Как рассчитать относительную ошибку эксперимента

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

1. Шкала измерительного прибора
2. Цена деления
3. Виды измерений
4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
5. Абсолютная погрешность серии измерений
6. Представление результатов эксперимента
7. Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

• абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

• абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

• относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

• относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

• относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

• относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

• относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).

Пусть некоторая
величина x
измерена n
раз. В результате получен ряд значений
этой величины: x₁,
x₂,
x₃,
…, x_n

Величиной, наиболее
близкой к действительному значению,
является среднее арифметическое этих
результатов:

Отсюда следует,
что каждое физическое измерение должно
быть повторено несколько раз.

Разность между
средним значением
измеряемой
величины и значением отдельного измерения
называется абсолютной
погрешностью отдельного измерения:

(13)

Абсолютная
погрешность может быть как положительной,
так и отрицательной и измеряется в тех
же единицах, что и измеряемая величина.

Средняя абсолютная
ошибка результата — это среднее
арифметическое значений абсолютных
погрешностей отдельных измерений,
взятых по абсолютной величине (модулю):

(14)

Отношения

называются относительными погрешностями
(ошибками) отдельных измерений.

Отношение средней
абсолютной погрешности результата

к среднему арифметическому значению

измеряемой величины называют относительной
ошибкой результата и выражают в процентах:

Относительная
ошибка характеризует точность измерения.

Законы распределения случайных величин.

Результат измерения
физической величины зависит от многих
факторов, влияние которых заранее учесть
невозможно. Поэтому значения, полученные
в результате прямых измерений какого
— либо параметра, являются случайными,
обычно не совпадающие между собой.
Следовательно, случайные
величины —
это такие величины, которые в зависимости
от обстоятельств могут принимать те
или иные значения. Если случайная
величина принимает только определенные
числовые значения, то она называется
дискретной.

Например,
количество заболеваний в данном регионе
за год, оценка, полученная студентом на
экзамене, энергия электрона в атоме и
т.д.

Непрерывная
случайная величина принимает любые
значения в данном интервале.

Например: температура
тела человека, мгновенные скорости
теплового движения молекул, содержание
кислорода в воздухе и т.д.

Под событием
понимается всякий результат или исход
испытания. В теории вероятностей
рассматриваются события, которые при
выполнение некоторых условий могут
произойти, а могут не произойти. Такие
события называются
случайными.
Например, событие, состоящее в появлении
цифры 1 при выполнении условия — бросания
игральной кости, может произойти, а
может не произойти.

Если событие
неизбежно происходит в результате
каждого испытания, то оно называется
достоверным.
Событие называется невозможным,
если оно вообще не происходит ни при
каких условиях.

Два события,
одновременное появление которых
невозможно, называются несовместными.

Пусть случайное
событие А в серии из n
независимых испытаний произошло m
раз, тогда отношение:

называется
относительной частотой события А. Для
каждой относительной частоты выполняется
неравенство:

При небольшом
числе опытов относительная частота
событий в значительной мере имеет
случайный характер и может заметно
изменяться от одной группы опытов к
другой. Однако при увеличении числа
опытов частота событий все более теряет
свой случайный характер и приближается
к некоторому постоянному положительному
числу, которое является количественной
мерой возможности реализации случайного
события А. Предел, к которому стремится
относительная частота событий при
неограниченном увеличении числа
испытаний, называется статистической
вероятностью события:

Например, при
многократном бросании монеты частота
выпадения герба будет лишь незначительно
отличаться от ½. Для достоверного события
вероятность Р(А) равна единице. Если
Р=0, то событие невозможно.

Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины называется
сумма произведений всех ее возможных
значений х_i
на вероятность этих значений р_i:

Статистическим
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значений
:

,

где m_i
— число дискретных случайных величин,
имеющих значение х_i.

Для непрерывной
случайной величины математическим
ожиданием служит интеграл:

,

где р(х) — плотность
вероятности.

Отдельные значения
случайной величины группируются около
математического ожидания. Отклонение
случайной величины от ее математического
ожидания (среднего значения) характеризуется
дисперсией,
которая для дискретной случайной
величины определяется формулой:

(15)

(16)

Дисперсия имеет
размерность случайной величины. Для
того, чтобы оценивать рассеяние
(отклонение) случайной величины в
единицах той же размерности, введено
понятие среднего
квадратичного отклонения
σ(Х), которое
равно корню квадратному из дисперсии:

(17)

Вместо среднего
квадратичного отклонения иногда
используется термин «стандартное
отклонение».

Всякое отношение,
устанавливающее связь между всеми
возможными значениями случайной величины
и соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения случайной величины.
Формы задания закона распределения
могут быть разными:

а) ряд распределения
(для дискретных величин);

б) функция
распределения;

в) кривая распределения
(для непрерывных величин).

Существует
относительно много законов распределения
случайных величин.

Нормальный
закон распределения случайных
величин (закон
Гаусса).
Случайная величина

распределена по
нормальному закону, если ее плотность
вероятности f(x)
определяется формулой:

(18),

где <x>
— математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины <x>
= M
(X);

—
среднее квадратичное отклонение;

—
основание натурального логарифма
(неперово число);

f
(x)
– плотность вероятности (функция
распределения вероятностей).

Многие случайные
величины (в том числе все случайные
погрешности) подчиняются нормальному
закону распределения (закону Гаусса).
Для этого распределения наиболее
вероятным значением
измеряемой
величины
является
её среднее
арифметическое
значение.

График нормального
закона распределения изображен на
рисунке (колоколообразная кривая).

Кривая симметрична
относительно прямой х=<x>=α,
следовательно, отклонения случайной
величины вправо и влево от <x>=α
равновероятны. При х=<x>±
кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс. Если х=<x>,
то функция распределения вероятностей
f(x)
максимальна и принимает вид:

(19)

Таким образом,
максимальное значение функции f_max(x)
зависит от величины среднего квадратичного
отклонения. На рисунке изображены 3
кривые распределения. Для кривых 1 и 2
<x>
= α = 0 соответствующие значения среднего
квадратичного отклонения различны, при
этом ₂>₁.
(При увеличении 
кривая распределения становится более
пологой, а при уменьшении 
– вытягивается вверх). Для кривой 3 <x>
= α ≠ 0 и ₃
= ₂.

Закон
распределения
молекул в газах по скоростям называется
распределением
Максвелла.
Функция плотности вероятности попадания
скоростей молекул в определенный
интервал

теоретически была определена в 1860 году
английским физиком Максвеллом

. На рисунке
распределение Максвелла представлено
графически. Распределение движется
вправо или влево в зависимости от
температуры газа (на рисунке Т₁
< Т₂).
Закон распределения Максвелла определяется
формулой:

(20),

где m_о
– масса молекулы, k
– постоянная Больцмана, Т – абсолютная
температура газа,
—
скорость молекулы.

Распределение
концентрации молекул газа в атмосфере
Земли (т.е.
в силовом поле) в зависимости от высоты
было дано австрийским физиком Больцманом
и называется
распределением
Больцмана:

(21)

Где n(h)
– концентрация молекул газа на высоте
h,
n₀
– концентрация у поверхности Земли, g
– ускорение свободного падения, m
– масса молекулы.

Распределение
Больцмана.

Совокупность всех
значений случайной величины называется
простым
статистическим рядом.
Так как простой статистический ряд
оказывается большим, то его преобразуют
в вариационный
статистический
ряд или интервальный
статистический ряд. По интервальному

статистическому ряду для оценки вида
функции распределения вероятностей по
экспериментальным данным строят
гистограмму
– столбчатую
диаграмму. (Гистограмма – от греческих
слов “histos”–
столб и “gramma”–
запись).

n

1. h

Гистограмма
распределения Больцмана.

Для построения
гистограммы интервал, содержащий
полученные значения случайной величины
делят на несколько интервалов x_i
одинаковой ширины. Для каждого интервала
подсчитывают число m_i
значений случайной величины, попавших
в этот интервал. После этого вычисляют
плотность частоты случайной величины

для каждого интервала x_i
и среднее значение случайной величины
<x_i
> в каждом интервале.

Затем по оси абсцисс
откладывают интервалы x_i,
являющиеся основаниями прямоугольников,
высота которых равна
(или
высотой

– плотностью относительной частоты
).

Расчетами показано,
что вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервале значений от <x>–
до <x>+
в среднем равна 68%. В границах вдвое
более широких (<x>–2;
<x>+2)
размещается в среднем 95% всех значений
измерений, а в интервале (<x>–3;<x>+3)
– уже 99,7%. Таким образом, вероятность
того, что отклонение значений нормально
распределенной случайной величины
превысит 3
(
– среднее квадратичное отклонение)
чрезвычайно мала (~0,003). Такое событие
можно считать практически невозможным.
Поэтому границы <x>–3
и <x>+3
принимаются за границы практически
возможных значений нормально распределенной
случайной величины («правило трех
сигм»).

Если число измерений
(объем выборки) невелико (n<30),
дисперсия вычисляется по формуле:

(22)

Уточненное среднее
квадратичное отклонение отдельного
измерения вычисляется по формуле:

(23)

Напомним, что для
эмпирического распределения по выборке
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значение
<x>
измеряемой величины.

Чтобы дать
представление о точности и надежности
оценки измеряемой величины, используют
понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности.

Доверительным
интервалом
называется интервал (<x>–x,
<x>+x),
в который по определению попадает с
заданной вероятностью действительное
(истинное) значение измеряемой величины.
Доверительный интервал характеризует
точность полученного результата: чем
уже доверительный интервал, тем меньше
погрешность.

Доверительной
вероятностью
(надежностью)

результата серии измерений называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал (<x>±x).
Чем больше величина доверительного
интервала, т.е. чем больше x,
тем с большей надежностью величина <x>
попадает в этот интервал. Надежность 
выбирается самим исследователем
самостоятельно, например, =0,95;
0,98. В медицинских и биологических
исследованиях, как правило, доверительную
вероятность (надежность) принимают
равной 0,95.

Если величина х
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса, а <x>
и <>
оцениваются по выборке (числу измерений)
и если объем выборки невелик (n<30),
то интервал (<x>
– t_,n<>,
<x>
+ t_,n<>)
будет доверительным интервалом для
известного параметра х с доверительной
вероятностью .

Коэффициент t_,n
называется коэффициентом
Стьюдента
(этот коэффициент был предложен в 1908 г.
английским математиком и химиком В.С.
Госсетом, публиковавшим свои работы
под псевдонимом «Стьюдент» – студент).

Значении коэффициента
Стьюдента t_,n
зависит от доверительной вероятности

и числа измерений n
(объема выборки). Некоторые значения
коэффициента Стьюдента приведены в
таблице 1.

Таблица 1

В таблице 1 в верхней
строке заданы значения доверительной
вероятности 
от 0,6 до 0,99, в левом столбце – значение
n.
Коэффициент Стьюдента следует искать
на пересечении соответствующих строки
и столбца.

Окончательный
результат измерений записывается в
виде:

(25)

Где

– полуширина доверительного интервала.

Результат серии
измерений оценивается относительной
погрешностью:

(26)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

1. Введение

Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой результатов косвенныхизмерений). По целому ряду объективных причин знания выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по статистической обработке результатов измерений.

            К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок, учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.

2. Обозначения, принятые в данной работе

-измеряемая величина,  -среднее значение измеряемой величины,  — абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины,   — относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

3. Расчет погрешностей непосредственных измерений

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины   в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:

                                                                 (1)

Как вычислить погрешность  ? По следующей формуле:

                                                      (2)

В этой формуле используется коэффициент Стьюдента  . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях   приведены в таблице.

3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Проводили измерения длины   металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение   измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность  .

Решение.

С использованием формулы (1) находим:

мм

Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность   среднего значения   при доверительной вероятности   и числе степеней свободы   (используем значение  =2,262, взятое из таблицы):

Запишем результат:

=10,8±0,7_0.95 мм

4. Расчет погрешностей косвенных измерений

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины  , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина   по формуле  . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

Расчет среднего значения величины   производится по зависимости   с использованием средних значений аргументов  .

Погрешность величины   рассчитывается по следующей формуле:

,                                                    (3)

где  — количество аргументов  ,  — частные производные функции  по аргументам  ,   — абсолютная погрешность среднего значения аргумента  .

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле  .

4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Было проведено 5  непосредственных измерений величин   и  . Для величины   получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины   получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины  , определяемой по формуле   и найти погрешность полученного значения.

Решение.

По формуле (1) найдем средние значения величин   и  :

Вычисляем  :

            Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы   значение  . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величин   и  :

С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины  :

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины  :

Запишем результат: