Ошибки при счете у школьников

Одна из важнейших задач обучения школьников математике – формирование у них устных вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных вычислений. Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении. В ФГОС НОО сказано, что, изучая математику, «учащиеся овладевают основами логического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, приобретают необходимые вычислительные навыки» [5].

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание педагогов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования М.А. Бантовой [1], Г.В. Бельтюковой [2], А.В. Белошистой [3], Т.И. Фаддейчевой [4] и многих других.

Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научится достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часто допускают ошибки.

На основе чтения учебно-методической литературы и периодических печатных изданий были выявлены и проанализированы типичные ошибки учеников при устных вычислениях. Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий сложения и вычитания, а также методические приемы их предупреждения и устранения. В концентре «Десяток» возможны следующие ошибки:

– Смешивание действий сложения и вычитания (7+2=5, 6-4=10). Такие ошибки возникают по двум причинам. Первая причина: ученики еще не усвоили самих действий сложения и вычитания или же знаков этих действий. Чаще это происходит потому, что учитель рано стал требовать выполнения арифметических действий без использования счетного материала (палочек, геометрических фигур из набора и т.п.) Для устранения уже появившихся ошибок надо вернуть учеников к работе со счетным материалом. При этом важно, чтобы они сопровождали вычисления словесным рассуждением и соответствующей записью. Вторая причина ошибок в замене одного арифметического действия другим – это недостаточный анализ решаемого примера: при вычислениях ученики больше обращают внимание на числа, чем на знак действия. Поэтому важно с первых уроков обучения вычислениям приучать учеников к тому, чтобы они называли сначала вслух, а позднее про себя, какое арифметическое действие надо выполнить и над какими числами, и только после этого вычисляли результат.

– Получение результата на единицу больше или меньше верного (7+2=8, 9-3=7). Подобные ошибки возникают при присчитывании и отсчитывании чисел 2, 3, 4 по единице с опорой на натуральный ряд. Например, прибавляя к 7 число 2, ученики должны назвать два числа, следующие в ряду за числом 7. Однако бывает, что они первым называют данное число, а не следующее за ним (7, 8) и думают, что они прибавили 2 и что 7+2=8. Для предупреждения таких ошибок полезно, чтобы при присчитывании и отсчитывании по единице назывались промежуточные результаты (7+1=8, 8+1=9, значит, 7+2=9).

– Использование нерациональных приемов. Например, выполняя сложение в случаях вида 3+6, часть учеников вместо приема перестановки слагаемых используют прием присчитывания по единице (по 2, по 3). А это трудно, и ученики часто забывают, сколько единиц они уже прибавили, и сколько осталось прибавить, вследствие чего получают неправильный результат (3+6=8, 3+6=10). Также объясняются ошибки вида 9-7=4. Предупреждению таких ошибок помогает сравнение рациональных и нерациональных приемов вычислений. Так, обнаружив, что некоторые ученики допускают ошибки при решении примеров вида 3+6, учитель спрашивает, как они решали пример (3+1=4. 4+1=5). Затем другие ученики объясняют, как можно решить этот пример быстрее, легче (надо переставить слагаемые 6+3=9). Здесь же ученики указывают, в каких случаях следует переставлять слагаемые (когда к меньшему числу прибавляем большее).

– Запись или называние вместо результата одного из компонентов. Например, 3+5=5, 6-4=6. Такие ошибки возникают преимущественно по невнимательности. Как правило, ученики сами находят ошибку и дают верный ответ. Для предупреждения подобных ошибок важно научить детей выполнять проверку решения путем прикидки результата: при сложении результат должен быть больше каждого из слагаемых (если ни одно из них не равно нулю). При вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого (если вычитаемое не равно нулю). Если эти отношения не выполняются, значит, в вычислениях допущена ошибка. Чтобы научить детей такой проверке надо попутно с вычислениями чаще проводить наблюдения, сравнивая результат с компонентами действий сложения и вычитания. Устранению названных ошибок помогает анализ и обсуждение неверно решенных примеров.

– Смешивания цифр. Например, ученик пишет: 4+2=9, хотя устно называет правильный результат. Для устранения подобных ошибок необходима индивидуальная работа по запоминанию цифр. Пусть ученик нарисует названное учителем число каких-либо предметов и рядом запишет цифрой соответствующее число, пусть найдет в своем наборе названные цифры.

В концентре «Сотня» возможны следующие ошибки:

– Смешивание приемов вычитания, основанных на свойствах вычитание суммы из числа и числа из суммы. Например:

50 – 36=2656 – 30 = 14

50 – 30 = 20 50 – 30 = 20

20 + 6 = 26 20 – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных ошибок. Надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый сделанный шаг:

80 – 27 = 87 – 20=

/ /

20+7 80+7

80 – 20 = 60 80 – 20 = 60

60 – 7 = 53 60 + 7 = 67

В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7. В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.

– Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов, как над числами одного разряда. Например, ученик складывает число десятков с числом единиц (54+2=74), вычитает из числа единиц число десятков (57-40=53). Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42+3=45, 25+4=65, 54+30=57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к 2 десяткам и получили 6 десятков, это неправильно, т.к. единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65. А в третьем примере 3 десятка прибавили к 4 единицам, получили 7 единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки – к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание.

– Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложных примерах на сложение и вычитание. Например: 37+28=64, 58-6=53. Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно к случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

– Неверный результат вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнение лишних операций. Например: 64+30=97, 76 – 20=50. Эти ошибки возникают, как правило, в результате невнимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит, так как получили сумму (97), которая больше каждого из слагаемых (64 и 30). Поэтому в данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания.

– Смешивание действий сложения и вычитания. Например: 36+20=16, 46-7=53. Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников. Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами. Например, ученик выполнил сложение так: 36+20=16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.

Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел, больших ста те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.

Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов, как: прием сравнения, т.е. выявление существенных сходств и различий в смешиваемых приемах для устных вычислений; прием анализа решения примеров для предупреждения смешивания арифметических действий; обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок; учить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку.

Список использованной литературы:

1. Бантова М.А. Ошибки учащихся в вычислениях и их предупреждение // Начальная школа. – 1989. – № 2.

2. Бельтюкова Г.В. Методические ошибки при формировании у школьников вычислительных навыков // Начальная школа. – 1980. – №8.

3. Белошистая А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. – 2001. – №7.

4. Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. – 2003. –№10.

5. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования /Министерство образования и науки Российской Федерации. – М.: Просвещение, 2010. – 41 с.

         Механизмы, симптоматика и структура нарушений формирования счетных

 операций у детей – являются предметом исследований таких научных

дисциплин, как: нейропсихология, нейрофизиология, нейролингвистика,

психология. Разработка и внедрение в педагогическую практику методов и

приемов коррекционной работы по преодолению данных нарушений является

актуальной задачей коррекционной (специальной) педагогики.

В настоящее время совокупность нарушений счетных операций и трудности формирования математических категорий у детей объединены понятием дискалькулия. Дискалькулия – это специфическое нарушение формирования арифметических навыков, которое проявляется в следующем:

-непонимание смысла числа;

-трудности в автоматизации числового ряда;

-слабое усвоение состава числа;

-затруднение в овладении вычислительными операциями.

Эти проблемы проявляются в начале школьного обучения, но в их основе лежит несформированность психических функций, работу над которыми важно начинать ещё в дошкольном возрасте.

При этом у детей с дискалькулией сохраняется способность к выполнению различных операций мыслительной деятельности (анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификация). Трудности ребенка носят избирательный характер и связаны непосредственно с усвоением числового материала.

Отечественные учёные, исследования которых посвящены проблемам диагностики и коррекции нарушений письменной речи (Т. В. Ахутина, Р. И. Лалаева, Н. А. Корнев, А. В. Ястребова, Л. Б. Баряева), в своих работах отмечают, что у детей с проявлениями дискалькулии диагностируется незрелость ряда психических функций, лежащих в основе формирования как языковых способностей, так и счетных операций.

К этим функциям относятся:

-пространственные представления;

-зрительно – моторная   координация;

-оптико – пространственный  гнозис;

-временные и количественные представления;

-пальцевой  гнозопраксис;

-слухо-речевая и зрительная  виды памяти.

Логопеды активно занимаются развитием перечисленных процессов у детей с дисграфией и дислексией. В нашей практике немало случаев, когда дети имеют целый комплекс нарушений формирования школьных навыков: чтения, письма и счёта. Поэтому реализация задач профилактики и коррекции данного нарушения  возможна при организации комплексной работы специалистов: дефектологов, логопедов, психологов.

Эффективность  коррекционно-развивающей работы обеспечивает соблюдение таких принципов, как:

-деятельностный подход. Формирование предпосылок овладения математикой должно проводиться в процессе ведущей деятельности ребенка, преимущественно, игровой, а также предметно-практической и учебной деятельности;

-активность, самостоятельность. Знания и умения могут быть усвоены лишь при активной, самостоятельной деятельности по выполнению определённой системы операций (А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин). Самостоятельные и целенаправленные поиски представляют собой единственный путь удержать внимание на сложной умственной деятельности, вызывают интерес и формируют мотивационно – волевую сферу ребёнка;

-дифференцированный подход. Процесс профилактики принципиально зависит от того, какие слабые звенья психического развития выявляются у ребенка и какова степень их нарушения. Корригирующие воздействия требуют индивидуального подхода в работе с ребёнком, оценки и контроля динамики его развития;        

-сочетание предметно-практических и символико-моделирующих видов деятельности.

Формирование счётных операций осуществляется по следующим стадиям: конкретные действия, их символический перевод. Формирование математических умений проходит следующий путь: понятие числа – счётные операции – решение  задачи. При этом выделяются два основных понятия, которые создают базис для овладения числом: «сохранение» целого и «сериация» элементов. После того как ребёнок овладеет умением выполнять сериацию и понимать принцип «сохранения», можно приступать к символизации процесса вычислений (Р. И. Лалаева, А. Гермаковска).

-опора на разные анализаторы и межанализаторные связи;

-поэтапное формирование умственных действий.

На основе теории формирования умственных  действий (П. Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина) выделяются следующие этапы формирования математических действий: материализованная форма, основанная на восприятии и конкретных действиях; выполнение действий в речевом плане, при этом конкретные предметы и ситуации замещаются дидактическим материалом. Заключительный этап – выполнение математических действий в умственном плане.

Работа по профилактике и коррекции дискалькулии направлена на развитие психических процессов, лежащих в основе формирования счёта и счётных навыков.

1) Развитие пальцевого гнозопраксиса.

Способность к количественным оценкам  связана с умением различать собственные пальцы. Дети, как правило, начинают осваивать арифметику через счет на пальцах. Для этого нужно установить соответствие между своими пальцами и пересчитываемыми предметами. Дети, страдающие так называемой пальцевой агнозией (синдромом Герштмана), путаются в собственных пальцах: например, они не могут найти у себя на руке палец, названный или показанный на своей руке учителем.  

Известно, что принятой практикой в начальных классах общеобразовательных школ является запрет учителя использовать учащимся счет на пальцах. Это верно для тех детей, у которых уже сформированы конкретные представления о числе и счётных операциях.  Ребенку, который не имеет достаточной основы для перехода к отвлеченному счёту, целесообразно разрешить использовать  пальцы в качестве счетного материала.

При овладении счётом на начальных этапах большую роль играют внешние действия с использованием движений пальцев, которые позволяют материализовать процесс счёта, тем более и десятичная система счисления связана с количеством пальцев на руках. Исследования показывают, что у детей с нарушениями ручной моторики задерживается овладение счётом и счётными операциями.

В работе по развитию пальцевого гнозопраксиса можно выделить следующие направления:

-развитие кинестетической основы движений. Детям предлагается по подражанию воспроизвести то или иное положение пальцев рук;

-развитие динамической организации и координации движений: пальчиковые игры с речевым сопровождением либо без речевого сопровождения («Игра на рояле», «Шарик надувается», «Бутон распустился», «Птичка пьёт водичку», «Весёлые маляры», «Лесенка», «Пальчики здороваются»);

-пересчёт пальцев, соотнесение их количества с числом и цифрой; определение недостающего количества пальцев до 5, до 10; счет пальцев с закрытыми глазами.

2) Упражнения, направленные на развитие зрительного гнозиса,   зрительно-пространственных ориентировок, зрительно-моторной координации:

• Восприятие и дифференциация по форме, величине, цвету и другим признакам.
• Нахождение аналогичных геометрических фигур и изображений.
• Составление картинок из частей.
• Дифференциация по признакам: высокий – низкий; широкий – узкий; длинный – короткий и т. д.
• Классификация изображений и геометрических фигур по двум признакам.
• Уточнение схемы тела (правая – левая рука, правое – левое ухо, правый – левый глаз).
• Установление пространственных отношений между предметами, их вербализация: право, лево, над, под, перед, после, между.
• Ориентировка в пространстве по словесной инструкции.
• Игра «Что и где?» (Ребенок по словесной инструкции педагога ищет спрятанную в кабинете игрушку), затем роль ведущего выполняет ребёнок.
• Выполнение пространственно организованных движений: без показа, только по словесной инструкции; выполнение движений по словесной инструкции с показом движений, который не совпадает со словесной инструкцией.
• Ориентация на листе бумаги: графические диктанты; лабиринты; зашумленные рисунки, изображения с пропущенными деталями.
• Передача пространственных отношений при рисовании сюжетных картинок (по образцу, по словесной инструкции).

3) Упражнения, направленные на развитие сукцессивных функций.

Овладение математическими  умениями и навыками осуществляется  на основе сукцессивного (последовательного) и симультанного (одновременного) анализа и синтеза. Представления о порядке следования чисел требуют сукцессивного анализа. Понятие структуры числа связано со сформированностью как симультанных, так и сукцессивных процессов. При развитии этих процессов важно опираться на восприятие разных анализаторов.

1) Зрительное восприятие:

• работа по  восприятию, запоминанию, воспроизведению последовательностей предметов, их изображений, геометрических фигур;
• распределение объектов  по величине, длине, цвету, форме и по другим признакам.

2) Речеслуховое восприятие:

• выполнение заданий по речевой инструкции: последовательное рисование геометрических фигур (пробы Рея), повторение  серий слов и цифр с постепенным увеличением объёма ряда;
• воспроизведение автоматизированных рядов (времён года, дней недели, месяцев, времени суток);
• повторение предложений; выполнение движений, звуковых, графических ритмов.

При реализации данного направления работы целесообразно использовать следующие игровые упражнения: «Расставь правильно» (подбор предметов по размеру, по формам, по цвету); «Продолжи узор»; «Придумай и сложи узор из 3 — 4 фигур»; «Повтори движения»; «Мастер физкультминутки» (ребенок сам придумывает и презентует упражнения из 3-4 движений/короткую серию упражнений); игры на повторение музыкальных ритмов на металлофоне, на барабане; повторение рядов звуков, слогов, слов; игра «По порядку становись!» (ребенок внимательно слушает ряд чисел, предложенных педагогом: 2,4,6…;  10,9,8…; 1,3,5…и по команде продолжает его самостоятельно, либо находит ошибки, сознательно допущенные взрослым).

4) Упражнения, направленные на формирование количественных представлений.

Британский нейрофизиолог Брайан         Баттерворд в статье, посвященной проблеме дискалькулии, отмечает, что        дети, страдающие дискалькулией, не понимают смысла чисел: «…их мозг не может установить соответствие между числом и его величиной (представлением о количестве)». Психологи, изучающие умственное развитие детей, на основе многочисленных экспериментов и наблюдений пришли к выводу, что первоосновой арифметических способностей является умение автоматически, «на глаз» оценивать количество объектов в множествах.

 Дети уже  в раннем возрасте способны различать множества с небольшим количеством объектов (до трех). Взрослые, как правило, мгновенно (без подсчета) оценивают множества, содержащие до пяти объектов. Если объектов больше, для определения их точного количества требуется подсчет, но нормальный человек, как правило, с одного взгляда понимает, в каком множестве объектов больше, а в каком меньше. При дискалькулии эта способность отсутствует. Например,  ребенок, не имеющий нарушений развития предпосылок счетных операций, сразу видит, какая из двух игральных карт старше — пятерка или восьмерка. Ребенку, страдающему дискалькулией, чтобы это понять, приходится старательно пересчитывать значки на обеих картах.

Для стимуляции развития количественных представлений у детей полезно использовать следующие виды работы:

• Автоматическое определение количества предметов на глаз без их пересчёта. Это могут быть предметы, изображённые на картинках, геометрические фигуры, монеты, символические знаки, разные по величине, по-разному расположенные. Важно натренировать ребёнка в определении множества в пределах 5 на глаз, сравнении множеств на глаз, выделении заданного количества предметов из множества.
• Пересчёт предметов, их изображений, геометрических фигур, слов, звуков, движений и соотнесение с числом и цифрой. Сравнение двух множеств, установление отношений один – много, много – мало, одинаково – столько же – поровну.
• Измерение предметов при помощи единиц длины; определение массы предметов с помощью весов с гирьками. Сравнение 2-3 предметов по весу, по размеру, длине с помощью измерительных приборов и на глаз.

Эти упражнения являются профилактическими для детей дошкольного возраста и коррекционными для школьников с дискалькулией. К сожалению, современная коррекционная педагогика не имеет эффективных программ по работе с этим нарушением.

Последние годы предпринимаются попытки создания и использования   компьютерных программ, нацеленных на тренировку вычислительных навыков у детей с дискалькулией британскими  учёными. Например, при работе с программами The Number Race и Graphogame-Math ребенок должен определить, какое из двух изображенных на экране множеств содержит больше объектов, а программа сообщает, верен ли ответ. Эффективность этих программ изучалась в ходе строгих экспериментов со всеми необходимыми контролями. Оказалось, что 6–7-летние дети с пониженными математическими способностями, игравшие в эти игры по 10–15 минут ежедневно в течение трех недель, стали намного лучше справляться с заданиями по сравнению чисел. К сожалению, эффект не распространился на другие типы арифметических заданий, такие как счет или сложение.

Наш опыт работы по коррекции дискалькулии показывает необходимость

комплексного подхода, который включает в себя как коррекцию психических функций, лежащих в основе формирования счёта и счетных операций, так и непосредственную работу с числовым материалом. Поэтому большое внимание уделяется вопросам:

-образование числа;

-определение места числа в числовом ряду;

-состав числа;

-соотнесение числа и цифры;

-автоматизация числового ряда в прямом и обратном порядке

(в пределах 10);

-порядковый счёт;

-операции сложения и вычитания на конкретном материале;

-перенос конкретного способа действия в умственный план;

-решение примеров с неизвестными компонентами;

Перечисленные задачи решаются в пределах изучаемого числа с учётом имеющихся знаний ребёнка. Так, если в процессе диагностического обследования выявляется, что ребёнок имеет твёрдые представления о числе и счете до 3, то работа начинается с числа и цифры 4 и далее до 10. Большое внимание уделяется закреплению материала. На этом этапе эффективно включение разнообразных упражнений: цепочки примеров; примеры с окошками; заполнение таблиц, башенок, лесенок ответами к данным примерам; шифровка слов; штриховка рисунков цветами, соответствующих заданным числам; решение разных видов простых арифметических задач. В процессе коррекции дискалькулии необходимо формировать в развёрнутом виде психологическую структуру счётных операций с учётом следующих этапов:

1. Выполнение математических действий в материализованной форме, основанное на восприятии конкретных предметов и действий с ними.

2. Выполнение действий в речевом плане, при этом конкретные предметы и ситуации замещаются дидактическим материалом (палочки, жетоны, фишки).

3. Постепенный переход умозаключений, основанных на конкретном мышлении, в абстрактную форму, при этом предполагается использование вспомогательных приёмов в виде памяток, схем, алгоритмов действий.

4. Выполнение арифметических действий в умственном плане с постепенным сокращением речевого комментирования.

5. Автоматизация арифметического действия, переход его в навык.

Процесс перехода от конкретного способа действия к отвлечённому особенно труден для ребенка с дискалькулией. Поэтому важно познакомить с разными приёмами вычислений: прибавить и отнять 1-это значит назвать последующее или предыдущее число; (а+/-2) — можно выполнить путём присчитывания по 1; (а+/-3,4,5) -на основе знания состава числа; (а+/-6,7,8,9) с использованием переместительного свойства сложения.

Если, не смотря на все усилия, перенос действия в умственный план остаётся затруднительным, не стоит отказываться от конкретного материала. После проведенной работы использование пальцев будет более  автоматизированным, можно предложить ребенку линейку и, в крайнем случае, калькулятор. Такие случаи трудно корригируемых нарушений встречаются крайне редко, но они возможны, и в этой ситуации следует облегчить  жизнь ребенка в математике и разрешить ему пользоваться техническими средствами.                      

Если счётные навыки в пределах 10 усвоены прочно, можно переходить к работе над нумерацией и вычислительными действиями в пределах 20. Эту работу следует проводить по методике обучения математике М. И. Моро, Г. В. Бельтюковой. Автоматизированное овладение вычислительными навыками в пределах 20 с переходом через десяток является достаточной основой для усвоения письменных вычислительных приёмов.

Необходимо отметить, что организация процесса освоения детьми с дискалькулией арифметических операций на всех этапах обязательно включает работу по оптимизации предпосылок формирования математических представлений (ряда психических процессов, регулятивных функций, аналитико-синтетической деятельности).

Каждый учитель в процессе своей педагогической деятельности встречает немало учащихся, которые испытывают трудности при усвоении учебного материала. Без выявления причин этих трудностей, носящих в значительном числе случаев психологический характер, невозможна эффективная работа по их преодолению и, в конечном итоге, повышение школьной успеваемости.

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Выбранная тема «Способы преодоления трудностей при формировании вычислительных навыков на уроках математике» актуальна т. к. формирование вычислительных навыков – одна из важных и сложных задач в курсе математики, решение которой осуществляется путём применения в процессе обучения различных заданий.

Цель: повышение уровня развития вычислительных навыков учащихся начальных классов.

Задачи:

• изучить приёмы и методы работы с учащимися для формирования вычислительных навыков;
• рассмотреть способы преодоления трудностей при формировании вычислительных навыков;
• разработать задания для формирования вычислительных навыков.

ГЛАВА 1. ФОРМИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

1.1. Понятие «вычислительный навык» и этапы его формирования

Формирование у школьников вычислительных навыков остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс обучения математике. Вычислительный навык — это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Этапы работы над вычислительным приемом.

Полноценный вычислительный навык характеризуется такими качествами, как правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность.

В методике работы над каждым приемом можно предусмотреть ряд этапов.

I. Подготовка к введению нового приема.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей прием.

II. Ознакомление с вычислительным приемом.

На этом этапе ученики усваивают суть приема, какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно.

III. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.

В процессе работы здесь важно предусмотреть ряд стадий в становлении у учащихся вычислительных навыков:

а) на первой из них закрепляется знание приема;

б) на второй – происходит частичное свертывание выполнения операций;

в) на третьей — происходит полное свертывание выполнения операций.

Овладение учащимися вычислительными навыками достигается в результате достаточного числа тренировочных упражнений. Важно, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме, чтобы при этом предусматривались аналогии в приемах и в соответствии с ними предлагались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении.

Таким образом, вычислительные навыки успешно формируются у учащихся при создании в учебном процессе определённых условий: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев — запомнить результаты наизусть.

1.2. Трудности в овладении вычислительным навыком

Формирование вычислительных умений и навыков — сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

Анализируя программу по математике в 1-4-ом классах, видим, что важнейшими вычислительными умениями и навыками являются:

— умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами;

— применять законы сложения и умножения к упрощению выражений;

— определять порядок действий при вычислении значения выражения.

Большое количество учащихся не владеют данными вычислительными навыками, допускают различные ошибки в вычислениях. Среди причин невысокой вычислительной культуры учащихся можно назвать:

— низкий уровень мыслительной деятельности;

— отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;

— отсутствие надлежащего контроля за детьми при подготовке домашних заданий со стороны родителей;

— неразвитое внимание и память учащихся;

-недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной школы;

— отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.

На уроках математики используются следующие приемы, направленные на преодоление причин возникновения ошибок:

1) игры, игровые моменты и занимательные задачи;

2) тесты «Проверь себя сам»;

3) математические диктанты;

4) исследовательские работы;

5) творческие задания и конкурсы.

Часть приемов может применяться при работе со всем классом, часть, направленная на развитие внимания, памяти и мышления, может подбираться для группы учеников по результатам тестирования. Главное, что работа в классе на каждом уроке должна выполняться всем классом, а не учителем и группой успевающих учеников. То есть необходимо создать такую ситуацию — ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса. Ведь одна из задач учителя заключается не в доказательстве незнания или слабого знания ученика, а во вселении веры в ребенка, что он может учиться лучше, что у него получается. Нужно помочь ребенку поверить в собственные силы, мотивировать его на учебу.

Выводы по главе:

Для успешного обучения математике учитель должен хорошо изучить состав учащихся, выявить причины трудностей каждого ученика, особенности его поведения, определить его потенциальные возможности, с тем, чтобы наметить пути включения его во фронтальную работу класса с учетом его психофизических особенностей развития. Это даст возможность правильно осуществить дифференцированный и индивидуальный подход к учащимся, наметить пути коррекционной работы, т.е. обеспечить их всестороннее развитие.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРЕОДОЛЕНИЯ ЗАТРУДНЕНИЙ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

2.1. Организация практической работы по формированию вычислительных навыков у учащихся

В процессе формирования вычислительных навыков необходимо учитывать психологические особенности детей младшего школьного возраста.

Внимание — важное и необходимое условие эффективности всех видов деятельности человека, прежде всего трудовой и учебной. По характеру происхождения и способам осуществления выделяют два основных вида внимания: непроизвольное и произвольное. Непроизвольное внимание возникает и поддерживается независимо от сознательных намерений человека. Произвольное внимание – это сознательно направленное и регулируемое сосредоточение. Произвольное внимание развивается на основе непроизвольного.

У младших школьников произвольное внимание развито слабо. Поэтому важную роль в организации обучения в младших классах играет непроизвольное внимание. Детей привлекает всё яркое, необычное, занимательное. Однако строить учебно-воспитательный процесс только на основе непроизвольного вида внимания нецелесообразно. В школьной практике необходимо сочетать произвольное и непроизвольное внимание, опираясь на непроизвольное, воспитывать произвольное.

Необходимо использовать упражнения, тренирующие основные свойства внимания: объём, распределение, концентрацию, устойчивость и переключение.

Упражнение на распределение внимания.

1. В таблице расположены числа от 1 до 25. Покажи и назови все числа в порядке увеличения/уменьшения.

2) В таблице расположены числа от 1 до 25. Некоторые числа пропущены. Назови числа, которых нет в таблице.

Упражнение на усиление слухового внимания.

1. Арифметический диктант. «Даны два числа: 15 и 23. первую цифру второго числа прибавьте к первой цифре первого числа, отнимите от полученного числа 2, а теперь прибавьте 6. Пишите»
2. Отгадай число. «Загадай число, прибавь к нему 5, теперь отними 2, отними то число, которое задумал, и умножь на 4.У тебя получилось 12»

Упражнение для развития произвольного внимания и координации в пространстве

1. «Графический диктант»,
2. «Выполнение узора по образцу».

Упражнение «Магический квадрат»

1. Заполнить недостающие числа в магических квадратах.
2. В квадрате 2 числа поменяли местами. Найти, какие числа переставили.
3. Получить новый квадрат, увеличив каждое число на 2.
4. Составить свой магический квадрат.

При формировании вычислительных навыков следует учитывать развитие мышления у младших школьников.

Мышление – это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия нового, процесс сосредоточенного и обобщенного отражения действительности в ходе его анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.

Процесс мышления – это, прежде всего анализ, синтез и обобщение, сравнение, классификация. Развитию процессов мышления способствуют следующие упражнения:

1. Переложи 2 палочки так, чтобы получился флажок

1. Разложи двузначные числа на два числа, одно из которых уже дано.

63= 32+? 32= 19+? 22= 9+? 39=15+? 28=16+?

1. Буквой А обозначена одна и та же цифра. Найди её

3АА

+

1АА

А 1 0

1. Проанализируй закономерность и поставь вместо знака вопроса нужное число

8 17 5 12 ? 16 10 11 9

Различают следующие виды мышления:

• Наглядно-действенное;
• Наглядно-образное;
• Отвлеченное (теоретическое).

У учащихся 1 класса в большей степени имеется наглядно-образное и наглядно-действенное мышление. Поэтому вся работа на уроках строится с опорой на демонстрационный и раздаточный счётный материал: основная тема 1 класса – состав чисел первого десятка и таблица сложения в пределах

10. При этой работе использую абак.

Это пособие позволяет первоклассникам не только производить сложение и вычитание, но и сравнивать числа.

Память – важнейшая, определяющая характеристика психологической жизни личности. Она обеспечивает единство и целостность человеческой личности. Памятью называют запоминание, сохранение и последующее воспроизведение индивидом его опыта. В памяти различают такие основные процессы: запоминание, сохранение, воспроизведение и забывание.

Приведённые ниже упражнения рекомендуются для занятий со школьниками, имеющими низкий уровень развития памяти. Поскольку абстрактный образ запомнить сложнее, то первоочередной задачей является возможность научить детей преобразовывать эту информацию в конкретную зрительную форму.

Упражнение «Запоминание чисел»

(каждой цифре присваивается свой визуальный код)

Ноль – круг

Один – столб

Два – пара ботинок

Три — треугольник и т. д.

2х2=4 (пара ботинок мамы и пара ботинок папы стоят на квадратном коврике)

Упражнение «Фигуры»(тренировка зрительной памяти)

Дети в парах. Один раскладывает на столе фигуры из спичек, другой смотрит 1-2 се, потом повторяет такую же фигуру.

Упражнение на развитие зрительной памяти

Запомните ряд чисел в предложенном порядке, а затем ответьте на вопросы:

• 2 3 10 15 4 6
  • Какие из предложенных чисел дают в сумме 5?
  • Сколько чётных чисел?
  • Каких чисел больше, однозначных или двузначных?
  • Сколько цифр делятся только сами на себя?

Центральная тема курса математики 3 класса – изучение табличного умножения и деления. Современная методика требует, чтобы дети не только выучили таблицу наизусть, но и поняли принципы её составления. Для того чтобы, сформировались прочные навыки табличного умножения и деления, необходимо, как известно, многократное повторение одних и тех же операций. Чтобы избежать однообразия в шлифовке таблицы я провожу упражнения в игровой, занимательной форме.

Игра «Живые цифры»

Учащимся раздаются карточки с цифрами от 0 до 9 (каждому по 1 цифре). Ведущий задаёт пример на таблицу умножения, дети решают, выходят к доске и составляют ответ из цифр.

Игра «Мальчики – девочки»

На карточках записаны примеры. Обратная сторона карточек раскрашена в зелёный или красный цвет. Учитель берёт карточку, показывает пример классу и переворачивает обратной стороной. Если карточка красного цвета, ответ хором говорят девочки, если зелёного – мальчики.

Упражнение «Сказочные примеры»
Заучивание таблицы умножения многим детям даётся с трудом для детей и их родителей я подготовила памятку:

Памятка « Особый вид зубрёжки»

• Повтори про себя
• Подожди 1 секунду и повтори снова
• Подожди 2 секунды и повтори снова
• Подожди 3 секунды и повтори снова
• Повтори через 10 минут
• Повтори через 2 часа
• Повтори через 2 месяца

2.2. Реализация заданий, направленных на формирование вычислительных навыков у младших школьников

Целью формирующего этапа опытно-экспериментальной работы явилась разработка и использование на уроках математики проблемных заданий, направленных на формирование вычислительных навыков у младших школьников.

Подобранные проблемные задания, используемые нами на уроках, были разнообразны по содержанию и способам решения. Они стимулировали активную умственную деятельность учащихся, способствовали прочному и осознанному формированию вычислительных навыков, были нацелены на формирование у младших школьников таких приёмов умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение.

Совокупность проблемных заданий

При рассмотрении сущности и особенностей проблемного обучения видим, что организация такой технологии действительно способствует развитию:

— умственных сил учащихся (противоречия заставляют задуматься, искать выход из проблемной ситуации, ситуации затруднения),

— самостоятельности (самостоятельное видение проблемы, формулировка проблемного вопроса, проблемной ситуации, самостоятельность выбора плана решения),

— творческого мышления при знакомстве с вычислительными приёмами (самостоятельное применение знаний, способов действий, поиск нестандартного решения). Оно вносит свой вклад в формирование готовности к творческой деятельности, способствует развитию познавательной активности, осознанности знаний, предупреждает появление формализма, бездумности, что способствует формированию прочных вычислительных навыков.

Приведём примеры создания разных проблемных заданий, способствующих формированию вычислительных навыков.

Проблемные задания с «удивлением». Задания, предъявляющие противоречивые факты.

Урок по теме «Порядок действий в выражениях, содержащих скобки».

Через решение проблемного задания вводится понятие «скобки». По учебнику учащиеся выполняют вычисления по двум различным программам, приводящим к одинаковым выражениям, но имеющим разные результаты.

Задание 1: Выполните вычисление по следующей программе:

1. Из числа 8 вычесть 3.

2) К полученной разности прибавить 4

Задание 2: Выполни вычисление по следующей программе:

1) К числу 3 прибавь число 4.

2) Из числа 8 вычесть полученную сумму.

Учитель предлагает сравнить два получившихся выражения.

В одном номере получается, что 8-3+4=9, в другом номере значение того же выражения равно 8-3+4=1 (предъявление двух противоречивых фактов). Ученики испытывают удивление (возникает проблемная ситуация). Далее учитель разворачивает побуждающий диалог.

Задания, ведущие к столкновению мнений.

Урок по теме «Деление нуля и невозможность деления на нуль». Детям предлагается вспомнить правила умножения нуля и на нуль. 0·а=0 и а·0=0

Задания на столкновение житейских и научных представлений.

Урок по теме «Конкретный смысл действия умножения».

Звездочки можно считать по одной, а можно по частям. Как? Запиши решение.

Вводится новый вид ситуаций, которые в дальнейшем будут решаться с помощью умножения. Выясняется, что, конечно, можно пересчитать все звездочки по одной. Но так действовать могут первоклассники. Обычно, взрослые люди стараются поменьше пересчитывать руками, а почаще работать головой, используя действия с числами. Вот и здесь можно посчитать руками не все звездочки, а только их часть. Но как?

Возникает проблемная ситуация. Далее учитель разворачивает побуждающий диалог

Выполняется счет, а затем записывается решение.

Проблемные задания, вызывающие затруднение.

Невыполнимое практическое задание.

Урок по теме «Конкретный смысл действия умножения».

Учащимся предлагается ряд заданий, решение которых сводится к вычислению сумм одинаковых слагаемых. Например:

2 + 2 + 2 + 2 =

5 + 5 + 5 + 5 + 5=

7 + 7 + 7 + 7 =

Затем даётся задача: «На одну рубашку пришивают 9 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 860 рубашек?» (практическое задание в рамках урока невыполнимое вообще).

Составляя выражение 9+9+9+…, ученики начинают испытывать затруднение. Возникает проблемная ситуация. Далее учитель побуждающим диалогом выводит учеников из проблемной ситуации.

Практическое задание, не сходное с предыдущим.

Урок по теме «Умножение двузначного числа на однозначное».

На доске дан ряд однозначных и двузначных чисел. Ученикам предлагается выписать в столбик однозначные числа и умножить их на 7. Дети легко справляются с заданием. Далее учитель просит выписать в другой столбик двузначные числа и тоже умножить их на 7 (практическое задание не сходное с предыдущим). Пытаясь выполнить задание, ученики испытывают затруднение (возникновение проблемной ситуации). Далее учитель в диалоге побуждает учеников к сознанию противоречия и формированию проблемы

Практическое задание, невыполнимое на уровне актуальных знаний, но сходное с предыдущим.

Урок по теме «Переместительное свойство умножения».

Учитель предлагает учащимся самостоятельно найти значения выражений:

7+48+2+3

4+72+8+6

Кто нашел значения этих выражений быстро? Какие знания вам помогли? (Знание переместительного свойства сложения).

Докажите практически, что это свойство выполняется для данных пар выражений. (Учащиеся пользуются кругами двух цветов)

С каким действием тесно связано действие сложения? (С действием умножения). Можно ли в таком случае утверждать, что переместительное свойство выполняется и для умножения?

5 · 2 · 4

3 · 4 · 6

— Подумайте, как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения. (Ученики вычисляют, заменив произведения соответствующими суммами и иллюстрируя умножение с помощью наглядности).

Таким образом, мы видим, что путь постановки проблемных заданий перед учениками заключается в создании учителем проблемной ситуации и побуждении учеников к осознанию её противоречия и формулированию темы урока или вопроса для исследования, которое влечёт к прочному формированию вычислительных навыков у младших школьников.

Развитие вычислительных навыков с использованием устного счета на уроке математики.

А одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. Умение считать – непременный элемент политехнического образования. Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики.

Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет свои задачи:

1) Воспроизводство и корректировка определённых ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.

2) Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.

3) Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.

4) Повышение познавательного интереса.

При проведении устного счета учителю необходимо придерживается следующих требований:

Ø Упражнения для устного счета выбираются не случайно, а целенаправленно.

Ø Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть легкими, но и не должны быть «громоздкими».

Ø Тексты упражнений, чертежей и записей, если требуется, должны быть приготовлены заранее.

Ø К устному счету должны привлекаться все ученики.

Ø При проведении устного счета должны быть продуманы критерии оценки (поощрения)

Низкий уровень вычислительных навыков затрудняет усвоение ряда разделов курса математики. Значительная часть времени урока затрачивается на проведение вычислений при выполнении заданий, направленных на закрепление нового материала и повторение предыдущего. Недостаточное умение школьников производить вычисления создает дополнительные трудности и при выполнении работ практического содержания. Ошибки, допускаемые учащимися в процессе вычислений в младших классах, не устраняются в ряде случаев и к концу девятого класса.

Практика показывает, что без прочных умений и навыков в области вычислений изучение математики усложняется, так как ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с расчетами.

Качество вычислительных умений определяется знанием алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного алгоритма и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыков. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащимся понятен процесс вычислений и их особенности.

Вот наиболее важные умения и навыки, которые необходимо сформировать у учащихся при выполнении устных вычислений:

• помнить данные числа;
• безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел;
• выявлять особенности отдельных чисел;
• знать и применять основные формулы;
• применять свойства действий над числами.

Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их.

Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Важную роль в выработке прочных вычислительных навыков играет сохранение преемственности между начальной школой и пятым классом. Заканчивая четвёртый класс, учащиеся должны хорошо знать таблицу умножения, четыре действия с натуральными числами, уметь решать примеры на порядок действий, иметь понятие о геометрических фигурах, знать единицы измерения некоторых величин. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; применять свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное), определять порядок действий при вычислении значения выражения.

Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность в самоконтроле, повышается культура вычислений. Обращение к устному счету, предусмотренному на уроке, позволит организовать локальное повторение.

При обдумывании учителем системы заданий и форм организации устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям.

На простых, но разнообразных примерах учащиеся отрабатывают навыки в использовании свойств арифметических действий. Иногда бывает достаточно только изменить порядок действий, проделать несколько простейших преобразований, и вычисления значительно упрощаются. Признавая достоинства устных вычислений, не следует, однако, чрезмерно ими увлекаться. Важно, чтобы устный счет был органически связан с другими этапами урока. Один и тот же набор устных упражнений на уроке в «сильном» классе может развивать имеющиеся навыки счета, а в «слабом» – нести обучающую нагрузку.

Методика устных вычислений на уроках.

Если рассматривать методику устных вычислений с точки зрения системного подхода, тогда метод можно рассмотреть с трех сторон:

1) По виду (способ доставки, транспортировки учебного материала до учащихся):

— слово;

— наглядность;

— практическая деятельность;

2) По характеру (особенности работы с учебным материалом):

— репродуктивный;

— объяснительно-иллюстративный;

— проблемно-поисковый;

— эвристический;

3) По способу осуществления (как осуществляется):

— индуктивный (от частного к общему);

— дедуктивный (от общего к частному);

— продуктивный (по образцу).

При организации устных вычислений предоставляется возможность использования всех методов. Однако стоит помнить, что использование тех или иных методов необходимо учитывать как возрастные особенности учащихся в различных классах, так и целесообразность их применения при изучении конкретных тем. А еще выбор методов зависит от того, какую цель ставит учитель перед учащимися, что он хочет получить в конечном итоге.

Для развития быстроты устных навыков вычислений в течение трёх-четырёх лет обучения на каждом уроке математики необходимо выделять 6–12 минут при проведении устных упражнений согласно преподаваемой теме. Учащиеся незаметно для себя выполняют большее число арифметических действий, упражняются в устных вычислениях.

Формы восприятия устного счета.

1) Беглый слуховой (читается учителем, учеником, записано на магнитофоне) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.

2) Зрительный (таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

3) Комбинированный.

А так же:

-обратная связь (показ ответов с помощью карточек);

-задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность);

-упражнения в форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук-стук, хлопки) и др.

Но ни в коем случае устный счет не должен становиться скучным и непривлекательным. Это должна быть яркая, динамичная работа чаще в начале урока, задающая тон всего дальнейшего урока.

Виды устных вычислений.

Нахождение значений математических выражений

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные, при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения. Основное назначение упражнений на нахождение значений выражений выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.

Сравнение математических выражений

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо их сравнить. Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить. Главная роль таких упражнений — способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических знаний, арифметических действиях, их свойствах.

Решение задач

Для устной работы предлагаются простые задачи. Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков. За годы учебы дети решают очень много задач.

Формирование геометрических знаний на уровне представлений наиболее характерно для детей младшего школьного возраста, т.к. их мышление опирается, в основном, на образы. Главная задача обучения младших школьников геометрии — это подготовка базы для изучения геометрии в средней и старшей школе. Детей надо познакомить не только с длиной, площадью, но и с объемом, научить их практически пользоваться не только линейкой, но и циркулем для выполнения построений. Школьному курсу геометрии традиционно отводится важная роль в развитии учащихся — научить их логическому мышлению, развивать пространственное представление. Геометрические задания будут способствовать развитию пространственных представлений.

Логические задания

Позволяют продолжить занятия с учащимися по овладению такими понятиями, как слева, справа, ниже, шире, раньше, дальше и др. В познании человеком окружающего мира, которое идет от живого созерцания, огромную роль играет уровень развития познавательных процессов: внимания, восприятия, воображения, наблюдения, памяти и мышления. Развитие этих процессов в детском возрасте идет постоянно. Оно будет более эффективным при систематической и целенаправленной работе.

Выводы по главе

Проведя работу по формированию вычислительных навыков у младших школьников посредством элементов проблемного обучения, можно сделать следующий вывод: предложенные нами проблемные уроки и задания способствует формированию вычислительных навыков, что было доказано в ходе работы. А именно, большинство детей класса стали правильно производить выбор операций, используя наиболее рациональные приёмы вычислений; работают быстрее; сохраняя в памяти алгоритм выполняемых действий, с лёгкостью переносят приёмы вычисления на новые случаи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Еще 5 — 10 лет тому назад каждый человек в повседневной жизни занимался определенными вычислениями. Сейчас же широкое распространение получили карманные микрокалькуляторы, и через несколько лет после окончания школы непрочные вычислительные навыки совершенно атрофируются. В данной работе рассмотрена проблема формирования устных вычислительных навыков учащихся младших школьников и эффективность применения устных упражнений. На первый взгляд, кажется, что тема проста и доступна любому, но изучив литературу, понимаешь новизну и ее актуальность.

Работая над этой темой, приходишь к выводу, что формирование устных вычислительных навыков у учащихся в процессе изучения ими математики – это длительный процесс, и является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики в современной школе.

Система устных упражнений на повышение познавательного интереса доказали свою эффективность – дети стали активнее и заинтересованнее заниматься на уроках математики. Дети, которые были пассивны на уроках, теперь с удовольствием вовлекаются в работу, активнее идут на контакт с учителем. Ученики соревнуются друг с другом в сообразительности и быстроте ума. С помощью устных упражнений учителю легче работать с отстающими детьми (осуществляется индивидуальный подход) – в игровой обстановке ребенок не боится отвечать, даже если не знает правильного ответа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. — М.: Педагогика, 1977. — 248 с.

2. Бадма-Гаряева, М.В. Развитие вычислительных навыков у учащихся 1 класса // Начальная школа – 1999 – №11 – с.21

3. Бантова, М. А., Бельтюкова, Г. В. Методика преподавания математики в нач. классах: Учеб. пособие для уч-ся школ. // Под ред. М. А. Бантовой. — 3-е изд. — М. Просвещение,1984. — 335 с.

4. Бантова, М. А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа – 1993 — №11 – с. 38 – 6. Бахир, В. К. Развивающее обучение // Начальная школа – 1997 №5 – с. 26 – 7. Давыдов, В. В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. – М.: Педагогика, 1986 – 239 с.

5. Давыдов, В. В. Содержание и строение учебной деятельности школьников. – М., 1978 – 321 с.

6. Давыдов, В.В. Теория развивающего обучения. – М.: ИНТОР, 1996 – с. 544.

7. Давыдов, В. В. Что такое учебная деятельность // Начальная школа – 1999 — №7 – с. 12 – 11. Зимняя, И. А. Педагогическая психология. – Ростов на Дону: Феникс, 1997 – 476 с.

8. Ильина, О. Н. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях // Интернет журнал СахГУ «Наука, образование, общество». – 2006. — 3 февраля. URL статьи: http://journal.sakhgu.ru.

9. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М., 14. Клецкина, А.А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения // Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. пед. наук. — М., 2001. — 20 с.

10. Лавлинская, Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по системе общего развития Занкова Л.В. – В.: Панорама, 2006. с.176.

11. Мельникова, Н. А. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18.- С. 9-14.

12. Менчинская, Н. А. Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах.- М.: Просвещение, 1965.- с.

13. Методика начального обучения математике: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец-ти «Педагогика и методика начального обучения» // Под ред. Л. Н. Скаткина. – М.: просвещение, 1972.- 320с.

14. Моро, М.И., Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Математика класс. В 2 ч. Ч.1 – М.: Просвещение, 2009 – 96 с.: ил.

15. Моро, М.И., Бантова, М.А., Бельтюкова, Г.В. Математика класс. В 2 ч. Ч.1 – М.: Просвещение, 2009 – 96 с: ил.

15. Н.В. Рудницкая Математика. 3 класс. Часть 1. – М.: Издательство «Вентана — Граф”, 2013. с.ил.

16. Н. В. Рудницкая. Математика. 3 класс. Часть 2. – М.: Издательство «Вентана — Граф”», 2013. с. ил.

17. Реализация межпредметных и внутрипредметных связей в обучении и воспитании младших школьников: Межвузовский сборник научных трудов. – Л., 1984 – 132 с.

18. Репкина, Г.В. Заика Е.В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности. Томск: Пеленг, 1993 – 62 с.

19. Федотова, Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. — 2004. — №35. — С. 3-7.

20. Федотова, Л. Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. — 2004. — №43. — С. 2-5.

Этот материал адресован в первую очередь тем, кто, понимая, что сейчас в массовых школах устному счёту уделяется очень мало внимания, решил восполнить этот пробел и дополнительно позаниматься со своим сыном или дочерью устным счётом. Если ребёнок увлёкся и начал щёлкать задачки как орешки, это великолепно! Но не всегда ситуация может быть столь благоприятной. Предложив ребёнку решить устно тот или иной интересный с нашей точки зрения пример, мы можем столкнуться с тем, что ему, в отличие от нас, совсем не так интересно его решать, что в счёте он делает систематические ошибки, нервничает, не хочет считать и т. д. Предлагаю разобраться, в чём причины подобных затруднений и как их преодолеть.

1. Вариант первый. Иногда ребёнок делает ошибки просто потому, что ему чуть-чуть не хватает внимания и оперативной памяти, чтобы «охватить» всё, что нужно держать в уме при вычислениях. В этом случае ребёнок считает в уме с интересом, а ошибки носят эпизодический характер. Здесь хорошо помогает приём «давай посчитаем вслух». У него двойная польза. 

Во-первых, проговаривая вслух ход вычисления и промежуточные результаты, ребёнок помогает себе удерживать внимание. Таким образом, он может самостоятельно исправить ошибки, которые были связаны с непроизвольным отвлечением. 

Во-вторых, у вас есть возможность отследить, где именно ученик делает ошибку, и скорректировать ход его мысли. При этом желательно не давать ребёнку прямых подсказок, а направлять его мышление вопросами, чтобы он, по возможности, сам проделал весь путь, который необходим для решения. К примеру, такие фразы, как «Неправильно», «Получится не 37, а 47», «Так считать неудобно, сложно», «Сделать вот так» и тому подобное принесут ученику гораздо меньше пользы, чем вопросы «Расскажи, как у тебя получилось 37?», «Что интересного ты заметил в этом примере?», «Как можно ещё проще посчитать?», «Какой приём здесь можно применить?»

Вообще, описанная ситуация говорит не о проблеме, а о том, что ребёнок при решении примера выходит, как говорят психологи, в зону ближайшего развития своей памяти и внимания. Здесь важно понимать, что работа в зоне ближайшего развития — это определённый стресс для ребёнка. И если лёгкий стресс в учёбе полезен для мобилизации и движения вперёд, то постоянный, а тем более сильный стресс способен нанести вред не только формируемому навыку, но и эмоциональному благополучию ребёнка. Поэтому устный счёт, как и любая другая учебная деятельность, должен не постоянно проходить в зоне ближайшего развития ребёнка, а лишь иногда выходить из неё и возвращаться обратно, к таким примерам, с которыми ребёнок может справиться уже самостоятельно, без направляющих вопросов взрослого. Если занятия организованы таким образом, то устный счёт развивает память и внимание, нравится ученику и укрепляет его уверенность в своих силах. Постепенно ребёнок избавляется от ошибок и научается производить в уме гораздо более длинные и сложные цепочки вычислений. 

2. Вторая возможная причина, которая мешает ребёнку быстро и правильно считать в уме, — несформированность тех или иных математических операций, необходимых для устного решения примеров. В этом случае считать ребёнку будет уже не так интересно, он будет делать в счёте регулярные однотипные ошибки или даже может сказать, что пример слишком сложен для него. Например, ошибки могут возникать при сложении или вычитании с переходом через десяток или сотню, или же в применении формул сокращённого умножения для облегчения вычислений.

В этом случае после того как вы определили, в чём именно у ребёнка трудность, лучше вернуться к проблемной теме и изучить её с самых азов, используя пособия РКШ и необходимые наглядные материалы. И неважно, что ваш ребёнок, например, уже пятиклассник, а проблемная тема — из курса арифметики третьего класса. Главное, чтобы он получил крепкие знания и навыки! Чем раньше мы выявим и заполним имеющиеся в них пробелы, тем лучше. Что касается устного счёта, то его можно и нужно практиковать, но пока на других, более простых примерах, которые ребёнку под силу уже сейчас. Очень важно, чтобы упражнения в устном счёте укрепляли, а не подрывали уверенность ребёнка в себе. 

3. Третья проблема — самая сложная — ребёнок вообще не хочет и не любит считать. Ему может даже казаться это разумным — зачем считать в уме, если есть калькулятор, который посчитает быстрее, да и столбиком можно, на худой конец, пару чисел сложить. Это говорит о том, что природная любознательность, стремление ребёнка познавать мир, открывать в себе новые способности, экспериментировать с ними, возможность испытывать радость познания уже чем-то подавлена, заблокирована. Пусть не во всём, но, по крайней мере в том, что касается математики. 

Если вы решали примеры на устный счёт, то вам, возможно удалось пережить и азарт поиска красивого решения, и радость от каждого полученного результата. Для меня было удивительным то, что есть дети, которые не испытывают подобных чувств. «Ну и что, — скажете вы, — одному интересно одно, другому — другое, ничего особенного. Может быть, он — гуманитарий». Но дело в том, что за подобным внешним равнодушием или ленью может скрываться неуверенность в собственных силах. 

Люди, которые говорят, что не любят математику, нередко просто её боятся. О том, откуда и почему берётся этот страх и как помочь ребёнку его преодолеть, как пробудить угасший интерес к учёбе, мы говорим в других наших материалах. 

В заключение отметим, что у детей, с первого класса обучающихся по программе РКШ, встречается только первый вариант трудностей, и лишь иногда, в наиболее сложных примерах. Устный счёт в РКШ — регулярное упражнение, дети считают в уме с большим интересом и удовольствием. Почему — думаю, для вас уже не секрет. 

Ниже вы видите примеры и задания на устный счёт для третьеклассников. Ученики Русской Классической Школы каждый урок арифметики начинают с решения подобных примеров. Предлагаем потренироваться и вам вместе с вашими детьми!

Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

Одна из задач математической подготовки младших школьников — формирование вычислительных навыков. Это сложный и длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребёнка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Письменные вычисления имеют повсеместное применение, являются фундаментом изучения математических и других учебных дисциплин.

Проблеме формирования вычислительных навыков, в том числе навыков письменных вычислений, посвящены публикации М.А. Бантовой, М.Б. Волович, В.В. Давыдова, О.А. Ивашовой, Н.Б. Истоминой, В.Н. Медведской, С.С. Минаевой, П.Б. Ройтмана, Т.М. Чеботоревской, Я.Ф. Чекмарева. Однако, несмотря на простоту алгоритмов письменного сложения и вычитания, учащиеся допускают достаточно много ошибок. Одна из причин — игнорирование особенностей методики изучения материала, предполагающих использование наглядности в виде опорных схем и абака, применение проблемного и практического методов, самостоятельной работы, а также отработки навыка на системе специально подготовленных упражнений тренировочного и творческого характера [Истомина, 2006, с.193].

Целенаправленную деятельность по отработке вычислительных умений и навыков необходимо осуществлять, руководствуясь следующими требованиями:

1. Обязательная подготовительная работа к выполнению вычислений на каждом уроке.

2. Создание определенного настроения учащихся на предстоящие вычисления при помощи форм и приемов работы, которые активизируют внимание учащихся, повышают их ответственность и желание получить правильный результат.

3. Соблюдение постепенного нарастания сложности в письменных вычислениях (переход через один разряд, два разряда, случаи, когда уменьшаемое содержит нули).

4. Проверка полученного результата. В данном случае проверка выступает как прием самоконтроля, который воспитывает у учащихся ответственность и вызывает интерес к выполненной работе.

5. Систематический самоконтроль деятельности учащихся и анализ допущенных ими ошибок. Контроль позволяет организовать целенаправленную индивидуальную работу, вовремя обратить внимание ученика на проблемы в его знаниях, умениях и навыках, целенаправленно использовать тренировочные упражнения.

6. Соблюдение количественной меры решаемых примеров. Практика показывает, что если ученик решает подряд более 4 — 5 примеров, то количество ошибок возрастает. Это связано с напряжением внимания [Аргинская, 2005, с.15].

Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание.

1) Ошибка в записи чисел в столбик.

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»

2) Ошибка в постановке знака.

3) Знак «плюс», а ученик вычитает.

4) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:

Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например: Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя — не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 — четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 — 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.

5) неправильно определили количество цифр в сумме.

6) допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять.