Ошибки при решении показательных уравнений

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

• Свойства степени и корня
• Решение линейных и квадратных уравнений
• Разложение на множители

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения ( 3x+5=2{x} -1) является число ( x=-6).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

( {{5}^{3}}=5cdot 5cdot 5=125).

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

( 2cdot 2cdot 2={{2}^{3}}=8).

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).

Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

( begin{align} & 2=2 \ & 2cdot 2=4 \ & 2cdot 2cdot 2=8 \ & 2cdot 2cdot 2cdot 2=16 \ end{align} )

Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: ( displaystyle {{2}^{4}}=16).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

( displaystyle {{2}^{x}}=1024),

где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что ( displaystyle 1024={{2}^{10}}), тогда моя задачка запишется в виде:

( displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

( x=10).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

Вот тебе еще один пример:

( {{1000}^{x}}=100).

Но что же делать?

Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно: ( 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}).

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.

Тогда:

А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 1. Метод простой замены

( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Решение:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

( {{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}})

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0)

Если же дополнительно представить ( {{2}^{x+1}}) как ( 2cdot {{2}^{x}}), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, ( t={{2}^{x}}). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

( {{t}^{2}}+2t-3=0)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: ( {{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1).

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида ( t={{a}^{x}})), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, ( {{t}_{1}}=-3) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

( {{t}_{2}}=1), тогда ( {{2}^{x}}=1), откуда ( x=0).

Ответ: ( x=0)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

( {{3}^{3x+1}}-4cdot {{9}^{x}}=17cdot {{3}^{x}}-6)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется ( {{3}^{x}}) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

( {{3}^{3x+1}}=3cdot {{left( {{3}^{x}} right)}^{3}}), ( {{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}).

Тогда можно заменять ( t={{3}^{x}}), в результате я получу следующее выражение:

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6)

( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение ( displaystyle t=1). Не является корнем. Увы и ах! Хорошо, а теперь возьмем…

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

( {{9}^{x+1}}-2cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~) при ( ~xin (lo{{g}_{3}}frac{3}{2};sqrt{5}))

Решение:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену ( t={{3}^{x}}) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

( {{t}^{2}}-18t+5=0)

( {{t}_{1}}=frac{1}{3},~{{t}_{2}}=frac{5~}{3})

Тогда ( {{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=mathbf{lo}{{mathbf{g}}_{3}}left( frac{5}{3} right)~~~)

Вначале давай рассмотрим первый корень. 

Сравним ( -1) и ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)):

так как ( frac{3}{2}>1), то ( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>0). (свойство логарифмической функции ( y=lo{{g}_{a}}x) при ( a>1)).

Тогда ясно, что( lo{{g}_{3}}left( frac{3}{2} right)>-1) и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:

Пример уравнения с нестандартной заменой!

( displaystyle 4sqrt[x]{81}-12sqrt[x]{36}+9sqrt[x]{16}=0)

Решение:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что ( 81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~) а ( 36=4cdot 9.)

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

( displaystyle 4cdot {{9}^{frac{2}{x}}}~-12cdot {{4}^{frac{1}{x}}}{{9}^{frac{1}{x}}}+9cdot {{4}^{frac{2}{x}}}=0)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на ( {{4}^{frac{2}{x}}}):

Например, уравнение вида:

( {{a}^{F(x)}}=b(x)), причем ( b(x)ne {{a}^{i}}), ( i)( in R/Q)

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

( F(x)=lo{{g}_{a}}b(x))

Давай рассмотрим следующий пример:

( {{x}^{1+lgx}}=10x)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только ( x>0). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):

( lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x))

( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))

( (1+lg(x))(lg(x)-1)=0)

( lg(x)=1,~lg(x)=-1)

( {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

( {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}})

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:

( lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});)

( left( lo{{g}_{4}}x-2 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}x=2left( text{lo}{{text{g}}_{4}}x-1 right)text{lo}{{text{g}}_{4}}2;)

( (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);)

Сделаем замену: ( t=lo{{g}_{4}}x)

( {{t}_{1}}=frac{3+sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=frac{3-sqrt{5}}{2})

Тогда ( {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right),~)

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Ведь ( frac{3-sqrt{5}}{2}<1,~) тогда:

( {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}left( frac{3-sqrt{5}}{2} right)<0,~~) что не удовлетворяет требованию ( x>0) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: ( lo{{g}_{4}}left( frac{3+sqrt{5}}{2} right))

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже

• ( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=sqrt{10})
• ( {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию ( 10), учитывая, что ( x>0):

( lg left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} right)=lgsqrt{10})

( left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx right)lgx=frac{1}{2},~), замена ( ~t=l{{g}^{2}}xge 0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0)

( 4{{t}^{2}}-3t-1=0) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

( l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~)

2. Логарифмируем по основанию ( displaystyle 7):

( displaystyle lo{{g}_{7}}{{left( x+5 right)}^{lo{{g}_{7}}left( x+5 right)}}=lo{{g}_{7}}7)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

( displaystyle left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)+1 right)left( lo{{g}_{7}}left( x+5 right)-1 right)=0)

( displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-frac{34}{7})

        Итак, друзья, на прошлом уроке мы с вами познакомились (или научились — кому как) решать самые простые показательные уравнения.

По итогам прошлого урока, в вашей светлой голове должна была остаться общая ключевая информация, касаемо подхода к решению показательных уравнений. Что-то в виде практических советов, а что-то — в самых общих чертах, исходя из примеров, разобранных на уроке.  

        По пунктам:

        1. Первым делом всегда смотрим на основания. Если основания степеней разные, то прикидываем, нельзя ли как-то сделать их одинаковыми. В первую очередь, пытаемся это делать, активно используя действия со степенями и умение распознавать одно и то же число в разных степенях — целых, дробных и отрицательных.

        2. Стремимся привести показательное уравнение к каноническому виду, когда слева и справа стоит одно и то же число в каких угодно степенях. Для этого активно используем действия со степенями и базовые тождественные преобразования уравнений (перенос вправо-влево и умножение/деление).

        3. Степени популярных чисел надо уметь узнавать в лицо! Пробуем делать это.

        4. Действия со степенями надо знать и уметь применять. Причём в обоих направлениях (слева направо и справа налево)!

        В приведённых советах, если как следует вчитаться и присмотреться, можно заметить очень частое употребление слов: «пытаемся», «пробуем», «стремимся». Это ключевые слова не только в показательных уравнениях, а во всей математике вообще. Кто пытается, пробует, стремится, у того и получается. Возможно, не сразу, но рано или поздно — обязательно получается! И не только в математике, между прочим. У того же, кто не пробует — не получается ни-че-го! Ничего не поделать. Так уж устроена эта коварная жизнь. К сожалению. Или к счастью.)

        Ну что, продолжаем наращивать наш потенциал?

Уровень 3.  Раскладываем на множители!

        К сожалению, для успешного решения очень многих примеров, одних только примитивных действий со степенями и базовых тождественных преобразований уравнений недостаточно. Необходимо ещё грамотно уметь применять и весь остальной набор ваших знаний и умений из младших и средних классов. Вы же не сразу в старшие классы пошли, не так ли?

        Например, разложение на множители. Привет 7-му классу! Это, между прочим, один из самых популярных приёмов в решении очень многих видов уравнений, не только показательных!

        Например, вот такое уравнение:

        5^x+2 – 5^x+1 + 5^x = 105

        Первый совет (выход на одинаковые основания) здесь не нужен: основания всех степеней уже одинаковые — пятёрка.

        Второй совет (приведение к каноническому виду) здесь тоже пока что не работает: из 105 пятёрку в «красивой» степени никак не сделаешь. Убирать пятёрки тоже не имеем права: во-первых, из-за мешающего нам числа 105, а во-вторых, слева нам необходима одинокая степень пятёрки. А у нас там этих пятёрок целая прорва… Причём сделать из этих трёх пятёрок одну также нельзя: нету в математике стандартных правил на сложение и вычитание степеней…

        Тупик? Вовсе нет!

        Для хоть какого-то продвижения вперёд вспоминаем базовое правило всей математики:

        Не знаешь, что нужно — делай, что можно!

        Вот и смотрим на наше злое уравнение. Причём не просто пучим глазки, думая о чём-то своём, далёком, а именно внимательно всматриваемся. Что в левой части можно сделать? Да там прямо-таки напрашивается вынесение общего множителя за скобки! Но… где же там общий множитель?! Не видите? Ну ладно. Сейчас покажу!

        Начнём с первого слагаемого — с выражения 5^x+2. По правилам действий со степенями, это выражение мы имеем полное право переписать вот так:

        5^x+2 = 5^x·5²

        Почему именно так? А как же! Ну ладно, давайте перемножим обратно. По правилу перемножения степеней с одинаковым основанием:

        5^x·5² = 5^x+2

        Вот и всё, никаких хитростей. Просто здесь, как раз, именно тот самый случай, когда правило действий со степенями

        a^m·aⁿ = a^m+n

        надо применять справа налево! А я предупреждал: действия со степенями надо уметь применять в обоих направлениях! Да, непривычно, я не спорю. Но ведь и мы тоже серьёзными темами с вами всё-таки занимаемся.) Привыкайте.)

        С выражением 5^x+1 полная аналогия:

        5^x+1 = 5^x·5¹

        Вставляем теперь наши результаты в уравнение:

        5^x·5² — 5^x·5¹ + 5^x = 105

        Ну как, осеняет? Да! Теперь уже редкий кадр не увидит, что выносить за скобки надо 5^x. Вот и выносим:

        5^x(5² — 5¹ + 1) = 105

        Что дальше можно сделать? Ну, очевидно, можно посчитать выражение в скобках:

        5² — 5¹ + 1 = 25-5+1 = 21

        Уравнение из злого постепенно превращается в белое и пушистое:

        21·5^x = 105

        Вспоминаем теперь, что для ликвидации оснований нам необходима одинокая степень, безо всяких коэффициентов. А число 21 нам мешает. Не беда! Запускаем в ход второе базовое тождественное преобразование и делим обе части на 21. Элементарную математику пока что никто не отменял, да.)

        Получаем:

        5^x = 5

        Вот всё и наладилось! Вот мы и вырулили на одинаковые основания слева и справа!

        5^x = 5¹

        x = 1

        Это окончательный ответ.)

        «Многа букафф», да. Но зато понятно, надеюсь. Кстати, кто на «ты» со степенями, тот сразу вынесет 5^x за скобки, не расписывая так подробно. Знания — они иногда помогают. Если они есть, конечно…

        Запоминаем: если в уравнении стоит сумма (разность) одного и того же числа в разных степенях, то пробуем применить разложение этой суммы (разности) на множители! А именно — вынесение общего множителя за скобки. Очень часто пример значительно упрощается, и дальнейшая дорога к ответу становится простой и понятной. Всё что можно посчитать в числах — считаем!

        В этом примере мы снова вырулили на одинаковые основания путём элементарных преобразований, сведя исходное уравнение к каноническому виду. А именно — с помощью разложения на множители. К сожалению, такой удачный исход при решении показательных уравнений возможен далеко не всегда. Случается, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот полная их ликвидация — уже никак. Такое явление происходит в уравнениях другого типа. Освоим и его.

        Итак, знакомьтесь!

Уровень 4.  Делаем замену переменной!

        Для начала решим вот такое уравнение:

        9^x — 4·3^x + 3 = 0

        Сначала всё как обычно. Основания разные — девятка и тройка. Ничего, тройка в квадрате — это как раз и будет девятка. Так что выправление оснований никаких проблем не вызывает — приводим все степени с иксами к тройке:

        9^x = (3^x)² = 3^2x

        Получаем вот такое уравнение:

        3^2x — 4·3^x + 3 = 0

        А вот тут-то и застрянем. Старые советы здесь не помогут: как ни ухищряйся, как ни уединяй степени хоть слева, хоть справа, что ни выноси за скобку, канонический вид уравнения (слева и справа степень тройки) мы всё равно не получим. Кстати, кому интересно, можете попробовать: это полезно.)

        Так что же делать? Что-что… Придётся раскрывать вам новое секретное супероружие, предназначенное как раз именно для расправы с такого рода примерами. Да! Это замена переменной!

        Суть любой замены всегда проста до безобразия. Вместо одного сложного выражения мы пишем новую букву. Пусть t, например. Или y. Казалось бы, и какой в этом смысл? Ничего, сейчас интересно будет!

        В нашем примере прямо таки напрашивается заменить выражение 3^x новой буковкой. Вот и попробуем. А там — видно будет.

        Итак, пусть

        3^x = t

        Тогда, по правилам действий со степенями:

        3^2x = 3^x·2 = (3^x)² = t²

        Ух ты! Кажется, я уже потихоньку догадываюсь, что получится… Ну-ка, ну-ка… Заменяем в уравнении все выражения с иксами на t:

        t² — 4t + 3 = 0

        Ну и как вам? Квадратные уравнения ещё помните, я надеюсь?)

        Решаем через дискриминант (или по теореме Виета) и получаем два корня:

        t₁ = 3

        t₂ = 1

        А вот теперь, главное, не останавливаться, как это часто бывает. Это пока ещё не ответ: мы же икс с вами ищем! А буковка t — лишь вспомогательное средство.) Стало быть, возвращаемся к иксу, то есть делаем обратную замену.

        Начнём с t₁:

        t₁ = 3

        3^x = 3

        x₁ = 1

        Отлично. Один корень нашли. Теперь ищем второй, уже из t₂:

        t₂ = 1

        3^x = 1

        О-па! Слева 3^x, а справа 1… Какая-то нестыковочка… Как же нам из единички сделать справа тройку? Как-как… Да снова свойства степеней вспомнить!) А именно: единичка — это любое число в нулевой степени! Да-да! Совершенно любое (кроме нуля).) Какое хотим, такое и сделаем. Нам нужна тройка. Вот и пишем:

        1 = 3⁰

        3^x = 3⁰

        x₂ = 0

        Вот и всё. Получили два корня:

        x₁ = 1

        x₂ = 0

        Это окончательный ответ.

        Разберём теперь пример посложнее.

        2^x+2 + 7·2^0,5x — 2 = 0

        Здесь тоже старые советы не действуют. Основания одинаковые, но никакими преобразованиями уединению слева и справа не поддаются: что-то обязательно будет мешаться — либо соседи, либо коэффициенты…. Ну что, попробуем замену? Вопрос — что и как заменять будем? А вот тут уже задачка…

        Для любой замены чётко уясним себе одну простую вещь: замена переменной оправдана тогда и только тогда, когда в примере в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом.

        У нас есть выражения 2^x+2 и 2^0,5x. Первое выражение, по правилам действий со степенями, можно немного упростить и переписать вот так:

        2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x

        Уже лучше. Остались лишь 2^x и 2^0,5x. Уже почти похоже.) А вот теперь начинаем прикидывать и размышлять. Примерно так:

        «Если мы за t примем 2^x, то что нам тогда нужно сделать с 2^x, чтобы получить 2^0,5x? Очевидно, возвести в степень 0,5. То есть, 2^0,5x = t^0,5 = t^1/2.

        Или, по правилам действий с дробными показателями:

        Тогда после такой замены у нас получается иррациональное уравнение с корнями. Как-то оно не очень…

        Так, стоп! А что, если попробовать взять за t не 2^x, а наоборот 2^0,5x? Тогда, для того чтобы из 2^0,5x сделать 2^x, надо 2^0,5x… возвести в квадрат! Ух ты! Получится квадратное уравнение! Отлично!»

        Да! Именно так.) Вот такая нетривиальная замена. Сразу и не увидишь. Работает привычка. Ну и крепкая дружба со степенями, разумеется.

        Итак, пусть

        2^0,5x = t

        Тогда

        2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x = 4·(2^0,5x)² = 4t²

        Заменяем все конструкции с иксами на выражения с t и получаем:

        4t² + 7t — 2 = 0

        Так и есть! Снова вышли на квадратное уравнение! Решаем его и получаем корни:

        t₁ = -2

        t₂ = 0,25

        А теперь возвращаемся к иксам, делаем обратную замену.

        t₁ = -2

        2^0,5x = -2

        Хм… В какую же такую степень надо возвести двойку, чтобы получить минус два? А вы попробуйте, повозводите! Возьмите полный набор самых разнообразных иксов — целое, дробное, отрицательное, нулевое… Минус два вы всё равно никогда не получите. Но! Самые наблюдательные могут заметить, что, во что двойку ни возводи, всё время будет получаться строго положительное число! А вот этот факт уже очень важен!

        Итак, запоминаем:

        Положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Стало быть, нету таких иксов, которые нам минус два дадут. В таких случаях пишут:

        t₁ = -2 — посторонний корень

        Но это пока ещё не всё: у нас же есть ещё t₂!

        t₂ = 0,25

        2^0,5x = 0,25

        А вот здесь всё нормально:

        2^0,5x = 25/100 = 1/4 = 2^-2

        2^0,5x = 2^-2

        0,5x = -2

        x = -4

        Вот теперь всё. Получили единственный корень x = -4.

        Разумеется, применять замену переменной возможно не только в показательных уравнениях, сводящихся к квадратным. В любых! Лишь бы было что и как заменять. Например, вот такое уравнение:

        3^x + 7·3^1-x = 10

        Здесь та же история. Да, основания одинаковы, но сами степени никак не уединяются, выкидывать тройки — нельзя. Разложение на множители тоже не катит: за скобку ничего не выносится, да и десятка всё время мешаться будет… Остаётся замена. Но, ещё раз напоминаю, что замена оправдана только тогда, когда в уравнении в разных местах стоят одинаковые выражения с иксом! Вот и пробуем сначала добраться до одинаковых выражений!

        Первым делом упрощаем выражение 3^1-x по правилам действий со степенями:

        3^1-x = 3¹·3^-x = 3·3^—x

        Тогда наше уравнение станет таким:

        3^x + 7·3·3^—x = 10

        Или, если ещё чуток упростить:

        3^x + 21·3^—x = 10

        Уже получше. В одном месте в уравнении сидит 3^x, а в другом 3^—x. Похоже, но всё-таки не одно и то же, да… Снова тупик? Да вовсе нет! Мы с вами знаем, что от минуса в степени математика, если надо, позволяет избавляться! Вот так:

        И теперь наше уравнение станет выглядеть вот так:

        Вот и всё! Теперь, кроме 3^x, никаких других выражений с иксом в нашем примере больше нет. Делаем замену переменной:

        3^x = t

        Тогда наше уравнение станет вот таким:

        Ну как? Узнали? Да! Это классическое дробно-рациональное уравнение. Куда более привычное, нежели исходное показательное, правда?

        А дальше действуем по всем правилам решения дробно-рациональных уравнений: умножаем обе части на t, приводим подобные, собираем всё слева и получаем:

        t² — 10t + 21 = 0

        Решаем квадратное уравнение и получаем корни:

        t₁ = 3

        t₂ = 7

        А вот сейчас интересно будет! Возвращаемся к нашим иксам.

        Начинаем с t₁:

        t₁ = 3

        3^x = 3

        x₁ = 1

        Здесь ничего особенного… Хорошо, на очереди следующий клиент t₂:

        t₂ = 7

        3^x = 7

        Опаньки! Из тройки семёрку через простую степень никак не сделаешь! Не родственники они… Как тут быть? Нет ответа?

        Спокойствие, как говорил Карлсон! Математика своих в беде никогда не бросает! Она нам на этот случай придумала логарифмы! Посему, если вы в теме, то хладнокровно игнорируем этот жуткий факт и с блеском в глазах записываем твёрдой рукой совершенно верный ответ:

        x₂ = log₃7

        Вот и всё. Получили тоже два корня:

        x₁ = 1

        x₂ = log₃7

        Естественно, в заданиях на ЕГЭ из части 1, которые проверяет компьютер, такого экзотического ответа быть никак не может: там всегда конкретное число требуется. А вот в заданиях части 2, с развёрнутым решением, которые проверяются экспертами (т.е. людьми) — запросто! Так что будьте готовы и к таким сюрпризам. Чтобы не зависать, в случае чего.)

        Подытожим темку:

        Замена переменной, порой, существенно упрощает внешний вид примера! В этом и есть весь смысл замены. Очень часто с виду тупиковая ситуация с показательными выражениями после удачной замены превращается в простой и очевидный путь к правильному ответу. Характерные признаки применения замены переменной — присутствие (или получение) одного и того же выражения в разных местах примера.

Уровень 5.  Не самые простые примеры. И некоторые дополнительные фишки…

        Некоторые примеры не решаются стандартными методами — выравниванием оснований и уединением степеней, вынесением общего множителя за скобки, заменой переменной. Нет, ну не то что бы совсем-совсем не решаются… Это я зря математику обидел.) Но в таких примерах, как правило, дополнительно требуется смекалка и умение нестандартно мыслить. Хотя бы самую малость. Чтобы догадаться до какого-то нетривиального хода, который и спасёт положение.)

        Но основная проблема состоит в том, что умение нестандартно мыслить, в большинстве своём, не даётся от природы. Его у себя надо развивать. Даже людям, способным к математике. Как именно его надо развивать?

        Что ж, дам несколько самых общих правил.

        Правило №1 — Нужно интересоваться математикой!

        Да-да! А вы как думали? А иначе какой же смысл браться за сложные (и не только) примеры?

        Правило №2 — Нужно чётко понимать основные школьные понятия и термины математики.

        Конкретно по нашей теме:

        Что такое степень? Как возводить в степень? Какие бывают правила действий со степенями?

        Что такое отрицательные и дробные показатели и что с ними можно делать?

        Какие вам известны базовые тождественные преобразования уравнений?

        Что такое логарифм и зачем он нужен?

        Может ли положительное число при возведении в степень дать отрицательное число?

        И так далее. Вот берёте, задаёте сами себе определённый вопрос по той или иной теме (в нашем случае — степени и действия с ними) и пытаетесь своими словами, безо всяких заумных фраз, ответить на него. Как именно вы понимаете то или иное понятие, что это такое и как это употребить в дело.

        Прошу заметить, что «выучить» и «понимать» — вещи разные. Выучить, скажем, определение логарифма и понять смысл этого самого логарифма — две большие разницы! В первом случае вы зависните на любом нестандартном, хотя и элементарном вопросе на эту тему, а во втором — скорее всего, даже не заметите проблем.

        Правило №3 — Нужно знать основные формулы школьного курса математики.

        Но одного только знания формул мало. Нужно ещё уметь узнавать формулы, узнавать видоизменённые формулы, уметь применять формулы слева-направо и справа-налево. Это всё очевидно, но… сами понимаете.)

        Правило №4 — Нужно не бояться.

        А именно — не бояться браться за сложные примеры! Пробовать, пытаться шаг за шагом упростить пример и, возможно, найти решение. Один способ, другой, третий… Что-то подходит, а что-то нет. Это совершенно нормально.

        Правило №5 — Нужно думать…

        А вот с думаньем дело обстоит хуже всего, да… Нет, думается что-то, конечно. Иногда озаряет даже. Как молния.)

        К сожалению, как правильно думать, в книжках и в интернете не написано. Это как-то само собой образуется. С богатым опытом. Но некоторые примеры правильных мыслей и рассуждений я не зря выделяю синим цветом! Обращайте на них внимание!

        Итак, обо всём об этом — на этом уровне!

        А теперь разбираем примеры. Начнём с довольно безобидного. Решаемого в уме, между прочим.) Если понимать смысл. Допустим, перед нами вот такое уравнение:

        2^0,17x + 3^0,3x+1 + 5^0,23x+2 = -5

        И что тут можно сделать? Похоже, что… ничего.) Совершенно немыслимый набор степеней. Основания разные, друг в друга через степень не превращаются. Показатели — вообще ахтунг!

        Кстати, это и есть подсказка. Значит, где-то спрятан какой-то нестандартный обходной путь, который спасёт положение. И путь этот, скорее всего, до ужаса элементарный…

        Что ж, вскрою этот тайный ход. Обращаемся к Правилу №2 и вспоминаем наши самые общие сведения о степенях. А чуть конкретнее — пример, где я предлагал вам повозводить двойку в самые разнообразные степени. Забыли? Зря. Из того примера у вас должно было остаться важное знание. А именно — положительное число в любой степени даёт также положительное число.

        Конкретно в нашем примере:

        2^0,17x >0

        3^0,3x+1 >0

        5^0,23x+2 >0

        А теперь осмысливаем: может ли сумма положительных чисел дать нам в результате минус пять? Конечно же, нет! Ни при каком иксе такое равенство не получится.

        Ответ: корней нет.

        Возможно, кто-то подумает, что этот пример я дал чисто для прикола. Нет! В серьёзных заданиях (скажем, в задачах части 2 из ЕГЭ) необходимо уметь выкидывать целые куски примера из детального рассмотрения. Чтобы не зависать и не тратить время зря на поиск очевидного ответа.

        А вот следующий пример уже так просто не спишешь, да…

        Решить уравнение:

        6^x — 9·2^x — 8·3^x + 72 = 0

        Начинаем размышлять:

        «Хм… И что тут можно сделать? Основания — разные, к одному и тому же числу никак не сводятся. За скобку ничего не вынесешь. И замена тоже не проходит. Пример явно не простейший…

        Но… Вообще говоря, чем больше одинаковых выражений в примере и меньше разных, тем лучше! Поэтому, первым делом, преобразую-ка я выражение 6^x. Разложу шестёрку как 2·3, связав 6^x с уже имеющимися в примере выражениями 2^x и 3^x:

        6^x = (2·3)^x = 2^x·3^x»

        Вот вам наглядный пример того, как нужно правильно думать. Да! Разложим 6^x на отдельные степени двойки и тройки. Ну ведь явно ни к чему здесь шестёрка! Что получим:

        2^x·3^x — 9·2^x — 8·3^x + 72 = 0

        Продолжаем размышления:

        «И дальше что? В уравнении есть 2^x и есть 3^x. Из двойки тройку через простую степень не сделаешь, это понятно. Стало быть, можно даже не пытаться как-то выровнять основания. Хорошо было бы как-то разделить разные виды показательных выражений. Но как этого можно добиться? Только одним путём — попробовать разложить левую часть на множители! Тем более, что справа в уравнении стоит ноль! Это явный намёк…

        За скобку тут ничего не вынесешь, так как общего множителя, сидящего во всех слагаемых, здесь нет. Но! У нас же есть ещё один оч-чень мощный способ разложения подобных выражений! Группировка называется.) А не попробовать ли сгруппировать слагаемые таким образом, чтобы всё получилось? Ну-ка, посмотрим…»

        Да! Именно так. Только группировка в этом злом примере даёт нам шанс растащить разные типы показательных выражений (2^x и 3^x). Так что пробуем и группируем. Других вариантов как-то выкрутиться просто нет. Заключаем в скобочки выражения, в которых точно есть общий множитель, есть что вынести.

        Хотя бы вот так:

        (2^x·3^x — 9·2^x) — (8·3^x — 72) = 0

        Теперь видно, что в первых скобках можно вынести 2^x, а во вторых — восьмёрку. Выносим:

        2^x(3^x — 9) — 8(3^x — 9) = 0

        Вот и отлично. В скобках остались совершенно одинаковые выражения! И теперь эти скобочки сами стали общим множителем. Можно и их вынести:

        (3^x — 9)(2^x — 8) = 0

        Всё! Слева — произведение скобок, справа — ноль. А дальше уже всё ясно: произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

        Обратите внимание, как красиво разделились разные типы показательных выражений! Разошлись по своим скобочкам. И теперь каждую из них стало возможно рассматривать независимо друг от друга!

        Приравниваем к нулю первую скобочку:

        3^x — 9 = 0

        3^x = 9

        3^x = 3²

        x₁ = 2

        Со второй аналогично:

        2^x — 8 = 0

        2^x = 8

        2^x = 2³

        x₂ = 3

        Вот всё и получилось. Два корня.

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется разложение на множители способом группировки. Основная цель — разделить разные типы показательных выражений.

        А вот в следующих двух примерах уже и группировка не спасёт…

        Для начала вот такой:

        5·3^x — 7·2^x = 0

        Казалось бы, коротенькое и простенькое уравнение. Но… За что зацепиться? Совершенно безумный набор чисел, ни одно из них друг в друга не превращается. Специально, поди.) Ни разложение на множители не катит, ни замена…

        Спокойствие! На подобного рода примеры тоже есть своё секретное оружие. Называется — почленное деление на показательное выражение. Характерный признак применения такой процедуры — разные основания, но одинаковые показатели. Ибо по нашим незабвенным свойствам степеней мы знаем, что

        А теперь смотрим на уравнение. У нас есть тройка в степени икс и двойка также в степени икс. И, глядя на уравнение, прямо-таки напрашивается вместо двух разных степеней сделать одну. А что, если поделить обе части уравнения на какое-то из показательных выражений? Например, на 2^x?

        Что ж, посмотрим. Делим:

        Вот и первый хитрый вопрос: почему я так смело делю всё уравнение на 2^x? Ведь в теме про уравнения открытым текстом сказано, что делить мы имеем право только на отличное от нуля число! А тут в показателе икс есть! Кто ж его знает, какое он там число даст… Подумайте пока, ответ будет чуть ниже, после расправы над этим злым уравнением.

        А мы продолжаем. Вспоминаем действия со степенями, сокращаем что сокращается и получаем:

        Цель деления достигнута: вместо двух различных значков 3^x и 2^x стал один значок (3/2)^x. Уже гораздо проще, правда?)

        А дальше дело техники. Уединяем степень слева: переносим семёрку вправо и делим на пятёрку. Получаем:

        Можно, для краткости, (но не обязательно) перевести дроби в десятичные:

        1,5^x = 1,4

        Всё. Получено простейшее показательное уравнение. Слева — чистая степень, а справа — число. Правда, сами числа какие-то корявые… Выравнивание не катит… Ну и ладно, ничего страшного. Логарифмы — они выручают всегда!

        Так прямо и пишем:

        x = log_1,51,4

        Вот и всё. Да, такой вот хитрый ответ у примера, через логарифм! Так и уравнение у нас тоже не подарок, прямо скажем. Мы ведь уже на пятом уровне с вами, не так ли? И, кстати сказать, даже по внешнему виду уравнения сразу было понятно, что ответ красивым целым числом не получится.

        Возможно, кто-то спросит: «А что, если поделить это же уравнение не на 2^x, а на 3^x? Это как-то повлияет на ответ?» А вы не поленитесь и попробуйте! И сравните. Будет интересно.)

        А теперь обещанный ответ на хитрый вопрос, почему же мы можем смело делить всё уравнение на показательное выражение с иксом типа 2^x, 3^2x и т.п. Ведь, казалось бы, в показателе сидит икс! А делить на выражение с иксом мы имеем право лишь тогда это выражение отлично от нуля! А откуда мы знаем, какое там число получится — ноль, не ноль…

        Любое число может получиться! Почти… Но не ноль! Ещё раз (уже третий по счёту!) напоминаю, что положительное число в любой степени (в том числе и с иксом!) даёт число положительное! Никогда не получится ни отрицательное число, ни ноль! Именно поэтому такое деление в показательных уравнениях применяется весьма и весьма часто. И, как видите, порой только оно и спасает.

        Ну и на десерт рассмотрим ещё одно уравнение на деление. С одной стороны оно посложнее (ибо решается дольше), а с другой — попроще (ибо безо всяких логарифмов, все числа — красивые).

        Вот оно:

        5·3^2x + 3·5^2x = 8·15^x

        С чего начинать? Ну, пока сделаем очевидное преобразование — распишем 15^x как произведение 3^x·5^x. Всё-таки два основания в примере получше, чем три, правда?

        Получим:

        5·3^2x + 3·5^2x = 8·3^x·5^x

        Ну вот, уже гораздо приятнее. В основаниях остались только тройки и пятёрки. Но… Что же дальше? Основания разные, к одному через степень не приводятся. Замена не годится: нету пока что одинаковых выражений с иксами. Вынесение общего множителя за скобки и группировка — тоже не канают: ни выносить нечего, ни группировать… Так, стоп! А что, если поделить обе части уравнения на… да хоть на что-нибудь! Например, на 5^2x.

        Что получим:

        И чем же нам помогло такое, казалось бы, бессмысленное действие? Терпение! Сейчас всё будет! Работаем дальше. Упрощаем каждое слагаемое по правилам действий со степенями, сокращаем то, что сокращается и получаем:

        Ну и как? Осенило? Да! Теперь уже очевидно, что можно сделать замену (3/5)^x = t. Получится квадратное уравнение. Кажется, жизнь налаживается!

        5t² + 3 = 8t

        5t² — 8t + 3 = 0

        Решаем и получаем корни:

        t₁ = 1

        t₂ = 3/5

        Возвращаемся к иксам. Для t₁ = 1 получим:

        Для t₂ = 3/5 получим:

        Видите! Всего одно бесполезное, казалось бы, действие (деление на 5^2x) — а эффект колоссальный! Сразу же всё высвечивается — что преобразовать, что сократить, что заменить…

        Запоминаем: при решении сложных примеров очень часто применяется почленное деление на показательное выражение. Основная цель — сделать как можно больше одинаковых выражений в примере.

        А теперь второй хитрый вопрос.) Мы с вами решаем самые разные показательные уравнения. Простые и не очень. Почему я ни разу не сказал здесь про ОДЗ? В уравнениях это весьма и весьма важная штука, между прочим!

        Да, важная, безусловно. Но фишка в том, что показательные выражения типа 2^x, 3^2x и тому подобные, имеют смысл при любом икс! Нету никаких ограничений на показатель степени. Любым может быть показатель. Вот обычно и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях.

        Но я всё-таки вспомнил. И не зря. Привыкают люди к типовым примерам (когда в показателях стоят простые выражения типа x, 2x+1 и т.п.), вот и не вспоминают про ОДЗ в показательных уравнениях. Вообще! Даже и в таких показательных уравнениях не вспоминают:

        А вот здесь уже есть ограничение! В показателе слева икс не может равняться тройке! На ноль делить нельзя. В том числе и в показателе, да.) И, если по привычке проигнорировать это ограничение, то, чего доброго, можно и ответ неверный получить.

        Так что привычка привычкой, но внимание — превыше всего.

        Ну что! Поздравляю! Мы с вами успешно поработали с показательными уравнениями на всех уровнях! И теперь — финальный аккорд. Обещанная домашка. Да-да, решать так решать! Вам же экзамен сдавать, а не мне.) Так что меняем мышку на ручку и — тренируемся.)

        Уравнения даю вразброс, никак не сортируя их ни по типам, ни по способам решения. Ибо так интереснее.)

        Рецепт здесь один: внимательно осматриваем уравнение и сами лично выбираем способ решения. Если сразу не осеняет, то поочерёдно пробуем  все известные вам приёмы, о которых я рассказал на прошедших уроках. Что-то сработает, что-то — нет. Это не страшно. Пробуем дальше. Что-то обязательно сработает!

        Решить уравнения:

        Да-да, прошу не удивляться последнему уравнению! Это уравнение смешанного типа: иксы стоят и в показателях, и просто так. Такие уравнения мы с вами не рассматривали, да.) Но материала этого урока вполне достаточно для успешной расправы с этим монстром. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка)!

        Ответы (в беспорядке):

        x = -2

        x₁ = -1    x₂ = log₂5

        x = 2

        x = 5

        x₁ = 0     x₂ = 0,5

        x = 1

        x₁ = -0,5   x₂ = 0,5

        x₁ = -3    x₂ = 0

        решений нет