматриваемыми признаками наблюдается Слабая корреляционная связь.
Рассчитаем прогнозное значение результата по степенной модели регрессии, если прогнозируется увеличение значения фактора на 10% от среднего уровня.
Прогнозное значение составит:
= 193,5 × 1,1 = 212,9 тыс. р., тогда прогнозное значение Y составит:
= 224,6 тыс. р.
Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости a = 0,05.
Вычислим Среднюю стандартную ошибку прогноза 
По следующей формуле:
, где 
Получаем: 
= 7,55.
Найдем предельную ошибку прогноза 
, где для доверительной вероятности 0,95 значение T составляет 1,96.
= 14,8.
Запишем доверительный интервал прогноза.
= 224,6 – 14,8 = 209,8 тыс. р.
= 224,6 + 14,8 = 239,4 тыс. р.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозное значение среднего размера назначенных ежемесячных пенсий будет находиться в пределах от 209,8 тыс. р. до 239,4 тыс. р.
Задание 3. Моделирование временных рядов
Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995-1999 гг.
|
Номер квартала |
Товарооборот % к предыдущему периоду |
Номер квартала |
Товарооборот % к предыдущему периоду |
|
1 |
100 |
11 |
98,8 |
|
2 |
93,9 |
12 |
101,9 |
|
3 |
96,5 |
13 |
113,1 |
|
4 |
101,8 |
14 |
98,4 |
|
5 |
107,8 |
15 |
97,3 |
|
6 |
96,3 |
16 |
112,1 |
|
7 |
95,7 |
17 |
97,6 |
|
8 |
98,2 |
18 |
93,7 |
|
9 |
104 |
19 |
114,3 |
|
10 |
99 |
20 |
108,4 |
Задания:
1. Построить график данного временного ряда. Охарактеризовать структуру этого ряда.
2. Рассчитать сезонную компоненты временного ряда и построить его Мультипликативную Модель.
3. Рассчитать трендовую компоненту временного ряда и построить его график
4. Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.
Решение: Пронумеруем указанные месяцы от 1 до 24 и построим график временного ряда.
Полученный график показывает, что а данном временном ряду присутствуют сезонные колебания.
Построим мультипликативную модель временного ряда.
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.
Построение мультипликативной моделей сведем к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2) Расчет значений сезонной компоненты S.
3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных T×E.
4) Аналитическое выравнивание уровней T×E и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5) Расчет полученных по модели значений T×E.
6) Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре месяца со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые уровни объема продаж (гр. 3 табл. 2.1).
1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 2.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 2.1).
Таблица 2.1
|
№ месяца, T |
Товарооборот, Yi |
Итого за четыре месяца |
Скользящая средняя за четыре месяца |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной компоненты |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
100,0 |
– |
– |
– |
– |
|
2 |
93,9 |
392 |
98 |
– |
– |
|
3 |
96,5 |
400 |
100 |
99 |
0,975 |
|
4 |
101,8 |
402 |
100,5 |
100,25 |
1,015 |
|
5 |
107,8 |
402 |
100,5 |
100,5 |
1,073 |
|
6 |
96,3 |
398 |
99,5 |
100 |
0,963 |
|
7 |
95,7 |
394 |
98,5 |
99 |
0,967 |
|
8 |
98,2 |
397 |
99,25 |
98,875 |
0,993 |
|
9 |
104,0 |
400 |
100 |
99,625 |
1,044 |
|
10 |
99,0 |
404 |
101 |
100,5 |
0,985 |
|
11 |
98,8 |
413 |
103,25 |
102,125 |
0,967 |
|
12 |
101,9 |
412 |
103 |
103,125 |
0,988 |
|
13 |
113,1 |
411 |
102,75 |
102,875 |
1,099 |
|
14 |
98,4 |
309 |
77,25 |
90 |
1,093 |
|
15 |
97,3 |
196 |
49 |
63,125 |
1,541 |
|
16 |
112,1 |
303 |
75,75 |
62,375 |
1,797 |
|
17 |
97,6 |
418 |
104,5 |
90,125 |
1,083 |
|
18 |
93,7 |
414 |
103,5 |
104 |
0,901 |
|
19 |
114,3 |
– |
– |
– |
– |
|
20 |
108,4 |
– |
– |
– |
– |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 2.1). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 2.2). Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты Si. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.
Таблица 2.2
|
Показатели |
Год |
№ квартала, I |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
||
|
1 |
– |
– |
0,975 |
1,015 |
|
|
2 |
1,073 |
0,963 |
0,967 |
0,993 |
|
|
3 |
1,044 |
0,985 |
0,967 |
0,988 |
|
|
4 |
1,099 |
1,093 |
1,541 |
1,797 |
|
|
5 |
1,083 |
0,901 |
– |
– |
|
|
Всего за I-й квартал |
4,299 |
3,942 |
4,45 |
4,793 |
|
|
Средняя оценка сезонной компоненты для I-го квартала, |
0,860 |
0,788 |
0,890 |
0,959 |
|
|
Скорректированная сезонная компонента, |
0,984 |
0,901 |
1,018 |
1,097 |
Имеем: 0,860 + 0,788 + 0,890 + 0,959 = 3,497.
Определяем корректирующий коэффициент: K = 4 : 3,497 = 1,144.
Скорректированные значения сезонной компоненты 
получаются при умножении ее средней оценки 
на корректирующий коэффициент K.
Проверяем условие: равенство 4 суммы значений сезонной компоненты:
0,984 + 0,901 + 1,018 + 1,097 = 4.
Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины 
(гр. 4 табл. 2.3), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 2.3
|
T |
Yt |
St |
|
T |
T×S |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
1 |
100,0 |
0,984 |
101,6 |
100,02 |
98,42 |
1,016 |
|
2 |
93,9 |
0,901 |
104,2 |
100,19 |
90,27 |
1,040 |
|
3 |
96,5 |
1,018 |
94,8 |
100,36 |
102,17 |
0,945 |
|
4 |
101,8 |
1,097 |
92,8 |
100,53 |
110,28 |
0,923 |
|
5 |
107,8 |
0,984 |
109,6 |
100,7 |
99,09 |
1,088 |
|
6 |
96,3 |
0,901 |
106,9 |
100,87 |
90,88 |
1,060 |
|
7 |
95,7 |
1,018 |
94,0 |
101,04 |
102,86 |
0,930 |
|
8 |
98,2 |
1,097 |
89,5 |
101,21 |
111,03 |
0,884 |
|
9 |
104,0 |
0,984 |
105,7 |
101,38 |
99,76 |
1,043 |
|
10 |
99,0 |
0,901 |
109,9 |
101,55 |
91,50 |
1,082 |
|
11 |
98,8 |
1,018 |
97,1 |
101,72 |
103,55 |
0,954 |
|
12 |
101,9 |
1,097 |
92,9 |
101,89 |
111,77 |
0,912 |
|
13 |
113,1 |
0,984 |
114,9 |
102,06 |
100,43 |
1,126 |
|
14 |
98,4 |
0,901 |
109,2 |
102,23 |
92,11 |
1,068 |
|
15 |
97,3 |
1,018 |
95,6 |
102,4 |
104,24 |
0,933 |
|
16 |
112,1 |
1,097 |
102,2 |
102,57 |
112,52 |
0,996 |
|
17 |
97,6 |
0,984 |
99,2 |
102,74 |
101,10 |
0,965 |
|
18 |
93,7 |
0,901 |
104,0 |
102,91 |
92,72 |
1,011 |
|
19 |
114,3 |
1,018 |
112,3 |
103,08 |
104,94 |
1,089 |
|
20 |
108,4 |
1,097 |
98,8 |
103,25 |
113,27 |
0,957 |
|
Среднее |
101,4 |
1,0011 |
Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни T×E. Составим вспомогательную таблицу.
Таблица 2.4
|
T |
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
1 |
101,6 |
1 |
101,6 |
2,5 |
1,58 |
2,0 |
|
|
2 |
104,2 |
4 |
208,4 |
13,2 |
3,87 |
56,3 |
|
|
3 |
94,8 |
9 |
284,4 |
32,1 |
5,88 |
24,0 |
|
|
4 |
92,8 |
16 |
371,2 |
71,9 |
8,33 |
0,2 |
|
|
5 |
109,6 |
25 |
548 |
75,9 |
8,08 |
41,0 |
|
|
6 |
106,9 |
36 |
641,4 |
29,4 |
5,63 |
26,0 |
|
|
7 |
94,0 |
49 |
658 |
51,3 |
7,48 |
32,5 |
|
|
8 |
89,5 |
64 |
716 |
164,6 |
13,07 |
10,2 |
|
|
9 |
105,7 |
81 |
951,3 |
18,0 |
4,08 |
6,8 |
|
|
10 |
109,9 |
100 |
1099 |
56,3 |
7,58 |
5,8 |
|
|
11 |
97,1 |
121 |
1068,1 |
22,6 |
4,81 |
6,8 |
|
|
12 |
92,9 |
144 |
1114,8 |
97,4 |
9,69 |
0,3 |
|
|
13 |
114,9 |
169 |
1493,7 |
160,5 |
11,20 |
136,9 |
|
|
14 |
109,2 |
196 |
1528,8 |
39,6 |
6,39 |
9,0 |
|
|
15 |
95,6 |
225 |
1434 |
48,2 |
7,13 |
16,8 |
|
|
20 |
102,2 |
400 |
2044 |
0,2 |
0,37 |
114,5 |
|
|
21 |
99,2 |
441 |
2083,2 |
12,3 |
3,59 |
14,4 |
|
|
22 |
104,0 |
484 |
2288 |
1,0 |
1,05 |
59,3 |
|
|
23 |
112,3 |
529 |
2582,9 |
87,6 |
8,19 |
166,4 |
|
|
24 |
98,8 |
576 |
2371,2 |
23,7 |
4,49 |
49,0 |
|
|
Сумма |
230 |
2035,2 |
3670 |
23588 |
1008,3 |
122,49 |
778,2 |
|
Среднее |
11,5 |
101,8 |
183,5 |
1179,4 |
50,4 |
6,12 |
38,91 |
Вычислим параметры уравнения тренда.
= 0,17.
= 99,85.
В результате получим уравнение тренда:
T = 99,85 + 0,17×T.
Подставляя в это уравнение значения T = 1,2,…,16, найдем уровни T для каждого момента времени (гр. 5 табл. 2.3).
Шаг 5. Найдем уровни ряда, умножив значения T на соответствующие значения сезонной компоненты (гр. 6 табл. 2.3). На одном графике откладываем фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по мультипликативной модели.
Расчет ошибки в мультипликативной модели произведем по формуле:
Средняя абсолютная ошибка составила 1,0011 (см. гр. 7 табл. 2.3).
Рассчитаем сумму квадратов абсолютных ошибок 
.
Используя 5-й столбец таблицы 2.4, получим:
= 7,099.
Рассчитаем среднюю относительную ошибку: 
.
Используя 6-й столбец таблицы 2.4, получим, что средняя относительная ошибка составила 6,12%, т. е. построенная модель достаточно точно описывает динамику данного явления.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Рост точности прогноза — это точка роста оборотных средств при неизменном объеме. Чем меньше ошибка прогноза, тем меньше денег необходимо на обслуживание модели прогноза.
Дополнительные оборотные средства за счет повышения точности прогноза мы получим, если будем использовать модель прогнозирования, которая дает наименьшую среднюю абсолютную ошибку прогноза.
В данной статье мы рассмотрим:
- Как рассчитать среднюю абсолютную ошибку прогноза и выбрать модель, которая дает наименьшую ошибку;
- Сравним модели и оценим, сколько оборотных средств мы можем сохранить за год, если будем использовать модель, которая дает минимальную ошибку прогноза.
По ходу статьи мы разберем
- Что такое ошибка прогноза;
- Как рассчитывается среднее абсолютное отклонение;
и рассчитаем:
- Прогноз с помощью модели «Скользящей средней к 4-м месяцам с аддитивной сезонностью»;
- Прогноз с помощью модели «Логарифмический тренд с сезонностью»;
- Ошибку прогноза для каждой модели;
- Среднее абсолютное отклонение и для каждой модели.
А также сравним модели, опираясь на среднее абсолютное отклонение и оценим экономию оборотных средств за счет использования более точной модели прогнозирования.
Скачайте файл с примером
Что такое ошибка прогноза?
Ошибкой прогноза продаж является разность между фактическими продажами и прогнозом продаж.
Чем меньше ошибка прогноза, тем более точные решения мы приминаем в закупках, производстве, планировании … а следовательно более эффективно распределяем оборотные средства и повышаем оборачиваемость товаров.
Существует несколько методов оценки ошибок. Большинство этих методов состоит в усреднении некоторых функций от разностей между действительными значениями и их прогнозами.
Ошибку прогноза (et) для каждого момента времени во временном ряду мы можем вычистить по формуле:
et = Yt — Y^t ,
где
- Yt — действительное значение временного ряда в момент t — в наших примерах объем продаж,
- Y^t — прогноз значения Yt — в наших примерах прогноз объема продаж.
Ошибка MAD — среднее абсолютное отклонение
Среднее абсолютное отклонение (MAD) измеряет точность прогноза, усредняя величины ошибок прогноза (абсолютные значения каждой ошибки). Чаще всего MAD используют, когда ошибку прогноза необходимо измерить в тех же единицах, что и исходные значения временного ряда.
Формула вычисления ошибки:
- Yt — действительное значение временного ряда в момент t,
- Y^t — прогноз значения Yt,
- n — номера периодов
Среднее абсолютное отклонение — средняя ошибка (разность между фактом продаж и прогнозом продаж) по модулю.
Рассчитаем прогноз и оценим следующие модели:
- Скользящей средней к 4-м месяцам с аддитивной сезонностью;
- Логарифмический тренд с сезонностью.
Скачайте файл с примером
Для оценки ошибки модели «Скользящей средней к 4-м месяцам с аддитивной сезонностью» рассчитаем:
- Скользящую среднюю к 4-м месяцам;
- Разность между значениями ряда и средними значениями к 4-м месяцам (пункт 1);
- Усредним разность ряда и средней для каждого месяца получим сезонность в абсолютной величание — аддитивную сезонность;
- Продлим значения ряда с помощью скользящей средней к 4-м месяцам и скорректируем её аддитивной сезонностью;
- Модель прогноза для каждого момента времени t;
- Ошибку прогноза;
- Среднее абсолютное отклонение.
1. Скользящую среднюю к 4-м месяцам для каждого момента времени во временном ряду начиная с 5-го периода:
2. Разность между значениями ряда и средними значениями к 4-м месяцам для каждого момента времени t (пункт 1):
3. Усредним разность ряда и средней для каждого месяца получим сезонность в абсолютной величание — аддитивную сезонность.
Для этого вначале выделим номера месяцев с помощью функции Excel =месяц(дата). Для этого проверяем являются ли наши даты «январь 2010 г.», датой, если нет, то переводим в дату и используя функцию Excel =месяц(дата), получаем номера месяцев:
Получаем ряд с пронумерованными месяцами:
Далее усредняем отклонения ряда от средней для каждого месяца, получаем 12 значений аддитивной сезонности.
Для этого используем формулы Excel:
СУММЕСЛИ($D$7:$AY$7 (диапазон с номерами месяцев);D7 (номер месяца, для которого мы рассчитываем сезонность);$D$6:$AY$6 (разность между рядом и средней))
СЧЁТЕСЛИ($D$7:$AY$7(диапазон с номерами месяцев);D7(номер месяца, для которого мы рассчитываем сезонность))
Обязательно фиксируем ссылки на диапазоны с «Номерами месяцев» и «разность между рядом и средней». Подробнее об этом в статье » Как зафиксировать ссылку в Excel»
Подробнее о формулах Excel СУММЕСЛИ и СЧЁТЕСЛИ читайте с статье «Формулы Excel «СУММЕСЛИ» и «СЧЕТЕСЛИ» при расчете сезонности»
Протянули формулу на 12 месяцев, получили аддитивную сезонность для каждого месяца:
4. Продлим значения ряда с помощью скользящей средней к 4-м месяцам и скорректируем её аддитивной сезонностью.
Скорректируем скользящую рассчитанной аддитивной сезонностью.
Для этого к прогнозному среднему прибавим аддитивную сезонность. Сезонность для каждого месяца подтянем с помощью функции Excel ГПР.
Подробнее об этом читайте с статье «ГПР в Excel на примере скользящей средней».
Прогноз = средние продажи за последние 4 месяца + сезонность:
=СРЗНАЧ(AV4:AY4(средние продажи за 4 последних месяца))+ГПР(AZ3 (искомый номер месяца);$D$8:$O$9 (зафиксированная ссылка на таблицу с сезонностью);2 (номер строки);0)
5. Рассчитаем модель прогноза для каждого момента времени t.
К скользящей средней прибавим аддитивную сезонность начиная с 5 периода:
6. Рассчитаем значение ошибки для каждого месяца.
Для этого из объема продаж вычтем значение прогнозной модели:
7. Определим среднее абсолютное отклонение.
Для каждого момента времени t рассчитаем ошибку по модулю с помощью формулы Excel =ABS(H11 (ссылка на ошибку)):
Среднее абсолютное отклонение равно средней ошибке по модулю:
Среднее абсолютное отклонение для модели скользящей средней к 4-м месяцам с аддитивной сезонностью у нас равно 55 475
Теперь рассчитаем прогноз с помощью «Логарифмического тренда с сезонностью».
- Выделим логарифмический тренд;
- Рассчитаем сезонность;
- Рассчитаем значение модели;
- Рассчитаем ошибку прогноза и Среднее абсолютное отклонение.
Скачайте файл с примером
1. Выделим логарифмический тренд.
О всех возможных способах выделения логарифмического тренда в Excel вы можете узнать в нашей статье «5 способов расчета логарифмического тренда в Excel. + О логарифмическом тренде и его применении».
Рассчитаем значения тренда с помощью функции =ПРЕДСКАЗ(LN(D2(номер периода));$D$4:$AY$4 (зафиксированная ссылка на диапазон с объемами продаж);LN($D$2:$AY$2 (зафиксированная ссылка на диапазон с номерами периодов)))
2. Рассчитываем отклонения объемов продаж от тренда (объем продаж делим на значения тренда):
3. Определяем сезонность с помощью формул Excel =СУММЕСЛИ() и =СЧЁТЕСЛИ()
Подробнее о формулах Excel СУММЕСЛИ и СЧЁТЕСЛИ читайте с статье «Формулы Excel «СУММЕСЛИ» и «СЧЕТЕСЛИ» при расчете сезонности»:
Т.к. полученная сезонность в среднем равна 1, то нормирующий коэффициент вводить не нужно, и среднее отклонение у нас будет равно сезонности по месяцам.
4. Определим значения модели прогноза для каждого момента времени t, для этого значения тренда умножим на сезонность. Сезонность подтянем с помощью функции ГПР (см. статью «Функция ГПР в Excel»):
5. Определим ошибку прогноза для каждого момента времени t. Для этого из объема продаж вычтем значение модели прогноза для каждого момента времени t:
6. Рассчитаем ошибку по модулю с помощью функции =ABS(D21″ссылка на ошибку»):
7. Получим среднее абсолютное отклонение по модулю — среднее значение ошибки по модулю:
Среднее абсолютное отклонение для модели «Логарифмического тренда с сезонностью» у нас равно 70 412
Оценим эффективность использования в рамках года одной модели относительно другой.
Среднее абсолютное отклонение для модели
- «Логарифмического тренда с сезонностью» = 70 412 руб.
- «Скользящей средней к 4-м месяцам с аддитивной сезонностью» = 55 475 руб.
Итак модель скользящей средней делает более точный прогноз по сравнение с логарифмическим трендом для этого ряда в месяц на 14 937 руб. = 70 412 руб. — 55 475 руб.
В результате для нас это означает экономию оборотных средств на 14 937 руб. в месяц на обслуживание модели и 179 242 руб. в год, т.е. 14 937 руб. в месяц = 14 937 руб. * 12 месяцев =179 242 руб.
Т.е. в год мы получаем дополнительные оборотные средства в размере 179 242 руб.
Вот так вот за счет оценки точности прогноза и использования модели, которая дает меньшую ошибку прогноза, вы получаете дополнительные оборотные средства — 179 242 руб. в год.
Скачайте файл с примером
Коллеги, эти 2 модели я выбрал наугад, давайте теперь оценим модель, которую автоматически подберет Forecast4AC PRO. И оценим, какой эффект в год нам это даст.
В настройках программы во вкладке «Доп. возможности» ставим галочку «MAD — Среднее абсолютное отклонение» и отключаем модели экспоненциального сглаживания (т.к. они дают ошибку для данного ряда больше чем скользящая средняя и трендовые модели):
Сохраняем и рассчитываем прогноз с помощью Forecast4AC PRO с автоматическим выбором модели.
Автоматически программа выбрала модель Средняя за 2 предыдущих периода + Сезонность относительно средней в абсолютной величине (т.е. аддитивная сезонность). Среднее абсолютное отклонение для этой модели у нас получилось равным 39 882 руб.
|
Экономия оборотных средств модели Forecast4AC PRO относительно модели скользящей к 4-м месяцам в год руб.: |
187 115 руб. |
|
Экономия оборотных средств модели Forecast4AC PRO относительно модели Логарифмический тренд с сезонностью в год руб.: |
366 357 руб. |
Оцените точность моделей прогнозирования, которые вы используете сейчас, рассчитайте проноз с помощью Forecast4AC PRO и оцените сумму оборотных средств, которую вы можете сэкономить за счет использования нашей программы.
Точных вам прогнозов!
Присоединяйтесь к нам!
Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа:
- Novo Forecast Lite — автоматический расчет прогноза в Excel.
- 4analytics — ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
- Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition — BI-системы для анализа и визуализации данных.
Тестируйте возможности платных решений:
- Novo Forecast PRO — прогнозирование в Excel для больших массивов данных.
Получите 10 рекомендаций по повышению точности прогнозов до 90% и выше.
Зарегистрируйтесь и скачайте решения
Статья полезная? Поделитесь с друзьями
Что такое ошибка прогноза в статистике? (Определение и примеры)
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
В статистике ошибка прогнозирования относится к разнице между прогнозируемыми значениями, сделанными некоторой моделью, и фактическими значениями.
Ошибка прогноза часто используется в двух случаях:
1. Линейная регрессия: используется для прогнозирования значения некоторой переменной непрерывного отклика.
Обычно мы измеряем ошибку прогноза модели линейной регрессии с помощью метрики, известной как RMSE , что означает среднеквадратичную ошибку.
Он рассчитывается как:
СКО = √ Σ(ŷ i – y i ) 2 / n
куда:
- Σ — это символ, который означает «сумма»
- ŷ i — прогнозируемое значение для i -го наблюдения
- y i — наблюдаемое значение для i -го наблюдения
- n — размер выборки
2. Логистическая регрессия: используется для прогнозирования значения некоторой бинарной переменной отклика.
Одним из распространенных способов измерения ошибки прогнозирования модели логистической регрессии является метрика, известная как общий коэффициент ошибочной классификации.
Он рассчитывается как:
Общий коэффициент ошибочной классификации = (# неверных прогнозов / # всего прогнозов)
Чем ниже значение коэффициента ошибочной классификации, тем лучше модель способна предсказать результаты переменной отклика.
В следующих примерах показано, как на практике рассчитать ошибку прогнозирования как для модели линейной регрессии, так и для модели логистической регрессии.
Пример 1: Расчет ошибки прогноза в линейной регрессии
Предположим, мы используем регрессионную модель, чтобы предсказать количество очков, которое 10 игроков наберут в баскетбольном матче.
В следующей таблице показаны прогнозируемые очки по модели и фактические очки, набранные игроками:
Мы рассчитали бы среднеквадратичную ошибку (RMSE) как:
- СКО = √ Σ(ŷ i – y i ) 2 / n
- СКО = √(((14-12) 2 +(15-15) 2 +(18-20) 2 +(19-16) 2 +(25-20) 2 +(18-19) 2 +(12- 16) 2 +(12-20) 2 +(15-16) 2 +(22-16) 2 ) / 10)
- СКО = 4
Среднеквадратическая ошибка равна 4. Это говорит нам о том, что среднее отклонение между прогнозируемыми набранными баллами и фактическими набранными баллами равно 4.
Связанный: Что считается хорошим значением RMSE?
Пример 2: Расчет ошибки прогноза в логистической регрессии
Предположим, мы используем модель логистической регрессии, чтобы предсказать, попадут ли 10 баскетболистов из колледжа в НБА.
В следующей таблице показан прогнозируемый результат для каждого игрока по сравнению с фактическим результатом (1 = выбран на драфте, 0 = не выбран на драфте):
Мы рассчитали бы общий коэффициент ошибочной классификации как:
- Общий коэффициент ошибочной классификации = (# неверных прогнозов / # всего прогнозов)
- Общий коэффициент ошибочной классификации = 4/10
- Общий коэффициент ошибочной классификации = 40%
Общий уровень ошибочной классификации составляет 40% .
Это значение довольно велико, что указывает на то, что модель не очень хорошо предсказывает, будет ли игрок выбран на драфте.
Дополнительные ресурсы
Следующие руководства содержат введение в различные типы методов регрессии:
Введение в простую линейную регрессию
Введение в множественную линейную регрессию
Введение в логистическую регрессию