Лабораторная работа теория ошибок

Московский государственный технический

УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Кафедра
физики

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА 1.01

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Москва
2005 г.

Лабораторная
работа 101

Теория
ошибок, определение плотности твердых
тел.

В лабораторном
практикуме студенты при выполнении
работ должны производить измерения, но
при использовании даже очень точных и
чувствительных приборов и наилучших
условий проведения эксперимента во
всяком измерении содержится ошибка
(погрешность) характер и причины которой
могут быть различными. Существуют методы
анализа и учета влияния различных
погрешностей на результаты измерений.
Все погрешности (ошибки) измерений
принято подразделять на систематические
и случайные.

Систематические
ошибки
обусловлены постоянными, но односторонними
внешними воздействиями. Например,
измерение температуры термометром, у
которого нулевая точка смешена, будет
систематически неправильным, пока в
результаты измерений не будет внесена
соответствующая поправка.

Так как
систематическая ошибка имеет одно и
тоже значение, ее нельзя устранить
увеличением числа повторных измерений.
Но можно уменьшить систематическую
ошибку, критически анализируя факторы,
которые могут повлиять на результаты,
проверяя используемые приборы по
соответствующим эталонам, внося поправки
в показания приборов, используя более
точные приборы и инструменты.

Случайные
ошибки
при измерениях обусловлены влиянием
большого числа факторов, случайным
образом изменяющихся в процессе
эксперимента. Например, источником
случайных ошибок при взвешивании на
аналитических весах может явиться
неоднородность в распределении
температуры в различных частях весов,
влияние колебаний стола из-за проезжающего
мимо здания грузовика и т.п.

При повторных
измерениях случайные ошибки с одинаковой
вероятностью приводят к отклонениям
значений измеряемых величин от истинного
значения как в сторону увеличения, так
и в сторону уменьшения, т.е. случайные
ошибки имеют разные численные значения
и знаки.

Полностью
исключить случайные ошибки нельзя, но
их можно уменьшить за счет увеличения
числа измерений при одних и тех же
условиях эксперимента.

Итак, при измерениях
неизбежно возникают погрешности. Теория
погрешностей указывает на то, как следует
вести измерения и их обработку, чтобы
допущенные ошибки были минимальными.
Кроме того, устанавливаются пределы,
внутри которых заключается точное
значение определяемой величины.

Теория погрешностей

I. Погрешности при прямых измерениях

Прямыми измерениями
называются такие, при которых измерение
величины производится непосредственно
по шкале прибора. Например,

2

измерение длины
штангенциркулем, измерение веса тела
на весах, определение промежут­ков
времени с помощью секундомера. Если
отклонение результатов измерений от
истинного значения измеряемой величины
происходит как в сторону увеличения,
так и в сторону уменьшения результатов
из­мерений, то наиболее вероятным
значением измеряемой величины будет
среднее арифметическое всех сделанных
измерений:

,
(1)

где

результаты отдельных измерений, n

число измерений.

Для
характеристики степени приближения к
истинному значению измеря­емой
величины вводится понятие абсолютной
погрешности 
величины, показы­вающей насколько
найденное (среднее арифметическое)
значение может отли­чаться от истинного
значения измеряемой величины.

Для
определения абсолютной погрешности
сначала нужно найти отклонения каж­дого
отдельного измерения от среднего
арифметического:
,
где
отклонение данного измерения, равное
разности между сред­ним значением
измеряемой величины
и результатом этого измерения.

Случайная погрешность
вычисляется по формуле:

,
(2)

где

модули отклонений каж­дого отдельного
измерения от среднего арифметического
значения.

Из
формулы (2) и теории вероятностей следует,
что с увеличением числа измерений n
случайная погрешность будет уменьшаться.

В
качестве систематической погрешности
берется приборная погрешность, равная
половине цены деления шкалы прибора.
Ценой деления прибора называется
минимальная величина, измеряемая
прибором.

В
общем случае необходимо принимать во
внимание как случайные, так и систематические
погрешности прямых измерений. Поэтому
абсолютная пог­решность
при прямых измерениях рассчитывается
по формуле:

(3)

где

случайная погрешностей, определяемых
по формуле (2),

3

систематическая
погрешность прибора, инструмента.

Примечание:
Если случайная погрешность много меньше
систематической, то для повышения
точности результата измерений нет
смысла увеличивать число измерений, а
нужно принять меры к уменьшению
систематической погрешности (например,
использовать более точные приборы).

Пример.
Пусть
измеряется диаметр цилиндрического
стержня с помощью штанген­циркуля и
делается 5 измерений: 34.50
мм,
34.65
мм,
34.30
мм,

34.70
мм,
34.55
мм.

Среднее арифметическое
всех сделанных измерений:

Полученное
значение
даёт наиболее вероятное значение
измеряемой величиныD.

Для
нахождения случайной погрешности
нужно найти абсолютное значение
отклонения каждого из 5-ти измерений от
среднего арифметическогои затем определить среднее значение
этих отклонений:

Цена
деления штангенциркуля равна 0.05 мм,
следовательно, систематическая
погрешность равна
.

Абсолютная
погрешность при измерении диаметра
стержня:

Результат
измерений принято записывать следующим
образом:

.

(Результат измерений
34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм
должны заканчиваться в одинаковом
разряде)

Для характеристики
точности измерения вводится понятие
относительной погрешности:

Относительная
погрешность ε представляет собой
отношение абсолютной погрешности
к среднему значению измеряемой величины.
В нашем примере относительная погрешность
при измерении диаметра:

4

Относительная
погрешность является безразмерной
величиной. Она показывает, какую часть
измеряемой величины составляет абсолютная
погрешность.

Соседние файлы в папке 001_MEHANIKA

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лабораторная работа n102 методы обработки физических измерений Измерение физических величин

Физическими величинами называются характеристики свойств тел или процессов, которые могут быть определены количественно при помощи измерений. Измерение представляет собой познавательный процесс. заключающийся в сравнении данной величины опытным путем с некоторым ее значением, условно принятым за единицу измерения.

Измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или же при помощи приборов, отградуированных в требуемых единицах. При косвенных измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней функциональной зависимостью.

Измерение любой физической величины обычно связано с выполнением трех последовательных операций:

а) проверкой и установкой приборов,

б) наблюдением и отсчетом их показаний,

в) вычислением искомой величины из результатов измерений и оценки точности окончательного результата.

Измеряя какую-нибудь физическую величину, мы принципиально не можем получить ее истинное значение. Поэтому в задачу измерений входит определение наиболее достоверного значениия искомой величины и обоснованная оценка допущенных при этом ошибок. Без оценки ошибок измерений нельзя делать определенные выводы из эксперимента.

Классификация ошибок измерений

Ошибкой или погрешностью называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. По характеру и происхождению, а также по способам оценка и уменьшений их влияния на результат различают три вида ошибок; промахи, случайные и систематические ошибки.

Промахи — это грубые ошибки, обусловленные неверными отсчетами, неверными записями показаний прибора или резко изменившимися внешними условиями эксперимента. Обычно результаты, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других данных и хорошо заметны на их фоне. Имеются правила, позволяющие исключать их из таблицы измерений.

Случайными ошибками называются ошибки природа и величина которых неизвестна. Их присутствие обнаруживается в том, что при повторных измерениях одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, несколько отличающиеся по последним значащим цифрам.

Случайные погрешности отдельных измерений не могут быть исключены опытным путей. Теория ошибок, как увидим далее, дает два способа уменьшения их влияния на окончательный результат в серии измерений:

1) тщательное проведение отдельных измерений о возможно малым разбросом результатов;

2) выполнение большого числа измерений в серии.

Систематическими ошибками называются ошибка, которые при повторных измерениях одной и той же величины сохраняются постоянными или изменяются по определенному закону. Они вызывают смещение, сдвиг ΔХ результатов в каком-то направлении от истинного значения. Систематические ошибки часто возникают из-за того, что условия эксперимента отличаются от предполагаемых теорией, а поправку на это несоответствие не делают. Другим обычным источником этих ошибок являются инструментальные погрешности, обусловленные несовершенством изготовления средств измерения, например, неточностью градуировки шкалы прибора, неравноплечностью весов и т.п.

Систематическую ошибку модно выявить либо путем использования более точных средств измерения, либо изменив сам метод измерения.

Оценки точности измерений

По форме числового выражения различают абсолютные и относительные ошибки.

Абсолютная ошибка измерения — это ошибка, выраженная в единицах измеряемой величины. Количественно она определяется разностью между подученным при измерении значением величины X_i и ее истинным значением X:

. (1)

Чем меньше погрешность измерения, тем оно точнее.

Отношение ошибки измерения к истинному значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю) называется относительной ошибкой измерения:

или (2)

Она является величиной безразмерной, показывает, какую долю измеряемой величины составляет ошибка и обычно выражается в процентах.

Указание относительных ошибок приобретает особое значе-ние оттого, что позволяет сравнивать качество измерений величин разных наименований и порядков. Например, по относительным погрешностям можно сопоставлять точность измерения массы и длины, размеров микро- и макрообъектов.

Под точностью измерения понимают качество измерения, отражающее близость результата к истинному значению измеряемой величины. Точность измерения количественно характеризуется числом, равным обратному значению относительной погрешности, выраженной в долях измеряемой величины. Например, если погрешность измерения составляет ε=2·10 -5 , то точность этого измерения будет 5·10 4 .

Результат измерения модно было бы записать в виде

однако истинная ошибка нам неизвестна, так как неиз -вестно истинное значение измеряемой величины Х_о.

Поэтому обычно производят несколько (n раз) измерений искомой величины, и в качестве результата наиболее близкого к х_о принимают их среднее арифметическое

. (3)

Под истинным значением измеряемой величины подразумевают

(4)

Теория ошибок по результатам отдельных измерений позволяет вычислить пределы ± вблизи, внутри которых может находиться— с любой заданной вероятностьюδ. Результат измерения представляют в форме

при . (5)

Эта запись означает, что истинное значение с вероятностьюнаходится внутри доверительного интервала

Источник

Лабораторные работы / Основные понятия теории ошибок

Основные понятия теории ошибок. Оценка точности наблюдений.

Для последующей ясности, в этой статье, под наблюдениями будем подразумевать совокупность одиночных измерений определенной величины: разница в блеске, показание шкалы микрометра и прочее. Это величина называется измеряемой или наблюдаемой. По особенности проведения, все наблюдения можно разделить на две группы: равноточные и неравноточные. К первой категории относятся такие наблюдения, которые были выполнены одним человеком, на одном приборе (инструменте) в сравнительно короткий промежуток времени (то есть одинаковое воздействие внешних факторов). Во вторую категорию, естественно, попадают те наблюдения, которые не соответствуют одному, нескольким или всем условиям принадлежности к равноточным наблюдениям. В этой статье не будут описаны точностные расчеты для наблюдений второй категории, они более сложны и громоздки, и применяются чаще в обработке геодезических измерений и при комплексных астронаблюдениях. Планируется подробно остановится на неравноточных измерениях в следующей статье из этого цикла, которая будет содержать основные принципы совместного уравнивания результатов наблюдений по способу наименьших квадратов.

Типы погрешностей наблюдений и особенности их учета

Любое измерение в реальных условиях производится с погрешностью, которую можно разделить на две составляющие — систематическую и случайную. Систематическая погрешность возникает в основном из-за ограниченной точности измерительных приборов, отчетных механизмов, а так же в связи с отсутствием учета второстепенных факторов, влияющих на измерения, или, если этот учет ведется не корректно. Систематические погрешности ведут к одностороннему искажению результатов наблюдений (постоянное завышение или занижение значения измеряемой величины). Их главная особенность — в ходе поверок инструментов и тестовых измерений вполне реально выявить такие погрешности (найти их численные значения и знаки), и тем самым свести их влияние на результаты наблюдений к минимуму. Случайные погрешности появляются из-за непредсказуемых, хаотичных причин, искажающих результаты наблюдений. Их особенность в том, что они приводят к получению разных значений измерений при их многократных повторах, проведенных в одинаковых условиях. Выявить случайные погрешности из отдельных замеров практически невозможно, но зато при достаточном количестве однородных измерений вполне реально «свести на нет» их совокупное влияние на результаты наблюдений. Такое минимизирование случайных искажений данных основано на ряде процедур, которые в свою очередь базируются на выводах и следствиях теории ошибок. Теория ошибок — математическая дисциплина, изучающая законы и особенности «поведения» погрешностей (ошибок) измерений. Например, нормальное распределение, эффект взаимной компенсации по знакам и так далее. Возникла эта дисциплина, как одно из многочисленных «ответвлений» от Теории Вероятностей. Математическая обработка различна для обоих видов погрешностей. Учет систематической составляющей есть процесс почти уникальный для каждого типа приборов и инструментов, для различных природных и прочих факторов, в том числе для каждого отдельного наблюдателя (так называемая личная ошибка, которую обычно классифицируют как подтип систематической составляющей). Случайные ошибки подчиняются универсальным законам, которые можно применять не только при наблюдениях разных объектов и измерениях разных величин, но и в разных науках — будь то астрономия, физика или геодезия. Основные принципы обработки везде одни и те же. Впрочем существует еще один класс погрешностей — грубая ошибка, или ложное измерение.

Точностной расчет для серии равноточных наблюдений

Рассмотрим алгоритм первичной обработки серии равноточных наблюдений. Пусть мы получили массив замеров измеряемой величины «Х», который имеет вид: X1, X2, . Xn, где n — количество замеров на сеансе.

Находим среднее арифметическое значение «Х» на сеансе:

Xs = ( X1 + X2 + . + Xn ) / n

Рассчитываем отклонения среднего значения от измеренных:

d1 = X1 — Xs, d2 = X2 — Xs, . dn = Xn — Xs

Определяем среднюю квадратическую погрешность одного измерения, это параметр, который характеризует среднюю точность проведения одного замера:

MX = SQR ( ( d1 ^ 2 + d2 ^ 2 + . + dn ^ 2 ) / ( n — 1 ) )

Находим среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического, которая определяет надежность полученного результата:

MXs = MX / SQR ( n )

Рассчитываем относительную погрешность результата наблюдений:

U ( в процентах ) = ( MXs * 100% ) / Xs

Таким образом, получаем, что наиболее вероятное значение измеряемой величины на сеансе имеет значение:

Особенности точностного расчета для прямых и косвенных измерений

По признаку анализирования получаемой при наблюдении информации, измерения делятся на прямые и косвенные. При прямых измерениях значение исследуемой величины измеряют непосредственно, например момент или промежуток времени. При косвенных измерениях, искомую величину рассчитывают по определенной формуле, в которую входят величины, измеряемые непосредственно, а так же заданные значения вспомогательных величин и констант, то есть можем записать: Y = F ( X1, X2, . Xn ), где Y — искомая величина, а X1, X2, . Xn — ее аргументы, измеряемые непосредственно. Пример косвенного измерения: исходя из снятых отчетов по окулярному микрометру, впоследствии переходим к координатам объекта. Важной задачей при обработке косвенных наблюдений является определение погрешности искомой величины по известным погрешностям величин ее составляющих. Формула, которая связывает эти параметры, имеет следующий вид:

MY = SQR ( ( ( dY / dX1 ) ^ 2 ) * MX1 ^ 2 + ( dY / dX2 ) ^ 2 ) * MX2 ^ 2 + . . + ( dY / dXn ) ^ 2 ) * MXn ^ 2 ),

где ( Di / dXi ) — частная производная функции Y = F ( X1, X2, . Xn ) по аргументу Xi, вычисленная в точке Xi.

Пример: А теперь еще раз «пробежимся» по описанной выше методики оценки точности проведенных наблюдений, но уже на базе конкретного случая. При наблюдениях деталей на диске Юпитера, на протяжении ночи были сделаны несколько зарисовок/фотографий. На всех рисунках/фотографиях отмечено точечное образование, находящееся в южном полушарии и медленно передвигающееся параллельно экватору за счет суточного вращения планеты. Задача: определить широту наблюдаемого образования — по всей видимости ядра нового мощного антициклона, на которые богата бурная юпитерианская атмосфера. С изображения Юпитера снимем два линейных значения: расстояние от экватора (его легко прочертить учитывая значительное сжатие планеты) до полюса — Y и расстояние от экватора до зафиксированного образования. (см. рис 1). Так как масштаб зарисовок/фотографий может быть разным, вычислим для всех изображений относительные значения величины Х ( Y приравняем к единице). Далее приводится таблица с примером вычисления средних квадратических погрешностей одного наблюдения и всего результата.

Xs = 2.88 / 8 = 0.360 MX = SQR ( 0.0114 / 8 — 1 ) = 0.040 MXs = 0.040 / SQR ( 8 ) = 0.014 U = ( 0.014 * 100% ) / 0.360 = 3.889% Xsv = 0.360 + 0.014, или: 0.346 Соседние файлы в папке Лабораторные работы

#

Источник

Оглавление (содержание)