11.
Если нормальная СЛАУ хорошо обусловлена,
можно получить устойчивые к вычислительным
погрешностям оценки параметров модели.
При этом оценки являются случайными
величинами, так как все элементы
нормальной СЛАУ в данном случае являются
случайными величинами. В связи с этим
встает вопрос о свойствах оценок,
полученных МНК, в смысле, указанном в
предыдущем пункте.
Можно
показать [18], что МНК позволяет получить
асимптотически несмещенные эффективные
оценки
параметров модели временного ряда, если
выполняются следующие предположения:
-Математическое
ожидание значений ошибки модели для
всех моментов времени равно нулю.
-Значение
дисперсии ошибки для всех моментов
времени постоянно. Выполнимость
данного предположения называется
гомоскедастичность, невыполнимость
(непостоянство дисперсии) —
гетероскедастичность.
-Отсутствует
автокорреляция необъясненных остатков.
-Отсутствует
корреляция между необъясненными
остатками и исходным временным рядом.
-Нормальная
СЛАУ хорошо обусловлена.
Оценки
параметров модели для конечных временных
рядов могут не удовлетворять
перечисленным свойствам, то есть быть
несостоятельными.
Необъясненные
остатки, удовлетворяющие первым четырем
из перечисленных предположениям,
называют «белым шумом», а сами эти
условия «стандартными» или
условиями Гаусса-Маркова.
1.Условие
равенства нулю математического ожидания
остатков. Если
уравнение модели включает постоянный
член, то это условие выполняется
автоматически, так как роль константы
состоит в определении любой систематической
тенденции, которую не описывают функции
и факторные переменные, включенные
в набор базисных функций.
2.Условие постоянства дисперсии случайной компоненты (гомоскедастичность).
Хотя
гетероскедастичность больше присуща
перекрестным данным (например, зависимость
потребления от дохода у разных
домохозяйств), но во временных рядах,
имеющих выраженную тенденцию к росту
или снижению показателя, она тоже
встречается. В условиях непостоянства
дисперсии следует применять другие
методы оценки коэффициентов (рассмотрено
ниже).
3.Условие
отсутствия автокорреляции.
Значения
случайной компоненты должны быть
абсолютно случайными, т.е. независимыми
друг от друга. Если это условие нарушается,
то
уравнение регрессии будет неэффективным.
4.Условие
независимости случайной компоненты от
объясняющих переменных.
Это означает,
что ковариация (корреляция) между
остаточной компонентой и уровнями
ряда, вычисленными по уравнению регрессии,
рана, нулю.
5.
.Наряду
с условиями Гаусса-Маркова, обычно также
предполагается нормальность распределения
случайной компоненты временного ряда.
В сущности, теорема утверждает, что
если случайная величина является общим
результатам взаимодействия большого
числа других СВ, ни одна из которых не
является доминирующей, то она будет
иметь приблизительно нормальное
распределение, даже если отдельные
составляющие не имеют нормального
распределения.
Если
не выполняется хотя бы одно из названных
условий, модель признается
неадекватной;
при выполнении всех свойств — модель
адекватна.
Следует
иметь в виду, что априорно проверить
выполнение условий Гаусса-Маркова,
как правило, невозможно. Проверку
выполняют, получив остаточную
компоненту временного ряда, то есть
фактическую ошибку модели. Проверка
осуществляется с использованием ряда
специальных статистических критериев.
Совпадение свойств необъясненных
остатков с перечисленными выше свойствами
белого шума обеспечивает хорошие
прогнозные свойства модели.
12.Оценка
адекватности трендовых моделей.
Независимо
от вида и способа построения
экономико-математической модели вопрос
о возможности ее применения в целях
анализа и прогнозирования экономического
явления может быть решен только после
установления
адекватности,
т.е. соответствия модели исследуемому
процессу или объекту. Так как полного
соответствия модели реальному процессу
или объекту быть не может, адекватность
— в какой-то мере условное понятие. При
моделировании имеется в виду
адекватность не вообще, а по тем свойствам
модели, которые считаются существенными
для исследования.
Трендовая
модель у,
временного ряда
у,
считается
адекватной,
если правильно отражает основную
тенденцию временного ряда. Первым
условием адекватности можно считать
поведение модели на периоде упреждения:
подъем, или снижение, или выход на
постоянный уровень; вторым — сохранение
в будущем тех характеристик прироста,
которые положены в основу применения
выбранной кривой роста (см. п. 4.1.3);
следующий этап — проверка выполнения
условий Гаусса-Маркова для остаточной
компоненты.
Качество
модели в значительной степени зависит
от того, насколько «удачны» оценки
коэффициентов модели у. Они играют,
пожалуй, основную роль при обосновании
ее «качества», поскольку на основе
их значений определяются важнейшие
характеристики модели и ее прогнозные
свойства. Свойства коэффициентов
регрессии существенно зависят от свойств
случайной компоненты. Для того чтобы
регрессионный анализ, основанный на
МНК, давал наилучшие результаты,
случайная компонента должна удовлетворять
условиям Гаусса-Маркова (см. п.
3.5-3.6), т.е. обладать свойствами белого
шума. Если эти условия не выполняются,
надо попытаться исправить ситуацию.
Если сделать это не удается, то
исследователь должен оценить серьезность
влияния указанной проблемы на
результаты прогнозирования.
Отметим,
что неадекватная модель не может быть
использована для долгосрочного
прогнозирования.
Для
исследования отклонений от тренда мы
располагаем набором значений
(t=1,2,….,n).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
[c.85]
Основные положения теории Шарпа. Коэффициенты регрессии. Измерение ожидаемой доходности и риска портфеля. Дисперсия ошибок. Определение весов ценных бумаг в модели Шарпа. Нахождение оптимального портфеля. Сравнительный анализ методов Г. Марковица и В. Шарпа.
[c.335]
Наиболее хорошо изучены линейные регрессионные модели, удовлетворяющие условиям (1.6), (1.7) и свойству постоянства дисперсии ошибок регрессии, — они называются классическими моделями.
[c.19]
Очевидно, для продвижения к этой цели необходимы некоторые дополнительные предположения относительно характера гетероскедастичности. В самом деле, без подобных предположений, очевидно, невозможно было бы оценить п параметров (п дисперсий ошибок регрессии а ) с помощью п наблюдений.
[c.161]
Решение. Предположим, что дисперсии ошибок о, связаны уравнением регрессии
[c.163]
Вспомним, что наиболее часто употребляемые процедуры устранения гетероскедастичности так или иначе были основаны на предположении, что дисперсия ошибок регрессии ст2 является функцией от каких-то регрессоров. Если а2 существенно зависит от регрессора Z, а при спецификации модели регрессор Z не был включен в модель, стандартные процедуры могут не привести к устранению гетероскедастичности.
[c.250]
В случае постоянства дисперсии ошибок МНК необъясненная дисперсия для меньших значений X должна быть приблизительно равна необъясненной дисперсии для больших значений X, то есть должно быть справедливым следующее равенство [c.125]
Чем ближе к единице отношение / S2, тем больше оснований рассчитывать на то, что дисперсия ошибок МНК постоянна. Случайная величина F = Sl / S2 подчиняется F -распределению
[c.125]
Непостоянство дисперсии ошибок МНК возникает как правило в том случае, если неправильно выбран вид математической модели зависимости фактора X и отклика 7. Например, если нелинейную зависимость пытаются аппроксимировать линейной функцией.
[c.126]
Пятая часть полностью посвящена приложению матричного дифференциального исчисления к линейной регрессионной модели. Она содержит исчерпывающее изложение проблемы оценивания, связанной с неслучайной частью модели при различных предположениях о рангах и других ограничениях. Кроме того, она содержит ряд параграфов, связанных со стохастической частью модели, например оценивание дисперсии ошибок и прогноз ошибок. Включен также небольшой параграф, посвященный анализу чувствительности. Вводная глава содержит необходимые предварительные сведения из теории вероятностей и математической статистики.
[c.16]
Дисперсия ошибок прогноза в задаче (3.6) — (3.7) достигает минимума в точке , являющейся основанием перпендикуляра, опущенного из точки т] на подпространство Q, определяемое равенством (3.7). Соотношение (3.10) эквивалентно равенству
[c.309]
Ограничение (а) не вызывает претензий. Условие (б) также естественно. Ясно, что механизм сглаживания и прогноза, при котором математическое ожидание или дисперсия ошибок фильтрации или интенсивность искусственного рассеивания достаточно велики, вряд ли рационален и тем более не может быть признан оптимальным.
[c.320]
Задача прогнозирования по минимуму дисперсии ошибок при различных статистических характеристиках входных случайных процессов и ошибок измерений подробно обсуждалась в литературе. Имеются и стандартные аналоговые устройства и программы для ЦВМ, реализующие соответствующие схемы. Экстремальная задача, к которой сводится вычисление характеристик генераторов случайных шумов, несомненно, проще исходной вариационной задачи.
[c.334]
Матрица корреляции k j R регулируемых ошибок прогноза, оптимального в смысле показателя качества R( k ), может быть получена из корреляционной матрицы kff a ошибок прогноза, оптимальных в смысле минимума дисперсии ошибок в каждой координате в каждый момент времени, по следующей формуле [c.339]
Из (1.14), в частности, следует, что коэффициент корреляции признаков, на которые наложены ошибки измерения, всегда меньше по абсолютной величине, чем коэффициент корреляции исходных признаков. Другими словами, ошибки измерения всегда ослабляют исследуемую корреляционную связь между исходными переменными, и это искажение тем меньше, чем меньше отношения дисперсий ошибок к дисперсиям самих исходных переменных. Формула (1.14) позволяет скорректировать искаженное значение коэффициента корреляции для этого нужно либо знать разрешающие характеристики измерительных приборов (и, следовательно, величины дисперсий ошибок а и а ), либо провести дополнительное исследование по их выявлению.
[c.73]
Пример 7.4 ]. Известно, что дисперсия о2, вызванная ошибками измерения, при некоторых видах количественного анализа составляет 0,5. Если заменить измерительный прибор и произвести 10-кратное измерение одного и того же стандартного образца, а затем подсчитать дисперсию, то она составит s2 = 0,25. Может показаться, что дисперсия ошибок измерения изменилась, превысив 5%-ный уровень значимости. Так ли это [c.128]
Теорема Гаусса-Маркова. Оценка дисперсии ошибок сг2
[c.41]
Оценка дисперсии ошибок а2
[c.43]
Формулы (2.11), (2.13) дают дисперсии оценок о, Ь коэффициентов регрессии в том случае, если а2 известно. На практике, как правило, дисперсия ошибок а2 неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с коэффициентами регрессии а, Ь. В этом случае вместо дисперсий оценок о, b мы можем получить лишь оценки дисперсий о, 6, заменив а2 на s2 из (2.15) в (2.11), (2.13), (2.14) [c.45]
Распределение оценки дисперсии ошибок s2
[c.47]
Так как оценка дисперсии ошибок s2 является функцией от остатков регрессии et, то для того чтобы доказать независимость s2 и (2,6), достаточно доказать независимость et и (2,6). Оценки 2, 6 так же, как и остатки регрессии et, являются линейными функциями ошибок t (см. (2.4а), (2.46), (2.20)) и поэтому имеют совместное нормальное распределение. Известно (приложение МС, п. 4, N4), что два случайных вектора, имеющие совместное нормальное распределение, независимы тогда и только тогда, когда они некоррелированы. Таким образом, чтобы доказать независимость s2 и (а, 6), нам достаточно доказать некоррелированность et и (2,6).
[c.48]
Значение Д2 увеличилось по сравнению с первой регрессией. Переход к удельным данным приводит к уменьшению дисперсии ошибок модели.
[c.58]
Пусть SML = Y et/ n и OLS — ] et/ (n — 1 — оценки методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов для дисперсии ошибок <т2 в классической модели парной регрессии Yt =
[c.62]
Оценка дисперсии ошибок а1. Распределение s2
[c.72]
Сумма квадратов остатков е2 = е е является естественным кандидатом на оценку дисперсии ошибок а1 (конечно, с некоторым поправочным коэффициентом, зависящим от числа степеней свободы) [c.73]
Тест ранговой корреляции Спирмена использует наиболее общие предположения о зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров [c.158]
Тест Уайта. Тест ранговой корреляции Спирмена и тест Голдфелда—Квандта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров и, следовательно, не представляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.
[c.161]
Наиболее простой и часто употребляемый тест на гетероске-дастичность — тест Уайта. При использовании этого теста предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров, т.е.
[c.161]
Другим недостатком тестов Уайта и Глейзера является то, что факт невыявления ими гетероскедастичности, вообще говоря, не означает ее отсутствия. В самом деле, принимая гипотезу Щ, мы принимаем лишь тот факт, что отсутствует определенного вида зависимость дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров.
[c.166]
Построенные экологометрические модели требуют оценки их достоверности. При выполнении статистических исследований полученные данные тщательно анализируются на предмет удовлетворения их предположения о независимости случайных наблюдений, симметричности распределения, из которого получена выборка, равенства дисперсии ошибок, одинаковости распределения нескольких случайных величин и т.д. Все эти предположения могут рассматриваться как гипотезы, которые необходимо проверить.
[c.57]
Доказано (см., например, [37]), что приведенную задачу оптимального стохастического управления можно разделить на две задачу сглаживания и лрогноза по минимуму дисперсии ошибок и задачу оптимального детерминированного управления. При более сложном критерии качества управления и при дополнительных ограничениях на переменные состояния и управляющие параметры такое разделение не всегда удается я, его, по-видимому, не всегда целесообразно производить.
[c.44]
Здесь Paaa(tt, » ) — система функций веса, минимизирующих дисперсию ошибок За(/г-) прогноза W (ti, т) — тождественно не равные нулю функ-22 339
[c.339]
В ходе анализа финансовых данных любой ряд динамики, будь то процентные ставки или цены на финансовые активы, можно разбить на две компоненты, одна из которых изменяется случайным образом, а другая подчиняется определенному закону. Колебания финансовых переменных значительно изменяются во времени бурные периоды с высокой волатильностью переменных сменяют спокойные периоды и наоборот. В некоторых случаях вола-тильность играет ключевую роль в ценообразовании на финансовые активы. В частности, курсы акций напрямую зависят от ожидаемой волатильности доходов корпораций. Все финансовые учреждения без исключения стремятся адекватно оценить волатильность в целях успешного управления рисками. В свое время Трюгве Хаавельмо, нобелевский лауреат по экономике 1989 г., предложил рассматривать изменение экономических переменных как однородный стохастический (случайный) процесс. Вплоть до 1980-х гг. экономисты для анализа финансовых рынков применяли статистические методы, предполагавшие постоянную волатильность во времени. В 1982 г. Роберт Ингл развил новую эконометрическую концепцию, позволяющую анализировать периоды с разной волатильностью. Он ввел кластеризацию данных и условную дисперсию ошибок, которая завесит от времени. Свою разработку Ингл назвал авторегрессионной гетероскедастической моделью , с ее помощью можно точно описать множество временных рядов, встречающихся в экономике. Метод Ингла сегодня применяется финансовыми аналитиками в целях оценки финансовых активов и портфельных рисков.
[c.197]
Отметим, что оценки максимального правдоподобия параметров а, 6 совпадают с оценками метода наименьших квадратов OML = SOLS, ML OLS- Это легко видеть из того, что уравнения (2.37а) и (2.376) совпадают с соответствующими уравнениями метода наименьших квадратов (2.2). Оценка максимального правдоподобия для <т2 не совпадает с
несмещенной оценкой дисперсии ошибок. Таким образом, с = ((п — 2)/n)<7OLS является смещенной, но тем не менее состоятельной оценкой <т2.
[c.57]
В этом разделе мы рассмотрим частный случай обобщенной регрессионной модели, а именно, модель с гетероскедастичностъю, Это означает, что ошибки некоррелированы, но имеют непостоянные дисперсии. (Классическая модель с постоянными дисперсиями ошибок называется гомоскедастичной.) Как уже отмечалось, Гетероскедастичность довольно часто возникает, если анализируемые объекты, говоря нестрого, неоднородны. Например, если исследуется зависимость прибыли предприятия от каких-либо факторов, скажем, от размера основного фонда, то естественно ожидать, что для больших предприятий колебание прибыли будет выше, чем для малых.
[c.168]
Рассмотренные в предыдущем параграфе стандартные ошибки позволяют успешно тестировать гипотезы и строить доверительные интервалы в условиях гетероскедастичности, однако не устраняют другого её негативного последствия, упомянутого в начале главы: неэффективности МНК-оценок. Для получения эффективных оценок параметров можно воспользоваться так называемым взвешенным МНК (weighted least squares, WLS). Чтобы понять, как он работает, рассмотрим несколько важных случаев.
Случай 1. Дисперсия случайных ошибок (mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = sigma_{i}^{2}}) известна
Пусть рассматривается модель
({y_{i} = {beta_{1} + beta_{2}}}{x_{i}^{(2)} + ldots + beta_{k}}{x_{i}^{(k)} + varepsilon_{i}})
для которой выполнены все предпосылки классической линейной модели множественной регрессии за одним исключением: в данных наблюдается гетероскедастичность(mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = sigma_{i}^{2}}).
В этом случае можно разделить правую и левую часть уравнения регрессии на (sigma_{i}):
(frac{y_{i}}{sigma_{i}} = frac{{beta_{1} + beta_{2}}{x_{i}^{(2)} + ldots + beta_{k}}{x_{i}^{(k)} + varepsilon_{i}}}{sigma_{i}})
После этого сделаем простую замену переменных:
({{overset{sim}{y}}_{i} = frac{y_{i}}{sigma_{i}}};{{overset{sim}{x}}_{i}^{(1)} = frac{1}{sigma_{i}}};{{overset{sim}{x}}_{i}^{(2)} = frac{x_{i}^{(2)}}{sigma_{i}}};ldots;{{overset{sim}{x}}_{i}^{(k)} = frac{x_{i}^{(k)}}{sigma_{i}}};{{overset{sim}{varepsilon}}_{i} = frac{varepsilon_{i}}{sigma_{i}}})
В результате замены переменных переходим к новой модели:
({{overset{sim}{y}}_{i} = beta_{1}}{{overset{sim}{x}}_{i}^{(1)} + beta_{2}}{{overset{sim}{x}}_{i}^{(2)} + ldots + beta_{k}}{{overset{sim}{x}}_{i}^{(k)} + {overset{sim}{varepsilon}}_{i}})
Новая модель полезна тем, что в ней гетероскедастичности нет, так как дисперсия случайной ошибки является константой:
(mathit{var}{left( {overset{sim}{varepsilon}}_{i} right) = mathit{var}}{left( frac{varepsilon_{i}}{sigma_{i}} right) = frac{1}{sigma_{i}^{2}}}mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = frac{1}{sigma_{i}^{2}}}{sigma_{i}^{2} = 1 = mathit{const}})
Следовательно, МНК, примененный к новой модели, будет давать не только несмещенный, но и эффективный результат. Таким образом, суть взвешенного МНК состоит в том, чтобы сделать правильную замену переменных так, чтобы применение к новой модели (с измененными переменными) обычного МНК приводило к получению эффективных оценок коэффициентов. После этого для интерпретации результатов можно вернуться к исходным переменным.
Чтобы понять, почему этот метод называется взвешенным МНК, сравним оптимизационные задачи в рамках обычного МНК и в рамках взвешенного МНК. В первом случае мы минимизируем сумму квадратов остатков:
({sumlimits_{i = 1}^{n}e_{i}^{2}}rightarrowunderset{widehat{beta}}{mathit{min}})
В случае взвешенного МНК мы минимизируем сумму квадратов остатков новой модели:
({{sumlimits_{i = 1}^{n}left( {overset{sim}{e}}_{i} right)^{2}} = {sumlimits_{i = 1}^{n}left( frac{e_{i}}{sigma_{i}} right)^{2}} = {sumlimits_{i = 1}^{n}{frac{1}{sigma_{i}^{2}}e_{i}^{2}}}}rightarrowunderset{widehat{beta}}{mathit{min}})
Получается, что мы минимизируем сумму квадратов остатков, но каждое слагаемое домножается на весовой коэффициент (1/sigma_{i}^{2}), то есть мы минимизируем сумму квадратов остатков с определенными весами. Чем меньше дисперсия для i-го наблюдения (то есть чем меньше фактор случайности для этого наблюдения), тем больший вес это наблюдение имеет в той сумме, которую мы минимизируем. Тем самым наибольший вес мы придаем наиболее «надежным» наблюдениям. Это и позволяет улучшить качество получаемых оценок.
Обратите внимание, что даже если в исходной модели был свободный член, в новой модели в результате замены переменных константа пропадает (вместо неё возникает переменная ({overset{sim}{x}}_{i}^{(1)} = frac{1}{sigma_{i}})). Поэтому, в частности, привычный коэффициент (R^{2}) для такой модели неприменим и не может интерпретироваться стандартным образом (хотя, если его все-таки посчитать, он часто оказывается выше по сравнению c аналогичным коэффициентом для обычного МНК).
Разумеется, в реальности дисперсия случайной ошибки обычно не известна исследователю, что приводит нас к необходимости рассмотрения более реалистичного случая.
Случай 2. Дисперсия случайных ошибок (mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = sigma_{i}^{2}}) не известна
В этой ситуации сначала следует получить оценки дисперсий (sigma_{i}^{2}). Как правило, это делают так:
Сначала оценивают исходную модель при помощи обычного МНК и получают остатки регрессии (e_{i}).
Затем оценивают вспомогательную модель для остатков следующего вида:
({e_{i}^{2} = {gamma_{0} + gamma_{1}}}{z_{i}^{(1)} + ldots + gamma_{p}}{z_{i}^{(p)} + u_{i}}mathit{или}ln{e_{i}^{2} = {gamma_{0} + gamma_{1}}}{z_{i}^{(1)} + ldots + gamma_{p}}{z_{i}^{(p)} + u_{i}}.)
Здесь (z_{i}^{(1)},z_{i}^{(2)},ldots,z_{i}^{(p)}) — набор переменных, которые предположительно влияют на дисперсию случайной ошибки. Обычно в качестве таких переменных берутся регрессоры из исходной модели, а также их квадраты.
(ln e_{i}^{2}) иногда используется в левой части вспомогательного уравнения вместо (e_{i}^{2}) для того, чтобы предсказанное значение квадрата остатков никогда не было отрицательным (что было бы нелогично).
Оценив вспомогательное уравнение, получаем предсказанные значения квадратов остатков ({widehat{e}}_{i}^{2}). Их и используют, чтобы оценить дисперсию случайной ошибки:
({{widehat{sigma}}_{i}^{2} = widehat{e}}_{i}^{2})
После этого следует действовать аналогично первому случаю, только вместо дисперсии (sigma_{i}^{2}) брать для замены переменных её оценку ({widehat{sigma}}_{i}^{2}).
Пример 5.2. Оценка эффективности использования удобрений (продолжение)
Продолжите рассмотрение модели урожайности, которое мы начали в примере 5.1. Теперь оцените модель, используя взвешенный МНК. Сравните полученные результаты с результатами из примера 5.1.
Решение:
В качестве вспомогательного уравнения оценивалась следующая спецификация, включающая все регрессоры исходной модели, а также их квадраты:
(ln{e_{i}^{2} = {gamma_{0} + gamma_{1}}}mathit{FUNG}{1_{i} + gamma_{2}}mathit{FUNG}{2_{i} + gamma_{3}}mathit{GIR}{B_{i} +})
({+ gamma_{4}}{mathit{INSEC}_{i} + gamma_{5}}{mathit{LABOUR}_{i} + gamma_{6}}mathit{YDOB}{1_{i} + gamma_{7}}mathit{YDOB}{2_{i} +})
({+ gamma_{8}}mathit{FUNG}{1_{i}^{2} + gamma_{9}}mathit{FUNG}{2_{i}^{2} + gamma_{10}}mathit{GIR}{B_{i}^{2} +})
({+ gamma_{11}}{mathit{INSEC}_{i}^{2} + gamma_{12}}{mathit{LABOUR}_{i}^{2} + gamma_{13}}mathit{YDOB}{1_{i}^{2} + gamma_{14}}mathit{YDOB}{2_{i}^{2} + u_{i}})
В результате оценки этого уравнения были получены расчетные значения (widehat{ln e_{i}^{2}})и, затем, (widehat{e_{i}^{2}}). После этого был осуществлен переход к взвешенной модели, как это описано выше, при помощи деления обеих частей уравнения из примера 5.1 на ({widehat{sigma}}_{i} = sqrt{widehat{e_{i}^{2}}}). Наконец, при помощи обычного МНК были оценены параметры последней модели. Результаты оценивания представлены ниже.
Модель 3: С поправкой на гетероскедастичность, использованы наблюдения 1-200
Зависимая переменная: PRODP
| Коэффициент | Ст. ошибка | t-статистика | P-значение | ||
| const | -36,6762 | 6,17857 | -5,9360 | <0,00001 | *** |
| FUNG1 | 0,0827277 | 0,0496946 | 1,6647 | 0,09760 | * |
| FUNG2 | 0,114722 | 0,0519986 | 2,2063 | 0,02855 | ** |
| GIRB | 0,0528989 | 0,0566521 | 0,9338 | 0,35161 | |
| INSEC | 0,0447185 | 0,0424588 | 1,0532 | 0,29356 | |
| LABOUR | 0,0411533 | 0,0026617 | 15,4613 | <0,00001 | *** |
| YDOB1 | 0,0412047 | 0,0199716 | 2,0632 | 0,04044 | ** |
| YDOB2 | -0,0817552 | 0,0232718 | -3,5131 | 0,00055 | *** |
Статистика, полученная по взвешенным данным:
| Сумма кв. остатков | 798,3622 | Ст. ошибка модели | 2,039151 | |
| F(7, 192) | 169,9013 | Р-значение (F) | 1,05e-78 |
То же самое в виде уравнения:
({{widehat{mathit{PRODP}}}_{i} = {{- underset{(6,18)}{36,68}} + underset{(0,05)}{0,08}}}{{mathit{FUNG}1}_{i} + underset{(0,05)}{0,11}}{{mathit{FUNG}2}_{i} +})
({+ underset{(0,06)}{0,05}}{mathit{GIRB}_{i} + underset{(0,04)}{0,04}}{mathit{INSEC}_{i} + underset{(0,003)}{0,04}}{mathit{LABOUR}_{i} +})
({+ underset{(0,02)}{0,04}}{{mathit{YDOB}1}_{i} — underset{(0,02)}{0,08}}{mathit{YDOB}2}_{i}.)
При оценивании модели с коррекцией на гетероскедастичность изменились коэффициенты, а их стандартные ошибки в целом стали меньше.
Напомним, что обычная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов, поэтому неудивительно, что полученные результаты совсем немного отличаются от оценок коэффициентов, вычисленных на основе обычного МНК (см. числа в примере 5.1). Тем не менее, если мы корректно оценили дисперсию случайной ошибки, есть надежда, что новые результаты являются немного более точными.
* * *
В заключение данного параграфа рассмотрим еще один случай применения взвешенного МНК. Этот случай является более частным, чем случай 2, однако также может быть полезен в некоторых ситуациях.
Случай 3. Дисперсия случайной ошибки прямо пропорциональна квадрату единственной переменной:(mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = sigma_{i}^{2} = sigma_{0}^{2}}{z_{i}^{2} > 0}).
Подразумевается, что величина(sigma_{0}^{2}) не известна, но это нам не помешает. Оказывается, столкнувшись с таким частным случаем гетероскедастичности, можно легко её устранить. Действительно, для этого достаточно поделить правую и левую части исходного уравнения на переменную (z_{i}):
(frac{y_{i}}{z_{i}} = frac{{beta_{1} + beta_{2}}{x_{i}^{(2)} + ldots + beta_{k}}{x_{i}^{(k)} + varepsilon_{i}}}{z_{i}})
Делаем замену переменных:
(y_{i}^{*} = frac{y_{i}}{z_{i}}; x_{i}^{(1)*} = frac{1}{z_{i}}; x_{i}^{(2)*} = frac{x_{i}^{(2)}}{z_{i}}; {varepsilon_{i}}^{*} = frac{varepsilon_{i}}{z_{i}})
В результате замены переменных переходим к новой модели со звездочками:
(y_{i}^{*} = beta_{1}x_{i}^{(1)*} + beta_{2}x_{i}^{(2)*} + ldots + beta_{k}x_{i}^{(k)*} + {varepsilon_{i}}^{*})
В новой модели гетероскедастичности нет, так как дисперсия случайной ошибки является константой:
(mathit{var}{left( {varepsilon_{i}}^{} right) = mathit{var}}{left( frac{varepsilon_{i}}{z_{i}} right) = frac{1}{z_{i}^{2}}}mathit{var}{left( varepsilon_{i} right) = frac{1}{z_{i}^{2}}}sigma_{0}^{2}{z_{i}^{2} = sigma_{0}^{2} = mathit{const}})
Следовательно, для оценки параметров новой модели можно использовать обычный МНК, и оценки коэффициентов будут эффективными.
Какой же метод устранения негативных последствий гетероскедастичности лучше использовать: состоятельные в условиях гетероскедастичности стандартные ошибки или взвешенный МНК?
Казалось бы, взвешенный МНК предпочтительней, потому что он дает возможность получить эффективные оценки коэффициентов, то есть в ситуации гетероскедастичности он должен быть точнее обычного МНК. Однако это верно только при условии, что мы правильно специфицировали уравнение для дисперсии случайной ошибки (то есть правильно поняли, как именно устроена гетероскедастичность в анализируемой модели). К сожалению, на практике это может быть проблематично. Кроме того, при наличии достаточно большой выборки обычный МНК и так дает удовлетворительные результаты. Поэтому в прикладных эконометрических работах гораздо чаще применяется обычный МНК в сочетании с робастными стандартными ошибками.