Стандартное отклонение и стандартная ошибка: в чем разница?
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
В статистике студенты часто путают два термина: стандартное отклонение и стандартная ошибка .
Стандартное отклонение измеряет, насколько разбросаны значения в наборе данных.
Стандартная ошибка — это стандартное отклонение среднего значения в повторных выборках из совокупности.
Давайте рассмотрим пример, чтобы ясно проиллюстрировать эту идею.
Пример: стандартное отклонение против стандартной ошибки
Предположим, мы измеряем вес 10 разных черепах.
Для этой выборки из 10 черепах мы можем вычислить среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки:
Предположим, что стандартное отклонение оказалось равным 8,68. Это дает нам представление о том, насколько распределен вес этих черепах.
Но предположим, что мы собираем еще одну простую случайную выборку из 10 черепах и также проводим их измерения. Более чем вероятно, что эта выборка из 10 черепах будет иметь немного другое среднее значение и стандартное отклонение, даже если они взяты из одной и той же популяции:
Теперь, если мы представим, что мы берем повторные выборки из одной и той же совокупности и записываем выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение для каждой выборки:
Теперь представьте, что мы наносим каждое среднее значение выборки на одну и ту же строку:
Стандартное отклонение этих средних значений известно как стандартная ошибка.
Формула для фактического расчета стандартной ошибки:
Стандартная ошибка = s/ √n
куда:
- s: стандартное отклонение выборки
- n: размер выборки
Какой смысл использовать стандартную ошибку?
Когда мы вычисляем среднее значение данной выборки, нас на самом деле интересует не среднее значение этой конкретной выборки, а скорее среднее значение большей совокупности, из которой взята выборка.
Однако мы используем выборки, потому что для них гораздо проще собирать данные, чем для всего населения. И, конечно же, среднее значение выборки будет варьироваться от выборки к выборке, поэтому мы используем стандартную ошибку среднего значения как способ измерить, насколько точна наша оценка среднего значения.
Вы заметите из формулы для расчета стандартной ошибки, что по мере увеличения размера выборки (n) стандартная ошибка уменьшается:
Стандартная ошибка = s/ √n
Это должно иметь смысл, поскольку большие размеры выборки уменьшают изменчивость и увеличивают вероятность того, что среднее значение нашей выборки ближе к фактическому среднему значению генеральной совокупности.
Когда использовать стандартное отклонение против стандартной ошибки
Если мы просто заинтересованы в измерении того, насколько разбросаны значения в наборе данных, мы можем использовать стандартное отклонение .
Однако, если мы заинтересованы в количественной оценке неопределенности оценки среднего значения, мы можем использовать стандартную ошибку среднего значения .
В зависимости от вашего конкретного сценария и того, чего вы пытаетесь достичь, вы можете использовать либо стандартное отклонение, либо стандартную ошибку.
Имея
прямую регрессии, необходимо оценить
насколько сильно точки исходных данных
отклоняются от прямой регрессии. Можно
выполнить оценку разброса, аналогичную
стандартному отклонению выборки. Этот
показатель, называемый стандартной
ошибкой оценки, демонстрирует величину
отклонения точек исходных данных от
прямой регрессии в направлении оси Y.
Стандартная ошибка оценки (
)
вычисляется по следующей формуле.
Стандартная
ошибка оценки измеряет степень отличия
реальных значений Y от оцененной величины.
Для сравнительно больших выборок следует
ожидать, что около 67% разностей по модулю
не будет превышать
и около 95% модулей разностей будет не
больше 2
.
Стандартная
ошибка оценки подобна стандартному
отклонению. Ее можно использовать для
оценки стандартного отклонения
совокупности. Фактически
оценивает стандартное отклонение
слагаемого ошибки
в статистической модели простой линейной
регрессии. Другими словами,
оценивает общее стандартное отклонение
нормального распределения значений Y,
имеющих математические ожидания
для каждого X.
Малая
стандартная ошибка оценки, полученная
при регрессионном анализе, свидетельствует,
что все точки данных находятся очень
близко к прямой регрессии. Если стандартная
ошибка оценки велика, точки данных могут
значительно удаляться от прямой.
2.3 Прогнозирование величины y
Регрессионную
прямую можно использовать для оценки
величины переменной Y
при данных значениях переменной X. Чтобы
получить точечный прогноз, или предсказание
для данного значения X, просто вычисляется
значение найденной функции регрессии
в точке X.
Конечно
реальные значения величины Y,
соответствующие рассматриваемым
значениям величины X, к сожалению, не
лежат в точности на регрессионной
прямой. Фактически они разбросаны
относительно прямой в соответствии с
величиной
.
Более того, выборочная регрессионная
прямая является оценкой регрессионной
прямой генеральной совокупности,
основанной на выборке из определенных
пар данных. Другая случайная выборка
даст иную выборочную прямую регрессии;
это аналогично ситуации, когда различные
выборки из одной и той же генеральной
совокупности дают различные значения
выборочного среднего.
Есть
два источника неопределенности в
точечном прогнозе, использующем уравнение
регрессии.
-
Неопределенность,
обусловленная отклонением точек данных
от выборочной прямой регрессии. -
Неопределенность,
обусловленная отклонением выборочной
прямой регрессии от регрессионной
прямой генеральной совокупности.
Интервальный
прогноз значений переменной Y
можно построить так, что при этом будут
учтены оба источника неопределенности.
Стандартная
ошибка прогноза
дает меру вариативности предсказанного
значения Y
около истинной величины Y
для данного значения X.
Стандартная ошибка прогноза равна:
Стандартная
ошибка прогноза зависит от значения X,
для которого прогнозируется величина
Y.
минимально, когда
,
поскольку тогда числитель в третьем
слагаемом под корнем в уравнении будет
0. При прочих неизменных величинах
большему отличию соответствует большее
значение стандартной ошибки прогноза.
Если
статистическая модель простой линейной
регрессии соответствует действительности,
границы интервала прогноза величины Y
равны:
где
— квантиль распределения Стьюдента с
n-2 степенями свободы (
).
Если выборка велика (
),
этот квантиль можно заменить соответствующим
квантилем нормального распределения.
Например, для большой выборки 95%-ный
интервал прогноза задается следующими
значениями:
Завершим
раздел обзором предположений, положенных
в основу статистической модели линейной
регрессии.
-
Для
заданного значения X генеральная
совокупность значений Y имеет нормальное
распределение относительно регрессионной
прямой совокупности. На практике
приемлемые результаты получаются
и
тогда, когда значения Y имеют
нормальное распределение лишь
приблизительно. -
Разброс
генеральной совокупности точек данных
относительно регрессионной прямой
совокупности остается постоянным всюду
вдоль этой прямой. Иными словами, при
возрастании значений X в точках данных
дисперсия генеральной совокупности
не увеличивается и не уменьшается.
Нарушение этого предположения называется
гетероскедастичностью. -
Слагаемые
ошибок
независимы между собой. Это предположение
определяет случайность выборки точек
Х-Y.
Если точки данных X-Y
записывались в течение некоторого
времени, данное предположение часто
нарушается. Вместо независимых данных,
такие последовательные наблюдения
будут давать серийно коррелированные
значения. -
В
генеральной совокупности существует
линейная зависимость между X и Y.
По аналогии с простой линейной регрессией
может рассматриваться и нелинейная
зависимость между X и У. Некоторые такие
случаи будут обсуждаться ниже.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Стандартной ошибкой называется величина, которая характеризует стандартное (среднеквадратическое) отклонение выборочного среднего. Другими словами, эту величину можно использовать для оценки точности выборочного среднего. Множество областей применения стандартной ошибки по умолчанию предполагают нормальное распределение. Если вам нужно рассчитать стандартную ошибку, перейдите к шагу 1.
-
1
Запомните определение среднеквадратического отклонения. Среднеквадратическое отклонение выборки – это мера рассеянности значения. Среднеквадратическое отклонение выборки обычно обозначается буквой s. Математическая формула среднеквадратического отклонения приведена выше.
-
2
Узнайте, что такое истинное среднее значение. Истинное среднее является средним группы чисел, включающим все числа всей группы – другими словами, это среднее всей группы чисел, а не выборки.
-
3
Научитесь рассчитывать среднеарифметическое значение. Среднеаримфетическое означает попросту среднее: сумму значений собранных данных, разделенную на количество значений этих данных.
-
4
Узнайте, что такое выборочное среднее. Когда среднеарифметическое значение основано на серии наблюдений, полученных в результате выборок из статистической совокупности, оно называется “выборочным средним”. Это среднее выборки чисел, которое описывает среднее значение лишь части чисел из всей группы. Его обозначают как:
-
5
Усвойте понятие нормального распределения. Нормальные распределения, которые используются чаще других распределений, являются симметричными, с единичным максимумом в центре – на среднем значении данных. Форма кривой подобна очертаниям колокола, при этом график равномерно опускается по обе стороны от среднего. Пятьдесят процентов распределения лежит слева от среднего, а другие пятьдесят процентов – справа от него. Рассеянность значений нормального распределения описывается стандартным отклонением.
-
6
Запомните основную формулу. Формула для вычисления стандартной ошибки приведена выше.
Реклама
-
1
Рассчитайте выборочное среднее. Чтобы найти стандартную ошибку, сначала нужно определить среднеквадратическое отклонение (поскольку среднеквадратическое отклонение s входит в формулу для вычисления стандартной ошибки). Начните с нахождения средних значений. Выборочное среднее выражается как среднее арифметическое измерений x1, x2, . . . , xn. Его рассчитывают по формуле, приведенной выше.
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
Вы сможете рассчитать выборочное среднее, подставив значения массы в формулу:
- Допустим, например, что вам нужно рассчитать стандартную ошибку выборочного среднего результатов измерения массы пяти монет, указанных в таблице:
-
2
Вычтите выборочное среднее из каждого измерения и возведите полученное значение в квадрат. Как только вы получите выборочное среднее, вы можете расширить вашу таблицу, вычтя его из каждого измерения и возведя результат в квадрат.
- Для нашего примера расширенная таблица будет иметь следующий вид:
-
3
Найдите суммарное отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Общее отклонение – это сумма возведенных в квадрат разностей от выборочного среднего. Чтобы определить его, сложите ваши новые значения.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
Это уравнение дает сумму квадратов отклонений измерений от выборочного среднего.
- В нашем примере нужно будет выполнить следующий расчет:
-
4
Рассчитайте среднеквадратическое отклонение ваших измерений от выборочного среднего. Как только вы будете знать суммарное отклонение, вы сможете найти среднее отклонение, разделив ответ на n -1. Обратите внимание, что n равно числу измерений.
- В нашем примере было сделано 5 измерений, следовательно n – 1 будет равно 4. Расчет нужно вести следующим образом:
-
5
Найдите среднеквадратичное отклонение. Сейчас у вас есть все необходимые значения для того, чтобы воспользоваться формулой для нахождения среднеквадратичного отклонения s.
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно 0,0071624.
Реклама
- В нашем примере вы будете рассчитывать среднеквадратичное отклонение следующим образом:
-
1
Чтобы вычислить стандартную ошибку, воспользуйтесь базовой формулой со среднеквадратическим отклонением.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Таким образом в нашем примере стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение выборочного среднего) составляет 0,0032031 грамма.
- В нашем примере вы сможете рассчитать стандартную ошибку следующим образом:
Советы
- Стандартную ошибку и среднеквадратическое отклонение часто путают. Обратите внимание, что стандартная ошибка описывает среднеквадратическое отклонение выборочного распределения статистических данных, а не распределения отдельных значений
- В научных журналах понятия стандартной ошибки и среднеквадратического отклонения несколько размыты. Для объединения двух величин используется знак ±.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 48 054 раза.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
After collecting data, oftentimes the first thing you need to do is analyze it. This usually entails finding the mean, the standard deviation, and the standard error of the data. This article will show you how it’s done.
Cheat Sheets
-
1
Obtain a set of numbers you wish to analyze. This information is referred to as a sample.
- For example, a test was given to a class of 5 students, and the test results are 12, 55, 74, 79 and 90.
Advertisement
-
1
Calculate the mean. Add up all the numbers and divide by the population size:[1]
- Mean (μ) = ΣX/N, where Σ is the summation (addition) sign, xi is each individual number, and N is the population size.
- In the case above, the mean μ is simply (12+55+74+79+90)/5 = 62.
-
1
Calculate the standard deviation. This represents the spread of the population.
Standard deviation = σ = sq rt [(Σ((X-μ)^2))/(N)].[2]
- For the example given, the standard deviation is sqrt[((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27.4. (Note that if this was the sample standard deviation, you would divide by n-1, the sample size minus 1.)
Advertisement
-
1
Calculate the standard error (of the mean). This represents how well the sample mean approximates the population mean. The larger the sample, the smaller the standard error, and the closer the sample mean approximates the population mean. Do this by dividing the standard deviation by the square root of N, the sample size.[3]
Standard error = σ/sqrt(n)[4]
- So for the example above, if this were a sampling of 5 students from a class of 50 and the 50 students had a standard deviation of 17 (σ = 21), the standard error = 17/sqrt(5) = 7.6.
Add New Question
-
Question
How do you find the mean given number of observations?
To find the mean, add all the numbers together and divide by how many numbers there are. e.g to find the mean of 1,7,8,4,2: 1+7+8+4+2 = 22/5 = 4.4.
-
Question
The standard error is calculated as 0.2 and the standard deviation of a sample is 5kg. Can it be said to be smaller or larger than the standard deviation?
The standard error (SE) must be smaller than the standard deviation (SD), because the SE is calculating by dividing the SD by something — i.e. making it smaller.
-
Question
How can I find out the standard deviation of 50 samples?
The results of all your figures (number plus number plus number etc.) divided by quantity of samples 50 =SD.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Calculations of the mean, standard deviation, and standard error are most useful for analysis of normally distributed data. One standard deviation about the central tendency covers approximately 68 percent of the data, 2 standard deviation 95 percent of the data, and 3 standard deviation 99.7 percent of the data. The standard error gets smaller (narrower spread) as the sample size increases.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
-
Check your math carefully. It is very easy to make mistakes or enter numbers incorrectly.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
The mean is simply the average of a set of numbers. You can work it out by adding up all the numbers and dividing the total by the amount of numbers. For example, if you wanted to find the average test score of 3 students who scored 74, 79, and 90, you’d add the 3 numbers together to get 243, then divide it by 3 to get 81. The standard error represents how well the sample mean approximates the population mean. All you need to do is divide the standard deviation by the square root of the sample size. For instance, if you were sampling 5 students from a class of 50 and the 50 students had a standard deviation of 17, you’d divide 17 by the square root of 5 to get 7.6. For more tips, including how to calculate the standard deviation, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 995,574 times.
Did this article help you?
Download Article
Download Article
After collecting data, oftentimes the first thing you need to do is analyze it. This usually entails finding the mean, the standard deviation, and the standard error of the data. This article will show you how it’s done.
Cheat Sheets
-
1
Obtain a set of numbers you wish to analyze. This information is referred to as a sample.
- For example, a test was given to a class of 5 students, and the test results are 12, 55, 74, 79 and 90.
Advertisement
-
1
Calculate the mean. Add up all the numbers and divide by the population size:[1]
- Mean (μ) = ΣX/N, where Σ is the summation (addition) sign, xi is each individual number, and N is the population size.
- In the case above, the mean μ is simply (12+55+74+79+90)/5 = 62.
-
1
Calculate the standard deviation. This represents the spread of the population.
Standard deviation = σ = sq rt [(Σ((X-μ)^2))/(N)].[2]
- For the example given, the standard deviation is sqrt[((12-62)^2 + (55-62)^2 + (74-62)^2 + (79-62)^2 + (90-62)^2)/(5)] = 27.4. (Note that if this was the sample standard deviation, you would divide by n-1, the sample size minus 1.)
Advertisement
-
1
Calculate the standard error (of the mean). This represents how well the sample mean approximates the population mean. The larger the sample, the smaller the standard error, and the closer the sample mean approximates the population mean. Do this by dividing the standard deviation by the square root of N, the sample size.[3]
Standard error = σ/sqrt(n)[4]
- So for the example above, if this were a sampling of 5 students from a class of 50 and the 50 students had a standard deviation of 17 (σ = 21), the standard error = 17/sqrt(5) = 7.6.
Add New Question
-
Question
How do you find the mean given number of observations?
To find the mean, add all the numbers together and divide by how many numbers there are. e.g to find the mean of 1,7,8,4,2: 1+7+8+4+2 = 22/5 = 4.4.
-
Question
The standard error is calculated as 0.2 and the standard deviation of a sample is 5kg. Can it be said to be smaller or larger than the standard deviation?
The standard error (SE) must be smaller than the standard deviation (SD), because the SE is calculating by dividing the SD by something — i.e. making it smaller.
-
Question
How can I find out the standard deviation of 50 samples?
The results of all your figures (number plus number plus number etc.) divided by quantity of samples 50 =SD.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Calculations of the mean, standard deviation, and standard error are most useful for analysis of normally distributed data. One standard deviation about the central tendency covers approximately 68 percent of the data, 2 standard deviation 95 percent of the data, and 3 standard deviation 99.7 percent of the data. The standard error gets smaller (narrower spread) as the sample size increases.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
-
Check your math carefully. It is very easy to make mistakes or enter numbers incorrectly.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
The mean is simply the average of a set of numbers. You can work it out by adding up all the numbers and dividing the total by the amount of numbers. For example, if you wanted to find the average test score of 3 students who scored 74, 79, and 90, you’d add the 3 numbers together to get 243, then divide it by 3 to get 81. The standard error represents how well the sample mean approximates the population mean. All you need to do is divide the standard deviation by the square root of the sample size. For instance, if you were sampling 5 students from a class of 50 and the 50 students had a standard deviation of 17, you’d divide 17 by the square root of 5 to get 7.6. For more tips, including how to calculate the standard deviation, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 995,574 times.