Абсолютная ошибка функции у f х равна

Погрешности значения функции

При
вычислении значения функции
в точке(считаемприближенным значением точного числа)
возникают погрешности – предельная
абсолютнаяи предельная относительная.
Выразим эти погрешности через погрешности
числа(будем полагать, что функциядифференцируема в точке).

Так
как функция
дифференцируема в точке,
то

,
(4.1)

где
мало при малом(иными словами, слагаемымв формуле (4.1) можно пренебречь, еслимало).

Учитывая
равенство (4.1), истинная абсолютная
погрешность
будет оцениваться неравенством
(приближенным)

откуда по определению
предельной абсолютной погрешности

. (4.2)

Итак,
предельная
абсолютная погрешность значения функции
в точке
(– приближенное число) равна произведению
модуля производной этой функции в точкена предельную абсолютную погрешность
числа.

Соответственно
предельная относительная погрешность
вычисляется следующим образом

=. (4.3)

Найдем
с помощью формул (4.2), (4.3) погрешности
значений основных элементарных функций.

Пусть
(– действительное число). Тогда

,
.

В
частности при
:.

Пусть
.
Тогда

,
.

Пусть
.
Тогда

,
.

В
частности, если
,
то.

Аналогично
определяются погрешности значений
других основных элементарных функций
(см. таблицу 4.1).

Таблица 4.1.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Пример
4.1. Дана
функция
.
Протабулировать ее на отрезке(считать),
разбив его наравных частей (все расчеты проводить с
4 знаками после запятой). Вычислить
предельные абсолютные, относительные
погрешности значений функции в узлах
табулирования.

Решение:
Протабулировать функцию
на отрезкес постоянным шагомозначает составить таблицу значений,(точкиназываются узлами табулирования), где

. (4.4)

В
нашем случае
,,;
узлы определяются следующим образом:

. (4.5)

Вычислим значения
функции в узлах табулирования (4.5):

Имеем
,;

,
3,3261,

и так далее.

Все
вычисления значения функции в узлах
табулирования заполняем в таблицу 4.2.

Учитывая
формулы (4.2), (4.3), находим погрешности в
узлах (4.5) (при этом число
можно считать точным, а тогда;
в остальных же узлах (4.5),00005)

,
.

Таблица 4.2.

i
0	0	0	1	3	0	0
1	0,6284	0,7927	0,5334	3,3261	4,8678	1,46
2	1,2568	1,2111	0,2846	3,4057	8,0695	2,37
3	1,8852	1,3730	0,1518	3,5248	1,0618	0,3
4	2,5136	1,5854	0,0809	3,6663	1,1724	0,32
5	3,1420	1,7726	0,0432	3,8158	1,1944	0,31

Полиномиальные интерполяции

Весьма
редко удается решить задачу прямыми
аналитическими методами, тем более
реализовать решение в виде вычислительного
алгоритма. Основными требованиями к
алгоритму являются:

—
изменяемость в зависимости от начальных
(исходных) условий, т.е. путь решения
должен быть по возможности универсальным;

—
схематизированность (однозначно должна
быть определена последовательность
действий),

—
рекурсированность – рекурсированный
алгоритм состоит из небольших частей,
которые неоднократно реализуются для
различных наборов значений;

—
решение, реализуемое алгоритмом должно
быть конечным, т.е. должно приводить к
конечному результату за конечное число
шагов. Другими словами, не должно
существовать различного рода расходимостей
(например, часто встречаются т.н.
логарифмические расходимости вида
,
разрывы первого и второго родов, скачки
значений производных и т.д.), которые
могут оказать существенное влияние на
конечный результат. Поэтому реализации
алгоритма непосредственно на ЭВМ должен
предшествовать тщательный анализ задачи
с целью выявления различных особенностей
в поведении исследуемого процесса.

Последнее требование
представляется авторам наиболее важным
с точки зрения достоверности получаемых
результатов вычисления.

Часто
при обработке статистических данных
возникает задача замены аналитического
описания некоторого реального процесса
на другое, более удобное с точки зрения
дальнейших математических преобразований.
Т.е. мы заменяем некоторую функцию f(x)
(известную, неизвестную, частично
известную), другой ψ(x),
полученной в результате некоторых
преобразований. В зависимости от цели
исследования выбирается метод
интерполяции^¹
или экстраполяции — процесс построения
приближенного или аппроксимирующего
многочлена соответственно внутри и вне
промежутка исследования. Так как методики
интерполяции и экстраполяции практически
не отличаются друг от друга, то в
дальнейшем будем ограничиваться
примерами интерполяции. В связи с этим
вышеупомянутую процедуру должен
предварять анализ исходной зависимости
f(x),
а именно:

Способ
и интервал задания функции (аналитический
или табличный);
Оценка степени
гладкости функции, имеется ли возможность
определения производных;
Требования
к интерполирующей функции ψ(x)
(определение ее класса);
Определение
критерия качества интерполяции, иначе
говоря, задание способа оценки погрешности
интерполяции. Необходимо в первую
очередь определить источники погрешностей.
Чаще всего наиболее существенное
влияние оказывают следующие:

— погрешность
исходных данных;

— погрешность
метода;

— погрешность
округления;

Погрешность
исходных данных, как правило, легче
всего поддается оценке и соответствующей
корректировке. Более того, часто удается
получить точную аналитическую формулу
ошибок, исходя из выводов теории
вероятностей и математической статистики.

Так
как вычислительный алгоритм является
рекурсивным, состоящим из целого ряда
операций, то происходит т.н. накопление
погрешностей: погрешности результата
каждого шага оказываются исходными для
следующей операции, поэтому точный
анализ погрешностей оказывается
трудновыполнимым и приходится
ограничиваться доверительными оценками.

Сформулируем
основные положения.

Первое.
Будем рассматривать как таблично, так
и аналитически заданные функции.

Второе.
В основном будем использовать
полиномиальную или кусочно-полиномиальную
интерполяцию, т.е. рассматривать в
качестве аппроксимирующих функций ψ(x)
только многочлены. Данная форма ψ(x)
выглядит в большинстве случаев более
предпочтительной с точки зрения упрощения
дальнейших математических действий
(дифференцирования, интегрирования).
Другие виды приближений (тригонометрическое,
экспоненциальное и пр.) будут применены
в следующих разделах.

Третье.
Построение аппроксимирующего многочлена
и оценку погрешности будем производить
с помощью функционалов

(1)

(2)

соответственно
для непрерывных и дискретных функций.
Оценка погрешности (степени близости
функций f(x)
и ψ(x))
по формулам (1) и (2) смысл среднеквадратичной
погрешности.

Будем
называть вычислительный метод устойчивым,
если для любого
существует такое,
что максимальная погрешность результата
вычислений меньшепри максимальной погрешности исходных
данных меньше.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента Dx, оценивается величиной :.

Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 1

Абсолютные погрешности синуса и косинуса находится по формулам:

D sin x = |cos x|×Dx,

D cos x = |sin x|×Dx, где x изменяется в радианах.

Погрешность вычисления значения функции нескольких переменных (общая формула для погрешности)

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y = f(x₁, x₂, x₃, …, x_n), вызываемая достаточно малыми погрешностями Dx₁, Dx₂,…,Dx_n аргументов x₁, x₂, x₃,…,x_n, оценивается величиной:

Пример 2

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка:

Пример 3

Вычислить значение функции f, абсолютную и относительную погрешности вычисления f, если

Сначала найдем относительную погрешность вычисления значения f, а затем абсолютную погрешность. Функция f положительна и дифференцируема, поэтому воспользуемся формулой:

; ;

;

Найдем относительные погрешности аргументов:

; .

Относительная погрешность является величиной порядка 1 %, следовательно, значение f содержит 2 верные значащие цифры. Следовательно, в записи f нужно указать три значащие цифры, две из которых будут верными и одна сомнительная. Вычислим xy²z³ = 801133.57, оставляя три значащие цифры, получим: f = 801*10³. Зная значение f и её относительную погрешность, найдем абсолютную погрешность:

Источник

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: с какой точностью можно найти значение функции Y=f(X1*, x2*,…, xn*), если аргументы XI* Известны с некоторой точностью. И обратная задача: с какой точностью надо задать значения аргументов функции, чтобы погрешность функции не превосходила заданной величины? Решение таких задач опираются на теорему Лагранжа, согласно которой предельная абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной величины ее производной на предельную абсолютную погрешность аргумента D(F*)=|F ’|D(X*). Если задана дифференцируемая функция Y= f(X1, x2,…, xn) и ее приближенное значение Y*= f(X1*, x2*,…, xn*), где Xi — Точные значения аргументов функции, а Xi* – приближенные к ним, и пусть D(Xi*) (I=1,2,…,n) абсолютные погрешности аргументов функции.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью функции А(Y*) называют наилучшую при имеющейся информации оценку погрешности величины Y*= f(X1*+D(X1*), x2+D(X2*) , …, xn+D(Xn*) ),

Т. е. А(Y*)=Sup| F(X1, X2,…, Xn)- F(X1*, X2*,…, Xn*)|.

Линейная оценка погрешности функции записывается в виде:

Разделив обе части неравенства на y*, будем иметь оценку для Предельной относительной погрешности функции D (Y*):

=D(Y*).

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $Delta x=x_{{0}}-x$ , где $Delta x$ – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: $Delta x=104-105$ .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: $Delta x=104-105=-1$ , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где $delta x$ – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, $x$ – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо $delta x$ .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо $x$ .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: $107,1-105=2,1$ . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна $106pm 0,5$ м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама