К ошибкам эксперимента относятся случайные ошибки

Случайные, систематические и грубые ошибки

Под
случайными
понимают ошибки, значения которых
меняются от одного измерения к другому.
Они являются следствием случайных
ошибок контрольно – измерительных
приборов, случайных ошибок экспериментатора,
неточных соблюдений методики измерения,
непостоянством самой контролируемой
величины. Для количественной оценки
случайных ошибок применяют математический
аппарат теории вероятностей и
математической статистики.

Наиболее
полно случайные ошибки могут быть
оценены функцией их распределения,
получаемой многократными наблюдениями
с последующей статистической обработкой
полученных экспериментальных данных.

Отличие
систематических
ошибок от
случайных состоит в том, что их значение
остается постоянным при проведении
серии однотипных измерений; причины их
возникновения известны, следовательно,
они могут быть исключены из окончательного
результата, если их величина предварительно
определена. К систематическим ошибкам
можно отнести ошибки эталонов, по которым
проградуированы контрольно – измерительные
приборы, систематические ошибки,
связанные с принятой методикой измерения
(например, ошибки, возникшие вследствие
неучета температурных поправок,
применения приближенных формул расчета
и т.д.), “личные ошибки” экспериментатора,
т.е. присущие данному лицу и др. Различают
также постоянные (неизменные во времени)
и прогрессирующие (возрастающие или
убывающие во времени) систематические
ошибки.

Грубые
ошибки (промахи) являются результатом
нарушения условия и процесса измерений.
Их характерным признаком является
резкое отличие от результатов
предшествующих измерений. Повторение
эксперимента (если это возможно) является
наиболее надежным, достоверным и
эффективным способом обнаружения грубых
ошибок.

Современные
математические методы обработки
результатов эксперимента базируется
на вероятностном подходе и предполагают,
что ошибки измерения являются случайными.
При этом предполагается, что к началу
этой обработки все грубые и систематические
ошибки выявлены и устранены.

Рассмотрим
практические методы исключения грубых
ошибок, если их не удалось исключить в
процессе проведения экспериментов.

Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента

1. Критерий
Романовского.

Имеется
упорядоченный статистический ряд
измеренных значений случайной величины
x:
x₁,
x₂,
…, x_i,
…, x_n.

Здесь:
х₁
или х_n
– значения, которые вызывают сомнения
(резко отличаются от остальных значений);

n
– объем выборки.

Сущность критерия:

а)
вычисляется

,

где

— резко выделяющее значение, в качестве
которого взято значение

или

;

и

— выборочные значения математического
ожидания и среднего квадратического
отклонения, вычисленные без значения

(при объеме выборки n-1);

б)
определяется

из табл. 1.

Таблица1

Табличные значения критерия Романовского

в)
сравнивается t_расч.
и t_табл.

Если
t_расч.
> t_табл.,
то с вероятностью P=1-
значение x₁
или x_n
статистического ряда не принадлежит к
рассматриваемой совокупности СВ X.

Пример.
При изучении
технологического процесса изготовления
электронного средства при n-1
независимых равноточных измерениях
некоторой физической величины было
получено среднее значение, равное m
= 8.6 и среднее
квадратическое значение S
= 0.121. Известно
также, что n
измерение дало результат x^*
= 8.923. Необходимо
выяснить с вероятностью P
= 0.98, является
ли этот результат грубой ошибкой, если
n=61.

Решение.
Вычислим

.

Из
табл.1 t_табл.
(
= 0.02;60) 
2.4.
Поскольку
2.67>2.4,
то этот означает, что измерение x^*
= 8.923 содержит
грубую ошибку с вероятностью 0.98.

Вопрос
решался бы иначе, если бы, например,
число приемлемых измерений в результате
эксперимента равнялось 10.
В этом случае по табл.1 имеем t_табл.
(
= 0.02;10)
= 3.0. Поскольку
2.67 < 3.0, то
исключать x^*
= 8.923 не
следует.

2.
Критерий Ирвина.
Сущность
критерия:

а) вычисляется _расч.
по упорядоченному статистическому ряду
по формуле:

— если вызывает сомнение значение x_n
или

— если вызывает сомнение значение x₁
;
б) определяется

из табл.2.

Таблица 2.

в)
сравнивается _расч.
и _табл.

Если
_расч.
> _табл.,
то с вероятностью P
= 1-
значение x₁
или x_n
относится к резко выделяющемуся значению,
и оно исключается при статистической
обработке результатов эксперимента.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что
такое генеральная совокупность и выборка
изделий ?

2. Какие
оценки называются состоятельными,
несмещенными и эффективными ?

3. Как
строится гистограмма ?

4. Назовите
характеристики положения и рассеяния
случайных величин.

5. В
чем заключается сущность проверки
гипотезы о равенстве средних с по­мощью
критерия Стьюдента ?

6. Сущность
критерия Колмогорова.

7.
Сущность критерия Пирсона.

8.
Понятия случайных, систематических и
грубых ошибок.

9.
Критерий Романовского.

10.
Критерий Ирвина.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Изучение всех влияющих на исследуемый объект факторов одновременно
провести невозможно, поэтому в эксперименте рассматривается их ограниченное
число. Остальные активные факторы стабилизируются, т.е. устанавливаются на
каких-то одинаковых для всех опытов уровнях.

Некоторые факторы не могут быть обеспечены системами стабилизации
(например, погодные условия, самочувствие оператора и т.д.), другие же
стабилизируются с какой-то погрешностью (например, содержание какого-либо
компонента в среде зависит от ошибки при взятии навески и приготовления
раствора). Учитывая также, что измерение параметра у осуществляется
прибором, обладающим какой-то погрешностью, зависящей от класса точности
прибора, можно прийти к выводу, что результаты повторностей одного и того же
опыта у_к будут приближенными и должны
отличаться один от другого и от истинного значения выхода процесса.
Неконтролируемое, случайное изменение и множества других влияющих на процесс
факторов вызывает случайные отклонения измеряемой величины у_к
от ее истинного значения – ошибку опыта.

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие
ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (или
параллельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что
всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и нужно
оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в
одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех
результатов. Среднее арифметическое у равно сумме всех n отдельных результатов, деленной на
количество параллельных опытов n:

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического
можно представить как разность y₂–
, где y₂ – результат отдельного
опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений
повторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют
дисперсию.

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений
величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначается s² и
выражается формулой:

где (n-1)
– число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица. Одна степень
свободы использована для вычисления среднего.

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком,
называется средним квадратическим отклонением, стандартом или квадратичной
ошибкой:

Ошибка опыта является суммарной величиной, результатом многих
ошибок: ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др.
Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие.

Все ошибки принято разделять на два класса: систематические и
случайные (рисунок 1).

Систематические ошибки порождаются причинами, действующими
регулярно, в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изучить и
определить количественно. Систематическая ошибка – это ошибка,
которая остаётся постоянно или закономерно изменяется при повторных измерениях
одной и той же величины. Эти ошибки появляются вследствие неисправности
приборов, неточности метода измерения, какого либо упущения экспериментатора,
либо использования для вычисления неточных данных. Обнаружить систематические
ошибки, а также устранить их во многих случаях нелегко. Требуется тщательный
разбор методов анализа, строгая проверка всех измерительных приборов и
безусловное выполнение выработанных практикой правил экспериментальных работ.
Если систематические ошибки вызваны известными причинами, то их можно
определить. Подобные погрешности можно устранить введением поправок.

Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и
сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями (например, при
градуировке термопары по реперным точкам, при сравнении с эталонным прибором).
Если систематические ошибки вызываются внешними условиями (переменной
температуры, сырья и т.д.), следует компенсировать их влияние.

Случайными ошибками называются
те, которые появляются нерегулярно, причины, возникновения которых неизвестны и
которые невозможно учесть заранее. Случайные ошибки вызываются и объективными
причинами и субъективными. Например, несовершенством приборов, их освещением,
расположением, изменением температуры в процессе измерений, загрязнением
реактивов, изменением электрического тока в цепи. Когда случайная ошибка больше
величины погрешности прибора, необходимо многократно повторить одно и тоже
измерение. Это позволяет сделать случайную ошибку сравнимой с погрешностью
вносимой прибором. Если же она меньше погрешности прибора, то уменьшать её нет
смысла. Такие ошибки имеют значение, которое отличается в отдельных измерениях.
Т.е. их значения могут быть неодинаковыми для измерений сделанных даже в
одинаковых условиях. Поскольку причины, приводящие к случайным ошибкам
неодинаковы в каждом эксперименте, и не могут быть учтены, поэтому исключить
случайные ошибки нельзя, можно лишь оценить их значения. При многократном
определении какого-либо показателя могут встречаться результаты, которые
значительно отличаются от других результатов той же серии. Они могут быть
следствием грубой ошибки, которая вызвана невнимательностью экспериментатора.

Систематические и случайные ошибки состоят из множества
элементарных ошибок. Для того чтобы исключать инструментальные ошибки, следует
проверять приборы перед опытом, иногда в течение опыта и обязательно после опыта.
Ошибки при проведении самого опыта возникают вследствие неравномерного нагрева
реакционной среды, разного способа перемешивания и т.п.

При повторении опытов такие ошибки могут вызвать большой разброс
экспериментальных результатов.

Очень важно исключить из экспериментальных данных грубые ошибки,
так называемый брак при повторных опытах. Грубые ошибки легко
обнаружить. Для выявления ошибок необходимо произвести измерения в других
условиях или повторить измерения через некоторое время. Для предотвращения
грубых ошибок нужно соблюдать аккуратность в записях, тщательность в работе и
записи результатов эксперимента. Грубая ошибка должна быть исключена из
экспериментальных данных. Для отброса ошибочных данных существуют определённые
правила.

Например, используют критерий Стьюдента t (Р;
f):
Опыт считается бракованным, если экспериментальное значение критерия t по
модулю больше табличного значения t (Р; f).

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка
дисперсии S²(y_k)
с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки
рассчитываются с помощью критерий Стьюдента t (Р;
f):

ε()
= t (Р; f)* S(y_k)/= t (Р; f)* S()

ε(y_k) = t (Р; f)* S(y_k)

Глава 1  Основные понятия статистики

Данная глава посвящена изложению основных понятий статистики эксперимента. Она может использоваться в качестве источника справочной информации.

1.1. Случайные ошибки результатов эксперимента

Говорят, что опыт эксперимента поставлен, когда необходимая аппаратура для его проведения была соответствующим образом настроена и функционировала при некотором заданном наборе определённых условий. Например, в химическом эксперименте опыт может быть проведён путём соединения в реакторе в определённых количествах химических реагентов, установки температуры и давления при определённых значениях и, позволив протекать реакции заданное время. В инженерной технологии опытом может быть обработка детали на станке при определённых технологических условиях. В психологическом эксперименте опыт может состоять в создании человеку некоторой управляемой стрессовой ситуации.

Вам также может быть полезна лекция «Лекция 2».

Результаты или данные эксперимента представляют собой результаты его опытов и обычно выражаются в виде чисел. Выполненные при одних и тех же условиях десять следующих один за другим опытов могут дать следующие результаты:

66,7     64,3     67,1     66,1     65,5     69,1     67,2     68,1     65,7     66,4

В химическом эксперименте данными могут быть процентный выход определённого вещества. В технологическом эксперименте данными могут быть значения шероховатости поверхности деталей при их обработке на станке, а в психологическом эксперименте данными могут быть периоды времени, затрачиваемые на выполнение определённого задания десятью подверженными стрессу персонами.

Однако, несмотря на то, что опыты эксперимента выполняются повторно при одних и тех же, как это только возможно сделать, условиях — результаты их выполнения всегда получаются разными. Происходящие при повторении опытов случайные изменения их результатов называются шумом, вариациями результатов эксперимента, ошибками эксперимента или просто ошибками. В этом случае ошибка используется в формальном и эмоционально нейтральном смысле. Она является выражением неустранимой в природе вариации. Такая статистическая ошибка не связана с порицанием, неодобрением или осуждением.

В дополнение к ошибкам измерения, округления и выборки ещё многие другие источники ошибок вносят вклад в вариацию результатов опытов эксперимента. Например, температура окружающей среды, мастерство или внимательность персонала, старение и чистота реагентов, эффективность или условия эксперимента – всё это может внести свои ошибки. Естественную вариацию результатов повторяемых опытов необходимо отличать от недоразумений или заблуждений, таких как неправильная постановка десятичной запятой во время записи результата или использование неправильного химического реагента.

Существенным недостатком многих экспериментаторов является отсутствие у них необходимых знаний, чтобы иметь дело с ситуациями, в которых нельзя безнаказанно игнорировать вариации результатов опытов эксперимента. Осведомлённость о возможных эффектах вариации результатов существенна не только при анализе данных, но является важной и при планировании получения данных, то есть при планировании экспериментов. Поэтому, элементарное понимание вариации результатов опытов и связанных с этим понятий теории вероятностей очень важно, чтобы иметь солидную базу, на которой строить практические приёмы планирования и анализа экспериментов.