Как определить ошибку эксперимента

Результаты
опытов обычно не являются точными. По
различным причинам результаты любых
двух параллельных опытов отличаются
друг от друга, за исключением случайных
совпадений. Экспериментатор, в какой
бы области он не работал, почти всегда
придерживается более или менее регулярной
последовательности: вначале производится
планирование, затем приобретается
оборудование, после этого производятся
испытания и наконец выполняется анализ
и составляется отчет. При планировании
и приобретении оборудования анализ
ошибок должен быть на одном из первых
мест.

Под
точностью эксперимента понимают его
качество, отражающее близость полученных
результатов к истинному значению искомой
величины. Точность эксперимента тем
выше, чем меньше его погрешность.

Абсолютная
погрешность– это разностьx
между результатом эксперимента x и
истинным значением искомой величины
х*:

(1.1)

Относительная
погрешность

(1.2)

Следует
заметить, что истинное значение величины,
определяемой в результате эксперимента,
всегда остается неизвестным, поэтому
и погрешности эксперимента могут быть
оценены лишь приближенно.

Приведенной
погрешностьюназывают отношение
абсолютной погрешностиx
к нормирующему значению x_н,
выраженному в процентах:

(1.2a)

В
качестве нормирующего значения используют
условно принятое значение измеряемой
величины, выраженное в тех же единицах,
в качестве которых, как правило, используют
абсолютные значения разности верхнего
и нижнего пределов шкалы.

При
проведении эксперимента его погрешности
принято условно разделять на
систематические, случайные и грубые
(промахи).

Систематическойназывается погрешность, которая при
повторных экспериментах остается
постоянной или изменяется закономерно.
Наличие систематических погрешностей
может быть обнаружено путем анализа
условий измерения одного и того же
значения измеряемой величины разными
методами или приборами. Примером
переменной систематической погрешности
может быть погрешность от измерения
(закономерного) напряжения источника
питания, если результат измерения
зависит от напряжения (например,
потенциометр).Систематические
погрешности нельзя уменьшить увеличением
числа параллельных опытов. Должны
устраняться вызывающие их причины.Общим методом выявления причин
систематических погрешностей является
калибровка (поверка), которая представляет
собой поверку прибора во всем диапазоне
измеряемой величины с помощью известного
эталона. Прибор может давать очень малый
разброс показаний, но результат будет
неверным вследствие наличия систематической
ошибки. Пример: пирометр излучения дает
показания,⁰С: 950, 952, 948, 950,
951 при истинном значении 1000⁰С
(рис.1.2). Можно выделить следующие
источники систематических погрешностей.

Рис. 1.2.Пример
данных, иллюстрирующий различие между
случайной и систематической погрешностями:
1 – измерения характеризуются наличием
случайной погрешности; 2 – измерения
характеризуются наличием систематической
погрешности.

• инструментальные
  (приборные или аппаратурные) погрешности
  средств измерений называются такие,
  которые принадлежат данному средству
  измерений, они могут быть определены
  при его испытаниях и занесены в его
  паспорт. Принято различатьосновную
  погрешностьсредств измерений, т.е.
  погрешность в условиях, принятых за
  нормальные, идополнительную
  погрешность, вызванную отклонением
  влияющих параметров за пределы области
  нормальных значений (вибрации, влажности
  среды, инерцией и т.п.);

• методические
  погрешности – это погрешности,
  которые не могут быть приписаны данному
  прибору, не смогут быть указаны в его
  паспорте, т.е. связаны не с самим прибором,
  а с методикой проведения измерений.
  Очень часто причиной возникновения
  методической погрешности является то,
  что организуя измерения, измеряют или
  вынуждены измерять не ту величину,
  которую в принципе требуется измерять,
  а некоторую другую, близкую, но не равную
  ей. Например, для измерения температуры
  поверхности тела по его тепловому
  излучению, зависящего не только от этой
  температуры, но и приведенной степени
  чернотыпр
  (q=_прC₀Т⁴).
  (Определение температурного поля
  термически массивного тела по температуре
  его поверхности).

Отличительной
особенностью методических погрешностей
является то, что они могут быть определены
лишь путем создания математической
модели исследуемого объекта и не смогут
быть найдены сколь угодно тщательным
исследованием лишь самого измерительного
прибора. Действительно, определить
температурное поле тела по температуре
его поверхности можно только располагая
математической моделью нагрева металла,
а определить температуру поверхности
по показаниям радиационного пирометра
только при заданной (рассчитанной)
степени черноты этого тела.

• субъективные
  погрешности, обусловленные особенностями
  исследователя (совпадение яркости
  накала лампы и излучаемого тела в
  оптических пирометрах, определяемое
  наблюдателем, и т.п.).

Следует
иметь ввиду, что полностью исключить
систематические погрешности невозможно,
так как методы и средства, с помощью
которых обнаруживаются и оцениваются
систематические погрешности, сами имеют
свои погрешности.

Случайнойназывается погрешность, обусловленная
действием ряда причин, меняющихся
случайным образом от эксперимента к
эксперименту. Значение этой погрешности
не может быть определено в каждом
эксперименте и на нее невозможно оказать
влияние. В то же время в результате
большого числа экспериментов могут
быть выявлены некоторые закономерности,
присущие этому типу погрешностей. К
случайным относятся непостоянные
погрешности, причины возникновения
которых неизвестны. Эти погрешности,
как правило, вызываются сложной
совокупностью изменяющихся факторов,
обычно неизвестные экспериментатору
и трудно поддающиеся анализу. Таким
образом,случайные погрешности
представляют собой беспорядочные
флуктуации показаний прибора относительно
истинного значения измеряемой величины.Для исследования случайных погрешностей,
возникающих при проведении эксперимента,
широко используются математическая
статистика и теория вероятностей.

Грубыепогрешности (промахи) возникают вследствие
непредвиденного изменения условий
эксперимента, качества измерений,
поломок прибора, неправильной записи
в рабочих журналах, механических ударах
прибора, неправильном отчете показаний
прибора, отключении источника питания
и т.п. Результат, содержащий грубую
ошибку, резко отличается по величине
от остальных измерений. Такие результаты
должны быть исключены из рассмотрения
до математической обработки результатов
эксперимента.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Какие бывают погрешности

Любое число, которое выдает нам эксперимент, это результат измерения. Измерение производится прибором, и это либо непосредственные показания прибора, либо результат обработки этих показаний. И в том, и в другом случае полученный результат измерения неидеален, он содержит погрешности. И потому любой грамотный физик должен не только предъявить численный результат измерения, но и обязан указать все сопутствующие погрешности. Не будет преувеличением сказать, что численный экспериментальный результат, предъявленный без указания каких-либо погрешностей, бессмыслен.

В физике элементарных частиц к указанию погрешностей относятся исключительно ответственно. Экспериментаторы не только сообщают погрешности, но и разделяют их на разные группы. Три основных погрешности, которые встречаются чаще всего, это статистическая, систематическая и теоретическая (или модельная) погрешности. Цель такого разделения — дать четкое понимание того, что именно ограничивает точность этого конкретного измерения, а значит, за счет чего эту точность можно улучшить в будущем.

Статистическая погрешность связана с разбросом значений, которые выдает эксперимент после каждой попытки измерить величину.

(Подробнее о статистической погрешности)

Систематическая погрешность характеризует несовершенство самого измерительного инструмента или методики обработки данных, а точнее, недостаточное знание того, насколько «сбоит» инструмент или методика.

(Подробнее о систематической погрешности)

Теоретическая/модельная погрешность — это неопределенность результата измерения, которая возникла потому, что методика обработки данных была сложная и в чем-то опиралась на теоретические предположения или результаты моделирования, которые тоже несовершенны. Впрочем, иногда эту погрешность считают просто разновидностью систематических погрешностей.

(Подробнее о погрешности теории и моделирования)

Наконец, в отдельный класс, видимо, можно отнести возможные человеческие ошибки, прежде всего психологического свойства (предвзятость при анализе данных, ленность при проверке того, как результаты зависят от методики анализа). Строго говоря, они не являются погрешностью измерения, поскольку могут и должны быть устранены. Зачастую это избавление от человеческих ошибок может быть вполне формализовано. Так называемый дважды слепой эксперимент в биомедицинских науках — один тому пример. В физике частиц есть похожие приемы (см. заметку Что означает «слепой анализ» при поиске новых частиц?).

Что означает погрешность

Стандартный вид записи измеренной величины с погрешностью знаком всем. Например, результат взвешивания какого-то предмета может быть 100 ± 5 грамм. Это означает, что мы не знаем абсолютно точно массу, она может быть и 101 грамм, и 96 грамм, а может быть и все 108 грамм. Но уж точно не 60 и не 160 грамм. Мы говорим лишь, сколько нам показывают весы, и из каких-то соображений определяем тот примерный разброс, который измерение вполне могло бы дать.

Тут надо подчеркнуть две вещи. Во-первых, в бытовой ситуации значение 100 ± 5 грамм часто интерпретируется так, словно истинная масса гарантированно лежит в этом диапазоне и ни в коей мере не может быть 94 или 106 грамм. Научная запись подразумевает не это. Она означает, что истинная масса скорее всего лежит в этом интервале, но в принципе может случиться и так, что она немножко выходит за его пределы. Это становится наиболее четко, когда речь идет о статистических погрешностях; см. подробности на страничке Что такое «сигма»?.

Во-вторых, надо четко понимать, что погрешности — это не ошибки эксперимента. Наоборот, они являются показателем качества эксперимента. Погрешности характеризуют объективный уровень несовершенства прибора или неидеальности методики обработки. Их нельзя полностью устранить, но зато можно сказать, в каких рамках результату можно доверять.

Некоторые дополнительные тонкости, связанные с тем, что именно означают погрешности, описаны на странице Тонкости анализа данных.

Как записывают погрешности

Указанный выше способ записи не уточняет, что это за погрешность перед нами. В физике элементарных частиц при предъявлении результатов источники погрешностей принято уточнять. В результате запись результата может иногда принять пугающий своей сложностью вид. Таких выражений не надо бояться, просто нужно внимательно посмотреть, что там указано.

В самом простом случае экспериментально измеренное число записывается так: результат и две погрешности одна за другой:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15.

Тут вначале всегда идет статистическая, а за ней — систематическая погрешность. Если же измерение не прямое, а в чем-то опирается на теорию, которая тоже не идеально точна, то следом за ними приписывается теоретическая погрешность, например:

μ = 1,33 ± 0,14 ± 0,15 ± 0,11.

Иногда для пущей понятности явно указывают, что есть что, и тогда погрешностей может быть даже больше. Это делается вовсе не для того, чтобы запутать читателя, а с простой целью: упростить в будущем расчет уточенного результата, если какой-то один из источников погрешностей будет уменьшен. Вот пример из статьи arXiv:1205.0934 коллаборации LHCb:

Означает эта длинная строка следующее. Тут записана измеренная детектором вероятность выписанного распада B_s-мезона, которая равна [1,83 ± четыре вида погрешностей] · 10^–5. В перечислении погрешностей вначале идет статистическая погрешность, потом систематическая погрешность, затем погрешность, связанная с плохим знанием некоторой величины f_s/f_d (неважно, что это такое), и наконец, погрешность, связанная с плохим знанием вероятности распада B⁰-мезона (потому что измерение B_s-распада косвенно опирается на B⁰-распад).

Нередки также случаи, когда погрешности в сторону увеличения и уменьшения разные. Тогда это тоже указывается явно (пример из статьи hep-ex/0403004):

И наконец, совсем экзотический случай: когда величина настолько плохо определена, что погрешность пишут не к самому числу, а к показателю степени. Например, 10^12 ± 2 означает, что величина вполне может лежать где-то между 10 миллиардами и 100 триллионами. В этом случае обычно нет большого смысла разделять погрешности на разные типы.

Величина со всеми явно указанными погрешностями часто не очень удобна для работы, например при сравнении теории и эксперимента. В этом случае погрешности суммируют. Эти слова ни в коем случае нельзя воспринимать как простое сложение! Как правило, речь идет о сложении в квадратах: если все три типа погрешностей обозначить как Δx_stat., Δx_sys., Δx_theor., то глобальная погрешность обычно вычисляется по формуле

Стоит еще добавить, что в других разделах физики нередко используют иную запись: вместо символа «±» погрешность просто помещают в скобках. Тогда ее понимают так: это погрешность, выраженная в единицах последней значащей цифры. Например, 100(5) означает 100 ± 5, а 1,230(15) означает 1,230 ± 0,015. В этом случае принципиально важно писать правильное число нулей в результате измерения, ведь запись 1,23(15) уже будет означать вдесятеро большую погрешность: 1,23 ± 0,15.

Как изображают погрешности

Когда экспериментально измеренные значения наносятся на график, погрешности тоже приходится указывать. Это обычно делают в виде «усов», как на рисунке слева. Такие «усы» с засечками относятся к глобальной погрешности. Если же хочется разделить статистические и систематические погрешности, то делают так, как показано на рисунке справа. Здесь засечки показывают только статистические погрешности, а полные усы во всю длину отвечают глобальным погрешностям. Другой вариант: выделение полных погрешностей цветом, как это показано, например, на рисунке с данными ATLAS по хиггсовскому бозону.

Наконец, когда экспериментальная точка имеет отдельные погрешности по обеим осям, то их тоже наносят, и результат выглядит в виде крестика.