Мода числа ошибок равна

1

Лабораторная работа Модели
надежности программного обеспечения

Цель работы : ознакомиться с динамическими
и статическими методами оценки

надежности ПО

Методические указания

1. Модель Шумана основана на следующих
допущениях:

1. общее число команд в программе на
   машинном языке постоянно;

2. в начале компоновочных испытаний число
   ошибок равно некоторой постоянной
   величине, и по мере исправления ошибок
   их становится меньше. В ходе испытаний
   программы новые ошибки не вносятся;

3. ошибки изначально различимы, по
   суммарному числу исправленных ошибок
   можно судить об оставшихся;

4. интенсивность отказов программы
   пропорциональна числу остаточных
   ошибок.

Предполагается, что до
начала тестирования (т.е. в момент =0)
имеется M
ошибок. В течение времени тестирования
τ обнаруживается ε₁()
ошибок
в расчете на одну команду в машинном
языке.

Тогда удельное число ошибок
на одну машинную команду, оставшихся в
системе после времени тестирования τ,
равно:

(1)

где I — общее число машинных
команд, которое предполагается постоянным
в рамках этапа тестирования.

Предполагается, что значение
функции количества ошибок Z(t) пропорционально
числу ошибок, оставшихся в программе
после израсходованного на тестирование
времени τ.

Z (t) = C * ε₂
(τ),

где С — некоторая постоянная,
t — время работы программы без отказов.

Тогда, если время работы
программы без отказа t отсчитывается
от точки t = 0, а τ остается фиксированным,
функция надежности, или вероятность
безотказной работы на интервале от 0 до
t, равна

(2)

(3)

Необходимо найти начальное
значение ошибок M
и коэффициент пропорциональности С.
Эти неизвестные оцениваются путем
пропуска функционального теста в двух
точках переменной оси отладки _a
и _b,
выбранных так, что ε₁(_a)<ε₁(_b).

В процессе тестирования
собирается информация о времени и
количестве ошибок на каждом прогоне,
т.е. общее время тестирования τ складывается
из времени каждого прогона:

τ = τ₁ +
τ₂ +
τ₃ +
… + τ_n.

Предполагая, что интенсивность
появления ошибок постоянна и равна λ,
можно вычислить ее как число ошибок в
единицу времени,

(4)

где A_i —
количество ошибок на i — ом прогоне.

Тогда

. (5)

Имея данные для двух различных
моментов тестирования _a
и _в,
можно сопоставить уравнения (3) при τ_a
и τ_b:

(6)

(7)

Из соотношений (6) и (7) найдем
неизвестный параметр С и М:

(8)

(9)

Получив неизвестные M^*
и C^*,
можно рассчитать надежность программы
по формуле (2).

Пример 1.

Программа содержит 2 000 командных
строк, из них, до начала эксплуатации
(после периода отладки), 15 командных
строк содержат ошибки. После

20 дней
работы обнаружена 1 ошибка. Найти среднее
время безошибочной работы программы и
интенсивность отказов программы при
коэффициенте пропорциональности, равном
0,7.

На условиях примера 1 определить
вероятность безошибочной работы
программы P(t)
в течение 90 суток.

Пример 3.

Определить первоначальное количество
возможных ошибок в программе, содержащей
2 000 командных строк, если в течение
первых 60 суток эксплуатации было
обнаружено 2 ошибки, а за последующие
40 суток была обнаружена одна ошибка.
Определить T₀
– среднее время безошибочной работы,
соответствующее первому и второму
периоду эксплуатации программы и
коэффициент пропорциональности.

2. Модель Миллса. Пусть в процессе тестирования обнаружено n исходных ошибок и V из s рассеянных ошибок. Тогда оценка n — первоначальное число ошибок в программе — составит

.

Вторая часть модели связана с проверкой
гипотезы выражения и тестирования N.

Рассмотрим случай, когда
программа содержит К
собственных ошибок и S рассеянных
ошибок. Будем тестировать программу до
тех пор, пока не обнаружим все рассеянные
ошибки. В то же время количество
обнаруженных исходных ошибок накапливается
и запоминается. Далее вычисляется оценка
надежности модели: 

(11)

как вероятность того, что
в программе содержится K
ошибок.

Величина С является мерой
доверия к модели и показывает вероятность
того, насколько правильно найдено
значение N. Эти два связанных между собой
по смыслу соотношения образуют полезную
модель ошибок: первое предсказывает
возможное число первоначально имевшихся
в программе ошибок, а второе используется
для установления доверительного уровня
прогноза.

Формула для расчета С в
случае, когда обнаружены не все
искусственно рассеянные ошибки,
модифицирована таким образом, что оценка
может быть выполнена после обнаружения
v
(vS)
рассеянных ошибок:

(12)

где числитель и знаменатель
формулы при n 
К являются
биноминальными коэффициентами.

Пример 4.

Предположим, что в программе имеется 3
собственных ошибки. Внесём ещё 6 ошибок
случайным образом.

В процессе тестирования было найдено:

1) 6 ошибок из рассеянных и 2 собственных;

2) 5 ошибок из рассеянных и 2 собственных;

3) 5 ошибок из рассеянных и 4 собственных.

Найти надёжность по модели
Миллса

3. Простая интуитивная
модель. Использование этой модели
предполагает проведение тестирования
двумя группами программистов (или двумя
программистами в зависимости от величины
программы) независимо друг от друга,
использующими независимые тестовые
наборы. В процессе тестирования каждая
из групп фиксируют все найденные ею
ошибки.

Пусть первая группа обнаружила n₁
ошибок, вторая n₂ , n₁₂ — это
число ошибок, обнаруженных как первой,
так и второй группой.

Обозначим через N неизвестное количество
ошибок, присутствующих в программе до
начала тестирования. Тогда можно
эффективность тестирования каждой из
групп определить как

.

Эффективность тестирования можно
интерпретировать как вероятность того,
что ошибка будет обнаружена. Таким
образом, можно считать, что первая группа
обнаруживает ошибку в программе с
вероятностью

,
вторая — с вероятностью

.
Тогда вероятность p₁₂ того, что
ошибка будет обнаружена обеими группами,
можно принять равной

.
С другой стороны, так как группы действуют
независимо друг от друга, то р₁₂ =
р₁р₂. Получаем:

Отсюда получаем оценку первоначального
числа ошибок программы:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Ошибки измерения: Опыт убеждает, что измерения объектов не могут быть произведены абсолютно точно и каждое конкретное измерение дает лишь, как правило, приближенное значение величины явления, истинное значение которой (A) нам неизвестно. Ошибки измерения (

Рассмотрим такие измерения, которые производятся одним наблюдателем, одним и тем же инструментом, в одинаковых условиях, т. е. равноточные измерения.

Различают два вида ошибок измерения:

1. систематические ошибки, т. е. такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют вполне определенное значение (например, ошибка измерительного прибора);
2. случайные — такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача математической статистики — предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться их ликвидации или сведения к минимуму.

Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений крупные ошибки встречаются реже мелких и число положительных ошибок примерно равно числу отрицательных, вследствие чего сумма всех ошибок близка к нулю.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими просто пренебрегают или считаются с наибольшей возможной ошибкой, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются те ошибки, которые, являясь, с одной стороны, ошибками случайного характера, по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны, для них существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью ее появления. Закон случайных ошибок, полученный Гауссом, состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Средняя ошибка сводного результата измерения

Принимая за действительное значение измеряемой величины при равноточном измерении среднюю арифметическую из всех результатов n измерений, можно охарактеризовать точность одного измерения с помощью средней арифметической из абсолютных величин значений ошибок:

где n — число измерений, х — численное значение отдельных измерений, — средняя арифметическая из результатов измерений.

За меру точности соответствия принятой средней арифметической истинному значению измеряемой величины (A) принимают среднюю ошибку сводного результата измерения, вычисляемую по формуле:

Пример 1. Произведено 10-кратное измерение размера детали (в мм), давшее следующие, расположенные в возрастающем порядке результаты: 138; 139; 140; 141; 141; 142; 142; 143; 144; 145.

Охарактеризуем сначала точность одного измерения, т. е. вычислим среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок. Для этой цели вычислим среднюю арифметическую из результатов измерений:

Найдем ошибки измерения:

Следовательно:

Теперь можно вычислить среднюю ошибку сводного результата измерения:

Значит, мерой точности соответствия 141,5 мм истинной величине размера детали является средняя ошибка, равная 0,54 мм.

Средняя квадратическая ошибка

Если в качестве меры точности одного измерения принять не среднюю арифметическую из абсолютных значений ошибок (средняя ошибка), а среднюю квадратическую из ошибок измерений, т. е.

то средняя квадратическая ошибка найденной средней арифметической из ошибок измерения вычисляется по формуле:

Между средней -квадратической ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерения существует связь:  если случайные ошибки подчиняются Гауссову закону нормального распределения.

Пример 2. Используя данные предыдущего примера, находим меру точности одного измерения, т. е. среднюю квадратическую ошибку:

Затем исчисляем среднюю квадратическую ошибку найденной средней арифметической, равной 141,5 мм:

Сопоставляя среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения со средней ошибкой, получаем:

Вероятная ошибка

За меру точности одного измерения иногда принимают вероятную ошибку:

Тогда в качестве вероятной ошибки сводного результата измерения используют соотношение:

Пример 3. Используя данные предыдущих примеров, находим вероятную ошибку сводного результата измерения:

Наиболее вероятные границы сводных результатов измерения

Математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. В качестве значения измеряемой величины применяется средняя арифметическая всех измерений (если они равноточны). Использование отклонений результатов измерений (х) от средней из них называемых в теории ошибок «кажущимися ошибками» позволяет произвести оценку точности соответствия средней арифметической неизвестному истинному значению измеряемой величины (A).

Для этой цели используют удвоенную или утроенную среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения или его вероятную ошибку и получают:

Найденные границы неизвестной истинной величины в случае, если ошибки подчинены нормальному закону распределения Гаусса (чаще всего так и бывает), соблюдаются с большой вероятностью (0,997 и 0,954).

Пример 4. По данным предыдущих примеров находим границы истинного значения размера детали Значит, истинное значение размера детали находится в границах от 141,5—2,04 до 141,5+2,04.