Пусть h0 основная гипотеза а h1 конкурирующая тогда вероятность ошибки 2 го рода равна

Пусть
случайная величина X
имеет плотность
p(x,
θ),
зависящую от параметра θ,
одномерного или многомерного, принимающего
значения из некоторого множества Θ.
В частности, если p(x,
θ)
— одномерная плотность распределения
и независимая выборка x₁,
x₂,…x_n(1)
получена из распределения с этой
плотностью, то n-мерная
плотность, соответствует выборке (1)
равна произведению

(С
очевидными изменениями все это переносится
и на дискретный случай, когда p(x,
θ)=
P{X=x}).

Значение
параметра θ
вполне определяет плотность p(x,
θ).
Те или иные гипотезы о виде неизвестного
распределения или о параметрах известного
распределения называются статистическими
гипотезами.
Статистическая гипотеза типа
θ
= θ₀,
где θ₀
— некоторое фиксированное значение,
называется простой;
гипотеза типа θ


Θ
называется сложной
(содержат конечное или бесконечное
число простых гипотез). Проверку гипотезы
проводят статистическим методом, поэтому
проверку
называют статистической.
Гипотезу проверяют на основании выборки
из ГС — это и есть статистический метод.
Из-за случайности выборки в результате
статистической проверки могут возникнуть
ошибки и приниматься неправильные
решения. Решение принимается по значению
некоторой функции от выборки, называемой
статистикой (это спец. статистика,
которая называется статистическим
критерием, который служит для отбора и
проверки).

Опр:
Статистический критерий К
— это случайная
величина, т.е. функция на множестве
случайного аргумента, которая служит
для проверки нулевой гипотезы.

Множество
значений критерия К
можно разделить на два
непересекающихсяподмножества:

1. подмножество
   значений К,
   при которых H₀
   принимается, называемое областью
   принятия гипотезы(допустимой
   областью).

2. подмножество
   значений критерия К,
   при которых основная гипотеза H₀
   отклоняется и принимается альтернативная
   гипотеза H₁
   , называемое
   критической
   областью.

К
— одномерная случайная величина, т.е.
его возможные значения

некоторому
интервалу. Обычно интервал — вся прямая
или положительная полуось, поэтому
критическая область критерия и допустимая
область критерия также являются
интервалами на числовой оси и,
следовательно, существуют точки, которые
их разделяют. Они называются критическими
точками или
границами
критерия К.

Постановка
задачи.

Относительно
параметра θ
имеется
некоторая основная или, или проверяемая
гипотеза H₀
: θ

Θ.
Мы должны построить такой статистический
критерий, который позволяет заключить,
согласуется ли выборка x₁,
x₂,…x_n
с гипотезой H₀
, или нет.

Обычно
критерий строится с помощью критического
множества. Из n
– мерного множества всех возможных
значений (x₁,
x₂,…x_n)
выделяется такое подмножество S,
называемое критическим, что при (x₁,
x₂,…x_n)

S
гипотеза отвергается, а в пртивоположном
случае — принимается. Полученный с
помощью критического множества S
статистический критерий иногда называют
S—критерием.

Мы будем рассматривать
главным образом две основные гипотезы:

H₀:
p(x)=
p(x,
θ₀)
— основная гипотеза;

H₁:
p(x)=
p(x,
θ₁)
— альтернативная гипотеза.

Есть
задачи, в которых H₀
и H₁
— равноправны. Однако очень часто в
реальных задачах эти гипотезы выступают
наравнопрвно.

Уровень
значимости и мощность критерия.

Рассмотрим
две простые гипотезы: проверяемую H₀:
θ
= θ₀,
и конкурирующую H₁:
θ
= θ₁.
С каждым S—критерием
связаны ошибки двух родов. Ошибка 1-го
рода — отвержение гипотезы H₀,
когда она верна; ошибка 2-го рода —
принятие H₀,
когда верна конкурирующая гипотеза H₁.
Обозначим

Тогда
вероятность ошибки первого рода
S—критерия
равна

,
а вероятность ошибки второго рода равна

.
В самом деле пусть гипотеза H₀-верна,
тогда θ = θ₀.
Гипотеза H₀—
отвергается, если (x₁,
x₂,…x_n)

S.
Вероятность
этого равна

Вероятностьошибки
второго рода равна

,
где

,

—
множество значений (x₁,
x₂,…x_n).

Опр:
Вероятность
ошибки первого рода α называется уровнем
значимости
S—критерия.
Функция

аргумента θ
называется
функцией мощности S—критерия.

Из
определений следует, что

Отсюда видно, что чем больше мощность
в точке θ₁,
тем меньше
вероятность ошибки второг рода.

Параметрические
критерии для распознавания двух простых
гипотез H₀
и H₁
строят
следующим образом. Сначала задается
уровень значимости α,
затем из множества S_α
всех
S—критериев
с уровнем значимости α
выбирается
критерий S^*,
для которого
мощность при θ
= θ₁
принимает
наибольшее значение, т.е.

Такой
критерий называется оптимальным
или наиболее мощным.

Теорема
Неймана-Пирсона.

Для
любого 0≤α≤1
существует число С
такое, что
,
тогда

и эта вероятность минимальна среди всех
критериев с уровнем значимости α.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В практических задачах часто требуется проверить то или иное предположение относительно
каких-нибудь свойств закона распределения наблюдаемой случайной величины X. Для проверки этого предположения
исследователь проводит эксперимент, в результате которого получает реализацию x₁,…,x_n
случайной выборки X₁,…,X_n из генеральной совокупности X. По этим данным ему
нужно дать ответ на вопрос: согласуется ли его гипотеза с результатами эксперимента или нет? Другими словами, исследователю
нужно решить, можно ли принять выдвинутую гипотезу или её нужно отклонить как противоречащую результатам эксперимента.

Любое предположение относительно параметров или закона распределения наблюдаемой случайной
величины (или нескольких величин) называется статистической гипотезой. Проверяемую статистическую гипотезу также
называют основной, или нулевой, статистической гипотезой и, как правило, обозначают H₀.

Наряду с проверяемой статистической гипотезой H₀ выдвигают также
конкурирующую гипотезу, противоречащую H₀. Конкурирующая гипотеза называется альтернативной и, как
правило, обозначается H₁ или H’. Если в результате статистического анализа делается вывод, что
основная гипотеза H₀ должна быть отвергнута, то решение принимается в пользу альтернативной
гипотезы H’. В простейшем случае альтернативная гипотеза – это отрицание основной гипотезы.

Статистическая гипотеза H₀ называется простой, если она
однозначно определяет параметр или распределение наблюдаемой случайной величины X. В противном случае
гипотеза H₀ называется сложной.

Если статистическая гипотеза H₀ представляет собой утверждение о
некотором параметре q известного распределения случайной величины X, то гипотеза называется параметрической.
В противном случае гипотеза называется непараметрической.

Пример 1

Пример 2

Статистическое решение, т.е. решение о принятии или отклонении основной
гипотезы H₀, проводится в соответствии с некоторым критерием.

Статистическим критерием, или решающим правилом, при проверке статистической
гипотезы H₀ называется правило, в соответствии с которым гипотеза H₀ принимается или
отвергается.

Статистическая гипотеза – это всегда утверждение о свойствах наблюдаемой генеральной
совокупности, а задача проверки статистической гипотезы состоит в проверке соответствия результатов
эксперимента x₁,…,x_n выдвинутой гипотезе. Иными словами, задача проверки
статистической гипотезы состоит в ответе на вопрос: могло ли случиться так, что выборка x₁,…,
x_n была получена из генеральной совокупности с указанными в гипотезе свойствами?

Как правило, статистический критерий связывают с некоторой статистикой Z,
являющейся функцией случайной выборки X₁,…,X_n. Эта статистика служит мерой,
насколько наблюдаемые выборочные значения могли быть получены из генеральной совокупности с указанными в основной
гипотезе свойствами. Вопрос о том, какую статистику Z следует взять для проверки той или иной статистической
гипотезы, не имеет однозначного ответа. Это может быть любая статистика, удовлетворяющая следующим требованиям:

1)
закон распределения F_Z(z | H₀) при условии истинности основной
гипотезы H₀ должен быть известен;

2)
закон распределения должен быть чувствителен к факту справедливости основной или альтернативной гипотезы, т.е. законы
распределения F_Z(z | H₀) и F_Z(z | H’)
должны существенно различаться.

Для реализации x₁,…,x_n случайной
выборки X₁,…,X_n, статистика Z примет реализацию z. Предположим, что
гипотеза H₀ верна. В связи с тем, что закон распределения статистики Z при условии истинности
основной гипотезы H₀ известен, то возможно рассчитать вероятность её попадания в некоторую окрестность
точки z. Если эта вероятность высока, это означает, что ничто не противоречит предположению об истинности
гипотезы H₀. Если же эта вероятность мала или близка к нулю, то это может означать один из двух
вариантов:

1)
в условиях основной гипотезы H₀ произошло практически невозможное событие;

2)
статистика Z на самом деле имеет некоторый другой закон распределения, отличный
от F_Z(z | H₀), при котором вероятность её попадания в окрестность
точки z много больше нуля. Это означает, что предположение об истинности гипотезы H₀ сделано
неверно.

Статистика $ Z=Z({{X}_{1}},…,{{X}_{n}}) $, на основе реализации
которой $z=Z({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})$ выдвигается статистическое решение, называется статистикой
критерия (test statistics). Реализация статистики критерия $z=Z({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})$,
рассчитанная для выборки x₁,…,x_n, называется выборочным значением статистики
критерия.

Проверка статистических гипотез основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные
события относительно статистики критерия Z считаются невозможными. В соответствии с этим принципом, если
вероятность попадания статистики критерия Z в окрестность рассчитанного выборочного значения z мала, то
должен выбираться вариант 2), т.е. основная гипотеза H₀ отклоняется.

Область Ω₀ наиболее вероятных значений статистики критерия Z, при
попадании выборочных значений z в которую основная гипотеза H₀ принимается, называется областью
допустимых значений статистики критерия Z.

Область Ω’ маловероятных значений статистики критерия Z, при попадании выборочных
значений z которую основная гипотеза H₀ отклоняется, называется критической областью
значений статистики критерия Z. Множество ${{Omega }_{0}}cup Omega ‘$ должно являться множеством всех возможных
значений статистики критерия Z.

Из определений области допустимых значений и критической области следует статистический
критерий проверки гипотезы H₀: если выборочное значение статистики критерия $zin {{Omega }_{0}}$,
то основная гипотеза H₀ принимается, если выборочное значение статистики
критерия $zin Omega ‘$, то основная гипотеза H₀ отвергается.

Пусть для выборки x₁,…,x_n
статистика критерия Z приняла выборочное значение z, лежащее в критической области Ω’, т.е. вероятность
попадания статистики критерия Z в окрестность которой мала. В соответствии со статистическим критерием основная
гипотеза H₀ должна быть отвергнута. Однако событие $zin Omega ‘$, хоть и с малой вероятностью,
но всё же могло произойти в условиях основной гипотезы H₀. Если это так, то статистическое решение об
отклонении гипотезы H₀ будет ошибочным.

С другой стороны, если для выборки x₁,…,x_n статистика
критерия Z приняла выборочное значение z, лежащее в области допустимых значений Ω₀, это могло
случиться как в условиях основной гипотезы H₀ (с высокой вероятностью), так и, возможно, в условиях
альтернативной гипотезы H’ (с низкой вероятностью). В соответствии со статистическим критерием основная
гипотеза H₀ принимается. Если же событие $zin {{Omega }_{0}}$ на самом деле произошло в условиях
альтернативной гипотезы H’, то статистическое решение о принятии гипотезы H₀ также будет ошибочным.
В обоих случаях говорят об ошибках принятия статистического решения.

Ошибкой 1-го рода при принятии статистического решения называется событие,
состоящее в том, что основная гипотеза H₀ отвергается, в то время как она верна.

Ошибкой 2-го рода при принятии статистического решения называется событие,
состоящее в том, что основная гипотеза H₀ принимается, в то время как верна альтернативная
гипотеза H’.

Пример 3

Пример 4

Уровнем значимости α при проверке статистической гипотезы называется вероятность
ошибки первого рода:

$alpha =Pleft( Zin Omega ‘|{{H}_{0}} right)$.

Вероятность β ошибки второго рода:

$beta =Pleft( Zin {{Omega }_{0}}|H’ right)$.

Ясно, что с уменьшением вероятности ошибки первого рода возрастает вероятность ошибки
второго рода и наоборот. Это означает, что при выборе критической области и области допустимых значений статистики критерия
должен достигаться определённый компромисс.

Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть основная и альтернативная
гипотезы H₀ и H’ являются простыми. Пусть статистики критерия Z при условии истинности
основной гипотезы H₀ имеет нормальное
распределение ${{F}_{Z}}(z|{{H}_{0}})sim N({{m}_{1}},{{sigma }_{1}})$, а при условии истинности H’ –
распределение ${{F}_{Z}}(z|{{H}_{0}})sim N({{m}_{2}},{{sigma }_{2}})$.

Распределения вероятностей статистики критерия Z при условии истинности основной и альтернативной гипотез

У качестве критической области Ω’ выбраны хвосты
распределения ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})$, площадь каждого из которых равна α/2. Вероятность попадания статистики
критерия Z, имеющей распределение ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})$, в критическую область, таким образом, равна вероятности
ошибки первого рода α. Вероятность ошибки второго рода β равна площади под графиком функции плотности
распределения ${{f}_{Z}}(z|H’)$ внутри области допустимых значений Ω₀. Из графиков видно, что уменьшая
ширину области допустимых значений, площадь a будет увеличиваться, в то время как площадь β – уменьшаться, и наоборот.

Точки на оси значений статистики критерия z, разделяющие область допустимых
значений Ω₀ и критическую область Ω’, называются критическими точками. На рисунке выше это
точки z₁ и z₂, являющиеся квантилями распределения ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})$ на
уровнях α/2 и 1 – α/2 соответственно.

В случае если основная и альтернативная гипотезы H₀ и H’
являются простыми, величина μ = 1 – β называется мощностью критерия.

Очевидно, что при заданном значении вероятности ошибки первого рода a выбор критической
области Ω’ может быть сделан неоднозначно. Единственное требование, предъявляемое к критической области, состоит в том,
что площадь под графиком известного распределения статистики критерия ${{f}_{Z}}(z|{{H}_{0}})$ в критической области
должна быть равна α. Однако соответствующие различным критическим областям критерии будут иметь, вообще говоря, различные
вероятности β ошибок второго рода.

Различные варианты выбора критической области

Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая
при заданном уровне значимости a обеспечивает минимальную вероятность β ошибки второго рода. Критерий, использующий
наилучшую критическую область, имеет максимальную мощность.

Если альтернативная гипотеза является сложной, т.е. не определяет однозначно функцию
распределения F_X(x) генеральной совокупности X, а следовательно, и функцию распределения
статистики критерия ${{F}_{Z}}(z|H’)$, а определяет её с точностью до значения некоторого параметра θ, то вводят функцию
мощности критерия μ(θ) как функцию параметра θ. Значение функции мощности критерия μ(θ) в точке θ определяется как

$mu (theta )=1-beta (theta )$,

где β(θ) – вероятность ошибки второго рода при условии, что неизвестный параметр принял
значение θ, θ∈Θ, где Θ – область возможных значений параметра θ.

Пример 5

Функция мощности имеет важное значение в задачах, связанных с оценкой необходимого объёма выборки для обеспечения
требуемой вероятности ошибки второго рода принятия статистического решения при заданной вероятности ошибки первого рода.

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (напри­мер, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака мо­лочной железы одинаковая в двух группах, получаю­щих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

1. отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтер­нативную гипотезу
   
2. остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Одна из основных задач математической статистики состоит в решении вопроса о том, подтверждает или не подтверждает выборка то или иное предположение (гипотезу) о генеральной совокупности. Например:

А) Подтверждает ли выборка предложение о том, что исследуемый признак X Объектов генеральной совокупности распределен нормально?

Б) Подтверждают ли выборки из двух разных генеральных совокупностей существенность (значимость) различия генеральных средних или дисперсий этих совокупностей?

И т. д. Правильный ответ на вопрос (а) важен в связи с тем, что именно при нормальности распределения исследуемого признака X верны многие положения и применимы многие методы математической статистики. В частности, применимы полученные в §2 формулы для случая, когда объем выборки невелик (N<30). А ответ на вопрос (б) позволяет понять, действительно ли следует считать различными обе исследуемые генеральные совокупности с нормально распределенным признаком Х объектов этой совокупности, или все же это просто две части единой генеральной совокупности.

Задачи статистической проверки гипотез в принципе решаются следующим образом. Относительно генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза H0 (нулевая гипотеза), Которая подлежит проверке. Заодно высказывается и Конкурирующая с ней гипотеза H1, которая будет признана верной, если будет отвергнута нулевая гипотеза H0. Далее, из генеральной совокупности извлекается некоторая случайная выборка. Затем применяется некий критерий, с помощью которого по выборочным данным решают, следует ли отклонить гипотезу H0 в пользу конкурирующей гипотезы H1 или все же следует гипотезу H0 принять.

Сразу отметим, что критерия, позволяющего точно (на 100%) узнать, верна гипотеза H0 Или нет, не существует в силу ограниченности и случайности выборки (выборка не содержит всей информации о генеральной совокупности). Действительно, абсолютно точную информацию обо всем, что касается генеральной совокупности (в том числе и о справедливости или несправедливости гипотезы H0) мы бы получили, если бы исследовали Всю генеральную совокупность. Но мы ведь исследуем Лишь выборку из неё, поэтому не застрахованы от ошибки в любых своих выводах (об этом, напомним, мы уже говорили в начале). Отклоняя или принимая гипотезу H0, можно допустить ошибку двух видов:

1) Нулевая гипотеза H0 отвергается несмотря на то, что она верна. Это ошибка 1-го рода. Ее вероятность принято обозначать буквой α.

2) Нулевая гипотеза H0 принимается несмотря на то, что она неверна. Эта ошибка 2-го рода. Ее вероятность принято обозначать буквой .

А вообще все возможные ситуации с принятием и непринятием гипотезы H0 изображены ниже в таблице (в скобках указаны вероятности соответствующих ситуаций)

Естественно потребовать от упомянутого выше критерия, чтобы возможные ошибки 1-го и 2-го родов обе имели как можно меньшие вероятности. Но добиться этого трудно, ибо очевидно, что при фиксированном объеме N выборки и выбранном критерии уменьшение α автоматически ведет к увеличению , и наоборот.

Проиллюстрируем это утверждение на таком житейском примере. Пусть гипотеза Н0 Состоит в том, что переход пешеходом перекрестка на красный свет окончится для него плохо. Тогда отвергнуть эту гипотезу – это значит переходить перекресток. Принять эту гипотезу – это значит стоять на месте (ждать зеленый сигнал).

1) Если гипотеза Н0 Верна, то переходить перекресток – это отвергнуть правильную гипотезу, то есть совершить ошибку 1- го рода (смертельную).

2) Если гипотеза H0 неверна, то оставаться на месте – это принять неправильную гипотезу, т. е. совершить ошибку 2-го рода (потерять время на ожидание зеленого сигнала светофора)

Очевидно, что тяжесть последствий каждой из этих двух ошибок совершенно разная. И еще очевидно, что уменьшая вероятность α ошибки 1-го рода, пешеход автоматически будет увеличивать вероятность ошибки 2-го рода. Действительно, уменьшая ошибку 1-го рода, пешеход не будет переходить на красный свет даже в тех случаях, когда машины от перекрестка далеко и переход ему практически ничем бы не грозил.

Можно дать понятиям ошибки 1-го и 2-го родов и юридическую трактовку. Пусть гипотеза H0 Состоит в том, что подсудимый невиновен (это исходная юридическая гипотеза, вытекающая из принципа презумпции невиновности). Тогда ошибка 1-го рода будет состоять в том, что подсудимому будет вынесен обвинительный приговор, несмотря на то, что он невиновен. А ошибка 2-го рода будет состоять в том, что подсудимому будет вынесен оправдательный приговор, несмотря на то, что он виновен. Эти ошибки тоже разные по тяжести. Стараясь уменьшить одну из них (например, ошибку первого рода), судья чаще должен выносить оправдательный приговоры, что автоматически ведет к увеличению ошибки 2-го рода.

При практической проверке гипотез, выдвигая нулевую гипотезу H0 и альтернативную ей гипотезу H1, сразу задают допустимую вероятность α ошибки 1-го рода – вероятность отвергнуть нулевую гипотезу H0, если она верна. Конкретное числовое значение для этой ошибки выбирают, исходя из реальной тяжести последствий такой ошибки. Кстати, принятое значение α называют еще Уровнем значимости. Таким образом, Уровень значимости α – это вероятность отвергнуть нулевую гипотезу Н0 при условии, что она верна. При решении инженерных, сельскохозяйственных, экономических задач по статистической проверке гипотез обычно в качестве уровня значимости α принимают значения α = 0,1; или α = 0,05; или α = 0,01. Часто, особенно в литературе прикладного характера, уровень значимости выражается еще в процентах. При этом только что названные уровни значимости называют 10% — ым, 5% — ым, 1% — ым уровнями значимости. Чем меньше мы выберем значение α, тем меньше будет риск отвергнуть нулевую гипотезу Н0, если она правильная. Но зато тем больше будет риск принять ее, если она неправильная (то есть если правильной будет альтернативная гипотеза Н1). Брать α=0 смысла нет, так как при α=0 риск отклонить проверяемую гипотезу Н0, если она верна, должен быть сведен к нулю. А это значит, что при α=0 гипотезу Н0 , как бы мало вероятной она ни была, заведомо нужно принимать. То есть при α=0 теряется сам смысл статистической проверки гипотез.

Приняв гипотезу Н0, тем самым соглашаются с тем, что те результаты исследования выборки, которые этой гипотезе противоречат, являются несущественными (незначимыми) и являются лишь следствием случайности самой выборки. А отвергнув гипотезу Н0, тем самым признают, что противоречащие гипотезе Н0 результаты исследования выборки трудно объяснить лишь случайностью самой выборки, они слишком существенны (значимы) для того, чтобы можно было согласиться со справедливостью гипотезы Н0. Наше решение относительно значимости или незначимости выборочных данных, противоречащих гипотезе Н0, Зависит от принятого уровня значимости α. Отсюда и его название – Уровень значимости.

Отметим еще одно важное и очевидное обстоятельство: принятие или непринятие гипотезы Н0 зависит не только от величины уровня значимости, но и от того, какова гипотеза H1 – гипотеза, альтернативная гипотезе Н0. Действительно, гипотеза H1 противостоит гипотезе Н0 – они конкурируют друг с другом за принятие. И устоит ли гипотеза Н0 против гипотезы H1 – это, естественно, зависит и от того, что эта гипотеза H1 Собой представляет.

В самом деле, если пешеход выбирает, переходить ли ему на красный свет или дождаться через пару минут зеленого – это одна ситуация. А если он выбирает между переходом на красный свет и необходимостью перехода в другом месте (метров за 300 от данного места) – это ситуация совсем другая. Во втором случае пешеходы будет рисковать, переходя улицу, чаще. И тем самым будут увеличивать вероятность собственной ошибки (ведущей под колеса автомобиля).

Заметим еще, что Отклонение нулевой гипотезы Н0 – Акт гораздо более обоснованный, чем принятие этой гипотезы. Действительно, отклоняя гипотезу Н0, мы знаем вероятность того, что ошибаемся — ведь это вероятность ошибки первого рода. А она равна принятому уровню значимости α, то есть она известна и мала. А принимая гипотезу H0, мы не знаем вероятности возможной собственной ошибки (ошибки второго рода) — эта вероятность не контролируется, и она может быть не мала, особенно если слишком мал задаваемый уровень значимости α. Отклонив гипотезу H0, мы при малых значениях α практически можем быть уверены, что эта гипотеза действительно не верна. А приняв ее, мы отнюдь не можем утверждать, что подтвердили ее правильность. Мы можем лишь позволить себе осторожно сказать, что экспериментальные выборочные данные не противоречат этой гипотезе. Но ведь точно так же при малых α они могут не противоречить и многим другим, отличным от H0, гипотезам. А при α = 0 любые противоречия гипотезе Н0 Будут признаны несущественными (незначимыми) и гипотеза Н0, даже самая невероятная, будет принята!

Для борьбы с принятием неверных гипотез Н0 Нужно или увеличивать α, уменьшая тем самым ошибку принятия неверной нулевой гипотезы, или, что гораздо продуктивнее, не уменьшая α, увеличивать объем N выборки, приближая тем самым выборку ко всей генеральной совокупности, а сомнительные результаты – к точным.

В качестве критерия, в соответствии с которым решают, принять или не принять выдвинутую нулевую гипотезу Н0, используют специально подобранную случайную величину К, распределение которой, при условии справедливости гипотезы Н0, известно (величина К может иметь нормальное распределение, или распределение Стьюдента, или распределение Фишера-Снедекора, и т. д.). С учетом выдвинутой гипотезы Н0, альтернативной гипотезы Н1 и принятого уровня значимости α Множество всех возможных этой величины разбивают на два подмножества:

A) Множество тех значений K величины К, при которых нулевая гипотеза Н0 принимается (это множество называется Областью принятия гипотезы);

B) Множество тех значений K величины К, при которых нулевая гипотеза отвергается (а следовательно, принимается альтернативная гипотеза Н1). Это подмножество называется Критической областью.

Точки KКр (их может быть одна или несколько), разделяющие область принятия гипотезы Н0 и критическую область, называются Критическими.

Считая сделанную выборку экспериментом, на основании данных этой выборки вычисляют экспериментальное значение KЭксп величины К. И если оно попадет в область принятия гипотезы Н0, гипотезу Н0 Принимают. А если в критическую область – то отвергают.

Заметим, что KЭксп в силу случайности выборки может попасть в критическую область и, следовательно, гипотеза Н0 будет отвергнута несмотря на то, что на самом деле она верна. Тогда будет допущена ошибка 1-го рода – отвергнута правильная гипотеза. Вероятность такой ошибки, то есть Вероятность попадания KЭксп в критическую область, должна быть равна принятому уровню значимости α. Из этого условия, а также из соображений, касающихся возможной симметрии критической области, и находятся критические точки KКр. При этом используется специальная таблица критических точек того распределения, которое имеет выбранный критерий К.

Наоборот, KЭксп может попасть в область принятия гипотезы Н0, когда она неверна. Тогда будет допущена ошибка 2-го рода – принята неправильная гипотеза. Вероятность β такой ошибки обычно неизвестна (она, в отличие от ошибки α, не задается и не контролируется). Не обращая внимание на эту ошибку второго рода, при попадании KЭксп в область принятия гипотезы Н0 эту гипотезу принимают.

А теперь перейдем к некоторым конкретным примерам статистической проверки гипотез.