Как посчитать ошибку эксперимента

Какие бывают погрешности

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

(Подробнее о статистической погрешности)

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

(Подробнее о систематической погрешности)

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

(Подробнее о погрешности теории и моделирования)

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10^–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B⁰-мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B⁰-распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10^12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.

Обработка результатов эксперимента в
биохимии, заключается в применении
методов математической статистики для
оценки значений различных физических
величин характеризующих изучаемые
объекты, и (или) зависимости этих величин
от одного либо нескольких изменяемых
внешних условий (например, температура,
давление, тип катализатора). Обработка
результатов эксперимента включает, как
правило, также и определение точности
данных, полученных при его проведении.

Результаты измерений обычно содержат
случайные ошибки, поэтому статистические
оценки выполняют только при наличии
серии измерений – так называемой
случайной выборки. Для оценки измеряемого
значения какой-либо величины или
исследуемой зависимости ее от внешних
условий по данным выборки рассчитывают
выборочные параметры, характеризующие
статистическое распределение ошибок
в проведенном эксперименте. Такое
распределение, как правило, подчиняется
нормальному закону, конкретный вид
которого определяют два параметра –
выборочное среднее и выборочная
дисперсия.

Точность получаемых оценок устанавливают
с помощью статистических критериев
Стьюдента (t-критерий), Фишера (F-критерий)
и т. д. При этом количественными мерами
служат вероятность β и уровень значимости
статистического критерия р=1-β. При
заданных требованиях на точность
результатов измерений доверительная
вероятность (уровень значимости)
определяет надежность полученной
оценки.

Методы статистической обработки
результатов измерений позволяют оценить
систематические и случайные погрешности
измерений.

1. Погрешности вычислительного эксперимента

Погрешность является неотъемлемой
частью любого измерения.

Погрешность– количественная
характеристика неопределенности, или
неоднозначности, результата измерения.
Ее оценивают, исходя из всей информации,
накопленной при подготовке и выполнении
измерений. Эту информацию обрабатывают
для совместного одновременного
определения окончательного результата
измерения и его погрешности. Окончательный
результат нельзя расценивать как
«истинное значение» измеряемой физической
величины, так как в этом нет смысла из-за
наличия погрешности. Погрешность можно
разделить на несколько классов.

1. Промахи
или грубые погрешности.

Такие погрешности возникают вследствие
неисправности измерительных приборов
или ошибок в эксперименте, сделанных
по невнимательности. Естественно
стремление избегать промахи, но если
стало понятно, что они все-таки допущены,
соответствующие им результаты измерений
просто отбрасывают.

2. Систематические
погрешности.

Приборная погрешность. Систематическая
погрешность, присутствующая в результатах
измерений, выполненных с помощью любого
измерительного прибора, как правило,
неизвестна и не может быть учтена. Ее
можно оценить только путем сравнения
показаний прибора с показаниями другого,
более точного. Иногда результаты
специально проведенного сравнения
приводят в паспорте прибора, однако
чаще указывают максимально возможную
погрешность для приборов данного типа.

Модельная
погрешность. В основу любого
экспериментального исследования,
сопряженного с измерениями, заложена
модель. Модель содержит наиболее полное
физическое описание исследуемого
объекта или процесса, которое позволяет
составить его математическое описание,
а именно, набор математических соотношений,
включающих в себя физические величины.
Они выступают в роли переменных и
параметров, которыми могут быть величины,
непосредственно измеряемые в ходе
эксперимента, и величины, значения
которых требуется определить, исходя
из всей совокупности экспериментальных
данных. В итоге модель представляет
собой математическую конструкцию,
базирующуюся на физических представлениях.

Только
на основании эксперимента можно сделать
обоснованное заключение о приемлемости
описания полученных данных с помощью
использованной теоретической модели.
Зафиксированные несоответствия
построенной модели, фактически – теории,
и эксперимента, служат важнейшим стимулом
развития науки, требуя уточнять
представления о природе окружающего
физического мира. В свое время именно
отчетливо зарегистрированные
несоответствия привели к созданию
теории равновесного теплового излучения,
квантовой механики, теории относительности.

С
другой стороны, неверно построенная
модель, в которой не нашли отражения
какие-то важные процессы или факторы,
влияющие на результат измерений, также
приводит к несоответствиям. Как следствие,
измеряемые в эксперименте величины,
вычисляемые по полученным из модели
рабочим формулам, содержат погрешности,
которые носят название модельных
погрешностей. В эксперименте лабораторную
установку стараются поместить в такие
условия, которые были бы максимально
близки к требованиям модели. Однако
полностью исключить несоответствие
модели и экспериментальной ситуации
удается далеко не всегда.

К
разряду модельных может быть отнесена
погрешность взвешивания на рычажных
весах. Согласно закону Архимеда вес
тела и гирь уменьшается из-за действия
выталкивающей силы воздуха. Напомним,
что 1 куб.м. воздуха весит примерно 10 Н.
Для того, чтобы правильно найти массу
взвешиваемого тела, опять же, нужно
ввести поправки на потерю веса гирями
и самим телом. Вместе с тем, как и при
любых измерениях, здесь необходим
разумный подход. Например, при работе
с грубыми техническими весами бессмысленно
вводить поправку на Архимедову силу,
так как она окажется много меньше
погрешностей, вносимых в результат
измерения гирями и самими весами.

Следует
особо отметить, что модельные погрешности
являются наиболее сложными для анализа
и учета.

3. Случайные
погрешности.

Из
самого названия следует, что при повторных
измерениях погрешности этого типа
демонстрируют свою случайную природу.
Возникают они вследствие множества
причин, совместное воздействие которых
на каждое отдельное измерение невозможно
учесть или заранее установить. Такими
причинами могут оказаться, к примеру,
незначительные колебания температуры
различных деталей и узлов установки,
скачки напряжения, вибрации, турбулентные
движения воздуха, трение в механизмах,
ошибки считывания показаний приборов
и т.п. Единственно возможный способ
объективного учета случайных погрешностей
состоит в определении их статистических
закономерностей, проявляющихся в
результатах многократных измерений.
Рассчитанные статистические оценки
вносят в окончательный результат
измерения.

Для
оценки погрешности используют различные
числовые характеристики: пусть x₁,
х₂, … х_nобозначаютnрезультатов измерений
величины, истинное значение которойX.

1. Среднее значение находится по формуле:

Это
среднее значение принимают за приближенное
(наиболее вероятное) значение измеряемой
величины.

1. Дисперсия – среднеквадратичная
   погрешность. Рассеяние результатов
   измерений относительно среднего
   значения принято характеризовать
   дисперсией ΔS²:

1. Стандартное отклонение:
   

2. Абсолютная погрешность результата –
   доверительный интервал– Δх –
   характеризует попадание случайной
   величины в доверительный интервал с
   доверительной вероятностью α:

,

где t_a–
коэффициент Стьюдента зависит от
доверительной вероятности и числа
проведенных экспериментов. В математической
статистике коэффициент Стьюдента
вычислен для различных значений, и его
можно найти в таблице.

Для n=5 (число измерений) и α=0.95, коэффициент
Стьюдента — 2.570

Обычно для расчетов доверительного
интервала пользуются значениями α=0,95;
иногда достаточно α=0,90, но при ответственных
измерениях требуется более высокая
надежность (α= 0,99).

1. Относительная погрешность:
   

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

1. Введение

Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой результатов косвенныхизмерений). По целому ряду объективных причин знания выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по статистической обработке результатов измерений.

            К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок, учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.

2. Обозначения, принятые в данной работе

-измеряемая величина,  -среднее значение измеряемой величины,  — абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины,   — относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

3. Расчет погрешностей непосредственных измерений

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины   в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:

                                                                 (1)

Как вычислить погрешность  ? По следующей формуле:

                                                      (2)

В этой формуле используется коэффициент Стьюдента  . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях   приведены в таблице.

3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Проводили измерения длины   металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение   измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность  .

Решение.

С использованием формулы (1) находим:

мм

Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность   среднего значения   при доверительной вероятности   и числе степеней свободы   (используем значение  =2,262, взятое из таблицы):

Запишем результат:

=10,8±0,7_0.95 мм

4. Расчет погрешностей косвенных измерений

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины  , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина   по формуле  . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

Расчет среднего значения величины   производится по зависимости   с использованием средних значений аргументов  .

Погрешность величины   рассчитывается по следующей формуле:

,                                                    (3)

где  — количество аргументов  ,  — частные производные функции  по аргументам  ,   — абсолютная погрешность среднего значения аргумента  .

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле  .

4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

            Задача.

Было проведено 5  непосредственных измерений величин   и  . Для величины   получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины   получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины  , определяемой по формуле   и найти погрешность полученного значения.

Решение.

По формуле (1) найдем средние значения величин   и  :

Вычисляем  :

            Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы   значение  . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величин   и  :

С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины  :

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины  :

Запишем результат: