Относительная предельная ошибка формула

Абсолютная и
относительная погрешность числа.

В качестве
характеристик точности приближенных
величин любого происхождения вводятся
понятия абсолютной и относительной
погрешности этих величин.

Обозначим через
а приближение
к точному числу А.

Определени.
Величина
называется
погрешностью приближенного числаа.

Определение.
Абсолютной погрешностью

приближенного
числа а
называется
величина
.

Практически точное
число А обычно
неизвестно, но мы всегда можем указать
границы, в которых изменяется абсолютная
погрешность.

Определение.
Предельной абсолютной погрешностью

приближенного
числа а
называется
наименьшая из верхних границ для величины
,
которую можно найти при данном способе
получения числаа.

На практике в
качестве

выбирают одну
из верхних границ для
,
достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку
,
то.
Иногда пишут:.

Абсолютная
погрешность
— это разница между результатом измерения

и истинным
(действительным) значением
измеряемой
величины.

Абсолютная
погрешность и предельная абсолютная
погрешность не достаточны для
характеристики точности измерения или
вычисления. Качественно более существенна
величина относительной погрешности.

Определение.
Относительной погрешностью

приближенного
числа а назовем
величину:

Определение.
Предельной относительной погрешностью

приближенного
числа а назовем
величину

Так как
.

Таким образом,
относительная погрешность определяет
фактически величину абсолютной
погрешности, приходящейся на единицу
измеряемого или вычисляемого приближенного
числа а.

Пример.
Округляя
точные числа А до трех значащих цифр,
определить

абсолютную Dи относительную
δ погрешности полученных приближенных

чисел.

Дано:

А=-13,327

Найти:

∆-абсолютная
погрешность

δ –относительная
погрешность

Решение:

=|А-а|

А=а±.

a=-13.3

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a0

*100%=0.203%

Ответ: =0,027;
δ=0.203%

2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).

Верные знаки числа.

Определение.
Значащей цифрой приближенного числа а
называется
всякая цифра, отличная от нуля, и нуль,
если он расположен между значащими
цифрами или является представителем
сохраненного десятичного разряда.

Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.

Условимся впредь
нули справа записывать, если только они
являются значащими. Тогда, иначе говоря,

значащими являются
все цифры числа а,
кроме нулей слева.

В десятичной
системе счисления всякое число а
может быть
представлено в виде конечной или
бесконечной суммы (десятичной дроби):

где
,
— первая значащая
цифра, m —
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.

Например, 518,3
=,
m=2.

Пользуясь записью

,
введем понятие о верных десятичных
знаках (в значащих цифрах) приближенно-

го числа.

Определение.
Говорят, что в приближенном числе а
формы

n —
первых значащих цифр
,

где i=
m, m-1,…, m-n+1 являются
верными, если абсолютная погрешность
этого числа не превышает половины
единицы разряда, выражаемого n-й
значащей цифрой:

В противном случае
последняя цифра

называется
сомнительной.

При записи
приближенного числа без указания его
погрешности требуют, чтобы все записанные
цифры

были верными. Это
требование соблюдено во всех математических
таблицах.

Термин “n
верных знаков”
характеризует лишь степень точности
приближенного числа и его не следует
понимать так, что n
первых значащих
цифр приближенного числа а
совпадает с
соответствующими цифрами точного числа
А.
Например, у чисел А=10,
а=9,997 все
значащие цифры различны, но число а
имеет 3 верных
значащих цифры. Действительно, здесь
m=0 и
n=3
(находим
подбором).

На практике
отыскание n из

при
известных

и
m требует
решения нелинейного неравенства, что
составляет непростую задачу. Правильный
выбор n возможен
из тривиального линейного равенства
по следующей методике.

Величину

записываем в
виде
,
где 0,05<d≤0,5,
что всегда возможно. Тогда в

неравенство для

коэффициентов
выполняется (d≤1/2), основания степеней
справа и слева одинаковы , поэтому можем
приравнять показатели степеней: s=m-n+1,
поэтому n=m-s+1.

ТЕОРЕМА 1 .
Если положительное приближенное число
а имеет
n верных
десятичных знаков, то для относительной
погрешности

этого числа
справедлива оценка:

где

— первая значащая
цифра числа а.

Доказательство.
Пусть число а
определено
формулой

со знаком +
перед скобкой.
По условию а
имеет n
верных знаков,
следовательно

Тогда

Следствие.
В качестве предельной относительной
погрешности числа а
можно принять

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка вопроса. Виды погрешностей
2 Виды мер точности
3 Предельные погрешности
4 Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере
5 Погрешности арифметических операций
6 Погрешности вычисления функций
7 Числовые примеры
8 Список литературы
9 См. также

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Процесс исследования исходного объекта методом математического моделирования и вычислительного эксперимента неизбежно носит приближенный характер, так как на каждом этапе вносятся погрешности. Построение математической модели связано с упрощением исходного явления, недостаточно точным заданием коэффициентов уравнения и других входных данных. По отношению к численному методу, реализующему данную математическую модель, указанные погрешности являются неустранимыми, поскольку они неизбежны в рамках данной модели.

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.
При построении численного метода в качестве аналога исходной математической задачи обычно рассматривается её дискретная модель. Разность решений дискретизированной задачи и исходной называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или их множества) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации.
Дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Для её решения используется тот или иной численный алгоритм. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате, решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Итак, следует различать погрешности модели, дискретизации и округления. В вопросе преобладания какой-либо погрешности ответ неоднозначен. В общем случае нужно стремиться, чтобы все погрешности имели один и тот же порядок. Например, нецелесообразно пользоваться разностными схемами, имеющими точность 10⁻⁶, если коэффициенты исходных уравнений задаются с точностью 10⁻².

Виды мер точности

Мерой точности вычислений являются абсолютные и относительные погрешности. Абсолютная погрешность определяется формулой

$Delta(tilde a)=|tilde a-a|,$

где $tilde a$ – приближение к точному значению $a$ .
Относительная погрешность определяется формулой

$delta(tilde a)=frac{|tilde a-a|}{a}.$

Относительная погрешность часто выражается в процентах. Абсолютная и относительная погрешности тесно связаны с понятием верных значащих цифр. Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой цифры слева. Например, число 0,000129 имеет три значащих цифры. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины веса разряда, соответствующего этой цифре. Например, $tilde a=9348$ , абсолютная погрешность $Delta(tilde a)=15$ . Записывая число в виде

$9348=9cdot10^3+3cdot10^2+4cdot10^1+8cdot10^0,$

имеем $0,5cdot10^1<Delta(tilde a)<0,5cdot10^2$ , следовательно, число имеет две верных значащих цифр (9 и 3).

В общем случае абсолютная погрешность должна удовлетворять следующему неравенству:

$Delta(tilde a)<0,5cdot10^{m-n+1} ,$

где $m$ — порядок (вес) старшей цифры, $n$ — количество верных значащих цифр.
В рассматриваемом примере $Delta(tilde a)le0,5cdot10^{3-2+1}le0,5cdot10^2=50$ .

Относительная погрешность связана с количеством верных цифр приближенного числа соотношением:

$delta(tilde a)lefrac{Delta(tilde a)}{alpha_m}10^mlefrac{10^{m-n+1}}{alpha_m10^m}lefrac{1}{alpha_m10^{n-1}},$

где $alpha_m$ — старшая значащая цифра числа.

Для двоичного представления чисел имеем $delta(tilde a)le2^{-n}$ .

Тот факт, что число $tilde a$ является приближенным значением числа $a$ с абсолютной погрешностью $Delta(tilde a)$ , записывают в виде

$a=tilde apmDelta(tilde a),$

причем числа $tilde a$ и $Delta(tilde a)$ записываются с одинаковым количеством знаков после запятой, например, $a=2,347pm0,002$ или $a=2,347pm2cdot10^{-3}$ .

Запись вида

$a=tilde a(1pmdelta(tilde a))$

означает, что число $tilde a$ является приближенным значение числа $a$ с относительной погрешностью $delta(tilde a)$ .

Так как точное решение задачи как правило неизвестно, то погрешности приходится оценивать через исходные данные и особенности алгоритма. Если оценка может быть вычислена до решения задачи, то она называется априорной. Если оценка вычисляется после получения приближенного решения задачи, то она называется апостериорной.

Очень часто степень точности решения задачи характеризуется некоторыми косвенными вспомогательными величинами. Например точность решения системы алгебраических уравнений

$AX=F$

характеризуется невязкой

$R=F-Atilde X,$

где $tilde X$ — приближенное решение системы.
Причём невязка достаточно сложным образом связана с погрешностью решения $Delta(X)=tilde X-X$ , причём если невязка мала, то погрешность может быть значительной.

Предельные погрешности

Пусть искомая величина $a$ является функцией параметров $t_1, ldots , t_n in Omega, qquad a*$ — приближенное значение $a$ . Тогда предельной абсолютной погрешностью называется величина

$D(a^*) = suplimits_{(t_1, ldots ,t_n) in Omega } left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| ,$

Предельной относительной погрешностью называется величина $D(a*)/| a*|$ .

Пусть $left|{t_j - t_j^*}right| le Delta (t_j^* ), qquad j = 1 div n$ — приближенное значение $a^* = a(t_1^*, ldots ,t_n^* )$ . Предполагаем, что $a$ — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Тогда, по формуле Лагранжа,

$a(t_1, ldots ,t_n) - a^* = sumlimits_{j = 1}^n gamma_j (alpha )(t_j - t_j^*),$

где $gamma_j (alpha ) = a^{prime}_{t_j}(t_1^* + alpha (t_1 - t_1^*), ldots ,t_n^* + alpha (t_n - t_n^*)), qquad 0 le alpha le 1$ .

Отсюда

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_1 (a^*) = sumlimits_{j = 1}^n b_j Delta (t_j^*),$

где $b_j = suplimits_Omega left|{a^{prime}_{t_j}(t_1, ldots ,t_n)}right|$ .

Можно показать, что при малых $rho = sqrt{{(Delta (t_1^* ))}^2 + ldots + {(Delta (t_n^* ))}^2 }$ эта оценка не может быть существенно улучшена. На практике иногда пользуются грубой (линейной) оценкой

$left|{a(t_1, ldots ,t_n) - a^*}right| le D_2 (a^*),$

где $D_2 (a^*) = sumlimits_{j = 1} left|{gamma_j (0)}right| Delta (t^*)$ .

Несложно показать, что:

$Delta ( pm t_1^* pm , ldots , pm t_n^*) = Delta (t_1^* ) + ldots + Delta (t_n^* )$ — предельная погрешность суммы или разности равна сумме предельных погрешностей.
$delta (t_1^* cdots t_m^* cdot d_1^{* - 1} cdots d_m^{* - 1} ) = delta (t_1^* ) + ldots + delta (t_m^*) + delta (d_1^*) + ldots + delta (d_n^*)$ — предельная относительная погрешность произведения или частного приближенного равна сумме предельных относительных погрешностей.

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Одним из основных источников вычислительных погрешностей является приближенное представление чисел в компьютере, обусловленное конечностью разрядной сетки (см. Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ). Число $a$ , не представимое в компьютере, подвергается округлению, т. е. заменяется близким числом $tilde a$ , представимым в компьютере точно.
Найдем границу относительной погрешности представления числа с плавающей точкой. Допустим, что применяется простейшее округление – отбрасывание всех разрядов числа, выходящих за пределы разрядной сетки. Система счисления – двоичная. Пусть надо записать число, представляющее бесконечную двоичную дробь

$a=underbrace{pm2^p}_{order}underbrace{left(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}+frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+dotsright)}_{mantissa},$

где $a_j={0\1$ , $qquad (j=1,2,...)$ — цифры мантиссы.
Пусть под запись мантиссы отводится t двоичных разрядов. Отбрасывая лишние разряды, получим округлённое число

$tilde a=pm2^pleft(frac{a_1}{2}+frac{a_2}{2^2}+dots+frac{a_t}{2^t}right).$

Абсолютная погрешность округления в этом случае равна

$a-tilde a=pm2^pleft(frac{a_{t+1}}{2^{t+1}}+frac{a_{t+2}}{2^{t+2}}+dotsright).$

Наибольшая погрешность будет в случае $a_{t+1}=1, qquad a_{t+2}=1,$ , тогда

$|a-tilde a|lepm2^pfrac{1}{2^{t+1}}underbrace{left(1+frac{1}{2}+frac{1}{2^2}+dotsright)}_{=2}=2^{p-t}.$

Т.к. $|M|ge0,5$ , где $M$ — мантисса числа $a$ , то всегда $a_1=1$ . Тогда $|a|ge2^pcdot2^{-1}=2^{p-1}$ и относительная погрешность равна $frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t+1}$ . Практически применяют более точные методы округления и погрешность представления чисел равна

( 1 )

$frac{|a-tilde a|}{|a|}le2^{-t},$

т.е. точность представления чисел определяется разрядностью мантиссы $t$ .
Тогда приближенно представленное в компьютере число можно записать в виде $tilde a=a(1pmepsilon)$ , где $|epsilon|le2^{-t}$ – «машинный эпсилон» – относительная погрешность представления чисел.

Погрешности арифметических операций

При вычислениях с плавающей точкой операция округления может потребоваться после выполнения любой из арифметических операций. Так умножение или деление двух чисел сводится к умножению или делению мантисс. Так как в общем случае количество разрядов мантисс произведений и частных больше допустимой разрядности мантиссы, то требуется округление мантиссы результатов. При сложении или вычитании чисел с плавающей точкой операнды должны быть предварительно приведены к одному порядку, что осуществляется сдвигом вправо мантиссы числа, имеющего меньший порядок, и увеличением в соответствующее число раз порядка этого числа. Сдвиг мантиссы вправо может привести к потере младших разрядов мантиссы, т.е. появляется погрешность округления.

Округленное в системе с плавающей точкой число, соответствующее точному числу $x$ , обозначается через $fl(x)$ (от англ. floating – плавающий). Выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность, не большую, чем погрешность представления чисел с плавающей точкой (1). Верна следующая запись:

$fl(abox b)=abox b(1pmepsilon),$

где $box$ — любая из арифметических операций, $|epsilon|le2^{-t}$ .

Рассмотрим трансформированные погрешности арифметических операций. Арифметические операции проводятся над приближенными числами, ошибка арифметических операций не учитывается (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).

Рассмотрим сложение и вычитание приближенных чисел. Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если сумма точных чисел равна

$S=a_1+a_2+dots+a_n,$

сумма приближенных чисел равна

$tilde S=a_1+Delta(a_1)+a_2+Delta(a_2)+dots+a_n+Delta(a_n),$

где $Delta(a_i), qquad i=1,2,...,n$ — абсолютные погрешности представления чисел.

Тогда абсолютная погрешность суммы равна

$Delta(S)=Delta(a_1)+Delta(a_2)+dots+Delta(a_n).$

Относительная погрешность суммы нескольких чисел равна

( 2 )

$delta(S)=frac{Delta(S)}{S}=frac{a_1}{S}left(frac{Delta(a_1)}{a_1}right)+frac{a_2}{S}left(frac{Delta(a_2)}{a_2}right)+dots=frac{a_1delta(a_1)+a_2delta(a_2)+dots}{S},$

где $delta(a_i), qquad i=1,2,...,n$ — относительные погрешности представления чисел.

Из (2) следует, что относительная погрешность суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

$min quad delta(a_k)ledelta(S)le max quad delta(a_k), qquad k=1,2,...,n, quad a_k>0.$

При сложении чисел разного знака или вычитании чисел одного знака относительная погрешность может быть очень большой (если числа близки между собой). Так как даже при малых $Delta(a_i)$ величина $S$ может быть очень малой. Поэтому вычислительные алгоритмы необходимо строить таким образом, чтобы избегать вычитания близких чисел.

Необходимо отметить, что погрешности вычислений зависят от порядка вычислений. Далее будет рассмотрен пример сложения трех чисел.

$S=x_1+x_2+x_3,$

$tilde S_1=(x_1+x_2)(1+delta_1),$

( 3 )

$tilde S=(tilde S_1+x_3)(1+delta_2)=(x_1+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_3(1+delta_2).$

При другой последовательности действий погрешность будет другой:

$tilde S_1=(x_3+x_2)(1+delta_1),$

$tilde S=(x_3+x_2)(1+delta_1)(1+delta_2)+x_1(1+delta_2).$

Из (3) видно, что результат выполнения некоторого алгоритма, искаженный погрешностями округлений, совпадает с результатом выполнения того же алгоритма, но с неточными исходными данными. Т.е. можно применять обратный анализ: свести влияние погрешностей округления к возмущению исходных данных. Тогда вместо (3) будет следующая запись:

$tilde S=tilde x_1+tilde x_2+tilde x_3,$

где $tilde x_1=x_1(1+delta_1)(1+delta_2), quad tilde x_2=x_2(1+delta_1)(1+delta_2), quad tilde x_3=x_3(1+delta_2).$

При умножении и делении приближенных чисел складываются и вычитаются их относительные погрешности.

$S=a_1cdot a_2,$

$tilde S=a_1cdot a_2(1+delta(a_1))(1+delta(a_2))$ ≅ $a_1cdot a_2(1+delta(a_1)+delta(a_2)),$

с точностью величин второго порядка малости относительно $delta$ .

Тогда $delta(S)=delta(a_1)+delta(a_2)$ .

Если $S=frac{a_1}{a_2}$ , то $Delta(S)=frac{a_1(1+delta_1)}{a_2(1+delta_2)}-frac{a_1}{a_2}=frac{a_1(delta_1-delta_2)}{a_2(1+delta_2)}approx frac{a_1}{a_2}(delta_1-delta_2), qquad delta(S)$ ≅ $delta_1-delta_2.$

При большом числе n арифметических операций можно пользоваться приближенной статистической оценкой погрешности арифметических операций, учитывающей частичную компенсацию погрешностей разных знаков:

$delta_Sigma approx delta_{fl} quad sqrt{n},$

где $delta_Sigma$ – суммарная погрешность, $|delta_{fl}|leepsilon$ – погрешность выполнения операций с плавающей точкой, $epsilon$ – погрешность представления чисел с плавающей точкой.

Погрешности вычисления функций

Рассмотрим трансформированную погрешность вычисления значений функций.

Абсолютная трансформированная погрешность дифференцируемой функции $y=f(x)$ , вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента $Delta(x)$ , оценивается величиной $Delta(y)=|f'(x)|Delta(x)$ .

Если $f(x)>0$ , то $delta(y)=frac{|f'(x)|}{f(x)}Delta(x)=left|(ln(f(x)))'right|cdotDelta(x)$ .

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих аргументов $y=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ , вызываемая достаточно малыми погрешностями $Delta(x_1), Delta(x_2), ..., Delta(x_n)$ аргументов $x_1, x_2, ...,x_n$ оценивается величиной:

$Delta(y)=sumlimits_{i=1}^nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Если $f(x_1,x_2,...,x_n)>0$ , то $delta(y)=sumlimits_{i=1}^nfrac{1}{f}cdotleft|frac{partial f}{partial x_i}right|cdotDelta(x_i)=sumlimits_{i=1}^{n}left|frac{partial l_n(f)}{partial x_i}right|Delta(x_i)$ .

Практически важно определить допустимую погрешность аргументов и допустимую погрешность функции (обратная задача). Эта задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной $y=f(x)$ , если $f(x)$ дифференцируема и $f'(x)not=0$ :

$Delta(x)=frac{1}{|f'(x)|}Delta(y)$ .

Для функций многих переменных задача не имеет однозначного решения, необходимо ввести дополнительные ограничения. Например, если функция $y=f(x_1,x_2,...,x_n)$ наиболее критична к погрешности $Delta(x_i)$ , то:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{left|frac{partial f}{partial x_i}right|}qquad$ (погрешностью других аргументов пренебрегаем).

Если вклад погрешностей всех аргументов примерно одинаков, то применяют принцип равных влияний:

$Delta(x_i)=frac{Delta(y)}{nleft|frac{partial f}{partial x_i}right|},qquad i=overline{1,n}.$

Числовые примеры

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.

ПРИМЕР 1. Вычислить все корни уравнения

$x^4 - 4x^3 + 8x^2 - 16x + 15.underbrace{99999999}_8 = {(x - 2)}^4 - 10^{- 8} = 0.$

Точное решение задачи легко найти:

$(x - 2)^2 = pm 10^{- 4},$

$x_1= 2,01; x_2= 1,99; x_{3,4}= 2 pm 0,01i.$

Если компьютер работает при $delta _M > 10^{ - 8}$ , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до $16,0$ и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение $(x-2)^4= 0$ , т.е. $x_{1,2,3,4} = 2$ , что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена $approx10^{-8}$ привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении $approx10^{-2}$ .

ПРИМЕР 2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

$u''(t) = u(t), qquad u(0) = 1, qquad u'(0) = - 1.$

Общее решение имеет вид:

$u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e^t + 0,5[u(0) - u'(0)]e^{- t}.$

При заданных начальных данных точное решение задачи: $u(x) = e^{-t}$ , однако малая погрешность $delta$ в их задании приведет к появлению члена $delta e^t$ , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

ПРИМЕР 3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения:

$stackrel{cdot}{u} = 10u,qquad u = u(t),\ u(t_0) = u_0,qquad t in [0,1].$

Его решение: $u(t) = u_0e^{10(t - t_0 )}$ , однако значение $u(t_0)$ известно лишь приближенно: $u(t_0) approx u_0^*$ , и на самом деле $u^*(t) = u_0^*e^{10(t - t_0)}$ .

Соответственно, разность $u* - u$ будет:

$u^* - u = (u_0^* - u_0)e^{10(t - t_0)}.$

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений $epsilon > 0$ всюду на отрезке $t in [0,1]$ . Тогда должно выполняться условие:

$|{u^*(t) - u(t)}| le varepsilon.$

Очевидно, что:

$maxlimits_{t in [0,1]} |{u^*(t) - u(t)}| = |{u*(1) - u(1)}| = |{u_0^* - u_0}|e^{10(1 - t_0)}.$

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных $delta: qquad|u_0^* - u_0| < delta, qquad delta le varepsilon e^{ - 10}$ при $t_0= 0$ .

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в $e^{10}$ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

ПРИМЕР 4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

является пара чисел ${1, quad 1}$ .

Изменив правую часть системы на $0,01$ , получим возмущенную систему:

$left{ begin{array}{l} u + 10v = 11.01, \ 100u + 1001v = 1101; \ end{array} right.$

с решением ${11.01, quad 0.00}$ , сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность $delta_M = 0,0005$ . Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки $u = 1,001,quad v = 1,002$ , разность которых составляет $Delta = |v_M - u_M| = 0,001$ .

В памяти машины эти же числа представляются в виде:

$u_M = u(1 + delta_M^u), quad v_M = v(1 + delta_M^v)$ , причем $mid delta_M^umid le delta_M$ и $mid delta_M^vmid le delta_M.$

Тогда:

$u_M - u approx udelta_M^u, quad v_M - v approx vdelta_M^v.$

Относительная ошибка при вычислении разности $u_M - v_M$ будет равна:

$delta = frac{(u_M - v_M) - (u - v)}{(u - v)} = frac{(u_M - u) - (v_M - v)}{(u - v)} = frac{delta_M^u - delta_M^v}{(u - v)}.$

Очевидно, что $delta = left|{frac{delta_M^u - delta_M^v}{Delta }} right| le frac{2delta_M}{0,001} approx 2000delta_M = 1$ , т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

ПРИМЕР 6. Рассмотрим рекуррентное соотношение $u_{i+1} = qu_i, quad i ge 0, quad u_0 = a,quad q > 0, quad u_i > 0.$

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на $i$ -м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением $u_i^M = u_i + delta_i$ , тогда вместо $u_{i+1}$ получим $u_{i + 1}^M = q(u_i + delta_i) = u_{i + 1} + qdelta_i$ , т.е. $delta_{i + 1} = qdelta_i,quad i = 0,1,ldots$ .

Следовательно, если $|q| > 1$ , то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае $mid qmid le 1$ погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
http://www.mgopu.ru/PVU/2.1/nummethods/Chapter1.htm
http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/1/4.html

См. также

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008

Источник

СКАЧАТЬ .pdf

О.А. Цыбульский
АО «ПромСервис», г. Димитровград, Ульяновская обл., Российская Федерация,
e-mail:

multimer@list.ru
Приведены формулы для нормирования предельной относительной погрешности прибора. С использованием критерия совокупного показателя точности и диапазона прибора показано преимущество нормирования по расширенной формуле, содержащей три составляющих предельной погрешности: аддитивную, мультипликативную и гиперболическую. Такое нормирование учитывает гиперболическую нелинейность характеристики преобразования, свойственную приборам с параметрическими преобразователями и многим приборам с широким диапазоном измерения, имеющим дробно-линейное (проективное уравнение измерения. Для приборов с широким диапазоном измерения предложено применять расширенную формулу нормирования предельной относительной погрешности измерения.

Ключевые слова: измерение, широкий диапазон, нормирование, полоса предельной погрешности, критерий, плотность вероятности, дробно-линейное (проективное) уравнение измерения, гиперболическая составляющая.

Formulas are given for normalizing the limiting relative error of the device. Using the criterion of the aggregate indicator of accuracy and range of the device, the advantage of standardization is shown by an extended formula containing three components of the marginal error: additive, multiplicative and hyperbolic. Such rationing takes into account the hyperbolic non-linearity of the conversion characteristic inherent in devices with parametric converters and many devices with a wide measuring range having a linear-fractional (projective) measurement equation. For instruments with a wide measuring range, it is proposed to use the extended formula for normalizing the limiting relative measurement error.

Точность прибора в диапазоне измерений нормируют полосой предельной погрешности. При нормировании широкодиапазонных приборов диапазон измерения разделяют на поддиапазоны. В каждом поддиапазоне предельная погрешность задана либо значением мультипликативной составляющей, либо двухчленной формулой, включающей аддитивную и мультипликативную составляющие погрешности. В руководствах по эксплуатации представлены большие таблицы, нормирующие относительные погрешности в каждом поддиапазоне и для каждой модификации прибора. Значения погрешностей и границы поддиапазонов могут задаваться достаточно произвольно. Это осложняет анализ и сравнение результатов измерений прибороводного типа.

С повышением точности измерения и расширением динамического диапазона приборов требуется учитывать нелинейную составляющую полосы погрешности. В [1] отмечено, что «наиболее общим видом формулы текущей относительной погрешности является трехчленная формула».

Формулы для нормирования предельной относительной погрешности прибора.

В настоящий момент для нормирования предельной относительной погрешности прибора в широком диапазоне измерения применяется формула, содержащая две (аддитивную и мультипликативную) составляющие предельной погрешности:

где X, X_н – текущее значение измеряемой величины и нижняя граница диапазона измерений соответственно;
δ_а=Δ_а/X_н – составляющая аддитивной погрешности измерения Δ_а;
δ_м – мультипликативная составляющая.

Существует целый класс измерительных преобразователей, относящихся к параметрическим преобразователям (например, измерительные мосты), предельная относительная погрешность которых описывается формулой с тремя составляющими – аддитивной, мультипликативной и гиперболической [1]. Это связано с тем,что согласно теореме вариации для измерительных цепей характеристика преобразования параметрических преобразователей, к которым относится большинство датчиков, имеет дробно-линейную функцию преобразования. Дробно-линейная функция описывает равностороннюю гиперболу. Даже после линеаризации характеристики параметрического преобразования (например, при введении обратной связи) остаточная нелинейность сохраняется. Остаточная гиперболическая нелинейность включается в суммарную погрешность в качестве погрешности нелинейности характеристики преобразования. Гиперболическая нелинейность характеристики преобразования имеет одну особенность, важную для измерительных приборов. Осуществляемое дробно-линейной функцией преобразование относится к проективным, образующим группу, т. е. «каждую конечную последовательность преобразований можно заменить одним преобразованием этой же группы» [2].

Структурная схема широкодиапазонного измерительного прибора, как правило, состоит из последовательной цепочки линейных преобразователей. Существование в этой цепочке хотя бы одного преобразователя с дробно-линейной характеристикой делает результирующую характеристику также дробно-линейной.

Соответственно, формула нормирования предельной погрешности этого преобразования должна включать нелинейную гиперболическую составляющую.
В работе [3] на примерах преобразователей расхода и калибратора-вольтметра показано, что не только при параметрических преобразованиях, но и в ряде других широкодиапазонных приборов предельную относительную погрешность измерений можно нормировать во всем диапазоне измерений формулой с тремя составляющими погрешности: аддитивной, мультипликативной и гиперболической:

где X_в –верхняя границы диапазона измерений;
δ_г=Δ_г/X_в–составляющая погрешности нелинейности (гиперболической) Δ_г при X=X_в.

Формула (2) содержит в виде частных случаев двухчленное (1) и одночленное представление предельной погрешности, т.е. позволяет осуществлять нормирование всеми применяемыми в настоящее время способами. Одновременнов формуле (2) учтена специфика параметрических и широкодиапазонных приборов, для которых становится существенной погрешность нелинейности. Третья – гиперболическая составляющая предельной относительной погрешности, в отличие от аддитивной и мультипликативной составляющих, нормирует гиперболическую нелинейность функции преобразования прибора.

В работе [3] показано, что для приборов с широким диапазоном измерения формулу нормирования предельной относительной погрешности (2) можно представить в удобном виде:

где δX_н, δX_в–предельные относительные погрешности соответственно в нижней и верхней границах диапазона измерений.
Применение формул (2), (3) позволяет во многих случаях нормировать предельную погрешность прибора во всём диапазоне измерений без поддиапазонов. Для примера сравним табличное нормирование расходомера Прамер-550-D в диапазоне измерений 1–1000 м3/час с нормированием по формуле (2). В таблице приведены значения нормируемых параметров X_н, δX_н, X_в, δX_в расходомера, где строки 1–3 соответствуют табличному нормированию в поддиапазонах, строка 4–нормированию по трёхчленной формуле (2) во всём диапазоне.

Формула нормирования предельной относительной погрешности расходомера Прамер-550-D (в диапазоне 1–1000м3/час) имеет вид

В диапазоне измерения расхода 0,1–100 м3/час получены составляющие полосы предельной относительной погрешности:
δ_а=4,86%; δ_м=0,57 %; δ_г=0,43 %, т.е. в формуле нормирования (4) в явном виде указаны значения основных метрологических параметров прибора:
диапазон измерения и составляющие полосы предельной относительной погрешности. Формула (4) получена аппроксимацией полосы погрешности, заданной табличным способом, по трём точкам:X_н=0,1; δX_н=5 %; X=1; δX=1 %; X_в=100; δX_в=1 %.

Рис. Нормирование предельной относительной погрешности расходомера Прамер-550-D табличным способом и по формуле (2)

Критерий эффективности совокупного показателя точности и диапазона прибора. На рисунке изображены полосы предельной относительной погрешности, заданные табличным способом и по
формуле (2). Нормирование по формуле (2) позволяет более адекватно задать значение предельной относительной погрешности в любой точке диапазона измерения. Для оценки преимущества нормирования с помощью формулы (2) используем критерий Nэфф совокупного показателя точности и диапазона прибора [1]. Для аддитивно-мультипликативной полосы предельной относительной погрешности (1) этот критерий определим как

где D=X_в/X_н – динамический (относительный) диапазон измерений.
Физический смысл критерия N_эфф– количество эффективных (реальных) квантов (делений), на которые данный прибор может разделить диапазон измерений с заданной полосой предельной погрешности, т. е. сколько непересекающихся интервалов предельной абсолютной погрешности последовательно уложатся в диапазон измерений. Это ресурс, которым обладает прибор для проведения измерения, и чем больше N_эфф, тем точнее прибор. Выражение (5) показывает взаимосвязь параметров измерительного преобразования.

При разделении диапазона измерения прибора на поддиапазоны количество эффективных квантов всего диапазона измерений равно сумме эффективных квантов всех поддиапазонов. В случае
D выражение (5) можно представить в удобном для анализа виде

где δX_в≈δ_м, δX_н=δ_а+δ_м – соответственно, предельные относительные погрешности на верхней и нижней границах диапазона измерений.
Поскольку критерий (6) был предложен для полосы предельной погрешности с двухчленной формулой нормирования, то для расчёта числа эффективных квантов шкалы прибора, предельная погрешность которого нормируется по формуле (2) с тремя составляющими погрешности, в работе [4] получено расширенное выражение критерия:

где δX_н≈δ_а+δ_м, δX_в≈δ_г+δ_м–относительные погрешности соответственно на нижней и верхней границах диапазона измерений при условии
D = X_в/X_н 1.

По критерию (7) можно определить более эффективный способ нормирования. Например, при нормировании относительной предельной погрешности расходомера Прамер-550-D табличным способом (см. таблицу) число эффективных квантов N_эфф=267, при нормировании по формуле (2) Nэфф=366. Следовательно, точность при нормировании табличным способом меньше в 366/267=1,371 раз или на 37,1%. Таким образом, применение монотонной функции (2) вследствие большего количества составляющих позволяет более адекватно (без потерь точности и разделения на поддиапазоны) нормировать полосу предельной погрешности, чем табличный метод.

Дробно-линейное уравнение измерения прибора. Полоса предельной относительной погрешности (2) в логарифмическом масштабе имеет U-образный вид (см. рисунок). Увеличение погрешности в верхней части диапазона U-образной полосы предельной относительной погрешности определяется нелинейной (гиперболической) составляющей погрешности. При описании
характеристики преобразования прибора с помощью линейной функции гиперболическую составляющую погрешности по возможности корректируют. Однако если вместо линейного уравнения измерения применять дробно-линейное (проективное) уравнение [4,5], то гиперболическая составляющая будет учтена и её не надо будет корректировать.
В общем случае дробно-линейное (проективное) уравнение измерения имеет вид

где a₀, b₀, b₁ – постоянные масштабные коэффициенты;
Х, Х_оп – измеряемая и опорная величины;
К – выходной код аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

Для перехода от линейного к дробно-линейному уравнению необходимо, чтобы измерительный прибор осуществлял сравнение измеряемого сигнала не с фиксированным опорным сигналом,
формируемым мерой, а с линейной комбинацией опорного и измеряемого сигналов [5]. В этом случае характеристика преобразования вместо линейной функции станет равносторонней гиперболой, а полоса предельной относительной погрешности прибора описываться формулой (2).

Способ преобразования шкалы измерений с целью задания требуемой полосы предельной погрешности с помощью дробно-линейного (проективного) преобразования линейной шкалы измерения
предложен в [5,6]. Способ позволяет более рационально распределить эффективные кванты по шкале измеряемой величины АЦП с линейной шкалой квантования. Увеличение относительной погрешности квантования в нижней части линейной измерительной шкалы является существенным фактором, ограничивающим диапазон измерения.

Применение дробно-линейного (проективного) преобразования позволяет с помощью преобразования линейной измерительной шкалы получить «квазилогарифмическую» шкалу, существенно расширяющую диапазон измерения. При этом полоса предельной погрешности соответствует трёхчлену (2).
Если оставить уравнение измерений линейным, то в зависимости от алгоритма аппроксимации градуировочной кривой, например, минимизации по диапазону абсолютной или относительной погрешности аппроксимации, можно получить полосу погрешности, описываемую одно-, двух- или трёхчленной формулой нормирования. Посчитав количество эффективных квантов, можно убедиться,что наибольшее значение критерия, а значит, и наибольшую точность обеспечивает трёхчленная формула нормирования.

Подтверждение целесообразности применения трёхчленной формулы. Существуют (помимо критерия эффективности) факторы, подтверждающие целесообразность нормирования по трёхчленной
формуле. Количество эффективных квантов ограничено, и это только ресурс, заложенный в прибор. Ресурс надо эффективно применить: распределить кванты по шкале измерений, чтобы оптимизировать информационные, финансовые потери (далее – потери) вследствие погрешности измерений. Для этого требуется дополнительная информация об измеряемой величине: о частоте появления различных значений измеряемой величины, а также о законе изменения плотности вероятности измеряемой величины. Потери при измерении определяются не только погрешностью измерения δХ_i, но и частотой появления значения Х_i. Если вероятность появления значения Х_i близка к нулю, то потери из-за большой погрешности измерения малы и ими можно пренебречь (за исключением особых случаев, когда важно само экстремальное значение). Но если вероятность появления значения Х_i максимальна, то погрешность измерения должна быть минимальна.

Влияние плотности вероятности измеряемой величины на закон изменения предельной погрешности по диапазону измерения подробно исследовано П.В. Новицким в информационной теории измерений [1]. В результате он сделал вывод, что при измерениях в широком диапазоне необходимо применять закон априорного логарифмически-равномерного распределения измеряемой величины:

Согласно выражению (9) оптимальной с информационной точки зрения является шкала с постоянной относительной погрешностью.
Впервые этот закон сформулирован в работе К. Шеннона [7]: в результате общего анализа больших множеств (в общем случае) наиболее характерным законом изменения плотности распределения для больших множеств является логарифмически-равномерный закон распределения.

Гипотезу К. Шеннона о логарифмически-равномерном законе априорного распределения плотности вероятностей экспериментально проверил П. В. Новицкий и подтвердил, что в центральной части широкого диапазона измерений закон можно трактовать, как логарифмически-равномерный. При этом на краях диапазона измерений наблюдалось снижение плотности P(lnX), т. е. закон распределения приближался к логарифмически-нормальному. Именно такой характер распределения с физической точки зрения Шеннон считал наиболее вероятным. Тем не менее, в дальнейшем для упрощения анализа было принято простое логарифмически-равномерное распределение, соответствующее применению шкалы измерения с постоянной относительной погрешностью.Но априори понятно, что предельная относительная погрешность должна возрастать на концах диапазона измерения. Полоса погрешности, нормируемая трёхчленной формулой для предельной относительной погрешности, этой закономерности соответствует.

В настоящее время во многих приборах (например, расходомерах) предельная относительная погрешность так и нормируется постоянной относительной погрешностью. Однако если погрешность на краях диапазона будет выше, чем в центральной части, то количество эффективных квантов станет больше. Вблизи нижней границы диапазона приборов это утверждение выполняется, а вблизи верхней границы, как правило, нет. Конечно, можно игнорировать эту закономерность и нормировать предельную относительную погрешность во всём диапазоне постоянным значением. Это целесообразно для измерительной шкалы с бесконечным количеством эффективных квантов. Но в реальном приборе количество эффективных квантов ограничено, и требование уменьшения погрешности противоречит требованию расширения диапазона измерения. Ресурса прибора не хватает для обеспечения наивысшей точности в наибольшем диапазоне.

Современные приборы обеспечивают большие динамические диапазоны измерений. Например, при выборе расходомера максимальный расход задают ориентировочно в 3–10 раз больше
ожидаемого среднесуточного расхода [8,9]. Учитывают не только возможное превышение максимального расхода над среднесуточным в 2–5 раз, но и увеличение верхней границы дополнительно в 1,5-2 раза с учётом запаса расхода «на вырост». Естественно, вероятность появления больших расходов меньше вероятности среднесуточного расхода. Таким образом, верхняя половина диапазона измерения имеет в среднем малую вероятность использования, а значит в ней допустима погрешность большая по сравнению с погрешностью при среднем расходе. Однако в действительности, все выпускаемые расходомеры имеют наивысшую точность и, соответственно, наибольшие затраты эффективных квантов именно вблизи верхней границы диапазона.

Если предельная относительная погрешность прибора с увеличением верхней границы измерения имеет тенденцию к росту, то ее целесообразно нормировать по формуле (2) с гиперболической
составляющей, поскольку она обеспечивает требуемую форму полосы погрешности. Чтобы формула нормирования (2) задавала наивысшую точность измерения в точке, соответствующей расчётному среднему значению, необходимо соблюдение равенства

Например, при нормировании расходомера Прамер-550-D (см.рисунок) минимальная погрешность измерения согласно (10) соответствует точке .

Ещё один фактор в пользу применения трёхчленной формулы нормирования связан с использованием именно гиперболической составляющей. Как отмечено выше, U-образный вид полосы предельной относительной погрешности достаточно распространён в измерительных приборах:во всех параметрических измерительных преобразователях [1], а также во многих широкодиапазонных приборах [3]. В работах [4,5] показано, что если полоса предельной относительной погрешности измерительного аналого-цифрового преобразования описывается функцией вида (2), то характеристика этого преобразования дробно-линейная функция. Преобразование, описываемое дробно-линейной функцией, изучается в рамках проективной (наиболее фундаментальной) геометрии. Применению в технических дисциплинах геометрических моделей посвящено много работ, например [10–14].

В работе [15] рассмотрена закономерность проявления проективных свойств в характеристике преобразования измерительных приборов при большом динамическом диапазоне преобразования.

Показано, что с увеличением динамического диапазона и изменением полосы предельной относительной погрешности от чисто аддитивной до U-образной изменяется уравнение измерения от линейного к дробно-линейному. Аналогичная закономерность характерна, например, для изобразительного искусства и фотографии при проецировании отображаемого объекта на плоскость картины или фотоплёнки. Согласно теории перспективы с увеличением размера объекта в глубину пространства закономерности евклидовой геометрии при изображении объекта меняются на закономерности проективной геометрии. В алгебраической записи это соответствует переходу от линейного уравнения к дробно-линейному. Это же происходит и с уравнением линейного измерения (аналого-цифрового преобразования) при переходе от узкого к широкому динамическому диапазону измерения. При измерениях также осуществляется проецирование объекта измерения на измерительную шкалу.

В работе [16] показано, что линейное аналого-цифровое преобразование является частным случаем такого дробно-линейного преобразования. Выполнено сравнение характеристик линейного и
дробно-линейного (проективного), построенного на той же линейной элементной базе, аналого-цифровых преобразований. Показано, что дробно-линейное аналого-цифровое преобразование эффективнее линейного и решает задачи оптимизации погрешности квантования, расширения диапазона измерений, снижения разрядности преобразователя. При этом все выражения, критерии, инварианты, справедливые для линейного преобразования, являются частным случаем соответствующих выражений, критериев и инвариантов дробно-линейного преобразования. Это же относится и к формуле нормирования предельной погрешности измерений. Таким образом, формула (2) нормирует полосу предельной погрешности приборов с дробно-линейным (проективным) уравнением измерения и, в частном случае –без гиперболической составляющей, нормирует полосу предельной погрешности приборов с линейным уравнением измерения.

Заключение. Расширенная формула представления предельной относительной погрешности (2) позволяет более качественно (без потерь точности) нормировать полосу предельной погрешности в широком диапазоне измерений. Формула (2) в общем случае соответствует полосе предельной погрешности дробно-линейного (проективного) уравнения измерения. В то время, как формула представления предельной относительной погрешности (1) в общем случае соответствует полосе предельной погрешности линейного уравнения измерения. Линейное уравнение измерения является частным случаем дробно-линейного (проективного) уравнения измерения. Таким образом, чтобы учесть нелинейность характеристики преобразования в полосе погрешности линейного измерительного прибора целесообразно при нормировании предельной относительной погрешности применять расширенную формулу нормирования (2) с тремя составляющими погрешности и использовать дробно-линейное уравнение измерения (8).

Список литературы:

1. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. Л.:Энергия, 1968. 248с.
2. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Москва: Физматлит, 2004.
3. Цыбульский О.А. Погрешность широкодиапазонных измерений//Законодательная и прикладная метрология. 2010.№ 4. С.5–10.
4. Цыбульский О. А. Критерий для обобщенной оценки широкодиапазонного прибора по точности и диапазону измерений // Измерительная техника. 2014. № 5. С. 5–7.
5.Цыбульский О.А. Дробно-линейное уравнение измерений //Измерительная техника. 2017. №5. С. 25–30.
6. Пат. №2618903 РФ / Цыбульский О.А. //Изобретения. Полезные модели. 2017. Бюл.№ 14.
7. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.:Иностранная литература,1963.
8. Николадзе Г.И., Сомов М. А. Водоснабжение. М. Стройиздат,1995.
9. Ионин А. А. Газоснабжение. М.:изд. Лань, 2012.
10. Мазин В.Д. Обобщенная геометрическая модель измерительного преобразования//Междунар. науч.-практ.конф. «175 лет ВНИИМ им. Д.И. Менделеева и национальной системе обеспечения единства измерений», Санкт-Петербург, 14–15 июня 2017. СПб.: Издательство: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений 2017. С. 253.
11. Мазин В.Д. Векторное выражение единицы физической величины//Измерительная техника 2019. № 3. С. 26–29. DOI:
10.32446/0368-1025it.2019-3-26-29
12. Penin A. Analysis of electrical circuits with variable load regime parameters: projective geometry method. 2nd edition. Cham, Springer International Publishing Switzerland, 2016. 417p. DOI https://doi.org/10.1007/978-3-319-28451-4
13. Пенин А .А. Инварианты параметров источников неизменной мощности// Электричество.2018.№ 12.С. 52–63.
14. Пенин А. А., Сидоренко А. Проективная геометрия в электронике, технике и живой природе//Россия и Германия. 2014. Т. 2. № 6. С. 44–49.
15. Цыбульский О.А. Проективные свойства широкодиапазонных измерений // Измерительная техника. 2013. № 1. С. 27–29.
16. Цыбульский О.А. Сравнение характеристик линейного и дробно-линейного (проективного) аналого- цифровых преобразований.// Международный форум «Микроэлектроника-2017». 3-я международная научная конференция «Электронная компонентная база и электронные модули» Сборник докладов. Республика Крым г. Алушта, 02-07 октября 2017 г.// НАНОИНДУСТРИЯ. Спецвыпуск 2018 (82) ТЕХНОСФЕРА, С.344-350

Refe rences

1. Novitskii P. V. Osnovy informacionnoj teorii izmeritel’nyh ustrojstv [Fundamentals of information theory of measuring devices]. Leningrad, Energiy Publ., 1968, 248 p. [In Russ.].
2. Efimov N. V. Higher geometry. Moscow: Fizmatlit, 2004. [In Russ.].
3. Tsybul’skii O.A. Pogreshnost’ shirokodiapazonnykh izmereniI// Zakonodatel’naya i prikladnaya metrologiYA. 2010.№ 4. S.5–10. [In Russ.].
4. Tcybulskii O. A. Measurement Techniques, 2014, vol. 57, no. 5, рр. 479–483. DOI: 10,1007 / s11018-014-0484-2
5. Tsybul’skiy O.A. Measurement Techniques, 2017, vol. 60, no. 5, рр. 443–450. DOI 10.1007/s11018-017-1215-2
6. Pat. No. 2618903 of the Russian Federation / Tcybulskii O. A.//Inventions. 2017. Bull. №14 [In Russ.].
7. Shennon K. Raboty po teorii informatsii i kibernetike.M.:Inostrannaya literatura,1963. [In Russ.].
8. Nikoladze G.I., Somov M. A. Vodosnabzheniye. M. Stroyizdat, 1995.[In Russ.].
9. Ionin A. A. Gazosnabzheniye. M.:izd. Lan’, 2012 [In Russ.].
10. Mazin V.D. Obobshchennaya geometricheskaya model’izmeritel’nogo preobrazovaniya//Mezhdunar. nauch.-prakt.konf. «175 let VNIIM im. D.I. Mendeleyeva i natsional’noy sisteme obespecheniya yedinstva izmereniy», Sankt-Peterburg, 14–15 iyunya 2017. SPb.: Izdatel’stvo: Izdatel’sko-poligraficheskaya assotsiatsiya vysshikh uchebnykh zavedeniy 2017. S. 253. [In Russ.].
11. Mazin V.D. Vektornoye vyrazheniye yedinitsy fizicheskoy velichiny//Izmeritel’naya tekhnika 2019. № 3. S. 26–29. DOI: 10.32446/0368-1025it.2019-3-26-29
12. Penin A. Analysis of electrical circuits with variable load regime parameters: projective geometry method. 2nd edition. Cham, Springer International Publishing Switzerland, 2016. 417 p.
13. Penin A .A. Invarianty parametrov istochnikov neizmennoy moshchnosti// Elektrichestvo.2018.№ 12.S. 52–63. [In Russ.].
14. Penin A. A., Sidorenko A. Proyektivnaya geometriya v elektronike, tekhnike i zhivoy prirode//Rossiya i Germaniya. 2014. T. 2. № 6. S. 44–49. [In Russ.].
15. Tcybulskii O. A. Measurement Techniques, 2013, vol. 56, no. 1, pp 37–40. DOI https://doi.org/10.1007/s11018-013-0155-8
16. Tsybul’skii O.A. Sravneniye kharakteristik lineynogo i drobnolineynogo (proyektivnogo) analogo- tsifrovykh preobrazovaniy.//Mezhdunarodnyy forum «Mikroelektronika-2017». 3-ya Mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsiya «Elektronnaya komponentnaya baza i elektronnyye moduli» Sbornik dokladov. Respublika Krym g. Alushta, 02-07 oktyabrya 2017 g.// NANOINDUSTRIYA. petsvypusk 2018 (82) TEKHNOSFERA, S.344-350 [In Russ.].

Источник

Относительная предельная ошибка формула

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Постановка вопроса. Виды погрешностей

Виды мер точности

Предельные погрешности

Погрешности округлений при представлении чисел в компьютере

Погрешности арифметических операций

Погрешности вычисления функций

Числовые примеры

Список литературы

См. также

Формулы для нормирования предельной относительной погрешности прибора.

А вот еще интересные материалы: