Если принимается ложная гипотеза то говорят что совершается ошибка

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (например, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака молочной железы одинаковая в двух группах, получающих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

	Верная гипотеза
H₀	H₁
Результат применения критерия	H₀	H₀ верно принята	H₀ неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H₀ неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H₀ верно отвергнута

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Источник

Содержание

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность
Общий обзор
Принятие неправильного решения
Мощность и связанные факторы
Проверка множественных гипотез
Виды ошибок при проверке гипотез
Введение в проверку гипотез
Два типа статистических гипотез
Проверка гипотез
Два типа ошибок принятия решений
Односторонний и двусторонний тесты
Раздел 2 лекция 5

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу
остаться в рамках нулевой гипотезы

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

	Верная гипотеза
H	H₁
Результат применения критерия	H	H верно принята	H неверно принята (Ошибка второго рода)
H₁	H неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	H верно отвергнута

Мощность и связанные факторы

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Проверка множественных гипотез

Источник

Виды ошибок при проверке гипотез

1) Ошибка первого рода.

Нулевая гипотеза H отвергается, хотя является верной. Вероятность совершения такой ошибки равна .

2) Ошибка второго рода.

Нулевая гипотеза H принимается, хотя является неверной. Вероятность совершения этой ошибки равна 1 — . Здесь — вероятность того, что ошибка второго рода не будет допущена (так называемая мощность критерия).

Пусть, например, нулевая гипотеза H означает, что определенная партия товаров соответствует условиям поставки. Если эта партия отклоняется, хотя гипотеза соответствуетдействительности, то совершается ошибка первого рода. В таком случае говорят о риске производителя товаров. Если же партия принимается, хотя она и не соответствует условиям поставки, то имеет место ошибка второго рода (так называемый риск потребителя).

Глава 1 Макроэкономичекое планирование и прогнозированиев системе регулирования социальногорыночного хозяйства

Источник

Введение в проверку гипотез

Статистическая гипотеза – это предположение о параметре совокупности .

Например, мы можем предположить, что средний рост мужчины в США составляет 70 дюймов.

Предположение о росте является статистической гипотезой , а истинный средний рост мужчины в США является популяционным параметром .

Проверка гипотезы — это формальный статистический тест, который мы используем, чтобы отвергнуть или не опровергнуть статистическую гипотезу.

Два типа статистических гипотез

Чтобы проверить, верна ли статистическая гипотеза о параметре совокупности, мы получаем случайную выборку из совокупности и выполняем проверку гипотезы на выборочных данных.

Существует два типа статистических гипотез:

Нулевая гипотеза , обозначаемая как H 0 , представляет собой гипотезу о том, что выборка данных происходит чисто случайно.

Альтернативная гипотеза , обозначаемая как H 1 или H a , представляет собой гипотезу о том, что на выборочные данные влияет какая-то неслучайная причина.

Проверка гипотез

Проверка гипотезы состоит из пяти шагов:

1. Сформулируйте гипотезы.

Сформулируйте нулевую и альтернативную гипотезы. Эти две гипотезы должны быть взаимоисключающими, поэтому, если одна верна, другая должна быть ложной.

2. Определите уровень значимости для гипотезы.

Определите уровень значимости. Распространенные варианты: .01, .05 и .1.

3. Найдите тестовую статистику.

Найдите тестовую статистику и соответствующее значение p. Часто мы анализируем среднее значение или долю населения, и общая формула для нахождения тестовой статистики выглядит следующим образом: (выборочная статистика — параметр совокупности) / (стандартное отклонение статистики)

4. Отклонить или не отклонить нулевую гипотезу.

Используя тестовую статистику или p-значение, определите, можете ли вы отклонить или не отклонить нулевую гипотезу на основе уровня значимости.

Значение p говорит нам о силе доказательств в поддержку нулевой гипотезы. Если p-значение меньше уровня значимости, мы отклоняем нулевую гипотезу.

5. Интерпретируйте результаты.

Интерпретируйте результаты проверки гипотезы в контексте заданного вопроса.

Два типа ошибок принятия решений

Есть два типа ошибок принятия решений, которые можно сделать при проверке гипотезы:

Ошибка I типа: вы отвергаете нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна. Вероятность совершения ошибки первого рода равна уровню значимости, часто называемому альфа и обозначаемому как α.

Ошибка типа II: вы не можете отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле ложна. Вероятность совершения ошибки типа II называется мощностью теста или бета и обозначается как β.

Односторонний и двусторонний тесты

Статистическая гипотеза может быть односторонней или двусторонней.

Односторонняя гипотеза предполагает утверждение «больше» или «меньше».

Например, предположим, что средний рост мужчины в США больше или равен 70 дюймам. Нулевой гипотезой будет H0: µ ≥ 70 дюймов, а альтернативной гипотезой будет Ha: µ

Источник

Раздел 2 лекция 5

Раздел 2 Статистические гипотезы и их проверка

Тема: общие принципы проверки статистических гипотез.

План: 1.Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

2.Критерий оценки статистических гипотез. Уровень значимости.

Понятие статистической гипотезы. Ошибки I и II рода.

Статистической гипотезой называется предположение о том, что распределение случайной величины (результата эксперимента) подчиняется определённому закону распределения.

Статистический критерий (или критерий оценки статистической гипотезы) -это проверка, позволяющая оценить, насколько статистическая гипотеза согласуется с экспериментальными данными.

Пусть в нашем распоряжении имеется величина х – одно из возможных значений случайной величины (результата эксперимента).

Выдвинем гипотезу о том, что случайная величина х распределена по закону, задаваемому функцией плотности вероятности φ(х). Гипотезу обозначим как Н и назовем нуль гипотезой.

Введём также некоторую альтернативную гипотезу Н₁, содержание которой состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х подчиняется закону распределения, описываемого функцией плотности вероятности φ₁(х). Будем считать, что гипотеза Н₁ является истинной, если нуль-гипотеза Н не верна. Требуется на основании распределения величины х решить, какой из гипотез Н или Н₁ следует отдать предпочтение. Решение поставленной задачи может быть как верным, так и ложным.

Неправильное решение может быть двух родов:

Ошибка первого рода – не принять нуль-гипотезу, когда она в действительности верна, (т.е принять Н₁ вместо Н). α – это вероятность совершить ошибку I рода (или риск) – показывает какова вероятность отбросить верные (истинные) результаты.

Ошибка второго рода – принять нуль-гипотезу, когда она не верна (т.е. принять Н вместо Н₁ ). β – это вероятность совершить ошибку второго рода. Показывает какова вероятность принять неверные (ложные) результаты.

Тогда, α уменьшается, β увеличивается, а (1–β) уменьшается. Т.е. α уменьшается (вероятность не принять Н, когда она верна) следовательно (1- β) уменьшается (вероятность не принять, когда Нне верна).

Поэтому, для принятия проверяемой гипотезы вероятность совершить ошибку I рода α должна быть не самой низкой, а оптимальной.

Для выбора величины α существуют определённые правила (критерии), которые позволяют оценить насколько верно проверяемая гипотеза описывает экспериментальные данные.

Критерии оценки статистических гипотез при обработке результатов эксперимента

Рассмотрим критерии оценки гипотезы Н (т.е. верна она или нет) для случайной величины х (т.е. для результата эксперимента). Пусть гипотеза Н верна и состоит в том, что рассматриваемая случайная величина х действительно распределена по закону, задаваемому функцией φ(х). Однако, если х попало в область, расположенную вблизи правого или левого «хвоста» функции φ(х), то вероятность попадания случайной величины в эту область, вычисляется при помощи функции φ(х) мала и приближается к нулю. Поэтому проще и целесообразнее признать ошибочность гипотезы и не принять её в этой область. Тогда эта область будет характеризоваться α — вероятностью не принять гипотезу Н , когда она в действительности верна.

критическая область доверительный интервал критическая область

Назовём интервал значений случайной величины х, т.е отрезок оси абсцисс, расположенный вблизи «хвоста» функции φ(х) критической областью данной функции распределения.

Значения случайной величины х₁ и х₂, отделяющих критические области, называются критическими значениями данной функции распределения.

Размеры критической области определяются вероятностью попадания в неё случайных величин. Вероятность попадания значений х случайной величины в критическую область получила название уровень значимости критерия оценки статистической гипотезы или просто уровень значимости р. Видно, что

Уровень значимости (риск) – это вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу Н, когда она в действительности верна. Проще говоря р – это вероятность отбросить верные результаты.

Критерием оценки статистической гипотезы является попадание х_i в критическую область. Если случайная величина х не попадает в критическую область, то анализируемая гипотеза считается приемлемой. Если случайная величина х попадает в критическую область, то это свидетельствует о неприемлемости анализируемой гипотезы.

Если критическая область, попадание в которую значений х случайной величины, целиком расположена в правой (или левой) части графика φ(х), то критерий оценки статистической гипотезы называется односторонним. В случае одностороннего критерия уровень значимости равен α=р=(1 –Р).

φ(х) φ(х)

В противном случае критическую область необходимо рассматривать из двух частей, а соответственный критерий называется двухсторонним. В случае двухстороннего критерия α=р=(1 –Р)/2.

Односторонний критерий используют только в том случае, если экспериментатор заранее знает, что результаты опытов не попадают в противоположную часть (область) функции, или для него это будет иметь практическое значение.

Пример 1:

φ(х)

+W_влаги

Пример 2: Д окрашивание раствора

-0,16 не имеет практического значения, т.к. раствор мутный и луч не проходит через раствор – результат не верен.

α=р=(1-Р)/2

Принять проверяемую гипотезу можно только при определённых значениях р. Критерии принятия статистической гипотезы:

Если значения уровня значимости р равно 5% и более, то проверяемую гипотезу следует признать согласующейся с полученными экспериментальными данными. В этом случае различия между гипотетическими экспериментальными данными являются статистически незначимым.

Если уровень значимости менее 5%, но более 1%, то можно пойти на риск принятия проверяемой гипотезы, либо взять гипотезу под сомнение. Различие между гипотетическими и экспериментальными данными является спорным. Для уточнения выводов следует признать целесообразным повторение эксперимента

Если значение критерия значимости составляет 1% и менее, то проверяемая гипотеза отбрасывается. Различия между гипотетическими и экспериментальными данными являются статистически значимыми.

Источник

Источник

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Ваш е-мэйл

Заполните, если хотите получить ответ

Оцените наш проект

Источник

Ошибки первого рода (англ. type I errors, α errors, false positives) и ошибки второго рода (англ. type II errors, β errors, false negatives) в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Содержание

1 Определения
2 О смысле ошибок первого и второго рода
3 Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)
4 Примеры использования
- 4.1 Радиолокация
- 4.2 Компьютеры
  - 4.2.1 Компьютерная безопасность
  - 4.2.2 Фильтрация спама
  - 4.2.3 Вредоносное программное обеспечение
  - 4.2.4 Поиск в компьютерных базах данных
  - 4.2.5 Оптическое распознавание текстов (OCR)
  - 4.2.6 Досмотр пассажиров и багажа
  - 4.2.7 Биометрия
- 4.3 Массовая медицинская диагностика (скрининг)
- 4.4 Медицинское тестирование
- 4.5 Исследования сверхъестественных явлений
5 См. также
6 Примечания

Определения

Пусть дана выборка $mathbf{X} = (X_1,ldots,X_n)^{top}$ из неизвестного совместного распределения $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

$begin{matrix} H_0 \ H_1, end{matrix}$

где H_0 — нулевая гипотеза, а H_1 — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

$f:mathbb{R}^n to {H_0,H_1}$ ,

сопоставляющий каждой реализации выборки mathbf{X} = mathbf{x} одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_0$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_1$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_1$ .
Распределение $mathbb{P}^{mathbf{X}}$ выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть $f(mathbf{x}) = H_0$ .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно. ^[1]^[2]

	Верная гипотеза

Результат применения критерия		верно принята	неверно принята (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

О смысле ошибок первого и второго рода

Как видно из вышеприведённого определения, ошибки первого и второго рода являются взаимно-симметричными, то есть если поменять местами гипотезы H_0 и H_1 , то ошибки первого рода превратятся в ошибки второго рода и наоборот. Тем не менее, в большинстве практических ситуаций путаницы не происходит, поскольку принято считать, что нулевая гипотеза H_0 соответствует состоянию «по умолчанию» (естественному, наиболее ожидаемому положению вещей) — например, что обследуемый человек здоров, или что проходящий через рамку металлодетектора пассажир не имеет запрещённых металлических предметов. Соответственно, альтернативная гипотеза H_1 обозначает противоположную ситуацию, которая обычно трактуется как менее вероятная, неординарная, требующая какой-либо реакции.

С учётом этого ошибку первого рода часто называют ложной тревогой, ложным срабатыванием или ложноположительным срабатыванием — например, анализ крови показал наличие заболевания, хотя на самом деле человек здоров, или металлодетектор выдал сигнал тревоги, сработав на металлическую пряжку ремня. Слово «положительный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают положительный результат (т.е. показывают наличие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент этим заболеванием не страдает. Такой результат называется ложноположительным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «ложное срабатывание», «ложная тревога» и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false positive без перевода.

Из-за возможности ложных срабатываний не удаётся полностью автоматизировать борьбу со многими видами угроз. Как правило, вероятность ложного срабатывания коррелирует с вероятностью пропуска события (ошибки второго рода). То есть: чем более чувствительна система, тем больше опасных событий она детектирует и, следовательно, предотвращает. Но при повышении чувствительности неизбежно вырастает и вероятность ложных срабатываний. Поэтому чересчур чувствительно (параноидально) настроенная система защиты может выродиться в свою противоположность и привести к тому, что побочный вред от неё будет превышать пользу.

Соответственно, ошибку второго рода иногда называют пропуском события или ложноотрицательным срабатыванием — человек болен, но анализ крови этого не показал, или у пассажира имеется холодное оружие, но рамка металлодетектора его не обнаружила (например, из-за того, что чувствительность рамки отрегулирована на обнаружение только очень массивных металлических предметов).

Слово «отрицательный» в данном случае не имеет отношения к желательности или нежелательности самого события.

Термин широко используется в медицине. Например, тесты, предназначенные для диагностики заболеваний, иногда дают отрицательный результат (т.е. показывают отсутствие заболевания у пациента), когда на самом деле пациент страдает этим заболеванием. Такой результат называется ложноотрицательным.

В других областях обычно используют словосочетания со схожим смыслом, например, «пропуск события», и т.п. В информационных технологиях часто используют английский термин false negative без перевода.

Степень чувствительности системы защиты должна представлять собой компромисс между вероятностью ошибок первого и второго рода. Где именно находится точка баланса, зависит от оценки рисков обоих видов ошибок.

Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)

Вероятность ошибки первого рода при проверке статистических гипотез называют уровнем значимости и обычно обозначают греческой буквой alpha (отсюда название alpha -errors).

Вероятность ошибки второго рода не имеет какого-то особого общепринятого названия, на письме обозначается греческой буквой beta (отсюда beta -errors). Однако с этой величиной тесно связана другая, имеющая большое статистическое значение — мощность критерия. Она вычисляется по формуле (1-beta) . Таким образом, чем выше мощность, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода.

Обе эти характеристики обычно вычисляются с помощью так называемой функции мощности критерия. В частности, вероятность ошибки первого рода есть функция мощности, вычисленная при нулевой гипотезе. Для критериев, основанных на выборке фиксированного объема, вероятность ошибки второго рода есть единица минус функция мощности, вычисленная в предположении, что распределение наблюдений соответствует альтернативной гипотезе. Для последовательных критериев это также верно, если критерий останавливается с вероятностью единица (при данном распределении из альтернативы).

В статистических тестах обычно приходится идти на компромисс между приемлемым уровнем ошибок первого и второго рода. Зачастую для принятия решения используется пороговое значение, которое может варьироваться с целью сделать тест более строгим или, наоборот, более мягким. Этим пороговым значением является уровень значимости, которым задаются при проверке статистических гипотез. Например, в случае металлодетектора повышение чувствительности прибора приведёт к увеличению риска ошибки первого рода (ложная тревога), а понижение чувствительности — к увеличению риска ошибки второго рода (пропуск запрещённого предмета).

Примеры использования

Радиолокация

В задаче радиолокационного обнаружения воздушных целей, прежде всего, в системе ПВО ошибки первого и второго рода, с формулировкой «ложная тревога» и «пропуск цели» являются одним из основных элементов как теории, так и практики построения радиолокационных станций. Вероятно, это первый пример последовательного применения статистических методов в целой технической области.

Компьютеры

Понятия ошибок первого и второго рода широко используются в области компьютеров и программного обеспечения.

Компьютерная безопасность

Наличие уязвимостей в вычислительных системах приводит к тому, что приходится, с одной стороны, решать задачу сохранения целостности компьютерных данных, а с другой стороны — обеспечивать нормальный доступ легальных пользователей к этим данным (см. компьютерная безопасность). Moulton (1983, с.125) отмечает, что в данном контексте возможны следующие нежелательные ситуации:

когда нарушители классифицируются как авторизованные пользователи (ошибки первого рода)
когда авторизованные пользователи классифицируются как нарушители (ошибки второго рода)

Фильтрация спама

Ошибка первого рода происходит, когда механизм блокировки/фильтрации спама ошибочно классифицирует легитимное email-сообщение как спам и препятствует его нормальной доставке. В то время как большинство «антиспам»-алгоритмов способны блокировать/фильтровать большой процент нежелательных email-сообщений, гораздо более важной задачей является минимизировать число «ложных тревог» (ошибочных блокировок нужных сообщений).

Ошибка второго рода происходит, когда антиспам-система ошибочно пропускает нежелательное сообщение, классифицируя его как «не спам». Низкий уровень таких ошибок является индикатором эффективности антиспам-алгоритма.

Пока не удалось создать антиспамовую систему без корреляции между вероятностью ошибок первого и второго рода. Вероятность пропустить спам у современных систем колеблется в пределах от 1% до 30%. Вероятность ошибочно отвергнуть валидное сообщение — от 0,001 % до 3 %. Выбор системы и её настроек зависит от условий конкретного получателя: для одних получателей риск потерять 1% хорошей почты оценивается как незначительный, для других же потеря даже 0,1% является недопустимой.

Вредоносное программное обеспечение

Понятие ошибки первого рода также используется, когда антивирусное программное обеспечение ошибочно классифицирует безвредный файл как вирус. Неверное обнаружение может быть вызвано особенностями эвристики, либо неправильной сигнатурой вируса в базе данных. Подобные проблемы могут происходить также и с антитроянскими и антишпионскими программами.

Поиск в компьютерных базах данных

При поиске в базе данных к ошибкам первого рода можно отнести документы, которые выдаются поиском, несмотря на их иррелевантность (несоответствие) поисковому запросу. Ошибочные срабатывания характерны для полнотекстового поиска, когда поисковый алгоритм анализирует полные тексты всех хранимых в базе данных документов и пытается найти соответствия одному или нескольким терминам, заданным пользователем в запросе.

Большинство ложных срабатываний обусловлены сложностью естественных языков, многозначностью слов: например, «home» может обозначать как «место проживания человека», так и «корневую страницу веб-сайта». Число подобных ошибок может быть снижено за счёт использования специального словаря. Однако это решение относительно дорогое, поскольку подобный словарь и разметка документов (индексирование) должны создаваться экспертом.

Оптическое распознавание текстов (OCR)

Разнообразные детектирующие алгоритмы нередко выдают ошибки первого рода. Программное обеспечение оптического распознавания текстов может распознать букву «a» в ситуации, когда на самом деле изображены несколько точек, которые используемый алгоритм расценил как «a».

Досмотр пассажиров и багажа

Ошибки первого рода регулярно встречаются каждый день в компьютерных системах предварительного досмотра пассажиров в аэропортах. Установленные в них детекторы предназначены для предотвращения проноса оружия на борт самолёта; тем не менее, уровень чувствительности в них зачастую настраивается настолько высоко, что много раз за день они срабатывают на незначительные предметы, такие как ключи, пряжки ремней, монеты, мобильные телефоны, гвозди в подошвах обуви и т.п. (см. обнаружение взрывчатых веществ, металлодетекторы).

Таким образом, соотношение числа ложных тревог (идентифицикация благопристойного пассажира как правонарушителя) к числу правильных срабатываний (обнаружение действительно запрещённых предметов) очень велико.

Биометрия

Ошибки первого и второго рода являются большой проблемой в системах биометрического сканирования, использующих распознавание радужной оболочки или сетчатки глаза, черт лица и т.д. Такие сканирующие системы могут ошибочно отождествить кого-то с другим, «известным» системе человеком, информация о котором хранится в базе данных (к примеру, это может быть лицо, имеющее право входа в систему, или подозреваемый преступник и т.п.). Противоположной ошибкой будет неспособность системы распознать легитимного зарегистрированного пользователя, или опознать подозреваемого в преступлении.^[3]

Массовая медицинская диагностика (скрининг)

В медицинской практике есть существенное различие между скринингом и тестированием:

Скрининг включает в себя относительно дешёвые тесты, которые проводятся для большой группы людей при отсутствии каких-либо клинических признаков болезни (например, мазок Папаниколау).
Тестирование подразумевает гораздо более дорогие, зачастую инвазивные, процедуры, которые проводятся только для тех, у кого проявляются клинические признаки заболевания, и которые, в основном, применяются для подтверждения предполагаемого диагноза.

К примеру, в большинстве штатов в США обязательно прохождение новорожденными процедуры скрининга на оксифенилкетонурию и гипотиреоз, помимо других врождённых аномалий. Несмотря на высокий уровень ошибок первого рода, эти процедуры скрининга считаются целесообразными, поскольку они существенно увеличивают вероятность обнаружения этих расстройств на самой ранней стадии.^[4]

Простые анализы крови, используемые для скрининга потенциальных доноров на ВИЧ и гепатит, имеют существенный уровень ошибок первого рода; однако в арсенале врачей есть гораздо более точные (и, соответственно, дорогие) тесты для проверки, действительно ли человек инфицирован каким-либо из этих вирусов.

Возможно, наиболее широкие дискуссии вызывают ошибки первого рода в процедурах скрининга на рак груди (маммография). В США уровень ошибок первого рода в маммограммах достигает 15%, это самый высокий показатель в мире.^[5] Самый низкий уровень наблюдается в Нидерландах, 1%.^[6]

Медицинское тестирование

Ошибки второго рода являются существенной проблемой в медицинском тестировании. Они дают пациенту и врачу ложное убеждение, что заболевание отсутствует, в то время как в действительности оно есть. Это зачастую приводит к неуместному или неадекватному лечению. Типичным примером является доверие результатам кардиотестирования при выявлении коронарного атеросклероза, хотя известно, что кардиотестирование выявляет только те затруднения кровотока в коронарной артерии, которые вызваны стенозом.

Ошибки второго рода вызывают серьёзные и трудные для понимания проблемы, особенно когда искомое условие является широкораспространённым. Если тест с 10%-ным уровнем ошибок второго рода используется для обследования группы, где вероятность «истинно-положительных» случаев составляет 70%, то многие отрицательные результаты теста окажутся ложными. (См. Теорему Байеса).

Ошибки первого рода также могут вызывать серьёзные и трудные для понимания проблемы. Это происходит, когда искомое условие является редким. Если уровень ошибок первого рода у теста составляет один случай на десять тысяч, но в тестируемой группе образцов (или людей) вероятность «истинно-положительных» случаев составляет в среднем один случай на миллион, то большинство положительных результатов этого теста будут ложными.^[7]

Исследования сверхъестественных явлений

Термин ошибка первого рода был взят на вооружение исследователями в области паранормальных явлений и привидений для описания фотографии или записи или какого-либо другого свидетельства, которое ошибочно трактуется как имеющее паранормальное происхождение — в данном контексте ошибка первого рода — это какое-либо несостоятельное «медиасвидетельство» (изображение, видеозапись, аудиозапись и т.д.), которое имеет обычное объяснение.^[8]

См. также

Статистическая значимость
Ложноположительный
Атака второго рода
Случаи ложного срабатывания систем предупреждения о ракетном нападении
Receiver_operating_characteristic

Примечания

↑ ГОСТ Р 50779.10-2000. «Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения.». Стр. 26
↑ Valerie J. Easton, John H. McColl. Statistics Glossary: Hypothesis Testing.
↑ Данный пример как раз характеризует случай, когда классификация ошибок будет зависеть от назначения системы: если биометрическое сканирование используется для допуска сотрудников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек действительно является сотрудником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой второго рода, а «неузнавание» — ошибкой первого рода; если же сканирование используется для опознания преступников (нулевая гипотеза: «проходящий сканирование человек не является преступником»), то ошибочное отождествление будет ошибкой первого рода, а «неузнавание» — ошибкой второго рода.
↑ Относительно скрининга новорожденных, последние исследования показали, что количество ошибок первого рода в 12 раз больше, чем количество верных обнаружений (Gambrill, 2006. [1])
↑ Одним из последствий такого высокого уровня ошибок первого рода в США является то, что за произвольный 10-летний период половина обследуемых американских женщин получают как минимум одну ложноположительную маммограмму. Такие ошибочные маммограммы обходятся дорого, приводя к ежегодным расходам в 100 миллионов долларов на последующее (ненужное) лечение. Кроме того, они вызывают излишнюю тревогу у женщин. В результате высокого уровня подобных ошибок первого рода в США, примерно у 90-95% женщин, получивших хотя бы раз в жизни положительную маммограмму, на самом деле заболевание отсутствует.
↑ Наиболее низкие уровни этих ошибок наблюдаются в северной Европе, где маммографические плёнки считываются дважды, и для дополнительного тестирования устанавливается повышенное пороговое значение (высокий порог снижает статистическую эффективность теста).
↑ Вероятность того, что выдаваемый тестом результат окажется ошибкой первого рода, может быть вычислена при помощи Теоремы Байеса.
↑ На некоторых сайтах приведены примеры ошибок первого рода, например: Атлантическое Сообщество Паранормальных явлений (The Atlantic Paranormal Society, TAPS) и Морстаунская организация по Исследованию Привидений (Moorestown Ghost Research).

Источник

сией нормальной совокупности, проверить гипотезы о равенстве двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки), о равенстве двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки), о равенстве выборочной средней с предполагаемой генеральной средней нормальной совокупности при известной и неизвестной генеральной дисперсии, о равенстве двух долей.

8.1. Понятие статической гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая

èсложная гипотезы

Âсамом широком смысле слова гипотеза (hypothesis — основание, предположение) — предположительное суждение о закономерной (причинной) связи явлений. Проверка гипотез осуществляется всюду, где теория может быть подтверждена или опровергнута опытом.1

Так, например, медик может выдвинуть гипотезу о том, что новое лекарство эффективнее излечивает некоторое хроническое заболевание. Для проверки своей гипотезы он отбирает людей, страдающих этим заболеванием, и случайным образом делит их на две равные группы. Новое лекарство применяется им при лечении первой группы пациентов, а прежнее — при лечении второй группы. Затем, выяснив долю выздоровевших пациентов в каждой группе, исследователь решает вопрос о том, какое лекарство, новое или старое, более эффективно.

Еще пример. Предположим, что политик «А» предполагает, что получит на ближайших выборах не менее 50 % голосов избирателей. Если мы не доверяем предположению политика «А», то выдвигаем гипотезу о том, что его поддерживает менее 50 % электората. Пусть n = 15 — число избирателей, случайно выбранных в

1 При этом гипотеза относительно параметра формулируется до опыта (до полу- чения выборочных данных). В этом и состоит принципиальное различие между построением доверительного интервала для неизвестного параметра и процедурой проверки гипотезы.

271

определенном городе, среди них m избирателей предпочитает политика «А». Как по этой выборке оценить истинность утверждения политика «А»? Если в результате выборки никто не предпочитает политика «А» (m = 0), то какой мы можем сделать вывод относительно политика «А»? Если его действительно поддерживает более 50 % электората, то вероятность получить m = 0 в выборке очень мала, а если он не имеет достаточного числа сторонников, то вероятность того, что m = 0, будет несколько больше. И при m = 1 (или при другом малом значении m), наши выводы останутся такими же.

Статистической гипотезой называется всякое высказывание о виде неизвестного распределения, или параметрах генеральной совокупности известных распределений, или о равенстве параметров двух или нескольких распределений, или о независимости выборок, которое можно проверить статистически, то есть, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Наиболее часто формулируются и проверяются гипотезы о числовых значениях одного или нескольких параметров генеральной совокупности, подчиняющейся одному из известных законов распределения, такому как нормальный, Стьюдента, Фишера и др.

В то же время, например, предположение о реальности посещения Земли инопланетянами не является статистической гипотезой, так как она не относится ни к одному из типов задач статисти- ческой проверки гипотез.

Выдвинутую гипотезу, которую необходимо проверить, называют нулевой гипотезой H0.

Гипотезу, противоположную нулевой, называют конкурирующей (альтернативной) гипотезой Н1.

Утверждение политика «А» о том, что за него проголосует не менее 50 % избирателей — является нуль-гипотезой, которую можно сформулировать так:

H0 : p ≥ 0,5.

Хотя условие «не менее» означает p ≥ 0,5 , для подтверждения истинности убеждения политика «А» достаточно выполнения условия p = 0,5 .

Альтернативная ей гипотеза — «Политика “А” поддерживает менее 50 % электората» получается путем утверждения того, что нуль-гипотеза, противоположная ей, — ложна. Таким образом, поддержка одного из предположений получается доказательством

272

«от противного». Поскольку мы заявляем в альтернативной гипотезе, что утверждение политика «А» ложно, то ее можно сформулировать и так: вероятность выбора избирателей, предпочитающих «А», меньше, чем 0,5 (p < 0,5) . Если мы сможем показать, что данные, поддерживающие отклонение нуль-гипотезы, p = 0,5 (минимальное значение, необходимое для избрания), согласуются с альтернативной гипотезой p < 0,5, то мы достигаем поставленной цели.

Статистистическую гипотезу, однозначно определяющую закон распределения, называют простой (параметр Θ имеет одно конкретное значение Θ = Θ 0), в противном случае ее называют сложной. Например, случайная величина Х с нормальным распределением имеет значение а0 = 3, случайная величина Х имеет распределение Пуассона и т.д.

Статистическая гипотеза называется параметрической, если в ней сформулированы предположения относительно неизвестных значе- ний параметров распределения определенного вида.1

В большинстве случаев простая гипотеза, например, H0 : Θ = Θ0 проверяется сложной альтернативной. Можно проверить эту нульгипотезу альтернативной H1, состоящей в том, что истинное значе- ние генерального параметра Θ больше, чем Θ0 :

H1 :Θ > Θ0 ,

èëè

H1 :Θ < Θ0 .

Более общей формой записи последних двух альтернатив является:

H1 :Θ ≠ Θ0 .

8.2. Ошибки первого и второго рода

При проверке выдвинутой гипотезы на основе бесповторной выборки объема n необходимо научиться принимать решение о том, какая их двух конкурирующих гипотез верна.

1Существуют также и непараметрические гипотезы, однако в специальной литературе нет однозначного определения этого типа гипотез. Согласно одному из определений статистическая гипотеза называется непараметрической, если в ней сформулированы предположения относительно вида закона распределения, а предположения о параметрах не рассматриваются.

273

Поскольку решение об отклонении или принятии выдвигаемой нулевой гипотезы осуществляется на основании результатов слу- чайной выборки, то мы никогда не можем быть полностью уверены, истинна или ложна выдвинутая нами нулевая гипотеза, т. е. всегда есть риск принять ложное решение в силу ограниченного ряда наблюдений или ввиду того, что выборка была просто неудачной.

Если отклоняется нуль-гипотеза, которая истинна, то мы совершаем ошибку I рода, а если принимается нулевая гипотеза, которая ложна, то говорят, что имеет место ошибка II рода.

Для примера с выборами политика «А» ошибка первого рода — отклонение гипотезы H0 : p = 0,5, когда H0 — верна, означает, что мы пришли к выводу о том, что политик «А» проиграет выборы, в то время как фактически он победит. Ошибка второго рода означает, что мы примем H0 : p = 0,5, в то время как p < 0,5 и придем к заключению, что политик «А» победит, в то время как он фактически проиграет выборы.

Для большинства реальных ситуаций в экономике и общественной жизни неверное решение стоит денег, престижа, сопряжено с определенными потерями, предвидение которых поможет избежать их.

Вероятность ошибки первого рода обозначаетсяα и называется

уровнем значимости.

Вероятность ошибки второго рода обозначается β .

Конечно, желательно, чтобы и первая, и вторая ошибки были малы, однако более важным является контроль уровня α . Вероятностьα задается заранее, обычно малым числом, поскольку это — вероятность ошибочного заключения.1 Как правило, при этом используют некоторые стандартные значения: 0,005; 0,01; 0,05; 0,1, хотя это не означает, что нельзя выбирать α = 0,03. Принятая стандартизация имеет некоторое преимущество, так как она позволяет сократить объем специальных таблиц критических значе- ний статистических критериев, с которыми познакомимся на следующих страницах. Никакой другой специальной причины для выбора этих значений нет. Например, α = 0,05 означает следующее: если гипотезу H0 проверять по каждой из 100 выборок одинакового объема, то в среднем в 5 случаях из 100 мы совершим ошибку

1Нахождение α — это не статистическая задача. Уровень значимости — это внешнее проявление, субъективное, волевое решение о допустимом риске.

274

первого рода. Можно записатьα è β , используя запись условных вероятностей:

α = P(отклонения	0	/ Н отклонения) = P(H / H ) = PH (H1),	(8.1)
	0	1	0	0
β = P(принятияH0 / Í0ложна) = P(H0	/ H1) = PH	(P0 ),	(8.2)
				1

В результате проверки гипотезы может быть принято и пра-

вильное решение — также двух типов. Принимают гипотезу H0, когда она в действительности верна. Вероятность этого решения:

P(принятияH0 / Í0истинна) = 1 – α.

Или отклоняют гипотезу H0 (то есть принимают гипотезу H1), тогда как на самом деле гипотеза H0 — ложная (т. е. верна гипотеза

H1)	P(H0отклонения / Н0ложна) = 1 – β,

èëè
						0 ) = P
		PH	(H		(H1) = 1 − β.
		H
		1				0
											Таблица 8.1
		Схема проверки гипотез

		Статистическое						Реальная ситуация
		решение				H0	верна		H	0 ложна

	H0	отклоняется		1	α			1 − β
	H0	не отклоняется		−α			β

Обычно в нулевой гипотезе мы приводим статистическое утверждение, которое будем пытаться опровергнуть (отклонить). Перед проверкой гипотезы мы задаем α, т. е. вероятность того, что совершим ошибку I рода. Когда у нас нет оснований отклонить нуль-гипотезу (т. е. мы ее принимаем), то правильнее будет так и утверждать: «нет достаточных оснований отклонить нульгипотезу».

8.3. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия

Чтобы по наблюдаемому значению õ случайной величины X сделать разумный выбор между нулевой и альтернативной гипоте-

275

зами, надо построить критерий, который представляет собой правило поведения в ситуации выбора.

Статистическим критерием называют правило, с помощью которого с высокой вероятностью принимаются решения о принятии или отклонении выдвинутой нулевой гипотезы на основании результатов, наблюдаемых в выборке.

Критерий — это специально составленная выборочная характеристика (статистика) K = f(x1, x2, …, xn),1 точное или приближенное распределение которой нам известно. Значение критерия, вы- численное по данным выборки, называют наблюдаемым значением — Kíàáë. Численное значение α называется уровнем значимости критерия. Критерий такого типа называется критерием значимости. После выбора определенного критерия K множество всех возможных его значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, а другое — при которых она принимается.

8.4. Критическая область. Мощность критерия. Область принятия гипотезы. Критические точки

Множество значений критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, называется областью критических значений (обозна- чим W). Для критериев проверки гипотез выбираются надлежащие «уровни значимости» (0,01; 0,05; и др.), соответствующие событиям, которые считаются практически невозможными (с некоторым риском).

Критическая область данного критерия — совокупность значе- ний критерия, при которых H0 отклоняют и принимают гипотезу

H1.

При данном уровне значимости можно по-разному строить критическую область. Чтобы выбор критической области был наилуч- шим, необходимо, чтобы вероятность попадания критерия в крити- ческую область, когда справедлива альтернативная гипотеза H1, была наибольшей. Эта вероятность носит название мощности критерия (обозначим через M).

1Эту выборочную статистику обозначают различными буквами в зависимости от закона ее распределения. Например, z — если она имеет нормальное распреде-

ление, F — если она имеет распределение Фишера, t — если она имеет распределение Стьюдента. Обозначим ее в целях общности через K.

276

Под мощностью критерия понимается вероятность несовершить ошибку второго рода.

Мощность является важнейшей характеристикой критерия. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершения ошибки второго рода.

Множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу не отклоняют (принимают), называют областью принятия гипотезы

H0 (обозначим О).

Если наблюдаемое значение критерия Kíàáë принадлежит крити- ческой области, то нуль-гипотезу отклоняют; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нуль-гипотезу принимают (не отклоняют). Это — основной принцип проверки гипотез.

Так как критерий K — случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу, обычно (−∞;+∞) èëè (0;+∞). Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками (критическими границами), обозначаются Kêð.

8.5.Отыскание правосторонней, левосторонней

èдвусторонней критических областей

Âзависимости от вида альтернативной гипотезы (H1 ) критические области подразделяются на односторонние (правосторонние и левосторонние) и двусторонние.

Правосторонней критической областью называют область, определяемую неравенством Kíàáë > Kêð, ãäå Kêð — положительное число.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством K < Kêð, ãäå Kêð — отрицательное число.

Двустороннюю критическую область будем определять неравен-

ствами K < Kêðëåâ è K < Kêðïðàâ.

277

f (K )

fH	(K )
	0
				+∞
			P(K ≥ Kêð ) = ∫ fH0 (K )dK = α
1 −α			Êêðïðàâ
			H0		H
				K		1
				èëè

область принятия	K	ïðàâ	критическая	Î	K ïðàâ	W
H 0		êð			êð
		область

Рис. 8.1. Правосторонняя критическая область

f (K )

(K )

Êêðëåâ

P (K ≥ Kêð ) = ∫

fH0 (K )dK = α

−∞

1 −α

èëè

критическая

ëåâ область принятия

K êðëåâ

область

K êð

H 0

Рис. 8.2. Левосторонняя критическая область

f (x)

(x)

P(K ≤ K1) + P(K ≥ K2 ) = α

критическая

область

−α

область

α / 2

èëè

= K ëåâ

область принятия K

= K ïðàâ

W K

êðëåâ Î Kêðïðàâ

êð

Рис. 8.3. Двусторонняя критическая область

278

Однако, следует заметить, что если критерий K — случайная величина, симметричная относительно оси ординат, то при Kêð >0 Kêðëåâ = –Kêð, а двусторонняя критическая область определяется неравенствами K ≤ –Kêð è K ≥ Kêð èëè |K|≥Kêð.

При справедливости нулевой гипотезы критические точки для двусторонней критической области находят из следующего равенства:

P(K ≤ Kêðëåâ) + P(K ≥ Kêðïðàâ) = α.

Если распределение симметрично относительно оси OY , òî

P(K ≤ Kêð) = P(K ≥ Kêð) = 2 .

Как найти критическую точку, например, для правосторонней критической области? Для этого задаются уровнем значимости α . Находят критическую точку Kêð, такую, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий K примет значение, не меньше Kêð, была равна принятому уровню

значимости: P(K ≥Kêð) = α .

Для каждого критерия в зависимости от закона распределения имеются соответствующие таблицы, по которым находят крити- ческие точки.

8.6.Стандартная форма проверки гипотезы

îзначении генеральной средней нормально распределенной генеральной совокупности при известной генеральной дисперсии

Напомним, что если из значений нормально распределенной слу- чайной величины вычесть ее среднюю арифметическую и результат разделить на среднее квадратическое отклонение, то мы полу- чим нормированную случайную величину

Z = Xσ− a , è Z → N (0;12 ).

Переход к стандартной форме случайной величины позволит нам формализовать процедуру проверки гипотез.

Предположим, что верна нулевая гипотеза H0 : X = a0.

279

Преобразуем

	%
	Z =	X − a0	,	(8.4)

		σ		n
òàê êàê				σ
	%
σ (X) =			.

				n
	%
При большом объеме Z =	X − a0		подчиняется стандартному нор-
σ n
мальному закону Z → (0;12 ).
Если нулевая гипотеза H0 — неверна, то			либо больше, либо
X

меньше a0, т. е. стандартный критерий либо слишком велик, либо слишком мал. Это надо понимать так, что при уровне значимости

α= 0,05 к критической области относятся все значения статисти- ческого критерия, превышающие ±1,96. При уровне значимости

α= 0,01 критические точки стандартного нормального распределения будут равны ±2,575.

Таблица 8.2

Процедура, проверка гипотезы о численной величине генеральной средней при известной дисперсии

Íóëü—гипотеза				= a0
H0 : X

Альтернативная
à) H1 : X ≠ a0
гипотеза
						= a0 ; a1 > a0
	á) H1 : X
				= a0 ; a1 < a0
	â) H1 : X

Уровень	α (часто α = 0,05 èëè α = 0,01 )
значимости для
критерия
Критерий	%	− a
(критериальная	Z =	x	(предполагается, что σãåí известно)

статистика)	σ				n

Критические	Зависят от α . Ýòî:
точки	а) границы ±Zα 2 , разделяющие критические области

	принятия H0 (когдаα = 0,05, критические точки ±1,96 ;
	когдаα = 0,01 , критические точки ±2,575. Для других
	значений α критические точки могут быть получены из
	таблицы стандартного нормального распределения —
	приложение 2)

280

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Ошибки первого и второго рода. Понятие о статистических критериях

Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. При этом проверяемая гипотеза может подтвердиться, а может и не подтвердиться. Проверка статистических гипотез сопряжена с возможностью допустить ошибку.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута верная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята ложная гипотеза.

Вероятность совершения ошибки первого рода обозначается и называется уровнем значимости. Уровень значимости обычно задается близким к нулю (например, 0,05; 0,01; 0,02 и т.д.). Чем меньше уровень значимости , тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу когда она верна, т.е. совершить ошибку первого рода.

Вероятность не отклонить ложную гипотезу обозначается .

При проверке нулевой гипотезы могут возникнуть следующие ситуации (табл.):

	верная	ложная
отклоняется	Ошибка второго рода	Решение верное
не отклоняется	Решение верное	Ошибка второго рода

Проверка любой статистической гипотезы осуществляется с помощью статистического критерия.

Статистический критерий – это случайная величина [статистика], которая используется с целью проверки нулевой гипотезы.

В дальнейшем статистический критерий непараметрических гипотез будем обозначать, как правило, буквой .

Статистические критерии носят название соответственно распределению: критерий, — критерий, t-критерий и т.д.

Наблюдаемое значение статистического критерия – это значение критерия, которое рассчитано по выборке с определенным законом распределения.

Множество всех возможных значений выбранного статистического критерия разделяется на два непересекающихся подмножества. Первое из этих подмножеств включает в себя значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а второе – те значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Критическая область – это множество возможных значений статистического критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Область принятия гипотезы [область допустимых значений] – это множество возможных значений статистического критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

В том случае, если наблюдаемое значение статистического критерия (рассчитанное по выборочной совокупности) принадлежит критической области, нулевую гипотезу отвергают. Если же наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается.

Критические точки [квантили] – это точки, которые разграничивают критическую область и область принятия гипотезы.

Выделяют одностороннюю и двустороннюю критические области. Дадим определения данных критических областей на примере условного статистического критерия .

Правосторонняя критическая область определяется неравенством , где это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством , где — это отрицательное значение статистического критерия. определяемое по таблице распределения данного критерия.

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами , , где — отрицательное значение и

Источник

Если принимается ложная гипотеза то говорят что совершается ошибка

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Виды ошибок при проверке гипотез

Введение в проверку гипотез

Два типа статистических гипотез

Проверка гипотез

Два типа ошибок принятия решений

Односторонний и двусторонний тесты

Раздел 2 лекция 5

Предложите, как улучшить StudyLib

Содержание

Определения

О смысле ошибок первого и второго рода

Вероятности ошибок (уровень значимости и мощность)

Примеры использования

Радиолокация

Компьютеры

Компьютерная безопасность

Фильтрация спама

Вредоносное программное обеспечение

Поиск в компьютерных базах данных

Оптическое распознавание текстов (OCR)

Досмотр пассажиров и багажа

Биометрия

Массовая медицинская диагностика (скрининг)

Медицинское тестирование

Исследования сверхъестественных явлений

См. также

Примечания

А вот еще интересные материалы: