Что относят к ошибкам накопления погрешностей результатов вычислений

1. Отладка по – классификация ошибок: ошибки компиляции, компоновки, выполнения; причины ошибок выполнения.

Отладка-это
процесс локализации и исправления
ошибок, обнаруженных при тестировании
программного обеспечения. Локализацией
называют
процесс определения оператора программы,
выполнение которого вызвало нарушение
нормального вычислительного процесса.
До исправления ошибки необходимо
определить ее причину,
т. е. определить оператор или фрагмент,
содержащие ошибку. Причины ошибок могут
быть как очевидны, так и очень глубоко
скрыты.

В целом сложность
отладки обусловлена следующими причинами:

• требует от
программиста глубоких знаний специфики
управления используемыми техническими
средствами, операционной системы, среды
и языка программирования, реализуемых
процессов, природы и специфики различных
ошибок, методик отладки и соответствующих
программных средств;

• психологически
дискомфортна, так как необходимо искать
собственные ошибки и, как правило, в
условиях ограниченного времени;

• возможно
взаимовлияние ошибок в разных частях
программы, например, за счет затирания
области памяти одного модуля другим
из-за ошибок адресации;

• отсутствуют
четко сформулированные методики отладки.

В соответствии с
этапом обработки, на котором проявляются
ошибки, различаю:

• синтаксические
ошибки —
ошибки, фиксируемые компилятором
(транслятором, интерпретатором) при
выполнении синтаксического и частично
семантического анализа программы;

•ошибки компоновки
— ошибки,
обнаруженные компоновщиком (редактором
связей) при объединении модулей программы;

•ошибки выполнения
— ошибки,
обнаруженные операционной системой,
аппаратными средствами или пользователем
при выполнении программы.

Синтаксические
ошибки. Синтаксические
ошибки относят к группе самых простых,
так как синтаксис языка, как правило,
строго формализован, и ошибки сопровождаются
развернутым комментарием с указанием
ее местоположения. Определение причин
таких ошибок, как правило, труда не
составляет, и даже при нечетком знании
правил языка за несколько прогонов
удается удалить все ошибки данного
типа.

Следует иметь в
виду, что чем лучше формализованы правила
синтаксиса языка, тем больше ошибок из
общего количества может обнаружить
компилятор и, соответственно, меньше
ошибок будет обнаруживаться на следующих
этапах. В связи с этим говорят о языках
программирования с защищенным синтаксисом
и с незащищенным синтаксисом. К первым,
безусловно, можно отнести Pascal, имеющий
очень простой и четко определенный
синтаксис, хорошо проверяемый при
компиляции программы, ко вторым — Си со
всеми его модификациями. Чего стоит
хотя бы возможность выполнения
присваивания в условном операторе в
Си, например: if (c = n) x = 0; /* в данном случае
не проверятся равенство с и n, а выполняется
присваивание с значения n, после чего
результат операции сравнивается с
нулем, если программист хотел выполнить
не присваивание, а сравнение, то эта
ошибка будет обнаружена только на этапе
выполнения при получении результатов,
отличающихся от ожидаемых */

Ошибки компоновки.
Ошибки
компоновки, как следует из названия,
связаны с проблемами,

обнаруженными при
разрешении внешних ссылок. Например,
предусмотрено обращение к подпрограмме
другого модуля, а при объединении модулей
данная подпрограмма не найдена или не
стыкуются списки параметров. В большинстве
случаев ошибки такого рода также удается
быстро локализовать и устранить.

Ошибки выполнения.
К самой
непредсказуемой группе относятся ошибки
выполнения. Прежде всего они могут иметь
разную природу, и соответственно
по-разному проявляться. Часть ошибок
обнаруживается и документируется
операционной системой. Выделяют четыре
способа проявления таких ошибок:

• появление
сообщения об ошибке, зафиксированной
схемами контроля выполнения машинных
команд, например, переполнении разрядной
сетки, ситуации «деление на ноль»,
нарушении адресации и т. п.;

• появление
сообщения об ошибке, обнаруженной
операционной системой, например,
нарушении защиты памяти, попытке записи
на устройства, защищенные от записи,
отсутствии файла с заданным именем и
т. п.;

• «зависание»
компьютера, как простое, когда удается
завершить программу без перезагрузки
операционной системы, так и «тяжелое»,
когда для продолжения работы необходима
перезагрузка;

• несовпадение
полученных результатов с ожидаемыми.

Причины ошибок
выполнения очень разнообразны, а потому
и локализация может оказаться крайне
сложной. Все возможные причины ошибок
можно разделить на следующие группы:

• неверное
определение исходных данных,

• логические
ошибки,

• накопление
погрешностей результатов вычислений.

Неверное
определение исходных данных
происходит, если возникают любые ошибки
при выполнении операций ввода-вывода:
ошибки передачи, ошибки преобразования,
ошибки перезаписи и ошибки данных.
Причем использование специальных
технических средств и программирование
с защитой от ошибок позволяет обнаружить
и предотвратить только часть этих
ошибок, о чем безусловно не следует
забывать.

Логические ошибки
имеют разную природу. Так они могут
следовать из ошибок, допущенных при
проектировании, например, при выборе
методов, разработке алгоритмов или
определении структуры классов, а могут
быть непосредственно внесены при
кодировании модуля.

К последней группе
относят:

• ошибки
некорректного использования переменных,
например, неудачный выбор типов данных,
использование переменных до их
инициализации, использование индексов,
выходящих за границы определения
массивов, нарушения соответствия типов
данных при использовании явного или
неявного переопределения типа данных,
расположенных в памяти при использовании
нетипизированных переменных, открытых
массивов, объединений, динамической
памяти, адресной арифметики и т. п.;

• ошибки
вычислений,
например, некорректные вычисления над
неарифметическими переменными,
некорректное использование целочисленной
арифметики, некорректное преобразование
типов данных в процессе вычислений,
ошибки, связанные с незнанием приоритетов
выполнения операций для арифметических
и логических выражений, и т. п.;

•ошибки
межмодульного интерфейса,
например, игнорирование системных
соглашений, нарушение типов и
последовательности при передачи
параметров, несоблюдение единства
единиц измерения формальных и фактических
параметров, нарушение области действия
локальных и глобальных переменных;

• другие ошибки
кодирования,
например, неправильная реализация
логики программы при кодировании,
игнорирование особенностей или
ограничений конкретного языка
программирования.

Накопление
погрешностей
результатов числовых вычислений
возникает, например, при некорректном
отбрасывании дробных цифр чисел,
некорректном использовании приближенных
методов вычислений, игнорировании
ограничения разрядной сетки представления
вещественных чисел в ЭВМ и т. п.

Все указанные выше
причины возникновения ошибок следует
иметь в виду в процессе отладки. Кроме
того, сложность отладки увеличивается
также вследствие влияния следующих
факторов:

• опосредованного
проявления ошибок;

• возможности
взаимовлияния ошибок;

• возможности
получения внешне одинаковых проявлений
разных ошибок;

• отсутствия
повторяемости проявлений некоторых
ошибок от запуска к запуску – так
называемые стохастические ошибки;

• возможности
устранения внешних проявлений ошибок
в исследуемой ситуации при внесении
некоторых изменений в программу,
например, при включении в программу
диагностических фрагментов может
аннулироваться или измениться внешнее
проявление ошибок;

• написания
отдельных частей программы разными
программистами.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

при численном решении алгебраических уравнений — суммарное влияние округлений, сделанных на отдельных шагах вычислительного процесса, на точность полученного решения линейной алгебраич. системы. Наиболее распространенным способом априорной оценки суммарного влияния ошибок округления в численных методах линейной алгебры является схема т. н. обратного анализа. В применении к решению системы линейных алгебраич. уравнений

схема обратного анализа заключается в следующем. Вычисленное прямым методом Мрешение хуи не удовлетворяет (1), но может быть представлено как точное решение возмущенной системы

Качество прямого метода оценивается по наилучшей априорной оценке, к-рую можно дать для норм матрицы и вектора . Такие «наилучшие»и наз. соответственно матрицей и вектором эквивалентного возмущения для метода М.

Если оценки для и имеются, то теоретически ошибка приближенного решения может быть оценена неравенством

Здесь — число обусловленности матрицы А, а матричная норма в (3) предполагается подчиненной векторной норме

В действительности оценка для редко бывает известна, и основной смысл (2) состоит в возможности сравнения качества различных методов. Ниже приводится вид нек-рых типичных оценок для матрицы Для методов с ортогональными преобразованиями и арифметики с плавающей запятой (в системе (1) Аи bсчитаются действительными)

В этой оценке — относительная точность арифметич. операций в ЭВМ,— евклидова матричная норма, f(n) — функция вида , где п- порядок системы. Точные значения константы Си показателя kопределяются такими деталями вычислительного процесса, как способ округления, использование операции накопления скалярных произведений и т. д. Наиболее часто k=1 или 3/2.

В случае методов типа Гаусса в правую часть оценки (4) входит еще множитель , отражающий возможность роста элементов матрицы Ана промежуточных шагах метода по сравнению с первоначальным уровнем (такой рост отсутствует в ортогональных методах). Чтобы уменьшить значение , применяют различные способы выбора ведущего элемента, препятствующие возрастанию элементов матрицы.

Для квадратного корня метода, к-рый применяется обычно в случае положительно определенной матрицы А, получена наиболее сильная оценка

Существуют прямые методы (Жордана, окаймления, сопряженных градиентов), для к-рых непосредственное применение схемы обратного анализа не приводит к эффективным оценкам. В этих случаях при исследовании Н. п. применяются и иные соображения (см. [6] — [9]).

Лит.:[1] Givens W., «TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL», 1954, № 1574; [2] Wilkinson J. H., Rounding errors in algebraic processes, L., 1963; [3] Уилкинсон Д ж. <Х., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М., 1970; [4] Воеводин В. В., Ошибки округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры, М., 1969; [5] его же, Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [6] Peters G., Wilkinsоn J. H., «Communs Assoc. Comput. Math.», 1975, v. 18, № 1, p. 20-24; [7] Вrоуden C. G., «J. Inst. Math, and Appl.», 1974, v. 14, № 2, p. 131-40; [8] Reid J. К., в кн.: Large Sparse Sets of Linear Equations, L.- N. Y., 1971, p. 231 — 254; [9] Икрамов Х. Д., «Ж. вычисл. матем. и матем. физики», 1978, т. 18, № 3, с. 531-45.

X. Д. Икрамов.

Н. п. округления или погрешности метода возникает при решении задач, где решение является результатом большого числа последовательно выполняемых арифметич. операций.

Значительная часть таких задач связана с решением алгебраич. задач, линейных или нелинейных (см. выше). В свою очередь среди алгебраич. задач наиболее распространены задачи, возникающие при аппроксимации дифференциальных уравнений. Этим задачам свойственны нек-рые специфич. особенности.

Н. п. метода решения задачи происходит по тем же или по более простым законам, что и Н. п. вычислительной погрешности; Н. ,п. метода исследуется при оценке метода решения задачи.

При исследовании накопления вычислительной погрешности различают два подхода. В первом случае считают, что вычислительные погрешности на каждом шаге вносятся самым неблагоприятным образом и получают мажорантную оценку погрешности. Во втором случае считают, что эти погрешности случайны с определенным законом распределения.

Характер Н. п. зависит от решаемой задачи, метода решения и ряда других факторов, на первый взгляд могущих показаться несущественными; сюда относятся форма записи чисел в ЭВМ (с фиксированной запятой или с плавающей запятой), порядок выполнения арифметич. операций и т. д. Напр., в задаче вычисления суммы Nчисел

существенен порядок выполнения операций. Пусть вычисления производятся на машине с плавающей запятой с tдвоичными разрядами и все числа лежат в пределах . При непосредственном вычислении с помощью рекуррентной формулы мажорантная оценка погрешности имеет порядок 2^-tN. Можно поступить иначе (см. [1]). При вычислении попарных сумм (если N=2l+1 нечетно) полагают . Далее вычисляются их попарные суммы и т. д. При после тшагов образования попарных сумм по формулам

получают мажорантная оценка погрешности порядка

В типичных задачах величины а _т вычисляются по формулам, в частности рекуррентным, или поступают последовательно в оперативную память ЭВМ; в этих случаях применение описанного приема приводит к увеличению загрузки памяти ЭВМ. Однако можно организовать последовательность вычислений так, что загрузка оперативной памяти не будет превосходить -log₂N ячеек.

При численном решении дифференциальных уравнений возможны следующие случаи. При стремлении шага сетки hк нулю погрешность растет как где . Такие методы решения задач относят к классу неустойчивых. Их применение носит эпизодич. характер.

Для устойчивых методов характерен рост погрешности как Оценка погрешности таких методов обычно производится следующим образом. Строится уравнение относительно возмущения, вносимого или округлением, или погрешностями метода и затем исследуется решение этого уравнения (см. [2], [3]).

В более сложных случаях применяется метод эквивалентных возмущений (см. [1], [4]), развитый в отношении задачи исследования накопления вычислительной погрешности при решении дифференциальных уравнений (см. [3], [5], [6]). Вычисления по нек-рой расчетной схеме с округлениями рассматриваются как вычисления без округлений, но для уравнения с возмущенными коэффициентами. Сравнивая решение исходного сеточного уравнения с решением уравнения с возмущенными коэффициентами получают оценку погрешности.

Уделяется существенное внимание выбору метода по возможности с меньшими значениями qи A(h). При фиксированном методе решения задачи расчетные формулы обычно удается преобразовать к виду, где (см. [3], [5]). Это особенно существенно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, где число шагов в отдельных случаях оказывается очень большим.

Величина (h)может сильно расти с ростом промежутка интегрирования. Поэтому стараются применять методы по возможности с меньшим значением A(h). В случае задачи Коши ошибка округления на каждом конкретном шаге по отношению к последующим шагам может рассматриваться как ошибка в начальном условии. Поэтому нижняя грань (h)зависит от характеристики расхождения близких решений дифференциального уравнения, определяемого уравнением в вариациях.

В случае численного решения обыкновенного дифференциального уравнения уравнение в вариациях имеет вид

и потому при решении задачи на отрезке ( х ₀ , X )нельзя рассчитывать на константу A(h)в мажорантной оценке вычислительной погрешности существенно лучшую, чем

Поэтому при решении этой задачи наиболее употребительны однощаговые методы типа Рунге — Кутта или методы типа Адамса (см. [3], [7]), где Н. п. в основном определяется решением уравнения в вариациях.

Для ряда методов главный член погрешности метода накапливается по подобному закону, в то время как вычислительная погрешность накапливается существенно быстрее (см. [3]). Область практич. применимости таких методов оказывается существенно уже.

Накопление вычислительной погрешности существенно зависит от метода, применяемого для решения сеточной задачи. Напр., при решении сеточных краевых задач, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям, методами стрельбы и прогонки Н. п. имеет характер A(h)h^-q, где qодно и то же. Значения A(h)у этих методов могут отличаться настолько, что в определенной ситуации один из методов становится неприменимым. При решении методом пристрелки сеточной краевой задачи для уравнения Лапласа Н. п. имеет характер с ^1/h, с>1, а в случае метода прогонки Ah^-q. При вероятностном подходе к исследованию Н. п. в одних случаях априорно предполагают какой-то закон распределения погрешности (см. [2]), в других случаях вводят меру на пространстве рассматриваемых задач и, исходя из этой меры, получают закон распределения погрешностей округления (см. [8], [9]).

При умеренной точности решения задачи мажорантные и вероятностные подходы к оценке накопления вычислительной погрешности обычно дают качественно одинаковые результаты: или в обоих случаях Н. п. происходит в допустимых пределах, или в обоих случаях Н. п. превосходит такие пределы.

Лит.:[1] Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [2] Шура-Бура М. Р., «Прикл. матем. и механ.», 1952, т. 16, № 5, с. 575-88; [3] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [4] Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М.. 1970; [5] Бахвалов Н. С, в кн.: Вычислительные методы и программирование, в. 1, М., 1962, с, 69-79; [6] Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [7] Бахвалов Н. С, «Докл. АН СССР», 1955, т. 104, № 5, с. 683-86; [8] его же, «Ж. вычислит, матем. и матем. физики», 1964; т. 4, № 3, с. 399- 404; [9] Лапшин Е. А., там же, 1971, т. 11, № 6, с.1425-36.

Н. С. Бахвалов.

Отладка, или debugging, — это поиск (локализация), анализ и устранение ошибок в программном обеспечении, которые были найдены во время тестирования.

Это простые ошибки, которые в компилируемых языках программирования выявляет компилятор (программа, которая преобразует текст на языке программирования в набор машинных кодов). Если компилятор показывает несколько ошибок, отладку кода начинают с исправления самой первой, так как она может быть причиной других.

В интерпретируемых языках (например Python) текст программы команда за командой переводится в машинный код и сразу исполняется. К моменту обнаружения ошибки часть программы уже может исполниться.

Ошибки связаны с разрешением внешних ссылок. Выявляет компоновщик (редактор связей) при объединении модулей программы. Простой пример — ситуация, когда требуется обращение к подпрограмме другого модуля, но при компоновке она не найдена. Ошибки также просто найти и устранить.

Ошибки, которые обнаруживают операционная система, аппаратные средства или пользователи при выполнении программы. Они считаются непредсказуемыми и проявляются после успешной компиляции и компоновки. Можно выделить четыре вида проявления таких ошибок:

• сообщение об ошибке, которую зафиксировали схемы контроля машинных команд. Это может быть переполнение разрядной сетки (когда старшие разряды результата операции не помещаются в выделенной области памяти), «деление на ноль», нарушение адресации и другие;
• сообщение об ошибке, которую зафиксировала операционная система. Она же, как правило, и документирует ошибку. Это нарушение защиты памяти, отсутствие файла с заданным именем, попытка записи на устройство, защищенное от записи;
• прекращение работы компьютера или зависание. Это и простые ошибки, которые не требуют перезагрузки компьютера, и более сложные, когда нужно выключать ПК;
• получение результатов, которые отличаются от ожидаемых. Программа работает стабильно, но выдает некорректный результат, который пользователь воспринимает за истину.

Ошибки выполнения можно разделить на три большие группы.

Ошибки определения данных или неверное определение исходных данных. Они могут появиться во время выполнения операций ввода-вывода.

К ним относятся:

• ошибки преобразования;
• ошибки данных;
• ошибки перезаписи.

Как правило, использование специальных технических средств для отладки (API-логгеров, логов операционной системы, профилировщиков и пр.) и программирование с защитой от ошибок помогает обнаружить и решить лишь часть из них.

Логические ошибки. Они могут возникать из ошибок, которые были допущены при выборе методов, разработке алгоритмов, определении структуры данных, кодировании модуля.

В эту группу входят:

• ошибки некорректного использования переменных. Сюда относятся неправильный выбор типов данных, использование индексов, выходящих за пределы определения массивов, использование переменных до присвоения переменной начального значения, нарушения соответствия типов данных;
• ошибки вычислений. Это некорректная работа с переменными, неправильное преобразование типов данных в процессе вычислений;
• ошибки взаимодействия модулей или межмодульного интерфейса. Это нарушение типов и последовательности при передаче параметров, области действия локальных и глобальных переменных, несоблюдение единства единиц измерения формальных и фактических параметров;
• неправильная реализация логики при программировании.

Ошибки накопления погрешностей. Могут возникать при неправильном округлении, игнорировании ограничений разрядной сетки, использовании приближенных методов вычислений и т.д. 

Отладка программы заключается в тестировании вручную с помощью тестового набора, при работе с которым была допущена ошибка. Несмотря на эффективность, метод не получится использовать для больших программ или программ со сложными вычислениями. Ручное тестирование применяется как составная часть других методов отладки.

В основе отладки системы — тщательный анализ проявлений ошибки. Это могут быть сообщения об ошибке или неверные результаты вычислений. Например, если во время выполнения программы завис компьютер, то, чтобы найти фрагмент проявления ошибки, нужно проанализировать последние действия пользователя. На этапе отладки программы строятся гипотезы, каждая из них проверяется. Если гипотеза подтвердилась, информация об ошибке детализируется, если нет — выдвигаются новые.

Вот как выглядит процесс:

Важно, чтобы выдвинутая гипотеза объясняла все проявления ошибки. Если объясняется только их часть, то либо гипотеза неверна, либо ошибок несколько.

Сначала специалисты предлагают множество причин, по которым могла возникнуть ошибка. Затем анализируют их, исключают противоречащие имеющимся данным. Если все причины были исключены, проводят дополнительное тестирование. В обратном случае наиболее вероятную причину пытаются доказать.

Эффективен для небольших программ. Начинается с точки вывода неправильного результата. Для точки выдвигается гипотеза о значениях основных переменных, которые могли привести к ошибке. Далее на основании этой гипотезы строятся предположения о значениях переменных в предыдущей точке. Процесс продолжается до момента, пока не найдут ошибку.

Ранние отладчики, например gdb, представляли собой отдельные программы с интерфейсами командной строки. Более поздние, например первые версии Turbo Debugger, были автономными, но имели собственный графический интерфейс для облегчения работы. Сейчас большинство IDE имеют встроенный отладчик. Он использует такой же интерфейс, как и редактор кода, поэтому можно выполнять отладку в той же среде, которая используется для написания кода.

Отладчик позволяет разработчику контролировать выполнение и проверять (или изменять) состояние программ. Например, можно использовать отладчик для построчного выполнения программы, проверяя по ходу значения переменных. Сравнение фактических и ожидаемых значений переменных или наблюдение за ходом выполнения кода может помочь в отслеживании логических (семантических) ошибок.

Пошаговое выполнение — это набор связанных функций отладчика, позволяющих поэтапно выполнять код.

Команда выполняет очередную инструкцию, а потом приостанавливает процесс, чтобы с помощью отладчика было можно проверить состояние программы. Если в выполняемом операторе есть вызов функции, step into заставляет программу переходить в начало вызываемой функции, где она приостанавливается.

Команда также выполняет очередную инструкцию. Однако когда step into будет входить в вызовы функций и выполнять их строка за строкой, step over выполнит всю функцию, не останавливаясь, и вернет управление после ее выполнения. Команда step over позволяет пропустить функции, если разработчик уверен, что они уже исправлены, или не заинтересован в их отладке в данный момент.

В отличие от step into и step over, step out выполняет не следующую строку кода, а весь оставшийся код функции, исполняемой в настоящее время. После возврата из функции он возвращает управление разработчику. Эта команда полезна, когда специалист случайно вошел в функцию, которую не нужно отлаживать.

Как правило, при пошаговом выполнении можно идти только вперед. Поэтому легко перешагнуть место, которое нужно проверить. Если это произошло, необходимо перезапустить отладку.

У некоторых отладчиков (таких как GDB 7.0, Visual Studio Enterprise Edition 15.5 и более поздних версий) есть возможность вернуться на шаг назад. Это полезно, если пропущена цель либо нужно повторно проверить выполненную инструкцию.