Квантовые коды исправляющие ошибки

Как пространство и время могут быть квантовым кодом исправления ошибок

Те же самые коды, требующиеся для предотвращения ошибок в квантовых компьютерах, могут придавать ткани пространства-времени присущую ей прочность

В игрушечных «голографических» вселенных (даже если и не в нашей, настоящей) ткань пространства-времени возникает на основе сети квантовых частиц. Физики обнаружили, что это работает по принципу квантового исправления ошибок.

В 1994-м математик из исследовательского подразделения AT&T по имени Питер Шор мгновенно прославил квантовые компьютеры (КК), открыв, что эти гипотетические устройства могли бы быстро раскладывать большие числа на множители – тем самым ломая большую часть современной криптографии. Но на пути реального создания КК стояла фундаментальная проблема: естественная неустойчивость их физических компонентов.

В отличие от двоичных битов информации обычных компьютеров, кубиты состоят из квантовых частиц, у которых есть вероятность нахождения в одном из двух состояний, обозначаемых |0> и |1>, в одно и то же время. При взаимодействии кубитов их возможные состояния становятся взаимозависимыми, и шансы оказаться в состояниях |0> и |1> зависят друг от друга. Пропорциональные вероятности растут тем более, чем сильнее после каждой операции кубиты становятся запутанными друг с другом. Поддержка и управление этим экспоненциально растущим количеством одновременных возможностей и делают КК теоретически мощными.

Однако кубиты безумно подвержены ошибкам. Слабейшее магнитное поле или случайный микроволновый импульс заставляет их «перебрасывать биты», меняя их шансы оказаться равными |0> или |1> по отношению к другим кубитам, или «переворачивать фазы», что обращает математическое отношение двух их состояний. Чтобы КК смогли работать, учёным нужно найти способы защищать информацию даже при повреждении отдельных кубитов. Более того, эти способы должны обнаруживать и исправлять ошибки, не измеряя сами кубиты напрямую, поскольку измерение приводит к коллапсу сосуществующих возможностей кубита в определённую реальность – а старые добрые 0 и 1 не могут поддерживать квантовые вычисления.

В 1995 году Шор вслед за своим алгоритмом разложения опубликовал ещё одно поразительное доказательство, о существовании «кодов, исправляющих квантовые ошибки». Специалисты по информатике Дорит Ааронова и Майкл Бен-Ор (а также другие независимые исследователи) годом позже доказали, что эти коды теоретически могут довести количество ошибок почти до нуля. «Это было важнейшее открытие 90-х, убедившее людей, что масштабируемые квантовые вычисления в принципе возможны, — сказал Скотт Ааронсон, ведущий специалист по квантовым компьютерам из Техасского университета. – И что это просто сложнейшая инженерная задача».

Питер Шор, Дорит Ааронова и Майкл Бен-Ор

Сегодня, хотя небольшие КК материализуются в лабораториях по всему миру, полезных КК, способных превзойти по производительности обыкновенные, остаётся ждать ещё несколько лет или даже десятилетий. Требуются куда как более эффективные коды исправления ошибок, чтобы справляться с обескураживающе большим количеством ошибок, выдаваемым реальными кубитами. Попытки разработать улучшенные коды – «один из важнейших вопросов в области», как сказал Ааронсон, наравне с совершенствованием железа.

Однако в рамках настойчивых поисков этих кодов, проходивших в последние 25 лет, в 2014-м году произошло нечто забавное – физики нашли свидетельство глубоких связей между квантовым исправлением ошибок и природой пространства, времени и гравитации. В общей теории относительности Альберта Эйнштейна гравитация определяется, как искривление ткани пространства и времени – или «пространства-времени» — вокруг массивных объектов. Мяч, подброшенный в воздух, перемещается по прямой линии в пространстве-времени, а оно уже изгибается по направлению к Земле. Однако, несмотря на всю мощь теории Эйнштейна, физики считают, что у гравитации должно быть более глубокое, квантовое происхождение, из которого каким-то образом появляется нечто похожее на ткань пространства-времени.

В 2014-м трое молодых исследователей квантовой гравитации пришли к невероятному результату. Они работали в любимой теоретиками области: игрушечной вселенной, известной, как «антидеситтеровское пространство», которая работает как голограмма. Искривлённая ткань пространства-времени внутри вселенной возникает как проекция запутанных квантовых частиц, существующих на её внешней границе. Ахмед Альмейри, Си Дон и Даниель Харлоу провели вычисления, из которых следует, что это голографическое «проявление» пространства-времени работает точно как квантовый код исправления ошибок. В журнале физики высоких энергий они опубликовали предположение о том, что само пространство-время является кодом – по крайней мере, в антидеситтеровском пространстве. Работа породила целую волну активности в сообществе исследователей квантовой гравитации, и были открыты новые квантовые коды исправления ошибок, включающие в себя больше свойств пространства-времени.

Джон Прескил, физик-теоретик из Калифорнийского технологического института, говорит, что квантовое исправление ошибок объясняет надёжность пространства-времени, несмотря на то, что оно соткано из хрупкого квантового вещества. «Нам не приходится обходиться с этой идеей слишком осторожно, чтобы не развалить геометрию, — сказал Прескил. – Я думаю, эта связь с квантовым исправлением ошибок – глубочайшее объяснение из всех, что у нас есть».

Язык квантового исправления ошибок также начинает позволять исследователям изучать загадки чёрных дыр: сферических участков, в которых пространство-время так сильно искривляется к центру, что оттуда не может убежать даже свет. «Все следы ведут к чёрным дырам», — сказал Альмейри, работающий в данное время в Институте передовых исследований в Принстоне. В этих наполненных парадоксами местах гравитация достигает своего пика, а общая теория относительности Эйнштейна перестаёт работать. «Есть некоторые признаки того, что если мы поймём, какой код использует пространство-время, — сказал он, — это может помочь нам понять внутреннее строение чёрных дыр».

В качестве бонуса исследователи надеются, что голографическое пространство-время сможет подсказать и способ масштабировать КК, реализовав давнюю мечту Шора и других. «Пространство-время умнее нас, — сказал Альмейри. – В эти конструкции встроен очень эффективный квантовый код исправления ошибок».

Ахмед Альмейри, Си Дон и Даниель Харлоу

Как как же работают квантовые коды исправления ошибок? Секрет сохранения информации в неспокойных кубитах состоит в том, чтобы хранить её не в отдельных кубитах, а в системе множества запутанных кубитов.

В качестве простого примера рассмотрим код для трёх кубитов: они использует три «физических» кубита для защиты одного «логического» кубита информации от переворачивания битов. Такой код не особенно полезен для квантового исправления ошибок, поскольку не защищает от переворота фаз, но объясняющую функцию выполняет. Состояние логического кубита |0> соответствует нахождению всех трёх физических кубитов в состоянии |0>, а состояние |1> соответствует тому, что все три находятся в состоянии |1>. Система находится в суперпозиции этих состояний, что записывается, как |000> + |111>. Но, допустим, у одного из кубитов перебросился бит. Как обнаружить и исправить ошибку, не измеряя кубиты напрямую?

В квантовый контур кубит можно ввести через два шлюза. Один проверяет «чётность» первого и второго физических кубитов – одинаковые они или различные – а другой проверяет чётность первого и третьего. Когда ошибок нет (то есть, кубиты находятся в состоянии |000> + |111>), измеряющие чётность шлюзы определяют, что первый и второй, а также первый и третий кубиты идентичны. Однако если у первого кубита случайно перебрасывается бит, это приводит к состоянию |100> + |011>, и шлюз определяет различие в обеих парах. Переброс бита во втором кубите даёт |010> + |101>, шлюзы определяют, что первый и второй кубит отличаются, а второй и третий совпадают; в случае переброса третьего кубита результат будет «совпадают; различаются». Эти уникальные результаты показывают, какая именно корректирующая хирургия необходима, и необходима ли она вообще – то есть, операция переброса назад первого, второго или третьего физического кубита, не приводящая к коллапсу логического кубита. «Квантовое исправления ошибок кажется мне магией», — сказал Альмейри.

Лучшие коды исправления обычно могут восстановить всю закодированную информацию на основе чуть большего количества физических кубитов, чем половина, даже если все остальные повреждены. Именно это натолкнуло Альмейри, Дона и Харлоу в 204 году на мысль о возможном наличии связи между квантового исправления ошибок и тем, как антидеситтеровское пространство (АдС) возникает из квантовой запутанности.

Важно отметить, что АдС пространство отличается от геометрии пространства-времени нашего, деситтеровского пространства. Наша Вселенная насыщена положительной энергией вакуума, заставляющей её расширяться без границ, в то время, как в АдС пространстве энергия вакуума отрицательна, из-за чего оно приобретает гиперболическую геометрию, похожую на «Предел – круг» М. К. Эшера. Мозаичные существа Эшера становятся всё меньше, распространяясь от центра круга, в итоге исчезая на периметре. Точно так же пространственное измерение, исходящее из центра АдС пространства, постоянно сжимается и в итоге исчезает, обозначая внешнюю границу вселенной. АдС пространство стало популярным у физиков-теоретиков, изучающих квантовую гравитацию, в 1997, после того, как известный физик Хуан Малдасена открыл, что его изогнутая ткань пространства-времени «голографически дуальна» квантовой теории частиц, существующих на границе, свободной от гравитации и с меньшим числом измерений.

Гиперболическая геометрия на гравюре Эшера 1959 года «Предел – круг III» изображает АдС пространство

Изучая, как работает дуальность, как и сотни других физиков в последние пару десятилетий, Альмейри с коллегами заметили, что любую точку внутри АдС пространства можно создать на основе чуть больше половины границы – точно так же, как оптимальный квантовый код исправления ошибок.

В их работе, предполагающей, что голографическое пространство-время и квантовое исправление ошибок суть одно и то же, они описали, как даже простейший код можно представить в виде двумерной голограммы. Она состоит из трёх «кутритов» – частиц, существующих в одном из трёх состояний – находящихся на равных расстояниях друг от друга по кругу. Запутанное трио кутритов кодирует один логический кутрит, соответствующий одной точке пространства-времени в центре круга. Код защищает точку от стирания любого из трёх кутритов.

Конечно, одна точка – это так себе вселенная. В 2015 году Харлоу, Прескил, Фернандо Паставский и Бени Йошида обнаружили ещё один голографический код, названный HaPPY, перенимающий больше свойств АдС пространства. Код делит пространство на пятисторонние плитки – «как маленькие детальки конструктора Tinkertoy», сказал Патрик Хейден из Стэнфордского университета, руководитель исследований. Каждая деталька представляет одну точку пространства-времени. «Эти плитки играли бы роль рыб в мозаике Эшера», — сказал Хейден.

В коде HaPPY и других открытых голографических схемах исправления ошибок, всё внутри региона пространства-времени, называемого «клином запутанности» [entanglement wedge], можно воссоздать из кубитов, находящихся в регионе, соседнем с границей. У перекрывающиеся регионов на границе будут накладываться клинья запутанности, сказал Хейден, точно так же, как логический кубит в КК можно воссоздать из множества различных подмножеств физических кубитов. «И вот здесь вступает в игру свойство исправления ошибок».

«Квантовое исправление ошибок даёт нам обобщённое представление о геометрии в этом кодовом языке», — сказал Прескил. Тот же язык, сказал он, «вероятно, можно применять и к более обобщённым ситуациям», — в частности, к такой деситтеровской вселенной, как наша. Но оказалось, что деситтеровское пространство, у которого нет границ, гораздо сложнее представить в виде голограммы.

Пока что такие исследователи, как Альмейри, Харлоу и Хейден, работают с АдС пространством, поскольку у него много общих черт с деситтеровским миром, но при этом оно легче поддаётся изучению. Геометрии пространства-времени обоих пространств подчиняются теории Эйнштейна, они просто изгибаются в разных направлениях. И что, вероятно, гораздо важнее, во вселенных обоих типов есть чёрные дыры. «Самое фундаментальное свойство гравитации – наличие чёрных дыр», — сказал Харлоу, сейчас работающий адъюнкт-профессором физики в MIT. «Именно это отличает гравитацию от всех остальных взаимодействий. Поэтому с квантовой гравитацией так тяжело».

Язык квантового исправления ошибок обеспечил новый способ описания чёрных дыр. Наличие чёрной дыры определяется, как «отказ исправляемости», сказал Хейден: «Когда у вас появляется так много ошибок, что вы уже не можете отслеживать, что происходит в большом количестве пространства-времени, вы приходите к чёрной дыре. Это что-то типа сливного отверстия для невежества».

Невежество неизбежно накапливается в отношении внутренностей чёрных дыр. Откровение Стивена Хокинга 1974-го года о том, что ЧД излучают тепло, и, следовательно, рано или поздно испаряются, породило печально известный «парадокс исчезновения информации в ЧД», который спрашивает, что происходит со всей проглоченной ЧД информацией. Эта проблема может быть связана с космологией и рождением Вселенной, поскольку расширение сингулярности Большого взрыва очень похоже на гравитационный коллапс ЧД в обратном воспроизведении.

АдС пространство упрощает вопрос об информации. Поскольку граница АдС вселенной голографически дуальна всему, что в ней есть – всем ЧД и прочему – то информация, падающая в ЧД, гарантированно не потеряется; она всегда будет голографически закодирована на границе вселенной. Расчёты показывают, что для реконструкции информации о внутренностях чёрной дыры на основе кубитов на границе, вам потребуется доступ к запутанным кубитам примерно на трёх четвертях границы. «Чуть больше половины уже недостаточно», — сказал Альмейри. Он добавил, что требование трёх четвертей должно сообщать что-то важное о квантовой гравитации, но вопрос о том, почему получается именно такая доля, «всё ещё остаётся открытым».

В первой заявке Альмейри от 2012 года, высокий худой физик из ОАЭ и три его соратника углубили информационный парадокс. Их рассуждения предполагали, что информация вообще может не попадать внутрь ЧД, поскольку её остановит «файервол» на горизонте событий ЧД.

Как и большинство физиков, Альмейри не верит в то, что файерволы ЧД реально существуют, однако обойти это понятие оказалось сложно. Сейчас он считает, что формированию файерволов препятствует квантовое исправление ошибок, защищающая информацию даже после пересечения горизонта ЧД. В его последней самостоятельной работе, появившейся в октябре, он сообщил, что квантовое исправление ошибок «необходима для поддержки гладкости пространства-времени на горизонте» чёрной дыры из двух составных частей, известной, как червоточина. Он предполагает, что квантовое исправление ошибок не только предотвращает файерволы, но и позволяет кубитам убегать из ЧД после падения в неё, поскольку нити запутанности между внутренней и наружней частями ЧД сами похожи на миниатюрные червоточины. Это объяснило бы парадокс Хокинга.

В этом году министерство обороны выделило финансирование на исследования голографического пространства-времени, в частности потому, что подвижки в этой области могут привести к появлению более эффективных кодов исправления ошибок для квантовых компьютеров.

Физике же ещё придётся разобраться с тем, можно ли описать деситтеровскую вселенную, например, нашу, при помощи голограммы и в терминах кубитов и кодов. «Вся эта связь известна для мира, который очевидно не является нашим», — сказал Ааронсон. В работе от прошлого года Дон, сейчас работающий в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре, и его соавторы Ева Сильверстейн и Гонзало Торроба, сделали шаг в деситтеровском направлении, пытаясь создать примитивное голографическое описание. Исследователи пока ещё изучают это предложение, но Прескил считает, что язык квантового исправления ошибок в итоге всё же будет перенесён в реальное пространство-время.

«На самом деле пространство удерживается благодаря запутанности, — сказал он. – Если вы хотите сшить пространство-время из маленьких кусочков, их надо правильно запутать. А правильно будет сделать это, создав квантовый код исправления ошибок».

Рис. 4. Сравнение временных затрат Рис. 5. Сравнение критерия адекватности

Анализ результатов эксперимента показывает, что применение предварительной ориентации контуров сокращает время последующей деформации и приближает значения критерия адекватности к его максимальному значению. В рамках дальнейших исследований планируется модифицировать процедуру предварительной ориентации применительно к сплайновому представлению контуров и представления трехмерных объектов как сплошных тел.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. McInerney T., Terzopoulos D. Deformable Models in Medical Image Analysis: A Survey. Medical Image Analysis, 1996, 1(2):91-108

2. Christopher Lee. Wyatt Extending the geometric deformable model for use in medical image analysis. PhD dissertation, Wake forest university, 2000. — 56 p.

3. Бабков В.С. Застосування методу “деформованих моделей“ для реконструкції органів в КТ за умови обмеженої кількості вхідної інформації. Вісник Житомирського інженерно-технологічного інституту. Спеціальний випуск за матеріалами Міжнародної науково-технічної конференції “ІКТ-2002”. — 207-214 сс

4. Samuel D. Fenster Training, Evaluation and Local Adaptation in Deformable Models. PhD dissertation, Columbia university, 2000. — 91 p.

С. М. Гушанский, Р. А. Погорелов КВАНТОВЫЕ КОДЫ, ИСПРАВЛЯЮЩИЕ ОШИБКИ

Практическая реализация квантовых вычислений в настоящее время ограничена рядом проблем, среди которых следует выделить погрешность измерения состояния квантовой системы, нестабильность квантовых состояний вследствие декогерентности. Невозможность полной изоляции кубитов приводит к возникновению в них разнотипных ошибок (битовых, фазовых, битофазовых). Поэтому столь актуальным сейчас является создание эффективных методов квантовой коррекции. Использование квантовых кодов коррекции ошибок позволяет бороться с декогерентностью, восстанавливая квантовые состояния, уменьшая одновременно погрешность измерений.

В силу специфики пространства состояний кубита, считается, что его взаимодействие с окружающей средой может привести к ошибке одного из трех возможных типов [1]:

1) битовые ошибки, приводящие к перебросу кубита |0 ® Ц, Ц ® |0. Их иначе еще называют X — ошибками, так как их можно представить, как результат произведения матрицы Паули Ух и вектора состояния кубита;

2) фазовые ошибки, приводящие к перевороту фазы кубита |0 ® |0,

1 ® _| 1. Их называют Z — ошибками (соответствующая матрица Паули У г);

3) смешанные битофазовые ошибки, приводящие одновременно и к перебросу кубита и перевороту фазы |0 ® Ц, Ц ®-|0 . Их называют Y — ошибками

(соответствующая матрица Паули Уу ).

Таким образом, принимая во внимание факт, что взаимодействие с окружающей средой может и не повлиять на квантовое состояние, любую квантовую ошибку в единичном кубите можно представить в виде линейной комбинации всех видов ошибок. Если через у обозначить произвольное состояние единичного

кубита, то возникновение ошибки можно представить следующей схемой [2]:

у) ® (e1I + e2X + ^ + е4Z)|у) = ^eiEi у) ,

i

где I — единичная матрица (отсутствие ошибки), X, Y, 2 — соответствуют, как уже было сказано, матрицам Паули Уг, Уу , Уг. е1…е4 — некоторые коэффициенты, в

общем случае комплексные, Е{ — общее обозначение матриц элементарных преобразований.

Понятно, что процесс появления ошибок вследствие декогерентности может протекать с разной интенсивностью. Сделаем ряд важных предположений, жестко регламентирующий круг ошибок, с которыми можно бороться, используя квантовые коды коррекции:

— воздействие окружающей среды на квантовую систему будем считать ограниченным. То есть существует такое конечное время Д/, в течение которого вероятность, что ошибка появится в двух или более кубитах, бесконечно мала.

— все ошибки будем считать слабокоррелированными. Это означает, что ошибка, возникающая в одном кубите, не влияет на состояние другого.

— будем полагать, что все ошибки носят случайный характер, т.е. отсутствуют так называемые систематические ошибки.

Если возникающие ошибки удовлетворяют этим условиям, то для их обнаружения и устранения возможно использование квантовых кодов коррекции.

Идея отказоустойчивых кодов заимствована из классической теории информации, однако их реализация в случае кодирования квантовых состояний заметно отличается от классической ситуации.

Пусть £ — произвольное состояние в гильбертовом пространстве М. Кодом называется изометрическое отображение V : М ® N , переводящее состояния £ в кодирующие состояния VS в гильбертовом пространстве N [3].

Квантовый код V может обнаружить возникновение ошибки, если размерность гильбертова пространства N больше размерности пространства М. Иными словами, как и в классическом случае, любой отказоустойчивый квантовый код базируется на принципе избыточного кодирования.

Пусть преобразование квантового состояния в ходе кодирования и последующего возникновения ошибки описывается следующей схемой [3]:

£ ® V£ ®Ф(V£),

где Фё Е — оператор ошибки, определенного класса Е.

Тогда код V называется кодом, исправляющим ошибки, если существует такой оператор ^, что

¥[Ф( VS)]® с (Ф) 5,

для любого Фё Е. Здесь с (Ф) — некоторая константа, зависящая от оператора

ошибки [3]. Ее называют анциллой синдрома ошибки, так как ее значение зависит только от вида ошибки и ее локализации.

Система | )

Кодирующая

0)

Рис. 1. Базовая схема построения квантовых кодов коррекции

Полученная на основании этих утверждений схема любого отказоустойчивого кода приведена на рис. 1 [4]. Здесь под кодирующей анциллой понимается совокупность кубитов, посредством которых происходит кодирование состояния квантовой системы. Процесс кодирования превращает состояние кодирующей ан-циллы в отображение состояния исходной квантовой системы. Анцилла синдрома ошибки является также ансамблем из нескольких кубитов. Она введена с целью определения типа возникшей ошибки и ее локализации. Процесс коррекции ошибок является двухступенчатым:

— посредством квантовых схем, индивидуальных для каждого кода коррекции, анализируется состояние кодирующей анциллы, в ходе чего происходит изменение состояния анциллы синдрома;

— состояние анциллы синдрома измеряется, и, в зависимости от него, с кодирующей анциллой осуществляются те или иные преобразования. Т ак как ошибка единичного кубита определяется унитарным преобразованием, то для восстановления состояния достаточно лишь повторно применить к ошибочному кубиту преобразование, вызвавшее ошибку.

По аналогии с классическим кодированием, для обозначения квантовых кодов коррекции используется обозначение вида [[п, к, ^]. Здесь п — определяет полное число кубитов кода, к — число информационных кубитов, d — называется минимальным кодовым расстоянием кода, определяется как минимальное расстояние Хемминга [5] между всеми возможными парами кодовых слов (двойные скобки отличают квантовый код от классического).

Всё многообразие квантовых кодов коррекции принято разделять на три класса [4]:

1) аддитивные стабилизирующие (симплексные) коды. Наиболее обширный класс кодов базируется на классических кодах коррекции, в связи с чем и получили наибольшее развитие. Стабилизирующие коды можно проклассифицировать по минимальному кодовому расстоянию [8]:

— класс кодов с кодовым расстоянием два. Общее обозначение [[n, n-2, 2]];

— класс кодов с кодовым расстоянием три. Общее обозначение [[2, 2-/-2, 3]];

— класс кодов с кодовым расстоянием четыре. Общее обозначение [[2, 2-2j-2, 4]].

Здесь j может принимать произвольные целые значения. Такая классификация стабилизирующих кодов не является единственной и общепринятой. Чаще можно встретиться с классификацией по виду матрицы стабилизатора кода:

• циклические коды;

• CSS — коды;

• Амплитудно-защищающие коды они же “code over GF(4)”;

2) неаддитивные коды, не являющиеся стабилизирующими;

3) каскадные или Клиффорд-коды. Вероятность ошибки для них намного ниже, чем для двух предыдущих, за что приходится платить многоуровневой структурой кода, а как следствие увеличением числа кубитов. Каскадные коды являются обобщением аддитивных стабилизирующих кодов. В классической теории кодирования они имеют себе аналог, называемый сверточными кодами.

В основе квантового помехоустойчивого кодирования лежит код Хемминга, который представляет собой код коррекции ошибки единичного бита [5]. Длина кодового слова равна 7 битам: 4 информационных бита, 3 — контрольных. Суть кодирования заключается в установке контрольных битов по определенному правилу в зависимости от информационных.

Для обнаружения ошибки в кодовом слове используется так называемая матрица проверки, имеющая вид

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

V /

Если кодовое слово представить в виде матрицы столбца, то произведение матрицы H на этот столбец даст столбец из трех бит (при умножении матриц сложение заменяется сложением по модулю два), который определяет номер переброшенного бита или говорит об отсутствии ошибки (если он нулевой).

На основе кода Хемминга рассмотрим пример несложного, но важного се-микубитового кода, предложенного Эндрю Стином. Он позволяет, ориентируясь на классическое кодирование, наглядно рассмотреть общий принцип действия квантовых кодов коррекции. Данный код позволяет кодировать пространство состояний единичного кубита, используя для этого 7 кубитов. Иными словами, мы имеем дело с отображением произвольного состояния двумерного комплексного гильбертового пространства в состояние в 128 — мерном гильбертовом пространстве. Код Стина относится к уже упомянутому классу CSS — кодов. Предполагается, что любой вид ошибки может произойти в любом из семи кубитов, но только в одном (ограниченность воздействия окружающей среды). При кодировании состояния кубита кодом Стина используют суперпозицию только тех базисных векторов 128 — мерного комплексного гильбертового пространства, которые соответствуют множеству безошибочных кодовых слов кода Хемминга. Причем, при кодировании 10 используются только комбинации с четным числом единиц, а при

кодировании Ц , наоборот, с нечетным [6].

10

2^2

X И

ееп фе Р

V

^ (10000000) + | 0001111 + 1 °110011) + | 0111100)

242

|1010101) +11011010) +|1100110) +11101001))

2у12

ойй фе Р

V

^ (11111111 +11110000) +|1001100) +11000011) +

242

+ |0101010) + |0100101 + 10011001 +10010110)

Используя такой метод кодирования можно, как и в классическом случае, определить, в каком из кубитов произошла ошибка, однако обнаруженной может быть только X — ошибка. Процесс обнаружения ошибки запишем как

ф)®) ®|ф)®| Иф) ,

‘ / I / апс I ‘ / I ‘ / апс

вектор Иф) аналогичен трехбитовому столбцу для кода Хемминга, следова-

I ‘ ‘апс

тельно, он также однозначно задает локализацию X — ошибки.

рис.2.

Определение X — ошибки для семикубитового кода Стина приведено на

+

с 1

с > с > г > о

и и и и и и Ш г л г л С л с Л

с и и и и и и и к К К Э

Рис. 2

Теперь мы можем привести квантовую схему, позволяющую обнаружить X

— ошибку в любом из семи кубитов кода (рис. 2). В схеме используются общепринятые обозначения для управляемых гейтов (точкой обозначается управляющий кубит, а кружком с крестиком — управляемый). Данная схема позволяет понять, как происходит выявление синдрома ошибки для кода Стина. Каждый кубит ан-циллы синдрома есть результат суммирования по модулю 2 определенных кубитов кода. Причем если сравнить матрицу проверки кода Хемминга и схему (рис. 2), то видно, что именно матрица проверки и определяет номера кубитов кода, суммируемых (по модулю 2) в каждом кубите анциллы.

Однако понятно, что помимо X — ошибок необходимо бороться и с 2 -ошибками (если можно будет ликвидировать оба типа этих ошибок, то У — ошибки автоматически также будут ликвидированы, так как их можно представить как результат последовательного действия первых двух). Как известно, понятия битовая и фазовая ошибки уместны лишь при введенном базисе. Смена базиса определенным образом превращает битовую ошибку в фазовую и наоборот. Преобразование, осуществляющее поворот базиса, называется преобразованием Адамара [7]

R = V2

1 1

1 -1

Преобразование Адамара переводит кодирующие состояния |о и h в

I / code I / code

новые кодирующие состояния

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

l 0^c0de 42 ^ 0code ^1 code ) ’

^ code 42 ^ ^ code ^ 1 code )

Учитывая, что преобразование Адамара унитарно, т.е. двукратное его применение переведет систему в исходное состояние, то возможная реализация схемы, позволяющей обнаружить любые ошибки в семикубитном коде Стина, будет иметь вид (рис. 3).

Определение любой ошибки для кода Стина показано на рис. 3.

е 5 ; Pi У -ч э-е

г ) v Г i г > Г

О . ) к. ) 1 ) V

— R -« »_ О А

— R -i 1- R 4

— R -t р 1

— R ч R

Г л г > г >

U J L U L U L и > л г л >

Z к ) К i—У ) L X э

|я )

I / СИ

я

Рис. 3

В предложенном варианте квантовой схемы (рис. 3) используются две ан-циллы (анцилла X — ошибки и анцилла 2 — ошибки). Так как по нашему предположению ошибка может произойти лишь в одном кубите, то возможно 4 исхода обнаружения ошибки:

1) обе анциллы нулевые: ошибки не произошло;

2) анциллаX нулевая, а анцилла 2 нет: произошла 2 — ошибка в кубите, чей номер содержится в анцилле 2;

3) анцилла 2 нулевая, а анцилла X нет: произошла X — ошибка в кубите, чей номер содержится в анцилле X;

4) обе анциллы ненулевые и содержат одно и то же значение: произошла У

— ошибка в кубите, чей номер содержится в анцилле X и 2.

Если установлен тип ошибки и ее локализация, то процесс коррекции заключается лишь в применении к ошибочному кубиту соответствующего преобразования: X, У, или 2.

Рассмотрим процесс обнаружения ошибки на примере. Пусть имеется исходное состояние единичного кубита:

И-tjI»)+$!>>•

тогда закодированное состояние, согласно правилам кодирования кода Стина, будет иметь вид

1 ¡2 1

И cd — ^1°) code + ^l1) code — ^ (I 0000000) + l 0001111) + l 0110011) + l O1111O0 +

+ | 1010101 +11011010 +11100110 + (1101001) ) + —U (11111111 +11110000 +11001100) +

2V3

+ | 1000011 + 10101010 + | 0100101 + 10011001 + 10010110 )

Предположим, что ошибка представляет собой просто X — преобразование, примененное к третьему кубиту кода, т.е. оператор ошибки равен

Ф = IÄIÄ X ÄIÄIÄIÄI,

тогда в результате ошибки закодированное состояние примет вид

ф|у)^ — -V (10010000) + | 0011111 + | 0100011 + | 0101100) +11000101 +11001010) +

co e 2V6

+ (1110110 + (1111001) + ~Г» (11101111 + (1100000 + (1011100 + (1010011 + 10111010 + 2V3 + |0110101 + 10001001 + 10000110)

обозначим состояние анциллы синдрома как (ccc), первоначально c1 — c2 — c3 — 0. Осуществив преобразования, согласно схеме (рис. 3), получим для нашего случая

c1 — x4 @ x5 @ x6 @ x7 — 0

c2 — x2 @ x3 @ x6 @ x7 -1 ■

c3 — x1 @ x3 @ x5 @ x7 -1

Видно, что состояние анциллы синдрома |011) однозначно указывает на X

— ошибку в третьем кубите. Для ее устранения достаточно лишь повторно применить оператор ошибки Ф к закодированному состоянию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Стин Э. Квантовые вычисления. —Москва-Ижевск: РХД, 2000.

2. Рифель Е. Полак В. Основы квантовых вычислений.

3. ХолевоА. С. Введение в квантовую теорию информации. —Москва: МЦНМО, 2002. — 128 с.

4. GrassM. Quantum Error-Correcting Codes.

5. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ.- Москва: Мир, 1986.

6. Preskill J. Fault-Tolerant Quantum Computation. arXiv:quant-ph/9712048 v1 19 Dec 1997.

7. Steane A. M. Error correcting codes in quantum theory, Phys. Rev. Lett. 77, 793 1996.

8. Gottesman D. Stabilizer Codes and Quantum Error Correction. arXiv:quant-ph/9705052 v1 28 May 1997.

Те же самые коды, что защищают от ошибок квантовые компьютеры, возможно, обеспечивают и внутреннюю устойчивость самой ткани пространства-времени.

В 1994 году «квантовые компьютеры» мгновенно обрели широчайшую известность, когда математик из AT&T Labs Research по имени Питер Шор (Peter Shor) обнаружил, что эти гипотетические устройства могут быстро разлагать на множители большие числа и тем самым революционизировать современную криптографию. Однако на пути создания квантовых компьютеров встала фундаментальная проблема: их физические компоненты по своей природе крайне неустойчивы.

В отличие от бинарных битов информации обычных компьютеров, «кубиты» состоят из квантовых частиц, которые с некоторой вероятностью способны пребывать сразу в двух состояниях, обозначаемых как |0⟩ и |1⟩. При взаимодействии кубитов их возможные состояния становятся взаимозависимыми, шансы любого из них находиться в каком-то из двух состояний зависят от шансов других. Количество обусловленных таким образом возможностей растёт по мере того, как кубиты с каждой операцией становятся всё более и более «запутанными». Способность поддерживать экспоненциально растущее число одновременно существующих возможностей и манипулировать ими — вот что теоретически делает квантовые компьютеры чрезвычайно мощными.

Однако кубиты безумно часто создают ошибки. При малейшем воздействии магнитного поля или рассеянного микроволнового импульса они совершают «битовые кульбиты» (bit-flips), меняющие их шансы пребывать в состоянии |0⟩ или |1⟩ по отношению к другим кубитам, или «фазовые кульбиты» (phase-flips), которые инвертируют математические отношения между двумя их состояниями. Чтобы в квантовом компьютере даже тогда, когда отдельные кубиты повреждены, информация оставалась защищённой, нужны особые схемы её защиты. Эти схемы должны выявлять и исправлять ошибки, не прибегая к прямому измерению кубитов, поскольку такие измерения сводят сосуществующие возможности кубитов к жёстко определённой реальности — к старым добрым значениям 0 или 1, которые не способны поддерживать квантовые вычисления.

В 1995 году Шор вслед за своим алгоритмом разложения на множители выдал ещё одну сенсацию: доказал существование «квантовых кодов, исправляющих ошибки». Год спустя учёные-компьютерщики Дорит Ааронова (ивр. דורית אהרונוב, англ. Dorit Aharonov) и Майкл Бен-Ор (ивр. מיכאל בן-אור, англ. Michael Ben-Or) (а также другие исследователи, работавшие независимо) установили, что теоретически эти коды могут свести процент ошибок почти до нуля. «Это было главным открытием 90-х годов, — считает Скотт Ааронсон (Scott Aaronson), ведущий разработчик квантовых компьютеров Техасского университета в Остине (University of Texas at Austin). — Оно показало, что масштабируемые квантовые вычисления принципиально возможны, — что это просто чрезвычайно трудная инженерная проблема».

В лабораториях разных стран уже материализуются квантовые компьютеры, но сейчас они маленькие и существенно превзойти обычные смогут лишь через годы, а то и десятилетия. Для решения проблемы пугающе частых ошибок реальных кубитов нужны квантовые коды, которые гораздо эффективнее тех, что используются ныне. По словам Ааронсона, наряду с совершенствованием компьютерного «железа» разработка более совершенных кодов, исправляющих ошибки, является «одним из главных направлений деятельности в данной области исследований».

В последние два с половиной десятилетия шла упорная борьба за создание таких кодов. И тут — хоть плачь, хоть смейся — в 2014 году физики обнаружили глубокую связь между квантовой коррекцией ошибок и природой пространства, времени и гравитации. В общей теории относительности Альберта Эйнштейна гравитация определяется как ткань пространства и времени (или «пространства-времени»), искривляемая массивными объектами. (Шарик, брошенный в воздух, движется по прямой, но в пространстве-времени, искривлённом к Земле). Однако физики, опираясь на теорию Эйнштейна, считают, что у гравитации должно быть глубокое, квантовое происхождение, благодаря чему каким-то образом возникает видимая пространственно-временная ткань.

Итак, в 2014 году три молодых исследователя квантовой гравитации пришли к удивительному открытию. Они работали на игровой площадке физиков-теоретиков: в игрушечной вселенной, которая называется «антидеситтеровским пространством» и функционирует, как голограмма. Искривлённая пространственно-временная ткань внутри данного мира — это проекция, возникающая из живущих на его внешней границе запутанных квантовых частиц. Ахмед Альмхеири (Ahmed Almheiri), Си Дун (Xi Dong) и Дэниел Харлоу (Daniel Harlow) провели расчёты, исходя из того, что это голографическое «проявление» пространства-времени работает так же, как квантовый код, исправляющий ошибки. В Journal of High Energy Physics они предположили, что само пространство-время есть код — по меньшей мере, в антидеситтеровских (AdS) вселенных. Их статья так взбудоражила сообщество исследователей квантовой гравитации, что были открыты новые квантовые коды, исправляющие ошибки, которые более полно охватывают свойства пространства-времени.

По мнению Джона Прескилла (John Phillip Preskill), физика-теоретика из Калифорнийского технологического института (California Institute of Technology), квантовая коррекция ошибок объясняет, каким образом пространство-время достигает «внутренней устойчивости», несмотря на то, что соткано из хрупких квантовых элементов. «Нам не нужно осторожничать, боясь развалить эту геометрию, — говорит Прескилл. — Почему дело обстоит именно так? Я думаю, на данный момент лучшее объяснение — связь с квантовой коррекцией ошибок».

Кроме того, язык квантовой коррекции ошибок стал помогать исследовать тайны чёрных дыр — сферических объектов, в которых пространство-время так круто искривляется по направлению к их центру, что даже свет не в состоянии вырваться. «Все дороги ведут к чёрным дырам», — говорит Альмхеири, ныне сотрудник Института перспективных исследований (Institute for Advanced Study) в Принстоне, штат Нью-Джерси. В этих парадоксальных объектах гравитация достигает максимума, а общая теория относительности Эйнштейна терпит провал. «Кое-какие факты, — утверждает принстонский исследователь, — указывают на то, что, выяснив, какой код реализует пространство-время, легче понять интерьер чёрной дыры».

А ещё исследователи надеются на бонус: голографическое пространство-время может показать дорогу к масштабируемым квантовым вычислениям, воплощающим давнее предсказание Шора и других. «Пространство-время намного умнее нас, — говорит Альмхеири. — Исправляющий ошибки квантовый код, реализованный в такого рода конструкциях, очень эффективен».

А как работает квантовый код коррекции ошибок? Чтобы, несмотря на пугливость кубитов, защищать содержащуюся в них информацию, нужно исхитриться хранить её не в отдельных кубитах, а в паттернах их запутывания.

В качестве простого примера рассмотрим трёхкубитовый код. В нём для защиты от битовых кульбитов одного «логического» кубита информации используются три «физических» кубита. (Такой код не может защитить от фазовых кульбитов, поэтому для квантовой коррекции ошибок толку от него мало, но ознакомиться с ним полезно). Состояние логического кубита (|0⟩ или |1⟩) соответствует такому же состоянию всех трёх физических кубитов. Данная система пребывает в «суперпозиции» этих состояний, обозначаемой как |000⟩ + |111⟩. Пусть один из кубитов совершил битовый кульбит. Как обнаружить и исправить эту ошибку без прямого измерения какого-либо из кубитов?

Кубиты можно вводить через два гейта в квантовой цепи. Один гейт проверяет «чётность» (parity) первого и второго физических кубитов (являются ли они одинаковыми), а другой — чётность первого и третьего. Когда ошибки нет (это означает, что кубиты пребывают в состоянии |000⟩ + |111⟩), гейты измерения чётности отмечают, что как первый и второй, так и первый и третий кубиты чётны (одинаковы). Однако если первый кубит случайно совершил битовый кульбит и создал состояние |100⟩ + |011⟩, гейты обнаруживают в обеих парах разницу — отсутствие чётности. При битовом кульбите второго кубита, дающем состояние |010⟩ + |101⟩, гейты измерения чётности отмечают, что первый и второй кубиты нечётны, а первый и третий чётны, при битовом кульбите третьего кубита — что кубиты первой пары чётны, а второй — нечётны. Когда возникает ошибка, эти неповторяющиеся результаты показывают, какую нужно внести поправку, не разрушая при этом логический кубит, — какой из физических кубитов (первый, второй или третий) следует заставить совершить обратный кульбит. «По мне, квантовая коррекция ошибок сродни волшебству», — говорит Альмхеири.

Наиболее эффективные коды, исправляющие ошибки, способны восстановить всю закодированную информацию даже тогда, когда повреждена почти половина физических кубитов. В 2014 году этот факт навёл Альмхеири, Дуна и Харлоу на мысль, что квантовая коррекция ошибок может иметь отношение к тому, как из квантовой запутанности возникает антидеситтеровское пространство-время.

Важно отметить, что у пространства AdS и пространства-времени нашей «деситтеровской» вселенной разная геометрия. Если положительная вакуумная энергия, которая пронизывает нашу вселенную, вынуждает её бесконечно расширяться, то отрицательная вакуумная энергия антидеситтеровского пространства, напротив, делает его геометрию гиперболической — такой, как на одной из композиций М. К. Эшера (нидерл. Maurits Cornelis Escher) из серии Circle Limit. Мозаичные существа Эшера по мере удаления от центра круга становятся всё меньше и меньше и, в конце концов, исчезают на его границе; аналогично, пространственное измерение, которое излучает центр пространства AdS, постепенно сжимается и в конечном итоге исчезает, образуя внешнюю границу вселенной. Пространство AdS приобрело популярность в теории квантовой гравитации после того, как в 1997 году известный физик Хуан Малдасена (Juan Maldacena) обнаружил, что, согласно квантовой теории, искривлённая пространственно-временная ткань в своём интерьере «голографически дуальна» по отношению к частицам, живущим на безгравитационной границе с меньшей мерностью.

Изучая, как и сотни других физиков за последние два десятилетия, особенности функционирования этой дуальности, Альмхеири и его коллеги заметили, что любую точку интерьера пространства AdS можно построить на основе частиц, занимающих чуть больше половины границы этого мира — как и в случае эффективного квантового кода, исправляющего ошибки.

В своей статье эти учёные, предполагая, что голографическое пространство-время и квантовая коррекция ошибок — одно и то же, описали, как даже простой код можно представить в виде двухмерной голограммы. Такой код состоит из трёх «кутритов» — частиц, способных пребывать в любом из трёх состояний. Кутриты занимают равноудалённые точки на границе круга и, составляя вместе запутанное трио, кодируют один логический кутрит, соответствующий одной-единственной точке пространства-времени, находящейся в центре круга. Код защищает данную точку при выходе из строя любого из трёх кутритов.

Конечно, одна-единственная точка — весьма скромная вселенная. В 2015 году Харлоу, Прескилл, Фернандо Паставски (Fernando Pastawski) и Бени Ёсида (Beni Yoshida) описали ещё один голографический код, получивший прозвище «HaPPY». В нём свойства пространства AdS представлены шире. Код HaPPY использует для построения пространства пятиугольные кирпичики, напоминающие детали детского конструктора «Tinkertoy», — «тинкертойчики», как выразился Патрик Хейден (Patrick Hayden) из Стэнфордского университета (Stanford University), ведущего учебного заведения в данной области исследований. Каждый тинкертойчик репрезентирует одну точку пространства-времени. «В мозаике Эшера эти кирпичики играли бы роль рыб», — говорит Хейден.

В коде HaPPY и других известных ныне голографических схемах исправления ошибок всё, что находится внутри некоторой части интерьера пространства-времени, называемой «клином запутанности» (entanglement wedge), восстановимо с помощью кубитов соответствующего участка границы. По словам Хейдена, перекрывающиеся клинья запутанности можно воспроизводить перекрывающимися участками границы так же, как логический кубит квантового компьютера воспроизводим посредством многих подмножеств физических кубитов. «Именно здесь проявляется способность исправлять ошибки».

«Квантовая коррекция ошибок даёт нам более общий взгляд на геометрию, соответствующую данному кодовому языку», — заявляет Прескилл. Этот же язык, считает калифорнийский физик, «должен иметь более широкое применение». В частности, его следует применять к деситтеровской вселенной, подобной нашей. Но безграничное пространство де Ситтера (нидерл. Willem de Sitter) всё ещё не удаётся осмыслить как голограмму.

Пока что такие исследователи, как Альмхеири, Харлоу и Хейден, работают с пространством AdS, у которого много существенных свойств деситтеровского мира и которое легче исследовать. В обоих случаях пространственно-временная геометрия подчиняется теории Эйнштейна, просто разное искривление. И, что, возможно, важнее всего, оба вида вселенных содержат чёрные дыры. «Самым фундаментальным свойством гравитации является существование чёрных дыр», — утверждает Харлоу, который в настоящее время является доцентом кафедры физики в Массачусетском технологическом институте (Massachusetts Institute of Technology). — Это то, что отличает силу тяжести от всех других сил и делает трудной для понимания квантовую гравитацию».

Язык квантовой коррекции ошибок предоставил физикам новый способ описания чёрных дыр. По словам Хейдена, присутствие чёрной дыры определяется «крахом корректности»: «Когда так много ошибок, что вы теряете способность отслеживать, что происходит в данном объёме [пространстве-времени], вы получаете чёрную дыру. Это вроде клоаки для вашего невежества».

Невежество неизменно зашкаливает при попытках осмыслить интерьер чёрной дыры. В 1974 году на Стивена Хокинга (Stephen Hawking) снизошло прозрение, согласно которому чёрные дыры излучают тепло и, стало быть, в конечном итоге испаряются. В результате возник печально известный «информационный парадокс чёрных дыр», вынуждающий искать ответа на вопрос, что происходит с информацией, поглощённой чёрными дырами. Квантовая теория гравитации должна помочь физикам выяснить, как то, что попадает в чёрную дыру, ещё и выходит оттуда. Эта проблема может быть связана с космологией и рождением вселенной, поскольку расширение из сингулярности при Большом взрыве очень похоже на процесс, противоположный гравитационному коллапсу, происходящему при падении в чёрную дыру.

Пространство AdS делает более простым объяснение информационного парадокса. То, что граница вселенной AdS голографически дуальна по отношению к интерьеру этого мира, — к чёрным дырам и всему остальному, — гарантирует сохранность информации, попавшей в чёрную дыру: ведь граница вселенной всегда голографически кодирует эту информацию. Согласно расчётам, для реконструкции данных об интерьере чёрной дыры необходим доступ к запутанным кубитам границы на её участке, протяжённость которого составляет примерно три четверти всей её длины. «Чуть больше половины здесь уже недостаточно», — отмечает Альмхеири. Потребность в трёх четвертях, добавляет он, по-видимому, говорит о квантовой гравитации что-то важное, но почему нужна именно такая часть границы, «до сих пор непонятно».

В 2012 году Альмхеири впервые сделал заявку на мировую известность: этот высокий худощавый физик из Эмиратов и три его помощника углубили информационный парадокс. Они предположили, что можно предотвратить поглощение информации чёрной дырой, и здесь, в первую очередь, следует использовать «файрвол» на горизонте событий данного объекта.

Как и большинство физиков, Альмхеири не очень-то верит в существование файрволов чёрных дыр. Однако оказалось, что обойтись без них очень трудно. Теперь исследователь считает, что формированию файрволов мешает квантовая коррекция ошибок, которая защищает информацию даже в тех случаях, когда она пересекает горизонты чёрных дыр. Как заявляет Альмхеири в своей последней, сольной работе, опубликованной в октябре, квантовая коррекция ошибок «необходима для поддержания гладкости пространства-времени на горизонте» двухустной (two-mouthed) чёрной дыры, именуемой червоточиной. Согласно предположению принстонского исследователя, квантовая коррекция ошибок, как и предотвращение ею формирования файрволов, объясняет, каким образом кубиты, попавшие в чёрную дыру, выходят из неё по нитям запутанности между внутренней и внешней сторонами, которые сами похожи на миниатюрные червоточины. Это разрешило бы парадокс Хокинга.

В наступившем году министерство обороны США финансирует исследования голографического пространства-времени — по меньшей мере отчасти потому, что побочным результатом успешного продвижения на этом направлении научной деятельности может стать появление более эффективных кодов, исправляющих ошибки квантовых компьютеров.

Что касается физиков, то они всё ещё пытаются выяснить, можно ли описывать вселенные де Ситтера, в том числе и нашу, голографически, в терминах кубитов и кодов. «Всё, что мы знаем о скрепах мира, явно не является знанием о нашем мире», — подчёркивает Ааронсон. В статье, опубликованной прошлым летом, Дун, ныне сотрудник Калифорнийского университета в Санта-Барбаре (University of California, Santa Barbara), и его соавторы Ева Сильверстайн (Eva Silverstein) и Гонсало Торроба (Gonzalo Torroba) сделали шаг в направлении вселенной де Ситтера, попытавшись дать её простейшее голографическое описание. Физики-теоретики всё ещё изучают эту попытку, однако, по мнению Прескилла, язык квантовой коррекции ошибок, в конце концов, утвердится в сфере исследования реального пространства-времени.

«То, что скрепляет пространство, — это не что иное, как запутанность, — убеждён он. — Если вы хотите сплести пространство-время из маленьких нитей, вы должны правильно их запутать. А чтобы это получилось правильно, нужно создать квантовый код, исправляющий ошибки».

Квантовая коррекция ошибок поможет выполнять устойчивые неклиффордовские квантовые операции. При этом не будут использоваться громоздкие алгоритмы дистилляции, которые ранее считались необходимыми для неклиффордовских операций. Работа, опубликованная в Science Advances, описывает новый алгоритм коррекции.

Коды коррекции ошибок появились в середине XX века. В это время возникла необходимость обнаружения и исправления неточностей, возникающих при передаче данных. Идея исправления ошибок состоит в следующем: отправитель добавляет в исходное сообщение дополнительные биты. Значения этих битов зависят от самого сообщения. Например, в кодах Хемминга вспомогательные биты зависят от взаимной четности различных пар основных битов. Получатель использует эти биты для определения и устранения ошибки в сообщении. Чем больше ошибок нужно обнаружить и устранить, тем более сложный код необходимо использовать при передаче. Простейший способ — троекратное повторение каждого бита в сообщении: получатель восстанавливает нужный бит по принципу большинства:

Аналогичные коды исправления ошибок существуют и для квантовой информации, которая кодируется с помощью кубитов в квантовом процессоре. Каждый кубит характеризуется временем жизни — характерным временем, по прошествии которого квантовое состояние кубита меняется. Эти ошибки накапливаются и делают квантовое вычисление невозможным. Можно выделить два семейства кодов квантового исправления ошибок — это поверхностные коды и топологические коды.

Идея поверхностного кода — создать сплошную двумерную сетку из связанных кубитов. Постоянное измерения некоторых кубитов из этой сетки (называемых стабилизаторами) дает возможность обнаружить и скорректировать различные ошибки отдельных кубитов (однокубитные ошибки) и взаимные ошибки большого числа кубитов (многокубитные ошибки). Отключая измерения некоторых стабилизаторов, на сетке можно определять свободные от ошибок и используемые для вычислений кубиты — логические кубиты. Логические операции на логических кубитах осуществляются при помощи перемещений свободных от измерения кубитов.

Топологический код разработан для специальной модели необратимого квантового компьютера (one-way quantum computer) и опирается на так называемое кластерное состояние системы кубитов — особое запутанное состояние. Оно частично разрушается измерениями отдельных кубитов, а затем воссоздается заново, что моделирует течение времени. Переплетая линии и поверхности в таком пространстве-времени, можно создавать защищенные логические кубиты и проводить операции над ними.

Важно отметить, что не все операции над логическими кубитами одинаково просты для реализации в парадигмах квантовой коррекции ошибок. Как в поверхностном, так и топологическом коде коррекции ошибок относительно легко выполнять операции из группы Клиффорда. Она образуется унитарными преобразованиями, сохраняющими произведения операторов Паули. Однако, одних клиффордовских операций недостаточно для построения универсального квантового компьютера: к ним нужно добавить хотя бы одну операцию не из группы Клиффорда, например, трехкубитную операцию ССNOT или однокубитную операцию π/8.

Более того, фундаментальная теорема Готтесмана-Книлла утверждает, что любое квантовое вычисление, составленное из клиффордовских операций, можно осуществить на классическом компьютере за полиномиальное время. Другими словами, получить экспоненциальное ускорение для алгоритма, состоящего только из клиффордовских операций, невозможно. Поэтому все квантовые алгоритмы, которые могут дать экспоненциальное превосходство над классическими — например, алгоритм Шора для разложения чисел на простые множители — используют в том числе неклиффордовские операции. Однако, реализация неклиффордовских операций в кодах коррекции ошибок представляет значительную сложность. Для этого необходимо использовать вероятностные алгоритмы дистилляции, требующие длительного времени и дополнительных ресурсов квантового процессора. Многие специалисты в области квантовой теории информации думали, что дистилляция — единственный способ реализации неклиффордовских операций в методах коррекции ошибок.

Бенджамин Браун (Benjamine Brown) из Университета Сиднея разработал альтернативный метод коррекции квантовых ошибок, который позволит эффективно делать неклиффордовские операции без применения дистилляции. Предлагаемый метод коррекции является объединением поверхностного кода и топологического кода коррекции ошибок.

Автор построил три копии поверхностного кода, которые локально взаимодействуют друг с другом. Эти копии воссоздают трехмерный поверхностный код, и при добавлении еще некоторых вспомогательных кубитов (ancilla qubits) такая схема также воссоздает кластерное состояние. Доктор Майкл Беверленд (Michael Beverland), старший научный сотрудник Microsoft Quantum, так прокомментировал работу: «В статье исследуется захватывающий, экзотический подход к выполнению отказоустойчивых квантовых вычислений, указывающий путь к достижению универсальных квантовых вычислений в двух пространственных измерениях без необходимости дистилляции, что многие исследователи считали невозможным».

Полная трехмерная реализация поверхностного кода, в свою очередь, позволяет выполнить защищенную операцию CCNOT на трех логических кубитах (что означает дважды контролируемый переворот третьего кубита). Как известно, эта операция не является клиффордовской. Важно, что предложенный подход не использует измерения четности больше чем у 4 физических кубитов одновременно, то есть на уровне измерения отдельных стабилизаторов новый подход не является технически более сложным чем традиционный двумерный поверхностный код. Две копии поверхностного кода проходят друг через друга с течением времени, что позволяет реализовать операцию CCNOT на тех кубитах, которые оказываются на пересечении копий.

Сравнивая новый подход с традиционной дистилляцией, автор оценил, что объем вычислений для единичной операции CCNOT растет как 96d³, где d — размер поверхностного кода. Это в несколько раз улучшает средние показатели для алгоритмов дистилляции.

Квантовая коррекция ошибок необходима для возможности производить длинные вычисления на системах из несовершенных кубитов. Подробнее о том, какие методы коррекции ошибок уже реализуются в сверхпроводящих квантовых процессорах, можно узнать из интервью профессора Алексея Устинова для N + 1.

Алексей Дмитриев

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.

Повышение надежности
передачи и хранения информации достигается
посредством избыточности. Например, в
трехбитовом коде каждый логический бит
информации задаётся тремя физическими
битами

В рассматриваемом
случае реализуется мажоритарная система
исправления ошибок (принятие решения
на основе большинства голосов). В случае
трехбитового кодирования сообщение
(логический бит) передаётся правильно,
если число ошибок в физических битах
равно нулю или единице. Соответственно,
сообщение может быть передано неверно,
если ошибок две или три.

Рассмотрим в
качестве простого введения двоичный
симметричный канал. Пусть

—
вероятность ошибки в одном физическом
бите: вероятность превращения нуля в
единицу (
),
либо наоборот, единицы в нуль (
).
Будем считать обе эти вероятности
одинаковыми (отсюда название- симметричный
канал). Вероятность безошибочной передачи
информации (

, либо

),
соответственно, равна

.

Задача 5.18
Покажите, что классический трёхбитовый
код характеризуется следующей вероятностью
ошибки передачи одного логического
бита информации

Покажите далее,
что избыточность увеличивает надежность
передачи информации (т.е.

,
если

).

Перейдем теперь
к рассмотрению квантового бита (кубита).
Рассмотрим вначале так называемый канал
с классической ошибкой (название
«классическая ошибка» довольно условно).

Такая ошибка
описывается действием оператора

(NOT),
когда состояние 0 меняется на 1, а состояние
1 меняется на 0:

,
т.е.

Таким образом,
действие ошибки описывается следующим
преобразованием состояния кубита

Трёхбитовый код
в квантовом исполнении (резервирование
одного логического кукубита тремя
физическими кубитами) выглядит следующим
образом:

,
т.е.

Реализация
рассматриваемого способа кодирования
посредством квантовой схемы представлена
на рисунке.

Рис. 5.11 Квантовая
схема кодирования для защиты от
классической ошибки

Квантовая схема
обеспечивает следующую последовательность
преобразований

Рассмотрим каким
образом добавление вспомогательной
системы из двух кубитов в исходном
состоянии ноль позволяет детектировать
возможное наличие ошибки.

Дополним схему
кодирования схемой декодирования и
измерения вспомогательной системы.

Рис. 5.12 Квантовая
схема кодирования, дополненная схемой
декодирования и измерения.

Специфика квантового
исправления ошибок состоит в том, что
мы не можем подвергать измерениям
кубиты, несущие информацию (в противном
случае эта информация будет утеряна в
результате редукции состояния). Вместо
измерения информационной системы
производится измерение вспомогательной
системы. Измерение вспомогательной
системы позволяет идентифицировать
возможную ошибку и исправить её.

Оказывается, что
измерение двух вспомогательных (второго
и третьего) кубитов допускает 4 следующие
возможности: 11 (когда произошла ошибка
в первом кубите), 00 (когда ошибок нет),
10 (ошибка во втором кубите), 01 (ошибка в
третьем кубите).

Предположим,
например, что возникла ошибка в первом
(информационном) кубите, т.е.

Тогда, декодирование
(правая часть рисунка) приведёт к
следующей последовательности
преобразований:

Измерение второго
и третьего кубитов дадут результат 11.
Это будет означать, что в первом
(информационном) кубите произошла
ошибка. Для исправления этой ошибки
нужно выполнить преобразование

над информационным кубитом.

Рассмотрим три
остальных случая. Если ошибок нет, то
последовательность преобразований
будет следующей:

Убеждаемся, что в
результате преобразований информационный
кубит не изменился, а вспомогательная
система оказалась в состоянии 00.

Если возникла
ошибка во втором кубите, то имеем цепочку
преобразований:

Снова информационный
кубит не изменился, а вспомогательная
система оказалась теперь в состоянии
10.

Если возникла
ошибка в третьем кубите, то аналогично
получим:

Информационный
кубит опять не изменился, а вспомогательная
система оказалась теперь в состоянии
01.

Таким образом,
рассматриваемые четыре возможности
идентифицируют 4 ситуации (отсутствие
ошибок, либо ошибка в одном из трёх
кубитов).

Рассмотрим теперь
случай двух ошибок. Пусть, например,
ошибки возникли в 1-ом и 2-ом кубитах.
Тогда

Если мы будем
действовать по схеме, указанной выше,
то мы ошибочно сделаем вывод о наличии
ошибки в третьем кубите и, таким образом,
не сможем идентифицировать ошибку в
информационном кубите.

Мы видим, что
рассмотренный трёхкубитовый код
исправляет гарантированно не более
одной ошибки.

Рассмотрим теперь
так называемую фазовую ошибку. Эта
ошибка сводится к несанкционированному
действию оператора сдвига фазы

.
Таким образом, действие фазовой ошибки
описывается следующим преобразованием
состояния кубита (меняется знак у
базисного состояния

)

Покажем, что
рассмотрение фазовой ошибки можно
свести к рассмотрению классической
ошибки:

Выполнив
преобразование Адамара, перейдем к
новому базису:

Мы видим, что в
новом базизе действие фазовой ошибки
сводится к тому, что состояния

и

переходят друг в друга (
,

).
Таким образом, в новом базисе фазовая
ошибка сводится к классической ошибке.

Схема кодирования
фазовой ошибки изображена на рисунке.
Она представляет собой схему кодирования
классической ошибки, дополненную
преобразованием Адамара для каждого
кубита

Рис. 5.13 Квантовая
схема кодирования для защиты от фазовой
ошибки

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нильсен М, Чанг
   И. Квантовые вычисления и квантовая
   информация: Пер. с англ. Под ред. М.Н.
   Вялого и П.М. Островского с предисловием
   К.А. Валиева. — М.: Мир. 2006. 824 с.

2. Валиев К.А.,
   Кокин А.А.
   Квантовые компьютеры: Надежды и
   реальность. 2-е изд., исп. М.–Ижевск: НИЦ
   РХД, 2002. 320 с.
   

3. Физика квантовой
   информации. Квантовая криптография.
   Квантовая телепортация. Квантовые
   вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера,
   А.Экерта, А. Цайлингера;
   Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика
   и Т.А.Шмаонова.
   М. Постмаркет. 2002. 376с.

4. Прескилл Дж. Квантовая информация
   и квантовые вычисления. Том.1. М.-Ижевск.
   РХД. 2008. 464с.

5. Валиев К.А.
   Квантовые компьютеры и квантовые
   вычисления // Успехи Физических Наук.
   2005. Т.175. №1. С.3-39.

6. Ожигов Ю.И.
   Квантовые
   вычисления. М. МГУ. 2003.

7. Feynman
   R.
   Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phys.
   1982. V.21.
   №6/7. P.467-488.
   См. перевод Фейнман
   Р. Моделирование
   физики на компьютерах // сб. «Квантовый
   компьютер и квантовые вычисления».
   Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.96-124.

8. Feynman
   R.
   Quantum Mechanical Computers // Found. of Phys. 1986. V.16.
   №6. P.507-531.
   См. перевод Фейнман
   Р.
   Квантовомеханические компьютеры // сб.
   «Квантовый компьютер и квантовые
   вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.125-156.

9. Манин Ю.И.
   Вычислимое и невычислимое. М. Советское
   Радио. 1980. 128с.

10. Китаев А., Шень
    А., Вялый М.
    Классические и квантовые вычисления
    М. МЦНМО. ЧеРо. 1999. 192 с.

11. Grover
    L.K.
    Quantum Mechanics Help in Searching for a Needle in a Haystack //
    Phys. Rev.
    Lett.
    1997. V.78.
    №2. P.325-328.
    См. перевод Гровер
    Л.К. Квантовая
    механика помогает найти иголку в стоге
    сена // сб. «Квантовый компьютер и
    квантовые вычисления». Т.1. Ижевск. РХД.
    1999. с.101-109.

12. Shor
    P.
    Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete
    Logarithms on a Quantum Computer. LANL Report quant-ph/
    9508027.1995. 28p.

13. Deutsch
    D.
    Quantum Theory, the Church- Turing Principle and the Universal
    Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. London.
    1985. V.A400.
    №1818. P.97-117.
    См. перевод Дойч
    Д. Квантовая
    теория принципа Черча- Тьюринга и
    универсальный квантовый компьютер //
    сб. «Квантовый компьютер и квантовые
    вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.157-189.

14. Barenco
    A., Bennett C.H., Cleve C., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P.,
    Sleater T., Smolin J.A., Weinfurter H.
    Elementary Gates for Quantum Computation // Phys. Rev. A. 1995.
    V.52. №5.
    P.3457-3467.

15. Preskill
    J.
    Fault-tolerant quantum computation. LANL Report quant-ph/
    9712048.1997. 58p.

16. Kim
    Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Quantum
    teleportation of a polarization state with a complete Bell state
    measurement // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.1370-1373

17. Bartlett
    S.D., Munro W.J.
    Quantum Teleportation of Optical Quantum Gates // Phys. Rev. Lett.
    2003. V.90. 117901.

18. Mattle
    K., Weinfurter H., Kwiat P.G., and Zeilinger A.
    Dense Coding in Experimental Quantum Communication // Phys. Rev.
    Lett. 1996. V76. P.4656-4659.

19. Kim
    Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Bell
    state preparation using pulsed nondegenerate two-photon
    entanglement // Phys. Rev.A. 2001. V.63. 060301. 4p.

20. Kim
    Y.H.,
    Chekhova
    M.V., Kulik S.P.,
    Rubin
    M., Shih Y.H. Interferometric
    Bell state preparation using femtosecond pulse pumped spontaneous
    parametric down-conversion. 2001. // Phys. Rev. A. V.63. 062301.
    11p.

21. Cavity
    Quantum Electrodynamics. Advances in atomic, molecular and optical
    physics // Berman
    P.
    (editor). Academic Press. San Diego. 1994. 497 p.

22. Münstermann
    P., Fischer T., Maunz P., Pinkse P.W.H., and Rempe G.
    Observation
    of cavity-mediated long-range light forces between strongly coupled
    atoms // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84.
    P.4068-4071.

23. Beige
    A.
    Ion-trap quantum computing in the presence of cooling // Phys. Rev.
    A. 2004. V.69. 012303. 11p.

24. Pachos
    J., Walther H.
    Quantum computation with trapped ions in an optical cavity // Phys.
    Rev. Lett. 2002. V.89. 187903. 4p.

25. Childs
    A., Chuang I.L.
    Universal quantum computation with two-level trapped ions // Phys.
    Rev. A. 2001. V.63. 012306. 4p.

26. Gershenfeld
    N.A.,
    Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science.
    1997. V. 275. №1. P.350-356.

27. Vandersypen
    L.M.K., Steffen
    M., Breyta
    G., Yannoni
    C.S., Sherwood
    M.H., Chuang
    I.L.
    Experimental realization of Shor’s quantum factoring algorithm using
    nuclear magnetic resonance // Nature. Dec. 2001. V.414. P. 883-887.

28. Кокин А.А.
    Твердотельные квантовые компьютеры
    на ядерных спинах. Институт компьютерных
    исследований. Москва- Ижевск. 2004. 204 с.

29. Bohr N.
    Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic
    physics // in Schilp P.A. (editor), Albert Einstein,
    Philosopher-Scientist (Library of Living Philosophers, Evanston,
    Illinois, 1949), P.200-241. Перевод
    на русский язык: Бор
    Н. Дискуссия
    с Эйнштейном по проблемам теории
    познания в атомной физике. Избранные
    научные труды в 2-х томах. Т.2. С. 399-433. М.
    Наука. 1971.

30. Богданов Ю.И.
    Многопараметрические статистические
    модели в задачах квантовой информатики
    // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118

31. Крамер
    Г. Математические
    методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

32. Lukacs
    E.
    Characteristic Functions.
    London. Charles Griffin & Company Limited. 1960.216 p.

33. Прохоров Л.В.
    Квантовая
    механика- проблемы и парадоксы. СПб.
    НИИХ СПбГУ. 2003. 120 с.

34. Владимиров В.С.
    Обобщенные
    функции в математической физике. М.
    Наука. 1979. 320с.

35. Robertson
    H.P. An
    Indeterminacy Relation for Several Observables and Its Classical
    Interpretation // Phys.Rev. 1934. V.46. P.794-801

36. Холево А.С.
    Статистическая структура квантовой
    теории. М.Ижевск:
    Ин-т комп. исслед., 2003. 192 с.

37. Богданов А.Ю.,
    Богданов Ю.И., Валиев К.А.
    Информация Шмидта и запутанность
    квантовых систем //Вестн. Моск. ун-та.
    Сер.15. Вычислительная математика и
    кибернетика. 2007.№1; LANL
    report
    quant-ph/0512062

38. Кендалл М.,
    Стьюарт А.
    Статистические выводы и связи. М. Наука.
    1973. 900 с.

39. Вероятность и
    математическая статистика. Энциклопедия.
    // Под ред. Ю.В.
    Прохорова. М:.
    Большая Российская энциклопедия, 1999.
    911 с.

40. Крянев А.В., Лукин
    Г.В. Математические
    методы обработки неопределенных данных.
    М. Физматлит. 2003. 216 с.

41. Богданов Ю.И.
    Основная задача статистического анализа
    данных: Корневой подход. М.:
    МИЭТ,
    2002. 96с.
    Пер.
    на
    англ.:
    Bogdanov
    Yu. I.
    Fundamental problem of statistical data analysis: Root approach.
    M.: MIEE, 2002. 84 p.; Bogdanov
    Yu. I.
    Statistical inverse problem // LANL E-print, 2002, arXiv:
    phys/0211109. 39p.

42. Bogdanov
    Yu.I.
    Quantum mechanical view of mathematical statistics // Proceedings of
    SPIE. 2006. V.6264. 62640E; LANL E-print, 2003, arXiv:
    quant-ph/0303013. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research.
    Nova Science. 2006. pp. 1-36.

43. Ю.И. Богданов,
    Унифицированный
    метод статистического восстановления
    квантовых состояний, основанный на
    процедуре очищения // ЖЭТФ. 2009. Т.135.
    Вып.6.с.1068-1078.

44. Богданов Ю.И.,
    Кривицкий Л.А., Кулик С.П. Статистическое
    восстановление квантовых состояний
    оптических трехуровневых систем //
    Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 78, вып. 6. С. 804809.

45. Bogdanov
    Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P.
    et al.
    Statistical reconstruction of qutrits // Phys. Rev. A. 2004. Vol.
    70. 042303. 16 p.

46. Bogdanov
    Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P.
    et al.
    Qutrit state engineering with biphotons // Phys. Rev. Lett. 2004.
    Vol. 93. 230503. 4p.

47. Bogdanov Yu.I., Brida G, Genovese M., Kulik
    S.P., Moreva E.V., Shurupov A.P. Statistical
    Estimation of the Efficiency of Quantum State Tomography Protocols
    // Phys. Rev. Lett. 2010. V.105. 010404. 4p.

48. Дирак П.А.М.
    Принципы квантовой механики // Собрание
    научных трудов. Т.1: Квантовая теория.
    М.: Физматлит, 2002. С. 7320.

49. Von
    Neumann J.
    Mathematische Grudlagen der Quantenmechanik. Berlin.
    Springer.
    1932. См. перевод Фон
    Нейман И.
    Математические основы квантовой
    механики. М. Наука. 1964. 368с.

50. Dirac
    P.A.M.
    Relativity and Quantum Mechanics // Fields and Quanta. 1972.
    V3.
    P.139-164.
    (см. перевод Дирак
    П.А.М. Теория
    относительности и квантовая механика
    // Собрание научных трудов. Том III.
    М. Физматлит. 2004. с. 141-152.)

51. Bogdanov
    Yu.I.
    Root estimator of quantum states // LANL E-print, 2003, arXiv:
    quant-ph/0303014. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research.
    Nova Science. 2006. pp. 129-162.

52. Богданов
    Ю. И.
    Основные
    понятия классической и квантовой
    статистики: Корневой подход // Оптика
    и спектроскопия. 2004. Т.96, №5. С.735746.

53. Einstein
    A., Podolsky B., Rosen N.
    Can
    quantum-mechanical description of physical reality be considered
    complete? // Phys. Rev.
    1935. V.47.
    P.777-780.
    Перевод на русский язык: Эйнштейн А.,
    Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать
    квантовомеханическое описание физической
    реальности полным? А. Эйнштейн Собрание
    научных трудов в 4-х томах. Т.3. С. 604-611.
    М. Наука. 1966.

54. Гнеденко Б.В.
    Курс теории
    вероятностей. М. Эдиториал УРСС. 2005. 448
    с.

55. Коэн-Таннуджи
    К., Диу Б., Лалоэ Ф.
    Квантовая механика // Пер. с фр. Л.Н.
    Новикова. В 2-х т. Екатеринбург. Изд-во
    Урал. Ун-та. 2000.

56. Ландау Л.Д.,
    Лифшиц Е.М. Квантовая
    механика. Нерелятивистская теория М.
    Наука. 1974. 752 с.

57. Ehrenfest
    P. Bemerkung
    über die angenaherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb
    der Quanten Mechanik // Z. Phys. 1927. 45.
    S.
    455-457. См. перевод: Эренфест
    П. Замечание
    о приближенной справедливости
    классической механики в рамках квантовой
    механики // в сб. Эренфест
    П.
    Относительность. Кванты. Статистика.
    Сборник статей. М. Наука. 1972. с.82- 84.

58. Гильберт
    Д. Математические
    проблемы // Избранные труды. Т2. М.
    Факториал. 1998. с.401- 436.

59. Zee
    H.D. Roots
    and Fruits of Decoherence // Seminaire Poincare. 2005. p.115-129.;
    Zurek
    W.H.
    Decoherence and the Transition from Quantum to Classical-
    Revisited// Ibid. p.1-23.

60. Больцман Л.
    Дальнейшие
    исследования теплового равновесия
    между молекулами газа // Избранные
    труды. М. Наука. 1984. с.125-189.

61. Гильберт
    Д. Основы
    общей теории линейных интегральных
    уравнений. Глава XXII
    Обоснование кинетической теории газов
    // Избранные труды. Т2. М. Факториал. 1998.
    с.350- 364.

62. Гейзенберг В.
    О квантовотеоретической интерпретации
    кинематических и механических
    соотношений. Избранные труды. М. УРСС.
    2001. с. 86-98.

63. Борн М., Иордан
    П. К квантовой
    механике. Там же. С. 99-126.

64. Гейзенберг В.,
    Борн М., Иордан П. К
    квантовой механике. II.
    Там же. С. 127-175.

65. Hilbert
    D., Neumann J., Nordheim L. Űber
    die Grundlagen der Quantenmechanik. 1928.
    Math. Ann. Bd. 98. s. 1-30.

66. Bell
    J.S.
    Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Collected papers on
    quantum phylosophy. Cambridge University Press. 1993.

67. Холево А.С.
    Введение в квантовую теорию информации.
    М. МЦНМО. 2002. 128с.

68. Холево А.С.
    Вероятностные и статистические аспекты
    квантовой теории. Издание 2-е, дополненное.
    Москва- Ижевск. Институт компьютерных
    исследований. 2003. 410 с.

69. Гнеденко Б.В. К
    шестой проблеме Гильберта // Проблемы
    Гильберта (сб. статей под ред. Александрова
    П.С.)
    М. УРСС. 2000. с.117- 119.

70. Блейхут
    Р.
    Быстрые алгоритмы цифровой обработки
    сигналов. М. Мир, 1989. 448 с.

71. Килин
    С.Я. Квантовая
    информация // Успехи Физических Наук.
    1999. Т.169. №5. С.507-527.
    

152

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Теория квантовой коррекции ошибок играет важную роль в практической реализации и разработке квантовых вычислительные устройства и квантовой связи. Первые коды с квантовым исправлением ошибок поразительно похожи на классические блочные коды по своей работе и характеристикам. Квантовые коды исправления ошибок восстанавливают зашумленное, расшифрованное квантовое состояние в чистое квантовое состояние. Код стабилизатора с квантовым исправлением ошибок добавляет вспомогательные кубиты к кубитам, которые мы хотим защитить. Унитарная схема кодирования вращает глобальное состояние в подпространство большего гильбертова пространства. Это сильно запутанное , закодированное состояние исправляет локальные зашумленные ошибки. Код с квантовым исправлением ошибок делает квантовые вычисления и квантовую связь практичными, предоставляя отправителю и получателю возможность имитировать бесшумный канал кубитов при канале кубитов с шумом шум которого соответствует конкретной модели ошибки.

Теория стабилизатора квантовой коррекции ошибок позволяет импортировать некоторые классические двоичные или четвертичные коды для использования в качестве квантового кода. Однако при импорте классического кода он должен удовлетворять ограничению , содержащему двойное содержание (или самоортогональности). Исследователи нашли много примеров классических кодов, удовлетворяющих этому ограничению, но большинство классических кодов этого не делают. Тем не менее, по-прежнему полезно импортировать классические коды таким образом (хотя посмотрите, как формализм стабилизатора с помощью запутывания преодолевает эту трудность).

Содержание

• 1 Математические основы
• 2 Определение
• 3 Условия исправления ошибок стабилизатора
• 4 Связь между группой Паули и двоичными векторами
• 5 Пример кода стабилизатора
• 6 Ссылки

Математические основы

Формализм стабилизатора использует элементы группы Паули Π { displaystyle Pi}при формулировании кодов квантового исправления ошибок. Набор Π = {I, X, Y, Z} { displaystyle Pi = left {I, X, Y, Z right }}состоит из Операторы Паули :

I ≡ [1 0 0 1], X ≡ [0 1 1 0], Y ≡ [0 — ii 0], Z ≡ [1 0 0 — 1]. { Displaystyle I Equiv { begin {bmatrix} 1 0 \ 0 1 end {bmatrix}}, X Equiv { begin {bmatrix} 0 1 \ 1 0 end {bmatrix}}, Y Equiv { begin {bmatrix} 0 -i \ i 0 end {bmatrix}}, Z Equiv { begin {bmatrix} 1 0 \ 0 -1 end {bmatrix}}.}

Указанные выше операторы действуют на single кубит — состояние, представленное вектором в двумерном гильбертовом пространстве. Операторы в Π { displaystyle Pi}имеют собственные значения ± 1 { displaystyle pm 1}и либо коммутируют или антикоммутирующий. Набор Π n { displaystyle Pi ^ {n}}состоит из n { displaystyle n}-fold тензорных произведений из операторов Паули :

Π n = {ei ϕ A 1 ⊗ ⋯ ⊗ A n: ∀ j ∈ {1,…, n} A j ∈ Π, ϕ ∈ {0, π / 2, π, 3 π / 2}}. { displaystyle Pi ^ {n} = left {{ begin {array} {c} e ^ {i phi} A_ {1} otimes cdots otimes A_ {n}: forall j in left {1, ldots, n right } A_ {j} in Pi, phi in left {0, pi / 2, pi, 3 pi / 2 right } end {array}} right }.}

Элементы Π n { displaystyle Pi ^ {n}}действуют на квантовый регистр из n { displaystyle n}кубитов. Иногда в дальнейшем мы опускаем символы тензорного произведения, так что

A 1 ⋯ A n ≡ A 1 ⊗ ⋯ ⊗ A n. { Displaystyle A_ {1} cdots A_ {n} Equiv A_ {1} otimes cdots otimes A_ {n}.}

n { displaystyle n}-fold Группа Паули Π n { displaystyle Pi ^ {n}}играет важную роль как для схемы кодирования, так и для процедуры исправления ошибок квантового стабилизатора код более n { displaystyle n}кубитов.

Определение

Давайте определим [n, k] { displaystyle left [n, k right]}код квантовой коррекции ошибок стабилизатора для кодирования k { displaystyle k}логических кубитов в n { displaystyle n}физических кубитов. Скорость такого кода составляет k / n { displaystyle k / n}. Его стабилизатор S { displaystyle { mathcal {S}}}является абелевской подгруппой из n { displaystyle n}-складная группа Паули Π n { displaystyle Pi ^ {n}}. S { displaystyle { mathcal {S}}}не содержит оператор — I ⊗ n { displaystyle -I ^ { otimes n}}. Одновременное + 1 { displaystyle +1}-собственное подпространство операторов составляет кодовое пространство. Кодовое пространство имеет размерность 2 k { displaystyle 2 ^ {k}}, так что мы можем закодировать в него k { displaystyle k}кубиты. Стабилизатор S { displaystyle { mathcal {S}}}имеет минимальное представление в терминах n — k { displaystyle nk}независимые генераторы

{g 1,…, gn — k | ∀ i ∈ {1,…, n — k}, g i ∈ S}. { Displaystyle left {g_ {1}, ldots, g_ {nk} | forall i in left {1, ldots, nk right }, g_ {i} in { mathcal {S}} right }.}

Генераторы независимы в том смысле, что ни один из них не является продуктом двух других (до глобальной фазы ). Операторы g 1,…, gn — k { displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {nk}}работают так же, как матрица проверки четности выполняет для классического линейного блочного кода.

Условия исправления ошибок стабилизатора

Одно из фундаментальных понятий в теории квантовой коррекции ошибок состоит в том, что достаточно исправить дискретную ошибку установлен с поддержкой в группе Pauli Π n { displaystyle Pi ^ {n}}. Предположим, что ошибки, влияющие на закодированное квантовое состояние, являются подмножеством E { displaystyle { mathcal {E}}}из группы Паули Π n { displaystyle Pi ^ {n}}:

E ⊂ Π n. { displaystyle { mathcal {E}} subset Pi ^ {n}.}

Потому что E { displaystyle { mathcal {E}}}и S { displaystyle { mathcal {S}}}оба подмножества Π n { displaystyle Pi ^ {n}}, ошибка E ∈ E { displaystyle E in { mathcal {E}}}, который влияет на закодированное квантовое состояние, либо коммутирует, либо антикоммутирует с любым конкретным элементом g { displaystyle g}в S { displaystyle { mathcal {S}}}. Ошибка E { displaystyle E}может быть исправлена, если она антикоммутируется с элементом g { displaystyle g}в S { displaystyle { mathcal {S}}}. Ошибка антикоммутации E { displaystyle E}обнаруживается путем измерения каждого элемента g { displaystyle g}в S { displaystyle { mathcal {S}}}и вычисление синдрома r { displaystyle mathbf {r}}определение E { displaystyle E}. Синдром представляет собой двоичный вектор r { displaystyle mathbf {r}}длиной n — k { displaystyle nk}, элементы которого определяют, была ли ошибка E { displaystyle E}коммутирует или антикоммутирует с каждым g ∈ S { displaystyle g in { mathcal {S}}}. Ошибка E { displaystyle E}, которая коммутирует с каждым элементом g { displaystyle g}в S { displaystyle { mathcal {S }}}можно исправить тогда и только тогда, когда он находится в S { displaystyle { mathcal {S}}}. Он искажает закодированное состояние, если он коммутируется с каждым элементом S { displaystyle { mathcal {S}}}, но не находится в S { displaystyle { mathcal {S }}}. Итак, мы кратко резюмируем условия исправления ошибок стабилизатора: код стабилизатора может исправить любые ошибки E 1, E 2 { displaystyle E_ {1}, E_ {2}}в E { displaystyle { mathcal {E}}}если

E 1 † E 2 ∉ Z (S) { displaystyle E_ {1} ^ { dagger} E_ {2} notin { mathcal {Z}} left ({ mathcal {S}} right)}

или

E 1 † E 2 ∈ S { displaystyle E_ {1} ^ { dagger} E_ {2} in { mathcal {S}}}

где Z (S) { displaystyle { mathcal {Z}} left ({ mathcal {S}} right)}— это централизатор элемента S { displaystyle { mathcal {S}}}(т. е. подгруппа элементов, которые коммутируют со всеми членами S { displaystyle { mathcal {S}}}, также известный как коммутант).

Связь между группой Паули и двоичными векторами

Существует простое, но полезное отображение между элементами Π { displaystyle Pi}и двоичное векторное пространство (Z 2) 2 { displaystyle left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2}}. Это отображение упрощает теорию квантовой коррекции ошибок. Он представляет квантовые коды с двоичными векторами и двоичными операциями, а не с операторами Паули и матричными операциями соответственно.

Сначала мы дадим отображение для случая с одним кубитом. Предположим, что [A] { displaystyle left [A right]}— это набор классов эквивалентности для оператора A { displaystyle A}с одинаковой фазой :

[A] = {β A | β ∈ C, | β | = 1}. { Displaystyle left [A right] = left { beta A | beta in mathbb {C}, left vert beta right vert = 1 right }.}

Пусть [Π] { displaystyle left [ Pi right]}будет набором безфазовых операторов Паули, где [Π] = {[A] | A ∈ Π} { displaystyle left [ Pi right] = left { left [A right] | A in Pi right }}. Определите карту N: (Z 2) 2 → Π { displaystyle N: left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2} rightarrow Pi}как

00 → I, 01 → X, 11 → Y, 10 → Z { displaystyle 00 to I, , , 01 to X, , , 11 to Y, , , 10 to Z}

Предположим, u, v ∈ (Z 2) 2 { displaystyle u, v in left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2}}. Воспользуемся сокращением u = (z | x) { displaystyle u = left (z | x right)}и v ​​= (z ′ | x ′) { displaystyle v = left (z ^ { prime} | x ^ { prime} right)}где z { displaystyle z}, x { displaystyle x}, z ′ { displaystyle z ^ { prime}}, x ′ ∈ Z 2 { displaystyle x ^ { prime} in mathbb {Z} _ {2}}. Например, предположим, что u = (0 | 1) { displaystyle u = left (0 | 1 right)}. Тогда N (u) = X { displaystyle N left (u right) = X}. Карта N { displaystyle N}индуцирует изоморфизм [N]: (Z 2) 2 → [Π] { displaystyle left [N right]: left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2} rightarrow left [ Pi right]}из-за сложения векторов в (Z 2) 2 { displaystyle left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2}}эквивалентно умножению операторов Паули до глобальной фазы:

[N ( u + v)] = [N (u)] [N (v)]. { displaystyle left [N left (u + v right) right] = left [N left (u right) right] left [N left (v right) right].}

Пусть ⊙ { displaystyle odot}обозначает симплектическое произведение между двумя элементами u, v ∈ (Z 2) 2 { displaystyle u, v in left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2}}:

u ⊙ v ≡ zx ′ — xz ′. { displaystyle u odot v Equiv zx ^ { prime} -xz ^ { prime}.}

Симплектическое произведение ⊙ { displaystyle odot}дает коммутация отношения элементов Π { displaystyle Pi}:

N (u) N (v) = (- 1) (u ⊙ v) N (v) N (u). { Displaystyle N влево (и вправо) N влево (v вправо) = влево (-1 вправо) ^ { влево (и odot v вправо)} N влево (v вправо) N left (u right).}

Симплектическое произведение и отображение N { displaystyle N}, таким образом, дают полезный способ сформулировать отношения Паули в терминах двоичной алгебры. Расширение приведенных выше определений и отображение N { displaystyle N}на несколько кубитов несложно. Пусть A = A 1 ⊗ ⋯ ⊗ A n { displaystyle mathbf {A} = A_ {1} otimes cdots otimes A_ {n}}обозначает произвольный элемент Π N { Displaystyle Pi ^ {n}}. Аналогичным образом мы можем определить группу Паули n { displaystyle n}-кубит без фазы [Π n] = {[A] | A ∈ Π N} { Displaystyle left [ Pi ^ {n} right] = left { left [ mathbf {A} right] | mathbf {A} in Pi ^ { n} right }}где

[A] = {β A | β ∈ C, | β | = 1}. { displaystyle left [ mathbf {A} right] = left { beta mathbf {A} | beta in mathbb {C}, left vert beta right vert = 1 right }.}

Групповая операция ∗ { displaystyle ast}для указанного выше класса эквивалентности выглядит следующим образом:

[A ] ∗ [B] ≡ [A 1] ∗ [B 1] ⊗ ⋯ ⊗ [A n] ∗ [B n] = [A 1 B 1] ⊗ ⋯ ⊗ [A n B n] = [AB]. { Displaystyle left [ mathbf {A} right] ast left [ mathbf {B} right] Equiv left [A_ {1} right] ast left [B_ {1} right ] otimes cdots otimes left [A_ {n} right] ast left [B_ {n} right] = left [A_ {1} B_ {1} right] otimes cdots otimes left [A_ {n} B_ {n} right] = left [ mathbf {AB} right].}

Класс эквивалентности [Π n] { displaystyle left [ Pi ^ {n} right]}образует коммутативную группу при операции ∗ { displaystyle ast}. Рассмотрим 2 n { displaystyle 2n}-мерное векторное пространство

(Z 2) 2 n = {(z, x): z, x ∈ (Z 2) n}. { displaystyle left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n} = left { left ( mathbf {z, x} right): mathbf {z}, mathbf { x} in left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {n} right }.}

Он образует коммутативную группу ((Z 2) 2 n, +) { displaystyle ( left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n}, +)}с операцией + { displaystyle +}определяется как сложение двоичных векторов. Мы используем обозначение u = (z | x), v = (z ′ | x ′) { displaystyle mathbf {u} = left ( mathbf {z} | mathbf {x} right), mathbf {v} = left ( mathbf {z} ^ { prime} | mathbf {x} ^ { prime} right)}для представления любых векторов u, v ∈ (Z 2) 2 n { displaystyle mathbf {u, v} in left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n}}соответственно. Каждый вектор z { displaystyle mathbf {z}}и x { displaystyle mathbf {x}}имеет элементы (z 1, …, Zn) { displaystyle left (z_ {1}, ldots, z_ {n} right)}и (x 1,…, xn) { displaystyle left ( x_ {1}, ldots, x_ {n} right)}соответственно с аналогичными представлениями для z ′ { displaystyle mathbf {z} ^ { prime}}и x ′ { displaystyle mathbf {x} ^ { prime}}. Симплектическое произведение ⊙ { displaystyle odot}из u { displaystyle mathbf {u}}и v ​​{ displaystyle mathbf { v}}равно

u ⊙ v ≡ ∑ i = 1 nzixi ′ — xizi ′, { displaystyle mathbf {u} odot mathbf {v Equiv} sum _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} x_ {i} ^ { prime} -x_ {i} z_ {i} ^ { prime},}

или

u ⊙ v ≡ ∑ i = 1 нуи ⊙ vi, { displaystyle mathbf {u} odot mathbf {v Equiv} sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} odot v_ {i},}

где ui = (zi | xi) { displaystyle u_ {i} = left (z_ {i} | x_ {i} right)}и vi = (zi ′ | xi ′) { Displaystyle v_ {i} = left (z_ {i} ^ { prime} | x_ {i} ^ { prime} right)}. Определим карту N: (Z 2) 2 n → Π n { displaystyle mathbf {N}: left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n} rightarrow Pi ^ {n}}следующим образом:

N (u) ≡ N (u 1) ⊗ ⋯ ⊗ N (un). { Displaystyle mathbf {N} left ( mathbf {u} right) Equiv N left (u_ {1} right) otimes cdots otimes N left (u_ {n} right). }

Пусть

Икс (Икс) ≡ Икс Икс 1 ⊗ ⋯ ⊗ Икс xn, Z (z) ≡ Z z 1 ⊗ ⋯ ⊗ Z zn, { displaystyle mathbf {X} left ( mathbf { x} right) Equiv X ^ {x_ {1}} otimes cdots otimes X ^ {x_ {n}}, , , , , , , , mathbf {Z} left ( mathbf {z} right) Equiv Z ^ {z_ {1}} otimes cdots otimes Z ^ {z_ {n}},}

так что N (u) { displaystyle mathbf {N} left ( mathbf {u} right)}и Z (z) X (x) { displaystyle mathbf {Z} left ( mathbf { z} right) mathbf {X} left ( mathbf {x} right)}принадлежат одному и тому же классу эквивалентности :

[N (u)] = [Z ( z) X (x)]. { Displaystyle left [ mathbf {N} left ( mathbf {u} right) right] = left [ mathbf {Z} left ( mathbf {z} right) mathbf {X} left ( mathbf {x} right) right].}

Карта [N]: (Z 2) 2 n → [Π n] { displaystyle left [ mathbf {N} right]: left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n} rightarrow left [ Pi ^ {n} right]}является изоморфизмом по той же причине, что и в предыдущем случае:

[N (u + v)] = [N (u)] [N (v)], { displaystyle left [ mathbf {N} left ( mathbf {u + v} right) right] = left [ mathbf {N} left ( mathbf {u} right) right] left [ mathbf {N} left ( mathbf {v} right) right],}

где u, v ∈ (Z 2) 2 n { displaystyle mathbf {u, v} in left ( mathbb {Z} _ {2} right) ^ {2n}}. симплектическое произведение фиксирует коммутационные отношения любых операторов N (u) { displaystyle mathbf {N} left ( mathbf {u} right)}и N (v) { displaystyle mathbf {N} left ( mathbf {v} right)}:

N (u) N (v) = (- 1) (u ⊙ v) N ( v) N (u). { Displaystyle mathbf {N left ( mathbf {u} right) N} left ( mathbf {v} right) = left (-1 right) ^ { left ( mathbf {u} odot mathbf {v} right)} mathbf {N} left ( mathbf {v} right) mathbf {N} left ( mathbf {u} right).}

Выше двоичное представление и симплектическая алгебра полезны для того, чтобы сделать связь между классической линейной коррекцией ошибок и квантовой коррекцией ошибок более явной.

Сравнивая коды квантовой коррекции ошибок на этом языке с симплектическими векторными пространствами, мы можем увидеть следующее. Симплектическое подпространство соответствует прямой сумме алгебр Паули (т. Е. Кодированных кубитов), а изотропное подпространство соответствует набору стабилизаторов.

Пример кода стабилизатора

Примером кода стабилизатора является пятикубит [[5, 1, 3]] { displaystyle left [[5,1, 3 right]]}код стабилизатора. Он кодирует k = 1 { displaystyle k = 1}логический кубит в n = 5 { displaystyle n = 5}физических кубитов и защищает от произвольного однокубитовая ошибка. Он имеет кодовое расстояние d = 3 { displaystyle d = 3}. Его стабилизатор состоит из n — k = 4 { displaystyle nk = 4}операторов Паули:

g 1 = XZZXI g 2 = IXZZX g 3 = XIXZZ g 4 = ZXIXZ { displaystyle { begin {array} {ccccccc} g_ {1} = X Z Z X I \ g_ {2} = I X Z Z X \ g_ {3} = X I X Z Z \ g_ {4} = Z X I X Z end {array}}}

Вышеуказанные операторы коммутируют. Следовательно, кодовое пространство является одновременным + 1-собственным подпространством указанных выше операторов. Предположим, что в закодированном квантовом регистре возникла однокубитовая ошибка. Ошибка одного кубита находится в наборе {X i, Y i, Z i} { displaystyle left {X_ {i}, Y_ {i}, Z_ {i} right }}где A i { displaystyle A_ {i}}обозначает ошибку Паули на кубите i { displaystyle i}. Несложно проверить, что любая произвольная однокубитовая ошибка имеет уникальный синдром. Приемник исправляет любую ошибку одного кубита, идентифицируя синдром и применяя корректирующую операцию.

Ссылки

• D. Готтесман, «Стабилизирующие коды и квантовая коррекция ошибок», Quant-ph / 9705052, доктор философии Калифорнийского технологического института. Тезис. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
• Шор, Питер У. (1995-10-01). «Схема уменьшения декогеренции в памяти квантового компьютера». Physical Review A. Американское физическое общество (APS). 52 (4): R2493 – R2496. doi : 10.1103 / Physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947.
• Calderbank, A.R.; Шор, Питер В. (1996-08-01). «Существуют хорошие квантовые коды исправления ошибок». Physical Review A. Американское физическое общество (APS). 54 (2): 1098–1105. arXiv : Quant-ph / 9512032. doi : 10.1103 / Physreva.54.1098. ISSN 1050-2947.
• Стейн, А. М. (1996-07-29). «Коды, исправляющие ошибки в квантовой теории». Письма с физическим обзором. Американское физическое общество (APS). 77 (5): 793–797. DOI : 10.1103 / Physrevlett.77.793. ISSN 0031-9007.
• А. Кальдербанк, Э. Рейнс, П. Шор и Н. Слоан, «Квантовая коррекция ошибок с помощью кодов через GF (4)», IEEE Trans. Инф. Теория, т. 44, pp. 1369–1387, 1998. Доступно на https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006

Основные определения и простейшие следствия.

Следующее определение дает в квантовом случае формальное выражение требования «различные состояния переходят в различные состояния» (это необходимое условие возможности восстановления исходных состояний физически реализуемым преобразованием).

Определение 14.6. Квантовый код (подпространство ) исправляет ошибки из , если

( 14.8)

Определение 14.7. Физически реализуемое преобразование

называется исправляющим (для кода и пространства ошибок ), если

Если при этом сохраняет след, то .

Теорема 14.2. Если код исправляет ошибки из , то исправляющее преобразование существует.

Доказательство будет дано ниже. Обратное утверждение доказано в [4].

Пример 14.4. Тривиальный код типа : пусть , а , т.е. для кодирования используются первые q-битов, а ошибки действуют на остальные q-биты. Условие (14.8), очевидно, выполнено. В качестве исправляющего преобразования можно взять , где . Преобразование реализуется очень просто: выбрасываем последние q-битов и заменяем их на новые q-биты в состоянии . Практической пользы от такого кода, конечно, мало. Интересно, однако, что любой квантовый код, исправляющий ошибки, в определенном смысле похож на тривиальный (см. лемму 14.3 ниже).

Пример 14.5. Рассмотрим квантовый аналог кода с повторением. Пусть пространство . Рассмотрим два состояния и . Ошибку выберем так: , . Очевидно, что . При этом , что противоречит определению кода, исправляющего ошибки. Мы видим, что код с произвольно большим повторением не защищает даже от одной ошибки.

Ошибки вида называются классическими, а ошибки вида называются фазовыми.

В определении 14.6 речь шла только о парах ортогональных состояний. Давайте посмотрим, что получается на произвольных парах. Зафиксируем и обозначим . Оказывается, что

( 14.9)

где — некоторое комплексное число, не зависящее от . Действительно, пусть — ортонормированный базис пространства . По определению 14.6 при , а не зависит от , так как

(Все три слагаемых в правой части равенства равны нулю, так как входящие в них пары векторов ортогональны.)

Заметим, что если , то .

Определение 14.8. Код обнаруживает ошибки из , если

Кодовым расстоянием называется наименьшее число , при котором код не обнаруживает ошибки из .

Таким образом, код исправляет ошибок, если .

Теперь мы перейдем к доказательству теоремы 14.2.

Лемма 14.3. Пусть квантовый код исправляет ошибки из . Тогда существует унитарное пространство , изометрическое вложение и линейное отображение , такие что

( 14.10)

Доказательство. Пусть . Рассмотрим фактор-пространство и естественное отображение . Линейное отображение , удовлетворяющее условию (14.10), строится каноническим образом; нужно лишь проверить его изометричность.

Скалярное произведение на пространстве можно задать при помощи функции из свойства кода (14.9): если и , то . Очевидно, что эта величина не зависит от выбора и . Ясно также, что , если . Формула (14.9) как раз и означает, что отображение является изометрическим.

Доказательство (теоремы 14.2). Представим пространство как сумму взаимно ортогональных подпространств: , где — отображение из предыдущей леммы. Пусть — каноническое вложение, а — произвольное физически реализуемое преобразование. Тогда мы можем определить

(Функция линейно продолжается на все пространство ).

Лемму 14.3 и доказательство теоремы 14.2 можно неформально изложить таким образом. Код, исправляющий ошибки, характеризуется тем, что ошибка не смешивается с закодированной информацией, т.е. остается в виде отдельного тензорного сомножителя. Исправляющее преобразование извлекает эту «встроенную ошибку» и выбрасывает ее в мусорную корзину.

Задача 14.3. Пусть код обнаруживает ошибки из . Докажите, что состояние можно восстановить, не используя q-битов из множества .