Абсолютная ошибка округления числа пи

Значения погрешностей числа π

5. Случайная погрешность

Из
самого названия случайной погрешности
следует, что её значение от измерения
к измерению не остаётся постоянным. Для
одного измерения случай­ные ошибки
не поддаются учёту, однако для ряда
измерений одной и той же величины,
проведённых с одинаковой тщательностью
величину случайной ошибки можно оценить
с некоторой вероятностью. Определение
случайных по­грешностей основано на
методах теории вероятностей и
математической стати­стики.

Количественной
характеристикой случайного события
является вероят­ность. Вероятность
Р события ( в нашем случае – вероятность
появления какого-то значения измеряемой
величины) определяется отношением числа
n
случаев, благоприятствующих его
появлению, к общему числу N
всех возможных слу­чаев, если число
N
всех произведенных измерений достаточно
велико:

.
(6)

Предположим,
что измеряемая физическая величина х
приняла ряд дис­кретных значений
При этом, при большом числе измерений
вели­чинавстречаетсяраз,
величинараз и т. д.

Среднее
арифметическое измеряемой величины
выразится

Рис. 1

К

ривые нормального распределения
для конечного (ступенчатая) и бесконечного
(плавная) числа измерений случайной
величины

Величины

приявляются вероятностями появ­ления
соответствующих значений измеряемой
величины. Поэтому:

.
(7)

При
большом числе измерений вероятность
появления случайных погрешностей
подчиняется закону нормального
распре­деления случайных величин
Гаусса. Для объяснения закона распределения
отложим на оси абсцисс значения
,
а на оси ординат,
где—
величина интервала (рис. 1)

Величина
–
есть плотность вероятности, т.е.
вероятность по­лучения измеряемой
величины;
приходящуюся на единичный интервалзначений измеряемой величины.

Площадь всех
прямоугольников:

.
(8)

Таким
образом, вероятность того, что измеряемая
величина а примет одно из значений в
пределах от
доравна
1. Если совершить предельный пере­ход
при,
то площадь всех прямоугольников заменится
площадью под сплошной кривой,
называемой кривой нормального
распределения, а сумма в выражении (8)
заменится интегралом

.(9)

Если
проинтегрировать последнее выражение,
например, в пределах от
до,
то мы получим вероятность того, что
значение измеряемой величины окажется
в указанных пределах.

Выражение
для плотности вероятности при
было найдено Гауссом

(10)

Здесь

—
отклонение измеряемой величины от её
среднего ариф­метического;

–рассеяние
результатов измерений относительно их
среднего значения или дисперсия
измерений.

На рис 2 показаны
кривые нормального распределения
случайных ошибок, по­строенные по
формуле (10) для двух

Рис.2

Кривые
нормального распределения для двух
значений параметра σ.

значений.
Причём, у кривой 1 эта вели­чина в два
раза меньше, чем у кривой 2. Кривые
распределения симметричны относительно
оси ординат, т.е. появление разных по
величине, но противопо­ложных по знаку
случайных погрешностей равновероятно.
В средней части кривые имеют выпуклость,
по обе стороны от которой находятся
точки пере­гиба а иb,
ниже которых кривые становятся вогнутыми,
асимптотически при­ближаясь к оси
абсцисс. Промежутки между точками
перегиба и осью ординат равны ±σ. Величину
σ называют средней
квадратичной ошибкой
или средним
квадратичным отклонением.
Для неограниченно большого числа
измерений (Ν→∞) 68,3% всех случайных
погрешностей лежат в интервале ±σ и
31,7% — вне его. Интервал ±2σ охватывает
95% всех случайных погрешностей. Ордината,
соответствующая,
обратно пропорциональна σ.

При
увеличении σ ордината φ(0) уменьшается.
Так как площадь под кривой распределения
всегда равна единице, то при увеличении
σ кривая распределения становится
более плоской, растягиваясь вдоль оси
абсцисс и, наоборот, при уменьшении σ
кри­вая вытягивается вверх. Таким
образом, малому значению σ соответствует
пре­обладание малых случайных
погрешностей и большая точность
измерения, при большом же значении σ
большие случайные погрешности встречаются
чаще, следовательно, точность измерений
меньше.

Для
оценки точности отдельного измерения
пользуются величиной
или средней квадратичной ошибкой
отдельного измерения

,
(11)

где
— ошибка отдельного измерения.

Для
оценки достоверности окончательного
результата всех измерений, принимаемого
равным среднему арифметическому
,
используют величину

.
(12)

называемую
средней квадратичной ошибкой среднего
арифметического.

Для
получения полного представления о
точности и надежности резуль­тата
измерения должны быть указаны доверительные
границы, доверительный интервал и
доверительная вероятность. Смысл этих
величин становится понят­ным при
рассмотрении рис. 3

Рис.3

Расположение
границ доверительного интервала

для
доверитель­ной вероятности α=0,683 на
кривой нормального распределения
ошибок.

Вероятность
того, что случайные ошибки не выйдут
за границы какого-либо интервала,
определяется площадью под кривой
распределения и называ­ется доверительной
вероятностью α. Интервал, симметрично
расположенный относительно ∆х=0 и
соответствующий выбранной доверительной
вероятности, называется доверительным
интервалом. Концы доверительного
интервала назы­ваются доверительными
границами.

При
доверительной вероятности α = 0,683
доверительный интервал равен
,
а доверительные границы будут равны:
нижняя —,
а верхняя —.

В
зависимости от назначения измерений
может быть задана и другая ве­роятность
α. Увеличение доверительного интервала
при этом учитывается вве­дением
коэффициента t.
Доверительные границы в этом случае
записываются так: нижняя граница
,
верхняяили сокращённо.
Значенияt
для наиболее употребительных доверительных
вероятно­стей при n→
∞ приведены в табл. 4.

Таблица 4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #