Классификация ошибок измерения физических величин

Классификация ошибок измерения

Любая
физическая величина может быть измерена
путем сравнения её с однородной величиной,
принятой за единицу (эталоном).

Измерения
бывают прямые и косвенные. В результате
прямых измерений определяемая физическая
величина получается сразу, непосредственно.
Примерами прямых измерений служат
определения длины (линейкой,
штангенциркулем), силы электрического
тока (амперметром). При косвенных
измерениях искомая величина вычисляется
по результатам прямых измерений других
величин, связанных с искомой некоторой
формулой.

Любое
измерение не может быть абсолютно
точным. Между истинным Х_ИСТ
и измеренным значением физической
величины Х
существует некоторая разность

ΔХ
= ½Х
– Х_ИСТ½,
(1.1)

которая
называется абсолютной ошибкой результата
измерения.

Чтобы
охарактеризовать качество измерения
и иметь возможность сравнить результаты
измерений различных физических величин,
вводится понятие относительной
погрешности, под которым подразумевают
отношение абсолютной ошибки измерения
к истинному значению измеряемой величины.

. (1.2)

Чем
меньше относительная погрешность, тем
выше точность измерения. Погрешности,
или ошибки измерения, можно разделить
на три класса: грубые ошибки, или промахи;
систематические ошибки; случайные
ошибки.

Грубые
ошибки появляются в результате
небрежности, невнимательности
экспериментатора (неправильные отсчеты
по прибору, неправильная запись результата
и т.п.). В большинстве случаев промахи
хорошо заметны, так как резко отличаются
от результатов других измерений.

Систематические
ошибки могут быть вызваны методикой
постановки эксперимента, ограниченной
точностью измерительных приборов,
дефектами самого объекта исследования
и т.д. Величина и знак систематической
погрешности могут оставаться неизменными
при многократном повторении одних и
тех же измерений. В некоторых случаях
влияние систематических погрешностей
на результат измерения можно учесть,
если ввести соответствующие поправки.

Случайные
ошибки обусловлены действием самых
разнообразных и неконтролируемых
причин. Поэтому результаты повторных
измерений одной и той же физической
величины могут не совпадать даже при
том, что они проводятся в неизменных
условиях одним и тем же методом (такие
измерения называют равноточными).

Случайные
ошибки могут иметь любую величину,
положительный или отрицательный знак.
Ошибки, противоположные по знаку, но
равные по абсолютной величине, встречаются
в среднем одинаково часто. Закономерности,
которым подчиняются случайные ошибки,
и способы их оценки изучают в разделе
математики «Теория ошибок», основанном
на законах теории вероятности и
математической статистики.

Методика расчета случайных ошибок прямых измерений

Пусть
измеряется n
раз некоторая физическая величина Х.
Из-за случайных погрешностей, возникающих
в процессе измерения, мы получаем набор
значений Х₁,
Х₂,
Х₃,
…, Х_n.
Наиболее близким к истинному значению
Х_ИСТ
будет среднее арифметическое

. (1.3)

Чем
больше измерений, тем ближе < X
> и Х_ИСТ,
а при

.

В
реальном эксперименте число измерений
всегда ограничено, поэтому истинное
значение измеряемой величины остается
неизвестным. Результаты отдельных
измерений Х_i
и среднее арифметическое < X
> всегда содержат ошибку, поэтому
вместе с результатом измерений нужно
указать возможную величину ошибки, т.е.
представить результат в виде

_.

Эта запись
равнозначна неравенству

.
(1.4)

Существует
несколько способов оценки случайной
ошибки DХ.
Мы рассмотрим один из них, наиболее
часто используемый при обработке
результатов эксперимента. По результатам
измерений рассчитывают так называемую
среднюю квадратическую ошибку среднего
арифметического:

.
(1.5)

Так
как результаты отдельных измерений Х_i
и среднее арифметическое – случайные
величины, то и S_{<
Х >}
тоже
случайная величина. Поэтому мы не можем
утверждать, например, что возможная
ошибка DХ
не превышает величины S_{<
Х >}.
Следовательно, нужно не только рассчитать
возможную величину ошибки, но и указать
вероятность того, что среднее арифметическое
отличается от Х_ИСТ
не более чем на величину DХ,
т.е. вероятность, с которой выполняется
неравенство (1.4).

Область
значений
называется доверительным интервалом,
а соответствующая вероятность –
доверительнойα.
Доверительная вероятность является
весьма важной характеристикой измерений,
так как позволяет судить о надежности
полученного результата.

Для
нахождения доверительной вероятности
необходимо знать закон распределения
случайной величины (Х_i;
< Х >; S_{<
Х >}).
Наиболее часто встречается на практике
распределение Гаусса (нормальное
распределение):

_.

Здесь
f(х) –
функция распределения случайной величины
Х.
Произведение f(х)
· dх равно
вероятности того, что случайная величина
примет значение, заключенное между Х
и Х
+ DХ.

Графически закон
Гаусса представлен на рис. 1.5.

Рис.
1.5

Кривая
Гаусса характеризуется двумя параметрами:
Х_ИСТ
и σ.

Х_ИСТ
определяет положение вершины, а σ
– ширину кривой (2
σ – расстояние
между точками перегиба). Параметр σ
называют стандартным отклонением или
средним квадратическим. Он определяет
разброс результатов измерений около
Х_ИСТ,
т.е. характеризует степень влияния
случайных погрешностей на результаты
измерений. На
рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для
разных значений стандартного отклонения
(σ
₁ и σ
₂). В
законе Гаусса σ
² носит
название дисперсии случайной величины
(дисперсия – разброс).

Среднее
арифметическое, как случайная величина,
тоже описывается законом Гаусса с
параметрами
,

.

Среднее
значение является лучшей оценкой для
Х_ИСТ,
чем результат
отдельного измерения, так как кривая f
(< х >) в n
раз уже.

При
известном параметре σ
_{< Х >}
доверительная вероятность:

.

Если
задать доверительный интервал
,
то
= 0,682; если
,
то,
то.

Указанные
значения доверительной вероятности
относятся к бесконечно большому числу
измерений. В практике физического
эксперимента N
часто не превышает 10, а параметр
неизвестен.
Если запринять,
то доверительная вероятность, рассчитанная
на основе закон Гаусса, оказывается
завышенной.

Существует
другой,
более строгий метод определения
доверительной вероятности, основанный
на распределении Стьюдента,
которое учитывает случайный характер
величины
.
Распределение Стьюдента не содержит
неизвестных параметровХ_ИСТ,

и
существенно отли­чается от гауссового
при малом числе измерений (N
< 30).
В физическом лабораторном практикуме
обычно ставится такая задача: по заданной
доверительной вероятности нужно оценить
величину доверительного интервала.
На основе распределения Стьюдента
доверительный интервал

,

где

– коэффициент
Стьюдента.

Существуют
таблицы, в которых даны значения
коэффициента Стьюдента

для разных
значений доверительной вероятности и
различного числа измерений (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В зависимости от обстоятельств, при которых проводились измерения, а также в зависимости от целей измерения, выбирается та или иная классификация погрешностей. Иногда используют одновременно несколько взаимно пересекающихся классификаций, желая по нескольким признакам точно охарактеризовать влияющие на результат измерения физические величины. В таком случае рассматривают, например, инструментальную составляющую неисключённой систематической погрешности. При выборе классификаций важно учитывать наиболее весомые или динамично меняющиеся или поддающиеся регулировке влияющие величины. Ниже приведены общепринятые классификации согласно типовым признакам и влияющим величинам.

По виду представления, различают абсолютную, относительную и приведённую погрешности.

Абсолютная погрешность это разница между результатом измерения X и истинным значением Q измеряемой величины. Абсолютная погрешность находится как D = X — Q и выражается в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность это отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины: d = D / Q = (X – Q) / Q .

Приведённая погрешность это относительная погрешность, в которой абсолютная погрешность средства измерения отнесена к условно принятому нормирующему значению Q_N , постоянному во всём диапазоне измерений или его части. Относительная и приведённая погрешности – безразмерные величины.

В зависимости от источника возникновения, различают субъективную, инструментальную и методическую погрешности.

Субъективная погрешность обусловлена погрешностью отсчёта оператором показаний средства измерения.

Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемого средства измерения. Иногда эту погрешность называют аппаратурной. Метрологические характеристики средств измерений нормируются согласно ГОСТ 8.009 – 84, при этом различают четыре составляющие инструментальной погрешности: основная, дополнительная, динамическая, интегральная. Согласно этой классификации, инструментальная погрешность зависит от условий и режима работы, а также от параметров сигнала и объекта измерения.

Методическая погрешность обусловлена следующими основными причинами:

– отличие принятой модели объекта измерения от модели, адекватно описывающей его метрологические свойства;

– влияние средства измерения на объект измерения;

– неточность применяемых при вычислениях физических констант и математических соотношений.

В зависимости от измеряемой величины, различают погрешность аддитивную и мультипликативную. Аддитивная погрешность не зависит от измеряемой величины. Мультипликативная погрешность меняется пропорционально измеряемой величине.

В зависимости от режима работы средства измерений, различают статическую и динамическую погрешности.

Динамическая погрешность обусловлена реакцией средства измерения на изменение параметров измеряемого сигнала (динамический режим).

Статическая погрешность средства измерения определяется при параметрах измеряемого сигнала, принимаемых за неизменные на протяжении времени измерения (статический режим).

По характеру проявления во времени, различают случайную и систематическую погрешности.

Систематической погрешностью измерения называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях остаётся постоянной или закономерно меняется.

Случайной погрешностью измерения называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях изменяется случайным образом.

Погрешности измерений и их
классификация .

При
измерении физических величии с помощью даже самых точных и совершенных средств
и методов их результат всегда отличается от истин­ного
значения измеряемой физической величины, т.е. определяется с неко­торой
погрешностью. Источниками погрешностей измерения являются сле­дующие
причины: несовершенство используемых методов и средств измере­ний,
нестабильность измеряемых физических величин, непостоянство климатических
условий, внешние и внутренние помехи, а также различные субъек­тивные факторы
экспериментатора.

Определение
«погрешность» является одним из центральных в метрологии, в котором
используются понятия «погрешность результата измере­ния» и «погрешность
средства измерения».

Погрешностью результата измерения (погрешностью измерения) называется отклонение
результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Так
как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то при количественной
оценке погрешности пользуются дейст­вительным значением физической
величины.

Это
значение находится экспериментальным путем и настолько близко к истинному
значению, что для поставленной измерительной задачи может быть использовано
вместо него.

Погрешность средства измерения (СИ) — разность между показаниями СИ
и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины. Она
характеризует точность результатов измерений, проводимых дан­ным средством

Существует пять основных
признаков, по
которым классифицируются погрешности измерения.

По
способу количественного выражения погрешности измерения делятся на абсолютные,
относительные и приведенные.

Абсолютной погрешностью △, выражаемой в единицах
измеряемой величины, называется отклонение результата измерения х от истинного зна­чения х_н:                                (1.1)

и знак полученной
погрешности, но не определяет качество самого проведенного измерения.

Понятие
погрешности характеризует как бы несовершенство измере­ния.
Характеристикой качества измерения является используемое в метроло­гии понятие точности измерений, отражающее меру близости результатов измерений к истинному
значению измеряемой физической величины. Точ­ность и погрешность связаны
обратной зависимостью. Иначе говоря, высо­кой точности измерений соответствует
малая погрешность. Так, например, измерение силы тока в 10 А и 100 А может быть
выполнено с идентичной аб­солютной погрешностью ∆ = ±1 А. Однако качество
(точность) первого из­мерения ниже второго. Поэтому, чтобы иметь возможность
сравнивать каче­ство измерений, введено понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью δ называется отношение
абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

                                                                   (1.2)

Мерой
точности измерений служит величина,
обратная модулю отно­сительной погрешности, т.е. 1/|δ|. Погрешность δ часто выражают в
про­центах:

δ
= 100△/х_н (%). Поскольку обычно △⋍х_н, то относительная по­грешность
может быть определена как δ ⋍ △/х или δ = 100△/х (%).

Если
измерение выполнено однократно и за
абсолютную погрешность результата измерения △ принята разность между
показанием прибора и ис­тинным значением измеряемой величины х_Н то из соотношения (1.2)
следу­ет, что значение относительной погрешности δ уменьшается с ростом вели­чины
х_н  (здесь предполагается
независимость △ от х_н). Поэтому для изме­рений
целесообразно выбирать такой прибор, показания которого были бы в последней
части его шкалы (диапазона измерений), а для сравнения различ­ных приборов
использовать понятие приведенной погрешности.

Приведенной погрешностью δ_пр, выражающей
потенциальную точ­ность измерений, называется отношение абсолютной погрешности △ к неко­торому нормирующему
значению X_N (например, к конечному
значению шкалы прибора или сумме конечных значений шкал при двусторонней шка­ле).     

По
характеру (закономерности) изменения погрешности измерений подразделяются на
систематические, случайные и грубые (промахи).

Систематические погрешности △_с — составляющие погрешности из­мерений,
остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся , при многократных (повторных)
измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях. Такие погрешности
могут быть выявлены путем детального анализа возможных их источников и
уменьшены (применением более точных приборов, калибровкой приборов с помощью
рабочих мер и пр.). Однако полностью их устранить нельзя.

По
характеру изменения во времени систематические погрешности подразделяются на постоянные (сохраняющие величину и
знак), прогресси­рующие (возрастающие или убывающие во времени), периодические, а также изменяющиеся во
времени по сложному непериодическому закону. Основ­ные из этих погрешностей —
прогрессирующие.

Прогрессирующая (дрейфовая) погрешность — это непредсказуемая по­грешность,
медленно меняющаяся во времени. Прогрессирующие погрешно­сти характеризуются
следующими особенностями:

•        
возможна
их коррекция поправками только в данный момент времени, а далее эти погрешности
вновь непредсказуемо изменяются;

•          
изменения
прогрессирующих погрешностей во времени представляют со­бой нестационарный
случайный процесс (характеристики которого изменяются во времени), и поэтому в
рамках достаточно полно разработанной теории стационарных случайных процессов
они могут быть описаны лишь с некоторыми ограничениями.

Случайные погрешности 
— составляющие погрешности измерений, изменяющиеся случайным образом при
повторных (многократных) измере­ниях одной и той же величины в одних и тех же
условиях. В появлении таких погрешностей нет каких-либо закономерностей, они
проявляются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого
разброса получаемых результатов. Практически случайные погрешности неизбежны,
неустранимы и всегда имеют место в результатах измерений. Описание случайных
погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и
математической статистики. В отличие от систематических случайные погрешности
нельзя исклю­чить из результатов измерений путем введения поправки, однако их
можно существенно уменьшить путем многократного измерения этой величины и
последующей статистической обработкой полученных результатов.

Грубые погрешности (промахи) —
погрешности, существенно превы­шающие ожидаемые при данных условиях измерения.
Такие погрешности возникают из-за ошибок оператора или неучтенных внешних
воздействий. Их выявляют при обработке результатов измерений и исключают из рас­смотрения,
пользуясь определенными правилами.

По причинам возникновения погрешности измерения подразделяются
на методические, инструментальные, внешние и субъективные.

Методические
погрешности возникают обычно из-за
несовершенства метода измерений, использования неверных теоретических
предпосылок (допущений) при измерениях, а также из-за влияния выбранного
средства изме­рения на измеряемые физические величины. При подключении
электроизме­рительного прибора от источника сигнала потребляется некоторая
мощность. Это приводит к искажению режима работы источника сигнала и вызывает
погрешность метода измерения (методическую погрешность).

Так,
например, если вольтметр обладает недостаточно высоким входным сопротивлением,
то его подключение к исследуемой схеме способно из­менить в ней распределение
токов и напряжений. При этом результат изме­рения может существенно отличаться
от действительного. Для расчета мето­дической погрешности при измерении токов и
напряжений необходимо знать внутренние сопротивления амперметров R_A
и вольтметров R_v. Методическую
погрешность можно уменьшить путем применения бо­лее точного метода измерения.

Инструментальные
(аппаратурные, приборные) погрешности
возни­кают из-за несовершенства средств измерения» т.е. из-за погрешностей
средств измерений. Источниками инструментальных погрешностей могут быть,
например, неточная градуировка прибора и смещение нуля, вариация показаний
прибора в процессе эксплуатации и т.д. Уменьшают инструмен­тальные погрешности
применением более точного прибора.

Внешняя
погрешность — важная составляющая погрешности
измере­ния, связанная с отклонением одной или
нескольких влияющих величин от нормальных значений или выходом их за пределы нормальной области (на­пример,
влияние влажности, температуры, внешних электрических и
магнит­ных полей, нестабильности источников питания, механических воздействий и
т.д.). В большинстве случаев внешние погрешности являются систематиче­скими и
определяются дополнительными погрешностями применяемых средств измерений. .

Субъективные
погрешности вызываются ошибками оператора при от­счете
показаний средств измерения (погрешности от небрежности и невни­мания
оператора, от параллакса, т.е. от неправильного направления взгляда при отсчете
показаний стрелочного прибора и пр.). Подобные погрешности устраняются
применением современных цифровых приборов или автомати­ческих методов
измерения.

По характеру поведения измеряемой физической величины в процессе
измерений различают статические и динамические погрешности.

Статические
погрешности возникают при измерении
установившего­ся значения измеряемой величины, т.е. когда эта величина
перестает изме­няться во времени.

Динамические
погрешности имеют место при динамических
измерени­ях, когда измеряемая величина
изменяется во времени и требуется установить закон ее изменения. Причина
появления динамических погрешностей состо­ит в несоответствии скоростных
(временных) характеристик прибора и ско­рости изменения измеряемой величины.

Средства измерений
могут применяться в нормальных и рабочих усло­виях.

Эти
 условия для
конкретных видов СИ (средств  измерения) установлены в
стандартах или технических условиях.

Нормальным
 условиям применения средств измерений должен
удовлетворять ряд следующих (основных) требований:

температура
окружающего воздуха (20±5) °С;  

относительная
влажность (65±15) %;  

атмосферное
давле­ние (100±4) кПа;  

напряжение
питающей сети (220±4) В и (115±2,5) В;  

частота
сети (50±1) Гц и (400±12) Гц.

Как
следует из перечисленных требований, нормальные условия применения СИ
характеризуются диапазоном значений влияющих на них величин типа климатических
факторов и параметров элек­тропитания.

Рабочие
условия применения СИ определяются диапазоном
значений влияющих величин не только климатического характера и параметров
электропитания, но и типа механических воздействий. В частности, диапазон климатических
воздействий делится на ряд групп, охватывающих широкий диапазон изменения
окружающей температуры.