Формула средней ошибки выборки при случайном повторном отборе

При
выборочном наблюдении должна быть
обеспечена слу­чайность
отбора
единиц. Каждая единица должна иметь
равную с другими возможность быть
отобранной. Именно на этом ос­новывается
собственно-случайная выборка.

К
собственно-случайной
выборке
относится
отбор единиц из всей генеральной
совокупности (без предварительного
рас­членения ее на какие-либо группы)
посредством жеребьевки (преимущественно)
или какого-либо иного подобного спосо­ба,
например, с помощью таблицы случайных
чисел. Случай­ный
отбор — это
отбор не беспорядочный. Принцип
случай­ности предполагает, что на
включение или исключение объ­екта из
выборки не может повлиять какой-либо
фактор, кро­ме случая. Примером
собственно-случайного
отбора
могут служить тиражи выигрышей: из
общего количества выпущен­ных билетов
наугад отбирается определенная часть
номеров, на которые приходятся выигрыши.
Причем всем номерам обеспечивается
равная возможность попадания в выборку.
При этом количество отобранных в
выборочную совокупность единиц обычно
определяется исходя из принятой доли
выборки.

Доля,
выборки
есть
отношение числа единиц выборочной
со­вокупности к числу единиц генеральной
совокупности:

Так,
при 5%-ной выборке из партии деталей в
1000 ед. объ­ем выборки п
составляет
50 ед., а при 10%-ной выборке -100 ед. и т.д.
При правильной научной организации
выборки ошибки репрезентативности
можно свести к минимальном значениям,
в результате — выборочное наблюдение
становится достаточно точным.

Собственно-случайный
отбор «в чистом виде» применяет­ся в
практике выборочного наблюдения редко,
но он является исходным среди всех
других видов отбора, в нем заключаются
и реализуются основные принципы
выборочного наблюдения.

Рассмотрим некоторые
вопросы теории выборочного метода и
формулы ошибок для простой случайной
выборки.

Применяя
выборочный метод в статистике, обычно
используют два основных вида обобщающих
показателей: среднюю
величину ко­личественного признака
и
относительную
величину альтернативного признака
(долю
или удельный вес единиц в статистической
сово­купности, которые отличаются от
всех других единиц этой сово­купности
только наличием изучаемого признака).

Выборочная
доля
(w),
или
частость, определяется отношением числа
единиц, обладающих изучаемым признаком
т,
к
общему числу единиц выборочной
совокупности п:

w
= т/п.

Например,
если из 100 деталей выборки (и = 100), 95
деталей оказались стандартными (т
=95),
то выборочная доля

w
=
95 / 100 = 0,95 .

Для
характеристики надежности выборочных
показателей различают среднюю
и
предельную
ошибки выборки.

Ошибка
выборки


или,
иначе говоря, ошибка репрезента­тивности
представляет собой разность соответствующих
выбо­рочных и генеральных характеристик:

• для
средней количественного признака

(1)

• для
доли (альтернативного признака)

(2)

Ошибка выборки
свойственна только выборочным
наблюде­ниям. Чем больше значение
этой ошибки, тем в большей степе­ни
выборочные показатели отличаются от
соответствующих ге­неральных
показателей.

Выборочная
средняя и выборочная доля по своей сути
яв­ляются случайными
величинами, которые
могут принимать раз­личные значения
в зависимости от того, какие единицы
сово­купности попали в выборку.
Следовательно, ошибки выборки также
являются случайными величинами и могут
принимать различные значения. Поэтому
определяют среднюю из возмож­ных
ошибок — среднюю ошибку выборки.

От
чего зависит средняя
ошибка выборки! При
соблюдении принципа случайного отбора
средняя ошибка выборки определяется,
прежде всего объемом
выборки: чем
больше численность при прочих равных
условиях, тем меньше величина средней
ошибки выборки. Охватывая выборочным
обследованием все большее количество
единиц генеральной совокупности, всё
более точно характеризуем всю генеральную
совокупность.

Средняя
ошибка выборки также зависит от степени
варьи­рования изучаемого
признака. Степень варьирования, как
из­вестно, характеризуется дисперсией

или
w(1
—w)
—
для альтернативного признака. Чем меньше
вариация признака, а следовательно, и
дисперсия, тем меньше средняя ошибка
вы­борки, и наоборот. При нулевой
дисперсии (признак не варь­ирует)
средняя ошибка выборки равна нулю, т.
е. любая еди­ница генеральной
совокупности будет совершенно точно
ха­рактеризовать всю совокупность
по этому признаку.

Зависимость
средней ошибки выборки от ее объема и
степе­ни варьирования признака
отражена в формулах, с помощью которых
можно рассчитать среднюю ошибку выборки
в услови­ях выборочного наблюдения,
когда генеральные характеристики (х,р)
неизвестны,
и следовательно, не представляется
возмож­ным нахождение реальной ошибки
выборки непосредственно по формулам
(1), (2).

При
случайном повторном отборе средние
ошибки теоретически рассчитывают по
следующим формулам:

• для
средней количественного признака

(3)

• для
доли (альтернативного признака)

(4)

Поскольку
практически дисперсия признака в
генеральной совокупности

точно неизвестна, на практике пользуются

значением
дисперсии S²
, рассчитанным
для выборочной сово­купности на
основании закона больших чисел, согласно
кото­рому выборочная совокупность
при достаточно большом объеме выборки
достаточно точно воспроизводит
характеристики гене­ральной
совокупности.

Таким
образом, расчетные формулы средней
ошиб­ки выборки
при
случайном повторном отборе будут
следующие:

• для
средней количественного признака

(5)

• для
доли (альтернативного признака)

(6)

Однако
дисперсия выборочной совокупности не
равна диспер­сии генеральной
совокупности, и следовательно, средние
ошибки выборки, рассчитанные по формулам
(5) и (6), будут прибли­женными. Но в
теории вероятностей доказано, что
генеральная дисперсия выражается через
выборочную следующим соотношением:

(7)

Так
как п
/
(n
-1)
при достаточно больших п
— величина,
близкая к единице, то можно принять, что

=S²,
а следова­тельно,
в практических расчетах средних ошибок
выборки мож­но использовать формулы
(5) и (6). И только в случаях ма­лой выборки
(когда объем выборки не превышает 30)
необхо­димо учитывать коэффициент
п/(п-1)
и
исчислять среднюю
ошибку малой выборки по
формуле:

(8)

При
случайном бесповторном отборе
в
приведенные выше формулы расчета средних
ошибок выборки необходимо подко­ренное
выражение умножить на 1-(п/N),
поскольку
в процес­се бесповторной выборки
сокращается численность единиц
ге­неральной совокупности. Следовательно,
для бесповторной вы­борки расчетные
формулы средней
ошибки выборки
примут
такой вид:

• для
средней количественного признака

(9)

• для
доли (альтернативного признака)

(10)

Так
как п
всегда
меньше N,
то
дополнительный множи­тель 1 — (n
/ N)
всегда
будет меньше единицы. Отсюда следу­ет,
что средняя ошибка при бесповторном
отборе всегда будет меньше, чем при
повторном. В то же время при сравнительно
небольшом проценте выборки этот множитель
близок к еди­нице (например, при 5%-ной
выборке он равен 0,95; при 2%-ной — 0,98 и
т.д.). Поэтому иногда на практике пользуются
для определения средней ошибки выборки
формулами (5) и (6) без указанного множителя,
хотя выборку и организуют как бесповторную.
Это имеет место в тех случаях, когда
число единиц генеральной совокупности
N
неизвестно
или безгра­нично, или когда п
очень
мало по сравнению с N,
и
по су­ществу, введение дополнительного
множителя, близкого по значению к
единице, практически не повлияет на
значение средней ошибки выборки.

Механическая
выборка
состоит
в том, что отбор единиц в выборочную
совокупность из генеральной, разбитой
по ней­тральному признаку на равные
интервалы (группы), произво­дится
таким образом, что из каждой такой группы
в выборку отбирается лишь одна единица.
Чтобы избежать систематиче­ской
ошибки, отбираться должна единица,
которая находится в середине каждой
группы.

При организации
механического отбора единицы совокуп­ности
предварительно располагают (обычно в
списке) в опре­деленном порядке
(например, по алфавиту, местоположению,
в порядке возрастания или убывания
значений какого-либо по­казателя, не
связанного с изучаемым свойством, и
т.д.), после чего отбирают заданное число
единиц механически, через оп­ределенный
итервал. При этом размер интервала в
генеральной совокупности равен обратному
значению доли выборки. Так, при 2%-ной
выборке отбирается и проверяется каждая
50-я единица (1 : 0,02), при 5 %-ной выборке —
каждая 20-я едини­ца (1 : 0,05), например,
сходящая со станка деталь.

При
достаточно большой совокупности
механический отбор по точности результатов
близок к собственно-случайному. По­этому
для определения средней ошибки
механической выборки используют формулы
собственно-случайной бесповторной
вы­борки (9), (10).

Для
отбора единиц из неоднородной совокупности
применя­ется, так называемая типическая
выборка, которая
используется в тех случаях, когда все
единицы генеральной совокупности можно
разбить на несколько качественно
однородных, однотипных групп по признакам,
влияющим на изучаемые показатели.

При обследовании
предприятий такими группами могут быть,
например, отрасль и подотрасль, формы
собственности. Затем из каждой типической
группы собственно-случайной или
механической выборкой производится
индивидуальный отбор единиц в выборочную
совокупность.

Типическая выборка
обычно применяется при изучении слож­ных
статистических совокупностей. Например,
при выборочном обследовании семейных
бюджетов рабочих и служащих в отдель­ных
отраслях экономики, производительности
труда рабочих пред­приятия, представленных
отдельными группами по квалификации.

Типическая выборка
дает более точные результаты по сравнению
с другими способами отбора единиц в
выбороч­ную совокупность. Типизация
генеральной совокупности обеспечивает
репрезентативность такой выборки,
представи­тельство в ней каждой
типологической группы, что позволяет
исключить влияние межгрупповой дисперсии
на среднюю ошибку выборки,

При
определении средней
ошибки типической выборки в
ка­честве показателя вариации выступает
средняя
из внутригрупповых дисперсий.

Среднюю
ошибку выборки находят
по формулам:

• для
средней количественного признака

(повторный отбор);
(11)

(бесповторный
отбор);
(12)

• для
доли (альтернативного признака)

(повторный отбор);
(13)

(бесповторный
отбор), (14)

где


— средняя
из внутригрупповых дисперсий по
вы­борочной совокупности;

—
средняя из внутригрупповых дисперсий
доли (альтер­нативного

признака) по
выборочной совокупности.

Серийная
выборка
предполагает
случайный отбор из генераль­ной
совокупности не отдельных единиц, а их
равновеликих групп (гнезд, серий) с тем,
чтобы в таких группах подвергать
наблюде­нию все без исключения единицы.

Применение серийной
выборки обусловлено тем, что многие
товары для их транспортировки, хранения
и продажи упаковываются в пачки, ящики
и т.п. Поэтому при контроле качества
упакованного товара рациональнее
проверить не­сколько упаковок (серий),
чем из всех упаковок отбирать не­обходимое
количество товара.

Поскольку внутри
групп (серий) обследуются все без
исключе­ния единицы, средняя ошибка
выборки (при отборе равновеликих серий)
зависит только от межгрупповой
(межсерийной) дисперсии.

Среднюю
ошибку выборки для средней количественного
при­знака
при
серийном отборе находят по формулам:

(повторный отбор);
(15)

(бесповторный
отбор),
(16)

где
r
—
число отобранных серий; R
— общее
число серий.

Межгрупповую
дисперсию серийной выборки вычисляют
сле­дующим образом:

где

—
средняя i-й
серии;

— общая
средняя по всей выбо­рочной совокупности.

Средняя
ошибка выборки для доли (альтернативного
при­знака)
при
серийном отборе:

(повторный отбор);
(17)

(бесповторный
отбор).
(18)

Межгрупповую
(межсерийную)
дисперсию
доли серийной вы­борки определяют
по формуле:

(19)

где
w
_i
— доля
признака в i-и
серии;

— общая
доля признака во всей выборочной
совокупности.

В
практике статистических обследований
помимо рассмот­ренных ранее способов
отбора применяется их комбинация
(комбинированный
отбор).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

11.2. Оценка результатов выборочного наблюдения

11.2.1. Средняя и предельная ошибки выборки. Построение доверительных границ для средней и доли

Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику — среднюю ошибку выборки ().

В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.

Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:

— при оценивании среднего значения признака;

— если признак альтернативный, и оценивается доля.

При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 — n/N):

— для среднего значения признака;

— для доли.

Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):

.

Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае — двойной средней ошибки) — 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 — практически достоверность.

Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:

• степени вариации единиц генеральной совокупности;
• объема выборки;
• выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
• уровня доверительной вероятности.

Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше — по таблице распределения Стьюдента.

Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.

Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:

Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:

Ошибки выборки при различных видах отбора

1. Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.

Таблица
11.3.
Формулы для расчета средней ошибки собственно случайной и механической выборки ()

где — дисперсия признака в выборочной совокупности.

Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.

В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90 : 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:

1. По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия изучаемого признака

1. Определяем среднюю ошибку повторной случайной выборки

   

2. Зададим вероятность, на уровне которой будем говорить о величине предельной ошибки выборки. Чаще всего она принимается равной 0,999; 0,997; 0,954.

Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.

1. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 равна

   

2. Найдем доверительные границы для среднего значения уровня фондоотдачи в генеральной совокупности

   

Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.

Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле

Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:

Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:

Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.

По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:

1. рассчитаем выборочную долю.

Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда

m = 60, n = 90, w = m/n = 60 : 90 = 0,667;

1. рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности

;

1. средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит

Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит

1. зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.

При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):

1. установим границы для генеральной доли с вероятностью 0,997:

   

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.

1. Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда

N₁ + N₂ + … + N_i + … + N_k = N.

Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки

n₁ + n₂ + … + n_i + … + n_k = n.

Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.

Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:

n = n_i · N_i/N

где n_i — количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;

n — общий объем выборки;

N_i — количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;

N — общее количество единиц генеральной совокупности.

Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.

Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.

Таблица
11.6.
Формулы для расчета средней ошибки выборки () при использовании типического отбора, пропорционального объему типических групп

Здесь — средняя из групповых дисперсий типических групп.

Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:

Таблица
11.7.

Номер курса	Всего студентов, чел., Ni	Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., ni	Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, xi	Внутригрупповая выборочная дисперсия,
1	650	33	11	6
2	610	31	8	15
3	580	29	5	18
4	360	18	6	24
5	350	17	10	12
Итого	2 550	128	8	—

Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:

• общий объем выборочной совокупности:

  n = 2550/130*5 =128 (чел.);

• количество единиц, отобранных из каждой типической группы:

  

аналогично для других групп:

n₂ = 31 (чел.);

n₃ = 29 (чел.);

n₄ = 18 (чел.);

n₅ = 17 (чел.).

Проведем необходимые расчеты.

1. Выборочная средняя, исходя из значений средних типических групп, составит:

   

2. Средняя из внутригрупповых дисперсий

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

   С вероятностью 0,954 находим предельную ошибку выборки:

   

4. Доверительные границы для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что один студент за семестр посещает вузовскую библиотеку в среднем от семи до девяти раз.

1. Малая выборка. В связи с небольшим объемом выборочной совокупности те формулы для определения ошибок выборки, которые использовались нами ранее при «больших» выборках, становятся неподходящими и требуют корректировки.

Среднюю ошибку малой выборки определяют по формуле

Предельная ошибка малой выборки:

Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения — распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.

Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.

Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

1. Среднее значение признака в выборке равно

   

2. Значение среднего квадратического отклонения составляет

   

3. Средняя ошибка выборки:

   

4. Значение коэффициента доверия t = 2,365 для п = 8 и Р = 0,95 .
5. Предельная ошибка выборки:

   

6. Доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности:

   

То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.

11.2.2. Определение численности выборочной совокупности

Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):

1. вид предполагаемой выборки;
2. способ отбора (повторный или бесповторный);
3. выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).

Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.

Таблица
11.8.
Формулы для определения численности выборочной совокупности

Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.

Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.

При использовании повторного случайного отбора следует проверить

При бесповторном случайном отборе потребуется проверить

Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.

Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.

Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.

Средние ошибки повторной и бесповторной выборки

Средняя ошибка выборки

Средняя ошибка выборки представляет из себя такое расхождение между средними выборочной и генеральной совокупностями, которое не превышает ±б (дельта).

На основании теоремы Чебышева П. Л. величина средней ошибки при случайном повторном отборе в контрольных работах по статистике рассчитывается по формуле (для среднего количественного признака):

где числитель — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — численность выборочной совокупности.

Для альтернативного признака формула средней ошибки выборки для доли по теореме Я. Бернулли рассчитывается по формуле:

где р(1- р) — дисперсия доли признака в генеральной совокупности;
n — объем выборки.

Вследствие, того что дисперсия признака в генеральной совокупности точно не известна, на практике используют значение дисперсии, которое рассчитано для выборочной совокупности на основании закона больших чисел. Согласно данному закону выборочная совокупность при большом объеме выборки достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности.

Поэтому расчетные формулы средней ошибки при случайном повторном отборе будут выглядеть таким образом:

1. Для среднего количественного признака:

где S^2 — дисперсия признака х в выборочной совокупности;
n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где w (1 — w) — дисперсия доли изучаемого признака в выборочной совокупности.

В теории вероятностей было показано, что генеральная дисперсия выражается через выборочную согласно формуле:

В случаях малой выборки, когда её объем меньше 30, необходимо учитывать коэффициент n/(n-1). Тогда среднюю ошибку малой выборки рассчитывают по формуле:

Так как в процессе бесповторной выборки сокращается численность единиц генеральной совокупности, то в представленных выше формулах расчета средних ошибок выборки нужно подкоренное выражение умножить на 1- (n/N).

Расчетные формулы для такого вида выборки будут выглядеть так:

1. Для средней количественного признака:

где N — объем генеральной совокупности; n — объем выборки.

2. Для доли (альтернативного признака):

где 1- (n/N) — доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку.

Поскольку n всегда меньше N, то дополнительный множитель 1 — (n/N) всегда будет меньше единицы. Это означает, что средняя ошибка при бесповторном отборе всегда будет меньше, чем при повторном. Когда доля единиц генеральной совокупности, которые не попали в выборку, существенная, то величина 1 — (n/N) близка к единице и тогда расчет средней ошибки производится по общей формуле.

Средняя ошибка зависит от следующих факторов:

1. При выполнении принципа случайного отбора средняя ошибка выборки определяется во-первых объемом выборки: чем больше численность, тем меньше величины средней ошибки выборки. Генеральная совокупность характеризуется точнее тогда, когда больше единиц данной совокупности охватывает выборочное наблюдение

2. Средняя ошибка также зависит от степени варьирования признака. Степень варьирования характеризуется дисперсией. Чем меньше вариация признака (дисперсия), тем меньше средняя ошибка выборки. При нулевой дисперсии (признак не варьируется) средняя ошибка выборки равна нулю, таким образом, любая единица генеральной совокупности будет характеризовать всю совокупность по этому признаку.

Источник: Балинова B.C. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 344 с.

1.1. Ошибки
выборочного наблюдения

Средняя
ошибка выборки показывает, как генеральная средняя отклоняется в среднем от выборочной средней в ту или другую сторону. Формула
расчета средней ошибки выборки определяется видом исследуемого признака единиц
совокупности (количественный или альтернативный) и
способом отбора (бесповторный или повторный).

·        
Если отбор повторный, а признак количественный
средняя ошибка выборки определяется по формуле

 , где — дисперсия признака в выборочной совокупности

n- число единиц
в выборке

·        
Если отбор бесповторный, а признак
количественный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где w-выборочная
доля

·        
Если отбор бесповторный, а признак
альтернативный

Предельная ошибка выборки— показывающая с определенной степенью вероятности
отклонения средней от выборочной средней.

Предельная ошибка выборки

 , где параметр t зависит
от вероятности

Некоторые значения параметра t приведены
в таблице:

·        
Если отбор повторный, а признак количественный
средняя ошибка выборки определяется по формуле

 , где — дисперсия признака в выборочной совокупности

n- число единиц
в выборке

·        
Если отбор бесповторный, а признак
количественный

, где N—
число единиц в генеральной совокупности

·        
Если отбор повторный, а признак альтернативный

, где w-выборочная
доля

·        
Если отбор бесповторный, а признак
альтернативный

Доверительный интервал для генеральной средней

 Доверительный интервал для
генеральной доли

Пример расчета  доверительного
интервала:

При выборочном обследовании 5% продукции по методу случайного
бесповторного отбора получены данные о содержании сахара в образцах:

На основании этих данных вычислите:

1. Средний процент сахаристости.

2. Дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.

3. С вероятностью 0.954 возможные пределы среднего значения
саха­ристости продукции для всей партии.

4. С вероятностью 0.997 возможный процент продукции высшего
сорта по всей партии, если известно, что из 400 проб, попавших в вы­борку , 80
ед. отнесены к продукции высшего сорта.

Решение.

1.
Средний процент сахаристости найдем по формуле средней взвешенной

, где x_i–
середина i-го интервала

=18,32 %

2.
Дисперсия

=336,49

D(X)=336.49–
18.32²=0.8676

Среднее квадратическое отклонение

=0,93%

5. Предельная ошибка  для
среднего процента сахаристости

для вероятности 0,954 параметр t=2.0

Доверительный интервал для среднего значения процента
сахаристости

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной
совокупности средний процент сахаристости лежит в пределах от 18,23% до 18,41%.

5. Доля продукции высшего сорта в выборочной совокупности

Предельная ошибка  для
доли продукции высшего сорта

для вероятности 0,997 параметр t=3.0

Доверительный интервал для доли продукции высшего сорта

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной
совокупности доля продукции высшего сорта лежит в пределах от 14,0% до 26,0%.

Значение обобщающего показателя, рассчитанное по выборочной совокупности (выборке), может в той или иной мере отличаться от значения этого показателя в генеральной совокупности.

Ошибка выборки– это возможное расхождение между характеристиками выборочной и генеральной совокупности.

По выборочной совокупности обычно рассчитывают два вида обобщающих показателей.

1) Средняя величина количественного признака (Выборочная средняя ) – это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности. Например, средняя зарплата, средний рост, средний возраст и т. д.

2) Относительная величина альтернативного признака (Выборочная доля W) характеризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупности, которые отличаются от всех других единиц этой совокупности только наличием (отсутствием) изучаемого признака. Например, доля бракованных изделий в партии, удельный вес женщин среди работников предприятия и т. д.

В генеральной совокупности среднюю величину количественного признака называют Генеральной средней (обозначается ), а долю единиц, обладающих изучаемым признаком, называют Генеральной долей (обозначается Р).

Выборочная средняя определяется по формуле средней арифметической.

Выборочная доля W (частость) определяется по формуле

, (5.1)

Где M – число единиц, обладающих изучаемым признаком, N – общая численность выборочной совокупности (Объем выборки).

Основная задача выборочного исследования – на основе характеристик выборочной совокупности w и получить достоверные суждения о показателях доли p и средней в генеральной совокупности.

Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей измеряются средней ошибкой выборки μ.

В математической статистике доказывается, что При Случайном повторном отборе средние ошибки теоретически рассчитывают по формулам:

· для выборочной средней

, (5.2)

Где S2 – генеральная дисперсия;

· для выборочной доли W

. (5.3)

Но при проведении выборочных обследований генеральная дисперсия S2 и генеральная доля P, как правило, неизвестны. На практике вместо них используют оценки, полученные по выборочной совокупности.

Таким образом, на практике расчетные формулы для определения средней ошибки выборки При Случайном повторном отборе будут иметь вид:

· для выборочной средней

, (5.4)

Где S2 – дисперсия, рассчитанная для выборочной совокупности (Выборочная дисперсия);

· для выборочной доли W

. (5.5)

При случайном бесповторном отборе формулы средней ошибки выборки включают дополнительный множитель и принимают следующий вид:

· для выборочной средней

; (5.6)

· для выборочной доли W

. (5.7)

Значения средней ошибки выборки необходимы для установления диапазонов возможных значений генеральной доли P И генеральной средней , что позволяет указать доверительные интервалы:

· для генеральной средней ; (5.8)

· для генеральной доли P , (5.9)

Где – предельная ошибка выборки для генеральной средней; – предельная ошибка выборки для генеральной доли.

Коэффициент T – это Коэффициент доверия, зависящий от Доверительной вероятности A.

E Заметим, что генеральная характеристика ( или Р) нам неизвестна, и мы лишь можем утверждать, что с доверительной вероятностью A генеральная характеристика принадлежит доверительному интервалу (т. е. с доверительной вероятностью доверительный интервал покроет или Р).

В общем случае значения коэффициента доверия T при заданной доверительной вероятности A и известном объеме выборки N можно найти с помощью таблиц распределения Стьюдента (см. приложение).

На практике для выборок достаточно большого объема (N³30) часто применяют следующие приближенные значения коэффициента доверия T без учета объема выборки N.