Пусть
Поскольку
заменяются две величины (
и
),
то это вызывает смещение оценки
:
. (1.22)
Покажем
это .
Известно
что
.
Пусть
Х1,
Х2,…,
Хi
,…,Xn
— независимые случайные величины, каждая
из которых имеет один и тот же закон
распределения с числовыми характеристиками:
и D(Xi)=D0.
Пусть
подставим в (*), тогда:
Найдем
E[Dв]:
Итак
Что и требовалось доказать.
При
больших п
смещение невелико, им можно пренебречь,
но при малых выборках оно существенно.
Таким
образм,
есть несмещенная оценка дисперсии или
.
(1.23)
Тогда
исправленное среднее квадратическое
отклонение имеет вид:
.
(1.24)
Для
интервальной оценки используется
выражение
,
где
находится по формуле (1.24).
Замечание.
Однако для больших выборок можно считать,
что
.
В случае малых выборок (п
< 30) пользуются исправленной дисперсией
по формуле (1.24).
По
закону больших чисел
является состоятельной оценкой для
генеральной дисперсии. А так как множитель
при
,
то
также является состоятельной оценкой
для
.
Оценка
,
строго говоря, не является эффективной
оценкой для
,
однако при наличии нормального
распределения ее можно считать приближенно
эффективной.
Замечание.
Если известно точное значение
математического ожидания «
»
для n
измерений, то E(Xi)
=
где хi
– отдельные измерения. Исправленная
(несмещённая) дисперсия находится по
формуле
(1.25)
Действительно.
,
т.е. E(D*в)
= D0
.
Пример
1.19. В ящике содержатся стержни трех
размеров (N
= 3): 12 см, 14 см и 16 см с соответствующими
долями 0,1; 0,3; 0,6. Производится повторная
выборка двух стержней (n
= 2). Найти
все возможные выборочные распределения
и построить законы распределения для
и
.
Проверить на данном примере справедливость
равенств
.
Решение.
Определим
количество возможных выборок:
.
Закон
распределения генеральной совокупности
представлен в следующей в таблице
|
X |
12 |
14 |
16 |
|
P |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
Вычислим
генеральные характеристики :
Все
выборочные законы представлены в
следующей таблице.
|
№ выборки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
12 12 |
12 14 |
12 16 |
14 12 |
14 14 |
14 16 |
16 12 |
16 14 |
16 16 |
|
|
2 |
1 1 |
1 1 |
1 1 |
2 |
1 1 |
1 1 |
1 1 |
2 |
|
|
12 |
13 |
14 |
13 |
14 |
15 |
14 |
15 |
16 |
|
|
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
1 |
0 |
|
|
0,01 |
0,03 |
0,06 |
0,03 |
0,09 |
0,18 |
0,06 |
0,18 |
0,36 |
Проверим,
что
.
По
данным последней таблицы получим строим
законы распределения для
и Dв
и находим соответствующие характеристики.
|
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
P |
0,01 |
0,06 |
0,21 |
0,36 |
0,36 |
1 |
,
|
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
0,46 |
0,42 |
0,12 |
1 |
E[Dв]=0,42+0,48=0.9/
Итак,
,
Откуда
следует:
и
при n
= 2.
Пример
1.20. Даны результаты 6 независимых
измерений одной и той же величины
прибором, не имеющим систематических
ошибок: 36; 37; 32; 43; 39; 41. Найдите несмещенную
оценку дисперсии ошибок измерений,
если истинная длина неизвестна.
Решение.
Представим исходные данные в виде
таблицы:
|
xi |
32 |
36 |
37 |
39 |
41 |
43 |
|
р |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
Вычислим
последовательно
;
Отсюда
Пример
1.21.
В условиях предыдущей задачи найдите
несмещённую оценку дисперсии ошибок
измерений, если истинная величина
известна и равна 37,8.
Решение
В этом случае в формулу подставляется
не выборочное среднее, а истинная
величина:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Несмещенная оценка выборочной дисперсии
Краткая теория
Пусть из генеральной совокупности в результате
независимых наблюдений над количественным
признаком
извлечена повторная выборка объема
:
При этом
Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную
генеральную дисперсию
.
Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то
эта оценка будет приводить в систематическим ошибкам, давая заниженное значение
генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная
дисперсия является смещенной оценкой
,
другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно
оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:
Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое
ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить
на дробь
.
Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через
:
Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой
генеральной дисперсии. Действительно:
Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают
исправленную дисперсию:
Для оценки среднего квадратического
отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню
из исправленной дисперсии:
При достаточно больших значениях
объема выборки выборочная и исправленная
дисперсия отличаются мало. На практике используются исправленной дисперсией,
если примерно
.
Пример решения задачи
Задача
Найти
несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.
Решение
Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.
Сумма
частот:
Вычислим
среднюю:
Средняя квадратов:
Несмещенная
выборочная дисперсия:
Ответ:
Кроме этой задачи на другой странице сайта есть
пример расчета исправленной выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда
|
Заблокирован |
|
|
1 |
|
Найти несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений03.08.2016, 18:54. Показов 7812. Ответов 1
Даны результаты 5 независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 10, 9, 11, 8, 12. Найти несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна. Правильно ли я нашел нужное значение? Несмещенная оценка дисперсии ошибок измерений вычисляется как: Найдем выборочное среднее: Используем формулу для Ответ 2 правильный?
__________________
0 |
|
1941 / 1050 / 159 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,598 |
|
|
03.08.2016, 19:07 |
2 |
|
1 |
15. Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии
При проведении регрессионного анализа основная трудность заключается в том, что генеральная дисперсия случайной ошибки является неизвестной величиной, что вызывает необходимость в расчёте её несмещённой выборочной оценки.
Несмещённой оценкой дисперсии (или исправленной дисперсией) случайной ошибки линейной модели парной регрессии называется величина, рассчитываемая по формуле:
где n – это объём выборочной совокупности;
еi– остатки регрессионной модели:
Для линейной модели множественной регрессии несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки рассчитывается по формуле:
где k – число оцениваемых параметров модели регрессии.
Оценка матрицы ковариаций случайных ошибок Cov(?) будет являться оценочная матрица ковариаций:
где In – единичная матрица.
Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии распределена по ?2(хи-квадрат) закону распределения с (n-k-1) степенями свободы.
Для доказательства несмещённости оценки дисперсии случайной ошибки модели регрессии необходимо доказать справедливость равенства
Доказательство. Примем без доказательства справедливость следующих равенств:
где G2(?) – генеральная дисперсия случайной ошибки;
S2(?) – выборочная дисперсия случайной ошибки;
– выборочная оценка дисперсии случайной ошибки.
Тогда:
т. е.
что и требовалось доказать.
Следовательно, выборочная оценка дисперсии случайной ошибки
является несмещённой оценкой генеральной дисперсии случайной ошибки модели регрессии G2(?).
При условии извлечения из генеральной совокупности нескольких выборок одинакового объёма n и при одинаковых значениях объясняющих переменных х, наблюдаемые значения зависимой переменной у будут случайным образом колебаться за счёт случайного характера случайной компоненты ?. Отсюда можно сделать вывод, что будут варьироваться и зависеть от значений переменной у значения оценок коэффициентов регрессии и оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии.
Для иллюстрации данного утверждения докажем зависимость значения МНК-оценки
от величины случайной ошибки ?.
МНК-оценка коэффициента ?1 модели регрессии определяется по формуле:
В связи с тем, что переменная у зависит от случайной компоненты ? (yi=?0+?1xi+?i), то ковариация между зависимой переменной у и независимой переменной х может быть представлена следующим образом:
Для дальнейших преобразования используются свойства ковариации:
1) ковариация между переменной х и константой С равна нулю: Cov(x,C)=0, C=const;
2) ковариация переменной х с самой собой равна дисперсии этой переменной: Cov(x,x)=G2(x).
Исходя из указанных свойств ковариации, справедливы следующие равенства:
Cov(x,?0)=0 (?0=const);
Cov(x, ?1x)= ?1*Cov(x,x)= ?1*G2(x).
Следовательно, ковариация между зависимой и независимой переменными Cov(x,y) может быть записана как:
Cov(x,y)= ?1G2(x)+Cov(x,?).
В результате МНК-оценка коэффициента ?1 модели регрессии примет вид:
Таким образом, МНК-оценка
может быть представлена как сумма двух компонент:
1) константы ?1, т. е. истинного значения коэффициента;
2) случайной ошибки Cov(x,?), вызывающей вариацию коэффициента модели регрессии.
Однако на практике подобное разложение МНК-оценки невозможно, потому что истинные значения коэффициентов модели регрессии и значения случайной ошибки являются неизвестными. Теоретически данное разложение можно использовать при изучении статистических свойств МНК-оценок.
Аналогично доказывается, что МНК-оценка
коэффициента модели регрессии и несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки
могут быть представлены как сумма постоянной составляющей (константы) и случайной компоненты, зависящей от ошибки модели регрессии ?.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.
Читайте также
11. Критерии оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии
11. Критерии оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии
В ходе регрессионного анализа была подобрана форма связи, которая наилучшим образом отражает зависимость результативной переменной у от факторной переменной х:y=f(x).Необходимо оценить неизвестные
14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии
14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии
Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии
18. Характеристика качества модели регрессии
18. Характеристика качества модели регрессии
Качеством модели регрессии называется адекватность построенной модели исходным (наблюдаемым) данным.Для оценки качества модели регрессии используются специальные показатели.Качество линейной модели парной регрессии
22. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии
22. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии
Проверкой статистической гипотезы о значимости отдельных параметров модели называется проверка предположения о том, что данные параметры значимо отличаются от нуля.Необходимость проверки
25. Точечный и интервальный прогнозы для модели парной регрессии
25. Точечный и интервальный прогнозы для модели парной регрессии
Одна из задач эконометрического моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого явления или процесса в будущем. В большинстве случаев данная задача решается на основе регрессионных
32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации
32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации
Помимо рекуррентных формул, которые используются для построения частных коэффициентов корреляции для
35. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и модели множественной регрессии в целом
35. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и модели множественной регрессии в целом
Проверка значимости коэффициентов регрессии означает проверку основной гипотезы об их значимом отличии от нуля.Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости
39. Модели регрессии, нелинейные по факторным переменным
39. Модели регрессии, нелинейные по факторным переменным
При исследовании социально-экономических явлений и процессов далеко не все зависимости можно описать с помощью линейной связи. Поэтому в эконометрическом моделировании широко используется класс нелинейных
40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам
40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам
Нелинейными по оцениваемым параметрам моделями регрессииназываются модели, в которых результативная переменная yi нелинейно зависит от коэффициентов модели ?0…?n.К моделям регрессии, нелинейными по
41. Модели регрессии с точками разрыва
41. Модели регрессии с точками разрыва
Определение. Моделями регрессии с точками разрыва называются модели, которые нельзя привести к линейной форме, т. е. внутренне нелинейные модели регрессии.Модели регрессии делятся на два класса:1) кусочно-линейные модели регрессии;2)
44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии
44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии
Функцией потерь или ошибок называется функционал вида
Также в качестве функции потерь может быть использована сумма модулей отклонений наблюдаемых значений результативного признака у от теоретических
46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии
46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии
На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все
57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии
57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии
Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:?i=yi–?0–?1x1i–…–?mxmiВ связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается
60. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии
60. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии
Существует множество методов устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии. Рассмотрим некоторые из них.Наиболее простым методом устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии
63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии
63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии
В связи с тем, что наличие в модели регрессии автокорреляции между остатками модели может привести к негативным результатам всего процесса оценивания неизвестных коэффициентов модели, автокорреляция остатков
67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные
67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные
При построении модели регрессии может возникнуть ситуация, когда в неё необходимо включить не только количественные, но и качественные переменные (например, возраст, образование, пол, расовую