Коэффициент
вариации,
или изменчивости, годового
стока служит мерой оценки колебания
годовых величин стока относительно его
нормы и численно равен относительному
среднему
квадратическому отклонению
.
Он служит также
для сравнения отдельных статистических
рядов, например годовых
величин стока разных рек, в отношении
их изменчивости
или рассеяния точек на кривой.
При
наличии длительных наблюдений Указаниями
СН 371-67 предусматриваются
два метода определения
в зависимости от
изменчивости годового стока.
Если
изменчивость годового стока невелика
и характеризуется коэффициентом вариации
,
рекомендуется следующая
формула
(3.1)
где
ki
– модульный
коэффициент стока каждого года; n
– число лет
наблюдений (число членов статистического
ряда).
При
n<30
формула (3.1) используется в виде
(3.1′)
Формула
(3.1) представляет собой выражение второго
момента
площади кривой распределения относительно
центральной ординаты,
а метод определения
и
по
формулам (3.1 ) и
(3.6) называется методом моментов.
Относительная
средняя квадратическая ошибка коэффициента
вариации, вычисленная по этим формулам,
равна
(3.2)
Формула
(4.2) предложена Е. Г. Блохиновым и
рекомендована Указаниями СН 371-67.
Для
нормального распределения параметра
или близкого к нему более обоснованной
формулой определения
является:
(3.3)
Значения
в зависимости
от п и
вычисленные по формулам (3.2) и (3.3),
приводятся в таблицах 3.1 и 3.2.
Таблица
3.1
Относительные
средние квадратические ошибки (%)
коэффициента вариации, вычисленные по
формуле (3.2)
|
|
Число |
|||||||||
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
|
0,20 |
23 |
16 |
13 |
11 |
10 |
9,3 |
8,6 |
8,1 |
7,6 |
7,2 |
|
0,30 |
23 |
17 |
14 |
12 |
10 |
9,6 |
8,8 |
8,3 |
7,8 |
7,4 |
|
0,40 |
24 |
17 |
14 |
12 |
11 |
9,8 |
9,1 |
8,5 |
8,0 |
7,6 |
Примечание.
При
промежуточных значениях Cv
и
п
определяется
по
интерполяции.
Таблица
3.2
Относительные
средние квадратические ошибки (%)
коэффициента вариации, вычисленные по
формуле (3.3)
|
n |
|
||||
|
0,20 |
0,40 |
0,60 |
0,80 |
1,00 |
|
|
10 |
23,2 |
25 7 |
29,4 |
33,7 |
38,6 |
|
20 |
16,5 |
18,2 |
20,7 |
23,9 |
27,4 |
|
30 |
13,4 |
14,8 |
16,9 |
19,5 |
22,3 |
|
50 |
10,4 |
11,5 |
13,1 |
15,1 |
17,3 |
|
100 |
7,4 |
8,2 |
9,3 |
10,7 |
12,3 |
Из
этих таблиц видно, что для определения
<0,50
с точ-ностью ±10% необходимо иметь ряд
наблюдений продолжительностью 50—60
лет, а вычисления по формулам (3.2) и (3.3)
дают малую разницу, которая практически
не сказывается на конечных результатах
расчетов.
При
большой изменчивости годового стока
(
>0,50),
что характерно для рек засушливых
районов, коэффициент вариации определяется
методом наибольшего правдоподобия. По
этому методу значение Cv
устанавливается
в зависимости от параметра ,
который представляет собой среднее
значение логарифмов модульных
коэффициентов lg
k
и вычисляется по равенству
(3.4)
Имея
значение ,
по таблице 3.3 легко установить величину
Cv.
Относительная
средняя квадратическая ошибка Cv,
установленного
с помощью параметра ,
приближенно
равна
(3.5)
Более
точные значения
,
вычисленные
методом наибольшего
правдоподобия, приводятся в таблице
3.4.
Значения
коэффициентов вариации, определенные
методом моментов
и методом наибольшего правдоподобия
при Сv
>0,5,
различаются
не более чем на 2–3% (таблица 3.4). В то же
время метод
наибольшего правдоподобия отличается
сложностью и громоздкостью
вычислений. Поэтому можно считать, что
метод наибольшего
правдоподобия для определения Cv
не
имеет преимущества перед методом
моментов и при массовых расчетах Cv
лучше пользоваться последним, т.е.
формулой (3.1),
который
оправдал себя при многочисленном
практическом применении.
Коэффициенты
вариации, установленные по формуле
(4.1)
и по
табл. 3.4 с помощью параметра ,
принимаются
в качестве расчетных,
когда их средняя квадратическая ошибка,
вычисленная
по формуле (3.2), не превышает следующие
пределы:
Интервалы
значений Cv
0,2—0,3
0,4—0,8 больше 0,8
Допустимая средняя
квадратическая
ошибка, %
20 10 5
Таблица
3.3
Относительная
средняя квадратическая ошибка (%)
коэффициента изменчивости
|
Cv |
Число |
|||||||||
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
|
|
0 50 |
21,5 |
15,2 |
12,4 |
10,8 |
9,6 |
8,8 |
8,1 |
7,6 |
7,2 |
6,8 |
|
0,75 |
20,5 |
14,5 |
11,8 |
10,3 |
9,2 |
8,4 |
7,7 |
7,2 |
6,9 |
6,5 |
|
1,00 |
19,4 |
13,7 |
11,2 |
9,7 |
8,7 |
7,9 |
7,3 |
6,8 |
6,5. |
6,1 |
|
1,25 |
18,2 |
12,8 |
10,5 |
9,1 |
8,1 |
7,5 |
6,9 |
6,4 |
6,1 |
5,8 |
|
1,50 |
16,9 |
12,0 |
9,8 |
8,5 |
7,6 |
6,9 |
6,4 |
6,0 |
5,7 |
5,4 |
|
1,75 |
15,8 |
11,2 |
9,1 |
7,9 |
7,0 |
6,4 |
6,0 |
5,6 |
5,3 |
5,0 |
|
2,00 |
14,6 |
10,4 |
8,4 |
7,3 |
6,6 |
6,0 |
5,5 |
5,2 |
4,9 |
4,6 |
Примечание.
При промежуточных значениях
Cv
и п средняя
квадра. тическая
ошибка определяется по интерполяции.
Таблица
3.4
Средние
значения Cv,
определенные
методами моментов и наибольшего
правдоподобия
-
Истинное
значение CvОбъем
выборки
иЗначение
Cvпо методу
моментовпо
методу наибольшего
правдоподобия0,25
0,50
1,00
25
50
25
50
25
50
0,25
0,24
0,49
0,50
0,97
0,98
0,25
0,25
0,49
0,50
0,99
1,00
Максимальные
ошибки Cv
значительно
превышают среднее квадратическос
значение. Они возможны тогда, когда в
короткий
ряд наблюдений, по которому определяются
Cv
, входит очень многоводный
или маловодный год, повторяемость
которого значительно
реже чем один раз в п
лет.
Однако вероятность больших
ошибок Cv,
в два-три раза превышающих ее среднюю
квадратическую
величину, очень мала.
Коэффициент
асимметрии
Cs
характеризует
несимметричность ряда
величин стока относительно его среднего
значения.
Это менее устойчивый параметр кривой
распределения
или обеспеченности и для надежного его
определения требуется
ряд наблюдений над стоком более 100—150
лет. По
имеющимся рядам наблюдений можно
установить лишь приближенное
значение коэффициента асимметрии. Для
этой цели используется формула третьего
момента
(3.6)
Относительная
средняя квадратическая ошибка Cs
зависит от
коэффициента вариации Сv
и числа лет наблюдений п.
Ее значение
при Cs
= 2Cv
с учетом
асимметричного распределения годовых
величин стока может быть определена по
формуле С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля.
Так
при обычных значениях CV=0,20—0,40
средняя квадратичная ошибка
при
n=20—30
составляет около 14—16% от значения
коэффициента, а при n
= 50 уменьшается до 10—12%. Относительная
среднеквадратичная ошибка определения
коэффициента Cs
вычисляется
по формуле
(3.7)
Величины
этих ошибок коэффициентов Cv
и
Cs,
определенных
по формулам (3.2-3.3) и (3.7), даны в таблицах
3.2–3.3 и 3.6.
Для
наиболее распространенных величин
годового стока рек лесной и лесостепной
зон Cv=0,20÷0,50.
Средняя ошибка его определения при
n=20-30
лет находится в пределах 15,5-19,5%.
Для
надежного подсчета коэффициента Сs
необходимо иметь, длительный ряд
(порядка
100
и
более), что практически бывает крайне
редко. Коэффициент обладaeт
более значительной устойчивостью во
времени и для надежного его подсчета
достаточен более короткий ряд наблюдении.
Поэтому обычно величину Сs
принимают
кратно значению Сv
т.е.
Сs=а
Сv (3.8)
Таблица
3.5
Относительные
средние квадратические ошибки определения
коэффициента асимметрии
в % приСs
=2Cv
|
п |
Коэффициент |
|||||
|
0,10 |
0,20 |
0,40 |
126 |
0,80 |
1,00 |
|
|
10 |
399 |
216 |
140 |
126 |
126 |
134 |
|
20 |
281 |
153 |
99 |
85 |
89 |
95 |
|
30 |
234 |
125 |
80 |
72 |
74 |
78 |
|
40 |
199 |
108 |
70 |
63 |
64 |
67 |
|
50 |
178 |
96 |
63 |
56 |
57 |
60 |
|
100 |
125 |
69 |
44 |
39 |
41 |
42 |
Величина
а для
различных гидрологических характеристик
принимается различной. Так, для
биноминальной асимметричной кривой
пределом этой величины могут быть от
а=2 до
;Кмин
– отношение
наинизшего расхода к среднему данного
ряда). Для среднегодового стока равенство
коэффициентов CS=Cv
справедливо
только при малых величинах Cv.
При больших
величинах
Cv
следует
применять
,
что дает, как правило, величинуCS>2CV.
Для других
гидрологических величин соотношение
между Cv
и CS,
будет указано ниже.
При
наличии ряда наблюдений порядка 20 и
более построение кривой обеспеченности
выполняется с помощью таблицы
вспомогательных величин, образец которой
приведен в таблице. 3.6.
В
графе 12 подсчитывается обеспеченность
точек (модульных коэффициентов)
эмпирической кривой р
% определяется
по формуле
(3.9)
где
m
– порядковый номер члена ряда при
расположении их в убывающем порядке; n
– число членов в ряду.
Таблица
3.6
Вспомогательные
величины для построения кривой
обеспеченности
|
№ пп |
Год |
Q м3/сек |
в убывающ ем |
|
(k |
(k |
(k |
р, % |
|||
|
+ |
|
+ |
|
||||||||
|
годы |
Q, |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
1 |
1894 |
1938 |
|||||||||
|
2 |
1895 |
1941 |
|||||||||
|
… |
… |
||||||||||
|
… |
1941 |
||||||||||
|
Сумма |
|
|
|
|
|
На
график (рис. 3.1) наносят точки ряда
наблюдений (полые кружки) и получают
кривую обеспеченности. Пользуясь табл.
3.6.можно построить на этом же графике
теоретическую кривую обеспеченности.
Для этого из графы 5 надо получить
величину 
откуда
можно получить
Для
контроля правильности подсчета сумма
модульных коэффициентов должна
удовлетворять равенству
,
а
в графах 7, 8 
.Используя
сумму 
,
из графы 9 можно получить значение
значение Cv
по
формуле (3.1-3.1′). В первом приближении
применяем CS=2CV.
Для
получения теоретических точек кривой
обеспеченности следует пользоваться
таблицей Фостера – Рыбкина, в которой
приведены отклонения ординат кривой
обеспеченности от середины Ф
при Хср
= 1 и Cv=1
(см. табл. 3.9).
Пользуясь
табл. 3.7, можно подсчитать значения
модульных коэффициентов по формуле
(3.10)
Затем
по формуле (4.5) определить значения
расходов разной обеспеченности:
(3.11)
|
р, |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
|
Сs=0,57 |
|||||||||||||
|
Фр |
|||||||||||||
|
Фр |
|||||||||||||
|
kp |
|||||||||||||
|
Qp |
|||||||||||||
|
kp |
|||||||||||||
|
Qp |
Результаты заносятся
в табл. 3.7.
Таблица 3.7
Полученные
значения Qр
– наносят
на график, приведенный на рис. 3.1 (на
рисунке значения Qр.
обозначены сплошными кружками). Если
проведенная по этим кружкам кривая
обеспеченности (пунктирная) не совпадает
с кривой, построенной по наблюденным
данным, то это обозначает, что принятое
значение Cs
для построения
теоретической кривой не соответствует
значению Cs
соответствующего
фактическим данным. Это значение
необходимо изменять до
тех
пор, пока теоретическая кривая не
совпадет с кривой натурных наблюдений.
Биноминальная
кривая обеспеченности хорошо согласуется
с натурными данными. Однако она имеет
ряд недостатков, одним из которых
является то, что при соотношении Cs
< 2 Cv
встречающемся на практике при расчетах
годового стока рек засушливых районов,
ординаты кривой обеспеченности в нижней
части имеют отрицательные значения.
Для исключения этого недостатка С. Н.
Крицкий и М. Ф. Менкель предложили новые
кривые обеспеченности [35]. По этим кривым
при любом соотношении Cs
и Cv
нулевая
ордината получается только при
обеспеченности в 100%. При CS=2CV
кривая
обеспеченности совпадает с биномальной
ассиметричной кривой.
Ассиметричные
кривые на
клетчатке вероятности спрямляются не
полностью и имеют выпуклость тем большую
, чем больше коэффициент асимметрии.
При положительной асимметрии выпуклость
обращена вниз, при отрицательной –
вверх.
Характеристика
связи между обеспеченностью и
повторяемостью расходов приведена в
табл. 3.8.
Применение
методов теории вероятности и математической
статистики
в решении гидрологических задач получило
широкое распространение как у нас, так
и за границей. Однако следует отметить
несовершенство
и условность этих методов. Кривые
обеспеченности, построенные теоретическим
путем, необходимо каждый раз анализировать
и проверять, используя фактические
наблюдения.
Рис.
3.1. Кривая обеспеченности средних годовых
расходов на клетчатке вероятности
Дальнейшее
развитие гидрологии должно идти по пути
все большего
развития генетических методов. Под ними
следует подразумевать
исследование закономерностей развития
гидрологических явлений и процессов
на основе обобщения данных наблюдений
и их физического анализа.
Таблица
3.8
Характеристики
лет
разной
обеспеченности
-
Обеспеченность,
%Повторяется
1
раз в n
летХарактеристика
года0,1
1000
Катастрофически
многоводный1
100
Очень многоводный
5
20
Многоводный
10
10
Средней
многоводности25
4
Средней
многоводности50
2
Медианный
75
4
Средней
маловодности90
10
Средней
маловодности95
20
Маловодный
97
33
Маловодный
99
100
Очень маловодный
99,9
1000
Катастрофически
маловодный
Таблица 3.9
Отклонение
ординат биноминальной асимметрической
кривой обеспеченности от середины (от
1,0) при Cv=1
|
CS |
Обеспеченность |
CS |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
0,00 |
3,72 |
3,09 |
2,33 |
1,88 |
1,64 |
1,28 |
0,84 |
0,67 |
0,52 |
0,25 |
0,00 |
-0,25 |
-0,52 |
-0,67 |
-0,84 |
-1,28 |
-1,64 |
-1,88 |
-2,33 |
-3,09 |
0,00 |
|
0,05 |
3,83 |
3,16 |
2,36 |
1,90 |
1,65 |
1,28 |
0,84 |
0,66 |
0,52 |
0,24 |
-0,01 |
-0,26 |
-0,52 |
-0,68 |
-0,84 |
-1,28 |
-1,62 |
-1,86 |
-2,29 |
-3,02 |
0,05 |
|
0,10 |
3,94 |
3,23 |
2,40 |
1,92 |
1,67 |
1,29 |
0,84 |
0,66 |
0,51 |
0,24 |
-0,02 |
-0,27 |
-0,53 |
-0,68 |
-0,85 |
-1,27 |
-1,61 |
-1,81 |
-2,25 |
-2,95 |
0,10 |
|
0,15 |
4,05 |
3,31 |
2,44 |
194 |
1,68 |
1,30 |
0,84 |
0,66 |
0,50 |
0,23 |
-0,02 |
-0,28 |
-0,54 |
-0,68 |
-0,85 |
-1,26 |
-1,60 |
-1,82 |
-2,22 |
-2,88 |
0,15 |
|
0,20 |
4,16 |
3,38 |
2,47 |
1,96 |
1,70 |
1,30 |
0,83 |
0,65 |
050 |
0,22 |
-0,03 |
-0,28 |
-0,55 |
-0,69 |
-0,85 |
-1,26 |
-1,58 |
-1,79 |
-2,18 |
-2,81 |
0,20 |
|
0,25 |
4,27 |
3,45 |
2,50 |
1,98 |
1,71 |
1,30 |
0,82 |
0,64 |
0,49 |
0,21 |
-0,04 |
-0,29 |
-0,56 |
-0,70 |
-0,85 |
-1,25 |
-1,56 |
-1,77 |
-2,14 |
-2,74 |
0,25 |
|
0,30 |
4,38 |
3,52 |
2,54 |
2,00 |
1,72 |
1,31 |
0,82 |
0,64 |
0,48 |
0,20 |
-0,05 |
-0,30 |
-0,56 |
-0,70 |
-0,85 |
-1,24 |
-1,55 |
-1,75 |
-2,10 |
-2,67 |
0,30 |
|
0,35 |
4,50 |
3,59 |
2,58 |
2,02 |
1,73 |
1,32 |
0,82 |
0,64 |
0,48 |
0,20 |
-0,06 |
-0,30 |
0,56 |
-0,70 |
-0,85 |
-1,24 |
-1,53 |
-1,72 |
-2,06 |
-2,60 |
0,35 |
|
0,40 |
4,61 |
3,66 |
2,61 |
2,04 |
1,75 |
1,32 |
0,82 |
0,63 |
0,47 |
0,19 |
-0,07 |
-0,31 |
-0,57 |
-0,71 |
-0,85 |
-1,23 |
-1,52 |
-1,70 |
-2,03 |
-2,54 |
0,40 |
|
0,45 |
4,72 |
3,74 |
2,64 |
2,06 |
1,76 |
1,32 |
0,82 |
0,62 |
0,46 |
0,18 |
-0,08 |
-0,32 |
-0,58 |
-0,71 |
-0,85 |
-1,22 |
-1,51 |
-1,68 |
-2,00 |
-2,47 |
0,45 |
|
0,50 |
4,83 |
3,81 |
2,68 |
2,08 |
1,77 |
1,32 |
0,81 |
0,62 |
0,46 |
0,17 |
-0,08 |
-0,33 |
-0,58 |
-0,71 |
-0,85 |
-1,22 |
-1,49 |
-1,66 |
-1,99 |
-2,40 |
0,50 |
|
0,55 |
4,94 |
3,88 |
2,72 |
2,10 |
1,78 |
1,32 |
0,80 |
0,62 |
0,45 |
0,16 |
-0,09 |
-0,34 |
-0,58 |
-0,72 |
-0,85 |
-1,21 |
-1,47 |
-1,64 |
-1,92 |
-2,32 |
0,55 |
|
0,60 |
5,05 |
3,96 |
2,75 |
2,12 |
1,80 |
1,33 |
0,80 |
0,61 |
0,44 |
0,16 |
-0,10 |
-0,34 |
-0,59 |
0,72 |
-0,85 |
-1,20 |
-1,45 |
-1,61 |
-1,88 |
-2,27 |
0,60 |
|
0,65 |
5,16 |
4,03 |
2,78 |
2,14 |
1,81 |
1,33 |
0,80 |
0,60 |
0,44 |
0,15 |
-0,11 |
-0,35 |
-0,60 |
-0,72 |
-0,85 |
-1,44 |
1,19- |
1,59 |
-1,84 |
-2,20 |
0,65 |
|
0,70 |
5,28 |
4,10 |
2,82 |
2,15 |
1,82 |
1,33 |
0,79 |
0,59 |
0,43 |
0,14 |
-0,12 |
-0,36 |
-0,60 |
-0,72 |
-0,85 |
-1,18 |
-1,42 |
-1,57 |
-1,81 |
-2,14 |
0,70 |
|
0,75 |
5,39 |
4,17 |
2,86 |
2,16 |
1,83 |
1,34 |
0,78 |
0,58 |
0,42 |
0,13 |
-0,12 |
-0,36 |
-0,60 |
-0,72 |
-0,86 |
-1,18 |
-1,40 |
-1,54 |
-1,78 |
-2,08 |
0,75 |
|
0,80 |
5,50 |
4,24 |
2,89 |
2,18 |
1,84 |
1,34 |
0,78 |
0,58 |
0,41 |
0,12 |
-0,13 |
-0,37 |
-0,60 |
-0,73 |
-0,86 |
-1,17 |
-1,38 |
-1,52 |
-1,74 |
-2,02 |
0,80 |
|
0,85 |
5,62 |
4,31 |
2,92 |
2,20 |
1,85 |
1,34 |
0,78 |
0,58 |
0,40 |
0,12 |
-0,14 |
-0,38 |
-0,60 |
-0,73 |
-0,86 |
-1,16 |
-1,35 |
-,49 |
-1,70 |
-1,96 |
0,85 |
|
0,90 |
5,73 |
4,38 |
2,96 |
2,22 |
1,86 |
1,34 |
0,77 |
0,57 |
0,40 |
0,11 |
-0,15 |
-0,38 |
-0,61 |
-0,73 |
-0,85 |
-1,15 |
-1,35 |
-1,47 |
-1,66 |
-1,90 |
0,90 |
|
0,95 |
5,84 |
4,46 |
2,99 |
2,24 |
1,87 |
1,34 |
0,76 |
0,56 |
0,39 |
0,10 |
-0,16 |
-0,38 |
-0,62 |
-0,73 |
-0,85 |
-1,14 |
-1,34 |
-1,44 |
-1,62 |
-1,84 |
0,95 |
|
1,00 |
5,96 |
4,53 |
3,02 |
2,25 |
1,88 |
1,34 |
0,76 |
0,55 |
0,38 |
0,09 |
-0,16 |
-0,39 |
-0,62 |
-0,73 |
-0,85 |
-1,13 |
-1,32 |
-1,42 |
-1,59 |
-1,79 |
1,00 |
|
1,05 |
6,07 |
4,60 |
3,06 |
2,26 |
1,88 |
1,84 |
0,75 |
0,54 |
0,37 |
0,08 |
-0,17 |
-0,40 |
-0,62 |
-0,74 |
-0,85 |
-1,12 |
-1,30 |
-1,40 |
-1,56 |
-1,74 |
1,05 |
|
1,10 |
6,18 |
4,67 |
3,09 |
2,28 |
1,89 |
1,34 |
0,74 |
0,54 |
0,36 |
0,07 |
-0,18 |
-0,41 |
-0,62 |
-0,74 |
-0,85 |
-1,10 |
-1,28 |
-1,38 |
-1,52 |
-1,68 |
1,10 |
|
1,15 |
6,30 |
4,74 |
3,12 |
2,30 |
1,90 |
1,34 |
0,74 |
0,53 |
0,36 |
0,06 |
-0,18 |
-0,42 |
-0,62 |
-0,74 |
-0,84 |
-1,09 |
-1,26 |
-1,36 |
-1,48 |
-1,63 |
1,15 |
|
1,20 |
6,41 |
4,81 |
3,15 |
2,31 |
1,91 |
1,34 |
0,73 |
0,52 |
0,35 |
0,05 |
-0,19 |
-0,42 |
-0,63 |
-0,74 |
-0,84 |
-1,08 |
-1,24 |
-1,33 |
-1,45 |
-1,58 |
1,20 |
|
1,25 |
6,52 |
4,88 |
3,18 |
2,32 |
1,92 |
1,34 |
0,72 |
0,52 |
0,34 |
0,04 |
-0,20 |
-0,42 |
-0,63 |
-0,74 |
-0,84 |
-1,07 |
-1,22 |
-1,30 |
-1,42 |
-1,53 |
1,25 |
|
1,30 |
6,64 |
4,95 |
3,21 |
2,34 |
1,92 |
1,34 |
0,72 |
0,51 |
0,33 |
0,04 |
-0,21 |
-0,43 |
-0,63 |
-0,74 |
-0,84 |
-1,06 |
-1,20 |
-1,28 |
-1,38 |
-1,48 |
1,30 |
|
1,35 |
6,76 |
5,02 |
3,24 |
2,36 |
1,93 |
1,34 |
0,72 |
0,50 |
0,32 |
0,03 |
-0,22 |
-0,44 |
-0,64 |
-0,74 |
-0,84 |
-1,05 |
-1,18 |
-1,26 |
-1,35 |
-1,44 |
1,35 |
|
1,40 |
6,87 |
5,09 |
3,27 |
2,37 |
1,94 |
1,34 |
0,71 |
0,49 |
0,31 |
0,02 |
-0,22 |
-0,44 |
-0,64 |
-0,73 |
-0,83 |
-1,04 |
-1,17 |
-1,23 |
-1,32 |
-1,39 |
1,40 |
|
1,45 |
6,98 |
5,16 |
3,30 |
2,38 |
1,94 |
1,34 |
0,70 |
0,48 |
0,30 |
0,01 |
-0,23 |
-0,44 |
-0,64 |
-0,73 |
-0,82 |
-1,03 |
-1,15 |
-1,21 |
-1,29 |
-1,35 |
1,45 |
|
1,50 |
7,09 |
5,23 |
3,33 |
2,39 |
1,95 |
1,33 |
0,69 |
0,47 |
0,30 |
0,00 |
-0,24 |
-0,45 |
-0,64 |
-0,73 |
-0,82 |
-1,02 |
-1,13 |
-1,19 |
-1,26 |
-1,31 |
1,50 |
|
1,60 |
7,31 |
5,37 |
3,39 |
2,42 |
1,96 |
1,33 |
0,68 |
1,46 |
0,28 |
-0,02 |
-0,25 |
-0,46 |
-0,64 |
-0,73 |
-0,81 |
-0,99 |
-1,10 |
-1,14 |
-1,20 |
-1,24 |
1,60 |
Окончание
3.9
|
CS |
Обеспеченность |
CS |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
1,70 |
7,54 |
5,50 |
3,44 |
2,44 |
1,97 |
1,32 |
0,66 |
0,44 |
0,26 |
-0,03 |
-0,27 |
-0,47 |
-0,64 |
-0,72 |
-0,81 |
-0,97 |
-1,06 |
-1,10 |
-1,14 |
-1,17 |
1,70 |
|
1,80 |
7,76 |
5,64 |
3,50 |
2,46 |
1,98 |
1,32 |
0,64 |
0,42 |
0,24 |
-0,05 |
-0,28 |
-0,48 |
-0,64 |
-0,72 |
-0,80 |
-0,94 |
-1,02 |
-1,06 |
-1,09 |
-1,11 |
1,80 |
|
1,90 |
7,98 |
5,77 |
3,55 |
2,49 |
1,99 |
1,31 |
0,63 |
0,40 |
0,22 |
-0,07 |
-0,29 |
-0,48 |
-0,64 |
-0,72 |
-0,79 |
-0,92 |
-0,98 |
-1,01 |
-1,04 |
-1,05 |
1,90 |
|
2,0 |
8,21 |
5,91 |
3,60 |
2,51 |
2,00 |
1,30 |
0,61 |
0,39 |
0,20 |
-0,08 |
-0,31 |
-0,49 |
-0,64 |
-0,71 |
-0,78 |
-0,90 |
-,095 |
-0,97 |
-0,99 |
-1,00 |
2,0 |
|
2,10 |
— |
6,06 |
3,65 |
2,53 |
2,00 |
1,29 |
0,60 |
0,38 |
0,19 |
-0,01 |
-0,32 |
-0,49 |
-0,64 |
-0,70 |
-0,77 |
-0,87 |
-0,92 |
-0,94 |
-0,95 |
-0,95 |
2,10 |
|
2,20 |
— |
6,20 |
3,70 |
2,55 |
2,01 |
1,28 |
0,58 |
0,37 |
017 |
-0,11 |
-0,33 |
-0,49 |
-0,63 |
-0,69 |
-0,75 |
-0,85 |
-0,89 |
-0,90 |
-0,90 |
-0,91 |
2,20 |
|
2,30 |
— |
6,34 |
3,75 |
2,56 |
2,01 |
1,27 |
0,56 |
0,35 |
0,15 |
-0,12 |
-0,34 |
-0,49 |
-0,62 |
-0,68 |
-0,73 |
-0,82 |
-0,85 |
-0,86 |
-0,87 |
-0,87 |
2,30 |
|
2,40 |
— |
6,47 |
3,79 |
2,57 |
2,01 |
1,25 |
0,54 |
0,33 |
0,13 |
-0,14 |
-0,35 |
-0,50 |
-0,62 |
-0,66 |
-0,72 |
-0,79 |
-0,82 |
-0,83 |
-0,83 |
-0,83 |
2,40 |
|
2,50 |
— |
6,60 |
3,83 |
2,58 |
2,01 |
1,24 |
0,53 |
0,32 |
0,12 |
-0,15 |
-0,36 |
-0,50 |
-0,61 |
-0,65 |
-0,70 |
-0,77 |
-0,79 |
-0,80 |
-0,80 |
-0,80 |
2,50 |
|
2,60 |
— |
6,73 |
3,87 |
2,59 |
2,01 |
1,23 |
0,51 |
0,30 |
0,10 |
-0,17 |
-0,37 |
-0,50 |
-0,60 |
-0,64 |
-0,68 |
-0,74 |
-0,76 |
-0,76 |
-0,77 |
-0,77 |
2,60 |
|
2,70 |
— |
6,86 |
3,91 |
2,60 |
2,01 |
1,21 |
0,49 |
0,28 |
0,08 |
-0,18 |
-0,38 |
-0,50 |
-0,60 |
-0,63 |
-0,67 |
-0,72 |
-0,73 |
-0,74 |
-0,74 |
-0,74 |
2,70 |
|
2,80 |
— |
6,99 |
3,95 |
2,61 |
2,02 |
1,20 |
0,47 |
0,27 |
0,06 |
-0,20 |
-0,38 |
-0,50 |
-0,59 |
-0,62 |
-0,65 |
-0,70 |
-0,71 |
-0,71 |
-0,71 |
-0,71 |
2,80 |
|
2,90 |
— |
7,12 |
3,99 |
2,62 |
2,02 |
1,19 |
0,45 |
0,26 |
0,04 |
-0,21 |
-0,39 |
-0,50 |
-0,58 |
-0,61 |
-0,64 |
-0,67 |
-0,68 |
-0,69 |
-0,69 |
-0,69 |
2,90 |
|
3,00 |
— |
7,25 |
4,02 |
2,63 |
2,02 |
1,18 |
0,42 |
0,25 |
0,03 |
-0,23 |
-0,40 |
-0,50 |
-0,57 |
-0,61 |
-0,62 |
-0,65 |
-0,66 |
-0,66 |
-0,67 |
-0,67 |
3,00 |
|
3,10 |
— |
7,23 |
4,09 |
2,66 |
1,97 |
1,11 |
0,37 |
0,17 |
0,010 |
-0,23 |
-0,40 |
-0,51 |
-0,58 |
-0,60 |
-0,62 |
-0641 |
-0,645 |
-0,646 |
-0,646 |
-0,646 |
3,10 |
|
3,20 |
— |
7,35 |
4,11 |
2,66 |
1,96 |
1,09 |
0,35 |
0,15 |
-0,0006 |
-0,25 |
-0,41 |
-0,51 |
-0,57 |
-0,59 |
-0,61 |
-0,621 |
-0,625 |
-0,625 |
-0,625 |
-0,625 |
3,20 |
|
3,30 |
— |
7,44 |
4,15 |
2,66 |
1,95 |
1,08 |
0,33 |
0,13 |
-0,022 |
-0,26 |
-0,41 |
-0,50 |
-0,56 |
-0,58 |
-0,59 |
-0,605 |
-0,606 |
-0,606 |
-0,606 |
-0,606 |
3,30 |
|
3,40 |
— |
7,54 |
4,18 |
2,66 |
1,94 |
1,06 |
0,31 |
0,11 |
-0,036 |
-0,27 |
-0,41 |
-0,50 |
-0,55 |
-0,57 |
-0,58 |
-0,586 |
-0,587 |
-0,589 |
-0,589 |
-0,589 |
3,40 |
|
3,50 |
— |
7,64 |
4,21 |
2,66 |
1,93 |
1,04 |
0,29 |
0,085 |
-0,049 |
-0,28 |
-0,41 |
-0,50 |
-0,54 |
-0,55 |
-0,56 |
-0,57 |
-0,571 |
-0,571 |
-0,571 |
-0,571 |
3,50 |
|
3,60 |
— |
7,72 |
4,24 |
2,65 |
1,93 |
1,03 |
0,28 |
0,064 |
-0,072 |
-0,28 |
-0,42 |
-0,49 |
-0,54 |
-0,54 |
-0,55 |
-0,555 |
-0,556 |
-0,566 |
-0,556 |
0,552 |
3,60 |
|
3,70 |
— |
7,86 |
4,26 |
2,66 |
1,91 |
1,01 |
0,26 |
0,048 |
-0,084 |
-0,29 |
-0,42 |
-0,48 |
-0,52 |
-0,53 |
-0,54 |
-0,541 |
-0,541 |
-0,541 |
-0541 |
-0,541 |
3,70 |
|
3,80 |
— |
7,97 |
4,29 |
2,65 |
1,90 |
1,00 |
0,24 |
0,032 |
-0,095 |
-0,30 |
-0,42 |
-0,48 |
-0,51 |
-0,52 |
-0,52 |
-0,526 |
-0,526 |
-0,526 |
-0,526 |
-0,526 |
3,80 |
|
3,90 |
— |
8,08 |
4,32 |
2,65 |
1,90 |
0,98 |
0,23 |
0,020 |
-0,11 |
-0,30 |
-0,41 |
-0,47 |
-0,50 |
-0,51 |
-0,51 |
-0,513 |
-0,513 |
-0,513 |
-0,513 |
-0,513 |
3,90 |
|
4,00 |
— |
8,17 |
4,34 |
2,65 |
1,90 |
0,96 |
0,21 |
0,010 |
-0,12 |
-0,31 |
-0,41 |
-0,46 |
-0,49 |
-0,49 |
-0,50 |
-0,50 |
-0,50 |
-0,50 |
-0,50 |
-0,50 |
4,00 |
|
4,10 |
— |
8,29 |
4,36 |
2,65 |
1,89 |
0,95 |
0,20 |
0,000 |
-0,13 |
-0,31 |
-0,41 |
-0,46 |
-0,48 |
-0,484 |
-0,486 |
-0,487 |
-0,487 |
-0,487 |
-0,487 |
-0,487 |
4,10 |
|
4,20 |
— |
8,38 |
4,39 |
2,64 |
1,88 |
0,93 |
0,19 |
0,010 |
-0,13 |
-0,31 |
-0,41 |
-0,45 |
-0,47 |
-0,473 |
-0,476 |
-0,476 |
-0,476 |
-0,476 |
-0,476 |
-0,476 |
4,20 |
|
4,30 |
— |
8,49 |
4,40 |
2,64 |
1,87 |
0,92 |
0,17 |
0,021 |
-0,14 |
-0,32 |
-0,40 |
-0,44 |
-0,46 |
-0,462 |
-0,465 |
-0,465 |
-0,465 |
-0,465 |
-0,465 |
-0,465 |
4,30 |
|
4,40 |
— |
8,60 |
4,42 |
2,63 |
1,86 |
0,91 |
0,15 |
0,032 |
-0,15 |
-0,32 |
-0,40 |
-0,44 |
-0,451 |
-0,454 |
-0,455 |
-0,455 |
-0,455 |
-0,455 |
-0,455 |
-0,455 |
4,40 |
|
4,50 |
— |
8,69 |
4,44 |
2,62 |
1,85 |
0,89 |
0,14 |
0,042 |
-0,16 |
-0,32 |
-0,40 |
-0,43 |
-0,441 |
-0,444 |
-0,445 |
-0,445 |
-0,445 |
-0,445 |
-0,445 |
-0,445 |
4,50 |
|
4,60 |
— |
8,79 |
4,46 |
2,62 |
1,84 |
0,87 |
0,13 |
0,052 |
-0,17 |
-0,32 |
-0,40 |
-0,42 |
-0,432 |
-0,434 |
-0,435 |
-0,435 |
-0,435 |
-0,435 |
-0,435 |
-0,435 |
4,60 |
|
4,70 |
— |
8,89 |
4,49 |
2,61 |
1,83 |
0,85 |
0,11 |
0,064 |
-0,18 |
-0,32 |
-0,40 |
-0,42 |
-0,424 |
-0,425 |
-0,426 |
-0,426 |
-0,426 |
-0,426 |
-0,426 |
-0,426 |
4,70 |
|
4,80 |
— |
8,96 |
4,50 |
2,60 |
1,81 |
0,82 |
0,10 |
0,075 |
-0,19 |
-0,32 |
-0,39 |
-0,41 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
-0,416 |
4,80 |
|
4,90 |
— |
9,04 |
4,51 |
2,60 |
1,80 |
0,80 |
0,084 |
0,087 |
-0,19 |
-0,33 |
-0,386 |
-0,401 |
-0,407 |
-0,408 |
-0,409 |
-0,409 |
-0,409 |
-0,409 |
-0,409 |
-0,409 |
4,90 |
|
5,00 |
— |
9,12 |
4,54 |
2,60 |
1,78 |
0,78 |
0,068 |
0,099 |
-0,20 |
-0,33 |
-0,380 |
-0,395 |
-0,399 |
-0,400 |
-0,400 |
-0,400 |
-0,400 |
-0,400 |
-0,400 |
-0,400 |
5,00 |
|
5,10 |
— |
9,20 |
4,57 |
2,60 |
1,76 |
0,76 |
0,051 |
0,11 |
-0,21 |
-0,33 |
-0,376 |
-0,388 |
-0,391 |
-0,392 |
-0,392 |
-0,392 |
-0,392 |
-0,392 |
-0,392 |
-0,392 |
5,10 |
|
5,20 |
— |
9,27 |
4,59 |
2,60 |
1,74 |
0,73 |
0,035 |
0,12 |
-0,21 |
-0,33 |
-0,370 |
-0,382 |
-0,384 |
-0,385 |
-0,385 |
-0,385 |
-0,385 |
-0,385 |
-0,385 |
-0,385 |
5,20 |
Таблица 3.10
Ординаты
биноминальной асимметрической кривой
обеспеченности kp
при CS
=2Cv
|
Cv |
Обеспеченность |
Cv |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
0,05 |
1,197 |
1,162 |
1,120 |
1,096 |
1,084 |
1,064 |
1,042 |
1,033 |
1,026 |
1,012 |
0,999 |
0,986 |
0,974 |
0,966 |
0,958 |
0,936 |
0,920 |
0,908 |
0,888 |
0,852 |
0,05 |
|
0,06 |
1,241 |
1,197 |
1,145 |
1,116 |
1,101 |
1,077 |
1,050 |
1,039 |
1,031 |
1,014 |
0,999 |
0,983 |
0,968 |
0,959 |
0,949 |
0,924 |
0,904 |
0,890 |
0,867 |
0,825 |
0,06 |
|
0,07 |
1,285 |
1,232 |
1,171 |
1,135 |
1,118 |
1,090 |
1,058 |
1,046 |
1,036 |
1,016 |
0,998 |
0,980 |
0,962 |
0,952 |
0,941 |
0,911 |
0,889 |
0,873 |
0,846 |
0,779 |
0,07 |
|
0,08 |
1,328 |
1,268 |
1,196 |
1,155 |
1,136 |
1,104 |
1,067 |
1,052 |
1,040 |
1,018 |
0,998 |
0,978 |
0,956 |
0,945 |
0,932 |
0,899 |
0,873 |
0,856 |
0,824 |
0,772 |
0,08 |
|
0,09 |
1,372 |
1,303 |
1,221 |
1,176 |
1,153 |
1,117 |
1,074 |
1,058 |
1,045 |
1,020 |
0,997 |
0,975 |
0,951 |
0,938 |
0,924 |
0,886 |
0,858 |
0,838 |
0,803 |
0,746 |
0,09 |
|
0,10 |
1,416 |
1,338 |
1,247 |
1,196 |
1,170 |
1,130 |
1,083 |
1,065 |
1,050 |
1,022 |
0,997 |
0,972 |
0,945 |
0,931 |
0,915 |
0,874 |
0,842 |
0,821 |
0,782 |
0,719 |
0,10 |
|
0,11 |
1,467 |
1,377 |
1,274 |
1,217 |
1,188 |
1,143 |
1,091 |
1,071 |
1,054 |
1,024 |
0,996 |
0,969 |
0,939 |
0,924 |
0,906 |
0,862 |
0,827 |
0,805 |
0,763 |
0,696 |
0,11 |
|
0,12 |
1,517 |
1,417 |
1,302 |
1,238 |
1,206 |
1,157 |
1,090 |
1,077 |
1,059 |
1,025 |
0,995 |
0,965 |
0,933 |
0,916 |
0,898 |
0,850 |
0,813 |
0,789 |
0,744 |
0,674 |
0,12 |
|
0,13 |
1,568 |
1,456 |
1,330 |
1,260 |
1,224 |
1,170 |
1,107 |
1,083 |
1,063 |
1,027 |
0,994 |
0,962 |
0,927 |
0,909 |
0,890 |
0,838 |
0,798 |
0,783 |
0,726 |
0,651 |
0,13 |
|
0,14 |
1,618 |
1,496 |
1,357 |
1,281 |
1,242 |
1,184 |
1,115 |
1,089 |
1,068 |
1,028 |
0,993 |
0,958 |
0,921 |
0,902 |
0,881 |
0,826 |
0,784 |
0,757 |
0,707 |
0,628 |
0,14 |
|
0,15 |
1,669 |
1,535 |
1,384 |
1,302 |
1,260 |
1,197 |
1,124 |
1,096 |
1,072 |
1,030 |
0,992 |
0,955 |
0,916 |
0,894 |
0,872 |
0,814 |
0,769 |
0,740 |
0,688 |
0,606 |
0,15 |
|
0,16 |
1,720 |
1,574 |
1,412 |
1,323 |
1,278 |
1,210 |
1,132 |
1,101 |
1,076 |
1,032 |
0,990 |
0,952 |
0,910 |
0,887 |
0,864 |
0,802 |
0,754 |
0,724 |
0,669 |
0,583 |
0,16 |
|
0,17 |
1,770 |
1,614 |
1,440 |
1,344 |
1,296 |
1,224 |
1,140 |
1,108 |
1,081 |
1,033 |
0,989 |
0,948 |
0,904 |
0,880 |
0,856 |
0,790 |
0,740 |
0,708 |
0,650 |
0,560 |
0,17 |
|
0,18 |
1,821 |
1,653 |
1,467 |
1,366 |
1,314 |
1,237 |
1,148 |
1,114 |
1,085 |
1,035 |
0,988 |
0,945 |
0,898 |
0,873 |
0,847 |
0,778 |
0,725 |
0,692 |
0,632 |
0,537 |
0,18 |
|
0,19 |
1,871 |
1,693 |
1,494 |
1,387 |
1,332 |
1,251 |
1,156 |
1,120 |
1,090 |
1,036 |
0,987 |
0,941 |
0,892 |
0,865 |
0,838 |
0,766 |
0,711 |
0,676 |
0,613 |
0,515 |
0,19 |
|
0,20 |
1,922 |
1,732 |
1,522 |
1,408 |
1,350 |
1,264 |
1,164 |
1,126 |
1,094 |
1,038 |
0,986 |
0,938 |
0,886 |
0,858 |
0,830 |
0,754 |
0,696 |
0,660 |
0,594 |
0,492 |
0,20 |
|
0,21 |
1,981 |
1,778 |
1,552 |
1,431 |
1,369 |
1,278 |
1,172 |
1,132 |
1,098 |
1,039 |
0,984 |
0,934 |
0,880 |
0,851 |
0,822 |
0,743 |
0,683 |
0,646 |
0,578 |
0,475 |
0,21 |
|
0,22 |
2,041 |
1,823 |
1,582 |
1,454 |
1,388 |
1,291 |
1,179 |
1,137 |
1,102 |
1,040 |
0,983 |
0,930 |
0,873 |
0,843 |
0,813 |
0,731 |
0,670 |
0,631 |
0,562 |
1,457 |
0,22 |
|
0,23 |
2,100 |
1,869 |
1,613 |
1,476 |
1,407 |
1,304 |
1,187 |
1,142 |
1,105 |
1,041 |
0,981 |
0,926 |
0,867 |
0,836 |
0,804 |
0,720 |
0,657 |
0,617 |
0,547 |
0,440 |
0,23 |
|
0,24 |
2,159 |
1,914 |
1,643 |
1,499 |
1,426 |
1,318 |
1,194 |
1,149 |
1,109 |
1,042 |
0,980 |
0,922 |
0,861 |
0828 |
0,796 |
0,708 |
0,644 |
0,603 |
0,531 |
0,423 |
0,24 |
|
0,25 |
2,218 |
1,960 |
1,674 |
1,522 |
1,445 |
1,332 |
1,202 |
1,154 |
1,113 |
1,043 |
0,978 |
0,918 |
0,854 |
0,821 |
0,788 |
0,697 |
0,630 |
0,588 |
0,515 |
0,406 |
0,25 |
|
0,26 |
2,278 |
2,006 |
1,704 |
1,545 |
1,464 |
1,345 |
1,210 |
1,160 |
1,117 |
1,044 |
0,976 |
0,914 |
0,848 |
0,814 |
0,779 |
0,686 |
0,617 |
0,574 |
0,499 |
0,388 |
0,26 |
|
0,27 |
2,337 |
2,051 |
1,734 |
1,568 |
1,483 |
1,358 |
1,217 |
1,166 |
1,121 |
1,045 |
0,975 |
0,910 |
0,842 |
0,806 |
0,770 |
0,674 |
0,604 |
0,560 |
0,483 |
0,371 |
0,27 |
|
0,28 |
2,396 |
2,097 |
1,764 |
1,590 |
1,502 |
1,372 |
1,225 |
1,172 |
1,124 |
1,046 |
0,973 |
0,906 |
0,836 |
0,799 |
0,762 |
0,663 |
0,591 |
0,546 |
0,468 |
0,354 |
0,28 |
|
0,29 |
2,456 |
2,142 |
1,795 |
1,613 |
1,521 |
1,386 |
1,232 |
1,177 |
1,128 |
1,047 |
0,972 |
0,902 |
0,829 |
0,791 |
0,754 |
0,651 |
0,578 |
0,531 |
0,452 |
0,336 |
0,29 |
|
0,30 |
2,515 |
2,188 |
1,825 |
1,636 |
1,540 |
1,399 |
1,240 |
1,183 |
1,132 |
1,048 |
0,970 |
0,898 |
0,823 |
0,784 |
0,745 |
0,640 |
0,564 |
0,517 |
0,436 |
0,319 |
0,30 |
|
0,31 |
2,584 |
2,239 |
1,858 |
1,660 |
1,560 |
1,413 |
1,247 |
1,188 |
1,135 |
1,048 |
0,968 |
0,893 |
0,817 |
0,776 |
0,736 |
0,629 |
0,553 |
0,504 |
0,423 |
0,306 |
0,31 |
|
0,32 |
2,662 |
2,290 |
1,891 |
1,683 |
1,579 |
1,426 |
1,254 |
1,193 |
1,138 |
1,048 |
0,966 |
0,889 |
0,810 |
0,769 |
0,727 |
0,618 |
0,542 |
0,492 |
0,410 |
0,294 |
0,32 |
|
0,33 |
2,721 |
2,340 |
1,924 |
1,707 |
1,599 |
1,440 |
1,262 |
1,198 |
1,142 |
1,048 |
0,963 |
0,884 |
0,804 |
0,761 |
0,718 |
0,608 |
0,530 |
0,480 |
0,396 |
0,281 |
0,33 |
|
0,34 |
2,789 |
2,391 |
1,957 |
1,730 |
1,618 |
1,454 |
1,269 |
1,203 |
1,145 |
1,048 |
0,961 |
0,880 |
0,798 |
0,754 |
0,709 |
0,597 |
0,518 |
0,467 |
0,383 |
0,268 |
0,34 |
|
0,35 |
2,858 |
2,442 |
1,990 |
1,754 |
1,638 |
1,468 |
1,276 |
1,208 |
1,148 |
1,048 |
0,959 |
0,875 |
0,792 |
0,746 |
0,700 |
0,586 |
0,506 |
0,454 |
0,370 |
0,256 |
0,35 |
|
0,36 |
2,926 |
2,493 |
2,024 |
1,778 |
1,658 |
1,481 |
1,283 |
1,212 |
1,151 |
1,048 |
0,957 |
0,870 |
0,785 |
0,738 |
0,692 |
0,575 |
0,495 |
0,442 |
0,357 |
0,243 |
0,36 |
Продолжение
табл.3.10
|
Cv |
Обеспеченность |
Cv |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
0,37 |
2,994 |
2,544 |
2,057 |
1,801 |
1,677 |
1,495 |
1,290 |
1,217 |
1,154 |
1,048 |
0,955 |
0,866 |
0,779 |
0,731 |
0,683 |
0,564 |
0,483 |
0,430 |
0,344 |
0,230 |
0,37 |
|
0,38 |
30,063 |
2,594 |
2,090 |
1,825 |
1,697 |
1,509 |
1,298 |
1,222 |
1,158 |
1,048 |
0,952 |
0,861 |
0,773 |
0,723 |
0,674 |
0,554 |
0,471 |
0,417 |
0,330 |
0,217 |
0,38 |
|
0,39 |
3,132 |
2,645 |
2,123 |
1,848 |
1,716 |
1,522 |
1,305 |
1,227 |
1,161 |
1,048 |
0,950 |
0,857 |
0,769 |
0,716 |
0,665 |
0,543 |
0,460 |
0,404 |
0,317 |
0,205 |
0,39 |
|
0,40 |
3,200 |
2,696 |
2,156 |
1,872 |
1,736 |
1,536 |
1,312 |
1,232 |
1,164 |
1,048 |
0,948 |
0,852 |
0,766 |
0,708 |
0,656 |
0,533 |
0,448 |
0,392 |
0,304 |
0,192 |
0,40 |
|
0,41 |
3,278 |
2,753 |
2,192 |
1,897 |
1,756 |
1,549 |
1,319 |
1,236 |
1,167 |
1,048 |
0,945 |
0,847 |
0,753 |
0,701 |
0,648 |
0,522 |
0,437 |
0,382 |
0,294 |
0,184 |
0,41 |
|
0,42 |
3,356 |
2,810 |
2,227 |
1,923 |
1,776 |
1,563 |
1,325 |
1,241 |
1,169 |
1,047 |
0,942 |
0,842 |
0,746 |
0,693 |
0,640 |
0,513 |
0,427 |
0,371 |
0,284 |
0,175 |
0,42 |
|
0,43 |
3,433 |
2,867 |
2,262 |
1,948 |
1,797 |
1,576 |
1,332 |
1,246 |
1,172 |
1,047 |
0,939 |
0,837 |
0,739 |
0,686 |
0,631 |
0,503 |
0,416 |
0,361 |
0,275 |
0,166 |
0,43 |
|
0,44 |
3,511 |
2,924 |
2,298 |
1,974 |
1,817 |
1,590 |
1,338 |
1,250 |
1,174 |
1,046 |
0,936 |
0,832 |
0,732 |
0,678 |
0,623 |
0,494 |
0,406 |
0,350 |
0,265 |
0,158 |
0,44 |
|
0,45 |
3,589 |
2,981 |
2,334 |
1,999 |
1,837 |
1,603 |
1,345 |
1,254 |
1,177 |
1,046 |
0,933 |
0,828 |
0,726 |
0,671 |
0,615 |
0,484 |
0,395 |
0,340 |
0,255 |
0,150 |
0,45 |
|
0,46 |
3,667 |
3,038 |
2,369 |
2,024 |
1,857 |
1,616 |
1,352 |
1,259 |
1,180 |
1,046 |
0,930 |
0,823 |
0,719 |
0,664 |
0,607 |
0,474 |
0,384 |
0,330 |
0,245 |
0,141 |
0,46 |
|
0,47 |
3,745 |
3,095 |
2,404 |
2,050 |
1,877 |
1,630 |
1,358 |
1,264 |
1,182 |
1,045 |
0,927 |
0,818 |
0,712 |
0,656 |
0,599 |
0,465 |
0,374 |
0,319 |
0,236 |
0,132 |
0,47 |
|
0,48 |
3,822 |
3,152 |
2,440 |
2,075 |
1,898 |
1,643 |
1,365 |
1,268 |
1,185 |
1,045 |
0,924 |
0,813 |
0,705 |
0,649 |
0,590 |
0,455 |
0,363 |
0,309 |
0,226 |
0,126 |
0,48 |
|
0,49 |
3,900 |
3,209 |
2,476 |
2,101 |
1,918 |
1,657 |
1,371 |
1,272 |
1,187 |
1,044 |
0,921 |
0,808 |
0,698 |
0,641 |
0,582 |
0,446 |
0,353 |
0,298 |
0,216 |
0,116 |
0,49 |
|
0,50 |
3,978 |
3,226 |
2,511 |
2,126 |
1,938 |
1,670 |
1,378 |
1,277 |
1,190 |
1,044 |
0,918 |
0,803 |
0,691 |
0,634 |
0,574 |
0,436 |
0,342 |
0,288 |
0,206 |
0,107 |
0,50 |
|
0,51 |
4,065 |
3,328 |
2,549 |
2,152 |
1,959 |
1,683 |
1,384 |
1,280 |
1,192 |
1,043 |
0,915 |
0,798 |
0,684 |
0,626 |
0,566 |
0,428 |
0,333 |
0,279 |
0,198 |
0,102 |
0,51 |
|
0,52 |
4,152 |
3,390 |
2,587 |
2,178 |
1,980 |
1,697 |
1,390 |
1,284 |
1,191 |
1,041 |
0,912 |
0,792 |
0,677 |
0,618 |
0,558 |
0,419 |
0,325 |
0,271 |
0,191 |
0,096 |
0,52 |
|
0,53 |
4,238 |
3,452 |
2,625 |
2,204 |
2,000 |
1,710 |
1,396 |
1,288 |
1,196 |
1,040 |
0,908 |
0,786 |
0,670 |
0,611 |
0,551 |
0,411 |
0,316 |
0,262 |
0,0183 |
0,090 |
0,53 |
|
0,54 |
4,325 |
3,514 |
2,663 |
2,230 |
2,0021 |
1,724 |
1,402 |
1,291 |
1,198 |
1,038 |
0,905 |
0,781 |
0,663 |
0,603 |
0,543 |
0,402 |
0,308 |
0,254 |
0,176 |
0,085 |
0,54 |
|
0,55 |
4,412 |
3,576 |
2,700 |
2,256 |
2,042 |
1,737 |
1,408 |
1,294 |
1,200 |
1,037 |
0,902 |
0,776 |
0,656 |
0,595 |
0,535 |
0,394 |
0,299 |
0,245 |
0,168 |
0,080 |
0,55 |
|
0,56 |
4,499 |
3,638 |
2,738 |
2,282 |
2,063 |
1,750 |
1,414 |
1,298 |
1,202 |
1,036 |
0,899 |
0,770 |
0,650 |
0,587 |
0,527 |
0,386 |
0,290 |
0,236 |
0,160 |
0,074 |
0,56 |
|
0,57 |
4,586 |
3,700 |
2,776 |
2,308 |
2,084 |
1,764 |
1,420 |
1,302 |
1,204 |
1,034 |
0,896 |
0,765 |
0,643 |
0,579 |
0,519 |
0,377 |
0,282 |
0,228 |
0,153 |
0,068 |
0,57 |
|
0,58 |
4,672 |
3,762 |
2,814 |
2,334 |
2,104 |
1,777 |
1,426 |
1,305 |
1,206 |
1,033 |
0,892 |
0,759 |
0,636 |
0,572 |
0,512 |
0,369 |
0,273 |
0,219 |
0,145 |
0,063 |
0,58 |
|
0,59 |
4,759 |
3,824 |
2,852 |
2,360 |
2,125 |
1,791 |
1,432 |
1,308 |
1,208 |
1,031 |
0,889 |
0,754 |
0,629 |
0,564 |
0,504 |
0,360 |
0,265 |
0,211 |
0,0138 |
0,058 |
0,59 |
|
0,60 |
4,846 |
3,886 |
2,890 |
2,386 |
2,146 |
1,804 |
1,438 |
1,312 |
1,210 |
1,030 |
0,886 |
0,748 |
0,622 |
0,556 |
0,496 |
0,352 |
0,256 |
0,202 |
0,130 |
0,052 |
0,60 |
|
0,61 |
4,942 |
3,954 |
2,930 |
2,413 |
2,167 |
1,817 |
1,444 |
1,315 |
1,211 |
1,028 |
0,882 |
0,742 |
0,615 |
0,549 |
0,488 |
0,344 |
0,248 |
0,196 |
0,125 |
0,050 |
0,61 |
|
0,62 |
5,039 |
4,021 |
2,970 |
2,441 |
2,188 |
1,831 |
1,450 |
1,318 |
1,211 |
1,027 |
0,878 |
0,737 |
0,608 |
0,543 |
0,481 |
0,336 |
0,241 |
0,189 |
0,119 |
0,047 |
0,62 |
|
0,63 |
5,135 |
4,089 |
3,010 |
2,468 |
2,210 |
1,844 |
1,456 |
1,321 |
1,212 |
10,25 |
0,874 |
0,731 |
0,601 |
0,536 |
0,473 |
0,328 |
0,234 |
0,183 |
0,114 |
0,044 |
0,63 |
|
0,64 |
5,231 |
4,157 |
3,050 |
2,495 |
2,231 |
1,858 |
1,462 |
1,324 |
1,213 |
1,024 |
0,870 |
0,726 |
0,594 |
0,529 |
0,465 |
0,320 |
0,226 |
0,177 |
0,108 |
0,042 |
0,64 |
|
0,65 |
5,328 |
4,224 |
3,090 |
2,522 |
2,252 |
1,871 |
1,468 |
1,328 |
1,214 |
1,022 |
0,866 |
0,720 |
0,587 |
0,522 |
0,458 |
0,312 |
0,218 |
0,170 |
0,103 |
0,040 |
0,65 |
|
0,66 |
5,424 |
4,292 |
3,129 |
2,550 |
2,273 |
1,884 |
1,473 |
1,331 |
1,214 |
1,020 |
0,862 |
0,714 |
0,580 |
0,516 |
0,450 |
0,304 |
0,211 |
0,164 |
0,098 |
0,037 |
0,66 |
|
0,67 |
5,520 |
4,360 |
3,169 |
2,577 |
2,294 |
1,898 |
1,479 |
1,334 |
1,215 |
1,019 |
0,858 |
0,709 |
0,573 |
0,509 |
0,442 |
0,296 |
0,204 |
0,158 |
0,092 |
0,034 |
0,67 |
|
0,68 |
5,616 |
4,428 |
30,209 |
2,604 |
2,316 |
1,911 |
1,485 |
1,337 |
1,216 |
1,017 |
0,854 |
0,703 |
0,566 |
0,502 |
0,434 |
0,288 |
0,196 |
0,152 |
0,087 |
0,032 |
0,68 |
|
0,69 |
5,713 |
4,495 |
3,249 |
2,632 |
2,337 |
1,925 |
1,491 |
1,339 |
1,216 |
1,016 |
0,850 |
0,698 |
0,559 |
0,496 |
0,427 |
0,280 |
0,188 |
0,145 |
0,081 |
0,030 |
0,69 |
|
0,70 |
5,809 |
4,563 |
3,289 |
2,659 |
2,358 |
1,938 |
1,497 |
1,343 |
1,217 |
1,014 |
0,846 |
0,692 |
0,552 |
0,489 |
0,419 |
0,272 |
0,181 |
0,139 |
0,076 |
0,027 |
0,70 |
|
0,71 |
5,913 |
4,636 |
3,331 |
2,687 |
2,379 |
1,951 |
1,502 |
1,346 |
1,218 |
1,011 |
0,841 |
0,686 |
0,546 |
0,482 |
0,412 |
0,266 |
0,175 |
0,134 |
0,072 |
0,025 |
0,71 |
Продолжение
табл.3.10
|
Cv |
Обеспеченность |
Cv |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
0,72 |
6,017 |
4,710 |
3,374 |
2,714 |
2,400 |
1,963 |
1,506 |
1,348 |
1,218 |
1,008 |
0,837 |
0,680 |
0,539 |
0,474 |
0,406 |
0,259 |
0,168 |
0,129 |
0,069 |
0,023 |
0,72 |
|
0,73 |
6,121 |
4,783 |
3,416 |
2,742 |
2,421 |
1,976 |
1,511 |
1,350 |
1,219 |
1,005 |
0,832 |
0,674 |
0,533 |
0,467 |
0,399 |
0,253 |
0,163 |
0,124 |
0,065 |
0,021 |
0,73 |
|
0,74 |
6,225 |
4,856 |
3,458 |
2,770 |
2,442 |
1,988 |
1,516 |
1,353 |
1,220 |
1,002 |
0,828 |
0,668 |
0,526 |
0,460 |
0,392 |
0,246 |
0,157 |
0,119 |
0,062 |
0,019 |
0,74 |
|
0,75 |
6,328 |
4,930 |
3,500 |
2,798 |
2,463 |
2,001 |
1,520 |
1,356 |
1,220 |
0,999 |
0,823 |
0,662 |
0,520 |
0,452 |
0,386 |
0,240 |
0,150 |
0,113 |
0,058 |
0,018 |
0,75 |
|
0,76 |
6,432 |
5,003 |
3,543 |
2,825 |
2,484 |
2,014 |
1,525 |
1,358 |
1,221 |
0,996 |
0,818 |
0,656 |
0,514 |
0,445 |
0,379 |
0,234 |
0,144 |
0,108 |
0,054 |
0,016 |
0,76 |
|
0,77 |
6,536 |
5,076 |
3,585 |
2,853 |
2,505 |
2,026 |
1,530 |
1,360 |
1,222 |
0,993 |
0,814 |
0,650 |
0,507 |
0,438 |
0,372 |
0,227 |
0,138 |
0,103 |
0,051 |
0,014 |
0,77 |
|
0,78 |
6,640 |
5,149 |
3,627 |
2,881 |
2,526 |
2,039 |
1,535 |
1,363 |
1,223 |
0,990 |
0,809 |
0,644 |
0,501 |
0,431 |
0,365 |
0,221 |
0,132 |
0,098 |
0,047 |
0,012 |
0,78 |
|
0,79 |
6,744 |
5,223 |
3,670 |
2,908 |
2,547 |
2,051 |
1,539 |
1,366 |
1,223 |
0,987 |
0,805 |
0,638 |
0,494 |
0,423 |
0,359 |
0,214 |
0,126 |
0,093 |
0,044 |
0,010 |
0,79 |
|
0,80 |
6,848 |
5,296 |
3,712 |
2,936 |
2,568 |
2,064 |
1,544 |
1,368 |
1,224 |
0,984 |
0,800 |
0,632 |
0,488 |
0,416 |
0,352 |
0,208 |
0,120 |
0,088 |
0,040 |
0,008 |
0,80 |
|
0,81 |
6,962 |
5,374 |
3,756 |
2,964 |
2,589 |
2,076 |
1,547 |
1,369 |
1,223 |
0,981 |
0,795 |
0,626 |
0,482 |
0,410 |
0,345 |
0,203 |
0,116 |
0,084 |
0,038 |
0,007 |
0,81 |
|
0,82 |
7,075 |
5,452 |
3,800 |
2,992 |
2,611 |
2,089 |
1,550 |
1,370 |
1,222 |
0,978 |
0,790 |
0,619 |
0,475 |
0,403 |
0,338 |
0,197 |
0,112 |
0,080 |
0,036 |
0,007 |
0,82 |
|
0,83 |
0,189 |
5,530 |
3,843 |
3,019 |
2,632 |
2,101 |
1,554 |
1,371 |
1,222 |
0,975 |
0,784 |
0,613 |
0,469 |
0,397 |
0,330 |
0,192 |
0,109 |
0,075 |
0,034 |
0,006 |
0,83 |
|
0,84 |
7,302 |
5,608 |
3,887 |
2,047 |
2,654 |
2,114 |
1,557 |
1,372 |
1,221 |
0,972 |
0,779 |
0,606 |
0,462 |
0,390 |
0,323 |
0,186 |
0,105 |
0,071 |
0,032 |
0,006 |
0,84 |
|
0,85 |
7,416 |
5,686 |
3,931 |
3,075 |
2,675 |
2,126 |
1,546 |
1,373 |
1,220 |
0,970 |
0,774 |
0,600 |
0,456 |
0,384 |
0,316 |
0,181 |
0,0101 |
0,067 |
0,030 |
0,005 |
0,85 |
|
0,86 |
7,530 |
5,764 |
3,975 |
3,103 |
2,696 |
2,138 |
1,563 |
1,374 |
1,219 |
0,967 |
0,769 |
0,594 |
0,450 |
0,378 |
0,309 |
0,176 |
0,097 |
0,063 |
0,027 |
0,004 |
0,86 |
|
0,87 |
7,643 |
5,542 |
4,019 |
3,131 |
2,718 |
2,151 |
1,566 |
1,375 |
1,218 |
0,964 |
0,764 |
0,587 |
0,443 |
0,371 |
0,302 |
0,170 |
0,093 |
0,058 |
0,025 |
0,004 |
0,87 |
|
0,88 |
7,757 |
5,920 |
4,062 |
3,158 |
2,739 |
2,163 |
1,570 |
1,376 |
1,218 |
0,961 |
0,758 |
0,581 |
0,437 |
0,365 |
0,294 |
0,165 |
0,090 |
0,054 |
0,023 |
0,003 |
0,88 |
|
0,89 |
7,870 |
5,998 |
4,106 |
3,186 |
2,761 |
2,176 |
1,573 |
1,377 |
1,217 |
0,958 |
0,753 |
0,574 |
0,430 |
0,358 |
0,287 |
0,0,159 |
0,086 |
0,050 |
0,021 |
0,003 |
0,89 |
|
0,90 |
7,984 |
6,076 |
4,150 |
3,214 |
2,782 |
2,188 |
1,576 |
1,378 |
1,216 |
0,955 |
0,748 |
0,568 |
0,424 |
0,352 |
0,280 |
0,154 |
0,082 |
0,046 |
0,019 |
0,002 |
0,90 |
|
0,91 |
8,107 |
6,159 |
4,196 |
3,243 |
2,803 |
2,200 |
1,579 |
1,379 |
1,215 |
0,951 |
0,742 |
0,562 |
0,417 |
0,346 |
0,274 |
0,149 |
0,079 |
0,044 |
0,018 |
0,002 |
0,91 |
|
0,92 |
8,229 |
6,242 |
4,241 |
3,273 |
2,825 |
2,211 |
1,583 |
1,380 |
1,214 |
0,947 |
0,737 |
0,557 |
0,411 |
0,339 |
0,269 |
0,144 |
0,076 |
0,043 |
0,017 |
0,002 |
0,92 |
|
0,93 |
8,352 |
6,326 |
4,286 |
3,302 |
2,846 |
2,222 |
1,586 |
1,380 |
1,212 |
0,943 |
0,732 |
0,551 |
0,404 |
0,333 |
0,263 |
0,139 |
0,073 |
0,041 |
0,016 |
0,002 |
0,93 |
|
0,94 |
8,474 |
6,409 |
4,332 |
3,331 |
2,868 |
2,234 |
1,590 |
1,381 |
1,211 |
0,939 |
0,726 |
0,545 |
0,397 |
0,326 |
0,257 |
0,134 |
0,070 |
0,040 |
0,015 |
0,002 |
0,94 |
|
0,95 |
8,597 |
6,492 |
4,378 |
3,360 |
2,889 |
2,246 |
1,593 |
1,382 |
1,210 |
0,936 |
0,720 |
0,540 |
0,390 |
0,320 |
0,252 |
0,129 |
0,066 |
0,038 |
0,014 |
0,001 |
0,95 |
|
0,96 |
8,720 |
6,575 |
4,423 |
3,390 |
2,910 |
2,257 |
1,596 |
1,383 |
1,209 |
0,932 |
0,715 |
0,534 |
0,384 |
0,314 |
0,246 |
0,125 |
0,063 |
0,036 |
0,014 |
0,001 |
0,96 |
|
0,97 |
8,842 |
6,658 |
7,468 |
3,419 |
2,932 |
2,268 |
1,600 |
1,384 |
1,208 |
0,928 |
0,710 |
0,528 |
0,377 |
0,307 |
0,240 |
0,120 |
0,060 |
0,035 |
0,013 |
0,001 |
0,97 |
|
0,98 |
8,965 |
6,742 |
4,514 |
3,448 |
2,953 |
2,280 |
1,603 |
1,384 |
1,206 |
0,924 |
0,704 |
0,522 |
0,370 |
0,301 |
0,234 |
0,115 |
0,057 |
0,033 |
0,012 |
0,001 |
0,98 |
|
0,99 |
9,087 |
6,825 |
4,560 |
3,478 |
2,975 |
2,292 |
1,607 |
1,385 |
1,205 |
0,920 |
0,698 |
0,517 |
0,364 |
0,294 |
0,229 |
0,110 |
0,054 |
0,032 |
0,011 |
0,001 |
0,99 |
|
1,00 |
9,210 |
6,908 |
4,605 |
3,507 |
2,996 |
2,303 |
1,610 |
1,386 |
1,204 |
0,916 |
0,693 |
0,511 |
0,357 |
0,288 |
0,223 |
0,105 |
0,051 |
0,030 |
0,010 |
0,001 |
1,00 |
|
1,05 |
7,329 |
4,828 |
3,654 |
3,108 |
2,352 |
1,618 |
1,388 |
1,190 |
0,893 |
0,666 |
0,480 |
0,328 |
0,264 |
0,190 |
0,090 |
0,040 |
0,023 |
0,0074 |
0,000 |
1,05 |
|
|
1,10 |
7,750 |
5,050 |
3,800 |
3,220 |
2,400 |
1,625 |
1,380 |
1,175 |
0,870 |
0,640 |
0,450 |
0,300 |
0,241 |
0,175 |
0,074 |
0,030 |
0,016 |
0,0047 |
0,000 |
1,10 |
|
|
1,15 |
8,200 |
5,290 |
3,960 |
3,310 |
2,450 |
1,628 |
1,370 |
1,160 |
0,850 |
0,610 |
0,420 |
0,275 |
0,217 |
0,152 |
0,062 |
0,023 |
0,012 |
0,0031 |
0,000 |
1,15 |
|
|
1,20 |
8,650 |
5,530 |
4,120 |
3,400 |
2,500 |
1,630 |
1,350 |
1,145 |
0,830 |
0,580 |
0,390 |
0,250 |
0,198 |
0,130 |
0,049 |
0,016 |
0,008 |
0,0015 |
0,000 |
1,20 |
|
|
1,25 |
9,125 |
5,775 |
4,270 |
3,500 |
2,535 |
1,626 |
1340 |
1,128 |
0,805 |
0,550 |
0,362 |
0,226 |
0,170 |
0,112 |
0,040 |
0,012 |
0,0059 |
0,0010 |
0,000 |
1,25 |
|
|
1,30 |
9,600 |
6,020 |
4,420 |
3,600 |
2,570 |
1,621 |
1,330 |
1,110 |
0,780 |
0,520 |
0,334 |
0,203 |
0,146 |
0,094 |
0,030 |
0,0086 |
0,0038 |
0,0005 |
0,000 |
1,30 |
Окончание
табл. 3.10
|
Cv |
Обеспеченность |
Cv |
|||||||||||||||||||
|
0,01 |
0,1 |
1 |
3 |
5 |
10 |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
||
|
1,35 |
10,10 |
6,285 |
4,565 |
3,700 |
2,605 |
1,616 |
1,320 |
1,095 |
0,752 |
0,490 |
0,308 |
0,179 |
0,126 |
0,080 |
0,023 |
0,0063 |
0,0025 |
0,0002 |
0,000 |
1,35 |
|
|
1,40 |
10,60 |
6,550 |
4,710 |
3,800 |
2,640 |
1,610 |
1,310 |
1,080 |
0,725 |
0,460 |
0,283 |
0,155 |
0,106 |
0,065 |
0,016 |
0,0040 |
0,0012 |
0,000 |
0,000 |
1,40 |
|
|
1,45 |
11,12 |
6,815 |
4,845 |
3,880 |
2,670 |
1,600 |
1,295 |
1,060 |
0,698 |
0,432 |
0,258 |
0,138 |
0,092 |
0,056 |
0,012 |
0,0030 |
0,0006 |
0,000 |
0,000 |
1,45 |
|
|
1,50 |
11,65 |
7,080 |
4,980 |
3,960 |
2,700 |
590 |
1,280 |
1,040 |
0,670 |
0,405 |
0,234 |
0,120 |
0,077 |
0,046 |
0,009 |
0,0020 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,50 |
|
|
1,55 |
12,20 |
7,330 |
5,115 |
4,045 |
2,725 |
1,575 |
1,260 |
1,015 |
0,638 |
0,378 |
0,212 |
0,105 |
0,066 |
0,038 |
0,007 |
0,001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,55 |
|
|
1,60 |
12,75 |
7,580 |
5,250 |
4,130 |
2,750 |
1,560 |
1,240 |
0990 |
0,605 |
0,350 |
0,190 |
0,090 |
0,056 |
0,030 |
0,005 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,60 |
|
|
1,65 |
13,28 |
7,840 |
5,385 |
4,215 |
2,775 |
1,545 |
1,210 |
0964 |
0,575 |
0,325 |
0,170 |
0,078 |
0,048 |
0,024 |
0,0035 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,65 |
|
|
1,70 |
13,80 |
8,100 |
5,520 |
4,300 |
2,800 |
1,530 |
1,180 |
0938 |
0,545 |
0,300 |
0,150 |
0,067 |
0,039 |
0,019 |
0,002 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,70 |
|
|
1,75 |
14,35 |
8,360 |
5,650 |
4,385 |
2,825 |
1,512 |
1,148 |
0,904 |
0,518 |
0,275 |
0,134 |
0,058 |
0,033 |
0,016 |
0,0012 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,75 |
|
|
1,80 |
14,90 |
8,620 |
5,780 |
4,470 |
8,850 |
1,495 |
1,115 |
0,870 |
0,490 |
0,250 |
0,117 |
0,048 |
0,027 |
0,012 |
0,0005 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,80 |
|
|
1,85 |
15,52 |
8,885 |
5,905 |
4,540 |
8,875 |
1,478 |
1,088 |
0,845 |
0,462 |
0,231 |
0,104 |
0,040 |
0,022 |
0,0094 |
0,0002 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,85 |
|
|
1,90 |
16,15 |
9,150 |
6,030 |
4,620 |
8,900 |
1,460 |
1,060 |
0,820 |
0,435 |
0,212 |
0,090 |
0,033 |
0,017 |
0,0068 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,90 |
|
|
1,95 |
16,75 |
9,415 |
6,165 |
4,705 |
8,915 |
1,441 |
1,040 |
0,791 |
0,408 |
0,194 |
0,080 |
0,028 |
0,014 |
0,0053 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
1,95 |
|
|
2,00 |
17,35 |
9,680 |
6,300 |
4,790 |
8,930 |
1,422 |
1,020 |
0,762 |
0,380 |
0,175 |
0,070 |
0,022 |
0,011 |
0,0038 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,00 |
|
|
2,05 |
17,98 |
9,940 |
6,425 |
7,870 |
2,940 |
1,404 |
1,000 |
0,740 |
0,360 |
0,158 |
0,062 |
0,018 |
0,009 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,05 |
|
|
2,10 |
18,60 |
10,200 |
6,550 |
4,950 |
2,950 |
1,385 |
0,979 |
0,719 |
0,340 |
0,140 |
0,053 |
0,014 |
0,007 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,10 |
|
|
2,15 |
19,25 |
10,465 |
6,665 |
5,025 |
2,975 |
1,362 |
0,954 |
0,690 |
0,318 |
0,124 |
0,045 |
0,012 |
0,0054 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,15 |
|
|
2,20 |
19,90 |
10,730 |
6,780 |
5,100 |
3,000 |
1,340 |
0,930 |
0,660 |
0,295 |
0,108 |
0,037 |
0,009 |
0,0038 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,20 |
|
|
2,25 |
20,55 |
11,00 |
6,900 |
5,165 |
3,000 |
1,318 |
0,905 |
0,635 |
0,278 |
0,095 |
0,032 |
0,0072 |
0,0029 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,25 |
|
|
2,30 |
21,20 |
11,28 |
7,020 |
5,230 |
3,000 |
1,295 |
0,880 |
0,610 |
0,260 |
0,082 |
0,027 |
0,0055 |
0,0020 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,30 |
|
|
2,35 |
21,85 |
11,54 |
7,135 |
5,290 |
2,990 |
1,286 |
0,850 |
0,582 |
0,240 |
0,071 |
0,023 |
0,0043 |
0,0015 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,35 |
|
|
2,40 |
22,50 |
11,80 |
7,250 |
5,350 |
2,980 |
1,240 |
0,820 |
0,555 |
0,220 |
0,060 |
0,019 |
0,0031 |
0,0010 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,40 |
|
|
2,45 |
23,15 |
12,08 |
7,375 |
5,400 |
2,965 |
1,205 |
0,786 |
0,528 |
0,200 |
0,055 |
0,016 |
0,0026 |
0,0006 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,45 |
|
|
2,50 |
23,80 |
12,36 |
7,500 |
5,450 |
2,950 |
1,170 |
0,752 |
0,500 |
0,180 |
0,050 |
0,012 |
0,0020 |
0,0002 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,50 |
|
|
2,55 |
24,45 |
12,64 |
7,625 |
5,485 |
2,925 |
1,130 |
0,716 |
0,475 |
0,165 |
0,040 |
0,010 |
0,0015 |
0,0001 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,55 |
|
|
2,60 |
25,10 |
12,92 |
7,750 |
5,520 |
2,900 |
1,090 |
0,680 |
0,450 |
0,150 |
0,040 |
0,008 |
0,0010 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
2,60 |
Пример 3.1.
Определить
расходы воды р. Енисея у г. Енисейска
заданных обеспеченностей:
р = 5, 10, 25, 50, 75, 95, 97 и 99%. Для
решения поставленной задачи необходимо:
-
вычислить
параметры кривой обеспеченности Q0,
Cv
и
Cs; -
построить кривые
обеспеченности — эмпирическую и
теоретическую;
-
по
принятой теоретической кривой
обеспеченности вычислить расходы воды
заданной обеспеченности.
Продолжительность
наблюдений над стоком Енисея у г.
Енисейска 60
лет — с 1903 по 1966 г. за исключением 1906,
1922, 1923 и 1924 гг., когда имелись
перерывы в наблюдениях. Вычисления Qo,
Cv
и
Cs
сводятся в стандартную
таблицу (табл. 3.11);
Cv
и
Са
вычисляются
методом моментов.
В
графе 1 таблицы выписывается порядковый
номер, который используется
в формуле при определении эмпирической
обеспеченности, в графах
2 — 3 — годы и средние годовые расходы
или модули в хронологическом порядке.
В графе 4 годовые расходы расположены
в убывающем порядке от наибольшего,
который имеет первый номер убывающего
ряда, до наименьшего с
порядковым номером 60.
Затем
определяются
,
модульные коэффициенты расходов
убывающего ряда
(гр. 5) и значения (k
-1), (k -1)2,
(k -1)3 (гр. 6 —
9). Вычисления выполняются с точностьюk – два знака после
запятой,
(k
-1)2, (k -1)3– четыре знака после запятой.
Контроль
вычислений
(числу членов ряда);
.Погрешности
за счет округления k
при
вычислении его с помощью логарифмической
линейки обычно не велики, и если невязка
не превышает 0,2—0,4, то она разбрасывается
в ряд k.
Грубые
ошибки вычисления k
и
(k—1)2
скажутся на
точности Cv
и
кривой обеспеченности, и поэтому значения
k
должны
быть исправлены.
Значения
Cv
и
Ся
вычисляются по алгебраическим суммам
и
.
Таблица
3.11.
Подсчет коэффициента
вариации и асимметрии годового стока
р. Енисея
у г. Енисейска
F=
1420 000 км2
|
№ пп |
Год |
Q м3/сек |
Q,
в убывающем |
k |
(k |
(k |
(k-1)3 |
р, % |
||
|
+ |
|
+ |
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
1 |
1903 |
6560 |
10200 |
1,34 |
0,34 |
0,1156 |
0,0393 |
1,64 |
||
|
2 |
1904 |
8100 |
9350 |
1,22 |
0,22 |
0,0484 |
0,0106 |
3,28 |
||
|
3 |
1905 |
7350 |
9260 |
1,21 |
0,21 |
0,0441 |
0,0093 |
4,92 |
||
|
… |
||||||||||
|
56 |
1962 |
6680 |
6610 |
0,86 |
0,14 |
0,0196 |
0,0027 |
91,8 |
||
|
57 |
1963 |
6950 |
6660 |
0,86 |
0,14 |
0,0196 |
0,0027 |
93,5 |
||
|
58 |
1964 |
6400 |
6420 |
0,84 |
0,16 |
0,0256 |
0,0041 |
95,1 |
||
|
59 |
1965 |
7360 |
6400 |
0,84 |
0,16 |
0,0256 |
0,0041 |
96,9 |
||
|
60 |
1966 |
8480 |
6180 |
0,81 |
0,19 |
0,0361 |
0,0069 |
98,5 |
||
|
Сумма |
59,96 |
0 |
0,6944 |
0,0458 |
Q0=7640
м3/сек
;
%
;
%
Параметры кривой
обеспеченности годового стока р. Енисея
у г. Енисейска, вычисленные по 60-летнему
ряду наблюдений, и их средние квадратические
ошибки , Q0= 7640 м3/сек,
%,Cv
= 0,11,
%,Сs=0,57,
%.
Ошибки определения
Q0
и Cv
незначительны, и вычисленные значения
Qo
и Си могут быть приняты
для дальнейших расчетов. Ошибка Cs
при n
= 60 годам получилась
большой. Поэтому расчетную кривую
обеспеченности выбираем из двух
теоретических кривых, построенных при
Cs
вычисленном и Cs
= 2 Cv.
Кривые обеспеченности построим для
расходов.
Сначала
строим эмпирическую кривую обеспеченности.
Для этого пользуемся графами 5 и 11 табл.
3.11.
Построение выполняем на специальной
клетчатке (см. рис. 3.1).
Затем вычисляем ординаты теоретических
кривых обеспеченности. Так как Cv
=0,11, то для построения теоретических
кривых обеспеченности пользуемся
таблицами биномиальной кривой (приложение
6 и 7). Вычисления ординат кривой при Cs
= 0,57 сводятся в табл. 3.12.
Значения ФР
выписываем из строчки
приложения 6, соответствующей Cs=0,57.
Значения kp
и Qp.
При
CS=2CV
пользуемся таблицей ординат кривой
обеспеченности (приложение 7), где
приводятся значения kp,
соответствующие Cv
(значения kp
выписываем из строки
Cv
= 0,11). По вычисленным QP
построены две теоретические кривые
обеспеченности, совмещенные с эмпирической
кривой (рис. 1).
Сопоставление
совмещенных кривых позволяет сделать
вывод, что теоретическая кривая
обеспеченности, построенная при Cs=0,57,
лучше соответствует эмпирической кривой
(наблюденным точкам) во всем диапазоне
и поэтому она принимается в качестве
расчетной (табл. 3.13).
Таблица
3.12.
Вычисление
ординат кривой обеспеченности годовых
расходов воды р. Енисея у г. Енисейска
N= 60,Q0= 7640 м3/сек,Cv
= 0,11
|
р, |
0,1 |
1 |
5 |
10 |
25 |
50 |
75 |
80 |
90 |
95 |
97 |
99 |
99,9 |
|
Сs=0,57 |
|||||||||||||
|
Фр |
3,92 |
2,73 |
1,79 |
1,32 |
0,62 |
-0,1 |
-0,72 |
-1,85 |
-1,2 |
-1,46 |
-1,63 |
-1,9 |
-2,3 |
|
Фр |
0,43 |
0,3 |
0,2 |
0,14 |
0,07 |
-0,01 |
-0,08 |
-0,09 |
-0,13 |
-0,16 |
-0,18 |
-0,21 |
-0,25 |
|
kp |
1,43 |
1,3 |
1,2 |
1,14 |
1,07 |
0,99 |
0,92 |
0,91 |
0,87 |
0,84 |
0,82 |
0,79 |
0,75 |
|
Qp |
10900 |
9940 |
9140 |
8640 |
8170 |
7560 |
7020 |
6950 |
6630 |
6420 |
6250 |
6020 |
5720 |
|
Сs |
|||||||||||||
|
kp |
1,37 |
1,27 |
1,19 |
1,14 |
1,07 |
1,0 |
0,92 |
0,91 |
0,86 |
0,83 |
0,80 |
0,76 |
0,70 |
|
Qp |
10530 |
9700 |
9090 |
8700 |
8170 |
7640 |
7020 |
6950 |
6560 |
6340 |
6100 |
5800 |
5340 |
Таблица
3.13.
Годовые расходы
воды р. Енисея у г. Енисейска заданных
обеспеченностей
Qo
= 7640 м3/сек,
и Cv
= 0,11, Cs=0,57.
|
Обеспеченность |
5 |
10 |
50 |
75 |
90 |
95 |
97 |
99 |
|
Qp |
9140 |
8640 |
7560 |
7020 |
6630 |
6420 |
6250 |
6020 |
Рис.3.1.
Кривые обеспеченности средних годовых
расходов воды р. Енисея у г. Енисейска,
n
=60, Q0=7640
м*/сек, Cv
= 0,11, Cs=0,57.
Пример
3.2.
Определить
параметры кривой обеспеченностей
и значения годового стока разной
обеспеченности р. Илека (F=
11 000 км2)
р=5, 10, 25, 50, 75, 95, 97 и 99%.
Для решения
поставленной задачи необходимо:
-
вычислить
параметры кривой обеспеченности Q0,
Cv
и
Cs; -
построить кривые
обеспеченности – эмпирическую и
теоретическую;
-
по
принятой теоретической кривой
обеспеченности вычислить расходы воды
заданной обеспеченности.
Cv
и
Са
вычисляются
методом моментов.
-
№
Год
Мср, л/сек
с 1 км21
1940
0,72
2
1941
3,39
3
1942
5,19
4
1944
0,43
5
1946
4,04
6
1947
1,23
7
1948
3,75
8
1949
2,54
9
1950
0,70
10
1951
0,68
11
1952
2,74
12
1953
0,95
13
1954
1,25
14
1955
0,78
15
1956
1,16
16
1957
3,74
17
1958
1,64
18
1959
1,50
19
1960
1,79
20
1961
0,82
21
1962
1,06
Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.
Дисперсия
Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.
Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.
Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:
То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.
На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:
где
s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,
X – отдельные значения,
X̅– среднее арифметическое по выборке.
Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.
Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.
Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.
В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).
D(A) = 0
Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
D(AX) = А2 D(X)
Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.
D(A + X) = D(X)
Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.
D(X+Y) = D(X) + D(Y)
Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.
D(X-Y) = D(X) + D(Y)
Среднеквадратичное (стандартное) отклонение
Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:
На практике формула стандартного отклонения следующая:
Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.
Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel
Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).
Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.
Коэффициент вариации
Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:
По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.
Расчет коэффициента вариации в Excel
Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:
=СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()
Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:
Коэффициент осцилляции
Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.
Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.
Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.
Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.
Поделиться в социальных сетях:
Содержание
- Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
- Вопросы и ответы
Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.
Расчет ошибки средней арифметической
Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.
В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.
Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.
Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.
- Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».
- Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».
- Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.
Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».
- В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».
- Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».
- Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)
Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.
Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».
- В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».
- Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».
- После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.
Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)
Урок: Статистические функции в Экселе
Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.
Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.
- После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».
- Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».
- Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».
- В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.
- Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.
- После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».
- После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.
- Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.
- Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.
В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.
Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.
Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.
Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.
После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.
- После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.
Урок: Описательная статистика в Экселе
Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.
Как доказать, что закономерность, полученная при изучении экспериментальных данных, не является результатом совпадения или ошибки экспериментатора, что она достоверна? С таким вопросом сталкиваются начинающие исследователи.Описательная статистика предоставляет инструменты для решения этих задач. Она имеет два больших раздела – описание данных и их сопоставление в группах или в ряду между собой.
Оглавление:
- Среднее арифметическое
- Стандартное отклонение
- Коэффициент вариации
Как доказать, что закономерность, полученная при изучении экспериментальных данных, не является результатом совпадения или ошибки экспериментатора, что она достоверна? С таким вопросом сталкиваются начинающие исследователи.Описательная статистика предоставляет инструменты для решения этих задач. Она имеет два больших раздела – описание данных и их сопоставление в группах или в ряду между собой.
Показатели описательной статистики
Существует несколько показателей, которые использует описательная статистика.
Среднее арифметическое
Итак, представим, что перед нами стоит задача описать рост всех студентов в группе из десяти человек. Вооружившись линейкой и проведя измерения, мы получаем маленький ряд из десяти чисел (рост в сантиметрах):
168, 171, 175, 177, 179, 187, 174, 176, 179, 169.
Если внимательно посмотреть на этот линейный ряд, то можно обнаружить несколько закономерностей:
- Ширина интервала, куда попадает рост всех студентов, – 18 см.
- В распределении рост наиболее близок к середине этого интервала.
- Встречаются и исключения, которые наиболее близко расположены к верхней или нижней границе интервала.
Совершенно очевидно, что для выполнения задачи по описанию роста студентов в группе нет необходимости приводить все значения, которые будут измеряться. Для этой цели достаточно привести всего два, которые в статистике называются параметрами распределения. Это среднеарифметическое и стандартное отклонение от среднего арифметического. Если обратиться к росту студентов, то формула будет выглядеть следующим образом:
Среднеарифметическое значение роста студентов = (Сумма всех значений роста студентов) / (Число студентов, участвовавших в измерении)
Если свести все к строгим математическим терминам, то определение среднего арифметического (обозначается греческой буквой – μ («мю»)) будет звучать так:
Среднее арифметическое – это отношение суммы всех значений одного признака для всех членов совокупности (X) к числу всех членов совокупности (N).
Если применить эту формулу к нашим измерениям, то получаем, что μ для роста студентов в группе 175,5 см.
Стандартное отклонение
Если присмотреться к росту студентов, который мы измерили в предыдущем примере, то понятно, что рост каждого на сколько-то отличается от вычисленного среднего (175,5 см). Для полноты описания нужно понять, какой является разница между средним ростом каждого студента и средним значением.
На первом этапе вычислим параметр дисперсии. Дисперсия в статистике (обозначается σ2 (сигма в квадрате)) – это отношение суммы квадратов разности среднего арифметического (μ) и значения члена ряда (Х) к числу всех членов совокупности (N). В виде формулы это рассчитывается понятнее:
Значения, которые мы получим в результате вычислений по этой формуле, мы будем представлять в виде квадрата величины (в нашем случае – квадратные сантиметры). Характеризовать рост в сантиметрах квадратными сантиметрами, согласитесь, нелепо. Поэтому мы можем исправить, точнее, упростить это выражение и получим среднеквадратичное отклонение формулу и расчёт, пример:
Таким образом, мы получили величину стандартного отклонения (или среднего квадратичного отклонения) – квадратный корень из дисперсии. С единицами измерения тоже теперь все в порядке, можем посчитать стандартное отклонение для группы:
Получается, что наша группа студентов исчисляется по росту таким образом: 175,50±5,25 см.
Коэффициент вариации
Среднее квадратичное отклонение хорошо работает с рядами, в которых разброс значений не очень велик (это хорошо прослеживалось на примере роста, где интервал был всего 18 см). Если бы ряд наших измерений был значительнее, а варьирование роста было сильнее, то стандартное отклонение стало непоказательным и нам потребовался бы критерий, который может отразить разброс в относительных единицах (т. е. в процентах, относительно средней величины).
Для этих целей предусмотрены абсолютные и относительные показатели вариации в статистике, характеризующие вариационные масштабы:
- Квадратический коэффициент вариации.
- Размах вариации.
- Коэффициент осцилляции.
Квадратический коэффициент вариации (обозначается как Vσ) – это отношение среднеквадратичного отклонения к среднеарифметическому значению, выраженное в процентах.
Для нашего примера со студентами, определить Vσ несложно — он будет равен 3,18%. Основная закономерность – чем больше будет изменяться значение коэффициента, тем больше разброс вокруг среднего значения и тем менее однородна выборка.
Преимущество коэффициента вариации в том, что он показывает однородность значений (асимметрия) в ряду наших измерений, кроме того, на него не оказывают влияния масштаб и единицы измерения. Эти факторы делают коэффициент вариации особенно популярным в биомедицинских исследованиях. Будет считаться, что эксцесс значения Vσ =33% отделяет однородные выборки от неоднородных.
Если найти в ряду значений роста (первый пример) максимальное и минимальное значения, то получим размах вариации (обозначается как R, иногда ещё называется колеблемостью). В нашем примере – это значение будет равно 18 см. Эта характеристика используется для расчёта коэффициента осцилляции:
Коэффициент осцилляции – показывает как размах вариации будет относиться к среднему арифметическому ряда в процентном отношении.
Расчёты в Microsoft Ecxel 2016
Можно рассчитать описанные в статье статистические показатели в программе Microsoft Excel 2016, через специальные функции в программе. Необходимая информация приведена в таблице:
| Наименование показателя | Расчёт в Excel 2016* |
| Среднее арифметическое | =СРГАРМ(A1:A10) |
| Дисперсия | =ДИСП.В(A1:A10) |
| Среднеквадратический показатель | =СТАНДОТКЛОН.В(A1:A10) |
| Коэффициент вариации | =СТАНДОТКЛОН.Г(A1:A10)/СРЗНАЧ(A1:A10) |
| Коэффициент осцилляции | =(МАКС(A1:A10)-МИН(A1:A10))/СРЗНАЧ(A1:A10) |
* — в таблице указан диапазон A1:A10 для примера, при расчётах нужно указать требуемый диапазон.
Итак, обобщим информацию:
- Среднее арифметическое – это значение, позволяющее найти среднее значение показателя в ряду данных.
- Дисперсия – это среднее значение отклонений возведенное в квадрат.
- Стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение) – это корень квадратный из дисперсии, для приведения единиц измерения к одинаковым со среднеарифметическим.
- Коэффициент вариации – значение отклонений от среднего, выраженное в относительных величинах (%).
Отдельно следует отметить, что все приведённые в статье показатели, как правило, не имеют собственного смысла и используются для того, чтобы составлять более сложную схему анализа данных. Исключение из этого правила — коэффициент вариации, который является мерой однородности данных.
[c.106]
При проведении диагностики нижнего пояса резервуара на внутренней поверхности не было обнаружено видимых локальных повреждений металла типа язв и питтингов. По-видимому, в данном случае имела место равномерная коррозия, и предварительный коэффициент вариации глубин коррозионного разрушения V был принят равным 0,2. С учетом условий эксплуатации величины доверительной вероятности оценки у и допустимой относительной ошибки расчета 5 считали равными 0,95 и 0,1 соответственно. По параметрам у, б, V с помощью
[c.213]
Проведенные исследования показывают, что при коэффициенте вариации сроков службы, меньшем 0,35, вполне возможна замена распределения Вейбулла нормальным с теми же математическим ожиданием и дисперсией, Ошибка в вычислении числа восстановлений или интенсивности их при такой замене практически отсутствует. Кроме того, как показывают наблюдения, сроки службы многих машин (автомобилей, тракторов, комбайнов и др,) имеют распределения, близкие к нормальному.
[c.31]
Во второй группе источников неточностей эксперимента столь же незакономерно могут вносить погрешности и влиять па коэффициент вариации распределения ошибки при отборе проб картерного масла и расчета износа. Эти ошибки устраняются системой контроля. Например, наибольшая ошибка в определении износа, связанная с отбором пробы объемом 20 мл, заключается в том, что промывка отборного трубопровода и крана проводится недостаточно, в результате чего в пробу попадает масло, наполнившее трубопровод в предшествующий проводимому отбору пробы. Для устранения этой ошибки проводится операция отбора последовательно двух проб, первая (нечетная) из которых ложная . Регистрацию обеих проб осуществляет оператор, выполнивший отбор, а взвешивание и последующие операции — другой (обычно следующей смены), который выполняет операцию упаковки, регистрирует отправку на анализ действительной пробы и слив ложной в картер двигателя. Для осуществления отбора проб масла двигатель был оборудован пробоотборным краном в масляной магистрали, скорость перемещения в которой смазывающей жидкости составляла около 2—2,5 м/с.
[c.51]
В технических задачах критерием пренебрежимой малости отбрасываемой величины обычно считается значение последней, меньшее 1—2% результата. В некоторых задачах ошибками измерения пренебрегают, если полное поле практического рассеяния результатов измерения, т. е. 6а, меньше чем 5—10% значения измеряемой величины (коэффициент вариации порядка 1—2%).
[c.212]
Относительная величина средней квадратичной ошибки w, выраженная в процентах, называется коэффициентом вариации
[c.29]
Так как выборочный коэффициент вариации оказался больше первоначально принятого Уш то при п = 11 фактическая ошибка будет больше = 0,02.
[c.45]
Пусть далее по результатам испытания п = 11 -1- 9 = 20 образцов выборочный коэффициент вариации а = 0,045. Определяем по формуле (2.76) ожидаемую с вероятностью Р = 0,9 максимальную относительную ошибку оценки среднего значения предела прочности
[c.45]
Коэффициент вариации разрушающ,его напряжения, вычисленный по средней квадратической ошибке, равен ш = 18%, а средняя арифметическая ошибка р=18,3%.
[c.98]
При статистической обработке остальных результатов вычислялись средние арифметические значения измеряемых величин Жср, средние квадратичные ошибки отдельных измерений Ох, квадратичные ошибки средних арифметических tq, коэффициент вариации V. Окончательный результат измерений полагали А = = (Та + Хер, а предельные отклонения — равными 3Wx- В табл. 6.1 приведены результаты обработки при определении коэффициента к , модуля El и коэффициента Ui.
[c.239]
Результаты статистической обработки числа Fo/Fo p при Кр = = 0,5 и числе измерений п = 10 таковы среднее арифметическое значение = 0,444 средняя квадратичная ошибка отдельного измерения = 0,058, квадратичная ошибка среднего арифметического tq = 0,0184 коэффициент вариации V = 13%.
[c.247]
Тип образца V, кг-см/см Коэффициент вариации, % Относи- тельная ошибка, %
[c.130]
Выполненные авторами методики исследования показали, что наибольшее влияние на функцию интенсивности ремонтов оказывает величина М. Влияние второго параметра распределения сроков службы а на функцию интенсивности ремонтов зависит от его относительной величины — коэффициента вариации V, и может быть заметным только на начальном участке вычисляемых функций для отдельных элементов. Что же. касается такой многоэлементной системы, какой является парк автомобилей, то, как выяснилось, изменение величины V в пределах от 0,1 до 0,3 в вычисление функции интенсивности ремонтов заметной ошибки не вносит. Исследованиями установлено также, что при одних и тех же значениях М п V вид закона распределения сроков службы мало влияет на величину искомых функций. Так, при коэффициенте вариации, меньшем 0,35, вполне допустима замена закона Вейбулла нормальным законом. Ошибка при вычислениях интенсивности ремонтов при такой замене практически отсутствует. На этом основании в перспективных расчетах вполне допустимо обходиться такими распределениями, которые более удобны для вычислений. Настоящей методикой предусмотрено, выполнение расчетов с использованием данных о функции
[c.385]
Часто величины и называются соответственно генеральной и выборочной дисперсиями, а а и S — стандартной или среднеквадратичной ошибкой (сокращенно стандартом). Относительную величину стандарта называют иногда коэффициентом вариации ф, %,
[c.34]
В качестве примера можно указать, что при надежности у=0,01 и относительной ошибке 6=0,05 в определении среднего логарифма долговечности потребное число образцов в зависимости от коэффициента вариации составляет [c.77]
Поправка (1 -Ь дИ) учитывает также и возможные ошибки при определении средней интенсивности изнашивания а, вызванные ограниченным количеством наблюдений, и рассеивание его результатов, так как на величину среднеквадратического отклонения < , а следовательно, и коэффициент вариации V оказывает влияние число опытов (наблюдений) п.
[c.168]
Нередко представляется желательным определить, каково должно быть число образцов К, чтобы средний параметр X был найден с заданной относительной ошибкой 5 при известном коэффициенте вариации V для вероятности а. Для
[c.585]
При доверительной вероятности р = 0,95, относительной ошибке в определении средней наработки до отказа б =0,10 и коэффициенте вариации V = 0,462 число объектов наблюдения для закона распределения Вейбулла необходимо не менее N — 64.
[c.243]
При 14 интервалах, 11 степенях свободы и 1—р = 0,050, критерий х = 4,570 число объектов наблюдения при р = 0,95 и ошибке б = 0,1 составляет N = 51 коэффициент вариации v = 0,417.
[c.251]
Обработка полученных данных проводится по ГОСТ 14359-69, действие которого продлено до 1983 г. Она состоит в расчете основных статистических характеристик достоверности полученных результатов-среднего арифметического (или логарифмического), стандартного отклонения и стандартного отклонения среднего значения, вероятного отклонения искомого, коэффициента вариации и относительной ошибки.
[c.66]
Выбирая доверительный интервал при измерении данного параметра, следует руководствоваться, с одной стороны, средней квадратичной ошибкой (или коэффициентом вариации У ), а с другой стороны — точностью самого метода измерений (аппаратуры, датчиков, способа расшифровки). Если систематическую погрешность измерений, определяемую лишь классом точности аппаратуры (а не вариацией самой измеряемой величины), обозначить б, то доверительный интервал будет
[c.64]
Число объектов наблюдения N определяют в зависимости от относительной ошибки А среднего значения / р исследуемой случайной величины (наработка до первого отказа, ресурс, срок службы и т. п.) с доверительной вероятностью р и ожидаемой величины коэффициента вариации Уа. Значения А, взаимосвязаны.
[c.158]
Исходные данные предельная относительная ошибка 8 доверительная вероятность д предполагаемый коэффициент вариации V распределения наработок между отказами предполагаемый коэффициент вариации Kg распределения времени восстановления.
[c.570]
Оценка разности между коэффициентами вариации. Разность между коэффициентами вариации сравниваемых групп, извлеченных из нормально распределяющихся совокупностей, можно оценить с помощью критерия Стьюдента. Приближенной оценкой разности Сю —Си2 = с со служит ее отношение к своей ошибке, которая равна корню квадратному из суммы ошибок коэффициентов вариации сравниваемых групп, т. е.
[c.126]
На основании уравнений (2) и (3) и с учетом того, что для нормального закона распределения и распределения Вейбулла параметры распределения и коэффициент вариации связаны однозначно [26], составлены [8, 9] графики (рис. 3, а и б), позволяющие приближенно рассчитать объем партии N для первичных испытаний при малом объеме предварительной информации о надежности. Ошибка при планировании испытаний по предлагаемо-
[c.14]
Определить количество клиновых вентиляторных ремней, которые необходимо испытать для определения их среднего ресурса с доверительной вероятностью р=0,9 и предельной относительной ошибкой 6=0,1. Для клиновых ремней характерны отказы из-за трещин резины слоя сжатия, расслоения, остаточной деформации (удлинения). По табл. 4 и уравнению (1) определяем наиболее вероятное значение параметра Вейбулла й=2,74-3,2 и коэффициента вариации 11=0,35- 0,4. По графику на рис. 3 находим iV=33-b38.
[c.17]
На рис. 7.5 а приведен средний вертикальный профиль оптической толщины т для Х==10,6 мкм до высоты 30 км. Здесь же приведено среднее значение коэффициента поглощения на уровне земли (/1 = 0). На рис. 7.6 6 дан профиль стандартного отклонения ат. Величина сгх характеризует ошибку в определении т, связанную с вариациями температуры и влажности. Из рис. 7.5 6 следует, что на высоте 22 км сгт достигает значения 0,15 и далее с высотой не изменяется. Ошибка в определении пропускания слоя О— 30 км составляет 15 %.
[c.221]
Систематические ошибки возникают за счет погрешностей априорного расчета профиля дифференциального коэффициента поглощения Ах(Я), которые зависят от многих факторов, таких как вариаций давления, температуры и влажности по трассе зондирования, нестабильности длины волны и ширины спектра излучения, поглощения другими газами, доплеровского уширения спектра эхо-сигнала за счет хаотического движения молекул воздуха, флуоресценции. К перечисленным факторам следует отнести и сдвиг центра линии поглощения Н2О давлением воздуха. Оценим его влияние при решении обратной задачи зондирования.
[c.199]
Максимальные ошибки определения профиля коэффициента Даэ(Уе, г)/аэ(Уо, г) в процентах, вызванные вариациями частоты лазерного излучения Ve около центральной частоты го линии поглощения Н2О 694,38 нм. Модель атмосферы —
[c.145]
Относительная величина среднеквадратичной ошибки-в процентах называется коэффициентом вариации, а интервал значений от х—Ал до х+Дж —доверительным интервалом. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Обычно ограничиваются доверительной вероятностью, )авной 0,9 или 0,95. Она рассчитывается по формуле «аусса для разных значений доверительного интервала. Эти значения приводятся в виде таблиц, помещенных, например, в [Л. 30]. Среднеквадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,69, удвоенной ошибке 0,95 и утроенной ошибке 0,997.
[c.42]
Если после дополнительных испытаний девяти образцов выборочный коэффициент вариации оказался бы существенно выше 0,051, а величина максимальной ошибки, подсчитанная по формуле (2.76), была бы неприемлемо высокой, то следовало бы вновь йкйрректировать объем испытаний с учетом полученного значения после дополнительных испытаний коэффициента вариации н т. д.
[c.45]
Наиболее полно сопротивление усталости характеризуется кривыми усталости, получаемыми для различных вероятностей разрушения с заданной точностью и принятым значением уровня значимости (надежности). Такие характеристики требуют испытания большого числа образцов (или деталей) на нескольких уровнях напряжений. Число испытуемых образцов п на каждом уровне напряжений зависит от величины рассеяния, характеризуемого коэффициентом вариации F=SIgJv/lgЛ (отношение среднего квадратического отклонения логарифма долговечности к среднему значению) и принятыми односторонними значениями урорня значимости у (характеризует надежность), и точности, характеризуемой величиной относительной ошибки б, равной отношению абсолютной ошибки Д к среднему значению 1 N.
[c.76]
В связи с этим Лайн для получения достоверных данных рекомендует производить до 10 испытаний манжет в одинаковых условиях. Шнюрле и Уппер проводили по 4—10 испытаний манжет для получения каждой точки на графике изучаемой зависимости [141]. Статистический анализ показывает [43], что при коэффициенте вариации 0,1—0,2 и допустимой относительной ошибке измеряемого параметра 0,1, при доверительной вероятности 0,95 необходимо проводить 6—18 испытаний резинотехнических деталей.
[c.57]
Число объектов наблюдения опредляется по заданной величине относительной ошибки 6, доверительной вероятности р и коэффициенту вариации V = 1 (по табл. 12). При б = 0,15, Р = 0,80 и V = 1 число объектов наблюдения N = 45.
[c.248]
При диагностировании нижнего пояса резервуара, выполненном изнутри, не было обнаружено видимых локальных повреждений металла поверхности в виде явных язв и питтингов. Па этом основании было признано, что в данном случае имела место слабая неравномерность коррозионного повреждения, и был принят предварительный коэффициент вариации глубин коррозионного разрушения V = 0,2. Исходя из условий эксплуатации, в данном случае приняты следующие величины доверительной вероятности оценки (у) и допустимой относительной ошибки расчета (б) у = 0,95 и б = 0,1. По трем принятым параметрам — у, б, V — из табл. 4.6 было выбрано минимальное число необходимых измерений — = 13. Измерения ульт-
[c.211]
Методы численного решения систем типа (3.39) будут подробно нами рассматриваться в п. 4.2, а сейчас лишь напомним, что в основе этой системы лежат предположения о сферичности рассеивающих частиц и априорное задание показателя преломления аэрозольного вещества т = т —т»1 в пределах зондируемого слоя [ЯьЯг]. В силу этого изложенная выше теория многочастотного касательного зондирования приводит к вычислительным схемам обращения оптических данных, применимых при тех же исходных допущениях, что и в методе многочастотного лазерного зондирования. Это обусловлено единством методологического подхода к теории оптического зондирования рассеивающей компоненты атмосферы. Вместе с тем необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что требования к выполнению указанных выше допущений существенно различны для указанных двух методов. Действительно, уравнения теории касательного зондирования относительно локальных оптических характеристик светорассеяния являются интегральными, причем первого рода, и поэтому вариации бРех (то же самое бт и б/)ц), обусловленные ошибками Ат в задании подходящих значений т, слабо сказываются на значении интегралов (3.24). В силу этого схемы обращения в методе касательного зондирования более устойчивы к неопределенностям при априорном задании соответствующих оптических операторов в (3.39). В локационных задачах оптические сигналы Р %1,г) прямо пропорциональны значениям аэрозольных коэффициентов обратного рассеяния (Зя(Я/, г), и поэтому вариации бРяг связанные с Дт, непосредственно сказываются на точности интерпретации оптических данных.
[c.166]
Производные в ЭТИХ формулах являются функциями координат и могут быть получены на основании формул (22.37) и (22.38). Они должны быть вычислены для невозмущепной траектории снаряда. Однако этот метод приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, которые не могут быть проинтегрированы в замкнутой форме. При полетах в области пространства шириной порядка нескольких сотен миль коэффициенты могут быть вычислены в точках самой траектории с точностью, достаточной для наших целей. Это дает следующие уравнения для определения возмущений в положении снаряда, вызываемых вариациями ускорения силы тяги и ошибками акселерометров [c.668]
Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.
Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.
Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).
Стандартное отклонение также называется:
- среднеквадратическое отклонение,
- среднее квадратическое отклонение,
- среднеквадратичное отклонение,
- квадратичное отклонение,
- стандартный разброс.
Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения
Стандартное отклонение используется:
- в финансах в качестве меры волатильности,
- в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.
Пример:
Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Пред.А | 19 | 21 | 19 | 21 |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:
- А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
- Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
Однако, глядя на цифры, можно заметить:
- в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
- в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).
Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что
- стандартное отклонение компании A = 1,
- стандартное отклонение компании Б ≈ 5.
Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).
Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения
Формулы вычисления стандартного отклонения
σ — стандартное отклонение,
xi — величина отдельного значения выборки,
μ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется, когда анализируются все значения выборки.
S — стандартное отклонение,
n — размер выборки,
xi — величина отдельного значения выборки,
xср — среднее арифметическое выборки.
Эта формула применяется, когда присутствует очень большой размер выборки, поэтому на анализ обычно берётся только её часть.
Единственная разница с предыдущей формулой: “n — 1” вместо “n”, и обозначение «xср» вместо «μ».
Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)
Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:
- только её часть – используется формула S (с «n–1»),
- полностью все данные – используется формула σ (с «n»).
Как рассчитать стандартное отклонение?
Пример 1 (с σ)
Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.
| День 1 | День 2 | День 3 | День 4 | |
| Пред.Б | 15 | 26 | 15 | 24 |
Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:
Применяем эти шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
x1 — μ = 15 — 20 = -5
x2 — μ = 26 — 20 = 6
x3 — μ = 15 — 20 = -5
x4 — μ = 24 — 20 = 4
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(x1 — μ)² = (-5)² = 25
(x2 — μ)² = 6² = 36
(x3 — μ)² = (-5)² = 25
(x4 — μ)² = 4² = 16
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102
5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):
(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5
6. Найти квадратный корень:
√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498
Пример 2 (с S)
Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.
У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.
Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.
| Яблоня 1 | Яблоня 2 | Яблоня 3 | Яблоня 4 | Яблоня 5 | Яблоня 6 |
| 9 | 2 | 5 | 4 | 12 | 7 |
Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:
Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.
Применяем практически те же шаги:
1. Найти среднее арифметическое выборки:
Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5
2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:
X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5
X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5
X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5
X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5
X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5
X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5
3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:
(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25
(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25
(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25
(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25
(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25
(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25
4. Сделать сумму полученных значений:
Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5
5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):
(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1
6. Найти квадратный корень:
S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193
Дисперсия и стандартное отклонение
Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).
Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:
- Вычесть среднее значение из каждого числа
- Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
- Найти среднее значение квадратов разностей.
Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:
S² — выборочная дисперсия,
Xi — величина отдельного значения выборки,
Xср (может появляться как X̅) — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Правило трёх сигм
Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.
Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:
- одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
- двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
- трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).
Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.
Стандартное отклонение в excel
Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):
1. Занесите все данные в документ Excel.
2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.
3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«
4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.
5. Нажмите Ввод (Enter).
В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.
Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.
Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:
- при <10% выборка слабо вариабельна,
- при 10% – 20 % — средне вариабельна,
- при >20 % — выборка сильно вариабельна.
Узнайте также про:
- Корреляции,
- Метод Крамера,
- Метод наименьших квадратов,
- Теорию вероятностей
- Интегралы.