Что показывает интегральная квадратичная ошибка

сто дисперсий использовать соответствующие среднеквадратические отклонения – σε = Dε и

σu = Du , которые измеряются в тех же единицах, что и исходные величины. Этот график показывает, какая мощность управления требуется, чтобы обеспечить заданную точность стаби-

лизации. Наоборот, по графику можно определить, какую точ- σ
ность можно обеспечить, имея заданную мощность управления.	u

В этом смысле можно называть эту кривую кривой качества
системы.
Каждая точка этой кривой соответствует какому-то Паре-
то-оптимальному регулятору. Поскольку для таких регуляторов
нельзя одновременно уменьшить оба показателя качества, вы-
пуклость кривой всегда направлена в сторону начала коорди-		σε
нат. Серая область недостижима, то есть, ни один регулятор в

такой системе не может обеспечить соответствующее качество.

6. Оптимальные следящие системы

6.1. Постановка задачи

Задача следящей системы – отслеживать на выходе z сигнал r , подаваемый на вход. Например, систему автоматического управления курсом корабля (автопилот) можно рассматривать как следящую систему ( r – заданный курс, z – фактический курс).

Точность следящей системы определяется свойствами сигнала ошибки ε = r − z :

Если эталонный (задающий) сигнал r – случайный процесс с известной спектральной плотностью, мы получаем задачу оптимизации при случайных возмущениях, варианты которой были рассмотрены ранее.

Здесь мы остановимся на задаче оптимизации при детерминированных (известных, определенных, неслучайных) возмущениях. Это означает, что мы знаем входной сигнал r (например, его изображение по Лапласу R(s) ). При этом требуется обеспечить «малость» ошибки ε в

некотором смысле. В идеальном случае ошибка равна нулю для любого момента времени. В реальных системах этот результат чаще всего недостижим, поскольку требует бесконечно большого управления.

Предположим, что входной сигнал имеет ступенчатый вид, причем можно считать, что его изменение происходит достаточно редко, так что при очередном скачке переходный процесс, вызванный предыдущим изменением, уже закончился. В этом случае имеет смысл строить систему, оптимальную для единичного скачка на входе. Так как система линейная, при любом изменении величины скачка она останется оптимальной (изменится только величина сигналов).

В идеале мы хотим, чтобы изменение входного сигнала мгновенно привело к такому же изменению на выходе. Можно догадаться, что для мгновенного перевода инерционной системы (а не просто усилителя) в новое состояние требуется бесконечное управление. Этот вариант неприемлем с практической точки зрения и нереализуем, поскольку управляющий сигнал всегда ограничен. Таким образом, реальный переходный процесс будет отличаться от идеального. Как же измерить эту ошибку, оценив ее одним числом?

		z(t)	ε < 0
	r(t)	r(t)
	z(t)
	ε > 0	ε > 0
0	t	0	t

Казалось бы, можно взять интеграл от сигнала ошибки ε = r − z на интервале от 0 до бесконечности15

∞

I1 = ∫ε(t) dt ,

15 Чтобы такой интеграл сходился, необходимо, чтобы ошибка ε(t) стремилась к нулю при t → ∞ .

однако он может служить для оценки ошибки только при монотонном переходном процессе, когда ошибка всегда остается положительной (см. рисунок слева). Если процесс колебательный, на разных интервалах ошибка может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому использовать этот интеграл для оценки ошибки нельзя (см. рисунок справа).

Мы можем справиться с этой проблемой, если интегрировать модуль ошибки:

∞

I2 = ∫ ε(t) dt .

Такую оценку иногда используют при численной оптимизации. К сожалению, получить оптимальную передаточную функцию регулятора аналитически (по формулам) в этом случае не удается.

Удобнее всего минимизировать интеграл от квадрата ошибки (его также называют инте-

гральной квадратической ошибкой):

∞
I = ∫ε2 (t) dt .	(28)
0

Далее мы увидим, что задачу оптимизации по такому критерию удается свести к задаче фильтрации Винера.

6.2. Теорема Парсеваля

Для большинства задач в теории управления существует два типа решений – временное (когда рассматривается изменение сигналов во времени) и частотный (работа с передаточными функциями и частотными характеристиками).

Эти подходы не исключают, а взаимно дополняют друг друга, позволяя увидеть разные стороны одной задачи. Для построения оптимального фильтра Винера мы использовали операции с передаточными функциями (частотный метод Боде и Шеннона), хотя сам Винер впервые предложил решение этой задачи с помощью временного метода (на основе корреляционных функций).

Для того, чтобы использовать уже рассмотренные алгоритмы, нужно «перевести» задачу с критерием (28) в частотную область, то есть, выразить критерий через изображения сигналов по Лапласу и передаточные функции. Это позволяет сделать теорема Парсеваля, которая утверждает, что интеграл от квадрата функции ε(t) , которая равна нулю при t < 0 и стремится к ну-

лю при t → ∞ , равен интегралу от «квадрата» ее преобразования Лапласа E(s) :

∞	1	j∞
I = ∫ε2 (t) dt =	∫E(s) E(−s) ds .	(29)
2πj
0	− j∞

Выражение E(s) E(−s) можно назвать «квадратом» потому что оно на мнимой оси (где берется интеграл), при подстановке s = jω , действительно является квадратом частотной характеристики E( jω) :

E( jω) E(− jω) = E( jω) 2 .

Заметим, что функционал (29) в нашей задаче (при известном входном сигнале) совпадает по форме (при X (s) = E(s) E(−s) ) с функционалом (19), который получен в задаче фильтрации

при случайных возмущениях. Поэтому для решения задачи можно использовать алгоритм, применявшийся при расчете фильтра Винера.

6.3. Эквивалентность двух задач

Теорема Парсеваля позволяет обнаружить связь между задачами анализа и синтеза при случайных (или стохастических) и детерминированных возмущениях.

Поскольку ошибка ε(t) стремится к нулю при t → ∞ , ее преобразование Лапласа E(s) – устойчивая функция (все ее полюса имеют отрицательные вещественные части). Если рассмат-

ривать E(s) как передаточную функцию формирующего фильтра, то можно построить соответствующую спектральную плотность Sε (ω) = E( jω) E(− jω) , так что

∞	1	∞	1	∞
∫ε2 (t) dt =	∫Sω (ω) dω =	∫Sω (ω) dω .
2π	π
0	−∞	0

Таким образом, интеграл от квадрата функции ε(t) , стремящейся к нулю при t → ∞ , равен среднему квадрату случайного процесса, имеющего спектральную плотность Sε (ω) .

Пусть существует некоторая система с передаточной функцией W (s) . Обозначим ее входной сигнал через w(t) , а выходной – через ε(t) .

w W (s) ε

Если w – единичный центрированный белый шум, то спектральная плотность выхода ε равна Sε (s) =W (s) W (−s) , а дисперсия выхода (средний квадрат) – интегралу от спектральной

плотности по мнимой оси.

В то же время, если w – единичный импульс (дельта-функция), изображение выхода по Лапласу равно E(s) =W (s) , а интегральная квадратическая ошибка равна тому же самому инте-

гралу от W (s) W (−s) . Таким образом, вместо вычисления дисперсии выхода при белом шуме на входе можно вычислить интеграл от квадрата выходного сигнала при импульсном входе, и наоборот. Квадратный корень из этой величины называется H2 -нормой передаточной функции

W (s) :

	1	j∞
W (s) 2 =	∫W (s) W (−s) ds
	2πj	− j∞

и вычисляется с помощью функции norm среды MATLAB.

С другой стороны, пусть передаточная функция W (s) зависит определенным образом от выбора регулятора C(s) . Тогда, как следует из сказанного, две следующие задачи оптимизации эквивалентны:

1)найти регулятор C(s) , минимизирующий дисперсию ошибки при единичном белом шуме на входе;

2)найти регулятор C(s) , минимизирующий интегральную квадратическую ошибку при по-

ступлении на вход единичного импульса (дельта-функции).

Вторая задача в теории управления называется задачей H2 -оптимизации или просто H2 — задачей (поскольку требуется обеспечить минимум H2 -нормы передаточной функции замкнутой системы), а о первой говорят как о стохастическом варианте H2 —задачи.

6.4. Разомкнутые системы

Чтобы понять особенности задачи, сначала мы рассмотрим простейшую разомкнутую систему, состоящую только из регулятора C(s) и объекта F(s) :

w = δ(t)		r	u	z	ε
R(s)	C(s)	P(s)

Входной сигнал r задан в виде преобразования Лапласа R(s) , так что его можно представить как результат прохождения единичного импульса (дельта-функции δ(t) ) через звено с переда-

точной функцией R(s) . Такой способ общепринят при моделировании входных сигналов и по-

зволяет представить систему в стандартном виде: на входе – дельта-функция, на выходе – ошибка.

Передаточная функция системы от входа w к выходу ε равна

W (s) = (1−CP)R .

Предполагается, что все звенья устойчивы. Это значит, что все полюса функций P(s) и R(s) имеют отрицательные вещественные части и регулятор C(s) , который требуется найти, также

должен обладать этим свойством. Кроме того, регулятор должен обеспечить минимум интегральной квадратической ошибки

∞	1	j∞
I = ∫ε2 (t) dt =	∫X (s) ds ,
2πj
0	− j∞

где X (s) =W W * = PP*RR*CC* − PRR*C − P*RR*C* + RR* . Подынтегральное выражение имеет

форму (18), как для задачи Винера, поэтому можно применить уже известный алгоритм поиска оптимальной устойчивой передаточной функции C(s) .

Попытаемся понять, какие результаты мы можем получить в результате оптимизации. Прежде всего, выбор регулятора из условия CP =1 сразу дает W (s) = 0 , то есть, ошибка будет

нулевой не только при ступенчатом, но и при любом другом входе. Это так называемое условие инвариантности, при котором обеспечивается идеальное слежение за эталонным сигналом. Именно такой регулятор будет получен в результате оптимизации «в лоб», если все нули передаточной функции P(s) находятся в левой полуплоскости.

Ксожалению, все не так просто. Как правило, передаточные функции реальных объектов

–строго правильные, то есть, степень их числителя меньше, чем степень знаменателя. Тогда передаточная функция регулятора C(s) =1/ P(s) будет неправильной (степень числителя больше

степени знаменателя). Как было показано при анализе задачи оптимизации при случайных возмущениях, такой регулятор неприменим в практических задачах по двум причинам:

1)регулятор содержит дифференцирующее звено, поэтому при скачкообразном изменении входного сигнала сигнал управления должен теоретически стать бесконечным;

2)регулятор усиливает высокочастотные помехи измерений вместо того, чтобы подавлять их; это делает систему неработоспособной.

Взадаче оптимизации при случайных возмущениях мы добивались «ската» частотной характеристики регулятора на высоких частотах с помощью ограничения на сигнал управления: в критерий качества вводилась дисперсия управления с некоторым весовым коэффициентом, который подстраивался методом проб и ошибок.

∞

Если формально составить критерий I = ∫[ε2 (t) + ku2u2 (t)]dt , добавив интеграл от квадрата

сигнала управления u(t) с весовым коэффициентом ku2 , то ничего хорошего не получится, поскольку установившееся значение u(t) при t → ∞ не равно нулю. Следовательно, интеграл

расходится и теорема Парсеваля неприменима. Оптимизация в частотной области не имеет смысла: если формально применить алгоритм синтеза, получится регулятор, для которого ошибка в установившемся режиме (при t → ∞ ) не равна нулю.

Чтобы грамотно ограничить управляющий сигнал, нужно ввести ошибку управления εu (t) , то есть отклонение фактического сигнала управления u(t) от некоторого эталонного сигнала u0 (t) , который должен быть выбран так, чтобы ошибка управления εu (t) = u0 (t) −u(t) стреми-

лась к нулю при t → ∞ . Тогда можно искать минимум критерия

∞

I = ∫[ε2 (t) + ku2εu2 (t)]dt ,

это позволит ограничить мощность управления и при этом минимизировать ошибку слежения. Изменяя коэффициент ku , мы получим семейство Парето-оптимальных регуляторов, как и в за-

даче оптимизации при случайных возмущениях.

Как же выбрать сигнал u0 (t) ? Для простоты рассмотрим только случай ступенчатого входного сигнала. Поскольку передаточная функция C(s) устойчива, установившееся значение u∞ сигнала u(t) при t → ∞ – постоянная величина, ее можно рассчитать следующим образом.

Если вход w – это единичный импульс, то установившееся значение эталонного сигнала r(t) можно определить по теореме о конечном значении для преобразования Лапласа

r∞ = lim r(t) = lim s R(s) .
t →∞	s→0

Например, если r(t) – единичный ступенчатый сигнал, для которого R(s) =1/ s , то r∞ =1. С другой стороны, для того, чтобы установившаяся ошибка была равна нулю, необходимо, чтобы предельное значение сигнала z(t) тоже было равно r∞ . Учитывая, что P(s) – устойчивая передаточная функция, имеем

r∞ = kP u∞ ,

где u∞ – нужное нам установившееся значение сигнала управления, а kP – статический коэф-

фициент усиления объекта, который вычисляется по формуле kP = lim P(s) (в среде MATLAB это

s→0

делает функция dcgain). Таким образом, в качестве эталонного сигнала управления можно

выбрать любой сигнал u0 (t) , у которого предельное значение при t → ∞ равно u∞ = r∞ , на- kP

пример, ступенчатый сигнал u0 (t) = u∞ (t > 0) , изображение которого равно U0 (s) = us∞ .

Теперь построим стандартную систему, соответствующую задаче оптимизации. Уравнения в изображениях имеют вид:

ε = Rw − Pu

kuεu = kuU0w − kuu y = r = Rw

Учитывая, что первые два уравнения определяют ошибки по выходу и по управлению, имеем

		R			− P	, G21(s) = R и G22 (s) = 0 .
G11	(s) = k U		, G12	(s) = − k
		u	0			u

6.5. Замкнутые системы

Теперь рассмотрим аналогичную задачу для замкнутой системы.

w = δ(t)	R(s)	r	y	u	P(s)	z	ε
			C(s)

Что изменилось с появлением замкнутого контура? Во-первых, уже не требуется, чтобы передаточные функции регулятора C(s) и объекта P(s) были устойчивыми. Во-вторых, требуется

обеспечить устойчивость замкнутой системы. В-третьих, поскольку P(s) может содержать множитель s в знаменателе (соответствующий интегрирующему звену), статический коэффи-

циент усиления kP = lim P(s) может оказаться равным бесконечности. Поэтому нужно скоррек-

s→0

тировать процедуру выбора эталонного управляющего сигнала.

							© К.Ю. Поляков, 2009
Передаточная функция от входа w к ошибке ε	равна	C
		C		~	~
W (s) = 1	−		P	R = (1 −CP)R , где C(s) =		,
1 +CP	1 +CP

поэтому подынтегральное выражение в критерии качества будет зависеть от C(s) , а не от C(s) .

Чтобы обеспечить устойчивость получаемой оптимальной системы в общем случае нужно использовать параметризацию стабилизирующих регуляторов (см. аналогичную задачу при случайных возмущениях).

При определении эталонного сигнала управления вроде бы все осталось по-прежнему: по

теореме о предельном значении

r∞

r = z

∞

= lim s P(s) U

(s)

= k

∞

s→0

∞

Однако, проблема в том, что объект может содержать интегрирующие звенья, поэтому статиче-

ский коэффициент усиления kP = lim P(s) обращается в бесконечность. В этом случае эталон-

s→0

ный сигнал управления должен стремиться к нулю при t → ∞ . Например, можно принять u0 (t) = 0 при всех t .

Построим стандартную систему в задаче оптимизации по критерию

∞

I = ∫[ε2 (t) + ku2εu2 (t)]dt → min .

Уравнения системы имеют вид

ε = Rw − Pu

kuεu = kuU0w − kuu y = Rw − Pu

Учитывая, что первые два уравнения определяют ошибки по выходу и по управлению, имеем

G11	R		, G12	− P	, G21(s) = R	и G22 (s) = −P . Как видим, все отличие от разомкну-
(s) = k U	(s) = − k
	u	0			u

той системы состоит в функции G22 (s) , которая в данном случае не равна нулю и представляет

собой передаточную функцию контура (без регулятора).

Можно показать, что устойчивые полюса передаточной функции объекта P(s) (и неус-

тойчивые полюса, «отраженные» от мнимой оси) становятся корнями характеристического уравнения оптимальной замкнутой системы. Вроде бы получается, что для объекта, включающего интегрирующее звено, задача не имеет решения. Однако из этого правила есть исключение: если модель входного сигнала R(s) также содержит интегрирующее звено (например, для

единичного ступенчатого сигнала R(s) =1/ s ), в ходе синтеза происходит сокращение двух

множителей и оптимальная система оказывается устойчивой.

Если учитывать динамику привода и датчиков, схема немного усложняется:

w = δ(t)	R(s)	r	y	u	z	ε
		C(s)	H (s)	P(s)

F(s)

В этом случае стандартная система описывается матрицами

		R			− PH	, G21(s) = R и G22 (s) = −FPH .
G11	(s) = k U		, G12	(s) =	−k
		u	0				u

Заключение

Шаг за шагом, мы кратко рассмотрели основные понятия теории случайных процессов, а также принципы проектирования оптимальных линейных систем при случайных и детерминированных возмущениях.

Нужно понимать, что вы прочитали не учебник, а небольшое введение, призванное познакомить с основными идеями и дать общее представление о рассматриваемых вопросах. Тот, кто серьезно собирается изучать современные методы теории управления и использовать их в своей работе, должен продолжить изучение, взяв «нормальные» учебники (см. список литературы), в которых материал изложен значительно более строго и научно.

За рамками пособия остались многие родственные темы, с которыми должен быть знаком современный специалист по автоматическому управлению. Достаточно сказать, что мы рассмотрели только линейные непрерывные системы, тогда как практически все реальные системы содержат нелинейности и управляются цифровыми регуляторами, то есть являются непрерыв- но-дискретными. Ничего не было сказано о современных методах исследования многомерных систем (со многими входами и выходами) на основе моделей в пространстве состояний.

Автор будет считать свою задачу выполненной, если читатель почувствует в себе силы не остановиться на достигнутом и продолжить самообразование.

Литература для последующего чтения

(в порядке увеличения количества страниц)

1.Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989.

2.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения.

М.: Наука, 1991.

3.Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы

– СПб.: Питер, 2003.

4.Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных – М.: Мир, 1989.

5.Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления – М.: Наука, 1986.

6.Квакернак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер с англ. – М.: Мир, 1977.

7.Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо М.Э. Проектирование систем управления. М.: Бином, Лаборатория базовых знаний, 2004.

Источник

Макеты страниц

Для иллюстрации нормировки и метода Лагранжа рассмотрим пример из § 2.3. В этом примере необходимо выбрать величину коэффициента усиления по скорости для следящей системы из условия минимума интегральной квадратичной ошибки. Сервомотор характеризуется простой передаточной функцией с постоянной времени (см. (2.3-6)). Входной сигнал является единичной функцией с амплитудой желаемый сигнал на выходе также равен единичной функции. Исследуем эффект ограничения интегрального квадратичного значения ускорения на выходе при определении минимальной величины интегральной квадратичной ошибки.

Ускорение выходной величины обозначим через Индекс ставится для сигнала в системе с насыщением. Следовательно, для этой задачи имеем

Используем символ для обозначения интегрального квадратичного значения функции а именно

Тогда на основании теоремы Парсеваля после нормировки получим

где — нормирующий множитель. Формула (2.7-1) для изображения запишется в виде

Так как изображение выходного сигнала равно изображению входного сигнала, умноженному на передаточную функцию, то (2.7-4) можно записать в виде

Если применить правило нормировки (§ 2.5), то получим

где

Записав (2.3-10) в нормированном виде, получим для

где

Нормировка изображения входного сигнала, согласно (2.3-11), дает

Подстановка в уравнение (2.7-6) функций определенных согласно формулам (2.7-8) и (2.7-10), дает

Следовательно, интегральное квадратичное значение ускорения определяется формулой

где

После вычисления интеграла при помощи формулы для в таблице интегралов в приложении V получаем

Если воспользоваться ненормированным коэффициентом усиления, т. е. коэффициентом усиления по скорости получим

Это выражение определяет интегральное квадратичное значение, ускорения на выходе как функцию параметров системы.

В § 2.3 была определена величина интегральной квадратичной ошибки как функция параметров системы. Она имеет вид

Теперь можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при условии, что интегральное квадратичное значение ускорения на выходе не должно превышать заданной величины Это условие запишется в виде

Интегральное квадратичное значение ускорения является монотонно возрастающей функцией коэффициента усиления по скорости. Величина интегральной квадратичной ошибки — монотонно убывающая функция того же параметра. Если двигателя постоянна, то это означает, что коэффициент усиления по скорости следует увеличивать до тех пор, пока интегральная квадратичная величина ускорения удовлетворяет условию (2.7-17). Таким образом, минимальное значение интегральной квадратичной ошибки определяется допустимым пределом интегральной квадратичной величины ускорения.

Если использовать в (2.7-17) знак равенства, то, подставляя из (2.7-16) интегральное квадратичное значение ускорения, получим уравнение, которое можно решить относительно коэффициента усиления по скорости. Это решение имеет вид

Подставляя это выражение в (2.3-18), получим

что является функцией постоянной времени двигателя и предельного значения интегральной квадратичной величины ускорения сигнала на выходе. Из рис. 2.7-1 видно, как величина интегральной квадратичной ошибки возрастает с убыванием интегральной квадратичной величины ускорения. Кривая Л вычерчена для постоянной времени двигателя, равной 0,1 сек, а кривая В — для 0,01 сек. Обе кривые стремятся к пределу при возрастании интегрального квадратичного значения ускорения. Так как в этом примере имеется всего один свободный параметр, то введение ограничения по ускорению устраняет всякую свободу выбора параметра. Поэтому предположим, что конструктор может произвольно выбирать постоянную времени двигателя. В практических задачах конструктор ограничен в выборе постоянной времени двигателя. Обычно он должен взять ее больше некоторой минимальной величины.

Рис. 2.7-1. Интегральная квадратичная ошибка в зависимости от ограничения на интегральную квадратичную величину ускорения выходного сигнала.

При двух произвольно выбираемых параметрах мы можем теперь проиллюстрировать метод Лагранжа для минимизации функции, подчиненной дополнительным ограничениям. Применяя метод Лагранжа, можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при условии

где — заданная величина. После того как будут найдены значения параметров, при которых интегральная квадратичная ошибка

достигает минимума как функции можно подчинить выбор условию (2.7-17). Так как интегральная квадратичная ошибка является функцией этой постоянной, то можно определить минимальное значение ошибки, допускаемое условием (2.7-17).

Используя метод Лагранжа, будем минимизировать функцию

действуя при этом так, как будто не существует постоянной. Здесь является неопределенным множителем Лагранжа. Вычисляя частные производные этой функции по и получим

Приравнивая частные производные нулю, получаем два уравнения относительно искомых параметров:

После решения этих уравнений имеем

Используя эти равенства совместно с (2.7-16) и (2.7-20), получаем

откуда

На основании (2.7-29) формулы (2.7-26) и (2.7-27) можно записать в виде

После подстановки этих величин в (2.3-18) получаем выражение для интегральной квадратичной ошибки

Попутно отметим, что метод Лагранжа едва ли необходим для этой задачи, так как (2.7-16) можно легко разрешить относительно любого из двух параметров. Решая это уравнение относительно и заменяя согласно (2.7-20), будем иметь

Подставляя эту величину в выражение для интегральной квадратичной ошибки, получаем как функцию коэффициента усиления по скорости

Дифференцируя, имеем

Приравнивая эту производную нулю и решая полученное уравнение относительно получаем (2.7-30). Подставляя полученное значение в (2.7-34), снова получим (2.7-32).

Интегральная квадратичная ошибка, определяемая формулой (2.7-32), является монотонно убывающей функцией связанной со средней квадратичной величиной ускорения. Следовательно, наименьшее значение интегральной квадратичной ошибки можно получить, если подставить в (2.7-32) предельное значение Таким образом, имеем

Это является выражением для минимальной интегральной квадратичной ошибки как функции предельного значения определяемого величиной интегрального квадратичного ускорения выходного сигнала, когда свободно выбираемыми параметрами являются постоянная времени двигателя и коэффициент усиления по скорости. На кривой С рис. 2.7-1 показано изменение интегральной квадратичной ошибки в функции Отметим, что эта кривая лежит всегда ниже и касается кривых, соответствующих фиксированной постоянной времени двигателя. Это соответствует интуитивным представлениям о том, что чем большее число параметров можно выбирать, тем меньшее

значение должна иметь минимальная интегральная квадратичная ошибка. Можно наметить путь улучшения системы за счет увеличения числа степеней свободы, воспользовавшись для этого коэффициентом демпфирования.

Для оптимальных значений параметров и коэффициент демпфирования и собственная частота системы второго порядка, согласно формулам (2.3-19) и (2.3-20), оказываются равными

Коэффициент демпфирования остается в этом случае постоянным, в то время как ранее, когда постоянная времени была задана, он убывал с увеличением коэффициента усиления.

Вспомогательная цель ограничения интегрального квадратичного значения ускорения состоит в том, чтобы ограничивать косвенно пиковое значение ускорения. Так как система второго порядка достаточно проста, то можно очень легко выразить пиковое значение ускорения в функции регулируемых параметров. Таким образом, можно минимизировать интегральную квадратичную ошибку при ограничении пикового значения ускорения, которое мы обозначим буквой Пиковое значение имеет место в начальный момент, и легко показать, что оно равно

Решая это относительно имеем

Подставляя в выражение для интегральной квадратичной ошибки, получаем

Дифференцируя по имеем

Приравнивая эту производную нулю и решая уравнение

относительно получим

Постоянная времени двигателя при этом становится равной

и, следовательно, интегральная квадратичная ошибка равна

Для этого случая коэффициент демпфирования и собственная частота принимают вид

Отметим, что когда в качестве ограничения используется пиковое, а не интегральное квадратичное значение ускорения, то коэффициент демпфирования получается несколько меньшим.

В заключение этого примера ответим на следующий вопрос. Каково отклонение интегральной квадратичной ошибки от оптимальной величины при ограничении интегрального квадратичного значения ускорения вместо пикового значения? Пиковое значение ускорения для неоптимального выбора параметров определяется формулой

Оно получается при подстановке в (2.7-39) значений параметров, определяемых формулами (2.7-30) и (2.7-31) при После исключения из (2.6-36) и (2.6-48) получаем

Последняя формула дает значение интегральной квадратичной ошибки как функции пикового значения ускорения. При этом параметры выбраны из условия ограничения интегрального квадратичного значения ускорения. Сравнение (2.7-45) и (2.7-49) показывает, что интегральная квадратичная ошибка увеличивается приблизительно на 6 процентов по сравнению со случаем, когда используется непосредственно пиковое значение ускорения в качестве ограничения. Этот результат подтверждает возможность использования величины интегрального квадратичного ускорения в качестве ограничения, когда это необходимо вместо пикового значения ускорения.

Оглавление

ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. ИСКУССТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 1.1. Регулирование по принципу обратной связи
§ 1.2. Ранняя история
§ 1.3. Математические модели; принцип суперпозиции
§ 1.4. Схемы и обозначения
§ 1.5. Задача регулирования
§ 1.6. Аналитический метод и метод проб
§ 1.7. Сравнение схемы последовательного соединения и схемы с обратной связью. Учет возмущений
ГЛАВА 2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ИЗ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ
§ 2.2. Теорема Парсеваля
§ 2.3. Минимизация интегральной квадратичной ошибки. Пример
§ 2.4. Выражение интегральной квадратичной ошибки через передающую функцию
§ 2.5. Нормировка
§ 2.6. Учет ограничений
§ 2.7. Примеры учета ограничений
§ 2.8. Заключение
ГЛАВА 3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ
§ 3.1 Стохастические процессы; характеристики стохастических сигналов
§ 3.2. Функции плотности вероятности; эргодическая гипотеза
§ 3.3. Корреляционные функции; методы определения
§ 3.4. Пример получения корреляционной функции из теоретических соображений
§ 3.5. Распределение Пуассона
§ 3.6. Другой пример получения корреляционной функции
§ 3.7. Теорема Кемпбелла
§ 3.8. Заключение
ГЛАВА 4. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ, МИНИМИЗИРУЮЩИХ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНУЮ ОШИБКУ
§ 4.1. Реакция линейной системы на стохастический входной сигнал
§ 4.2. Спектральная плотность; соотношения в линейных системах
§ 4.3. Дополнительные соотношения между функциями спектральных плотностей
§ 4.4. Формула среднего квадрата ошибки; процедура минимизации
§ 4.5. Пример
§ 4.6. Нормировка функции спектральной плотности
§ 4.7. Введение дополнительных условий. Пример
§ 4.8. Заключение
ГЛАВА 5. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЕ
§ 5.2. Интегральное уравнение для определения весовой функции
§ 5.3. Пример решения интегрального уравнения
§ 5.4. Точная формула для определения весовой функции
§ 5.5. Пример на применение полученной формулы
§ 5.6. Заключение
ГЛАВА 6. МИНИМИЗАЦИЯ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ОШИБКИ И ИНТЕГРАЛА ОТ КВАДРАТА ОШИБКИ ПРИ НЕПРОИЗВОЛЬНОЙ СТРУКТУРЕ СИСТЕМЫ
§ 6.1. Коррекция, обеспечивающая минимум среднего квадрата ошибки
§ 6.2. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые системы
§ 6.3. Ограничения, связанные с заданной частью системы. Пример
§ 6.4. Коррекция, обеспечивающая минимум интеграла от квадрата ошибки. Пример
§ 6.5. Метод расчета при неустойчивых заданных элементах
§ 6.6. Общие замечания о пределе качества, достижимого в линейных системах
ГЛАВА 7. ОГРАНИЧЕНИЕ ТЕНДЕНЦИИ К НАСЫЩЕНИЮ В ЗАДАННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ СИСТЕМЫ
§ 7.2. Соотношение между вероятностью насыщения и с.к.з. предельной амплитуды
§ 7.3. Задача минимизации при учете насыщения в системах с частично заданной структурной схемой
§ 7.4. Примеры
§ 7.5. Заключение
ГЛАВА 8. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ ПРОПУСКАНИЯ
§ 8.2. Определение полосы пропускания из экспериментальных соображений
§ 8.3. Постановка задачи
§ 8.4. Определение весовой функции системы с минимальной полосой при учете ограничений показателей качества
§ 8.5. Примеры, иллюстрирующие метод
§ 8.6. Заключение
ГЛАВА 9. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
§ 9.1. Как аналитический метод применяется к практическим задачам
§ 9.2. Задача расчета привода по азимуту для радиотелескопа
§ 9.3. Схема следящей системы по азимуту
§ 9.4. Оценка разброса, связанного с моментом от ветра
§ 9.5. Ошибка от порывов ветра в системе с дополнительными ограничениями
§ 9.6. Ошибка от порывов ветра при ограничении полосы пропускания
§ 9.7. Расчет методом проб
§ 9.8. Заключение
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
1. Преобразование Фурье; вводные замечания
2. Переход к преобразованию Лапласа
3. Некоторые свойства преобразований Лапласа и Фурье
4. Некоторые определения и соотношения из теории комплексного переменного
5. Обратное преобразование Фурье
6. Обратное преобразование Лапласа
7. Расширение класса преобразуемых по Фурье функций с помощью множителя сходимости
ПРИЛОЖЕНИЕ II. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
2. Критерий устойчивости Найквиста
3. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица
4. Сравнение двух критериев устойчивости
ПРИЛОЖЕНИЕ III. ОБЗОР ТИПОВЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА
2. Характеристики качества
3. Диаграммы Боде
4. Коррекция в обратной связи
5. Определение переходного процесса по частотной характеристике
6. Коэффициенты ошибок
7. Метод корневых годографов
8. Аналоговые модели
ПРИЛОЖЕНИЕ IV. МЕТОД ПРОБ В ПЛОСКОСТИ УСИЛЕНИЕ — ФАЗА
2. Конкретный пример
3. Графики, используемые в расчете
4. Степень устойчивости
5. Выбор коэффициента усиления по заданной степени устойчивости
6. Определение частотной характеристики замкнутой системы
7. Запаздывающая коррекция
8. Опережающая коррекция
9. Общие замечания по рассмотренному примеру
ПРИЛОЖЕНИЕ V. ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
2. Табулированные значения интеграла
ПРИЛОЖЕНИЕ VI. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ СИСТЕМ
2. Аппроксимация фазовой характеристики, соответствующей заданной амплитудной характеристике
ЗАДАЧИ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА

Источник

Лебедев С.К. Математические основы теории автоматического управления — файл n1.doc

приобрести
Лебедев С.К. Математические основы теории автоматического управления
скачать (2089 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc

Интегральные оценки качества

Интегральными оценками качества переходного процесса систем управления называют интегралы по времени от некоторых функций переходного процесса изменения ошибки регулирования.

Рассмотрим скалярную линейную систему, показанную на рис. 7. На вход управления системы поступает ступенчатый сигнал с амплитудой , система предназначена для стабилизации заданного значения регулируемой переменной , на систему так же может действовать скалярное ступенчатое возмущение стремящееся снизить значение регулируемой переменной.

Рис. 7

Примерный вид графиков переходных процессов регулируемой величины и ошибки регулирования –

показаны соответственно на рис. 8 и 9.

Рис. 8

Рис. 9

Основные области применения интегральных оценок в теории автоматического управления:

Общая оценка быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности.
Выбор при синтезе параметров систем, обеспечивающих оптимальность переходного процесса с точки зрения достижения минимума интегральных оценок.

Простейшей интегральной оценкой может служить линейная интегральная оценка следующего вида –

Геометрическая интерпретация этого интеграла представляет собой площадь под кривой , как это показано на рис. 10 для переходных процессов изменения ошибки при управлении и возмущении.

Рис. 10

Если система управления устойчива и обладает свойством астатизма, тогда

а интеграл стремится к конечному значению, равному площади под кривой . Параметры системы управления стремятся выбирать таким образом, чтобы добиться минимума , при этом идеальный переходный процесс будет стремиться к идеальной ступенчатой форма.

Контрольные вопросы и задачи

Как определить показатель колебательности по АЧХ системы?
Как определить частоту среза и полосу пропускания по АЧХ?
Как соотносятся частота среза системы и ее быстродействие?
Дайте определение линейной интегральной оценке, укажаите ее достоинства и недостатки.
Почему для интегральных оценок переходного процесса используют график изменения ошибки регулирования?
По графику АЧХ системы

определить показатель колебательности и частоту среза системы.

Ответ:

Показатель колебательности , частота среза .

По графикам АЧХ двух систем: САУ1 – , САУ2 – ,

определить систему управления, переходные процессы которой имеют большую колебательность.

Ответ:

Большую колебательность переходных процессов имеет система САУ2.

По графикам АЧХ двух систем: САУ1 – , САУ2 – ,

определить систему управления, которая имеет большее быстродействие.

Ответ:

Большую колебательность переходных процессов имеет система САУ1.

Лекция 18

Вычисление линейных интегральных оценок

Рассмотрим проблему вычисления интеграла линейной интегральной оценки. Можно сначала решить аналитически дифференциальные уравнения, описывающие систему, долее определить ошибку регулирования, затем подставить выражение для ошибки в интеграл линейной оценки и, взяв его, получить выражение для .

Но можно поступить и иначе.

Пусть свободное движение ошибки регулирования системы описывается уравнением

(1)

Проинтегрируем это уравнение –

После интегрирования получаем –

(2)

Подстановки верхнего предела дают члены следующего вида –

(3)

так как все производные ошибки в установившемся режиме обращаются в ноль.

Подстановки нижнего предела дают члены вида –

(4)

которые являются начальными условиями уравнения (1).

Подставив (3) и (4) в (2), получим

(5)

А так как

окончательно получаем

(6)

Решая (6) относительно , получим выражение для вычисления линейной интегральной ошибки –

(7)

Теперь мы может определить по коэффициентам характеристического уравнения системы и начальным условиям переходного процесса ошибки.

Для синтеза систем, определения параметров минимизирующих , следует воспользоваться обычными методами исследования функций на экстремум. Следовательно, если мы хотим определить параметр системы, на пример, параметр , обеспечивающий , необходимо решить относительно параметра следующее уравнение –

Рассмотрим несколько примеров использования линейной интегральной оценки.

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

(8)

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

Используем для нахождения выражение (7) –

(9)

Из рассмотрения (9) получаем, что в этом случае не имеет экстремума, а меньшее значение интегральной ошибки мы будем получать при меньшем значении . Действительно, ведь уравнение (8) является характеристическим уравнением апериодического звена, параметр – это постоянная времени. Переходный процесс для двух разных постоянных времени будет иметь вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Пример

Система имеет характеристическое уравнение

Определим выражение для , если начальные условия имеют вид –

Определим значение параметра , при котором интегральная оценка имеет минимум.

Решение

Обозначим –

Используем для нахождения выражение (7) –

Если , то процессы монотонные, обеспечивается при наименьших и . Если , то уменьшение коэффициента затухания уменьшает линейную интегральную оценку, но это приводит к ухудшению переходного процесса, повышению его колебательности.

При колебательных процессах в системах линейная интегральная оценка дает значительную погрешность. При этом минимум оценки может соответствовать процессу с большим числом колебаний со значительной амплитудой, малым быстродействием, так как, по сути, в оценке происходит сложение положительных и отрицательных областей площади под интегральной кривой. Это иллюстрируют рис. 2 и 3, показывая два процесса, которые могут иметь одно и то же значение линейной интегральной оценки.

Рис. 2

Рис. 3

И так как форма переходного процесса при анализе системы автоматического управления часто заранее неизвестна, то применять линейные интегральные оценки на практике нецелесообразно.

Можно попытаться использовать интеграл от модуля ошибки следующего вида –

(10)

На рис. 4 показан примерный вид кривых изменения ошибки и ее модуля. Но аналитическое вычисление интеграла от модуля ошибки по математической модели системы оказалось весьма громоздким, поэтому эта оценка широкого распространения не получила.

Рис. 4

Квадратичная интегральная оценка

В большинстве случаев, при возможности возникновения в системе колебательного переходного процесса, используют квадратичную интегральную оценку, которая имеет следующий вид –

(11)

Оценка не зависит от знака отклонений ошибки, а значит и от формы переходного процесса, монотонный, апериодический или колебательный характер он будет иметь. На рис. 5 и 6 показан примерный вид кривых изменения ошибки и квадрата ошибки.

Рис. 5

Рис. 6

Рассмотрим процедуру вычисления квадратичной оценки по математической модели системы. Система управления представляется в виде, показанном на рис. 7.

Рис. 7

Изображение по Лапласу сигнала на выходе системы имеет вид –

(12)

где — изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции – входного сигнала системы.

Для системы автоматического управления, математическая модель которой приведена к виду (12), интегральная квадратичная ошибка определяется по следующему выражению –

(13)

где

(14)

в все элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются 0.

Определители в (13), где , получаются заменой в определителе (14) ()-го столбца столбцом следующего вида –

Коэффициенты в выражении (13) определяются следующим образом –

(15)

при определении коэффициенты, индексы которых меньше 0 и больше , заменяются 0.

Контрольные вопросы и задачи

Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления линейной интегральной оценки?
Почему нельзя использовать линейную интегральную оценку в случае колебательного характера переходных процессов?
Какие интегральные оценки целесообразно использовать в том случае если в системе возможно наличие колебательных переходных процессов?
Дайте определение квадратичной интегральной оценке переходного процесса.
При минимизации квадратичной оценки, к какому виду стремится переходный процесс?
Какие параметры математической модели объекта требуются для вычисления квадратичной интегральной оценки?
Объект управления описывается передаточной функцией –

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .

Объект управления описывается передаточной функцией –

Вычислите линейную интегральную оценку переходного процесса при начальном значении ошибки .

Ответ:

Линейная интегральная оценка .

Лекция 19

Квадратичная интегральная оценка с учетом производной

Недостатком квадратичной интегральной оценки , как и предыдущих оценок, является то, что при минимизации оценки не накладываются ограничения на форму переходного процесса. На пример, показанные на рис. 1 графики – (а, б, в) могут иметь одинаковые значения существенно при этом отличаясь по форме переходного процесса.

Рис. 1

Кроме того, часто оказывается, что выбранные по параметры системы приводят к существенно колебательному процессу, большим производным из-за стремления приблизить процесс к идеальному скачку.

Поэтому используют еще один вид интегрально квадратичной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения , но и на скорость его изменения . Эта оценка имеет следующий вид –

(1)

где – некоторая постоянная времени.

Разницу между оценками и можно представить графически, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

То есть оптимизированный по переходный процесс стремиться к идеальному скачку, а оптимизированный по – к кривой экспоненциального вида, которая описывается следующим выражением –

Докажем последнее утверждение. Для этого проанализируем выражение (1).

с учетом того, что

получаем

(2)

С учетом того, что последнее слагаемое в (2) является величиной постоянной –

квадратичная оценка будет иметь минимум при

(3)

Решение дифференциального уравнения (3) имеет вид –

а если перейти от ошибок к выходным переменным, то получим –

что и требовалось доказать.

Следовательно, выбирая параметры системы по , можно приблизить переходный процесс к экспоненте с заданной постоянной времени , тем самым вводится ограничение на скорость нарастания выходной величины .

Методика определения может быть аналогичной методике определения , рассмотренной выше, если представить квадратичную оценку с учетом производной в следующем виде –

где определяется по формулам для , но с учетом того, что порядок числителя – увеличивается на 1.

В теории автоматического управления используют квадратичные оценки с производными более высокого порядка (до ) для более точного задания желаемой формы переходного процесса, естественно, что при этом усложняется и процесс вычисления оценок.

Вычисление квадратичных интегральных оценок

Рассмотрим вычисление и использование квадратичных ошибок на примере.

Пример

В системе управления с передаточной функцией –

зададим :

и сравним переходные процессы для двух этих случаев.

Решение

Получим выражение для . Для этого преобразуем передаточную функцию системы к заданному виду

тогда получим

(4)

Выражение для принимает вид –

(5)

Определим компоненты (5) по параметра передаточной функции системы (4).

(6)

Для нахождения определим (), при ,

Заменим в выражении (6) для первый столбец столбцом вида

Тогда получаем

Определим –

После подстановки полученных компонент в (5) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

(5)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (5)

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке значение –

(6)

Передаточная функция системы при примет вид –

На рис. 3 покажем вид переходного процесса системы при единичном ступенчатом воздействии и оптимизированным по параметром.

Рис. 3

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

(7)

Определим по отработанной выше методике для –

выражение для берем из предыдущего случая –

Определим теперь . Передаточная функция системы для этого случая имеет вид –

тогда получим

(8)

Выражение для принимает вид –

(9)

Определим компоненты (9) по параметра передаточной функции системы (8).

(10)

Определим коэффициенты –

не определяем, так как . Для нахождения определим (), при ,

Заменим в выражении (10) для второй столбец столбцом вида

Тогда получаем

После подстановки полученных компонент в (9) получаем выражение для квадратичной интегральной оценки.

(11)

Окончательно получаем

(12)

Найдем выражение для частной производной по от выражения (12)

приравнивая полученное выражение к нулю получаем уравнение для нахождения оптимального значения .

В результате получаем оптимизированное по квадратичной оценке с учетом производной значение –

(13)

Полагаем для определенности , тогда

Передаточная функция системы при примет вид –

Рис. 4

Таким образом, имеем следующие показатели качества переходного процесса,

(14)

Сравнивая переходные процессы, видим, что при оптимизации по квадратичной оценке с учетом производной () получили существенно меньшие значения перерегулирования и быстродействия, при более плавном нарастании переменной.

Интегральные оценки качества

Источник

Что показывает интегральная квадратичная ошибка

Лебедев С.К. Математические основы теории автоматического управления — файл n1.doc

n1.doc

А вот еще интересные материалы: