Лекция 17.
Расчет
установившейся ошибки в системах
управления. Структурные признаки
астатизма. Коэффициенты ошибок
Установившейся
(статической) ошибкой называют постоянное
значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании
переходного процесса:
,
рисунок 116.
Очевидно,
установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик
входных сигналов системы. Поэтому при
ее определении принято рассматривать
так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют
степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:
,
,
и так далее.
При наличии
нескольких воздействий на линейную
систему для определения xуст
используется принцип суперпозиции –
реакция линейной системы на совокупность
входных сигналов совпадает с алгебраической
суммой ее реакций на каждый из сигналов
в отдельности:
,
где каждое слагаемое,
или составляющая сигнала ошибки,
определяется
для i-го
входного сигнала при условии, что
остальные тождественно равны нулю.
Такой подход полностью соответствует
определению передаточной функции и
позволяет выполнять расчет установившейся
ошибки на основе структурной схемы
системы.
Рассмотрим порядок
расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере
(рисунок 117).
В соответствии с
принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде
суммы трех составляющих
.
Изображение по
Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке
при известном изображении задающего
воздействия G(s):
,
где (s)
– основная передаточная функция
замкнутой системы. Для структурной
схемы на рисунке 117
,
где
— передаточная функция разомкнутой
системы, или прямой цепи системы, для
рассматриваемого примера.
Непосредственно
для расчета установившегося значения
ошибки от задающего воздействия
используют теорему о конечном значении
для преобразования Лапласа:
В результате:
.
Изображение по
Лапласу ошибки от возмущающего воздействия
получают через передаточную функцию
замкнутой системы по ошибке от возмущения
при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):
,
где f(s)
–передаточная функция замкнутой системы
по возмущающему воздействию,
;
Wf(s)
– передаточная функция разомкнутой
системы по возмущению (передаточная
функция участка прямой цепи системы от
точки приложения возмущающего воздействия
до выхода системы).
Для структурной
схемы на рисунке 8 необходимо учитывать
два возмущающих воздействия, приложенные
в различные точки системы.
Для f1:
,
,
.
Для f2:
,
,
.
Расчет упрощается
для системы с единичной отрицательной
обратной связью (рисунок 118):
,
,
где k=k1k2k3
– коэффициент передачи разомкнутой
системы.
Найдем установившуюся
ошибку для некоторых типовых вариантов
задающего воздействия.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
Если установившаяся
ошибка тождественно равна нулю при
каком-либо типовом варианте входного
сигнала, независимо от его численных
характеристик, систему называют
астатической по рассматриваемому
входному сигналу.
Количество типовых
вариантов входного сигнала – членов
степенного ряда, при которых установившаяся
ошибка тождественно равна нулю, определяет
порядок астатизма.
Рассматриваемая
система обладает свойством астатизма
второго порядка по задающему воздействию.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f1:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f1.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим тот же результат.
Отметим, что по
возмущению f1
рассматриваемая система не является
астатической. Кроме того, она не в
состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.
Рассмотрим
установившуюся ошибку от возмущения
f2:
,
,
где
– коэффициент передачи разомкнутой
системы по возмущению f2.
При
получим:
.
При
получим:
.
При
получим:
.
По возмущению f2
рассматриваемая система имеет астатизм
первого порядка. Она не в состоянии
отработать возмущающее воздействие,
изменяющееся во времени с постоянным
ускорением.
Подведем некоторые
итоги:
1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки
приложения входного сигнала.
2. Постоянные
времени звеньев системы не влияют на
ее точность.
3. Увеличение
значения коэффициента передачи
разомкнутой системы приводит к снижению
величины установившейся ошибки.
Для систем с
единичной отрицательной обратной связью
существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.
Рассмотрим
структуру, показанную на рисунке 119.
В общем случае
передаточная функция разомкнутой
системы может быть представлена в
следующей форме:
,
где l0.
Тогда получим:
и для общего вида
задающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Результат нахождения
этого предела зависит от соотношения
показателей степени:
— при l>v
установившаяся ошибка равна нулю
независимо от остальных параметров, то
есть имеет место астатизм;
— при l=v
получаем константу;
— при l<v
установившаяся ошибка стремится к
бесконечности, то есть система не в
состоянии отработать входной сигнал.
Учитывая, что
минимальное значение v
нулевое, получаем условие астатизма по
задающему воздействию: l>0.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
задающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
разомкнутой системы, или интегрирующих
звеньев в прямой цепи системы.
Нетрудно также
убедиться, что положительное значение
l
совпадает с порядком астатизма.
Для получения
признака астатизма по возмущающему
воздействию представим передаточные
функции на рисунке 10 в форме:
,
,
где l1+l2=l,
k1k2=k,
m1+m2=m,
n1+n2=n,
причем
и
.
Тогда получим:
и для общего вида
возмущающего воздействия
,
которому соответствует изображение
,
.
Все вышеприведенные
выводы можно повторить для показателя
степени l1.
Таким образом,
структурный признак астатизма по
возмущающему воздействию в системе с
единичной отрицательной обратной связью
состоит в наличии нулевых корней в
знаменателе передаточной функции
участка системы до точки приложения
воздействия, или интегрирующих звеньев
на том же участке.
Более общий подход
к оценке точности линейных систем
управления основан на получении и
использовании коэффициентов ошибок.
Рассмотрим его на примере анализа
реакции системы на задающее воздействие.
Если рассматривать
произвольный закон изменения задающего
воздействия g(t),
то эта функция времени может быть
разложена в степенной ряд относительно
аргумента t.
Члены степенного ряда, как известно,
находятся через производные
,
,
…,
,
…
В общем случае ряд
бесконечен. Поэтому с практической
точки зрения рассматривать такое
представление сигнала целесообразно
только при достаточно плавном его
изменении, когда можно ограничиться
конечным числом членов ряда, имея в
виду, что при n
большем некоторого m
можно принять
,
n>m.
Для задачи оценки
установившейся ошибки при
с формулированное допущение вполне
корректно, так как в противном случае
эта задача не имеет смысла.
Коэффициенты
ошибки получают разложением передаточной
функции замкнутой системы по ошибке в
степенной ряд (ряд Тейлора) относительно
аргумента s:
,
где коэффициенты
разложения в общем случае находят как
значения производных в точке s=0:
.
Передаточные
функции, представляющие собой отношения
полиномов, при достаточно высоком
порядке системы могут оказаться слишком
сложными для дифференцирования. Поэтому
на практике коэффициенты их разложения
в ряд чаще находят путем деления полиномов
– числителя на знаменатель.
С учетом разложения
передаточной функции в ряд можно записать
изображение по Лапласу сигнала ошибки
в следующей форме:
.
Отметим, что с
учетом сформулированного выше допущения
такое представление сигнала ошибки
соответствует
или
.
Перейдя к оригиналу
с учетом теоремы дифференцирования
получим:
.
Вернемся к
рассмотренному выше примеру и предположим,
что задающее воздействие изменяется
по произвольному закону, но при достаточно
больших значениях времени этот закон
аппроксимируется выражением
.
Найдем коэффициенты
разложения передаточной функции по
ошибке
в степенной ряд.
Здесь сразу можно
отметить, что номер первого ненулевого
члена ряда определяется низшей степенью
аргумента s
в числителе дроби, то есть первые два
коэффициента c0
и c1
здесь получаем тождественно равными
нулю.
Далее получим:
В результате
получаем
,
,
,
и так далее.
Найдем производные
задающего воздействия:
,
,
.
Ясно, что для
определения установившейся ошибки
достаточно первых трех коэффициентов:
.
В заключение
отметим, что порядок астатизма системы
по какому-либо входному сигналу совпадает
с количеством нулевых коэффициентов
ошибки, получаемых в разложении в ряд
передаточной функции по ошибке от
данного входного сигнала.
Соседние файлы в папке Конспект ТАУ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
The deviation of the output of control system from desired response during steady state is known as steady state error. It is represented as $e_{ss}$. We can find steady state error using the final value theorem as follows.
$$e_{ss}=lim_{t to infty}e(t)=lim_{s to 0}sE(s)$$
Where,
E(s) is the Laplace transform of the error signal, $e(t)$
Let us discuss how to find steady state errors for unity feedback and non-unity feedback control systems one by one.
Steady State Errors for Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having unity negative feedback.
Where,
- R(s) is the Laplace transform of the reference Input signal $r(t)$
- C(s) is the Laplace transform of the output signal $c(t)$
We know the transfer function of the unity negative feedback closed loop control system as
$$frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow C(s)=frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
The output of the summing point is —
$$E(s)=R(s)-C(s)$$
Substitute $C(s)$ value in the above equation.
$$E(s)=R(s)-frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$
$$Rightarrow E(s)=frac{R(s)}{1+G(s)}$$
Substitute $E(s)$ value in the steady state error formula
$$e_{ss}=lim_{s to 0} frac{sR(s)}{1+G(s)}$$
The following table shows the steady state errors and the error constants for standard input signals like unit step, unit ramp & unit parabolic signals.
| Input signal | Steady state error $e_{ss}$ | Error constant |
|---|---|---|
|
unit step signal |
$frac{1}{1+k_p}$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)$ |
|
unit ramp signal |
$frac{1}{K_v}$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)$ |
|
unit parabolic signal |
$frac{1}{K_a}$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)$ |
Where, $K_p$, $K_v$ and $K_a$ are position error constant, velocity error constant and acceleration error constant respectively.
Note − If any of the above input signals has the amplitude other than unity, then multiply corresponding steady state error with that amplitude.
Note − We can’t define the steady state error for the unit impulse signal because, it exists only at origin. So, we can’t compare the impulse response with the unit impulse input as t denotes infinity.
Example
Let us find the steady state error for an input signal $r(t)=left( 5+2t+frac{t^2}{2} right )u(t)$ of unity negative
feedback control system with $G(s)=frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$
The given input signal is a combination of three signals step, ramp and parabolic. The following table shows the error constants and steady state error values for these three signals.
| Input signal | Error constant | Steady state error |
|---|---|---|
|
$r_1(t)=5u(t)$ |
$K_p=lim_{s to 0}G(s)=infty$ |
$e_{ss1}=frac{5}{1+k_p}=0$ |
|
$r_2(t)=2tu(t)$ |
$K_v=lim_{s to 0}sG(s)=infty$ |
$e_{ss2}=frac{2}{K_v}=0$ |
|
$r_3(t)=frac{t^2}{2}u(t)$ |
$K_a=lim_{s to 0}s^2G(s)=1$ |
$e_{ss3}=frac{1}{k_a}=1$ |
We will get the overall steady state error, by adding the above three steady state errors.
$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$
$$Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$
Therefore, we got the steady state error $e_{ss}$ as 1 for this example.
Steady State Errors for Non-Unity Feedback Systems
Consider the following block diagram of closed loop control system, which is having nonunity negative feedback.
We can find the steady state errors only for the unity feedback systems. So, we have to convert the non-unity feedback system into unity feedback system. For this, include one unity positive feedback path and one unity negative feedback path in the above block diagram. The new block diagram looks like as shown below.
Simplify the above block diagram by keeping the unity negative feedback as it is. The following is the simplified block diagram.
This block diagram resembles the block diagram of the unity negative feedback closed loop control system. Here, the single block is having the transfer function $frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$ instead of $G(s)$. You can now calculate the steady state errors by using steady state error formula given for the unity negative feedback systems.
Note − It is meaningless to find the steady state errors for unstable closed loop systems. So, we have to calculate the steady state errors only for closed loop stable systems. This means we need to check whether the control system is stable or not before finding the steady state errors. In the next chapter, we will discuss the concepts-related stability.
Установившееся значение 
ошибки воспроизведения задающего воздействия, являющегося произвольной, но достаточно плавной функцией времени, можно определить с помощью коэффициентов 
Коэффициенты ошибки вычисляются по передаточной функции для ошибки слежения и ее производным по 
при 
В статической системе 
в астатической 
в астатической второго порядка 
Могут быть системы с астатизмом третьего порядка и более высокого.
Формулы для вычисления первых четырех коэффициентов ошибки воспроизведения задающего воздействия (коэффицентов ошибки слежения) приведены в табл. 7.1. Формулы содержат коэффициенты передаточной функции 
разомкнутой системы, и, следовательно, отпадает необходимость в составлении передаточной функции 
Пример 7.1. Вычислить коэффициенты 
ошибки слежения если передаточная функция разомкнутой системы
Система пятого порядка астатическая, и для вычисления коэффициентов ошибки можно воспользоваться формулами поз. 8 табл. 7.1. В данном случае 
Подставив эти значения коэффициентов в формулы, получим 
По передаточной функции 
ошибки от возмущения могут быть вычислены коэффициенты ошибки от возмущения:
Эти коэффициенты позволяют определить установившееся значение ошибки, создаваемой возмущением, если оно является достаточно медленно изменяющейся функцией времени:
Формулы для вычисления коэффициентов ошибки по коэффициентам передаточной функции системы для ошибки приведены в табл. 7.2. Эти формулы могут быть использованы как для вы числения 
так и для вычисления 
Пример 7.2. В системе со структурной схемой, изображенной на рис. 7.1, передаточные функции ее участков имеют следующие значения:
Вычислить установившееся значение ошибки, если задающее воздействие 
а возмущения 
Составим передаточную функцию разомкнутой системы:
По формулам поз. 2 табл. 7.1 определим коэффициенты ошибки от задающего воздействия:
Следовательно, согласно формуле 
Составим передаточную функцию для ошибки от возмущения (учитывая знак воздействия возмущения и обратной связи):
Для вычисления коэффициентов ошибки от возмущения можно воспользоваться формулами поз. 1 табл. 7.2. В данном случае 
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
Подставив эти значения коэффициентов передаточной функции в формулы, получим 
Согласно формуле (7.9) имеем
В соответствии с формулой (7.1) суммарное значение установившейся ошибки
Передаточная функция для ошибки есть дробно-рациональная функция от 
поэтому значения коэффициентов ошибки можно вычислить делением ее числителя (начиная с младшего члена) на знаменатель. Такой прием следует применять, когда нельзя использовать данные табл. 7.1 и 7.2. При этом удобно пользоваться техникой подвижной полосы [55]. Перед расчетом передаточную функцию для ошибки (слежения или от возмущения) приводят к виду
Затем на полосу бумаги (на подвижную полосу) выписывают столбиком 
и на листе бумаги (на неподвижную полосу) выписывают столбиком 
. В статической системе 
в астатической 
и несколько последующих коэффициентов 
равны нулю.
Подвижную полосу кладут слева от неподвижной так, чтобы осталось место для записи результатов. Сначала нижняя цифра подвижной полосы должна находиться в одной строке с верхней цифрой неподвижной полосы. Затем подвижную полосу постепенно перемещают вниз.
В каждом положении подвижной полосы ее нижнюю цифру умножают на цифру неподвижной полосы в той же строке. Каждую из остальных цифр подвижной полосы умножают на находящуюся рядом цифру из столбца «Результат». Сумму всех произведений записывают в столбец «Результат», рядом с нижней цифрой подвижной полосы.
Цифры из столбца «Результат», начиная с верхней, после умножения на 
являются коэффициентами ошибки 
Поэтому расчет нужно продолжать, пока в столбце «Результат» не окажется столько цифр, сколько коэффициентов ошибки необходимо вычислить.
Пример 7.3. Вычислить коэффициенты ошибки слежения 
для системы, у которой передаточная функция
Таблица 7.3 (см. скан) Расчет к примеру 7.3
Расположение полос при расчете показано в табл. 7.3 для каждого подсчета. Запись подсчетов имеет вид:
Следовательно, коэффициенты ошибки имеют следующие значения: 
Данные для определения коэффициентов ошибки по ЛАЧХ минимально-фазовой системы приведены в табл. 9.6.