Динамическая ошибка регулирования формула

Максимальная
динамическая ошибка

– наибольшее
отклонение регулируемой переменной от
заданного значения У_зад:

.
(3.1)

В
устойчивой САР максимальным является
первое отклонение. Таким образом,
показатель

характеризует динамическую точность
регулирования [14].

Время
регулирования
t_p
–промежуток времени от момента нанесения
возмущающего воздействия до момента,
начиная с которого отклонение регулируемой
переменной от установившегося значения
становится и остается меньше наперед
заданного значения ].

Остаточное
отклонение (остаточная неравномерность)
—
абсолютная статическая ошибка
регулирования, определяемая как разность
между установившимся значением
регулируемой величины и ее заданным
значением:

=У_уст
– У_зад.
(3.2)

Показатель

характеризует точность регулирования
в статическом режиме [5].

Во
всех системах регулирования обязательно
имеется статическая ошибка. Ее можно
уменьшать путем увеличения общего
коэффициента усиления регулятора.
Однако она все равно остается, так как
увеличение коэффициента усиления
регулятора всегда ограничено.

Причиной
статической ошибки системы регулирования
является то, что в равновесном состоянии
регулятора положение регулирующего
органа жестко связано с величиной
регулируемой величины [6].

Система
регулирования, которая по принципу
своего действия обладает статической
ошибкой, называется статической
системой, а
регулятор в этом случае называется
статическим
регулятором.
Статический регулятор осуществляет
следующий закон регулирования:

y
= k_регх,

(3.3)

где
х
– отклонение регулируемой величины, у
– регулирующее воздействие регулятора
на объект.

Система
автоматического регулирования, не
обладающая статической ошибкой,
называется астатической
системой автоматического
регулирования,
а регулятор называется астатическим
регулятором [3].

3.2. Критерии устойчивости сар

Понятие
устойчивости САР связано с способностью
системы возвращаться в состояние
равновесия после исчезновения внешних
сил, которые вывели ее из этого состояния.

Устойчивость
систем автоматического управления
является одним из важнейших условий их
работоспособности, так как устойчивость
включает в себя требование затухания
переходных процессов во времени.
Очевидно, что система с расходящимся
процессом была бы неработоспособной.

Рассмотрим
дифференциальное уравнение движения
линеаризованной системы автоматического
регулирования, записанное для регулируемой
величины у(t)
при наличии управляющего воздействия
g(t)
и при равенстве нулю возмущающих
воздействий (см. формулу (2.4)):

.(3.4)

Процесс
регулирования определяется решением
дифференциального уравнения, как сумма
двух решений – частного решения
неоднородного уравнения (3.4)
с правой частью и общего решения уравнения
(3.4)
без правой части [1].

Характеристическое
уравнение САР имеет вид:

.
(3.5)

Корни
характеристического уравнения (3.5)
определяются только видом левой части
уравнения (3.4).
Постоянные интегрирования определяются
также и видом правой части. Поэтому
быстрота затухания и форма переходного
процесса определяются как левой, так и
правой частями исходного дифференциального
уравнения. Однако поскольку в понятие
устойчивости входит только факт наличия
или отсутствия затухания переходного
процесса (независимо от быстроты
затухания и формы переходного процесса),
то устойчивость линейной системы не
зависит от вида правой части
дифференциального уравнения (3.4)
и определяется только характеристическим
уравнением (3.5)
[13].

Так
как получающаяся при решении линейного
дифференциального уравнения (3.4) формула
переходного процесса содержит составляющие
в виде экспонент от вещественных частей
корней характеристического уравнения
САР (3.5) (см. главу 2), то для того, чтобы
САР была устойчивой и переходный процесс
затухал, необходимо, чтобы вещественные
части корней были отрицательными.

Следовательно,
для устойчивости линейной САР необходимо,
чтобы все корни лежали слева от мнимой
оси, в левой полуплоскости комплексных
чисел. Если хотя бы один корень окажется
справа от мнимой оси, то система будет
неустойчивой. Система будет находиться
на границе устойчивости при наличии:
нулевого корня

();
пары чисто мнимых корней
;
бесконечного корня

().
Во всех трех случаях предполагается,
что все остальные корни имеют отрицательные
вещественные части.

Необходимым
(но не достаточным) условием устойчивости
САР является положительность всех
коэффициентов характеристического
уравнения [7]. Это означает, что система
является неустойчивой, если хотя бы
один из коэффициентов характеристического
уравнения отрицателен. Если все
коэффициенты характеристического
уравнения положительны, то требуются
дополнительные исследования САР на
устойчивость с помощью критериев
устойчивости Гурвица, Михайлова или
Найквиста [3].

В
программе «SAU»
для определения устойчивости САР
используется критерий устойчивости
Гурвица, как наиболее удобный с точки
зрения компьютерной реализации. В методе
Гурвица для характеристического
уравнения (3.5) составляется квадратная
матрица коэффициентов, содержащая n
строк и n
столбцов:

.
(3.6)

Критерий
устойчивости сводится к тому, что при
а₀>0
должны быть больше нуля все n
определителей Гурвица, получаемых из
квадратной матрицы коэффициентов.

Определители
Гурвица составляются по следующему
правилу:

;
;

(3.7)

Последний
определитель включает в себя всю матрицу.
Но так как в последнем столбце матрицы
все элементы, кроме нижнего, равны нулю,
то последний определитель Гурвица
выражается через предпоследний следующим
образом:

.
(3.8)

Однако
в устойчивой системе предпоследний
определитель тоже должен быть
положительным. Поэтому условие
положительности последнего определителя
сводится к условию
,
т.е. к положительности свободного члена
характеристического уравнения [1].

Условия
нахождения системы на границе устойчивости
можно получить, приравнивая к нулю
последний определитель ()
при положительности всех остальных
определителей. Как следует из (3.8),
это условие распадается на два условия:

и
.
Первое
условие соответствует границе устойчивости
первого типа (апериодическая граница
устойчивости), а второе – границе
устойчивости второго типа (колебательная
граница устойчивости).

Для
уравнения второго порядка необходимым
и достаточным условием устойчивости
является положительность всех
коэффициентов характеристического
уравнения. Для уравнений более высокого
порядка необходимо исследование с
помощью составления определителей
Гурвица и проверки их на положительность.

Существенным
недостатком критерия Гурвица является
то, что для уравнений высоких порядков
в лучшем случае можно получить ответ о
том, устойчива или неустойчива система
автоматического регулирования. При
этом в случае неустойчивой системы
критерий не дает ответа на то, каким
образом надо изменять параметры системы,
чтобы сделать ее устойчивой. Это
обстоятельство привело к поискам других
критериев, которые более удобны в
инженерной практике.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Демьян Бондарь

Эксперт по предмету «Автоматизация технологических процессов»

преподавательский стаж — 5 лет

Задать вопрос автору статьи

Качество систем управления в переходном режиме

Определение 1

Качество системы управления – это комплексная оценка работы системы управления в зависимости от ее назначения.

Самыми распространенными показателями качества системы в переходном процессе являются:

Интегральные критерии.
Статическая ошибка регулирования.
Степень колебательности.
Динамическая ошибка регулирования.
Время регулирования.
Степень устойчивости.

Статическая ошибка регулирования представляет собой разность между установившемся значением регулируемого параметра и его заданным значением. Динамическая ошибка регулирования равняется наибольшему отклонению регулируемой величины от ее установившегося значения. Время регулирования определяется, как время, за которое разность между текущим значением регулируемого параметра и его заданным значением становится меньше допустимого отклонения. Степень устойчивости автоматической системы управления характеризует запас устойчивости в плоскости корней характеристического уравнения и равняется расстоянию до оси ближайшего корня. Данный критерий характеризует интенсивность затухания наиболее медленно затухающей неколебательной составляющей переходного процесса.

IT Профессия «Разработчик ПО»

Получишь знания, необходимые в работе, соберешь портфолио из собственных проектов и начнешь получать $$

Узнать подробнее

Степень колебательности равняется минимальному модулю отношения действительной и мнимой частей корня, то есть:

Рисунок 1.

Если в плоскости корней характеристического уравнения устойчивой системы провести из начала координат два луча (как показано на рисунке ниже) таким образом, чтобы одна пара корней находилась на данных лучах, а остальные лежали слева от них, то тангенс угла, который заключен между лучами и мнимой осью, равный отношению действительной и мнимой частей корней, лежащих на лучах АОВ, является степенью колебательности системы.

График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Качество систем управления в установившемся и переходном режимах» 👇

Степень затухания является количественной оценкой интенсивности затухания колебательного процесса:

Рисунок 3.

Между степенью затухания и степенью колебательности существует однозначная зависимость:

Рисунок 4.

Степень затухания может изменяться в пределах от 0,1 до 1, а степень колебательности от 0 до бесконечности. В отличии от прямых показателей интегральные критерии дают обобщенную оценку качества системы, они делятся на:

линейный интегральный критерий,
модульные интегральные критерии,
квадратичный интегральный критерий,
обобщенные интегральные критерии.

Качество системы управления в установившемся режиме

Определение 2

Установившийся режим – это режим, параметры которого не изменяются во времени или меняются в соответствии с периодическим законом.

Рассмотрим схему одноконтурной системы, которая представлена на рисунке ниже.

Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Схема одноконтурной системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассматриваемая схема может быть упрощена следующим образом.

Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Упрощенная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того, чтобы согласовать сигналы u3(t) и uoc(t) надо подобрать одинаковые передаточные функции Wбз(р) и Wби(р), поэтому должно выполняться следующее равенство:

$Wбз(р) = Wби(р)$

С учетом представленного выше равенства схему рассматриваемой системы можно представить в следующем виде.

Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Схема системы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В этом случае ошибка регулирования входит в формулу для определения сигнала рассогласования:

$ΔU(р) = Δ(р) WБИ(р)$

Ошибка δ(t) зависит от величины параметров, задающего и возмущающего воздействия, таким образом ее значение может быть выражено как сумма ошибок данных воздействий:

$δ(t) =δy(t) + δf(t)$

Передаточные функции выражаются следующим образом:

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Передаточная функция разомкнутого контура выражается следующим образом

$Wрк (р) =WБИ(р) WБУ (р) WОУ(р)$

Исходя из представленных выше выражений величина изображения ошибки определяется следующим образом:

Рисунок 10.

Существую типовые законы оценки установившегося режима, установленные условиями:

Возмущающее и задающее воздействия не изменяются во времени и постоянны, то есть — yз(t), f (t) = const.
Изменения в системе происходят с постоянной скоростью, то есть — yз (t) = a t и f (t) = const.
Изменения в системе происходят с постоянным ускорением, то есть — y(t) = b t2/2и f (t) = const.
Изменения в системе происходят по гармоническому закону, то есть — yз (t) = y0 sin(ω t) и f (t) = const.

Определение 3

Статическая ошибка – это значение ошибки регулирования при постоянной величине входного воздействия.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

1. Коэффициенты ошибок. 2. Определение коэффициентов ошибок в системах автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных характеристик. 3. Повышение точности систем автоматического регулирования путем применения комбинированного управления. 4. Основные характеристики случайных процессов.

5. Свойства корреляционных функций стационарных процессов.

6. Свойства спектральной плотности мощности. 7. Операции над случайными процессами. 8. Преобразование случайных сигналов линейными системами. 9. Расчет ошибок в системе автоматического регулирования при действии шумов. 10. Оптимизация систем автоматического регулирования при воздействии случайных сигналов и шумов.

Одной из наиболее важных характеристик системы автоматического регулирования является ее динамическая точность, или ошибка в системе при подаче на нее управляющих и возмущающих воздействий. Как уже отмечалось в гл. I, все управляющие и возмущающие воздействия делятся на два типа: регулярные и случайные.

Обычно регулярные воздействия являются медленно меняющимися функциями времени по сравнению с длительностью переходного процесса системы.

При этом точность системы регулирования определяется значением ошибки в установившемся режиме:

Это условие налагает вполне определенные требования на воздействия. В этом случае точность системы рассчитывается по коэффициентам ошибки, получаем с помощью передаточной функции замкнутой системы по ошибке и производным от воздействий.

Если управляющее и возмущающее воздействия представляют собой случайные функции и задаются вероятностными характеристиками, то точность системы определяется не мгновенными значениями ошибки, а ее средней величиной. В качестве такой меры используется среднее значение квадрата ошибки

При этом считается что полезный сигнал и помеха являются случайными воздействиями

1. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Определим коэффициенты ошибок в статических системах автоматического регулирования с помощью выражения для ошибки

Представим в обычной форме:

Выражение (XIII.4) приведем к виду

Введем в выражение (XIII.5) следующие обозначения:

Тогда выражение (XIII.5) будем иметь вид

Подставив выражение (XIII.6) в формулу (XIII.3), получим

Разложим выражение (XIII.7) в ряд Маклорена при малых

Постоянные ряда Маклорена называются коэффициентами ошибок статической системы автоматического регулирования.

Для определения этих коэффициентов разделим числитель выражения (XIII.7) на его знаменатель, т. е. где

Продолжая процесс деления, получим искомый результат в виде следующего ряда коэффициентов:

Данный ряд является сходящимся, так как в установившемся состоянии значение мало. Применив к ряду (XIII.8) обратное преобразование Лапласа, получим

где несколько первых коэффициентов ряда имеют значения

При условии выражение (XIII. 10) можно представить в виде следующего приближенного ряда:

где — коэффициент статизма статической системы; — коэффициент добротности статической системы по скорости; — коэффициент добротности статической системы по ускорению; — коэффициент добротности статической системы по первой производной ускорения.

Эти коэффициенты связаны следующими соотношениями с коэффициентами ошибок:

Перейдем к определению коэффициентов ошибок в системах автоматического регулирования с астатизмом первого порядка.

Передаточная функция (XIII.6) разомкнутой системы с астатизмом первого порядка имеет вид

тогда

Из выражения (XIII.15) можно получить ряд

Для определения коэффициентов ошибок разделим где

Запишем результат деления в виде

т. е.

Ряд (XIII.17) является сходящимся при Применив к ряду (XIII.18) обратное преобразование Лапласа и учитывая выражение (XIII.17), найдем

где

Выражение (XIII. 18) приближенно представим в следующем виде:

где — коэффициент добротности по скорости для системы с астатизмом первого порядка; — коэффициент добротности по ускорению для системы с астатизмом первого порядка; — коэффициент добротности по первой производной ускорения для системы с астатизмом первого порядка.

Коэффициенты ошибок связаны с добротностями следующими соотношениями:

Перёйдем к определению коэффициентов ошибок системы автоматического регулирования с астатизмом второго порядка. В этом случае выражение (XIII.6) принимает вид

откуда получим, что

Используя выражение (XIII.23) и деление по степеням, найдем

Воспользуемся снова методом деления числителя на знаменатель выражения (XII 1.23); тогда получим ряд

Пользуясь обратным преобразованием Лапласа, найдем

где

Ограничиваясь двумя первыми слагаемыми, ряд (XIII.26) можно переписать в виде

Рис. XIII.I. Сравнительная оценка точностей статической и астатических систем автоматического регулирования при подаче на вход типового сигнала : 1 — статическая система; 2 — астатическая система первого порядка; 3 астатическая система второго порядка

где — коэффициент добротности по ускбрению системы с астатизмом второго порядка; коэффициент добротности по производной ускорения системы с астатизмом второго порядка.

Из выражений (XIII.26) и (XIII.27) получим

Сравним точность статической и астатических систем автоматического регулирования при действии некоторых типовых сигналов. Пусть на вход систем поступает сигнал тогда по формулам (XIII.10), (XIII.18) и (XIII.26) найдем следующие значения ошибок: для статической системы

для астатической системы первого порядка

для астатической системы второго порядка

Примем, что коэффициенты, входящие в формулы будут

Кривые ошибок для трех рассматриваемых автоматических систем построены на рис. XIII.1. Как видно из рисунка, наибольшую точность имеет система автоматического регулирования с астатизмом второго порядка.

Будем считать, что на вход системы поступает синусоидальный сигнал

где — достаточно малая частота.

Выражения ошибок имеют следующий вид: для статической системы

или при малых

для астатической системы первого порядка

или при малых

для астатической системы второго порядка

или при малых

Подставим в формулы (XIII.34), (XIII.36) и (XIII.38) следующие значения параметров: тогда рад. Из полученных значений видно, что при действии синусоидального сигнала система с астатизмом первого порядка в 5 раз, а система с астатизмом второго порядка в 50 раз точнее статической системы.

В заключение можно отметить, что формулы (XIII.12), (XIII.20) и (XIII.27) пригодны для вычисления ошибок в системах автоматического регулирования при любых сигналах, поступающих на их вход, когда спектр входного сигнала заключен в полосе низких частот (до со (см. гл. XVII). Перейдем к примерам определения точности конкретных систем автоматического регулирования.

Пример XIII.1. Определить коэффициенты ошибок и построить характеристику точности в астатической системе автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию

если управляющий сигнал, поступающий на вход, записывается в виде

Представим передаточную функцию (XI 11.39) в виде

Тогда по выражениям (XIII.19) получим

По формуле (XIII. 18) найдем

где — длительность переходного процесса (время регулирования).

По этому выражению на рис. XIII.2 построена характеристика точности системы автоматического регулирования с астатизмом первого порядка.

Рис. XIII.2. Характеристика точности системы автоматического регулирования с астатизмом первого порядка при рад.

Рис. XIII.3. Характеристика точности следящей системы с астатизмом второго порядка

Пример XIII.2. Определить коэффициенты добротности в следующей системе с астатизмом второго порядка и построить характеристики точности по угловому ускорению входного сигнала, если ее передаточная функция имеет вид