Передаточная функция замкнутой системы для ошибки

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Для замкнутой
системы существенной характеристикой
является ее ошибка

.
Величину
ошибки можно найти, зная входное
воздействие и передаточную функцию
разомкнутой системы:

,
откуда

.

С учетом
ошибки системы (характеризует точность
управления в системе) вводится
характеристика замкнутой системы,
называемая передаточной функцией
замкнутой системы по ошибке:

.

Передаточная
функция замкнутой системы по ошибке
позволяет определить ошибку управления
в замкнутой системе в том случае, когда
необходимо обеспечить заданное значение
управляемой величины
с заданной точностью. Эта характеристика
замкнутой системы позволяет оценивать
точность обеспечения заданного значения
управляемой величины (точность
управления).

Построение частотных характеристик системы

Структура
обыкновенной линейной системы
автоматического управления всегда
будет состоять из типовых звеньев,
рассмотренных выше. Эти звенья будут
входить в структуру в составе различных
соединений: последовательного,
параллельного, соединения с обратной
связью.

Передаточная
функция системы, состоящей из различных
соединений типовых звеньев, выразится
зависимостью вида

гдеK – коэффициент
усиления системы.

Сомножители
вида
,
стоящие в знаменателе выражения,
соответствуют инерционным звеньям,
входящим в последовательные соединения.
Сомножителив знаменателе соответствуют колебательным
звеньям, соединённым последовательно.
Предполагается, что в системеn
инерционных звеньев иhколебательных звеньев.

Параметр pв знаменателе передаточной функции
появляется при наличии в структуре
системы интегрирующих звеньев. Таких
звеньев может быть в системеν,
поскольку при наличии в системе
интегрирующего звена система становится
астатической, то число интегрирующих
звеньевνназываютстепенью
астатизма системы.

Структура
системы может содержать параллельные
соединения звеньев. Пусть, например, в
системе присутствует параллельное
соединение усилительного и интегрирующего
звена, тогда передаточная функция этого
соединения

.

Из-за присутствия
в системе параллельного соединения
типовых звеньев в числителе передаточной
функции появляются сомножители вида
.
Для обозначения таких сомножителей их
условно приписываютфорсирующим
звеньям первого порядка. Форсирующее
звено первого порядка имеет динамические
свойства, обратные свойствам инерционного
звена. Аналогично, сомножители видаприписывают форсирующим звеньям
второго порядка, свойства которых
противоположны свойствам колебательного
звена.

Таким образом,
передаточная функция обыкновенной
линейной системы будет состоять из
произведений типовых сомножителей.
Поскольку каждый сомножитель соответствует
структурному звену с типовыми динамическими
свойствами, то и динамические свойства
системы в целом будут комбинацией
типовых свойств. Это обстоятельство, в
частности, позволяет упростить построение
частотных характеристик линейной
системы.

Сделав
подстановку
в приведенное выше выражение для
передаточной функции системы, можно
перейти к частотной передаточной функции

модуль которой

Используя
последнее выражение для амплитудной
логарифмической частотной характеристики
системы, можно записать

В соответствии
с последним выражением для нахождения
суммарной амплитудной логарифмической
характеристики системы необходимо
построить ЛАХ для входящих в систему
звеньев, а затем геометрически их
суммировать.

Исходя из
общего выражения для частотной
передаточной функции, можно записать
выражение для фазового угла системы

Сомножители
числителя частотной передаточной
функции обеспечивают положительные
фазовые сдвиги, а сомножители знаменателя
– отрицательные. Фазовая частотная
характеристика системы получается
суммированием фазовых частотных
характеристик составляющих систему
типовых звеньев.

Асимптотическая
ЛАХ строится ещё проще, и ее построение
рассмотрим на примере. Пусть передаточная
функция системы имеет вид

тогда частотная передаточная функция
запишется в виде

а модуль частотной передаточной функции

Логарифмическая
амплитудная характеристика

при этом слагаемое
будет влиять на ход характеристики при,
слагаемоеприи т.д.

Частоты
называются частотами сопряжения. Учет
влияния каждого следующего звена при
построении асимптотической характеристики
ведется для частот, более высоких, чем
соответствующая частота сопряжения,
путем изменения наклона характеристики
на,
в зависимости от знака, стоящего перед
слагаемым (на -20 дБ/дек для инерционного
звена и +20 дБ/дек для форсирующего звена
первого порядка).

В результате суммарная асимптотическая
логарифмическая амплитудная характеристика
для рассматриваемого примера примет
вид, изображенной на рис. 72, где для
определенности принято
.

Если
одно из звеньев системы колебательное,
то на соответствующей ему частоте
сопряжениянаклон характеристики изменяется на(-40 дБ/дек для колебательного звена и
+40 дБ/дек для форсирующего звена второго
порядка).

Общие правила построения асимптотической
ЛАХ линейной системы следующие:

• асимптотическая ЛАХ состоит из
  прямолинейных отрезков, имеющих разный
  наклон к оси частот, кратный 20 дБ/дек;

• низкочастотный участок ЛАХ проходит
  через точку
  и имеет наклон0 дБ/дек для статической
  системы идБ/дек для астатической системы с
  астатизмомνпорядка;

• влияние каждого звена на ЛАХ системы
  учитывается начиная с частоты сопряжения,
  определяемой постоянной времени звена;

• учет влияния звена сводится к изменению
  наклона очередного отрезка ЛАХ на
  частоте сопряжения следующим образом:

• наклон увеличивается на –20 дБ/декдля инерционного звена,

• наклон
  уменьшается на +20 дБ/декдля
  форсирующего звена первого порядка,

• наклон
  увеличивается на –40 дБ/декдля
  колебательного звена,

• наклон
  уменьшается на +40 дБ/декдля
  форсирующего звена второго порядка.

Суммарная
логарифмическая фазовая характеристика
получается суммированием фазовых
характеристик звеньев системы. Для
рассмотренного примера фазовая частотная
логарифмическая характеристика показана
на рис. 73: 1 – ЛФХ интегрирующего звена,
2 – ЛФХ форсирующего звена первого
порядка, 3 и 4 – ЛФХ инерционных звеньев,
5 – суммарная фазовая частотная
характеристика.

Суммарная
фазовая характеристика 5 получена
суммированием ординат (с учетом знака)
фазовых характеристик звеньев. На рис.
73 положительная полуось фазовых углов
направлена вниз.

При построении
частотных характеристик системы замена
действительной ЛАХ асимптотической
ЛАХ для колебательного звена даёт
значительную погрешность при малой
степени успокоения звена. Если для
колебательного звена степень успокоения
выходит за пределы
,
то асимптотическая ЛАХ нуждается в
уточнении. Для этого строится точная
характеристика путем расчета точек по
формулам для колебательного звена (в
пределахдек
от частоты сопряжения). Учесть особенности
характеристики можно также, используя
график поправок для ЛАХ колебательного
звена, который приводится в литературе
по теории управления.

Соседние файлы в папке ТАУ

• #
• #
• #

Продолжаем публикацию лекций по курсу «Управление в Технических Системах» автор — Олег Степанович Козлов на кафедре Э7 МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.
2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 4 Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

Будет как всегда позновательной увлекательно и жестко

5.1. Главная передаточная функция. Передаточные функции по возмущающему воздействию и для ошибки (рассогласования)

Используя структурные преобразования (см. раздел 4), структурную схему практически любой линейной или линеаризованной САР (САУ) можно привести к виду: 

Где функции по времени:

— управляющее  воздействие;

– регулируемая  величина (выходное  воздействие);

– возмущающее  воздействие;

Или в изображениях: 

Определение: Если единичная обратная связь охватывает все элементы (звенья) САР – она  называется главной.

Определение: Если главная обратная связь отсутствует — САР считается разомкнутой.

Передаточная функция может быть любой сложности (т.е. содержать местные обратные связи, параллельные и последовательные цепи и т.д.).

Возмущающих воздействий может быть несколько и приложены они могут быть в любом  месте структурной схемы. 

Передаточную функцию которую  в Теории Управления называют  передаточной  функцией  разомкнутой  САР, будем представлять в  следующем  виде (для единообразия):  

где – общий коэффициент усиления;  – полиномы по степеням переменной , причем свободные члены в них равны 1 (единице). 

Учитывая, что САР линейна или линеаризована, разделим на структурной схеме каналы прохождения управляющего и возмущающего воздействий.  Выделим в отдельное звено (может быть и очень сложное) ту часть системы, через которую проходит возмущающее воздействие обозначим ее через  Структурная схема САР принимает вид:  

где:

В Теории Управления используют 3 основных передаточных функций замкнутой САР: 

•  главная передаточная функция ;

• передаточная функция  по возмущающему воздействию ;

• передаточная функция для ошибки (рассогласования)  

Рассмотрим более подробно вышеупомянутые передаточные функции. 

Главная передаточная функция

Главная передаточная функция -передаточная функция по управляющему воздействию  математическое определение этой передаточной функции:  

выведем формулу при условии если возмущеющие воздействие равно . «Обойдем» структурную схемв по контуру:

Примечание.  Формула (5.3) совпадает с формулой для передаточной функции цепи с местной единичной обратной связью (см. раздел 4 – «Структурные преобразования»).

Подставляя  вместо  ее выражение через полиномы   и    

где:

Анализ выражения (5.4) показывает, что свойства главной передаточной функции замкнутой САР однозначно определяются свойствами разомкнутой САР, т.е. через полиномы и .

Передаточная функция замкнутой САР по внешнему возмущающему воздействию

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействи , а возмущеющие воздействие отличное от нуля . В этом случае (см. рисунок 5.1.2) получается:

Перрейдем к изображением и «обойдем» схему (см. рис. 5.1.2) по контуру

Подставляя  вместо  ее выражение через полиномы   и    получаем:

где: — вид данного полинома зависит от места приложения возмущающего воздействия;

Формулы 5.4 и 5.6 имеют общий занаменатель

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействиt отлично от 0 , а возмущеющие воздействие равно 0 . В этом случае для передаточной функции получается (см. рис. 5.1.2):

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру схемы (см. рис. 5.1.2)

Учитывая формулу для главной передаточной функции можно записать выражения для передаточной функции рассоглаосвания:

Подставляя  вместо  ее выражение через полиномы   и    получаем:

где:

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции  равен полиному следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является  общность знаменателей ! ! !

В Теории Управления выражение  имеет «собственное» название:  характеристический полином  замкнутой  САР.

5.2 Уравнения динамики замкнутой САР

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду представленному на рисунке 5.2.1:

Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР  позволяют записать выражения для регулируемой величины в изображениях:

Подставляя значения  и через полиномы  и  разомкнутой САР  получаем:

подставим значения для характеристического полинома получим выражение для динамического уравнения замкнутой САР в изображениях:

Переходя к оригиналам получаем символическую форму записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР:

Решение диференциального уравнения состоит из двух частей:

где: —  собственная часть, решение однородного дифференциального уравнения ;

— вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения ( 5.2.3 ).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

находим корни степенного уравнения если все корни уравнения разные:

Если есть совпадающие корни характеристического уравнения, то формула для  изменится (см. Математическое описание систем автоматического управления). 

Обычно находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы (например, метод вариаций постоянных). 

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для  рассогласования : 

подставляя значения и (см. 5.6 и 5.9) получаем:

Уравнение (5.2.5)- уравнение динамики замкнутой САР в ихображениях для рассогласования (ошибки) при наличии  управляющего и возмущающего воздействий. 

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически  совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше , т.к. порядок многочленов D (s) и L (s)  — одинаков, а порядок N(s) меньше L(s).

Это означает, что внешние воздействия  и влияют на более сильным  образом.

Дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки:

Способы решения уравнения ( 5.2.6 ) такие же, как и для уравнения ( 5.2.3 ) .                    

5.3. Частотные характеристики замкнутой  САР. 

Наибольший интерес при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию:

где передаточная функция:

Учитывая, что —  комплексное число, по аналогии имеем:

Где — вещественная часть функции, — мнимая часть функиции.

На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P (w)и Q(w) для «какой-то»  замкнутой САР   причем  P(w) —  четная функция, т.е. P(w) = P(-w);  Q(w) —  нечетная функция, т.е. Q(w) = — Q(-w).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР. Воспользуемся показательной формой для АФЧХ

Где — амплитуда (модуль), — сдвиг фазы (фаза).  Подставляя это в (5.3.1), имеем получаем:

Учитывая, что

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем  

Для нахождения амплитуды и сдвига фазы замкнутой передаточной функции как функции от амплитуды и сдвига фазы разомкнутой системы. Разделив (2) на (1)  получим:

Сдвиг фазы замкнутой системы через характеристики разомкнутой системы:

Для получения амплитуды замкнутоей системы возведем оба уравнения системы  (5.3.5) в квадрат:  

складываем эти два уравнения:

Аналогичным образом можно выразить, например, P(w) и Q(w)  —  характеристики замкнутой САР через u(w) и u(w)  —  характеристики разомкнутой САР.

Пример

В качестве примера на рисунке 5.4.1 приведена модель помещения, в котором с помощью интегрирующего звена обеспечивается подвод тепла для поддержания температуры. Температура задается в виде ступенчатой функции. В качестве внешнего воздействия используется внешняя температура.

Передаточные функции построены средтвами автоматического анализа. Видно, что знаменатель главной передаточной функции и знаменатель передаточной функции по возмущающиму воздействию одинаковы.

График справа показывает расхождение результаты модели (зеленая линия) и передаточных функций (синит линя) в начале расчета, но потом функции сходятся. Расхождение объясняются разными начальными условиями по производным. Слева тот же самый график, но в это случае начальное состояние определено с помощю загрузки стационарного состояния, полученного предварительным моделированием. В этом случае совпадение модели и передаточных функций полное.

Ссылку на модель примера можено взять здесь…

Связь передаточных функций и частотных характеристик разомкнутого и замкнутого контуров системы автоматического управления

Передаточные функции находят широкое применение при исследовании систем автоматического управления. Зная передаточную функцию, можно определить временные и частотные характеристики системы. Кроме того, можно определить и изменение регулируемой величины при приложении к системе воздействий произвольной формы.

В зависимости от того, рассматривается ли поведение системы при задающем или при возмущающем воздействии, различают передаточные функции системы по задающему и по возмущающему воздействиям. При этом различают передаточные функции разомкнутых и замкнутых систем.

Рассмотрим понятие передаточной функции системы по задающему воздействию.

Передаточной функцией системы по задающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы X(p)=L[x(t)] к изображению по Лапласу задающего воздействия G(p)=L[g(t)] при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию обозначается через Ф(р) и равна

. (7.10)

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию обозначается через W(p) и равна

, (7.11)

где X_р(p) – изображение по Лапласу выходной величины разомкнутой системы при нулевых начальных условиях.

Передаточной функцией системы по возмущающему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы к изображению по Лапласу возмущающего воздействия F(p)=L[f(t)] при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается через F_f(p) и равна

. (7.12)

Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию обозначается через V(p) и равна

. (7.13)

При определении передаточных функций разомкнутых систем имеется в виду, что рассматривается поведение системы, у которой главная отрицательная обратная связь разомкнута.

Кроме рассмотренных выше передаточных функций, при анализе систем автоматического регулирования очень часто используют передаточную функцию замкнутой системы по ошибке.

Передаточной функцией замкнутой системы по сигналу ошибки называется отношение изображения по Лапласу ошибки к изображению по Лапласу задающего воздействия при нулевых начальных условиях. Она равна

, (7.14)

где E(p)=L[e(t)] – изображение по Лапласу ошибки системы при нулевых начальных условиях.

Определим связь между передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования. Так как структурная схема любой сложной многоконтурной системы с одной регулируемой величиной методами структурных преобразований может быть приведена к схеме одноконтурной системы, то в общем случае структурная схема САУ может быть представлена так, как изображено на рис.7.5,а. Задающее воздействие g(t) приложено ко входу звена с передаточной функцией W₁(p), а возмущающее воздействие f(t) действует на вход звена W₂(p). Разомкнем систему, т.е. отключим выход звена W₂(p) от сумматора. Структурная схема примет вид, изображенный на рис.7.5,б.

Пользуясь правилом структурных преобразований и применяя принцип суперпозиции, так как САУ является линейной, определим передаточные функции разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию при f(t)=0 будет равна

, (7.15)

а по возмущающему воздействию при g(t)=0 будет иметь вид

. (7.16)

Замкнем систему, т.е. вновь подключим выход звена W₂(p) к сумматору (рис.7.5,а).

Рис.7.5. Преобразование структурной схемы САУ

Рассмотрим поведение системы при задающем воздействии и при f(t)=0. Тогда структурная схема САУ примет вид, как показано на рис.7.5,в, а передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию примет вид

. (7.17)

Определим выражение для передаточной функции замкнутой системы по ошибке. Поведение системы рассматривается только при задающем воздействии, а выходной величиной системы является ошибка e (рис.7.5,г). Тогда передаточная функция замкнутой системы по ошибке равна

. (7.18)

Сравнивая выражения (7.17) и (7.18), можно записать

Полученные выражения (7.17), (7.18) устанавливают связь между передаточной функцией разомкнутой САУ и передаточными функциями замкнутой системы соответственно по задающему воздействию и по сигналу ошибки.

Рассмотрим поведение системы только при возмущающем воздействии, т.е. g(t)=0. Тогда структурная схема системы примет вид, изображенный на рис.7.5,д, а передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию будет

. (7.19)

Выражение (7.19) определяет связь между передаточной функцией замкнутой системы по возмущающему воздействию и передаточными функциями разомкнутой системы.

По передаточной функции разомкнутой системы по задающему воздействию можно определить характеристические полиномы и характеристические уравнения системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Передаточная функция W(p) может быть представлена как отношение двух многочленов:

, (7.20)

(7.21)

Многочлен является характеристическим полиномом разомкнутой системы. Таким образом, характеристическое уравнение разомкнутой системы можно получить из многочлена знаменателя передаточной функции W(p) (7.20), заменив переменную и приравняв полученное выражение к нулю, т.е. D_р(s)=0. Следовательно, характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет вид:

. (7.22)

Аналогично может быть получено характеристическое уравнение замкнутой системы. Так как

, (7.23)

то, подставив выражение (7.20) в (7.23), получим

. (7.24)

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

Выражение (7.26) показывает, что характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить по передаточной функции разомкнутой системы. Для этого необходимо просуммировать многочлен числителя и знаменателя передаточной функции W(p), заменить переменную и полученное выражение приравнять к нулю.

Вполне очевидно, что характеристическое уравнение как замкнутой, так и разомкнутой систем имеет одну и ту же степень.

Из выражений (7.17), (7.18) и (7.19) видим, что знаменатели этих выражениий одинаковые. Поэтому характеристическое уравнение замкнутой системы может быть получено по любой из передаточных функций замкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы. Передаточная функция замкнутой системы. Дифференциальное уравнение системы

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Методические указания к практическим занятиям
Оглавление.

2. Передаточная функция разомкнутой системы……………………. 4

3. Передаточная функция замкнутой системы………………………. 4

4. Дифференциальное уравнение системы…………………………….4

5. Структурная схема замкнутой системы…………………………….5

9. Переходная характеристика…………………………………………9

11. Асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ………………………………..11

12. Анализ устойчивости системы методом Рауса – Гурвица……….13

13. Анализ устойчивости системы методом Михайлова…………….14

14. Анализ устойчивости системы методом Найквиста……………..16

15. Анализ устойчивости системы при помощи ЛАЧХ и ЛФЧХ…. 17

16. Запас устойчивости……………………………………………. …20

По заданным нулю и пяти полюсам передаточной функции разомкнутой системы автоматического регулирования выполнить следующие задания:

· Записать функцию разомкнутой системы

· Записать функцию замкнутой системы

· Записать дифференциальное уравнение системы

· Начертить структурную схему замкнутой системы

· Определить АЧХ системы

· Определить ФЧХ системы

· Определить переходную характеристику

· Определить весовую функцию

· Построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ

· Проанализировать устойчивость системы методом Рауса – Гурвица

· Проанализировать устойчивость системы методом Михайлова

· Проанализировать устойчивость системы методом Найквиста

· Проанализировать устойчивость системы при помощи ЛАЧХ и ЛФЧХ

· Определить запас устойчивости

2. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

,

Подставив значения корней и полюсов, получим:

, раскрывая скобки:

.

3. Запишем передаточную функцию для замкнутой системы:

Переход от разомкнутой системы к замкнутой осуществим по формуле: или , подставляя передаточную функцию разомкнутой системы, получим:

, или

.

4. Запишем дифференциальное уравнение для замкнутой системы:

Передаточную функцию можно представить как отклик на воздействие , при этом оператор , учитывая вышесказанное, запишем дифференциальное уравнение:

.

5. Нарисуем структурную схему замкнутой системы:

Структурная схема замкнутой системы представляет собой разомкнутую систему, охваченную отрицательной обратной связью. Разомкнутая система представляет собой каскадное соединение различных звеньев. Учитывая вышесказанное, нарисуем структурную схему замкнутой системы:

.

Где — форсирующее звено;

и — апериодические звенья 1-го порядка;

— колебательное звено 2-го порядка;

— идеальное интегрирующее звено.

6. Амплитудно-частотная характеристика системы:

Передаточная функция системы в частотной области может быть получена заменой на :

В области резонанса:

7. Фазо-частотная характеристика системы

[рад]

В области резонанса:

8. Амплитудно-фазовая характеристика системы:

Найдем реальную и мнимую части передаточной функции. Домножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное выражение

, получим:

:

:

9. Определим переходную характеристику системы:

Переходная характеристика может быть выражена через передаточную функцию системы следующим образом:

, найдя оригинал от , получим:

10. Определим весовую функцию, которая может быть выражена через передаточную функцию следующим образом:

11. Найти и построить асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ:

, запишем в другом виде:

— колебательное звено 2-го порядка.

;

;

;

.

, , , ;

Тогда асимптотическую ЛАЧХ можно разбить на следующие интервалы:

При :

;

При :

;

При :

;

При:

;

При :

;

График асимптотической ЛАЧХ:

12. Проанализируем устойчивость системы методом Рауса — Гурвица:

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения а₀, т. е. при а₀> 0 были положительными.

Рассчитаем определители, если характеристическое уравнение системы

, тогда:

;

;

;

Так как все определители положительны, система устойчива.

13. Проанализируем устойчивость системы методом Михайлова:

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно п квадрантов координатной плоскости, где п — порядок характеристического уравнения.

Вектор совершает поворот на 5 квадрантов, следовательно, система устойчива.

14. Проанализируем устойчивость системы методом Найквиста:

Для устойчивости астатической системы 1-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы не охватывал точку -1+j0.

;

Годограф разомкнутой системы:

Годограф не охватывает точку -1+j0, следовательно, замкнутая система будет устойчива.

15. Анализ устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ:

Для устойчивости системы необходимо, чтобы число переходов ЛФЧХ через при изменении от 0 до было четным, при условии, что ЛФЧХ

Передаточные функции систем автоматического управления

Записанные выше дифференциальные уравнения системы автоматического управления (5.4) и (5.6) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена замкнутая система автоматического управления.

Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от управляемого объекта (УО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического управления.

Управляющее воздействие, которое прикладывается к управляемому объекту, определяется выражением

— передаточная функция управляющего устройства, которая определяется из дифференциального уравнения управляющего устройства (5.2):

Управляемая величина может быть найдена из выражения

—

передаточная функция объекта по

Первая из них определяется из дифференциального уравнения объекта (5.1) при

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений управляемой величины и ошибки при нулевых начальных значениях и возмущающих воздействиях, равных нулю:

— комплексная величина.

в разомкнутой системе:

— оператор дифференцирования.

Учитывая (5.13), формулу (5.15) можно также записать в виде

Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического управления, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Решая (5.12) и (5.17) совместно, получаем для управляемой величины

называется передаточной функцией замкнутой системы. Она устанавливает связь между управляемой величиной и задающим воздействием при равенстве пулю возмущающих воздействий:

называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь

между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий:

при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:

также при пулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений.

раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.12).

когда цепь управления разорвана и автоматическое управление отсутствует.

представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой системы:

)

Он равен сумме полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы (5.13).

Приравнивание нулю характеристического полинома (5.24) дает характеристическое уравнение замкнутой системы;

Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.18) или (5.19):

Полином знаменателя передаточной функции разомкнутой системы С(р) представляет собой характеристический полином разомкнутой системы.

Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и управляемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.

Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев.