На обоих часах стрелки показывают одинаковое время ошибка

As D.Rosenthal puts it in his famous guidebook:

Разговорный характер имеют также сочетания «у обоих ворот», «у обоих часов», не отвечающие грамматической норме, так как форма косвенного падежа образована от несуществующей начальной формы (нет формы именительного падежа «оба – обе ворота», «оба – обе часы» в связи с отсутствием категории рода у существительных, употребляющихся только в форме множественного числа). Возможная правка: у тех и у других ворот (часов).

and

При слове часы (прибор) употребляется собирательное числительное (одни часы, двое часов) или добавляется слово штука (не хватает пяти штук часов). Выражение «пара часов» имеет просторечный характер.

To summarize, the best way would be to say «у меня сломались и те, и другие часы» or «у меня сломались обе штуки часов». I have never heard anyone say the latter though and I’d never say it myself. But then again I never knew someone who was in such a situation.

Myself, I’d say «у меня сломались обе пары часов», although Rosenthal deems this as low colloquial language.

UPDATE

To add more proof, here’s a couple of citations from literature.

Василий Гроссман. Жизнь и судьба:

У командира первой роты две пары часов на руке.

Марк Алданов. Чертов мост:

… как он, заторопившись, посмотрит на левую пару часов (правой ведь нет) и немедленно простится с обиженным, недовольным видом.

Сергей Довлатов. Встретились и поговорили:

Какие-то сувениры, авторучки, радиоприемники, две пары часов.

Сергей Довлатов. Компромисс:

Потом разглядел две пары часов с металлическими браслетами.

Блюма Зейгарник. Патопсихология:

Так, например, при предъявлении карточки, на которой изображены три пары часов и монет, один из больных этой группы не соглашается исключить деньги…

Герман Матвеев. Зеленые цепочки:

Он вернулся в свой кабинет и, положив обе пары часов на стол, повернулся к своему помощнику, который сидел в кресле около телефона.

Do you want to tell me that in all of these cases the authors mean «four watches» and «six watches»?

Another (probably even better) alternative is the one by @Artemix: to use двое. Here’s a link to a search, showing that it does show up in literature.

So, to summarize:

• «У меня сломались обе пары часов»: not really correct, but colloquially used;
• «У меня сломались двое часов»: okay, but doesn’t 100% translate into «both»;
• «У меня сломались обе штуки часов»: preferable, although rarely used (at least from my experience).

Чтобы как-то отличать стрелки друг от друга, мы их подпишем — A, B и C:

Теперь будем делать разные предположения, какая стрелка за что отвечает, а потом посмотрим, к чему это приведёт. Это, кстати, один из вариантов решения любых сложных задач: сформулировать какую-то гипотезу, принять её за правильный ответ и посмотреть, а бьётся ли задача с этим предположением.

Гипотеза: часовая стрелка — A или C. Стрелки A и C указывают точно на часовые (или пятиминутные) отметки. Если бы одна из этих стрелок была часовой (показывала часы), то обе оставшихся стрелки указывали бы ровно на отметку в 12 часов. А всё потому, что часовая стрелка указывает точно на свой час только в тот момент, когда минутная и секундная указывают на 12.

Раз у нас ни одна стрелка не совпадает по расположению с другой, значит наша гипотеза неверна и ни A, ни C — не часовые стрелки. А раз так, значит, остаётся единственная часовая стрелка — это B.

Вывод: B — часовая стрелка.

Раз обе эти стрелки указывают точно на часовые отметки, значит, секундная направлена точно на 12 часов, а минутная — на какую-то только что наступившую минуту.

Теперь получается два варианта:

Возьмём первый вариант как новую рабочую гипотезу (A — секундная, C — минутная). Раз A — секундная и показывает точно на 12, то мы можем оттолкнуться от этого и пронумеровать все остальные деления на часах:

Но раз так, то минутная (C) показывает, что прошло 10 минут с начала часа, а часовая (B) — что час вот-вот закончится. Так не бывает в нормальных часах, поэтому этот вариант мы отбрасываем.

Новая гипотеза: С — секундная, А — минутная стрелка. Рассмотрим второй вариант, когда секундная стрелка — это С, и она указывает точно на 12. Отталкиваясь от этого, пронумеруем остальной циферблат и посмотрим, что получилось:

Минутная стрелка у нас указывает теперь на 10 — это значит, что до конца часа осталось 10 минут. Посмотрим на часовую стрелку: она почти дошла до пятёрки, а значит, до конца часа осталось совсем немного, например те же 10 минут. Кажется, мы нашли правильный ответ. Чтобы в этом убедиться, перевернём циферблат правильно:

Получается, что часы показывают 4:50 или 16:50.