Как найти стандартные ошибки коэффициентов регрессии

В
линейной регрессии обычно оценивается
значимость не только уравнения в целом,
но и отдельных его параметров. С этой
целью по каждому из параметров определяется
его стандартная ошибка: т_b
и
т_а.

Стандартная
ошибка коэффициента регрессии параметра
b
рассчитывается
по формуле:

Где

остаточная дисперсия на одну степень
свободы.

Отношение
коэффициента регрессии к его стандартной
ошибке дает t-статистику,
которая подчиняется статистике Стьюдента
при

степенях
свободы. Эта статистика применяется
для проверки статистической значимости
коэффициента регрессии и для расчета
его доверительных интервалов.

Для
оценки значимости коэффициента регрессии
его величину сравнивают с его стандартной
ошибкой, т.е. определяют фактическое
значение t-критерия
Стьюдента:
,
которое затем сравнивают с табличным
значением при определенном уровне
значимостиα
и
числе степе­ней свободы
.

Справедливо
равенство

Доверительный
интервал для коэффициента регрессии
определяется как
.

Стандартная
ошибка параметра а
определяется
по формуле

Процедура
оценивания значимости данного параметра
не отличается от рассмотренной выше
для коэффициента регрессии: вычисляется
t-критерий:

Его
величина сравнивается с табличным
значением при

степенях свободы.

Значимость
линейного коэффициента корреляции
проверяется на основе величины ошибки
коэффициента корреляции m_r:

Фактическое
значение t-критерия
Стьюдента определяется как

Данная
формула свидетельствует, что в парной
линейной регрессии
,
ибо как уже указывалось,
.
Кроме того,,
следовательно,.

Таким
образом, проверка гипотез о значимости
коэффициентов регрессии и корреляции
равносильна проверке гипотезы о
значимости линейного уравнения регрессии.

Рассмотренную
формулу оценки коэффициента корреляции
рекомендуется применять при большом
числе наблюдений, а также если r
не близко к +1 или –1.

2.3 Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии

В
прогнозных расчетах по уравнению
регрессии определяется предсказываемое
y_р
значение
как точечный прогноз
_х
при
х_р
= х_k
т.
е. путем подстановки в линейное уравнение
регрессии

соответствующего
значения х.
Однако
точечный прогноз явно нереален, поэтому
он дополняется расчетом стандартной
ошибки
_х,
т.
е.
,
и
соответственно мы получаем интервальную
оценку прогнозного значения у*:

Считая,
что прогнозное значение фактора х_р
= х_k
получим
следующую формулу расчета стандартной
ошибки предсказываемого по линии
регрессии значения, т. е.

имеет выражение:

Рассмотренная
формула стандартной ошибки предсказываемого
среднего значения у
при
заданном значении х_k
характеризует
ошибку положения линии регрессии.
Величина стандартной ошибки
достигает
минимума при
и
возрастает по мере того, как «удаляется»
от
в любом направлении. Иными словами, чем
больше разность междуи,
тем больше ошибка,
с
которой предсказывается среднее значение
у
для
заданного значения
.
Можно ожидать наилучшие результаты
прогноза, если признак-фактор х находится
в центре области наблюдений х, и нельзя
ожидать хороших результатов прогноза
при удалении.
от. Если же значение.
оказывается за пределами наблюдаемых
значенийх,
используемых при построении линейной
регрессии, то результаты прогноза
ухудшаются в зависимости от того,
насколько
.
отклоняется от области наблюдаемых
значений факторах.

На
графике, приведенном на рис. 1, доверительные
границы для

представляют
собой гиперболы, расположенные по обе
стороны от линии регрессии. Рис. 1
показывает, как изменяются пределы в
зависимости от изменения
.:
две гиперболы по обе стороны от линии
регрессии определяют 95 %-ные доверительные
интервалы для среднего значенияу
при
заданном значении х.

Однако
фактические значения у
варьируют
около среднего значения
.
Индивидуальные
значения у
могут
отклоняться от


на
величину случайной ошибки ε, дисперсия
которой оценивается как остаточная
дисперсия на одну степень свободы
.
Поэтому ошибка предсказываемого
индивидуального значенияу
должна включать не только стандартную
ошибку
,
но и случайную ошибкуs.

Рис.
1. Доверительный интервал линии регрессии:

а
— верхняя
доверительная граница; б
— линия
регрессии;

в
— доверительный
интервал для

при
;

г
— нижняя
доверительная граница.

Средняя
ошибка прогнозируемого индивидуального
значения у
составит:

При
прогнозировании на основе уравнения
регрессии следует помнить, что величина
прогноза зависит не только от стандартной
ошибки индивидуального значения у,
но
и от точности прогноза значения фактора
х.
Его
величина может задаваться на основе
анализа других моделей исходя из
конкретной ситуации, а также анализа
динамики данного фактора.

Рассмотренная
формула средней ошибки индивидуального
значения признака у
может
быть использована также для оценки
существенности различия предсказываемого
значения и некоторого гипотетического
значения.

11

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Регрессия позволяет прогнозировать зависимую переменную на основании значений фактора. В

MS

EXCEL

имеется множество функций, которые возвращают не только наклон и сдвиг линии регрессии, характеризующей линейную взаимосвязь между факторами, но и регрессионную статистику. Здесь рассмотрим простую линейную регрессию, т.е. прогнозирование на основе одного фактора.

Disclaimer

: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Регрессионного анализа.

Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения

Регрессии

– плохая идея.

Статья про

Регрессионный анализ

получилась большая, поэтому ниже для удобства приведены ее разделы:

• Немного теории и основные понятия
• Предположения линейной регрессионной модели
• Задачи регрессионного анализа
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)
• Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)
• Построение линии регрессии
• Коэффициент детерминации
• Стандартная ошибка регрессии
• Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига
• Проверка значимости взаимосвязи переменных
• Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения
• Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Примечание

: Если прогнозирование переменной осуществляется на основе нескольких факторов, то имеет место

множественная регрессия

.

Чтобы разобраться, чем может помочь MS EXCEL при проведении регрессионного анализа, напомним вкратце теорию, введем термины и обозначения, которые могут отличаться в зависимости от различных источников.

Примечание

: Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к вычислительной части —

оценке неизвестных параметров линейной модели

.

Немного теории и основные понятия

Пусть у нас есть массив данных, представляющий собой значения двух переменных Х и Y. Причем значения переменной Х мы можем произвольно задавать (контролировать) и использовать эту переменную для предсказания значений зависимой переменной Y. Таким образом, случайной величиной является только переменная Y.

Примером такой задачи может быть производственный процесс изготовления некого волокна, причем

прочность этого волокна

(Y) зависит только от

рабочей температуры процесса

в реакторе (Х), которая задается оператором.

Построим

диаграмму рассеяния

(см.

файл примера лист Линейный

), созданию которой

посвящена отдельная статья

. Вообще, построение

диаграммы рассеяния

для целей

регрессионного анализа

де-факто является стандартом.

СОВЕТ

: Подробнее о построении различных типов диаграмм см. статьи

Основы построения диаграмм

и

Основные типы диаграмм

.

Приведенная выше

диаграмма рассеяния

свидетельствует о возможной

линейной взаимосвязи

между Y от Х: очевидно, что точки данных в основном располагаются вдоль прямой линии.

Примечание

: Наличие даже такой очевидной

линейной взаимосвязи

не может являться доказательством о наличии причинной взаимосвязи переменных. Наличие

причинной

взаимосвязи не может быть доказано на основании только анализа имеющихся измерений, а должно быть обосновано с помощью других исследований, например теоретических выкладок.

Примечание

: Как известно, уравнение прямой линии имеет вид

Y

=

m

*

X

+

k

, где коэффициент

m

отвечает за наклон линии (

slope

),

k

– за сдвиг линии по вертикали (

intercept

),

k

равно значению Y при Х=0.

Предположим, что мы можем зафиксировать переменную Х (

рабочую температуру процесса

) при некотором значении Х

_i

и произвести несколько наблюдений переменной Y (

прочность нити

). Очевидно, что при одном и том же значении Хi мы получим различные значения Y. Это обусловлено влиянием других факторов на Y. Например, локальные колебания давления в реакторе, концентрации раствора, наличие ошибок измерения и др. Предполагается, что воздействие этих факторов имеет случайную природу и для каждого измерения имеются одинаковые условия проведения эксперимента (т.е. другие факторы не изменяются).

Полученные значения Y, при заданном Хi, будут колебаться вокруг некого

значения

. При увеличении количества измерений, среднее этих измерений, будет стремиться к

математическому ожиданию

случайной величины Y (при Х

_i

) равному μy(i)=Е(Y

_i

).

Подобные рассуждения можно привести для любого значения Хi.

Чтобы двинуться дальше, воспользуемся материалом из раздела

Проверка статистических гипотез

. В статье о

проверке гипотезы о среднем значении генеральной совокупности

в качестве

нулевой

гипотезы

предполагалось равенство неизвестного значения μ заданному μ0.

В нашем случае

простой линейной регрессии

в качестве

нулевой

гипотезы

предположим, что между переменными μy(i) и Хi существует линейная взаимосвязь μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β. Уравнение μ

_y(i)

=α* Х

_i

+β можно переписать в обобщенном виде (для всех Х и μ

_y

) как μ

_y

=α* Х +β.

Для наглядности проведем прямую линию соединяющую все μy(i).

Данная линия называется

регрессионной линией генеральной совокупности

(population regression line), параметры которой (

наклон

a и

сдвиг β

) нам не известны (по аналогии с

гипотезой о среднем значении генеральной совокупности

, где нам было неизвестно истинное значение μ).

Теперь сделаем переход от нашего предположения, что μy=a* Х +

β

, к предсказанию значения случайной переменной Y в зависимости от значения контролируемой переменной Х. Для этого уравнение связи двух переменных запишем в виде Y=a*X+β+ε, где ε — случайная ошибка, которая отражает суммарный эффект влияния других факторов на Y (эти «другие» факторы не участвуют в нашей модели). Напомним, что т.к. переменная Х фиксирована, то ошибка ε определяется только свойствами переменной Y.

Уравнение Y=a*X+b+ε называют

линейной регрессионной моделью

. Часто Х еще называют

независимой переменной

(еще

предиктором

и

регрессором

, английский термин

predictor

,

regressor

), а Y –

зависимой

(или

объясняемой

,

response

variable

). Так как

регрессор

у нас один, то такая модель называется

простой линейной регрессионной моделью

(

simple

linear

regression

model

). α часто называют

коэффициентом регрессии.

Предположения линейной регрессионной модели перечислены в следующем разделе.

Предположения линейной регрессионной модели

Чтобы модель линейной регрессии Yi=a*Xi+β+ε

_i

была адекватной — требуется:

• Ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть независимыми переменными;
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны быть иметь нормальное распределение (также предполагается равенство нулю математического ожидания, т.е. Е[ε
  
  _i
  
  ]=0);
• При каждом значении Xi ошибки ε
  
  _i
  
  должны иметь равные дисперсии (обозначим ее σ
  
  ²
  
  ).

Примечание

: Последнее условие называется

гомоскедастичность

— стабильность, гомогенность дисперсии случайной ошибки e. Т.е.

дисперсия

ошибки σ

²

не должна зависеть от значения Xi.

Используя предположение о равенстве математического ожидания Е[ε

_i

]=0 покажем, что μy(i)=Е[Yi]:

Е[Yi]= Е[a*Xi+β+ε

_i

]= Е[a*Xi+β]+ Е[ε

_i

]= a*Xi+β= μy(i), т.к. a, Xi и β постоянные значения.

Дисперсия

случайной переменной Y равна

дисперсии

ошибки ε, т.е. VAR(Y)= VAR(ε)=σ

²

. Это является следствием, что все значения переменной Х являются const, а VAR(ε)=VAR(ε

_i

).

Задачи регрессионного анализа

Для проверки гипотезы о линейной взаимосвязи переменной Y от X делают выборку из генеральной совокупности (этой совокупности соответствует

регрессионная линия генеральной совокупности

, т.е.  μy=a* Х +β). Выборка будет состоять из n точек, т.е. из n пар значений {X;Y}.

На основании этой выборки мы можем вычислить оценки наклона a и сдвига β, которые обозначим соответственно

a

и

b

. Также часто используются обозначения â и b̂.

Далее, используя эти оценки, мы также можем проверить гипотезу: имеется ли линейная связь между X и Y статистически значимой?

Таким образом:

Первая задача

регрессионного анализа

– оценка неизвестных параметров (

estimation

of

the

unknown

parameters

). Подробнее см. раздел

Оценки неизвестных параметров модели

.

Вторая задача

регрессионного анализа

–

Проверка адекватности модели

(

model

adequacy

checking

).

Примечание

: Оценки параметров модели обычно вычисляются

методом наименьших квадратов

(МНК),

которому посвящена отдельная статья

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (используя функции MS EXCEL)

Неизвестные параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε оценим с помощью

метода наименьших квадратов

(в

статье про МНК подробно описано этот метод

).

Для вычисления параметров линейной модели методом МНК получены следующие выражения:

Таким образом, мы получим уравнение прямой линии Y=

a

*X+

b

, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные.

Примечание

: В статье про

метод наименьших квадратов

рассмотрены случаи аппроксимации

линейной

и

квадратичной функцией

, а также

степенной

,

логарифмической

и

экспоненциальной функцией

.

Оценку параметров в MS EXCEL можно выполнить различными способами:

• с помощью функций
  
  НАКЛОН()
  
  и
  
  ОТРЕЗОК()
  
  ;
• с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  ; см. статью

  Функция MS EXCEL ЛИНЕЙН()

• формулами через статистики выборок

  ;

• в матричной форме

  ;

• с помощью

  инструмента Регрессия надстройки Пакет Анализа

  .

Сначала рассмотрим функции

НАКЛОН()

,

ОТРЕЗОК()

и

ЛИНЕЙН()

.

Пусть значения Х и Y находятся соответственно в диапазонах

C

23:

C

83

и

B

23:

B

83

(см.

файл примера

внизу статьи).

Примечание

: Значения двух переменных Х и Y можно сгенерировать, задав тренд и величину случайного разброса (см. статью

Генерация данных для линейной регрессии в MS EXCEL

).

В MS EXCEL наклон прямой линии

а

(

оценку

коэффициента регрессии

), можно найти по

методу МНК

с помощью функции

НАКЛОН()

, а сдвиг

b

(

оценку

постоянного члена

или

константы регрессии

), с помощью функции

ОТРЕЗОК()

. В английской версии это функции SLOPE и INTERCEPT соответственно.

Аналогичный результат можно получить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

, английская версия LINEST (см.

статью об этой функции

).

Формула

=ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет наклон

а

. А формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

— сдвиг

b

. Здесь требуются пояснения.

Функция

ЛИНЕЙН()

имеет 4 аргумента и возвращает целый массив значений:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Если 4-й аргумент

статистика

имеет значение ЛОЖЬ или опущен, то функция

ЛИНЕЙН()

возвращает только оценки параметров модели:

a

и

b

.

Примечание

: Остальные значения, возвращаемые функцией

ЛИНЕЙН()

, нам потребуются при вычислении

стандартных ошибок

и для

проверки значимости регрессии

. В этом случае аргумент

статистика

должен иметь значение ИСТИНА.

Чтобы вывести сразу обе оценки:

• в одной строке необходимо выделить 2 ячейки,
• ввести формулу в

  Строке формул

• нажать
  
  CTRL
  
  +
  
  SHIFT
  
  +
  
  ENTER
  
  (см. статью про

  формулы массива

  ).

Если в

Строке формул

выделить формулу =

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

и нажать

клавишу F9

, то мы увидим что-то типа {3,01279389265416;154,240057900613}. Это как раз значения

a

и

b

. Как видно, оба значения разделены точкой с запятой «;», что свидетельствует, что функция вернула значения «в нескольких ячейках одной строки».

Если требуется вывести параметры линии не в одной строке, а одном столбце (ячейки друг под другом), то используйте формулу =

ТРАНСП(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83))

. При этом выделять нужно 2 ячейки в одном столбце. Если теперь выделить новую формулу и нажать клавишу F9, то мы увидим что 2 значения разделены двоеточием «:», что означает, что значения выведены в столбец (функция

ТРАНСП()

транспонировала строку в столбец

).

Чтобы разобраться в этом подробнее необходимо ознакомиться с

формулами массива

.

Чтобы не связываться с вводом

формул массива

, можно

использовать функцию ИНДЕКС()

. Формула =

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);1)

или просто

ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83)

вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.

а

. Формула

=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83);2)

вернет параметр

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (через статистики выборок)

Наклон линии, т.е. коэффициент

а

, можно также вычислить через

коэффициент корреляции

и

стандартные отклонения выборок

:

=

КОРРЕЛ(B23:B83;C23:C83) *(СТАНДОТКЛОН.В(C23:C83)/ СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83))

Вышеуказанная формула математически эквивалентна отношению

ковариации

выборок Х и Y и

дисперсии

выборки Х:

=

КОВАРИАЦИЯ.В(B23:B83;C23:C83)/ДИСП.В(B23:B83)

И, наконец, запишем еще одну формулу для нахождения сдвига

b

. Воспользуемся тем фактом, что

линия регрессии

проходит через точку

средних значений

переменных Х и Y.

Вычислив

средние значения

и подставив в формулу ранее найденный наклон

а

, получим сдвиг

b

.

Оценка неизвестных параметров линейной модели (матричная форма)

Также параметры

линии регрессии

можно найти в матричной форме (см.

файл примера лист Матричная форма

).

В формуле символом β обозначен столбец с искомыми параметрами модели: β0 (сдвиг

b

), β1 (наклон

a

).

Матрица Х равна:

Матрица

Х

называется

регрессионной матрицей

или

матрицей плана

. Она состоит из 2-х столбцов и n строк, где n – количество точек данных. Первый столбец — столбец единиц, второй – значения переменной Х.

Матрица

Х

^T

– это

транспонированная матрица

Х

. Она состоит соответственно из n столбцов и 2-х строк.

В формуле символом

Y

обозначен столбец значений переменной Y.

Чтобы

перемножить матрицы

используйте функцию

МУМНОЖ()

. Чтобы

найти обратную матрицу

используйте функцию

МОБР()

.

Пусть дан массив значений переменных Х и Y (n=10, т.е.10 точек).

Слева от него достроим столбец с 1 для матрицы Х.

Записав формулу

=

МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(B7:C16))); МУМНОЖ(ТРАНСП(B7:C16);(D7:D16)))

и введя ее как

формулу массива

в 2 ячейки, получим оценку параметров модели.

Красота применения матричной формы полностью раскрывается в случае

множественной регрессии

.

Построение линии регрессии

Для отображения

линии регрессии

построим сначала

диаграмму рассеяния

, на которой отобразим все точки (см.

начало статьи

).

Для построения прямой линии используйте вычисленные выше оценки параметров модели

a

и

b

(т.е. вычислите

у

по формуле

y

=

a

*

x

+

b

) или функцию

ТЕНДЕНЦИЯ()

.

Формула =

ТЕНДЕНЦИЯ($C$23:$C$83;$B$23:$B$83;B23)

возвращает расчетные (прогнозные) значения ŷi для заданного значения Хi из столбца

В2

.

Примечание

:

Линию регрессии

можно также построить с помощью функции

ПРЕДСКАЗ()

. Эта функция возвращает прогнозные значения ŷi, но, в отличие от функции

ТЕНДЕНЦИЯ()

работает только в случае одного регрессора. Функция

ТЕНДЕНЦИЯ()

может быть использована и в случае

множественной регрессии

(в этом случае 3-й аргумент функции должен быть ссылкой на диапазон, содержащий все значения Хi для выбранного наблюдения i).

Как видно из диаграммы выше

линия тренда

и

линия регрессии

не обязательно совпадают: отклонения точек от

линии тренда

случайны, а МНК лишь подбирает линию наиболее точно аппроксимирующую случайные точки данных.

Линию регрессии

можно построить и с помощью встроенных средств диаграммы, т.е. с помощью инструмента

Линия тренда.

Для этого выделите диаграмму, в меню выберите

вкладку Макет

, в

группе Анализ

нажмите

Линия тренда

, затем

Линейное приближение.

В диалоговом окне установите галочку

Показывать уравнение на диаграмме

(подробнее см. в

статье про МНК

).

Построенная таким образом линия, разумеется, должна совпасть с ранее построенной нами

линией регрессии,

а параметры уравнения

a

и

b

должны совпасть с параметрами уравнения отображенными на диаграмме.

Примечание:

Для того, чтобы вычисленные параметры уравнения

a

и

b

совпадали с параметрами уравнения на диаграмме, необходимо, чтобы тип у диаграммы был

Точечная, а не График

, т.к. тип диаграммы

График

не использует значения Х, а вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … Именно эти значения и берутся при расчете параметров

линии тренда

. Убедиться в этом можно если построить диаграмму

График

(см.

файл примера

), а значения

Хнач

и

Хшаг

установить равным 1. Только в этом случае параметры уравнения на диаграмме совпадут с

a

и

b

.

Коэффициент детерминации R

²

Коэффициент детерминации

R

²

показывает насколько полезна построенная нами

линейная регрессионная модель

.

Предположим, что у нас есть n значений переменной Y и мы хотим предсказать значение yi, но без использования значений переменной Х (т.е. без построения

регрессионной модели

). Очевидно, что лучшей оценкой для yi будет

среднее значение

ȳ. Соответственно, ошибка предсказания будет равна (yi — ȳ).

Примечание

: Далее будет использована терминология и обозначения

дисперсионного анализа

.

После построения

регрессионной модели

для предсказания значения yi мы будем использовать значение ŷi=a*xi+b. Ошибка предсказания теперь будет равна (yi — ŷi).

Теперь с помощью диаграммы сравним ошибки предсказания полученные без построения модели и с помощью модели.

Очевидно, что используя

регрессионную модель

мы уменьшили первоначальную (полную) ошибку (yi — ȳ)  на значение (ŷi — ȳ)  до величины (yi — ŷi).

(yi — ŷi) – это оставшаяся, необъясненная ошибка.

Очевидно, что все три ошибки связаны выражением:

(yi — ȳ)= (ŷi — ȳ) + (yi — ŷi)

Можно показать, что в общем виде справедливо следующее выражение:

Доказательство:

или в других, общепринятых в зарубежной литературе, обозначениях:

SST

=

SSR

+

SSE

Что означает:

Total Sum of Squares

=

Regression Sum of Squares

+

Error Sum of Squares

Примечание

: SS — Sum of Squares — Сумма Квадратов.

Как видно из формулы величины SST, SSR, SSE имеют размерность

дисперсии

(вариации) и соответственно описывают разброс (изменчивость):

Общую изменчивость

(Total variation),

Изменчивость объясненную моделью

(Explained variation) и

Необъясненную изменчивость

(Unexplained variation).

По определению

коэффициент детерминации

R

²

равен:

R

²

=

Изменчивость объясненная моделью / Общая изменчивость.

Этот показатель равен квадрату

коэффициента корреляции

и в MS EXCEL его можно вычислить с помощью функции

КВПИРСОН()

или

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3)

R

₂

принимает значения от 0 до 1 (1 соответствует идеальной линейной зависимости Y от Х). Однако, на практике малые значения R2 вовсе не обязательно указывают, что переменную Х нельзя использовать для прогнозирования переменной Y. Малые значения R2 могут указывать на нелинейность связи или на то, что поведение переменной Y объясняется не только Х, но и другими факторами.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) показывает насколько велика ошибка предсказания значений переменной Y на основании значений Х. Отдельные значения Yi мы можем предсказывать лишь с точностью +/- несколько значений (обычно 2-3, в зависимости от формы распределения ошибки ε).

Теперь вспомним уравнение

линейной регрессионной модели

Y=a*X+β+ε. Ошибка ε имеет случайную природу, т.е. является случайной величиной и поэтому имеет свою функцию распределения со

средним значением

μ и

дисперсией

σ

²

.

Оценив значение

дисперсии

σ

²

и вычислив из нее квадратный корень – получим

Стандартную ошибку регрессии.

Чем точки наблюдений на диаграмме

рассеяния

ближе находятся к прямой линии, тем меньше

Стандартная ошибка.

Примечание

:

Вспомним

, что при построении модели предполагается, что

среднее значение

ошибки ε равно 0, т.е. E[ε]=0.

Оценим

дисперсию σ

²

. Помимо вычисления

Стандартной ошибки регрессии

эта оценка нам потребуется в дальнейшем еще и при построении

доверительных интервалов

для оценки параметров регрессии

a

и

b

.

Для оценки

дисперсии

ошибки ε используем

остатки регрессии

— разности между имеющимися значениями

yi

и значениями, предсказанными регрессионной моделью ŷ. Чем лучше регрессионная модель согласуется с данными (точки располагается близко к прямой линии), тем меньше величина остатков.

Для оценки

дисперсии σ

²

используют следующую формулу:

где SSE – сумма квадратов значений ошибок модели ε

_i

=yi — ŷi (

Sum of Squared Errors

).

SSE часто обозначают и как SSres – сумма квадратов остатков (

Sum

of

Squared

residuals

).

Оценка

дисперсии

s

²

также имеет общепринятое обозначение MSE (Mean Square of Errors), т.е. среднее квадратов

ошибок

или MSRES (Mean Square of Residuals), т.е. среднее квадратов

остатков

. Хотя правильнее говорить сумме квадратов остатков, т.к. ошибка чаще ассоциируется с ошибкой модели ε, которая является непрерывной случайной величиной. Но, здесь мы будем использовать термины SSE и MSE, предполагая, что речь идет об остатках.

Примечание

: Напомним, что когда

мы использовали МНК

для нахождения параметров модели, то критерием оптимизации была минимизация именно SSE (SSres). Это выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями yi и предсказанными моделью значениями ŷi, которые лежат на

линии регрессии.

Математическое ожидание

случайной величины MSE равно

дисперсии ошибки

ε, т.е.

σ

²

.

Чтобы понять почему SSE выбрана в качестве основы для оценки

дисперсии

ошибки ε, вспомним, что

σ

²

является также

дисперсией

случайной величины Y (относительно

среднего значения

μy, при заданном значении Хi). А т.к. оценкой μy является значение ŷi =

a

* Хi +

b

(значение

уравнения регрессии

при Х= Хi), то логично использовать именно SSE в качестве основы для оценки

дисперсии

σ

²

. Затем SSE усредняется на количество точек данных n за вычетом числа 2. Величина n-2 – это количество

степеней свободы

(

df

–

degrees

of

freedom

), т.е. число параметров системы, которые могут изменяться независимо (вспомним, что у нас в этом примере есть n независимых наблюдений переменной Y). В случае

простой линейной регрессии

число степеней свободы

равно n-2, т.к. при построении

линии регрессии

было оценено 2 параметра модели (на это было «потрачено» 2

степени свободы

).

Итак, как сказано было выше, квадратный корень из s

²

имеет специальное название

Стандартная ошибка регрессии

(

Standard Error of a regression

) и обозначается SEy. SEy показывает насколько велика ошибка предсказания. Отдельные значения Y мы можем предсказывать с точностью +/- несколько значений SEy (см.

этот раздел

). Если ошибки предсказания ε имеют

нормальное распределение

, то примерно 2/3 всех предсказанных значений будут на расстоянии не больше SEy от

линии регрессии

. SEy имеет размерность переменной Y и откладывается по вертикали. Часто на

диаграмме рассеяния

строят

границы предсказания

соответствующие +/- 2 SEy (т.е. 95% точек данных будут располагаться в пределах этих границ).

В MS EXCEL

стандартную ошибку

SEy можно вычислить непосредственно по формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

Стандартные ошибки и доверительные интервалы для наклона и сдвига

В разделе

Оценка неизвестных параметров линейной модели

мы получили точечные оценки наклона

а

и сдвига

b

. Так как эти оценки получены на основе случайных величин (значений переменных Х и Y), то эти оценки сами являются случайными величинами и соответственно имеют функцию распределения со

средним значением

и

дисперсией

. Но, чтобы перейти от

точечных оценок

к

интервальным

, необходимо вычислить соответствующие

стандартные ошибки

(т.е.

стандартные отклонения

).

Стандартная ошибка коэффициента регрессии

a

вычисляется на основании

стандартной ошибки регрессии

по следующей формуле:

где Sx – стандартное отклонение величины х, вычисляемое по формуле:

где Sey –

стандартная ошибка регрессии,

т.е. ошибка предсказания значения переменой Y

(

см. выше

).

В MS EXCEL

стандартную ошибку коэффициента регрессии

Se можно вычислить впрямую по вышеуказанной формуле:

=

КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C23:C83; ТЕНДЕНЦИЯ(C23:C83;B23:B83;B23:B83)) /( СЧЁТ(B23:B83) -2))/  СТАНДОТКЛОН.В(B23:B83) /КОРЕНЬ(СЧЁТ(B23:B83) -1)

или с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;1)

Формулы приведены в

файле примера на листе Линейный

в разделе

Регрессионная статистика

.

Примечание

: Подробнее о функции

ЛИНЕЙН()

см.

эту статью

.

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

коэффициента регрессии

его границы определяются следующим образом:

где  —

квантиль распределения Стьюдента

с n-2 степенями свободы. Величина

а

с «крышкой» является другим обозначением

наклона

а

.

Например для

уровня значимости

альфа=0,05, можно вычислить с помощью формулы

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;n-2)

Вышеуказанная формула следует из того факта, что если ошибки регрессии распределены нормально и независимо, то выборочное распределение случайной величины

является

t-распределением Стьюдента

с n-2 степенью свободы (то же справедливо и для наклона

b

).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

в MS EXCEL можно прочитать в этой статье

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В результате получим, что найденный

доверительный интервал

с вероятностью 95% (1-0,05) накроет истинное значение

коэффициента регрессии.

Здесь мы считаем, что

коэффициент регрессии

a

имеет

распределение Стьюдента

с n-2

степенями свободы

(n – количество наблюдений, т.е. пар Х и Y).

Примечание

: Подробнее о построении

доверительных интервалов

с использованием t-распределения см. статью про построение

доверительных интервалов

для среднего

.

Стандартная ошибка сдвига

b

вычисляется по следующей формуле:

В MS EXCEL

стандартную ошибку сдвига

Seb можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);2;2)

При построении

двухстороннего доверительного интервала

для

сдвига

его границы определяются аналогичным образом как для

наклона

:

b

+/- t*Seb.

Проверка значимости взаимосвязи переменных

Когда мы строим модель Y=αX+β+ε мы предполагаем, что между Y и X существует линейная взаимосвязь. Однако, как это иногда бывает в статистике, можно вычислять параметры связи даже тогда, когда в действительности она не существует, и обусловлена лишь случайностью.

Единственный вариант, когда Y не зависит X (в рамках модели Y=αX+β+ε), возможен, когда

коэффициент регрессии

a

равен 0.

Чтобы убедиться, что вычисленная нами оценка

наклона

прямой линии не обусловлена лишь случайностью (не случайно отлична от 0), используют

проверку гипотез

. В качестве

нулевой гипотезы

Н

₀

принимают, что связи нет, т.е. a=0. В качестве альтернативной гипотезы

Н

₁

принимают, что a <>0.

Ниже на рисунках показаны 2 ситуации, когда

нулевую гипотезу

Н

₀

не удается отвергнуть.

На левой картинке отсутствует любая зависимость между переменными, на правой – связь между ними нелинейная, но при этом

коэффициент линейной корреляции

равен 0.

Ниже — 2 ситуации, когда

нулевая гипотеза

Н

₀

отвергается.

На левой картинке очевидна линейная зависимость, на правой — зависимость нелинейная, но коэффициент корреляции не равен 0 (метод МНК вычисляет показатели наклона и сдвига просто на основании значений выборки).

Для проверки гипотезы нам потребуется:

• Установить

  уровень значимости

  , пусть альфа=0,05;

• Рассчитать с помощью функции
  
  ЛИНЕЙН()
  
  стандартное отклонение
  
  Se для
  
  коэффициента регрессии
  
  (см.

  предыдущий раздел

  );

• Рассчитать число степеней свободы: DF=n-2 или по формуле =
  
  ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C24:C84;B24:B84;;ИСТИНА);4;2)
  
• Вычислить значение тестовой статистики t
  
  ₀
  
  =a/S
  
  _e
  
  , которая имеет

  распределение Стьюдента

  с
  
  числом степеней свободы
  
  DF=n-2;

• Сравнить значение
  
  тестовой статистики
  
  |t0| с пороговым значением t
  
  _альфа
  
  ,n-2. Если значение
  
  тестовой статистики
  
  больше порогового значения, то
  
  нулевая гипотеза
  
  отвергается (
  
  наклон
  
  не может быть объяснен лишь случайностью при заданном уровне альфа) либо
• вычислить
  
  p-значение
  
  и сравнить его с
  
  уровнем значимости
  
  .

В

файле примера

приведен пример проверки гипотезы:

Изменяя

наклон

тренда k (ячейка

В8

) можно убедиться, что при малых углах тренда (например, 0,05) тест часто показывает, что связь между переменными случайна. При больших углах (k>1), тест практически всегда подтверждает значимость линейной связи между переменными.

Примечание

: Проверка значимости взаимосвязи эквивалентна

проверке статистической значимости коэффициента корреляции

. В

файле примера

показана эквивалентность обоих подходов. Также проверку значимости можно провести с помощью

процедуры F-тест

.

Доверительные интервалы для нового наблюдения Y и среднего значения

Вычислив параметры

простой линейной регрессионной модели

Y=aX+β+ε мы получили точечную оценку значения нового наблюдения Y при заданном значении Хi, а именно: Ŷ=

a

* Хi +

b

Ŷ также является точечной оценкой для

среднего значения

Yi при заданном Хi. Но, при построении

доверительных интервалов

используются различные

стандартные ошибки

.

Стандартная ошибка

нового наблюдения Y при заданном Хi учитывает 2 источника неопределенности:

• неопределенность связанную со случайностью оценок параметров модели
  
  a
  
  и
  
  b
  
  ;
• случайность ошибки модели ε.

Учет этих неопределенностей приводит к

стандартной ошибке

S(Y|Xi), которая рассчитывается с учетом известного значения Xi.

где SS

_xx

– сумма квадратов отклонений от

среднего

значений переменной Х:

Примечание

: Se –

стандартная ошибка коэффициента регрессии

(

наклона

а

).

В

MS EXCEL 2010

нет функции, которая бы рассчитывала эту

стандартную ошибку

, поэтому ее необходимо рассчитывать по вышеуказанным формулам.

Доверительный интервал

или

Интервал предсказания для нового наблюдения

(Prediction Interval for a New Observation) построим по схеме показанной в разделе

Проверка значимости взаимосвязи переменных

(см.

файл примера лист Интервалы

). Т.к. границы интервала зависят от значения Хi (точнее от расстояния Хi до среднего значения Х

_ср

), то интервал будет постепенно расширяться при удалении от Х

_ср

.

Границы

доверительного интервала

для

нового наблюдения

рассчитываются по формуле:

Аналогичным образом построим

доверительный интервал

для

среднего значения

Y при заданном Хi (Confidence Interval for the Mean of Y). В этом случае

доверительный интервал

будет уже, т.к.

средние значения

имеют меньшую изменчивость по сравнению с отдельными наблюдениями (

средние значения,

в рамках нашей линейной модели Y=aX+β+ε, не включают ошибку ε).

Стандартная ошибка

S(Yср|Xi) вычисляется по практически аналогичным формулам как и

стандартная ошибка

для нового наблюдения:

Как видно из формул,

стандартная ошибка

S(Yср|Xi) меньше

стандартной ошибки

S(Y|Xi) для индивидуального значения

.

Границы

доверительного интервала

для

среднего значения

рассчитываются по формуле:

Проверка адекватности линейной регрессионной модели

Модель адекватна, когда все предположения, лежащие в ее основе, выполнены (см. раздел

Предположения линейной регрессионной модели

).

Проверка адекватности модели в основном основана на исследовании остатков модели (model residuals), т.е. значений ei=yi – ŷi для каждого Хi. В рамках

простой линейной модели

n остатков имеют только n-2 связанных с ними

степеней свободы

. Следовательно, хотя, остатки не являются независимыми величинами, но при достаточно большом n это не оказывает какого-либо влияния на проверку адекватности модели.

Чтобы проверить предположение о

нормальности распределения

ошибок строят

график проверки на нормальность

(Normal probability Plot).

В

файле примера на листе Адекватность

построен

график проверки на нормальность

. В случае

нормального распределения

значения остатков должны быть близки к прямой линии.

Так как значения переменной Y мы

генерировали с помощью тренда

, вокруг которого значения имели нормальный разброс, то ожидать сюрпризов не приходится – значения остатков располагаются вблизи прямой.

Также при проверке модели на адекватность часто строят график зависимости остатков от предсказанных значений Y. Если точки не демонстрируют характерных, так называемых «паттернов» (шаблонов) типа вор

о

нок или другого неравномерного распределения, в зависимости от значений Y, то у нас нет очевидных доказательств неадекватности модели.

В нашем случае точки располагаются примерно равномерно.

Часто при проверке адекватности модели вместо остатков используют нормированные остатки. Как показано в разделе

Стандартная ошибка регрессии

оценкой

стандартного отклонения ошибок

является величина SEy равная квадратному корню из величины MSE. Поэтому логично нормирование остатков проводить именно на эту величину.

SEy можно вычислить с помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C23:C83;B23:B83;;ИСТИНА);3;2)

Иногда нормирование остатков производится на величину

стандартного отклонения

остатков (это мы увидим в статье об инструменте

Регрессия

, доступного в

надстройке MS EXCEL Пакет анализа

), т.е. по формуле:

Вышеуказанное равенство приблизительное, т.к. среднее значение остатков близко, но не обязательно точно равно 0.

This article is to tell you the whole interpretation of the regression summary table. There are many statistical softwares that are used for regression analysis like Matlab, Minitab, spss, R etc. but this article uses python. The Interpretation is the same for other tools as well. This article needs the basics of statistics including basic knowledge of regression, degrees of freedom, standard deviation, Residual Sum Of Squares(RSS), ESS, t statistics etc. 

In regression there are two types of variables i.e. dependent variable (also called explained variable) and independent variable (explanatory variable). 

The regression line used here is,

The summary table of the regression is given below.

                                    OLS Regression Results                            
        ==============================================================================
        Dep. Variable:                      y   R-squared:                       0.669
        Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.667
        Method:                 Least Squares   F-statistic:                     299.2
        Date:                Mon, 01 Mar 2021   Prob (F-statistic):           2.33e-37
        Time:                        16:19:34   Log-Likelihood:                -88.686
        No. Observations:                 150   AIC:                             181.4
        Df Residuals:                     148   BIC:                             187.4
        Df Model:                           1                                         
        Covariance Type:            nonrobust                                         
        ==============================================================================
                         coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
        ------------------------------------------------------------------------------
        const         -3.2002      0.257    -12.458      0.000      -3.708      -2.693
        x1             0.7529      0.044     17.296      0.000       0.667       0.839
        ==============================================================================
        Omnibus:                        3.538   Durbin-Watson:                   1.279
        Prob(Omnibus):                  0.171   Jarque-Bera (JB):                3.589
        Skew:                           0.357   Prob(JB):                        0.166
        Kurtosis:                       2.744   Cond. No.                         43.4
        ==============================================================================

Dependent variable: Dependent variable is one that is going to depend on other variables. In this regression analysis Y is our dependent variable because we want to analyse the effect of X on Y.

Model: The method of Ordinary Least Squares(OLS) is most widely used model due to its efficiency. This model gives best approximate of true population regression line. The principle of OLS is to minimize the square of errors ( ∑e_i² ).

Number of observations: The number of observation is the size of our sample, i.e. N = 150.

Degree of freedom(df) of residuals: 

Degree of freedom is the number of independent observations on the basis of which the sum of squares is calculated.

D.f Residuals = 150 – (1+1) = 148

Degree of freedom(D.f) is calculated as,      

 Degrees of freedom,  D . f  = N – K

Where, N = sample size(no. of observations) and  K = number of variables + 1

Df of model: 

Df of model = K – 1 = 2 – 1 = 1 ,

Where, K = number of variables + 1

Constant term: The constant terms is the intercept of the regression line. From regression line (eq…1) the intercept is -3.002. In regression we omits some independent variables that do not have much impact on the dependent variable, the intercept tells the average value of these omitted variables and noise present in model.

Coefficient term: The coefficient term tells the change in Y for a unit change in X  i.e if X rises by 1 unit then Y rises by 0.7529. If you are familiar with derivatives then you can relate it as the rate of change of Y with respect to X .

Standard error of parameters: Standard error is also called the standard deviation. Standard error shows the sampling variability of these parameters. Standard error is calculated by as – 
 

Standard error of intercept term (b1): 

Standard error of coefficient term(b2): 

Here,  σ² is the Standard error of regression (SER) .  And σ² is equal to RSS( Residual Sum Of Square i.e ∑e_i² ).

t – statistics: 

In theory, we assume that error term follows the normal distribution and because of this the parameters b₁  and  b₂ also have normal distributions with variance calculated in above section.

 That is , 

• b₁  ∼ N(B₁, σ_b1²)
• b₂   ∼ N(B_{2 ,} σ_b2²)

Here B₁ and B₂  are true means of b1 and  b2.

t – statistics are calculated by assuming  following hypothesis – 

• H₀  : B₂  = 0       ( variable X has no influence on Y)
• H_a  : B₂  ≠ 0      (X has significant impact on Y)

Calculations for t – statistics :          

                     t = ( b₁ – B₁ ) / s.e (b₁)

 From summary table , b₁ = -3.2002 and se(b₁) = 0.257, So,

                   t = (-3.2002 – 0) / 0.257  = -12.458

Similarly,  b₂ = 0.7529 , se(b₂) = 0.044

                   t = (0.7529 – 0) / 0.044  = 17.296

p – values: 

In theory, we read that p-value is the probability of obtaining the t statistics at least as contradictory to H₀  as calculated from assuming that the null hypothesis is true. In the summary table, we can see that P-value for both parameters is equal to 0. This is not exactly 0, but since we have very larger statistics (-12.458 and 17.296) p-value will be approximately 0.

If you know about significance levels then you can see that we can reject the null hypothesis at almost every significance level.

Confidence intervals:

There are many approaches to test the hypothesis, including the p-value approach mentioned above. The confidence interval approach is one of them. 5% is the standard significance level (∝) at which C.I’s are made. 

C.I for B₁ is ( b₁ – t_∝/2 s.e(b₁) , b₁ + t_∝/2 s.e(b₁) )

Since ∝ = 5 %, b₁ = -3.2002, s.e(b₁) =0.257 , from t table , t_0.025,148 = 1.655,

After putting values the C.I for B₁ is approx. ( -3.708 , -2.693 ). Same can be done for b₂ as well.

While calculating p values we rejected the null hypothesis we can see same in C.I as well. Since 0 does not lie in any of the intervals so we will reject the null hypothesis. 

 R – squared value: 

R² is the coefficient of determination that tells us that how much percentage variation independent variable can be explained by independent variable. Here, 66.9 % variation in Y can be explained by X. The maximum possible value of R²  can be 1, means the larger the R²  value better the regression.

F – statistic: 

F test tells the goodness of fit of a regression. The test is similar to the t-test or other tests we do for the hypothesis. The F – statistic is calculated as below –                    

Inserting the values of R², n and k, F = (0.669/1) / (0.331/148) = 229.12.

You can calculate the probability of F >229.1 for 1 and 148 df, which comes to approx. 0. From this, we again reject the null hypothesis stated above. 

The remaining terms are not often used. Terms like Skewness and Kurtosis tells about the distribution of data. Skewness and kurtosis for the normal distribution are 0 and 3 respectively. Jarque-Bera test is used for checking whether an error has normal distribution or not.  

This article is to tell you the whole interpretation of the regression summary table. There are many statistical softwares that are used for regression analysis like Matlab, Minitab, spss, R etc. but this article uses python. The Interpretation is the same for other tools as well. This article needs the basics of statistics including basic knowledge of regression, degrees of freedom, standard deviation, Residual Sum Of Squares(RSS), ESS, t statistics etc. 

In regression there are two types of variables i.e. dependent variable (also called explained variable) and independent variable (explanatory variable). 

The regression line used here is,

The summary table of the regression is given below.

                                    OLS Regression Results                            
        ==============================================================================
        Dep. Variable:                      y   R-squared:                       0.669
        Model:                            OLS   Adj. R-squared:                  0.667
        Method:                 Least Squares   F-statistic:                     299.2
        Date:                Mon, 01 Mar 2021   Prob (F-statistic):           2.33e-37
        Time:                        16:19:34   Log-Likelihood:                -88.686
        No. Observations:                 150   AIC:                             181.4
        Df Residuals:                     148   BIC:                             187.4
        Df Model:                           1                                         
        Covariance Type:            nonrobust                                         
        ==============================================================================
                         coef    std err          t      P>|t|      [0.025      0.975]
        ------------------------------------------------------------------------------
        const         -3.2002      0.257    -12.458      0.000      -3.708      -2.693
        x1             0.7529      0.044     17.296      0.000       0.667       0.839
        ==============================================================================
        Omnibus:                        3.538   Durbin-Watson:                   1.279
        Prob(Omnibus):                  0.171   Jarque-Bera (JB):                3.589
        Skew:                           0.357   Prob(JB):                        0.166
        Kurtosis:                       2.744   Cond. No.                         43.4
        ==============================================================================

Dependent variable: Dependent variable is one that is going to depend on other variables. In this regression analysis Y is our dependent variable because we want to analyse the effect of X on Y.

Model: The method of Ordinary Least Squares(OLS) is most widely used model due to its efficiency. This model gives best approximate of true population regression line. The principle of OLS is to minimize the square of errors ( ∑e_i² ).

Number of observations: The number of observation is the size of our sample, i.e. N = 150.

Degree of freedom(df) of residuals: 

Degree of freedom is the number of independent observations on the basis of which the sum of squares is calculated.

D.f Residuals = 150 – (1+1) = 148

Degree of freedom(D.f) is calculated as,      

 Degrees of freedom,  D . f  = N – K

Where, N = sample size(no. of observations) and  K = number of variables + 1

Df of model: 

Df of model = K – 1 = 2 – 1 = 1 ,

Where, K = number of variables + 1

Constant term: The constant terms is the intercept of the regression line. From regression line (eq…1) the intercept is -3.002. In regression we omits some independent variables that do not have much impact on the dependent variable, the intercept tells the average value of these omitted variables and noise present in model.

Coefficient term: The coefficient term tells the change in Y for a unit change in X  i.e if X rises by 1 unit then Y rises by 0.7529. If you are familiar with derivatives then you can relate it as the rate of change of Y with respect to X .

Standard error of parameters: Standard error is also called the standard deviation. Standard error shows the sampling variability of these parameters. Standard error is calculated by as – 
 

Standard error of intercept term (b1): 

Standard error of coefficient term(b2): 

Here,  σ² is the Standard error of regression (SER) .  And σ² is equal to RSS( Residual Sum Of Square i.e ∑e_i² ).

t – statistics: 

In theory, we assume that error term follows the normal distribution and because of this the parameters b₁  and  b₂ also have normal distributions with variance calculated in above section.

 That is , 

• b₁  ∼ N(B₁, σ_b1²)
• b₂   ∼ N(B_{2 ,} σ_b2²)

Here B₁ and B₂  are true means of b1 and  b2.

t – statistics are calculated by assuming  following hypothesis – 

• H₀  : B₂  = 0       ( variable X has no influence on Y)
• H_a  : B₂  ≠ 0      (X has significant impact on Y)

Calculations for t – statistics :          

                     t = ( b₁ – B₁ ) / s.e (b₁)

 From summary table , b₁ = -3.2002 and se(b₁) = 0.257, So,

                   t = (-3.2002 – 0) / 0.257  = -12.458

Similarly,  b₂ = 0.7529 , se(b₂) = 0.044

                   t = (0.7529 – 0) / 0.044  = 17.296

p – values: 

In theory, we read that p-value is the probability of obtaining the t statistics at least as contradictory to H₀  as calculated from assuming that the null hypothesis is true. In the summary table, we can see that P-value for both parameters is equal to 0. This is not exactly 0, but since we have very larger statistics (-12.458 and 17.296) p-value will be approximately 0.

If you know about significance levels then you can see that we can reject the null hypothesis at almost every significance level.

Confidence intervals:

There are many approaches to test the hypothesis, including the p-value approach mentioned above. The confidence interval approach is one of them. 5% is the standard significance level (∝) at which C.I’s are made. 

C.I for B₁ is ( b₁ – t_∝/2 s.e(b₁) , b₁ + t_∝/2 s.e(b₁) )

Since ∝ = 5 %, b₁ = -3.2002, s.e(b₁) =0.257 , from t table , t_0.025,148 = 1.655,

After putting values the C.I for B₁ is approx. ( -3.708 , -2.693 ). Same can be done for b₂ as well.

While calculating p values we rejected the null hypothesis we can see same in C.I as well. Since 0 does not lie in any of the intervals so we will reject the null hypothesis. 

 R – squared value: 

R² is the coefficient of determination that tells us that how much percentage variation independent variable can be explained by independent variable. Here, 66.9 % variation in Y can be explained by X. The maximum possible value of R²  can be 1, means the larger the R²  value better the regression.

F – statistic: 

F test tells the goodness of fit of a regression. The test is similar to the t-test or other tests we do for the hypothesis. The F – statistic is calculated as below –                    

Inserting the values of R², n and k, F = (0.669/1) / (0.331/148) = 229.12.

You can calculate the probability of F >229.1 for 1 and 148 df, which comes to approx. 0. From this, we again reject the null hypothesis stated above. 

The remaining terms are not often used. Terms like Skewness and Kurtosis tells about the distribution of data. Skewness and kurtosis for the normal distribution are 0 and 3 respectively. Jarque-Bera test is used for checking whether an error has normal distribution or not.